《数学分析》第十七章 多元函数微分学

第十七章 多元函数微分学 ( 1 6 时 ) §1 可微性 ( 4 时 )

一． 可微性与全微分：

1． 可微性：由一元函数引入.

))()((22y x ∆+∆ο亦可写为y x ∆+∆βα,

→∆∆) , (y x ) 0 , 0 (时→) , (βα) 0 , 0 (.

2． 全微分:

例1 考查函数xy y x f =),(在点) , (00y x 处的可微性. [1]P 105 E1

二. 偏导数:

1. 偏导数的定义、记法:

2. 偏导数的几何意义: [1]P 109 图案17—1.

3. 求偏导数:

例2 , 3 , 4 . [1]P 142—143 E2 , 3 , 4 .

例5 设 . 0

, 0, 0 ,),(222222

2

3⎪

⎩⎪⎨⎧=+≠+++=y x y x y x y x y x f

证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 , 并求) 0 , 0 (x f 和) 0 , 0 (y f .

证

ρ

θθρρρθ

ρθρ)

sin cos (lim ),(lim

2320sin ,cos )

0,0(),(+===========→==→y x y x y x f

=)0,0(0)sin cos (lim 2

30

f ==+→θθρρρ. ),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 .

) 0 , 0 (x f =0||lim )0,0()0,(lim

300==-→→x x x x f x f x x , ) 0 , 0 (y f ||lim )0,0(),0(lim 2

00y y y y

f y f y y →→=-= 不存在 .

Ex [1]P 116—117 1⑴—⑼，2 — 4 .

三. 可微条件:

1. 必要条件:

Th 1 设) , (00y x 为函数),(y x f 定义域的内点.),(y x f 在点) , (00y x 可微⇒

) , (00y x f x 和) , (00y x f y 存在, 且

==),(00)

,(00y x df df

y x ) , (00y x f x +∆x ) , (00y x f y y ∆. (证)

由于dy y dx x =∆=∆ , ,微分记为=),(00y x df ) , (00y x f x +dx ) , (00y x f y dy . 定理1给出了计算可微函数全微分的方法.

两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分.

例6 考查函数⎪⎩⎪⎨⎧

=+≠++=

0 , 0, 0 , ),(2

2222

2y x y x y x xy y x f 在原点的可微性. [1]P 110 E5 .

2. 充分条件:

Th 2 若函数),(y x f z =的偏导数在的某邻域内存在, 且x f 和y f 在点) , (00y x 处连续 . 则函数f 在点) , (00y x 可微. (证) [1]P 111 Th 3 若),(y x f y 在点) , (00y x 处连续, ),(y x f x 点) , (00y x 存在,则函数f 在点

) , (00y x 可微.

证 f y y x x f -∆+∆+) , (00) , (00y x

[][]) , () , () , () , (00000000y x f y x x f y x x f y y x x f -∆++∆+-∆+∆+= 0 1,0 ),() , (0000→<<∆+∆+∆∆+∆+=αθαθx x y x f y y y x x f x y []

x x y x f y y x f x y ∆+∆+∆+=αβ),(),(0000 0→β y x y y x f x y x f y x ∆+∆+∆+∆=βα) , () , (0000.

即f 在点) , (00y x 可微 .

要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 .

例7 设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=.

0 , 0, 0 ,1sin )(),(2

22

22

222y x y x y x y x y x f

验证函数),(y x f 在点) 0 , 0 (可微, 但x f 和y f 在点) 0 , 0 (处不连续 . 证

).0 , 0(),( , 01sin

)

,(2

2

22→→++=y x y

x y x y x f ρ

因此)(),(ρο=y x f ,即 )(00)0,0(),(ρο+∆+∆=-y x f y x f ,f 在点)0 , 0(可微,

0)0,0( , 0)0,0(==y x f f . 但≠),(y x ) 0 , 0 (时, 有

2

2

2

2

2

2

1cos

1sin

2),(y

x y x x y

x x y x f x ++-

+=,

沿方向,kx y = 2

2

2

1||lim

lim

k

x x

y x x x x +=+→→不存在, ⇒沿方向,kx y = 极限

22

2

2

1cos lim

y

x y x x x ++→不存在; 又→),(y x ) 0 , 0 (时, 01sin

22

2

→+y

x x ,

因此,

),(lim

)

0,0(),(y x f x y x →不存在, x f 在点) 0 , 0 (处不连续.由f 关于x 和y 对称,y f 也在

点) 0 , 0 (处不连续 .

四. 中值定理:

Th 4 设函数f 在点) , (00y x 的某邻域内存在偏导数. 若),(y x 属于该邻域, 则存在

)(010x x x -+=θξ和)(020y y y -+=θη, 10 , 1021<<<<θθ, 使得

))( , ())( , (),(),(00000y y x f x x y f y x f y x f y x -+-=-ηξ. ( 证 ) 例8 设在区域D 内0==y x f f . 证明在D 内c x f ≡)(.

五. 连续、偏导数存在及可微之间的关系：

六.

可微性的几何意义与应用：

1． 可微性的几何意义： 切平面的定义. [1]P 115.