拓扑学基础复习题

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大学拓扑学入门练习题

大学拓扑学入门练习题1. 绘制拓扑空间给定一个拓扑空间X，根据以下要求，绘制出X的拓扑结构图。

1.1 X是一个有限集合，所有的子集都是X的开集。

1.2 X是一个无限集合，空集和X本身是X的开集。

1.3 X是一个无限集合，空集和X本身以外的有限子集都是X的闭集。

2. 判断拓扑关系给定一个拓扑空间X和集合A，判断以下拓扑关系是否成立，并简要说明理由。

2.1 A是X的子集，则A是X中的闭集。

2.2 A是X的子集，则A是X中的开集。

2.3 A是X的闭集，则A是X的子集。

2.4 A是X的开集，则A是X的子集。

2.5 A和X-A都是X的闭集，则A是X的子集。

2.6 A和X-A都是X的开集，则A是X的子集。

3. 证明定理根据拓扑学的基本定理，证明以下定理。

定理：在拓扑空间X中，如果U是X的开集，而A是X的闭集，则U-A是X的开集。

证明：首先，根据定理的前提条件，有U是X的开集，且A是X的闭集。

由定义可知，A的补集X-A是X的开集。

考虑U-A，根据集合的运算法则，U-A = U ∩ (X-A)。

由于U是开集，X-A是开集，根据拓扑学中开集的交集仍为开集的性质，可得U-A是X的开集。

综上所述，定理得证。

4. 寻找连通分量给定下图所示的拓扑空间X，请确定X的所有连通分量。

```A----B----C| | |D----E F|G```根据图示，边连接的节点表示相邻关系，每个节点代表一个集合。

连通分量是指在一个拓扑空间中，由任意两点之间连通的所有点所构成的集合。

请根据图示，列举出X的所有连通分量。

5. 类化空间给定一个拓扑空间X和一个等价关系~，其中a~b代表a和b在拓扑空间X中具有相同的邻域结构。

5.1 证明~是X上的一个等价关系。

证明：为证明~是X上的一个等价关系，需要满足以下条件：（i）自反性：对于任意a∈X，都有a~a。

（ii）对称性：对于任意a, b∈X，如果a~b，则b~a。

（iii）传递性：对于任意a, b, c∈X，如果a~b且b~c，则a~c。

《拓朴学》题库及答案

《拓扑学》题库及答案一、单项选择1．关于笛卡儿积，下面等式成立的是（A ）)()()()(D B C A D C B A ⨯-⨯=-⨯- （B ）)()()()(D C B A D B C A I I I ⨯=⨯⨯ （C ）)()()()(D B C A D C B A ⨯⨯=⨯Y Y Y （D ）D B C A ⨯⊆⨯当且仅当D C B A ⊆⊆,2．设Y X f →:是映射，)(,,X B A P ∈，)(,Y D C P ∈，则下面结论不成立的是：（A ）)()()(111D f C f D C f ---=Y Y （B ）)()()(111D f C f D C f---=I I（C ）)()()(B f A f B A f Y Y = （D ）)()()(B f A f B A f I I =3．在字典序拓扑空间++⨯Z Z 中，子集+⨯Z }2{是：（A ）开集，非闭集（B ）闭集，非开集（C ）即开，且闭集（D ）即非开集，也非闭集4．设R R →2:d 为映射，（R 表示实数集合），R ∈∀y x ,，下面关于d 的定义中是R 的度量的是：（A ）2(,)()d x y x y '=- （B ）22),(y x y x d -=（C ）||||),(y x y x d += （D ）⎩⎨⎧=≠=yx yx y x d 01),(5．设)T ,(X 是平庸拓扑空间，b a X b a ≠∈,,，则交错序列Λb a b a ,,,在拓扑空间)T ,(X 中的收敛点集合是：（A ）∅ （B ）}{a （C ）},{b a （D ）X6．设}},{},{,,{},3,2,1{},,,{1b a a X Y c b a X ∅===T ，}}2{},3,2{},2,1{,,{2Y ∅=T ，}{b A =，}1{=B ，则在积空间Y X ⨯中B A ⨯等于（A ）)}1,{(b （B ）)}1,(),1,{(c b（C ）)}2,(),1,{(b b （D ）)}2,(),1,(),2,(),1,{(c c b b7．设},,,{d c b a X =，{,,{,,},{,,},{,}}x a b c b c d b c =∅T ，},,{d c a Y =，},{c a A =，则在子空间Y 中A 的内部等于：（A ）∅ （B ）}{a （C ）}{c （D ）},{c a8．拓扑空间的Lindel öff 性，可分性，紧致性，完全正则性中是有限可积性质的有：（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个 9．下列拓扑空间的蕴涵关系中，成立的有完全正则空间⇒正则空间，完全正则空间⇒正规空间，连通空间⇒局部连通空间，度量空间⇒可分空间，度量空间⇒Lindel öff 空间（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个10．拓扑空间的可分性，紧致性，Lindel öff 性，连通性中在连续射下保持不变的性质有：（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个 11．设X X R ⨯⊆是一个等价关系，则R 不满足的条件是（A ）R X ⊆∆)( （B ）R ∩R -1=∅ （C ）R R R ⊆ο （D ）1-=R R12．设Y X f →:是映射，)(}|{X J A P ⊆∈αα，)(}|{Y r B r P ⊆Γ∈则下面等式中不成立的是（A ）)()(ααααA f A f JJ∈∈=Y Y （B ）)()(ααααA f A f JJ∈∈=II（C ）)()(11r r r r B f B f-Γ∈Γ∈-=Y Y （D ）)()(11r r r r B f B f -Γ∈Γ∈-I I13．在字典序拓扑空间++⨯Z Z 中，子集+⨯Z }1{是：（A ）开集，非闭集（B ）闭集，非开集（C ）即开，且闭集（D ）即非开集，亦非闭集14．设},,{c b a X =，}},{},{,,{b a a X ∅=T ，则在拓扑空间)T ,(X 中常值序列Λ,,a a 的收敛点集合是（A ）}{a （B ）},{c a （C ）},{b a （D ） X15．设},,{c b a X =，}3,2,1{=Y ，}{},{},{,,{c b a X ∅=1T ，}}3,2{},2{},2,1{,,{Y ∅=2T ，}2,1{},,{==B b a A ，则在积空间Y X ⨯中，0)(B A ⨯等于：（A ）∅ （B ）}{)2,(),1,(a a （C ）}{)2,(),1,(b b （D ）}{)2,(),1,(),2,(),1,(b b a a16.设},,,{d c b a X =，}},{},,,{},,,{,,{d c d c a d c b X ∅=T ，}{},,,{c A d c a Y ==，则在子空间Y 中，A 的闭包等于（A ）}{c （B ）},{a c （C ）},{b c （D ）},,{c d a17．设)T ,(X 是拓扑空间，)T ,(X 是可度量空间是指存在X 的度量R →2:X d 使得由d 诱导的拓扑d T 满足： (A)T T ⊆d (B)d T T ⊆ (C)d T T = (D))(X P T d = 18．拓扑空间的可分性，Lindel öff 性, 正规性、完全正则性中是遗传性质的有（A ）1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 19．下列拓扑空间的蕴涵关系中成立的有满足第二可数理空间⇒可分空间度量空间⇒Lindel öff 空间正规空间⇒完全正则空间度量空间⇒满足第一可数公理空间正规空间⇒正则空间完全正则空间⇒正则空间（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个20．设),(T X 是拓扑空间，则对X 中任意两个不相交闭集B A ,存在连续映射]1,0[:→X f 使得}0{)(⊆A f ，}1{)(⊆B f 当且仅当),(T X 是：（A ）正则空间（B ）完全正则空间（C ）正规空间（D ）4T 空间 21．设X 是全集，,()A B X ∈P ，A B ⊆则当且仅当（A ）∅='B A I （B ）∅='B A I （C ）A B A =Y （D ）B B A =I 22．设Y X f →:是映射，,()A B y ∈P ，则下面结论不成立的是（A ）)()()(111B f A f B A f ---=Y Y （B ）111()()()f A B f A f B ---=I I （C ）)()()(111B f A fB A f----=- （D ）()B B f f =-)(123．在字典序拓扑空间+⨯Z }2,1{中，子集+⨯Z }2{是（A ）开集，非闭集（B ）闭集，非开集（C ）即开，且闭集（D ）即非开集，亦非闭集 24．定义度量R R R →⨯22:d ，),(21x x x =∀，221),(R ∈=y y y ，}{|||,|m ax ),(2211y x y x y x d --=，则度量空间（d ,2R ）中的单位球是（A （B ）（C （D ）25．设)T ,(X 是离散拓扑空间，b a X b a ≠∈,,, 则在)T ,(X 中交错序列Λb a b a ,,,的收敛点集合是（A ）∅ (B) }{a (C) },{b a (D)X26．设},,,,{d c b a X =}},{},,,{},,,{,,{c b d c b c b a X T ∅=，},,{c b a Y =，}{b A =，则在子空间Y 中A 的闭包等于（A ）}{b （B ）},{b a （C ）},{c b （D ）},,{c b a27．设}3,2,1{},,,{==Y c b a X ，}{,,{,},{},{,}X a b b b c =∅1T ，}{}2,1{},1{,,2Y ∅=T ，},{c b A =，}3,1{=B 则在积空间Y X ⨯中()o A B ⨯等于（A ）∅ （B ）}{)2,(),1,(b b （C ）}{)1,(),1,(c b （D ）}{(,1),(,2),(,1),(,2)b b c c28．拓扑空间的连通性、紧致性、可分性、完全正则性，Lindel öff 性，满足第二可数公理性中是可遗传性质的有（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个 29．下列拓扑空间之间的蕴涵关系中成立的有：满足第二可数合理空间⇒可分空间，度量空间⇒满足第一可数公理空间完全正则空间⇒正则空间，紧致空间⇒Lindel öff 空间（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个}0{)(⊆A f ，}1{)(⊆B f 当且仅当),(T X 是：（A ）正则空间（B ）完全正则空间（C ）正规空间（D ）4T 空间 31．设f Y X f ,⨯⊆是映射，则f 满足的条件是（A ）X Y f =-)(1；如果f y x y x ∈),(),,(21，则21y y =（B ）X Y f=-)(1；如果f y x y x ∈),(),,(21，则21x x =（C ）Y X f =)(；如果f y x y x ∈),(),,(21，则21y y = （D ）Y X f =)(；如果f y x y x ∈),(),,(21，则21x x =32．设,,(),,(),R X Y A B Y C D X ⊆⨯∈∈P P 则下面等式成立的是（A ）)()()(111B R A R B A R---=Y Y （B ）)()()(111B R A R B A R ---=I I（C ）)()()(D R C R D C R I I = （D ）)()()(D R C R D C R -=- 33．在字典序拓扑空间+⨯Z }2,1{中，子集+⨯Z }2{是（A ）开集，非闭集（B ）闭集，非开集（C ）即开，且闭集（D ）即非开集，亦非闭集 34．设),(d X 是度量空间，d T 是X 的由d 诱导的拓扑，dU ∈T ，则下列关于U 的结论不正确的是（A ）存在0,>∈εX x 使得),(εx B U =（B ）+∈∃∈∀Z n U x ,使得U nx B ⊆)1,(（C ）0,>∃∈∀εU x 使得U x B ⊆),(ε（D ）存在}0,|),({>∈⊆εεX x x B U B 使得U U =U B35．设},,,{c b a X =}{},{},{,,{b a a X ∅=T ，则在拓扑空间),(T X 中常值序列,,,a a a …的收敛点集合是（A ）}{a （B ）},{c a （C ）},{b a （D ）X36．设},,,{c b a X =}},{},,,{},,,{,,{c b d c b c b a X ∅=T ，},,,{d c a Y =},{c a A =，则在子空间Y 中A 的内部是（A ）∅ （B ）}{a （C ）}{c （D ）},{c a37．设},,,{c b a X =},3,2,1{=Y }},{},{,,{b a a X ∅=1T ，}}3,2{},2{},2,1{,,{2Y ∅=T ，}1{},{==B b A ，则在积空间Y X ⨯中，B A ⨯等于（A ）)}1,{(b （B ）)}1,(),1,{(c b（C ）)}2,(),1,{(b b （D ）)}2,(),1,(),2,(),1,{(c c b b38．拓扑空间的可分性，Lindel öff 性，紧致性，正规性，连通性中是有限可积的性质有：（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个 39．下列拓扑空间之间的蕴涵关系中成立的有正规空间⇒正则空间完全正则空间⇒正则空间局部连通空间⇒连通空间满足第二可数公理空间⇒可分空间度量空间⇒满足第一可数公理空间度量空间⇒可分空间}1{)(,0)(⊆=A f x f 当且仅当),(T X 是（A ）1T 空间（B ）正规空间（C ）完全正则空间（D ）4T 空间二．证明题1.设Y X ,是两个拓扑空间，Y X f →:是映射，证明若f 是连续映射，则)(Y B Ρ∈∀，11()(())o o fB f B --⊆。

大学数学拓扑真题试卷

大学数学拓扑真题试卷# 大学数学拓扑真题试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 拓扑空间中的开集，其任意并集还是开集。

这个性质称为：A. 并集公理B. 有限覆盖性质C. 邻域系统D. 闭集性质2. 在度量空间中，下列哪一项不是完备性的定义？A. 任何柯西序列都收敛B. 空间中的每个闭子集都是完备的C. 空间中的每个有界序列都有收敛子序列D. 空间是完备的3. 以下哪个概念不是拓扑空间的基本元素？A. 点B. 开集C. 距离D. 邻域4. 连续映射的定义是：A. 映射的逆像包含开集B. 映射的逆像是闭集C. 映射的逆像包含闭集D. 映射的逆像是邻域5. 以下哪个命题是正确的？A. 任何有限个开集的并集是开集B. 任何无限个开集的交集是开集C. 任何有限个闭集的并集是闭集D. 任何无限个闭集的交集是闭集6. 拓扑空间中的紧性是指：A. 空间是局部紧的B. 空间中任意开覆盖都有有限子覆盖C. 空间是度量空间D. 空间是可分的7. 以下哪个命题是闭区间套定理？A. 闭区间套的交集可能是空集B. 闭区间套的交集至少包含一个点C. 闭区间套的交集是开集D. 闭区间套的交集是闭集8. 度量空间中的完备性与紧性的关系是：A. 完备性蕴含紧性B. 紧性蕴含完备性C. 完备性与紧性无关D. 完备性与紧性总是等价的9. 以下哪个命题是正确的？A. 任何紧空间都是可分的B. 任何可分空间都是紧的C. 任何紧空间都是度量空间D. 任何度量空间都是紧的10. 同胚空间具有相同的：A. 维数B. 体积C. 面积D. 长度二、简答题（每题10分，共20分）1. 简述什么是同胚，并给出一个例子说明两个空间如何是同胚的。

2. 解释什么是紧空间，并给出一个例子说明一个空间是紧的。

三、证明题（每题15分，共30分）1. 证明：在度量空间中，如果一个序列的每个元素都包含在某个紧子集中，那么这个序列有一个收敛子序列。

2. 证明：在欧几里得空间中，闭区间是紧的。

拓扑学考试题及答案

拓扑学考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 拓扑空间中，开集的补集是：A. 闭集B. 既开又闭集C. 非开集D. 非闭集答案：A2. 以下哪个概念不是拓扑学中的基本元素？A. 开集B. 连续函数C. 极限点D. 线性方程答案：D3. 拓扑空间中，两个开集的交集仍然是：A. 开集B. 闭集C. 既开又闭集D. 非开集答案：A4. 拓扑空间中，一个集合是连通的，当且仅当它不能表示为两个非空不相交开集的并集。

以下哪个集合不是连通的？A. 一个区间B. 两个不相交的区间的并集C. 一个单点集D. 一个空集答案：B5. 拓扑空间中的紧致性意味着：A. 每个开覆盖都有有限子覆盖B. 每个闭覆盖都有有限子覆盖C. 每个开覆盖都有有限子覆盖或闭覆盖D. 每个闭覆盖都有有限子覆盖或开覆盖答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 如果拓扑空间X中的每个点都有一个邻域，该邻域与X同胚，则称X是________。

答案：局部连通的2. 拓扑空间X中的点x称为________，如果X中包含x的每个开集也包含该序列的某个项。

答案：序列极限点3. 拓扑空间X中的点x称为________，如果对于x的每个邻域U，都存在一个点y≠x，使得y也在U中。

答案：凝聚点4. 如果拓扑空间X中的每个序列都有一个收敛的子序列，则称X是________。

答案：序列紧致的5. 拓扑空间X中的点x称为________，如果对于x的每个邻域U，都存在一个不包含x的开集V，使得V⊆U。

答案：孤立点三、简答题（每题10分，共20分）1. 描述拓扑空间中的紧性与序列紧致性之间的关系。

答案：在Hausdorff空间中，紧性等价于序列紧致性。

这意味着如果一个Hausdorff空间中的每个序列都有一个收敛的子序列，则该空间是紧的，反之亦然。

2. 解释什么是同胚映射，并给出一个例子。

答案：同胚映射是两个拓扑空间之间的双射函数，它既是连续的，其逆映射也是连续的。

拓扑试题及答案

拓扑试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 拓扑空间中，任意两个开集的并集还是开集，这是拓扑空间的哪个公理？A. 任意并集公理B. 有限并集公理C. 有限交公理D. 任意交公理答案：A2. 连续映射的定义是？A. 映射的逆映射是连续的B. 映射的原像与像的连续性一致C. 映射的像与原像的连续性一致D. 映射的原像与像的连续性不一致答案：B3. 在拓扑学中，一个空间的基是什么？A. 空间中所有开集的集合B. 空间中所有闭集的集合C. 空间中所有单点集的集合D. 空间中所有有限集的集合答案：A4. 拓扑空间中，一个集合的闭包是指什么？A. 集合本身B. 集合的内部C. 包含集合的所有极限点D. 集合的外部答案：C5. 什么是紧致性？A. 空间中任意开覆盖都有有限子覆盖B. 空间中任意闭覆盖都有有限子覆盖C. 空间中任意开覆盖都有无限子覆盖D. 空间中任意闭覆盖都有无限子覆盖答案：B二、填空题（每题2分，共10分）1. 如果拓扑空间X的任意开覆盖都有一个有限子覆盖，则称X是________。

答案：紧致的2. 拓扑空间中，如果一个映射是连续的，那么它的逆映射也是________。

答案：连续的3. 在拓扑空间X中，如果存在一个开集U包含点x，使得x是U的极限点，则称x是X的________。

答案：累积点4. 拓扑空间X的基B，如果X中任意开集都可以表示为B中开集的并集，则称B是X的一个________。

答案：基5. 如果拓扑空间X的任意子集的闭包都是闭集，则称X是________。

答案：T1空间三、简答题（每题5分，共20分）1. 请简述什么是拓扑空间？答案：拓扑空间是一个集合X，配合一个定义在其上的拓扑结构，这个结构由X的子集构成，满足任意并集公理、有限交公理和空集与全集为开集的条件。

2. 什么是连续映射？答案：连续映射是指在拓扑空间X和Y之间定义的映射f，对于Y中的任意开集V，其原像f^(-1)(V)在X中也是开集。

拓扑学复习题与参考答案

点集拓扑学练习题一、单项选择题（每题2分）1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（）是X 上的拓扑.① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（）①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d8、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（）①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d9、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（）①φ ② X ③ {}a ④ {}b10、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =（）①φ ② X ③ {}a ④ {}b11、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（）①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d12、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =（）①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d13、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 414、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 415、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（）① 0 ② 1 ③ 2 ④ 316、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（）① 0 ② 1 ③ 2 ④ 317、设{,}X a b =，拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 418、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 419、在实数空间中，有理数集Q 的内部Q 是（）① φ ② Q ③ R -Q ④ R20、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ∂是（）① φ ② Q ③ R -Q ④ R21、在实数空间中，整数集Z 的内部Z 是（）① φ ② Z ③ R -Z ④ R22、在实数空间中，整数集Z 的边界()Z ∂是（）① φ ② Z ③ R -Z ④ R23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（）① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1)24、在实数空间中，区间[2,3)的边界是（）① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3)25、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（）① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1)26、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（） ① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =27、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（） ① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =28、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（）① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃29、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（） ① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X =30、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是（）① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠31、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（）① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X =③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A =32、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（）① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }}② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }}④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }}33、设X 是至少含有两个元素的集合，p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑，则（）是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈-34、设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（）以{,,{}}S X a φ=为子基.① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝（） ①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A39、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（）① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集40、在实数空间R 中，下列集合是开集的是（）① 整数集Z ② 有理数集③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 442、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（）① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有（）个① 3 ② 5 ③ 7 ④ 944、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈ ④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈45、在实数下限拓扑空间R 中，区间[,)a b 是（）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭46、设X 是一个拓扑空间，,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是（）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ=48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2,3}A =,则X 的子空间A的拓扑为( )① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ=50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ=③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ=52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ=53、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（）① {,}T Z φ= ② ()T P Z =③ T Z = ④ {}T Z =54、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射，则1P 是（）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射55、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射，则2P 是（）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射56、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射，则3P 是（）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射57、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射，则4P 是（）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射58、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射，则5P 是（）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射59、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射，则6P 是（）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射60、设1X 和2X 是两个拓扑空间，12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂，2B X ⊂，则有（） ① A B A B ⨯≠⨯ ② A B A B ⨯=⨯③()A B A B ⨯≠⨯ ④ ()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂61、有理数集Q 是实数空间R 的一个（）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对62、整数集Z 是实数空间R 的一个（）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对63、无理数集是实数空间R 的一个（）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集65、设12,X X 是平庸空间，则积空间12X X ⨯是（）① 离散空间 ② 不一定是平庸空间③ 平庸空间 ④ 不连通空间66、设12,X X 是离散空间，则积空间12X X ⨯是（）① 离散空间 ② 不一定是离散空间③ 平庸空间 ④ 连通空间67、设12,X X 是连通空间，则积空间12X X ⨯是（）① 离散空间 ② 不一定是连通空间③ 平庸空间 ④ 连通空间68、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对70、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点71、下列叙述中正确的个数为（）（Ⅰ）单位圆周1S 是连通的；（Ⅱ）{0}R -是连通的（Ⅲ）2{(0,0)}R -是连通的（Ⅳ）2R 和R 同胚① 1 ② 2 ③ 3 ④ 472、实数空间R ( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对73、整数集Z 作为实数空间R 的子空间（）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对74、有理数集Q 作为实数空间R 的子空间（）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对75、无理数集作为实数空间R 的子空间（）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对76、正整数集Z +作为实数空间R 的子空间（）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对77、负整数集Z -作为实数空间R 的子空间（）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对78、2维欧氏间空间2R （）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对79、3维欧氏间空间3R （）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对80、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）① 平庸性 ② 连通性③ 离散性 ④ 第一可数性公理81、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）① 第一可数性公理 ② 连通性③ 第二可数性公理 ④ 平庸性82、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）① 第一可数性公理 ② 可分性③ 第二可数性公理 ④ 离散性83、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）① 平庸性 ② 可分性③ 离散性 ④ 第二可数性公理84、设X 是一个拓扑空间，若对于,,x y X x y ∀∈≠,均有{}{}x y ≠,则X 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对85、设{1,2}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对86、设{1,2}X =，{,,{2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 道路连通空间87、设{1,2,3}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对88、设{1,2,3}X =，{,,{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对89、设{1,2,3}X =，{,,{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对90、设{1,2,3}X =，{,,{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对91、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对92、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，则X 是（）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间93、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个有限子集都是闭集，则X 是（）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间94、设X 是一个拓扑空间，若对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间95、设X 是一个拓扑空间，若对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，都存在A的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间96、设{1,23}X =，，{,,{1},{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间97、设{1,23}X =，，{,,{2},{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间98、设{1,23}X =，，{,,{3},{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正则空间99、设{1,23}X =，，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间100、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间101、设{1,23}X =，，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间102、若拓扑空间X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个（）① 连通空间 ② 道路连通空间 ③ 紧致空间 ④ 可分空间103、紧致空间中的每一个闭子集都是（）① 连通子集 ② 道路连通子集 ③ 紧致子集 ④ 以上都不对104、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是（）① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对105、紧致的Hausdorff 空间中的紧致子集是（）① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对106、拓扑空间X 的任何一个有限子集都是（）① 连通子集 ② 紧致子集 ③ 非紧致子集 ④ 开集107、实数空间R 的子集{1,2,3}A =是（）① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集108、实数空间R 的子集{1,2,3,4}A =是（）① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集109、如果拓扑空间X 的每个紧致子集都是闭集，则X 是（）① 1T 空间 ② 紧致空间 ③ 可数补空间 ④ 非紧致空间二、填空题（每题2分）1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ;4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是___________.5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;6、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则()d A= ;7、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则A= ;8、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则()d A= ;9、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则A= ;10、设{1,2,3}X=,X的拓扑{,,{2},{2,3}}=,则X的子集{1,2}A=的内部T Xφ为 ;11、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,3} X=,X的拓扑{,,{1},{2,3}}T Xφ为 ;12、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,2}T XφX=,X的拓扑{,,{1},{2,3}}为 ;13、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,3} X=,X的拓扑{,,{2},{2,3}}T Xφ为 ;14、设{,,}=,则X的平庸拓扑为 ;X a b c15、设{,,}=,则X的离散拓扑为 ;X a b c16、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,3}T XφX=,X的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}为 ;17、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,2}T XφX=,X的拓扑{,,{1},{3},{1,3}}为 ;18、:f X Y→是拓扑空间X到Y的一个映射，若它是一个单射，并且是从X到它的象集()f X的一个同胚，则称映射f是一个 .19、:f X Y→是拓扑空间X到Y的一个映射，如果它是一个满射，并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑，则称f是一个 .20、设,→是一个映射，若X中任何一个开集U的象集X Y是两个拓扑空间，:f X Yf U是Y中的一个开集，则称映射f是一个;()21、设,→是一个映射，若X中任何一个闭集U的象集X Y是两个拓扑空间，:f X Y()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个 ;22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个；23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个；24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个；25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个 ;26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个；27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个；28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ，则性质P 称为 ;29、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个；30、若12,X X 满足第一可数性公理，则积空间12X X ⨯满足 ;31、若12,X X 满足第二可数性公理，则积空间12X X ⨯也满足 ;32、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子空间也具有性质P ,则称性质P为 ;33、设D 是拓扑空间X 的一个子集，且D X =,则称D 是X 的一个；34、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个；35、设X 是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称X 是一个；36、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个开子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;37、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;38、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个0T 空间;39、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个1T 空间;40、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个2T 空间;41、正则的1T 空间称为；42、正规的1T 空间称为；43、完全正则的1T 空间称为；44、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 .45、设X 是一个拓扑空间，Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间，则称Y 是拓扑空间X 的一个 .46、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 .47、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一个 .48、设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X 是一个 .三．判断（每题3分，判断1分，理由2分）1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（）4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （）5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （）6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （）7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=（）8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )9、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（）10、若拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理（）11、若拓扑空间X 满足第一可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理（）12、设{1,2,3}X =，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是3T 空间.( )13、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=，则(,)X T 是3T 空间.( )14、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是1T 空间.( )15、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是4T 空间.( )16、3T 空间一定是2T 空间.（）17、4T 空间一定是3T 空间.（）18、设,A B 是拓扑空间X 的两个紧致子集，则A B ⋃是一个紧致子集.( )19、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )四．名词解释(每题2分)1．同胚映射2、集合A 的内点3、集合A 的内部4．拓扑空间(,)T X 的基5．闭包6、序列7、导集8、不连通空间9、连通子集10、不连通子集11、1 A 空间12、2 A 空间13、可分空间14、0T 空间：15、1T 空间：16、2T 空间：17、正则空间：18、正规空间：19、完全正则空间：20、紧致空间21、紧致子集22、可数紧致空间23、列紧空间24、序列紧致空间五．简答题（每题4分）1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z →也是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 是一个闭集，则A 的补集A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 的补集A '是一个开集，则A 是一个闭集.5、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .7、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .8、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .9、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .10、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .11、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .12、离散空间是否为2A 空间?说出你的理由.13、试说明实数空间R 是可分空间.14、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理.15、设X 是一个1T 空间，试说明X 的每一个单点集是闭集.16、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，试说明X 是一个1T 空间.17、设(,)X T 是一个1T 空间，∞是任何一个不属于X 的元素.令*{}X X =⋃∞和*X =⋃*T T {}，试说明拓扑空间*(,)X *T 是一个0T 空间.18、若X 是一个正则空间，试说明：对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.19、若X 是一个正规空间，试说明：对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.20、试说明1T 空间X 的任何一个子集的导集都是闭集.21、试说明紧致空间X 的无穷子集必有凝聚点.22、如果X Y ⨯是紧致空间，则X 是紧致空间.23、如果X Y ⨯是紧致空间，则Y 是紧致空间.24、试说明紧致空间X 的每一个闭子集Y 都是紧致子集.六、证明题（每题8分）1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集.2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个连通子集.5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族.如果Y γγφ∈Γ≠,则Y γγ∈Γ是X 的一个连通子集.6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集，B 是X 的一个既开又闭的集合.证明：如果A B φ⋂≠,则A B ⊂.7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ∂≠.8、设X 是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X 不满足第一可数性公理.9、设X 是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X 不满足第一可数性公理.10、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第二可数性公理，证明：Y 也满足第二可数性公理.11、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第一可数性公理，证明：Y 也满足第一可数性公理.12、A 是满足第二可数性公理空间X 的一个不可数集。

答案-拓扑学基础

东北大学秦皇岛分校课程名称：拓扑学基础（答案）试卷： A 考试形式：闭卷授课专业：数学与应用数学考试日期： 2013年 7月试卷：共 3 页一、填空题：（每空2分，共20分）1．设{1,2,3}X =，写出5个拓扑，使得每个拓扑中的所有集合按包含关系构成一个升链平凡拓扑，{,,{3},{1,3}}X ∅，{,,{1}}X ∅， {,,{2}}X ∅，{,,{3}}X ∅。

（注：答案不唯一，正确即可）2. 汉字“东” 的连通分支的个数是 3 ，抛物线的连通分支的个数是 1 。

3．字母Y 的割点个数为无穷。

字母T 中指数为3的点个数为 1 。

4．叙述同胚映射的定义拓扑空间之间的连续映射称为同胚映射，若它是一一对应且它的逆也是连续的。

二、选择题：（每题2分，共8分） 1．下列说法中正确的是（ B ）A 连通空间一定是道路连通空间B 道路连通空间一定是连通空间C 道路连通空间一定局部道路连通D 以上说法都不对 2．下列说法正确的是（ A ）A 紧空间的闭子集紧致B 紧致空间未必局部紧致C 有限空间一定不紧致D 列紧空间是紧致空间 3．下列说法错误的是（ A ）A 离散空间都是1T 空间B 2T 空间中单点集是闭集C ¡赋予余有限拓扑不是2T 空间D 第二可数空间可分 4．下列不具可乘性的是（ D ）A 紧致性B 连通性C 道路连通性D 商映射三、计算题：（共16分）1．在¡上赋予余有限拓扑，记¤为有理数集合，[0,1]I =。

试求'¤和I 。

（4分）答：'=ぁ，I =¡。

2．确定欧式平面上子集22{(,)|01}A x y x y =<+≤的内部、外部、边界和闭包。

（8分）答：内部，22{(,)|01}x y x y <+<；外部，22{(,)|1}x y x y <+ 边界，22{(,)|1}x y x y +=；闭包 A A =。

点集拓扑考试题及答案

点集拓扑考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 点集拓扑中，下列哪个概念不是拓扑空间的公理之一？A. 开集的任意并集仍是开集B. 空集和整个空间是开集C. 有限个开集的交集仍是开集D. 任意多个开集的交集仍是开集答案：D2. 在拓扑空间中，若集合A是集合B的闭包，则以下哪个说法是正确的？A. A是B的子集B. B是A的子集C. A和B互为子集D. A和B没有交集答案：A3. 拓扑空间中，连续函数的定义是？A. 函数的值域是连续的B. 函数的图像是连续的C. 函数的逆映射是开集D. 函数的逆映射是闭集答案：C4. 拓扑空间中的紧性是指？A. 每个开覆盖都有有限子覆盖B. 每个闭覆盖都有有限子覆盖C. 每个开覆盖都有开子覆盖D. 每个闭覆盖都有闭子覆盖答案：B5. 拓扑空间中的连通性是指？A. 空间不能被分割成两个不相交的非空开集B. 空间不能被分割成两个不相交的非空闭集C. 空间不能被分割成两个不相交的非空子集D. 空间不能被分割成两个不相交的非空有限集答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 在拓扑空间中，若集合A是集合B的内部，则A是B的______。

答案：开子集2. 拓扑空间中的闭集是指其补集是______。

答案：开集3. 拓扑空间中的邻域是指包含某点的______。

答案：开集4. 拓扑空间中的序列收敛是指序列的极限点是唯一的，并且该极限点属于序列的______。

答案：闭包5. 拓扑空间中的紧集是指其任意开覆盖都有______。

答案：有限子覆盖三、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述拓扑空间中极限点的定义。

答案：在拓扑空间中，如果点x的每个邻域都至少包含一个不同于x 的点y，则称x为集合A的极限点。

2. 请简述拓扑空间中紧集和列紧集的区别。

答案：紧集是指每个开覆盖都有有限子覆盖的集合，而列紧集是指每个序列都有收敛子序列的集合。

在有限维欧几里得空间中，紧集和列紧集是等价的，但在无限维空间中，列紧集是紧集的更强条件。

拓扑学基础试题及答案

拓扑学基础试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 拓扑空间中，以下哪个概念不是基本的？A. 开集B. 闭集C. 连续函数D. 距离函数答案：D2. 以下哪个选项不是拓扑空间的性质？A. 空集和整个空间是开集B. 任意开集的并集是开集C. 有限个开集的交集是开集D. 任意集合的补集是闭集答案：D3. 在拓扑学中，两个拓扑空间之间的映射被称为？A. 同胚B. 连续映射C. 同伦D. 同调答案：B4. 拓扑空间中的邻域系统是指？A. 包含某点的所有开集的集合B. 包含某点的任意集合的集合C. 包含某点的有限个开集的交集D. 包含某点的任意开集答案：A5. 拓扑空间中的连通性是指？A. 空间不能被分割成两个不相交的非空开集B. 空间中的任意两点都可以通过连续路径相连C. 空间中的任意两点都可以通过直线相连D. 空间中的任意两点都可以通过曲线相连答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 如果拓扑空间中任意两个不同的点都存在不相交的邻域，则称该空间为________。

答案：豪斯多夫空间2. 拓扑空间中的紧致性是指该空间的任意开覆盖都有________。

答案：有限子覆盖3. 拓扑空间中的连通空间是指不能表示为两个不相交的非空开集的并集的空间，这种性质也称为________。

答案：不可分割性4. 拓扑空间中的基是指由开集构成的集合，使得空间中的每一个开集都可以表示为基中集合的________。

答案：并集5. 拓扑空间中的同胚是指两个拓扑空间之间存在一个双射的连续映射，并且其逆映射也是连续的，这种映射也称为________。

答案：同胚映射三、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述拓扑空间中闭集的定义。

答案：在拓扑空间中，如果一个集合的补集是开集，则称该集合为闭集。

2. 请解释什么是拓扑空间中的同伦等价。

答案：如果存在两个拓扑空间之间的连续映射，使得这两个映射的复合与各自空间上的恒等映射是同伦的，则称这两个空间是同伦等价的。

拓扑学基础

拓扑学基础拓扑学基础（数学教育本科）试卷复习题一、单项选择题（每小题2分，共20分）1、设X 是拓扑空间，A 、B ?X ，则下列等式成立的是A 、)()()(B A d B d A d = Ｂ、)())((A d A d d = Ｃ、B A B A = Ｄ、B A B A =２、设Ｒ是实数空间，A=（0，1）是开区间，则A 、]1,0[=AB 、)1,0(=AC 、)1,0[=AD 、]1,0(=A3、如果拓扑空间X 中每一个单点集都是闭集，那么A 、X 是T 0空间，非T 1空间B 、X 是T 1空间C 、X 是正则空间D 、X 是正规空间4、下列哪个条件成立时，拓扑空间X 是连通空间A 、X 中不存在两个非空的开子集A 、B ，使得：φ=B A ，且X B A = 成立B 、X 中存在两个非空的闭子集A 、B ，使得：φ=B A 且X B A = 成立C 、X 中存在着一个既开又闭的非空真子集D 、存在X 的子集A 、B ，使得X=B A5、设R 是实数空间，X 是含多于一点的离散空间，则A 、R 是道路连通空间B 、X 是道路连通空间C 、R 是不连通空间D 、X 是连通空间6、下列拓扑空间中，哪个空间不是可分空间A 、实数空间B 、平庸空间C 、包含着不可数多个点的离散空间D 、满足第二可数性公理的空间7、下列有关满足诸分离性公理的拓扑空间类之间的蕴含关系中，能成立的是A 、正规?正则B 、正则?正规C 、正则?T 2D 、完全正则?正则8、下列拓扑性质中，哪一个是可遗传性质A 、第一可数性B 、连通性C 、紧致性D 、可分性9、关于几种紧致性，下列蕴含关系哪一个成立A 、可数紧致?紧致B 、紧致?可数紧致C 、列紧?紧致D 、局部紧致?紧致10、下列命题错误的是A 、A 是闭集?A A =B 、A 是闭集A A d ??)(C 、A 是闭集?A '是开集D 、A 是闭集?A A =5、设R 为实数空间，Z 表示整数集，Z 作为R 的子空间，则A 、Z 是紧致空间B 、Z 是序列紧致空间C 、Z 是列紧空间D 、Z 是可分空间6、在X=},,{c b a 上定义拓扑{,{},{,},{,,}}a b c a b c φ=T ，那么拓扑空间（X ，T ）是A 、T 0空间B 、T 1空间C 、T 2空间D 、非T 0空间二、填空题（每空2分，共20分）11、集合X 是一个可数集当且仅当存在从正整数集Z +到集合X 的一个。

拓扑学基础答案

拓扑学基础（数学教育本科）试卷参考答案一、单项选择题1、C2、A3、B4、A5、A6、C7、D 8、A 9、B 10、D二、填空题11、满射 12、同胚 13、A 的补集A '是一个开集 14 、Y B 15、可分 16、一 17、x 和y 连通18、X ，)(x f 19、Y 中每一个开集U 的原象)(1U f -是X 中的一个开集三、名词解释题1、如果存在一个从集合X 到正整数集Z +的单射，则称集合X 是一个可数集。

2、设X 是一个集合，T 是X 的一个子集族，如果T 满足如下条件：（1）∈φ,X T ，（2）若A ，∈B T ，则∈B A T ，（3）若T ⊂1T ，则1A ∈∈ T T ，则称T 是X 的一个拓扑。

偶对（X ，T ）是一个拓扑空间。

3、设X 和Y 是两个拓扑空间，如果f:X →Y 是一个一一映射，并且f 和f -1:Y →X 都是连续的，则称f 是一个同胚映射。

4、设X 是一个拓扑空间，如果对于任何x 、y ，存在X 中的一条从x 到y 的道路（或曲线），则称X 是一个道路连通空间。

5、一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个A 1空间。

6、一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个A 2空间。

7、设X 是一个拓扑空间，如果X 的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X 是一个Lindel öff 空间。

8、设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各有一个开邻域，它们互不相交，则称拓朴空间X 是一个正则空间。

9、设X 是一个拓扑空间，如果X 的每一个开覆盖有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个紧致空间。

10、设X 是一个拓扑空间，如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个可数紧致空间。

四、判断题1、√2、√3、×4、×5、√6、×7、√ 8、× 9、√ 10、× 11、√ 12、×五、解答与证明题1、解：（1）1T 不是X 的拓扑，这是因为∈},{b a 1T ，∈},{d b 1T ，但∈/=}{},{},{b d b b a 1T（2）2T 是X 的拓扑，满足拓扑的定义2、证∵()()()()A B A B d A B A B d A d B ==B A B d B A d A ==))(())((3、证：∵B B A A B A ⊂⊂ ,，故A B A ⊂ ，B B A ⊂∴B A B A ⊂5、设Y 是紧致空间X 中的一个闭子集，如果A 是Y 的一个覆盖，它由X 中的开集构成，则B =A {Y '}是X 的一个开覆盖，设1B 是2B 的一个有限子族并且覆盖X ，则1B }{Y '-便是A 的一个有限子族并且覆盖Y ，这说明Y 是X 的一个紧致子集。

拓扑空间复习题及答案

拓扑空间复习题及答案# 拓扑空间复习题及答案一、选择题1. 以下哪个不是拓扑空间的公理？A. 并集公理B. 交集公理C. 子集公理D. 空集公理答案：C2. 一个集合和它的幂集构成的拓扑空间是：A. 离散拓扑B. 幂集拓扑C. 可数拓扑D. 欧几里得拓扑答案：A3. 在拓扑空间中，以下哪个概念与开集密切相关？A. 闭集B. 邻域C. 极限点D. 边界点答案：B二、填空题1. 一个集合 \( X \) 上的拓扑 \( \tau \) 必须满足三个条件：\( \emptyset \) 和 \( X \) 属于 \( \tau \)，任意个开集的并集仍属于 \( \tau \)，以及任意有限个开集的\( \)________。

答案：交集2. 在拓扑空间 \( (X, \tau) \) 中，如果 \( A \subseteq X \) 且\( A \) 的任意点都有一个开集 \( U \) 使得 \( U \cap A = A \)，则称 \( A \) 是 \( X \) 中的________。

答案：闭集三、简答题1. 解释什么是连续映射，并给出一个例子。

答案：连续映射是指在拓扑空间 \( (X, \tau_X) \) 和 \( (Y,\tau_Y) \) 之间，如果映射 \( f: X \rightarrow Y \) 满足：对于任意 \( Y \) 中的开集 \( V \)，其逆像 \( f^{-1}(V) \) 是 \( X \) 中的开集，则 \( f \) 是连续的。

例如，考虑实数集\( \mathbb{R} \) 上的欧几里得拓扑，映射 \( f(x) = x^2 \) 是连续的，因为对于任意开区间 \( V \)，其逆像 \( f^{-1}(V) \) 总是\( \mathbb{R} \) 中的开区间。

2. 什么是紧性？请给出一个紧空间的例子。

答案：紧性是拓扑空间的一个性质，指的是空间中的任意开覆盖都存在有限的子覆盖。

拓扑学复习题及答案

拓扑学复习题及答案1. 什么是拓扑空间？请给出拓扑空间的定义。

答：拓扑空间是一个集合X，连同一个子集的集合T（称为开集），满足以下三个条件：(1)空集和X本身都在T中；(2)T中任意有限个开集的交集仍然在T中；(3)T中任意开集的并集也在T中。

2. 什么是连续函数？请给出连续函数的定义。

答：在拓扑空间之间，如果对于每一个开集U⊆Y，其原像f^(-1)(U)是X中的开集，则称函数f: X→Y是连续的。

3. 什么是同胚映射？请解释同胚映射的概念。

答：同胚映射是两个拓扑空间之间的双射连续函数，并且其逆映射也是连续的。

如果存在这样的映射，我们称这两个拓扑空间是同胚的。

4. 什么是紧致性？请说明紧致性的定义。

答：在拓扑空间X中，如果每一个开覆盖都有有限子覆盖，那么称X是紧致的。

5. 什么是连通性？请解释连通性的概念。

答：如果一个拓扑空间不能被分成两个非空的不相交开集，那么称这个空间是连通的。

6. 什么是路径连通性？请给出路径连通性的定义。

答：如果对于拓扑空间X中的任意两点x, y，都存在一个连续函数f: [0, 1]→X，使得f(0)=x且f(1)=y，则称X是路径连通的。

7. 什么是同伦等价？请说明同伦等价的定义。

答：如果存在两个连续映射f: X→Y和g: Y→X，使得g∘f和f∘g分别与X和Y上的恒等映射同伦，则称X和Y是同伦等价的。

8. 什么是基本群？请解释基本群的概念。

答：对于拓扑空间X中的基点x0，基本群π1(X, x0)是由所有以x0为起点和终点的回路构成的集合，这些回路在同伦意义下是等价的，并且群的运算是回路的连接。

9. 什么是覆盖空间？请给出覆盖空间的定义。

答：拓扑空间p: E→B称为B的覆盖空间，如果对于B中的每一个点b，都存在一个开邻域U，使得p^(-1)(U)是E中开集的不相交并，每个开集都通过p同胚映射到U。

10. 什么是商空间？请说明商空间的概念。

答：如果对于拓扑空间X中的等价关系~，商空间X/~是由X中所有等价类构成的集合，并且X/~上的拓扑是由X到X/~的商映射诱导的，那么称X/~是X的一个商空间。

拓扑学基础测试卷

拓扑学基础测试题1、叙述拓扑空间的定义。

叙述一点紧化的定义，并验证定义的合理性。

2、叙述邻域的定义。

设W是拓扑空间X的邻域。

证明W是开集当且仅当它是它的每一点的邻域。

3、叙述聚点的定义。

设X={a,b,c},T={X,{a},ф}，A={a}。

求A的聚点。

4、叙述拓扑基以及第二可数空间的定义。

请给出一个不是第二可数空间的例子。

5、叙述并证明粘接引理。

6、叙述T1空间的定义并证明拓扑空间X是T1空间当且仅当X的单点集是闭集。

7、叙述紧致空间的定义并证明紧致空间的闭子集紧致。

8、叙述Hausdorff空间的定义并证明Hausdorff空间的紧致子集是闭集。

9、证明拓扑空间X和Y的乘积空间X ×Y是Hausdorff空间当且仅当X和Y都是Hausdorff空间。

注：此份试卷只做参考，大家低调传阅各位同学：大家好！拓扑学基础试卷已印制完毕，现将试卷结构通报给大家，以期有益于大家的复习。

一、填空共10空，20分二、判断共10题，20分三、计算共三类题，16分四、问答共3题，25分五、证明共3题，19分，其中最后一题5分，与拓扑群相关，想拿高分者可做准备。

提前给大家祝贺新年，最后祝大家考试成功！李彦博拓扑学试卷结构：一、填空，共10空，20分；二、判断，共10题，20分；三、计算，共三类题，16分；四、问答，共3题，25分；五、证明，共3题，19分，其中最后一题5分，与拓扑群相关，想拿高分者可做准备。

考试时间：1月7日下午2点半至4点半，地点G721.考试结束后请同学们留在考场与李彦博老师合影。

时间紧迫，希望大家积极配合，不要耽误老师回家。

点集拓扑学考试题及答案

点集拓扑学考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 点集拓扑学中，以下哪个概念不是拓扑空间的基本元素？A. 开集B. 闭集C. 连续函数D. 集合答案：D2. 在拓扑空间中，若集合A的补集是开集，则称集合A为闭集。

以下哪个选项不是闭集的特征？A. 包含其所有极限点B. 其内部不一定为空C. 包含其边界点D. 其补集是开集答案：B3. 拓扑空间中的紧性是指什么？A. 每个开覆盖都有有限子覆盖B. 每个闭集都是紧致的C. 每个序列都有收敛子序列D. 每个开集都是连通的答案：A4. 在拓扑空间中，若对于任意两个不同的点x和y，都存在不相交的开集U和V，使得x∈U且y∈V，则称该空间为豪斯多夫空间。

以下哪个选项不是豪斯多夫空间的特征？A. 每个单点集都是闭集B. 任意两个不同的点都可被不相交的开集分开C. 任意两个不同的点都可被不相交的闭集分开D. 任意两个不同的点都可被不相交的邻域分开答案：C5. 拓扑空间中的连通性是指什么？A. 不存在非空的不相交开集的并集B. 空间中任意两点间都存在连续路径C. 空间中任意两点间都存在不相交的开集D. 空间中任意两点间都存在不相交的闭集答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 拓扑空间中，若对于任意的开集U和V，它们的交集U∩V也是开集，则称该空间具有_________性质。

答案：交换2. 拓扑空间中的连续映射是指，对于任意的开集V，其原像f^(-1)(V)也是开集。

这种映射也被称为_________映射。

答案：同胚3. 在拓扑空间中，若存在一个点x，使得对于任意的开集U包含x，U中都包含不同于x的点，则称该空间为_________空间。

答案：Hausdorff4. 拓扑空间中的紧性等价于每个开覆盖都有_________子覆盖。

答案：有限5. 在拓扑空间中，若对于任意的开集U和V，它们的并集U∪V也是开集，则称该空间具有_________性质。

答案：结合三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述拓扑空间中开集和闭集的定义。

拓朴学基础试题

四川理工学院宜宾教学点《拓朴学》考试A 卷(满分:100分考试时间:120分钟)学号姓名专业工作单位一、单项选择题（本题共5个小题,每小题2分，共10分）1、设{,,}X a b c =,那么( )是X 的一个拓扑.A.{,,{},{}}X a b φB.{,,{},{}}X a c φC.{,}X φD.{,,{,},{,}}X a b a c φ2、下列实数空间中的区间同胚的一组是 ( )A.[,]a b ,(,]a bB.(,),(0,1)-∞+∞C.(,)a b ,[,]a bD.(,),(,]a b a b3、下列说法正确的是 ( )A.Lindeloff空间一定是2A 空间 B.度量空间一定是2A 空间 C.可分空间一定是2A 空间 D.2A 空间一定是可分空间4、在拓扑空间(,)X τ中,A X ⊂,若( ),则称x 是集合A 的一个边界点.A.对于x 的任何一个邻域U ,既有U A φ≠ ,又有U A φ'≠ ;B.x 有一个邻域U ,使得U A φ≠ ,而U A φ'= ;C.x 有一个邻域U ,既有U A φ≠ ,又有U A φ'≠ ;D.对于x 的任何一个邻域U ,使得U A φ≠ ,而U A φ'= .5、( )不一定是隔离的.A.离散空间中任何两个无交的子集B.两个不同的连通分支C.两个无交的闭子集D.两个无交的开子集二、填空题（本题共10个小题,每小题2分，共20分）1、设X 为由n 个互不相同的元素构成的集合,X 的幂集()X P 中有( )个互不相同的元素.2、设X 和Y 是两个集合,:f X Y →,则对于任意B Y ⊂,B ( )1(())f f B -.3、如果存在一个从集合X 到正整数集+ 的( ),则称集合X 是一个可数集.4、拓扑学的中心任务便是研究( )性质.5、拓扑空间中的每一个开集都能表为( )中若干成员之并.6、如果拓扑空间X 是一个道路连通空间,则X 必然是一个( ).7、拓扑空间X 是一个( )空间当且仅当X 中任意两个不同的单点集有不同的闭包.8、设X 是一个拓扑空间,如果X 的每一个开覆盖有一个有限子覆盖,则称X 是一个( )空间.9、Hausdorff 空间中的任何一个收敛序列只有一个( ). ( )是一个满的连续开映射.三、简述题（本题共4个小题,每个小题5分，共20分）2、简述拓朴学中的介值定理与不动点定理。

《基础拓扑学试卷》Word版

《基础拓扑学试卷》试卷2一、填空题（每小题2分，共20分）1. 设A 为离散空间X 的子集, 那么()i A =_________________________.2. 设A 为度量空间(,)X ρ的子集, 若,(,)0x X x A ρ∈>, 则准确表示x 与A 的关系的式子是x ∈__________________.3. 拓扑空间X 的每一个有限集是闭集当且仅当X 是____________空间.4. 设X 为拓扑空间,A 为X 的子集, x X ∈, 如果_________________________________, 则称x 是A 的凝聚点.5. 点集拓扑学的中心任务是研究____________________________________________.6. 对于拓扑空间(,)X τ的一个子空间(,)Y τ', τ与τ'满足: (________________)τ'=.7. 设X 为满足第一可数公理的拓扑空间, 那么每一个x X ∈有一个的邻域基具有如下特点:_________________________________________.8. 设12n X X X X =⨯⨯⨯为拓扑空间12,,,n X X X 的积空间, X φ≠, X 是紧拓扑空间, 则每一个j X 为_______________________空间.9. 任何一族连通空间的积空间都是_________________________空间.10. 一个拓扑空间的可分性定义为________________________________.二、单项选择题 (每小题2分, 共20分)11. 设:,,f X Y A B Y →⊂, 则下面不正确的命题是（）A. 1(())A f fA -= B. 111()()()fA B f A f B ---= C. 111()()()fA B f A f B ----=- D. 111()()()f A B f A f B ---= 12. 设X 为拓扑空间, B A ⊂, 则下面不正确的命题是( ) A. dd B A ⊂ B. 00B A ⊂C. B A ''⊂D. B A ⊂13. 设X 为拓扑空间, {}n x 是X 中的收敛序列, 则下面正确的命题是( )A. 对于任何拓扑空间X , {}n x 的极限唯一.B. 若X 是Hausdorff 空间, 则{}n x 的极限唯一.C. 若X 是第一可数的, 则{}n x 的极限唯一.D. 若X 是正则空间, 则{}n x 的极限唯一.14. 设集合{0,1,2}X =, 那么下面不是X 上的拓扑的集族是( )A. {{1},{1,2},,}X φB. {{0},,}X φC. {{2},{2,0},{0,1},,}X φD. {{1},{1,2,0},{2,1},}φ15. 设X 为拓扑空间, 下面不正确的命题是( )A. 若X 是第二可数的, 则X 是第一可数的.B. 若X 是第二可数的, 则X 是可分的.C. 若X 是可分的度量空间, 则X 是Lindel öf 的.D. 若X 是Lindel öf 的空间, 则X 是可分的.16. 对任意集合,,X Y Z , 下面命题正确的是( )A. 若card X ≤card Y , 则X 是Y 的子集.B. 若X 是Y 的子集, 则card X ≤card Y .C. 若X 是Y 的子集, 则card X <card Y .D. 若X Y ≠, 则card X ≠card Y .17. 设X 为拓扑空间, 下面正确的命题是( )A. 若X 是正规空间, 则X 是1T 空间.B. 若X 是0T 空间且正则, 则X 是1T 空间.C. 若X 是正则空间, 则X 是1T 空间.D. 若X 是完全正则空间, 则X 是1T 空间.18. 设X 为拓扑空间, A 是X 的子集, 下面不正确的命题是( )A. A 是列紧的当且仅当A 是序列紧的.B. 若A 是序列紧的, 则A 是可数紧的.C. 若A 是可数紧的, 则A 是列紧的.D. 若A 是紧的, 则A 是列紧的.19. 设1(,)X τ, 2(,)Y τ为拓扑空间, 关于X Y ⨯的积拓扑τ, 12,p p 分别是X Y ⨯到X 和Y 的投射, 则下面不正确的命题是( )A. 12{:,}U V U V ττ⨯∈∈是积拓扑τ的一个基.B. 12{:,}U V U V ττ⨯∈∈是积拓扑τ的一个子基.C. 111122{():}{():}p U U p V V ττ--∈∈是积拓扑τ的一个基.D. 111122{():}{():}p U U p V V ττ--∈∈是积拓扑τ的一个子基.20. 设X 为拓扑空间, 为实数空间, 则:f X →为连续映射的充分必要条件是( )Ａ. 对任意实数,,{:()}a b x X b f x a ∈<<是X 的开集.Ｂ. 对任意实数a , 集合{:()}x X f x a ∈≠是X 的开集.Ｃ. 对任意实数a , 集合{:()}x X f x a ∈<是X 的开集.Ｄ. 对任意实数,,{:()}a b x X b f x a ∈≤≤是X 的闭集.三、简答题 (每小题5分, 共20分)21. 证明n 维实数空间n 的每一个子空间都是可分空间.22. 证明:若X 是3T 空间, 则X 是2T 空间.23. 证明:在一维实数空间的子空间[0,5)中, [0,2)是开集.24. 叙述度量的定义.四、反例论证题 (本题10分)25. 举例说明存在这样的一个集合X 和X 上的两个拓扑1τ和2τ, 使得12ττ不是X 上的一个拓扑.五、论证题 (每小题15分, 共30分)26. 证明:若A 是2T 空间中的紧集, 则A 是闭集.27. 设,X Y 为拓扑空间, 映射:f X Y →是一个满的连续开映射, X 满足第二可数性公理, 则Y 也满足第二可数性公理. 请证明.。

高三数学试卷拓扑学

一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列空间中，不满足连通性的空间是（）A. 圆环空间B. 线段空间C. 开区间空间D. 单位圆盘2. 设A和B是两个拓扑空间，下列哪个性质不是拓扑空间的性质（）A. 闭集的并集是闭集B. 交集的开集是开集C. 存在空集和全集D. 空间中任意一点都是开集3. 设X是拓扑空间，A是X的子集，若A在X中的拓扑是X在A中的拓扑，则称A 是X的（）A. 开集B. 闭集C. 紧集D. 集合4. 设X是拓扑空间，A是X的子集，若A在X中的拓扑是X在A中的拓扑，则称A 是X的（）A. 子空间B. 基础空间C. 闭包D. 交集5. 下列集合中，不属于开集的是（）A. {x | x < 0}B. {x | x > 0}C. {x | x ≠ 0}D. {x | x = 0}二、填空题（每题5分，共25分）1. 拓扑空间中，任意一点都是开集的拓扑称为（）拓扑。

2. 拓扑空间中，满足有限交性质的拓扑称为（）拓扑。

3. 拓扑空间中，满足任意并性质的拓扑称为（）拓扑。

4. 设X是拓扑空间，A是X的子集，若A在X中的拓扑是X在A中的拓扑，则称A 是X的（）。

5. 设X是拓扑空间，A是X的子集，若A在X中的拓扑是X在A中的拓扑，则称A 是X的（）。

三、解答题（每题20分，共60分）1. （10分）证明：一个拓扑空间X是连通的，当且仅当X的任何两个非空开集的并集是X。

2. （10分）设X是拓扑空间，A是X的子集，证明：若A在X中的拓扑是X在A中的拓扑，则A是X的子空间。

3. （20分）设X是拓扑空间，A是X的子集，证明：若A在X中的拓扑是X在A中的拓扑，则A的闭包是X在A中的闭包。

拓扑学是现代数学的一个重要分支，它主要研究集合的拓扑结构，包括拓扑空间的定义、性质、运算以及与集合论、代数学、几何学等领域的交叉应用。

本题旨在考察学生对拓扑学基本概念和性质的掌握程度，通过选择题、填空题和解答题的形式，全面考察学生对拓扑学知识的理解和应用能力。

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《拓扑学基础》复习题
单项选择题
下列有关连续映射:f X Y →正确的是（ B ）
A 、对X 中的任意开集U ，有()f U 是Y 中的一个开集
B 、Y 中的任何一个闭集B ，有1()f
B -是X 中的一个闭集
C 、Y 中的任何一个子集A ，有1
1()()f A f A --⊂ D 、若f 还是一一映射，则f 是一个同胚映射
设X 是一个拓扑空间，A X ⊂，则()A ∂=（ D ）
A 、A A -'⋂
B 、00A A ''⋃
C 、0()A ∂
D 、()X A ∂-
下列拓扑性质中，没有继承性的是( D )
A 、1T 空间
B 、2T 空间
C 、3T 空间
D 、4T 空间
下列有关实数空间，不正确的是（ D ）
A 、它满足第一可数性公理
B 、它满足第二可数性公理
C 、它的任何一个子空间都满足第二可数性公理
D 、它的任何一个子空间都是连通的设A 是度量空间（,X ρ）中的一个非空子集，则下列命题错误的是（ C ）
A 、()x d A ∈当且仅当(,{})0x A x ρ-=
B 、()x d A ∈当且仅当(,)0x A ρ=
C 、对x A ∀∈，且有(,)B x A εφ⋂≠，则A 为X 中的一个开集
D 、x A ∈当且仅当(,)0x A ρ=
填空题
若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称是一个可分空间。

拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映下的象所具有，则称这个性质是一个在连续映射下保持不变的性质。

实数空间中的有理数集Q ，则()d Q = 。

设Y 是拓扑空间(,)X J 的一个子空间，则Y 的拓扑为 |Y J 。

实数空间的一个基是 {(
,)|,a b a b ∈ 且}a b < 。

设X 是一个拓扑空间，D X ⊂，若D 是X 的一个稠密子集，则D = X 。

设X 是一个拓扑空间，C 是X 的一个连通分支，则C = C 。

名词解释
紧致空间：
设X 是一个拓扑空间，如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个紧致空间。

同胚映射：
设X 与Y 是两个拓扑空间，如果:f X Y →是一个一一映射，并且f 与1:f Y X -→都是连续的，则称f 是一个同胚映射。

不连通空间：
设X 是一个拓扑空间，如果X 中的有两个非空的隔离子集A 和B ，使得X A B = ，则称拓扑空间X 是一个不连通空间。

证明题:
设(,)X ρ是一个离散的度量空间，证明：
（1）X 的每一个子集都是开集
（2）若Y 也是一个度量空间，则任何映射:f X Y →都是连续的
证明：（1）对X 中的任意一个子集U
x U ∀∈，令11(,){|(,)}22
B x y X x y ρ=∈< 又 X 是一个离散的度量空间
∴ 当x y ≠时 (,)1x y ρ=
1(,){}2
B x x ∴= 1(,)2
x B x ∴∈⊂⋃ 从而U 是X 中的开集（2）对Y 中的任意一个开集V ，1()f V -是X 中的一个子集
X 是一个离散的度量空间。

由（1）知：1()f V -是X 中的开集
f ∴是一个连续映射
设{,,}X a b c =，{,,{,},{}}J X a b b φ=
（1）验证J 是X 的一个拓扑
（2））若{,}A b c =，求()d A
证明：（1）,X J φ∈
{,}{}{}a b b b J ⋂=∈
{,}{}{,}a b b a b J ⋃=∈
J ∴是X 的一个拓扑
（2）对点a ，对点a 的任意邻域U ，都有
{,}a a b U ∈⊂，而({}){,}({})U A a a b A a φ⋂-⊃⋂-≠
()a d A ∴∈
对点b {}b J ∈ {}b ∴为点b 的一个开邻域
且{}({})b A b φ⋂-= ()b d A ∴∉
对于点c ，其只有一个邻域X ，且({})x A c φ⋂-≠
()c d A ∴∈
(){,}d A a c ∴=
设X 和Y 是两个拓扑空间，:f X Y →，证明以下两个条件等价
（1）f 连续；（2）对于Y 的每一个子集B ，有1010()(())f
B f B --⊂
证明：（1）⇒（2） 0B B -''=
101111()()()()f B f B f Y B X f B -------'''∴==-=-
又 f 连续
∴对于Y 中的任何一个子集C ，有11()()f C f C --⊃
10111()()()()f B X f B X f B X X f B -----''∴=-⊂-=--
110(())(())f B f B ---''==
即 1010()(())f B f B --⊂成立
（2）⇒（1），对Y 的任何一个子集B ，1010()(())f B f B --⊂成立
11()(())f B f B ----''''∴⊂
11()(())X f B X f B ----''∴-⊂-
111()(())(())f B f B f B ------'''∴⊃=
令A B '=，则A 是Y 中的一个子集，且11()()f
A f A ---⊃
由B 的任意性可知A 的任意性 f ∴是连续的
设Y 是拓扑空间X 的一个子集，证明：Y 是X 的一个不连通子集，当且仅当X 中存在两个非空集合A 和B ，使得,,Y A B A B Y A φφ⊂⋃⋂=⋂≠和Y B φ⋂≠成立。

证明：充分性：Y A B ⊂⋃ Y A B A B
∴⊂⋃=⋃ 令1A Y A =⋂，2A Y B =⋂
则 12Y A A =⋃
A B φ⋂=
12A A Y A Y B A B Y φ∴⋂=⋂⋂⋂=⋂⋂=
………………
必要性：Y 是X 的一个不连通子集则存在Y 中的两个非空隔离子集1,A B ，使得：
11Y A B =⋃
且11,A B 为Y 中的两个闭子集
从而11,A B 为X 中的两个闭子集
1111,,A B Y A Y B φφφ∴⋂=⋂≠⋂≠
设X 和Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个连续映射，证明：如果X 是一个Lindel öff 空间，则()f X 也是一个Lindel öff 空间。

证明：:f X Y → 是一个连续映射
:()f X f X ∴→也是一个连续映射
设A 为()f X 的任意一个开覆盖，即
()A f X U A ∈⊂A
1
1()()A A X f U A U f A --∈∈∴⊂=A A ∵ f 连续 A ∴∀∈A ，1()f
A -是X 中的开集 1()A U f A -∈∴A 是X 的一个开覆盖
又X 是Lindel öff 空间
∴ 存在一个可数子覆盖
1⊂A A 使得： 11()A U f A X -∈⊃A
………………..
()f X ∴也是Lindel öff 空间。