概率统计42方差的计算

则
D
n i1
ai X i
b
n i1
ai2D( X i )
若X ,Y 相互独立 D(X Y ) D(X ) D(Y )
E(XY ) E(X )E(Y )
对任意常数C, D (X ) E(X – C)2 , 当且仅当C = E(X )时等号成立
D (X ) = 0
P (X = E(X))=1
6
(7 8.3)2 (6 8.3)2 ]
5
13.34 / 6 2.22 xk E(X )2 pk
k 1
乙 1 [(10 8.3)2 (9 8.3)2
6
E [X - E(X)]2
3 (8 8.3)2 (7 8.3)2 ]
4
5.34/ 6 0.89 xk E(X )2 pk k 1
称为X 依概率 1 等于常数 E(X)
Ch4-61
常见随机变量的方差(P.159 )
分布
概率分布
方差
参数为p 的 0-1分布
P(X 1) p P(X 0) 1 p
p(1-p)
B(n,p)
P()
P( X k) Cnk pk (1 p)nk k 0,1,2, ,n
P( X k) ke
解 令 X i 表示击中目标 i - 1 次后到第 i 次 击中目标所需射击的次数，i = 1,2,…, n
n
X1, X 2 , , X n 相互独立，且 X X i
P( X i k) pqk1, k 1,2, i1
pq 1
E(Xi )
kpq k 1
k 1
p kqk1
k 1
p
(1
1 q)
方差概念
Ch4-51
定义 若E [X - E(X)]2 存在, 则称其为随机 变量 X 的方差, 记为D (X ) 或 Var (X ) 即 D (X ) = E [X - E(X)]2 称 D(X ) 为 X 的均方差或标准差.
两者量纲相同
D(X ) —— 描述 r.v. X 的取值偏离平均值
的平均偏离程度 —— 数
Ch4-66
D(X )
n i1
D(Xi )
n(1 p2
p)
本例给出了几何分布与巴斯卡 分布的期望与方差
Ch4-67
例6 将 编号分别为 1 ~ n 的 n 个球随机
地放入编号分别为 1 ~ n 的n 只盒子中,
每盒一 球. 若球的号码与盒子的号码一
致，则称为一个配对. 求配对个数 X 的
期望与方差.
2
1 p
Ch4-65
E
(
X
2 i
)
k(k 1) pqk1
kpqk1
k 1
k 1
pq k(k 1)qk2 1
k2
p
pq
d2 dx2
k0
xk
源自文库
xq
1 p
pq
(1
2 x)3
xq
1 p
2
p p2
D(Xi )
2 p p2
1 p2
1 p p2
故
E ( X
)
n i1
E(Xi
)
n p
i1
1i jn
n 1 2 n
1
i1 n 1i jn n(n 1)
n
1 n
2
Cn2
1 n(n
1)
2
D(X ) E(X 2) E2(X ) 1
X
j
n
n
E
(
X
2 i
)
2
E(XiX j)
i1
1i jn
Ch4-69
X
2 i
1
P
1
n
E(
X
2 i
)
1 n
0 1 1
n
i 1,2, ,n
XiX j P
1
0
1 n(n 1)
1 1 n(n 1)
E(
X
i
X
j
)
1 n(n
1)
i, j 1,2, ,n
n
n
Ch4-70
E(X 2)
E(
X
2 i
)
2
E(XiX j)
方差的性质
D (C) = 0 D(aX+b ) = a2D(X)
D (aX ) = a2D(X) D(X Y ) D(X ) D(Y )
2E(X E(X ))(Y E(Y ))
特别地，若X ,Y 相互独立，则
D(X Y ) D(X ) D(Y )
Ch4-54
若 X1, , X n 相互独立，a1,a2, ,an ,b 为常数
解 X ~ N (0,0.5),Y ~ N (0,0.5)
E( X Y ) 0, D( X Y ) 1
故 X Y ~ N (0,1)
E(| X Y |)
|z|
1
z2
e 2 dz
2
2
z2
ze 2 dz
2
2 0
Ch4-64
例5 设X 表示独立射击直到击中目标 n 次 为止所需射击的次数 , 已知每次射击中靶 的概率为 p , 求E(X ), D(X ).
Ch4-48
§4.2 方差
引例 甲、乙两射手各打了6 发子弹,每发 子弹击中的环数分别为：
甲 10, 7, 9, 8, 10, 6,
有 五
乙 8, 7, 10, 9, 8, 8,
有个
四不
问哪一个射手的技术较好？ 个 同
解 首先比较平均环数
不数 同
甲 = 8.3, 乙 = 8.3
数
Ch4-49
再比较稳定程度
甲：2(10 8.3)2 (9 8.3)2 (8 8.3)2 (7 8.3)2 (6 8.3)2 13.34
乙：(10 8.3)2 (9 8.3)2 3 (8 8.3)2 (7 8.3)2 5.34
乙比甲技术稳定，故乙技术较好.
进一步比较平均偏离平均值的程度 Ch4-50
甲 1 [2 (10 8.3)2 (9 8.3)2 (8 8.3)2
解
1, X i 0,
i 号球放入 i 号盒 其它
i 1,2, ,n
则
X
n
Xi
i1
但 X1, X 2 , , X n 不相互独立，
Ch4-68
Xi
P
1
0
1 n
1 1 n
i 1,2, ,n
E(X
)
n
i1
E(
Xi
)
n
1 n
1
E(X
2)
E
n i1
Xi
2
E
n i1
X
2 i
n
2 Xi
1i jn
k! k 0,1,2,
np(1-p)
分布
概率密度
Ch4-62
方差
区间(a,b)上 的均匀分布
f
(
x)
b
1
a
,
0,
a x b, (b a)2 其它 12
E() N(, 2)
ex , x 0,
f (x) 0,
其它
1
2
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
2
Ch4-63
例4 已知X ,Y 相互独立, 且都服从 N (0,0.5), 求 E( | X – Y | ).
若 X 为离散型 r.v.，分布律为
Ch4-52
P( X xk ) pk , k 1,2,
D( X ) xk E( X )2 pk
k 1
若 X 为连续型r.v. ，概率密度为 f (x)
D(
X
)
x
E(
X
2
)
f
(
x)dx
计算方差的常用公式：
D(X ) E(X 2) E2(X )
Ch4-53