最优控制极大值原理
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极大值原理
最优控制问题可表述为：寻求一个容许控制u(t），以使受控系统从某个给定的初始状态x(t0)=x0出发，在 末时刻tf达到目标集，并且使性能指标泛函J【u（·）】达到极小值或极大值。如果这个问题是有解的，那么就 称求得的容许控制为最优控制，记为u(t）；而系统状态方程在u(t）作用下的解称为最优轨线，记为x(t）；相 应的极小或极大性能指标值J【u（·）】，称为最优指标值。在数学上，最优控制问题的实质，是对受约束的泛 函J【u（·）】求极值的问题，其中的约束条件为系统的状态方程、目标集方程和容许控制域。
原理简介
极大值原理
maximum principle
最优控制理论中用以确定使受控系统或运动过程的给定性能指标取极大或极小值的最优控制的主要方法。在 工程领域中很大一类最优控制问题都可采用极大值原理所提供的方法和原则来定出最优控制的规律。在理论上， 极大值原理还是最优控制理论形成和发展的基础。极大值原理是对分析力学中古典变分法的推广，能用于处理由 于外力源的限制而使系统的输入（即控制）作用有约束的问题。极大值原理是20世纪50年代中期苏联学者Л.С. 庞特里亚金提出的，有关这一原理的主要结果及其严格的数学证明，都发表在后来出版的《最优过程的数学理论》 一书中。
式9式11式13LQ问题 线性二次型性能指标的最优控制问题。
次优控制
对于较为复杂的受控系统，即使系统为线性的情况，最优控制问题的求解也常有大量的计算。采用次优控制， 可在保证性能指标值足够接近最优性能值的同时，显著地减少问题求解的计算量。实现次优控制的主要的途径是 把复杂的受控系统通过适当的方法化为两个较为简单的子受控系统，并且针对子系统来计算最优控制，再综合地 作必要的修正。实现系统性能指标值 对最优性能值的接近程度来确定；要求接近的程度越高，修正计算量也就越大。特别是对于要求计算机实时控制 的受控系统，为了避免过大的计算量或避免增加控制系统在组成上的复杂性，常常更宜采用次优控制以代替最优 控制。
基于极大值原理的最优控制
1 h(t f ) 2 v(t f )
3
1 和 2 为待定的拉格朗日乘子 式中，
4）将哈密顿函数整理为
H 1v 2 ( u g ) 3 (ku ) (1v 2 g ) ( 2 k3 )u m m
5）由极小值条件，H相对于 u (t ) 取绝对极小值。因此，最优控制为
2 u , max m k3 0 u (t ) 0, 2 k3 0 m
上述结果表明,只有当发动机推力在最大值和零值之间进行开关 控制,才有可能在实现软着陆的同时，保证燃料消耗最少。
4
thank you !
3 (t )
H 2 (t )u (t ) m m 2 (t )
3）由横截条件
1 (t f )
2 (t f )
1 1 1 h(t f ) h(t f )
J m(t )
2 2 2 v(t f ) v(t f ) 3 (t f ) 1 m(t f )
现代控制理论
实例分析： 基于极大值原理的最优控制
例：设宇宙飞船质量为m(t),高度为h(t),垂直速度为v(t),发动机推力为 u(t),月球表面的重力加速度设为常数g,不带燃料的飞船质量为M,初始燃料 的总质量为F,发动机最大推力为 umax ,发动机飞船的状态方程为:
h(t ) v (t ) , h(0) h0 u (t ) v (t ) g , v (0) v0 m(t ) m(t ) ku(t ),
m(0) M F
要求飞船在月球上实现软着陆,即终端约束为
1 h(t f ) 0 , 2 v(t f ) 0
最优控制--极大值原理
3)
X (t0 ) = X0
:
∂φ Htf + =0 ∂t f
t0 , t f 已知， (t0 ) = X0给定,末端受约束 g[ X (t f ), t f ] = 0 X
边界条件为:
∂φ ∂gT λ(t f ) = µt f tf + ∂X ∂X g[ X (t f ), t f ] = 0 ∂φ ∂gT + µ =0 若 t f 自由:外加: H |t f + ∂t f ∂t f
_
H[ X (t), λ(t),U (t)] = m H[ X * (t), λ(t), u(t)] ax
* * u(t )
_
_
∴所以有的文献中也称为“极大值原理”。 3、H对u没有可微要求，因此应用拓宽。 4、 极小值原来是求取最优控制的必要条件，非充分条件。 即：满足极小值原理不一定J取极小值,需进一步判断。 一般:对于实际系统
1、问题提出（时变系统） 问题提出 时变系统）
ɺ 已知受控系统 X = f ( X (t), t) + B( X (t), t)u(t), X (0) = X0 并设 f 和 B对X(t)和t 连续可微。 和 连续可微。
X：n×1 ： × u： r×1 ： × f ：n×1 × B：n×r ： × 状态向量 控制向量 函数向量 函数值矩阵
* 解得: x (t) = 0.1e
2t
+ 9.9e−
2t
2t
λ(t) = −0.1( 2 +1)e
b) |u| ≤ 0.3
+ 9.9( 2 −1)e−
2t
由极小值原理: U * = −sgn{λ} 当t=1时
λ =0
在[0,1]区间
X (t0 ) = X0
:
∂φ Htf + =0 ∂t f
t0 , t f 已知， (t0 ) = X0给定,末端受约束 g[ X (t f ), t f ] = 0 X
边界条件为:
∂φ ∂gT λ(t f ) = µt f tf + ∂X ∂X g[ X (t f ), t f ] = 0 ∂φ ∂gT + µ =0 若 t f 自由:外加: H |t f + ∂t f ∂t f
_
H[ X (t), λ(t),U (t)] = m H[ X * (t), λ(t), u(t)] ax
* * u(t )
_
_
∴所以有的文献中也称为“极大值原理”。 3、H对u没有可微要求，因此应用拓宽。 4、 极小值原来是求取最优控制的必要条件，非充分条件。 即：满足极小值原理不一定J取极小值,需进一步判断。 一般:对于实际系统
1、问题提出（时变系统） 问题提出 时变系统）
ɺ 已知受控系统 X = f ( X (t), t) + B( X (t), t)u(t), X (0) = X0 并设 f 和 B对X(t)和t 连续可微。 和 连续可微。
X：n×1 ： × u： r×1 ： × f ：n×1 × B：n×r ： × 状态向量 控制向量 函数向量 函数值矩阵
* 解得: x (t) = 0.1e
2t
+ 9.9e−
2t
2t
λ(t) = −0.1( 2 +1)e
b) |u| ≤ 0.3
+ 9.9( 2 −1)e−
2t
由极小值原理: U * = −sgn{λ} 当t=1时
λ =0
在[0,1]区间
第七章 最优控制：最大值原理
H u 2u 0 u 1 2
（7.39)
H
2
u
2
2 0
u (t )
的解是最大化 H
例1 最大化
满足 y y u 和 y (0 ) 1
V
1 0
u dt
2
y (1) 0
汉密尔顿函数： H u 2 ( y u )
0
H t , y
(T ) y T ( 0 ) y 0
的第一项对 求导，得：
T ( ) 0
(7.28)
H H q ( t ) dt H y q (t ) p (t ) u y
f (t , y , u ) H
以上两个方程右边相同，因此左边相等：
y
推导得到最大值 原理的条件之一
以上推导得到：
H ( t , y , u , ) y ( t ) dt ( T ) y
T 0
T
(0) y0
步骤3 推导新目标泛函 的另一种形式
推导得到最大值原 理的一般横截条件
第二节 其他终结条件
一般横截条件：
H t T T
(T ) y T 0
（7.30）
y
y Z
• 固定终结点的横截条件：
y (T ) y T
（T 和
y T 给定）
水平终结线的横截条件：
[ H ]t T 0
t
0
T
T2
T
（7.39)
H
2
u
2
2 0
u (t )
的解是最大化 H
例1 最大化
满足 y y u 和 y (0 ) 1
V
1 0
u dt
2
y (1) 0
汉密尔顿函数： H u 2 ( y u )
0
H t , y
(T ) y T ( 0 ) y 0
的第一项对 求导，得：
T ( ) 0
(7.28)
H H q ( t ) dt H y q (t ) p (t ) u y
f (t , y , u ) H
以上两个方程右边相同，因此左边相等：
y
推导得到最大值 原理的条件之一
以上推导得到：
H ( t , y , u , ) y ( t ) dt ( T ) y
T 0
T
(0) y0
步骤3 推导新目标泛函 的另一种形式
推导得到最大值原 理的一般横截条件
第二节 其他终结条件
一般横截条件：
H t T T
(T ) y T 0
（7.30）
y
y Z
• 固定终结点的横截条件：
y (T ) y T
（T 和
y T 给定）
水平终结线的横截条件：
[ H ]t T 0
t
0
T
T2
T
最优控制-极大值原理
近似算法
针对极大值原理的求解过程，开 发了一系列近似算法，如梯度法、 牛顿法等，提高了求解效率。
鲁棒性分析
将极大值原理应用于鲁棒性分析， 研究系统在不确定性因素下的最 优控制策略，增强了系统的抗干 扰能力。
极大值原理在工程领域的应用
航空航天控制
在航空航天领域，利用极大值原理进行最优 控制设计，实现无人机、卫星等的高精度姿 态调整和轨道优化。
03
极大值原理还可以应用于经济 学、生物学等领域，为这些领 域的研究提供新的思路和方法 。
02
最优控制理论概述
最优控制问题定义
01
确定一个控制输入，使得某个给定的性能指标达到 最优。
02
性能指标通常由系统状态和控制输入的函数来描述。
03
目标是在满足系统约束的条件下，找到最优的控制 策略。
最优控制问题的分类
1 2
确定型
已知系统的动态模型和控制约束，求最优控制输 入。
随机型
考虑系统的不确定性，如随机干扰、参数不确定 性等。
3
鲁棒型
考虑系统模型的不确定性，设计鲁棒控制策略。
最优控制问题通过求解优化问题得到最优解的解析表达式。
数值法
02
通过迭代或搜索方法找到最优解。
极大值原理
03
基于动态规划的方法，通过求解一系列的子问题来找到最优解。
03
极大值原理
极大值原理的概述
极大值原理是现代控制理论中的基本原理之一，它为解决最 优控制问题提供了一种有效的方法。该原理基于动态系统的 状态和性能之间的关系，通过寻求系统状态的最大或最小变 化，来达到最优的控制效果。
在最优控制问题中，极大值原理关注的是在给定的初始和终 端状态约束下，如何选择控制输入使得某个性能指标达到最 优。它适用于连续和离散时间系统，以及线性或非线性系统 。
《最优控制》第3章庞德里雅金极大值原理解析
3
tf
t0
第3章——庞德里雅金极大值原理
(1)最优轨线 x * (t ) 和协态向量 (t ) 满足规范方程组
x
H H x
(2)在最优轨线 x * (t )上与最优控制 u * (t )上对应的哈密顿 函数取最小值
H ( x*, u*, , t )umin H ( x, u, , t )
目标泛函：
J dt , | f (t ) | 1 0
8
tf
第3章——庞德里雅金极大值原理
1 x2 x 问题：设系统的状态方程 其中控制变量u (t ) 满足约束 x u 2
， 条件 | u(t) | 1 设系统的初始状态 x1 (0) x10 , x2 (0) x20 ;
快速控制系统的这个特性称为有限切换原理，相应的 控制方式称为Bang-bang控制。 （6）求最优轨线
①u 1 2 u dx2 dt x2 t c1 x2 (0) x20 x2 (t ) t x20 x 1 2 1 x2 x1 (t ) t x20t x10 x 2
7
第3章——庞德里雅金极大值原理
2、双积分装置时间最优控制系统 考察惯用语性负荷在一无阻尼环境中运动情况：
Y (s) 1 m y 2 (t ) f (t ) 设m 1 G ( s ) F (s) S
1 x2 x 设 x1 y, x2 x 1 y 得 2 u x
4
第3章——庞德里雅金极大值原理
(3)边界条件
x ( t ) x(t0 ) x0 , (t f ) ①当 f 不受限制， x(t f )
②当存在终端约束条件
[ x(t f ), t f ] 0时，x(t0 ) x0
tf
t0
第3章——庞德里雅金极大值原理
(1)最优轨线 x * (t ) 和协态向量 (t ) 满足规范方程组
x
H H x
(2)在最优轨线 x * (t )上与最优控制 u * (t )上对应的哈密顿 函数取最小值
H ( x*, u*, , t )umin H ( x, u, , t )
目标泛函：
J dt , | f (t ) | 1 0
8
tf
第3章——庞德里雅金极大值原理
1 x2 x 问题：设系统的状态方程 其中控制变量u (t ) 满足约束 x u 2
， 条件 | u(t) | 1 设系统的初始状态 x1 (0) x10 , x2 (0) x20 ;
快速控制系统的这个特性称为有限切换原理，相应的 控制方式称为Bang-bang控制。 （6）求最优轨线
①u 1 2 u dx2 dt x2 t c1 x2 (0) x20 x2 (t ) t x20 x 1 2 1 x2 x1 (t ) t x20t x10 x 2
7
第3章——庞德里雅金极大值原理
2、双积分装置时间最优控制系统 考察惯用语性负荷在一无阻尼环境中运动情况：
Y (s) 1 m y 2 (t ) f (t ) 设m 1 G ( s ) F (s) S
1 x2 x 设 x1 y, x2 x 1 y 得 2 u x
4
第3章——庞德里雅金极大值原理
(3)边界条件
x ( t ) x(t0 ) x0 , (t f ) ①当 f 不受限制， x(t f )
②当存在终端约束条件
[ x(t f ), t f ] 0时，x(t0 ) x0
极大值原理MaximumPrincipleMaximumPrinciple
维尔斯特拉斯E函数 （Weierstrass Erdmann Function）
设有泛函 有 tf ( t ), t ] dt J ( x ) L[ x ( t ), x
t0
若用p(x,t)表示其极值曲线场中极值曲线斜率，则可以证 表示其极值曲线场中极值曲线斜率 则可以证 明泛函增量可表示为
3.1 泛函极值的充分条件
几个有关定义 个有关定义 正常场 定义3 3-1 1：若（ x，t ）平面某 ）平面某一区域 区域D上每 上每一点都有曲线族中一条 点都有曲线族中 条 且仅有一条通过，则称曲线族在区域D上形成一个正常场。曲线族 上点（x，t）处的切线的角系数称为场在点（x，t）的斜率。 中心场 定义3-2：若区域D上曲线族的全部曲线都通过一点（x0，t0），即 它们形成曲线束，且束心也属于 它们形成曲线束，且束 也属于D，同时除束 ，同时除束心外，曲线在 外，曲线在D内不 再相交，曲线布满区域D，则该场为中心场。 极值曲线场 定义3-3 3 3：若正常场或中心场是由某一变分问题的极值曲线族所形 若正常场或中心场是由某 变分问题的极值曲线族所形 成，则称之为极值曲线场。 以上定义可以从平面场拓展到n维空间场。
对于强极值，
① 曲线c应是满足极值条件的极值曲线； ② 极值曲线c能够被包含在极值曲线场中； 能够被包含在极值曲线场中 , p, t ) 值，函数 E ( x , x ③ 对于c近旁所有点(x, t)以及任意的 x 不变号 极小值时E≥0，极大值时 不变号，极小值时 极大值时E≤0。
3.2 连续系统极大值原理
•
J a ( u) [ x ( t f ), t f ] T [ x ( t f ), t f ]
f 2 ]}dt （3-2-8） , t ) T[ f ( x , w , t) x ] T [ g( x , w , t) Z { L( x , w
最优控制理论习题课
2
1, 2 (t) c2et
c1
1 2
u2
(1
2
) x2
2u
S ( x(2))
1 2
[ x1 (2)
5]2
1 2
[ x2
(2)
2]2 ,
G(x(2)) x1(2) 5x2 (2) 15 0
控制方程:
H u
0 u 2
0 u(t) c2et
c1
x2 (t) x2 (t) u
最优控制理论习题
--变分法、极大值原理
例1设系统状态方程为
x& u，
边界条件为
x(0)
1，x(t
f
)
0,
(t
自由)
f
性能指标为
J
tf
1 2
t f u 2 dt
0
要求确定最优控制 u *，使 J 最小。
解：这是 t f 自由问题。终端状态固定，x(t f ) 0 是满足约束集的特殊情况，即
G[ X (t f ), t f ] x(t f ) 0
)T )
v(t f
)
2 (2) x2 (2) 2 5v c2e2 c1
代入 x1 (2), x2 (2)
0.5c2 c3 c1 0.5c2
c4 c3
0 0
7c1 3e2c2 4e2c3 c4 15 x1 (2) 5x2 (2) 15
3c1 0.5e2c2 e2c3 c4 v 5
优控制 u* (t) 2
再由规范方程 x u ，可得
x(t) 2 t c
由初始条件 x(0) 1 ，求得 c 1 ，故最优轨迹为
x* (t) 2 t 1 以终端条件
x*
《最优控制》第3章庞德里雅金极大值原理
19
第3章——庞德里雅金极大值原理
性能指标
J
tf 0
| u(t ) | dt
寻求最优控制u* f
T
H | u | 1x2 2u
(2) 协态方程:
H X
0 1 10 1 , 2 10t 20 1 2
目标泛函：
J dt , | f (t ) | 1 0
8
tf
第3章——庞德里雅金极大值原理
1 x2 x 问题：设系统的状态方程 其中控制变量u (t ) 满足约束 x u 2
， 条件 | u(t) | 1 设系统的初始状态 x1 (0) x10 , x2 (0) x20 ;
(3)寻求H最小的 u (t )
由 | u(t) | 1可知，当| u(t) | 1,且u(t) 的符号与2相反 时，H最小
10
第3章——庞德里雅金极大值原理
1 u (t ) sgn[ 2 ] 1 不定
2 0 2 0 2 0
（4） 对u * (t ), x * (t )而言，有H 1 1x2 2u 0 （5）分析 ①2 0
4
第3章——庞德里雅金极大值原理
(3)边界条件
x ( t ) x(t0 ) x0 , (t f ) ①当 f 不受限制， x(t f )
②当存在终端约束条件
[ x(t f ), t f ] 0时，x(t0 ) x0
(tf ) V x(tf ) x(tf )
快速控制系统的这个特性称为有限切换原理，相应的 控制方式称为Bang-bang控制。 （6）求最优轨线
①u 1 2 u dx2 dt x2 t c1 x2 (0) x20 x2 (t ) t x20 x 1 2 1 x2 x1 (t ) t x20t x10 x 2
第3章——庞德里雅金极大值原理
性能指标
J
tf 0
| u(t ) | dt
寻求最优控制u* f
T
H | u | 1x2 2u
(2) 协态方程:
H X
0 1 10 1 , 2 10t 20 1 2
目标泛函：
J dt , | f (t ) | 1 0
8
tf
第3章——庞德里雅金极大值原理
1 x2 x 问题：设系统的状态方程 其中控制变量u (t ) 满足约束 x u 2
， 条件 | u(t) | 1 设系统的初始状态 x1 (0) x10 , x2 (0) x20 ;
(3)寻求H最小的 u (t )
由 | u(t) | 1可知，当| u(t) | 1,且u(t) 的符号与2相反 时，H最小
10
第3章——庞德里雅金极大值原理
1 u (t ) sgn[ 2 ] 1 不定
2 0 2 0 2 0
（4） 对u * (t ), x * (t )而言，有H 1 1x2 2u 0 （5）分析 ①2 0
4
第3章——庞德里雅金极大值原理
(3)边界条件
x ( t ) x(t0 ) x0 , (t f ) ①当 f 不受限制， x(t f )
②当存在终端约束条件
[ x(t f ), t f ] 0时，x(t0 ) x0
(tf ) V x(tf ) x(tf )
快速控制系统的这个特性称为有限切换原理，相应的 控制方式称为Bang-bang控制。 （6）求最优轨线
①u 1 2 u dx2 dt x2 t c1 x2 (0) x20 x2 (t ) t x20 x 1 2 1 x2 x1 (t ) t x20t x10 x 2
北京交通大学(最优控制理论与算法研究生课程)第四章 极大值原理
自由末端的极大值原理(7/8)
H ( x * (t ), λ(t ), u* (t )) min H ( x* (t ), λ(t ), u(t )) (96)
u ( t )U
3) 由极值求解条件(96)可知,极大值原理得到的是全局最 小值,而非局部极值,而古典变分法中由极值条件 H/u=0得到的是局部极小值。
自由末端的极大值原理(3/8)
满足 2) 边界条件
λ(t f ) S ( x (t f )) x (t f )
的解, 其中哈密顿函数为
H ( x(t ), λ(t ), u(t )) λ (t ) f ( x(t ), u(t ))
3)则有
H ( x * (t ), λ(t ), u* (t )) min H ( x* (t ), λ(t ), u(t ))
再则,如果把条件(96)仍称为极值条件,则极大值原 理得到的是强极值。
而古典变分法在欧拉方程推导时,对极值曲线x*(t)和 其导数都引入变分,得到的是弱极值。 不难理解,当满足古典变分法的应用条件时,极值条 件 H/u=0 只是极大值原理的极值求解条件 (96) 的 一个特例。
自由末端的极大值原理(8/8)
x(t)的表达式(1/3)
(2) x(t)的表达式 根据 f(x,u) 对 x 的可微性 , 由状态方程 (92) 可得如下由控制量 的变分u(t)引起的状态方程(92)的变分
f ( x* x , u* u) f ( x * , u* ) x f ( x * , u* u) * * f ( x , u u) x o ( x ) f ( x , u ) x f ( x* , u* ) * * * * x f ( x , u u ) f ( x , u ) x f ( x* , u* u) f ( x* , u* ) x o( x ) x x
最优化设计：第14章 最大(小)值原理
第14章 最大（小）值原理
利用前面介绍的变分法求解最优控制
问题时曾假设控制函数u定义在一给定的
开集上，而不受其他约束，而在许多最优
控制问题中，控制函数u却会受到某些限
制。例如，在前面用变分法来求解最优控
制问题时，要求涉及到的函数[x(tf), tf]、
F[x,u,t]、f[x, u, t]都具有可微性，特别要
矩阵A的特征值均具有非正实部，控制变 量满足不等式约束|u|≤M，则最短时间控 制存在。 ③ 最短时间控制的唯一性定理
若线性定常系统 x Ax Bu 属于平凡
情况，若时间最优控制存在，则必定是 唯一的。
④ 开关次数定理
若线性定常系统 的控制变量满足不等
式约束|u|≤M，矩阵A的特征值全部为实数，
M
u*
j
(t
)
M
*T (t)bj 0 *T (t)bj 0
不定 *T (t)bj 0
j 1, 2, , m
由此可知，当*Tbj≠0时，可以找出确定的
u*j (t) 来，并且它们都为容许控制的边界
值；当*Tbj穿过零点时， 由一个边界值切 换到另一个边界值；如果*Tbj在某一时间
区间内保持为零，则 为u*j不(t)确定值，这 种情况称为奇异问题或非平凡问题，相应 的时间区段称为奇异区段。当整个时间区 间内不出现奇异区段时，则称为非奇异问 题或平凡问题。对于平凡问题，有以下几 个定义及定理：
仍然成立，满足最小值的控制同样满足最
大值，只是求解得到的协态变量*将互为
异号。
于是，就得到关于由式（14-1）~（14-
4）所给定的最优控制问题的最大值原理。
这也是把这一方法称为最小值或最大值原
理的原因。
利用前面介绍的变分法求解最优控制
问题时曾假设控制函数u定义在一给定的
开集上，而不受其他约束，而在许多最优
控制问题中，控制函数u却会受到某些限
制。例如，在前面用变分法来求解最优控
制问题时，要求涉及到的函数[x(tf), tf]、
F[x,u,t]、f[x, u, t]都具有可微性，特别要
矩阵A的特征值均具有非正实部，控制变 量满足不等式约束|u|≤M，则最短时间控 制存在。 ③ 最短时间控制的唯一性定理
若线性定常系统 x Ax Bu 属于平凡
情况，若时间最优控制存在，则必定是 唯一的。
④ 开关次数定理
若线性定常系统 的控制变量满足不等
式约束|u|≤M，矩阵A的特征值全部为实数，
M
u*
j
(t
)
M
*T (t)bj 0 *T (t)bj 0
不定 *T (t)bj 0
j 1, 2, , m
由此可知，当*Tbj≠0时，可以找出确定的
u*j (t) 来，并且它们都为容许控制的边界
值；当*Tbj穿过零点时， 由一个边界值切 换到另一个边界值；如果*Tbj在某一时间
区间内保持为零，则 为u*j不(t)确定值，这 种情况称为奇异问题或非平凡问题，相应 的时间区段称为奇异区段。当整个时间区 间内不出现奇异区段时，则称为非奇异问 题或平凡问题。对于平凡问题，有以下几 个定义及定理：
仍然成立，满足最小值的控制同样满足最
大值，只是求解得到的协态变量*将互为
异号。
于是，就得到关于由式（14-1）~（14-
4）所给定的最优控制问题的最大值原理。
这也是把这一方法称为最小值或最大值原
理的原因。
动态经济系统最优控制与极大值原理的经济学解释
动态经济系统最优控制与极大值原理的经济学解释动态经济系统最优控制与极大值原理的经济学解释引言动态最优化的问题，在自然科学与社会科学的很多领域中有着十分广泛的应用。
在经济学中，尤其在博弈论和宏观经济学中有着大量的应用，研究动态最优化的数学工具有好几种，如变分法、最优控制理论和动态规划等。
极大值原理不仅在现代控制理论中应用甚广，在经济金融领域的应用也相当广泛，为了能有效的解决实际问题，解决经济领域的复杂控制问题，深刻理解数学中的极大值原理的实质及原理精髓，了解其经济学解释对解决经济系统的最优控制问题帮助很大。
极大值原理是苏联学者庞特里亚金很早就提出来的，后来人们利用极大值原理求解最优控制，以取代古典变分法。
实际上，极大值原理也可看成古典变分法的推广，即最优控制域不必局限于开集，也可推广到闭集。
1 动态经济系统最优控制的数学模型原始最优控制数学模型简介：状态变量的时间发展轨迹：；性能指标函数为：哈密尔顿函数问题的数学模型按照最优控制问题的模式引入符号标志：经济系统有n个经济变量，以及m个决策变量，动态经济系统最优控制的数学模型可由下面的式子描述：其中受到一定限制；其中已知，给定，在解决实际的经济问题时，通常只考虑n=2，m=3的情况，即只有两个经济变量，两个决策变量，从而上述模型可以简化为：其中受到一定限制；其中已知，给定。
动态经济系统最优控制数学模型的极大值原理的必要条件：其中为哈密尔顿算子，决策变量在容许范围内应使得哈密尔顿函数取值最大。
如果是没有限制的，那么哈密尔顿函数值取极大值的条件为：动态经济系统最优控制的极大值原理必要条件的经济学解释在中，哈密尔顿算子可看作影子价格，于是可记作由于，所以上式又可记作由和得出由可以看出：是固定成本的价格，是中间投入的价格，当进行最优决策时，不仅要使在时间内获得的人均消费最大，也要考虑到固定资本与中间投入的增值最大。
一般来说，称为对目标值的瞬间直接贡献，称为对目标的瞬时间接贡献，两者之和称为对目标值的瞬时总贡献，这便是哈密尔顿函数的经济学意义。
最优控制最大值原理
最大值原理（当然包括最小值原理，以下同）是对古典变 分法的发展。它不仅可以用来求解函数U(t)不受约束或只 受开集性约束的最优控制问题，而且也可以用来求解控制 函数U(t)受到闭集性约束条件的最优控制问题。这就意味 着最大值原理放宽了对控制函数U(t)的要求。
最大值原理没有提出哈密顿函数H对控制函数U(t)的可微 性的要求，因此，其应用条件进一步放宽了。并且，由最 大值原理所求得的最优控制U(t)使哈密顿函数H达到全局、 绝对最大值，而由古典变分法的极值条件H/ U=0所得到 的解是H的局部、相对最大值或驻值。因此，最大值原理 将古典变分法求解最优控制问题的极值条件作为一个特例 概括在自己之中 。
ห้องสมุดไป่ตู้
14
(2)边界条件为
(3) 在最优控制U*(t)和最优轨线X*(t)上哈密顿函数达到最大值, 即
说明：由于定理2.1.2的中心内容是，使性能泛函达到极小值 的最优控制的必要条件是哈密顿函数H达到最大值，所以 ，该定理称为最大值原理。
*
15
例 2.1.1 给定一阶线性系统和初始条件 （2.1.11）
(1)应用最大值原理求解，为此构造哈密顿函数 （2.1.14）
*
16
按照最大值原理，为使泛函（2.1.13）达到极小值必须选择控 制函数u(t) ，使哈密顿函数（2.1.14）达到最大值。
由式(2.1.14)可见，当u(t)与((t)+1/2)同号，且取其约束条件
的边界值，即| u(t) |=1时，使哈密顿函数H达到最大值。所以 ，控制函数应选择为
求增量j设最优控制ut相应地也发生变分设为由状态方程221得2262015121543227将式227与式226相减并左乘以228考虑到哈密顿函数为则式228变为对上式两端进行积分得2292015121544对上式左端进行分部积分得将上式代入式229移项后得22102015121545将上式代入式2210得性能泛函的增量为2211化简增量j由于协态变量方程为2212并利用泰勒公式将式2211右端的第二项积分中的第一个函数的最优轨线x20151215462213其中02015121547将式2212和式2213代入式2211中经整理得2214在上式右端后两个积分中都含有它们相对于第一个积分而言都是高阶无穷小量记为于是式2214变为20151215482215反证法证明定理为了证明最大值原理是使性能泛函j达到极小值的必要条件需要证明
最大值原理没有提出哈密顿函数H对控制函数U(t)的可微 性的要求，因此，其应用条件进一步放宽了。并且，由最 大值原理所求得的最优控制U(t)使哈密顿函数H达到全局、 绝对最大值，而由古典变分法的极值条件H/ U=0所得到 的解是H的局部、相对最大值或驻值。因此，最大值原理 将古典变分法求解最优控制问题的极值条件作为一个特例 概括在自己之中 。
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14
(2)边界条件为
(3) 在最优控制U*(t)和最优轨线X*(t)上哈密顿函数达到最大值, 即
说明：由于定理2.1.2的中心内容是，使性能泛函达到极小值 的最优控制的必要条件是哈密顿函数H达到最大值，所以 ，该定理称为最大值原理。
*
15
例 2.1.1 给定一阶线性系统和初始条件 （2.1.11）
(1)应用最大值原理求解，为此构造哈密顿函数 （2.1.14）
*
16
按照最大值原理，为使泛函（2.1.13）达到极小值必须选择控 制函数u(t) ，使哈密顿函数（2.1.14）达到最大值。
由式(2.1.14)可见，当u(t)与((t)+1/2)同号，且取其约束条件
的边界值，即| u(t) |=1时，使哈密顿函数H达到最大值。所以 ，控制函数应选择为
求增量j设最优控制ut相应地也发生变分设为由状态方程221得2262015121543227将式227与式226相减并左乘以228考虑到哈密顿函数为则式228变为对上式两端进行积分得2292015121544对上式左端进行分部积分得将上式代入式229移项后得22102015121545将上式代入式2210得性能泛函的增量为2211化简增量j由于协态变量方程为2212并利用泰勒公式将式2211右端的第二项积分中的第一个函数的最优轨线x20151215462213其中02015121547将式2212和式2213代入式2211中经整理得2214在上式右端后两个积分中都含有它们相对于第一个积分而言都是高阶无穷小量记为于是式2214变为20151215482215反证法证明定理为了证明最大值原理是使性能泛函j达到极小值的必要条件需要证明
第3章 极大值原理
∂F d ∂F − =0 & ∂x dt ∂x d ∂F =0 & dt ∂w d ∂F =0 & dt ∂Z
横截条件：
（3-2-17）
（3-2-18）
（3-2-19）
∂Φ ∂ψ Ｔ ∂F &Ｔ + ν +F−x { } =0 & tf ∂t f ∂t f ∂x ∂Φ ∂ψ Ｔ ∂F { } =0 + ν+ & tf ∂x ∂x ∂x
（3-2-29） （3-2-30）
由 3.1 节中泛函达到极值的充分条件，维尔斯特拉斯 E 函数在泛函极小值时 沿最优轨线非负，即有
& ) − F ( x * , w* , Z * , x &*) &, w &, Z &* , w & *, Z E = F ( x * , w* , Z * , x ∂F ∂F & −Z & * ) Ｔ ∂F ≥ 0 &−x &* )Ｔ & −w & * )Ｔ − (x − (w − (Z & & & ∂x ∂w ∂Z
（3-2-2）
转移满足边界条件
ψ [ x (t f ), t f ] = 0
（3-2-3）
的终态，其中 tf 未知，并使性能指标（泛函）
32
J (u ) = Φ[ x(t f ), t f ] + ∫ L[ x(t ), u (t ), t )]dt
t0
tf
（3-2-5）
达到最小值，实现最优控制的条件是： （1） 设 u*(t)是最优控制，x*(t)为由此最优控制产生的最优轨线，则存在与 其相对应的协态向量 λ*(t)，使 x*(t)和 λ*(t)满足规范方程组
最优控制理论
最优控制理论本词条由“科普中国”百科科学词条编写与应用工作项目提供专业内容并参与编辑最优控制理论（optimal control theory），是现代控制理论的一个主要分支，着重于研究使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。
最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科。
它是现代控制理论的重要组成部分。
1简介这方面的开创性工作主要是由贝尔曼（R.E.Bellman）提出的动态规划和庞特里亚金等人提出的最大值原理。
这方面的先期工作应该追溯到维纳（N.Wiener）等人奠基的控制论（Cybernetics）。
1948年维纳发表了题为《控制论—关于动物和机器中控制与通讯的科学》的论文，第一次科学的提出了信息、反馈和控制的概念，为最优控制理论的诞生和发展奠定了基础。
2研究内容最优控制理论所研究的问题可以概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。
这类问题广泛存在于技术领域或社会问题中。
例如，确定一个最优控制方式使空间飞行器由一个轨道转换到另一轨道过程中燃料消耗最少，选择一个温度的调节规律和相应的原料配比使化工反应过程的产量最多，制定一项最合理的人口政策使人口发展过程中老化指数、抚养指数和劳动力指数等为最优等，都是一些典型的最优控制问题。
最优控制理论是50年代中期在空间技术的推动下开始形成和发展起来的。
苏联学者Л.С.庞特里亚金1958年提出的极大值原理和美国学者R.贝尔曼1956年提出的动态规划，对最优控制理论的形成和发展起了重要的作用。
线性系统在二次型性能指标下的最优控制问题则是R.E.卡尔曼在60年代初提出和解决的。
3主要方法为了解决最优控制问题，必须建立描述受控运动过程的运动方程，给出控制变量的允许取值范围，指定运动过程的初始状态和目标状态，并且规定一个评价运动过程品质优劣的性能指标。
极大值原理
极大值原理极大值原理极大值原理 maximum principle 最优控制理论中用以确定使受控系统或运动过程的给定性能指标取极大或极小值的最优控制的主要方法。
在工程领域中很大一类最优控制问题都可采用极大值原理所提供的方法和原则来定出最优控制的规律。
在理论上极大值原理还是最优控制理论形成和发展的基础。
极大值原理是对分析力学中古典变分法的推广能用于处理由于外力源的限制而使系统的输入即控制作用有约束的问题。
极大值原理是20世纪50年代中期苏联学者Л.С.庞特里亚金提出的有关这一原理的主要结果及其严格的数学证明都发表在后来出版的《最优过程的数学理论》一书中。
我今天的讲座就是讲自动控制的发展。
从开始阶段的发生到形成一个控制理论讲整个这个进程。
我们讲自动控制就是指这样的反馈控制系统这是有一个控制器跟一个控制对象组成的把这个控制对象的输出信号把它取回来测量回来以后跟所要求的信号进行比较。
根据这误差告诉控制器这就是机器内部的工作了。
让控制器完成这个控制作用使得这个偏差消除或者说使得控制对象的输出跟踪我所需要的要求的信号。
控制对象的输出量一般来说都是一个物理量比如说我控制一个机器的转速就是需要把速度测量出来才能进行控制。
自动控制系统从一开始出现的时候大家假如接触到这门学科的话可能都知道是瓦特的离心调速器。
这是离心调速器的几种方案的示意图什么叫离心调速器呢就是有两个飞球一转起来以后因为离心力飞球就往外胀。
飞球胀开以后这个下面的套筒就往上升这个套筒在移动就带动执行机构动作这是最早的瓦特的离心调速器。
实际上这个离心调速器不是瓦特发明的一般我们叫瓦特的离心调速器它实际上不是瓦特的发明。
这是什么呢就是在那个时期大家看到风力磨坊就是相当于离心调速器的那个飞球实际上在那个时候已经有这样的调速器。
瓦特是发明了蒸汽机用了这样的一个调速器但是现在很多人都愿意把这个离心调速器挂在瓦特的名下。
所以一般的书上大家看到的是瓦特的离心调速器你要看正式的书假如材料写的确切的话只说1788年前后不确切说哪一天的年代因为不是他发明的。
极大值原理
达到极小值。
t f L[x(t), u(t), t)]dt
t0
（3-2-1） （3-2-2） （3-2-3）
（3-2-4）
（3-2-5）
u(t)有界并受不等式约束，与前面讨论的问题不同。
u(t)有界一般可以考虑为是分段连续函数，对不等式约束则要设法转化
为等式约束处理。
引进新变量Z(t)和w(t)，取
第三章 极大值原理 （Maximum Principle）
前面介绍的变分法属于经典变分学的内容。
经典变分学只能解决容许控制属于开集的一类最优控制问题，而且 对轨线x( t )、函数L、f 均有连续可微要求。实际工程应用问题中， 这些要求一般无法得到满足。
为解决容许控制属于闭集的一类最优控制问题，前苏联数学家庞特 里亚金（俄文ЛОНТЛЯТИН，英文Pontryagin）受力学中 Hamilton原理启发，于1958年提出极大值原理并加以证明。
J( x) t f E[x(t), x(t), p( x, t), t] dt t0
其中 E[x, x, p, t] L[x, x, t] L[x,
p, t] [x p]
L[ x,
p, t]
称为维尔斯特拉斯E函数。
p
泛函J在曲线上达到极值的充分条件
设泛函J在曲线c上达到极值，可分为弱极值和强极值两种 情况，其充分条件分别为：
③ 对于c近旁所有点(x, t)以及任意的 x值，函数 E( x, x , p, t)
不变号，极小值时E≥0，极大值时E≤0。
3.2 连续系统极大值原理
考虑系统状态方程 x (t ) f [ x (t ), u(t ), t ]
其中，x ( t ) R n , u( t ) R m，m≤n
t f L[x(t), u(t), t)]dt
t0
（3-2-1） （3-2-2） （3-2-3）
（3-2-4）
（3-2-5）
u(t)有界并受不等式约束，与前面讨论的问题不同。
u(t)有界一般可以考虑为是分段连续函数，对不等式约束则要设法转化
为等式约束处理。
引进新变量Z(t)和w(t)，取
第三章 极大值原理 （Maximum Principle）
前面介绍的变分法属于经典变分学的内容。
经典变分学只能解决容许控制属于开集的一类最优控制问题，而且 对轨线x( t )、函数L、f 均有连续可微要求。实际工程应用问题中， 这些要求一般无法得到满足。
为解决容许控制属于闭集的一类最优控制问题，前苏联数学家庞特 里亚金（俄文ЛОНТЛЯТИН，英文Pontryagin）受力学中 Hamilton原理启发，于1958年提出极大值原理并加以证明。
J( x) t f E[x(t), x(t), p( x, t), t] dt t0
其中 E[x, x, p, t] L[x, x, t] L[x,
p, t] [x p]
L[ x,
p, t]
称为维尔斯特拉斯E函数。
p
泛函J在曲线上达到极值的充分条件
设泛函J在曲线c上达到极值，可分为弱极值和强极值两种 情况，其充分条件分别为：
③ 对于c近旁所有点(x, t)以及任意的 x值，函数 E( x, x , p, t)
不变号，极小值时E≥0，极大值时E≤0。
3.2 连续系统极大值原理
考虑系统状态方程 x (t ) f [ x (t ), u(t ), t ]
其中，x ( t ) R n , u( t ) R m，m≤n
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即:设 X * (t), * (t) 为满足状态方程和协状态方程的最优解。
在 H[X * (t),U * (t), * (t),t] 中。把H仅看作U的函数，若J为最小，必要条
件为 U * (t) 使得 H[X * (t),U * (t), * (t),t] 仅看作U的函数时也取最小值。
极小值原பைடு நூலகம்的证明：应用数学基础较多，有些书中用很大篇幅进行
(t f
)
X
tf
g T X
tf
g[ X (t f ), t f ] 0
t 若
f 自由:外加:
H |t f
t f
g T
t f
0
四、例题分析 :设一阶系统状态方程：
•
x(t) x(t) u(t)
x(0)=5
控制约束: 0.5 u 1
试求使性能指标: J
1
[x(t) u(t)]dt
第三章 极小值原理及应用
经典变分法缺陷：
1、应用前提：a 、控制量 u(t)的取值不受任何限制，没有任何 不等式约束。
b 、 f、L、 等函数对其自变量有充分可微性。
2、实际控制要求： a 、控制量u受不等式约束，如：Mi (u) 0 ，i=1,2,3…… b 、性能指标有时并不完全可微
如：燃料最优控制： J t f u(t) dt t0
若在容许控制范围内，J或H有极值且唯一，用极小值 原理与经典变分法，所得
结论一致。
一、<定理>极小值原理：[时变系统]
时变受控系统
•
X
f
(X ,U,t)，其中控制向量u(t)
R r，
为容许控制
域， U(t)是在内取值的任何分段连续函数，为使状态向量由初始
X (t0 ) X 0 转移到末端 X (t f )，X (t f ) 满足约束：g[ X (t f ), t f ] 0 ，
4et 1
0 t 0.307
所以 X * (t)
4.34et 0.5 0.307 t 1
将 X * ,U * 代入J可得:
J *
1
[
X
* (t )
U
* (t )]dt
8.64
0
例2: min J (u) 1 1(x2 u2 )dt
J[U ] H
u0 u u2
U 00 U11 U2 u
若采用经典变分：
H U
0,U *
U1;实际应为U *
U
。极小值原理。
0
J[U ] H
u0 u u1
U0
U1 u
若采用经典变分法： H 0 不再适用，求不出解来
U
实际应为 U * U0 极小值原理
J[U ] H
U0 U * U1
u u0 u u1
2) t0 , X (t0 ) X 0 给定，X (t f )自由，t f 未给定，
边界条件：
X
(t0
)
X 0, (t
f
)
X
t |t f 确定 f
:
H tf
t f
0
3) t0 , t f 已知，X (t0 ) X 0给定,末端受约束 g[ X (t f ), t f ] 0
边界条件为: X (t0 ) X 0
0
为极小值的最优控制U *(t)及最优性能指标 J *
t 解:定常系统, f 固定,末端自由问题
H x u (x u) x(1 ) u(1 )
根据极小值原理,使H绝对极小相当于使J为极小
1 1
所以 U * (t)
0.5 1
由协状态方程:
•
(t
)
H
[1 (t)]; (t) cet 1
在证明过程中：
与H得符号与这里所定义的相反。
_
H
H
_
_
H[X * (t), (t),U * (t)] max H[X * (t), (t), u(t)]
u(t)
∴所以有的文献中也称为“极大值原理”。
3、H对u没有可微要求，因此应用拓宽。 4、 极小值原来是求取最优控制的必要条件，非充分条件。 即：满足极小值原理不一定J取极小值,需进一步判断。
X (t0 ) X 0
(t
f
)
[ X (t f ), t
X (t f )
f
]
gT [ X [
X
(t (t
f f
,t )
f
)]
]
H
tf
t f
( gT t f
)
0
3、与 U * (t) 对应的哈密顿函数H取极小值。
H[X *(t),U *(t), *(t), t] min H[X *(t),U (t), *(t), t] u (t )
证明，省略。
二、极小值原理的意义：
1 、容许控制条件放宽
变分法：在整个控制域，对U没有约束 H 0 且即使U不受限制，
有时 H 0 计算不易。
u
u
极小值原理：H在U的约束闭集中取极小值。
变分法仅为极小值原理的一个特例。
2、最优控制 U * 使哈密顿函数H取极小值，极小值原理由此得名。
这一原理是苏联学者 “庞特里亚金”等人首先提出，而后加以证明得
t f 未定， 并使性能指标达
J
[ X (t f ), t f ]
tf t0
L[X (t),U (t), t]dt
到极小值。设
U
*
(t
)
和t
* f
是如上J为最小的最优解，X
*
(t
)为最优状态轨
线，则必存在不为0的n维向量 (t)，满足:
1、规范方程：
•
X f (X ,U,t)
•
H
X
2、边界条件：
一般:对于实际系统 有最优解 有唯一解 最优解 根据物理意义 －－－－－－－－
极小值原理
－－－－－－－－
－－
三、几种边界条件得讨论：
上面所讨论的是 t0和 X (t0 ) 已知。X (t f )受约束，t f 自由的最一般
情况。若 t f 和末端状态不同，只需改变极小值原理的边界条件即可。
1）t0 , t f已知，X (t0 ) X 0 , X (t f ) X f 边界条件为：X (t0 ) X 0 , X (t f ) X f
X
由横截条件: (1) ce1 1 0;c e;(t) e1t 1
显然:当 (ts ) 1时，U * (t) 产生切换
(ts ) e1ts 1 1,ts 0.307
1 0 t 0.307
所以 U * (t)
0.5 0.307 t 1
•
x(t)
x(t) 1 0 t 0.307
x(t) 0.5 0.307 t 1
x(t)
c1et 1 c2et 0.5
0 t 0.307 0.307 t 1
由x(0)=5代入,得c1 4
所以 x*(t) 4et 1
0 t 0.307
令t=0.307可得0.307≤t≤1时x(t)的初始条件:
x(0.307) 4e0.307 1 6.44 解得 c2 4.34
在 H[X * (t),U * (t), * (t),t] 中。把H仅看作U的函数，若J为最小，必要条
件为 U * (t) 使得 H[X * (t),U * (t), * (t),t] 仅看作U的函数时也取最小值。
极小值原பைடு நூலகம்的证明：应用数学基础较多，有些书中用很大篇幅进行
(t f
)
X
tf
g T X
tf
g[ X (t f ), t f ] 0
t 若
f 自由:外加:
H |t f
t f
g T
t f
0
四、例题分析 :设一阶系统状态方程：
•
x(t) x(t) u(t)
x(0)=5
控制约束: 0.5 u 1
试求使性能指标: J
1
[x(t) u(t)]dt
第三章 极小值原理及应用
经典变分法缺陷：
1、应用前提：a 、控制量 u(t)的取值不受任何限制，没有任何 不等式约束。
b 、 f、L、 等函数对其自变量有充分可微性。
2、实际控制要求： a 、控制量u受不等式约束，如：Mi (u) 0 ，i=1,2,3…… b 、性能指标有时并不完全可微
如：燃料最优控制： J t f u(t) dt t0
若在容许控制范围内，J或H有极值且唯一，用极小值 原理与经典变分法，所得
结论一致。
一、<定理>极小值原理：[时变系统]
时变受控系统
•
X
f
(X ,U,t)，其中控制向量u(t)
R r，
为容许控制
域， U(t)是在内取值的任何分段连续函数，为使状态向量由初始
X (t0 ) X 0 转移到末端 X (t f )，X (t f ) 满足约束：g[ X (t f ), t f ] 0 ，
4et 1
0 t 0.307
所以 X * (t)
4.34et 0.5 0.307 t 1
将 X * ,U * 代入J可得:
J *
1
[
X
* (t )
U
* (t )]dt
8.64
0
例2: min J (u) 1 1(x2 u2 )dt
J[U ] H
u0 u u2
U 00 U11 U2 u
若采用经典变分：
H U
0,U *
U1;实际应为U *
U
。极小值原理。
0
J[U ] H
u0 u u1
U0
U1 u
若采用经典变分法： H 0 不再适用，求不出解来
U
实际应为 U * U0 极小值原理
J[U ] H
U0 U * U1
u u0 u u1
2) t0 , X (t0 ) X 0 给定，X (t f )自由，t f 未给定，
边界条件：
X
(t0
)
X 0, (t
f
)
X
t |t f 确定 f
:
H tf
t f
0
3) t0 , t f 已知，X (t0 ) X 0给定,末端受约束 g[ X (t f ), t f ] 0
边界条件为: X (t0 ) X 0
0
为极小值的最优控制U *(t)及最优性能指标 J *
t 解:定常系统, f 固定,末端自由问题
H x u (x u) x(1 ) u(1 )
根据极小值原理,使H绝对极小相当于使J为极小
1 1
所以 U * (t)
0.5 1
由协状态方程:
•
(t
)
H
[1 (t)]; (t) cet 1
在证明过程中：
与H得符号与这里所定义的相反。
_
H
H
_
_
H[X * (t), (t),U * (t)] max H[X * (t), (t), u(t)]
u(t)
∴所以有的文献中也称为“极大值原理”。
3、H对u没有可微要求，因此应用拓宽。 4、 极小值原来是求取最优控制的必要条件，非充分条件。 即：满足极小值原理不一定J取极小值,需进一步判断。
X (t0 ) X 0
(t
f
)
[ X (t f ), t
X (t f )
f
]
gT [ X [
X
(t (t
f f
,t )
f
)]
]
H
tf
t f
( gT t f
)
0
3、与 U * (t) 对应的哈密顿函数H取极小值。
H[X *(t),U *(t), *(t), t] min H[X *(t),U (t), *(t), t] u (t )
证明，省略。
二、极小值原理的意义：
1 、容许控制条件放宽
变分法：在整个控制域，对U没有约束 H 0 且即使U不受限制，
有时 H 0 计算不易。
u
u
极小值原理：H在U的约束闭集中取极小值。
变分法仅为极小值原理的一个特例。
2、最优控制 U * 使哈密顿函数H取极小值，极小值原理由此得名。
这一原理是苏联学者 “庞特里亚金”等人首先提出，而后加以证明得
t f 未定， 并使性能指标达
J
[ X (t f ), t f ]
tf t0
L[X (t),U (t), t]dt
到极小值。设
U
*
(t
)
和t
* f
是如上J为最小的最优解，X
*
(t
)为最优状态轨
线，则必存在不为0的n维向量 (t)，满足:
1、规范方程：
•
X f (X ,U,t)
•
H
X
2、边界条件：
一般:对于实际系统 有最优解 有唯一解 最优解 根据物理意义 －－－－－－－－
极小值原理
－－－－－－－－
－－
三、几种边界条件得讨论：
上面所讨论的是 t0和 X (t0 ) 已知。X (t f )受约束，t f 自由的最一般
情况。若 t f 和末端状态不同，只需改变极小值原理的边界条件即可。
1）t0 , t f已知，X (t0 ) X 0 , X (t f ) X f 边界条件为：X (t0 ) X 0 , X (t f ) X f
X
由横截条件: (1) ce1 1 0;c e;(t) e1t 1
显然:当 (ts ) 1时，U * (t) 产生切换
(ts ) e1ts 1 1,ts 0.307
1 0 t 0.307
所以 U * (t)
0.5 0.307 t 1
•
x(t)
x(t) 1 0 t 0.307
x(t) 0.5 0.307 t 1
x(t)
c1et 1 c2et 0.5
0 t 0.307 0.307 t 1
由x(0)=5代入,得c1 4
所以 x*(t) 4et 1
0 t 0.307
令t=0.307可得0.307≤t≤1时x(t)的初始条件:
x(0.307) 4e0.307 1 6.44 解得 c2 4.34