拓扑学基础复习题

《拓扑学基础》复习题
单项选择题
下列有关连续映射:f X Y →正确的是（ B ）
A 、对X 中的任意开集U ，有()f U 是Y 中的一个开集
B 、Y 中的任何一个闭集B ，有1()f
B -是X 中的一个闭集
C 、Y 中的任何一个子集A ，有1
1()()f A f A --⊂ D 、若f 还是一一映射，则f 是一个同胚映射
设X 是一个拓扑空间，A X ⊂，则()A ∂=（ D ）
A 、A A -'⋂
B 、00A A ''⋃
C 、0()A ∂
D 、()X A ∂-
下列拓扑性质中，没有继承性的是( D )
A 、1T 空间
B 、2T 空间
C 、3T 空间
D 、4T 空间
下列有关实数空间 ，不正确的是（ D ）
A 、它满足第一可数性公理
B 、它满足第二可数性公理
C 、它的任何一个子空间都满足第二可数性公理
D 、它的任何一个子空间都是连通的 设A 是度量空间（,X ρ）中的一个非空子集，则下列命题错误的是（ C ）
A 、()x d A ∈当且仅当(,{})0x A x ρ-=
B 、()x d A ∈当且仅当(,)0x A ρ=
C 、对x A ∀∈，且有(,)B x A εφ⋂≠，则A 为X 中的一个开集
D 、x A ∈当且仅当(,)0x A ρ=
填空题
若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称 是一个 可分空间 。

拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映下的象所具有，则称这个性质是一个 在连续映射下保持不变的性质 。

实数空间 中的有理数集Q ，则()d Q = 。

设Y 是拓扑空间(,)X J 的一个子空间，则Y 的拓扑为 |Y J 。

实数空间 的一个基是 {(
,)|,a b a b ∈ 且}a b < 。

设X 是一个拓扑空间，D X ⊂，若D 是X 的一个稠密子集，则D = X 。

设X 是一个拓扑空间，C 是X 的一个连通分支，则C = C 。

名词解释
紧致空间：
设X 是一个拓扑空间，如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个紧致空间。

同胚映射：
设X 与Y 是两个拓扑空间，如果:f X Y →是一个一一映射，并且f 与1:f Y X -→都是连续的，则称f 是一个同胚映射。

不连通空间：
设X 是一个拓扑空间，如果X 中的有两个非空的隔离子集A 和B ，使得X A B = ，则称拓扑空间X 是一个不连通空间。

证明题:
设(,)X ρ是一个离散的度量空间，证明：
（1）X 的每一个子集都是开集
（2）若Y 也是一个度量空间，则任何映射:f X Y →都是连续的
证明：（1）对X 中的任意一个子集U
x U ∀∈，令11(,){|(,)}22
B x y X x y ρ=∈< 又 X 是一个离散的度量空间
∴ 当x y ≠时 (,)1x y ρ=
1(,){}2
B x x ∴= 1(,)2
x B x ∴∈⊂⋃ 从而U 是X 中的开集 （2）对Y 中的任意一个开集V ，1()f V -是X 中的一个子集
X 是一个离散的度量空间。

由（1）知：1()f V -是X 中的开集
f ∴是一个连续映射
设{,,}X a b c =，{,,{,},{}}J X a b b φ=
（1）验证J 是X 的一个拓扑
（2））若{,}A b c =，求()d A
证明： （1）,X J φ∈
{,}{}{}a b b b J ⋂=∈
{,}{}{,}a b b a b J ⋃=∈
J ∴是X 的一个拓扑
（2）对点a ，对点a 的任意邻域U ，都有
{,}a a b U ∈⊂，而({}){,}({})U A a a b A a φ⋂-⊃⋂-≠
()a d A ∴∈
对点b {}b J ∈ {}b ∴为点b 的一个开邻域
且{}({})b A b φ⋂-= ()b d A ∴∉
对于点c ，其只有一个邻域X ，且({})x A c φ⋂-≠
()c d A ∴∈
(){,}d A a c ∴=
设X 和Y 是两个拓扑空间，:f X Y →，证明以下两个条件等价
（1）f 连续； （2）对于Y 的每一个子集B ，有1010()(())f
B f B --⊂
证明： （1）⇒（2） 0B B -''=
101111()()()()f B f B f Y B X f B -------'''∴==-=-
又 f 连续
∴对于Y 中的任何一个子集C ，有11()()f C f C --⊃
10111()()()()f B X f B X f B X X f B -----''∴=-⊂-=--
110(())(())f B f B ---''==
即 1010()(())f B f B --⊂成立
（2）⇒（1），对Y 的任何一个子集B ，1010()(())f B f B --⊂成立
11()(())f B f B ----''''∴⊂
11()(())X f B X f B ----''∴-⊂-
111()(())(())f B f B f B ------'''∴⊃=
令A B '=，则A 是Y 中的一个子集，且11()()f
A f A ---⊃
由B 的任意性可知A 的任意性 f ∴是连续的
设Y 是拓扑空间X 的一个子集，证明：Y 是X 的一个不连通子集，当且仅当X 中存在两个非空集合A 和B ，使得,,Y A B A B Y A φφ⊂⋃⋂=⋂≠和Y B φ⋂≠成立。

证明：充分性：Y A B ⊂⋃ Y A B A B
∴⊂⋃=⋃ 令1A Y A =⋂，2A Y B =⋂
则 12Y A A =⋃
A B φ⋂=
12A A Y A Y B A B Y φ∴⋂=⋂⋂⋂=⋂⋂=
………………
必要性：Y 是X 的一个不连通子集 则存在Y 中的两个非空隔离子集1,A B ，使得：
11Y A B =⋃
且11,A B 为Y 中的两个闭子集
从而11,A B 为X 中的两个闭子集
1111,,A B Y A Y B φφφ∴⋂=⋂≠⋂≠
设X 和Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个连续映射，证明：如果X 是一个Lindel öff 空间，则()f X 也是一个Lindel öff 空间。

证明：:f X Y → 是一个连续映射
:()f X f X ∴→也是一个连续映射
设A 为()f X 的任意一个开覆盖，即
()A f X U A ∈⊂A
1
1()()A A X f U A U f A --∈∈∴⊂=A A ∵ f 连续 A ∴∀∈A ，1()f
A -是X 中的开集 1()A U f A -∈∴A 是X 的一个开覆盖
又X 是Lindel öff 空间
∴ 存在一个可数子覆盖
1⊂A A 使得： 11()A U f A X -∈⊃A
………………..
()f X ∴也是Lindel öff 空间。