分式不等式的证明与方法

分式不等式的证明与方法

摘要：分式不等式的证明是高中数学中的难点之一，本文主要通过作差法，利用基本不等式法，利用非负实数的性质，利用放缩法，环元法，构造法，类比法，局部不等式法来分析与 证明分式不等式，从而对分式不等式的证明有着整体的理解。通过方法与总结克服证明分式不等式的胆怯心理。

关键词：分式不等式 证明方法 作差法 基本不等式法 构造法

二．利用基本不等式法 均

值

不

等

式

即

：

利用不等式

∑

=n i y i x m i n 11

≥∑=∑=n

i y i n n

i x i n m

1

11)1(⇔

∑=-∑=n

i i

m

m y

x n

n

i i 1

2

1

1)(（2,1,,=∈+i R y x i i ）证明一

类难度较大的分式不等式是很简捷的。 例2.若1,2)(i R =∈+

a i 且N m s n

i i a ∈=∑=,1，则有∑+=-n

i m

a a i i 1

)(1)(s

n n s m

n +≥

证明:(1)当m=1时，

∵n a a n

i i

n

i i

2

1

1

1

≥∑∑=-=，s

n a n

i i

2

1

1

≥∑=-，所以有：)1

1

(a a i n

i i +∑=-=∑∑==-+n

i i

n i i a a 1

1

1

≧s

n 2

+s=n(n

s s

n

+)

(2)当m=2时,

)1

1

(a a i n

i i +∑=-≧

n

m 2

1

-n

i i n

i m

a a ∑+=-1

)(1≧n )(

n

s

s n m

+

综上，由（1）（2）知原不等式成立。 排序不等式即，适用于对称不等式

例3.设a,b,c 是正实数，求证：

23

≥+++++b a c a c b c b a 证明：不妨设a ≧c b ≥则b

a a c c

b +≥

+≥+1

11 由排序不等式得：

≥+++++b a c a c b c b a b a a a c c c b b +++++ (1) ≥+++++b a c a c b c b a b

a b a c a c b c +++++ (2) 由（1）+(2)得 2（

b a

c a c b c b a +++++）3≥，所以2

3≥+++++b a c a c b c b a 利用倒数不等式即:若a i >0,则n a a n

i i n

i i 2

1

11

≥∑∑=-=

例4．设βα,都是锐角，求证：且βα,取什么值时成立？ 证明：1cos sin 2

2

=+βα，不等式左边拆项得：

ββαcos sin sin cos 2

2

2

2

1

1

+

=

β

αβααsni

2

2

2

2

2

sin cos sin cos 1

1

1

+

+

又由于1sin sin cos sin cos 2

2

2

2

2

=++βαβαα 由倒数不等式有:

)

(sin sin cos sin cos 2

2

2

2

2

βαβαα++)1

1

1

(

2

2

2

2

2

sin cos sin cos β

αβααsni

+

+

≥9

所以原不等式成立

当且仅当βαβααsin sin cos sin cos 2

2222==即2tan ,1tan ==αβ时等

号成立。

利用柯西不等式法即利用)(1

R )(2

122

+==∈≤∑=∑∑b a b a b a i i n i i i n i i n i i i 来证明。

例5、如果

a a

a n >>> (2)

1

，n ∈N,且

n ≥3,求证

a a 211

-+a a 322

2-+…+a a n n n ---12

)1(+a a n n 1

2

-≥0 证明：原不等式等价于

a a 211

-+a

a 322

2-+…+

a a n n

n ---1

2

)1(≥

a

a n

n

-1

2

由柯西不等式得：

[（a 1-a 2）+（a 2-a 3）+（a n 1--a n ）][a a 211-+a a 3

22

2-+…+a a n n n ---12

)1(]≥

[1+2+…+)1(2

-n ]=

2

)]1([2-n n =4

)

1(2

2

-n n

当n ≥3时，4

)1(2

-n ≥1

所以a a 211

-+a a 3

22

2-+…+

a a n n n ---12

)1(≥a a n n n

--12

2

4

)

1(≥

a a n

n

-12

（5）利用Grammer 法则，即

把数学知识进行高初的有机结合是我们学习和对数学创新的一个重要目的

例6.设a i >0求证:

1

1

1

3

2

2

1

-≥

+++

+++

+-n n a

a a

a a

a

a a

a

n n

n

n

证明：令x a a a a n n 1132=+++-

x a a

a a n n 21

3

1

=+++-

……