拉普拉斯变换和Z变换表
常用拉普拉斯变换及反变换
419附录A 拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质 齐次性)()]([s aF t af L =1线性定理叠加性)()()]()([2121s F s F t f t f L ±=±一般形式=−=][′−ٛ−=−=−−−−=−∑11)1()1(1222)()()0()()(0)0()(])([)0()(])([k k k k nk k n n n n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L M ）（ 2微分定理初始条件为0时)(])([s F s dtt f d L n nn =一般形式 }}∑∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫==+−===+=++=+=nk t n n k n n n n t t t dt t f ss s F dt t f L sdt t f s dt t f s s F dt t f L sdt t f s s F dt t f L 101022022]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个共个共L L M3积分定理初始条件为0时}nnn s s F dt t f L )(]))(([=∫∫个共L4 延迟定理（或称t 域平移定理）)()](1)([s F e T t T t f L Ts−=−− 5 衰减定理（或称s 域平移定理）)(])([a s F e t f L at +=−6 终值定理 )(lim )(lim 0s sF t f st →∞→=7 初值定理 )(lim )(lim 0s sF t f s t ∞→→=8 卷积定理)()(])()([])()([21021021s F s F d t f t f L d f t f L tt =−=−∫∫τττττ4202．表A-2 常用函数的拉氏变换和z 变换表 序号 拉氏变换E(s)时间函数e(t) Z 变换E(z)1 1δ(t)12 Ts e −−11∑∞=−=0)()(n T nT tt δδ 1−z z3 s1 )(1t 1−z z 421s t2)1(−z Tz5 31s 22t32)1(2)1(−+z z z T6 11+n s!n t n )(!)1(lim 0aTn n n a e z z a n −→−∂∂− 7 as +1ate −aTe z z−− 8 2)(1a s + atte− 2)(aT aT e z Tze −−−9 )(a s s a +ate−−1 ))(1()1(aT aT e z z z e −−−−− 10 ))((b s a s ab ++− btate e−−−bTaT e z z e z z −−−−− 11 22ωω+st ωsin 1cos 2sin 2+−T z z Tz ωω12 22ω+s st ωcos1cos 2)cos (2+−−T z z T z z ωω 13 22)(ωω++a s t eatωsin −aTaT aT eT ze z T ze 22cos 2sin −−−+−ωω 14 22)(ω+++a s a st e at ωcos −aTaT aTe T ze z T ze z 222cos 2cos −−−+−−ωω15aT s ln )/1(1−T t a/az z −4213． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
拉氏变换和z变换表
附录A 拉普拉斯变换及反变换1.拉氏变换的基本性质1()([n n k f t dt s s-+=+∑⎰个2．常用函数的拉氏变换和z 变换表附表A-2 常用函数的拉氏变换和z 变换表3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式，即1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中，系数n n a a a a ,,...,,110-和011,,,,m m b b b b -都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
（1）0)(=s A 无重根：这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式，即∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)( （F-1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根；i c 为待定常数，称为()F s 在i s 处的留数，可按下列两式计算：lim()()ii i s s c s s F s →=- （F-2）或iss is A s B c ='=)()( （F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝1in s ti i c e =∑ (F-4) （2）0)(=s A 有重根：设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…，n s 为F(s)的n r -个单根；其中，1+r c ，…，n c 仍按式(F-2)或式(F-3)计算，r c ，1-r c ，…，1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→11lim[()()]ir r s s dc s s F s ds-→=-)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1( （F-6）。
拉普拉斯变换表
419附录A 拉普拉斯变换及反变换 1.表A-1 拉氏变换的基本性质 1线性定理齐次性 )()]([s aF t af L =叠加性)()()]()([2121s F s F t f t f L ±=±2微分定理一般形式=-=][ '- -=-=----=-∑11)1()1(1222)()()0()()(0)0()(])([)0()(])([k k k k nk k n n nn dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ）（ 初始条件为0时)(])([s F s dt t f d L n nn =3积分定理一般形式∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==+-===+=++=+=nk t n n k n n nn t t t dt t f s s s F dt t f L sdt t f s dt t f s s F dt t f L sdt t f s s F dt t f L 101022022]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个共个共初始条件为0时n n n ss F dt t f L )(]))(([=⎰⎰个共4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=--5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=-6 终值定理)(lim )(lim 0s sF t f s t →∞→=7 初值定理)(lim )(lim 0s sF t f s t ∞→→=8 卷积定理)()(])()([])()([21021021s F s F d t f t f L d f t f L tt =-=-⎰⎰τττττ4202．表A-2 常用函数的拉氏变换和z 变换表 序号 拉氏变换E(s) 时间函数e(t)Z 变换E(z)1 1δ(t)12Tse --11∑∞=-=0)()(n T nT t t δδ1-z z 3s1 )(1t1-z z 421st2)1(-z Tz 531s 22t 32)1(2)1(-+z z z T611+n s!n t n)(!)1(lim 0aT n n n a ez z a n -→-∂∂- 7as +1at e - aTez z --82)(1a s +atte-2)(aT aT e z Tze ---9)(a s s a + ate--1))(1()1(aT aT e z z z e ----- 10))((b s a s ab ++-bt at e e --- bTaT e z ze z z -----1122ωω+st ωsin1cos 2sin 2+-T z z Tz ωω 1222ω+s st ωcos1cos 2)cos (2+--T z z T z z ωω 1322)(ωω++a st e atωsin - aTaT aT e T ze z Tze 22cos 2sin ---+-ωω1422)(ω+++a s a s t eatωcos -aT aT aT eT ze z T ze z 222cos 2cos ---+--ωω 15aT s ln )/1(1- T t a /az z -4213． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
拉普拉斯变换及其逆变换表
1.表 A-1 拉氏变换的基本性质
1 线性定理 齐次性 叠加性
L[ af (t )] aF ( s )
L[ f 1 (t ) f 2 (t )] F1 ( s ) F2 ( s )
df (t ) ] sF ( s ) f (0) dt d 2 f (t ) L[ ] s 2 F ( s ) sf (0) f （ 0 ） dt 2 L[
1(t )
z z 1
1 s2
1 s3
t
t2 2
Tz ( z 1) 2
T 2 z ( z 1) 2( z 1) 3
1 s n 1
1 sa
tn n!
lim
( 1) n n z ( ) n a 0 n! a z e aT
z z e aT
e at te
at
1 n 1 n 0 1 m 1 m
代数定理可将 F ( s ) 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① A( s) 0 无重根 这时，F(s)可展开为 n 个简单的部分分式之和的形式。
c c c c c F (s ) ss ss ss ss ss
1 2 i n n i i 1 1 2 i n
r 1 r 1 n r 1 1 r 1 i n r 1
c c c c c c (s s ) (s s ) (s s ) s s ss ss
r 1 1 1 r 1 i
n
式中， s1 为 F(s)的 r 重根， s r 1 ，…, sn 为 F(s)的 n-r 个单根； 其中， c r 1 ，…, cn 仍按式(F-2)或(F-3)计算， cr ， cr 1 ，…, c1 则按下式计算：
拉普拉斯变换及反变换.
拉普拉斯变换及反变换1.拉氏变换的基本性质表-1 拉氏变换的基本性质1()([n n k f t dt s s-+=+∑⎰个2．常用函数的拉氏变换和z 变换表表-2 常用函数的拉氏变换和z 变换表3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式，即1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中，系数n n a a a a ,,...,,110-和011,,,,m m b b b b -都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
（1）0)(=s A 无重根：这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式，即∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)( （1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根；i c 为待定常数，称为()F s 在i s 处的留数，可按下列两式计算：lim()()ii i s s c s s F s →=- （2）或iss i s A s B c ='=)()( （3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝1in s ti i c e =∑ (4)（2）0)(=s A 有重根：设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r r s s s s s s s B s F ---=+=nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…，n s 为F(s)的n r -个单根；其中，1+r c ，…，n c 仍按式(F-2)或式(F-3)计算，r c ，1-r c ，…，1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→11lim[()()]ir r s s dc s s F s ds-→=-)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1( （6）。
Laplace拉氏变换公式表
419附录A 拉普拉斯变换及反变换1.表A-1拉氏变换的基本性质1线性定理齐次性)()]([s aF t af L =叠加性)()()]()([2121s F s F t f t f L ±=±2微分定理一般形式=−=][ ′− −=−=−−−−=−∑11)1()1(1222)()()0()()(0)0()(])([)0()(])([k k k k nk k n n nn dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ⋮）（初始条件为0时)(])([s F s dtt f d L n nn =3积分定理一般形式��∑∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫==+−===+=++=+=nk t n n k n n nn t t t dt t f s s s F dt t f L sdt t f s dt t f s s F dt t f L sdt t f s s F dt t f L 101022022]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个共个共⋯⋯⋮初始条件为0时�nn n ss F dt t f L )(]))(([=∫∫个共⋯4延迟定理（或称t 域平移定理）)()](1)([s F e T t T t f L Ts −=−−5衰减定理（或称s 域平移定理）)(])([a s F e t f L at +=−6终值定理)(lim )(lim 0s sF t f s t →∞→=7初值定理)(lim )(lim 0s sF t f s t ∞→→=8卷积定理)()(])()([])()([21021021s F s F d t f t f L d f t f L tt =−=−∫∫τττττ4202．表A-2常用函数的拉氏变换和z 变换表序号拉氏变换E(s)时间函数e(t)Z 变换E(z)11δ(t)12Tse −−11∑∞=−=0)()(n T nT t t δδ1−z z 3s1)(1t 1−z z 421s t2)1(−z Tz 531s 22t 32)1(2)1(−+z z z T 611+n s !n t n )(!)1(lim 0aTn n n a e z z a n −→−∂∂−7as +1at e −aTe z z−−82)(1a s +atte−2)(aT aT e z Tze −−−9)(a s s a +ate−−1))(1()1(aT aT e z z z e −−−−−10))((b s a s a b ++−bt at e e −−−bT aT e z ze z z −−−−−1122ωω+s t ωsin 1cos 2sin 2+−T z z Tz ωω1222ω+s s tωcos 1cos 2)cos (2+−−T z z T z z ωω1322)(ωω++a s t e atωsin −aTaT aT e T ze z Tze 22cos 2sin −−−+−ωω1422)(ω+++a s a s teatωcos −aTaT aT e T ze z T ze z 222cos 2cos −−−+−−ωω15aT s ln )/1(1−Tt a /az z −4213．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
(完整版)拉普拉斯变换及其逆变换表
拉普拉斯变换及其反变换表3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式11n 1n nn11m 1m mmas a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++==---- （m n >）式中系数n1n 1a ,a ,...,a ,a-，m1m 1b ,b ,b ,b - 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=n1i iinnii2211ss cs s c s s c s s c s s c )s (F 式中，Sn 2S 1S ，，， 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )s (F )s s (lim c is s i-=→或is s i)s (A )s (B c='=式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]t s n 1i i n 1i i i 11i e c s s cL )s (F L )t (f -==--∑∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==② 0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())s s ()s s ()s s ()s (B s F n1r r 1---=+=nnii1r 1r 111r 11r r 1rss cs s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c -++-++-+-++-+-++-- 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)s (F )s s (lim c r1s s r-=→)]s (F )s s ([dsdlim c -=)s (F )s s (dsd lim !j 1c -=)s (F )s s (dsdlim )!1r (1c --=原函数)(t f 为 [])()(1s F L t f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=s s cs s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c L e c e c t c t )!2r (c t )!1r (c ∑+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-= （F-6）。
拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换
拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换t t8 卷积定理L[ [f i(t—l)f2&)dE] =L[ [f i(t)f2(t—l)dl] = F i(s)F2(s)用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设F(s)是s 的有理真分式A(s)二0有重根设A(s) = 0有r 重根s ，F(s)可写为F s-(s-s ,)r(s-s ri ) (s-s n )B(s)b m 「4 g b0A(s)n ,n 」a n S - a n 」s 山…“y s - a 。
式中系数a 0, a i ,..., a n J ,a n , b °,b i , b m 」,b m 都是实常数; 将F(s)展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
m,n 是正整数。
按代数定理可①A(s) = 0无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
i C 2C jC nF(s) 121— s — s i s — S 2s — ss_s nC i(F-1)式中，q,s 2,…,s n 是特征方程 A(s) = 0的根。
C i 为待定常数，称为 可按下式计算：F(s)在S i 处的留数,式中,C =lim (s _sJF (s)S Tic _ B(s) iA(s)s zs iA (s)为A(s)对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式(4 I l j n C i =L !F (S )】=L 巨一—S — Sj 一 f(t)C in -s it=' Ci e ii =1(F-2)(F-3)F-1 )可求得原函数(F-4)B(s)式中, 其中,& r -(S —S i) (s—s)C if ,s〜) CriS —■S r iG •…©S - s S—S nS i为F(s)的r重根，S r审,…,s n为F(s)的n-r个单根;C r +，…,C n 仍按式(F-2)或(F-3)计算，C r，C rj，…, C i则按下式计算:f(t)为厂c r =lim (s — sj r F(s)T id rC ri =lim [(s -sj F(s)] dss :siC i原函数f (t)二L°〔F(s) I冷冗加(DEi d(7C i _____ . C r i ....(F-5)(s -S i)r 1(s—s i) S —S r*G *…+C nS — S j S —S nt r^ +…+c2t +G e Sit(r-2)! 2 5S i t°e iF-6)欢迎您的下载，资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
拉氏变换表
① 无重根
这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式。
（F-1）
式中，是特征方程A(s)＝0的根。为待定常数，称为F(s)在处的留数，可
按下式计数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原
函数
＝
(F-4)
2 有重根
设有r重根，F(s)可写为
=
式中，为F(s)的r重根，，…, 为F(s)的n-r个单根；
A 拉普拉斯变换及反变换
1.表A-1 拉氏变换的基本性质
1
齐次性
线性定
理
叠加性
2 微分定 一般形式
理 初始条件为0
时
一般形式
3 积分定
理
初始条件为0
时
4 延迟定理（或称域平移 定理）
5 衰减定理（或称域平移 定理）
6 终值定理
7 初值定理
8 卷积定理
2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
序 拉氏变换
其中，，…, 仍按式(F-2)或(F-3)计算，，，…, 则按下式计算：
(F-5)
原函数为
（F-6）
号
E(s)
时间函数e(t)
1
1
δ(t)
2
3
4
t
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Z变换E(z) 1
3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，
然后逐项查表进行反变换。设是的有理真分式 （）
式中系数，都是实常数；是正整数。按代数定理可将展开为部分分式。 分以下两种情况讨论。
拉普拉斯变换的基本性质变换及反变换
拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)( （F-1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i-=→ （F-2）或iss i s A s B c ='=)()( （F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1(F-4)②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+=nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→-)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(（F-6）。
拉氏变换及Z变换表
c b e b c e a b c a te at
bt
2
at
c b z b c z
s s b s a
s a s b b a s c s a s b
ab s s a s b
ba
e at e bt
c a e at b c e bt
1 be ae ab ab
at bt
c a z b c z
z
2
2z aTe aT z aT 2 ze z e aT
a b s b s a 2 a b s c s b s a 2
2
a b Te aT z z z 2 z e bT z e aT z e aT
拉氏变换及 Z 变换表
拉氏变换 Y ( s ) 时间函数 y (t ) Z 变换 Y ( z )
e nTs
(t nT )
(t )
1(t )
z n
1或z
0
1
1 s 1 s2 1 s3 1 s n 1
1 s (1 T ) ln a
z z 1
T 2 z z 1 3 2z 1
abc s s a s b s c
1
b a c a
ab
bc
e at
c b a b
ca
e bt
a c b c
(完整版)拉普拉斯变换表
拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质12．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表233． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==----ΛΛ （m n >）式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni iin n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(ΛΛ （F-1）式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→ （F-2） 或is s i s A s B c ='=)()(（F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts ni i i e c -=∑1(F-4)4② 0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r r s s s s s s s B s F ---=+Λ=n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11111111)()()(式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r ss r -=→ )]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→- M)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5) M)()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F L t f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L ΛΛΛ111111111)()()( t s nr i i t s r r r r i e c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(Λ （F-6）。
(完整版)拉普拉斯变换及其逆变换表.doc
拉普拉斯变换及其反变换表1. 表 A-1 拉氏变换的基本性质1齐次性线性定理叠加性2微分定理一般形式初始条件为0 时L [ af ( t )] aF ( s )L [ f 1 ( t ) f 2 ( t )] F 1 ( s ) F 2 ( s )L [df ( t )sF ( s ) f ( 0 )dt ]d2f 2 ( t )L [dt] s 2 F ( s ) sf ( 0 ) f （0 ）L dnf n ( t ) s n F ( s )ns n k f ( k 1 ) ( 0 )kdt 1f ( k 1 ) ( t )d k1 f ( t )dt k 1L [d nf n ( t ) ] s n F ( s )dt一般形式3积分定理L[ f (t )dt] F (s)[f (t )dt]t 0s s2F (s) [ f (t)dt]t 0 [L[ f (t)( dt) ] s2 s2共n个n共 n个nF (s) 1L[ f (t)(dt) ] [s n k 1 s n k 1共n个2f (t )(dt) ]t 0f (t)(dt)n ]t 0初始条件为0 时4延迟定理（或称 t 域平移定理）5衰减定理（或称 s 域平移定理）6终值定理7初值定理8卷积定理L[ f ( t)( dt) n ] F ( s)s nL[ f (t T )1(t T )] e Ts F ( s)L[ f (t )e at ] F ( s a)lim f ( t) lim sF ( s)t s 0lim f (t ) lim sF (s)t 0 stf1(t ) f2 ( )d ]tL[ L[ f1(t) f2 (t )d ] F1 (s)F2 (s)0 02．表 A-2 常用函数的拉氏变换和z 变换表序号1 2 3 4 5 6 7 拉氏变换F(s)111 e Ts1s12s13s1s n 11s a时间函数f(t)δ(t)T (t)(t nT )n 01(t )tt 22t nn!e atZ 变换 F(z)1zz 1zz 1Tz(z 1)2T 2 z(z 1)2(z 1) 3lim( 1) n nzn ( aT)a 0 n! a z ezaTz eaT8 1( s a) 2 te at Tze( z e aT )2aT91011121314as(s a)b a(s a)(s b)s2 2ss2 2(s a)2 2s a(s a)2 211 e ate at e btsin tcos te at sin te at cos t(1 e ) z(z 1)( z e aT )z zz e aT z e bTz sin Tz2 2zcos T 1z( z cos T )z2 2 zcos T 1ze aT sin Tz2 2ze aT cos T e 2 aTz2 ze aT cos Tz2 2ze aT cos T e 2 aTz15 s (1 / T ) ln a a t / Tz a3．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
常用函数Laplace变换表
3． 用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行
反变换。设 F (s) 是 s 的有理真分式
F (s)
B(s) A(s)
bm s m an s n
bm1s m1 b1s b0 an1s n1 a1s a0
（n m）
cn
n
ci
s s1 s s2
s si
s sn i1 s si
（F-1）
式中， s1, s2 ,, sn 是特征方程 A(s)＝0 的根。 ci 为待定常数，称为 F(s)在 si 处的留数，可
按下式计算：
ci
lim(s
ssi
si
)
F
(
s
)
或
（F-2）
B( s) ci A(s)
s si
附录 A 拉普拉斯变换及反变换
1.表 A-1 拉氏变换的基本性质 1 齐次性 线性定理 叠加性
2 微分定理 一般形式
L[af (t)] aF (s) L[ f1 (t) f 2 (t)] F1 (s) F2 (s)
L[ df (t)] sF (s) f (0) dt
d2 L[
f
(t)]
式中系数 a0 , a1,...,an1, an ， b0 ,b1,bm1,bm 都是实常数； m, n 是正整数。按代数定理可 将 F (s) 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。
① A(s) 0 无重根
这时，F(s)可展开为 n 个简单的部分分式之和的形式。
F (s) c1 c2 ci
（F-3）
式中， A(s) 为 A(s) 对 s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
附录Ⅰ 拉普拉斯变换
其中 s j 为复变量，σ为实部，ω为虚部。
F(s)称为 f(t)的拉氏变换（或称为象函数）。 若 F(s)是 f(t)的拉氏变换，则称 f(t)为 F(s)的拉氏反变换（或称为象原函数），记为：
f (t) L1[F (s)] 。
例1
求单位阶跃函数
u(t)
0, t 1, t
1 s3
T 2 z(z 1) 2(z 1)3
9
t eat
1 (s a)2
Tze aT ( z eaT )2
10
1 eat
11
sinωt
12
cosωt
13
eat sin t
a s(s a)
s2 2
s s2 2
(s a)2 2
(1 eaT )z (z 1)(z eaT )
附录Ⅰ 拉普拉斯变换
附录Ⅰ 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换简称拉氏变换。它是一种通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的 变换。拉氏变换可将较复杂的线性微分方程变换为代数方程，从而达到简化运算的目的。 在自动控制领域中，采用这一方法，能将线性系统的动态数学模型（通常用线性微分方程 描述）方便地转换为系统的传递函数。而经典自动控制理论正是以传递函数为基础而建立 的，因此，拉氏变换是自动控制领域中不可缺少的运算工具。
用直接按正余弦函数的拉氏变换式分解的方法，解法如下：
F (s)
1
(s
s3 1)2 1
1
(s
s 1 1)2 1
(s
2 1)2
1
查拉氏变换表得
f (t) (t) et cos t 2et sin t
拉普拉斯变换与Z变换
tia
e − at
l
f (t ) = L−1 [ F ( s )] 。
例 1 求单位阶跃函数 u (t ) = 解 由拉氏变换的定义有：
C
0, t < 0 的拉氏变换。 1, t > 0
+∞
on
0 0
F(s)称为 f(t)的拉氏变换（或称为象函数） 。 若 F(s)是 f(t)的拉氏变换，则称 f(t)为 F(s)的拉氏反变换（或称为象原函数） ，记为：
定义：设函数 f(t)当 t≥0 时有定义，而且积分 某一域内收敛，则由此积分所描述的函数可写为
∫
+∞
0
f (t )e − st dt （s 是一个复参量）在 s 的
F ( s) = ∫
+∞
0
f (t )e − st dt
en
Z 变换 F(z) 1
其中 s = σ + jω 为复变量，σ为实部，ω为虚部。
2
ny
11 12
sinωt
cosωt
pa
13
e − at sin ωt
ω (s + a) 2 + ω 2 s+a (s + a) 2 + ω 2
om
14
e − at cos ωt
C
fid
2
ze −T sin ωT z 2 − 2 ze −T cos ωT + e −2 aT z 2 − ze − aT cos ωT ) z 2 − 2 ze −aT cos ωT + e − 2 aT
1 1 − e −Ts 1 s 1 s+a 1 s − (1 / T ) ln a 1 s2
(完整word版)拉氏变换常用公式
附录 A 拉普拉斯变换及反变换表 A-1 拉氏变换的基天性质齐次性1线性定理叠加性一般形式微分定理2初始条件为0 时一般形式积分定理3初始条件为0 时4延缓定理（或称 t 域平移定理）5衰减定理（或称 s域平移定理）6终值定理7初值定理8卷积定理L[ af (t )] aF ( s)L[ f1 ( t) f 2 (t )] F1 (s) F2 ( s)L[ df (t ) ] sF ( s) f (0)dtd 2 f (t )s2F (s) sf ( 0) f（）L[ dt2] 0Ld nf (t ) s n F (s) n s n k f (k 1) (0)dt n k 1f ( k 1) ( t) d k 1 f (t)dt k 1L[ d n f (t ) ] s n F ( s)dt nL[ f (t)dt]F (s) [ f (t)dt]t 0s sL[ f (t )(dt)2 ] F (s)[ f (t )dt]t 0 [ f (t)( dt)2]t 0s2 ss2共 n个n共n个nF (s) 1 nL[ f (t )(dt) ] 1 [ f (t)( dt) ]t 0n n ks k 1 s共n个L[ f (t )(dt) n ] F ( s)s nL[ f (t T )1(t T )]Tse F (s)L[ f (t)e at ] F (s a)lim f (t) lim sF (s)t s0lim f (t) lim sF(s)t 0st tL[ 0 f1 (t) f2 ( )d ] L[ 0 f1(t ) f2 (t)d ]F1( s)F2 (s)序表 A-2 常用函数的拉氏变换和z 变换表号1 2 3 456 拉氏变换E(s)111 e Ts1s12s13s1s n 1时间函数e(t)δ(t)T (t )(t nT )n01(t )tt 22t nn!Z 变换 E(z)1zz 1zz 1Tz2T 2 z(z 1)2( z 1) 3lim ( 1) nnn( zaT)a 0 n! a z e7 1s a e atzaTz e81( s a) 2 teataTTze9101112131415as(s a)b a(s a)(s b)s2 2ss2 2(s a) 2 2s a2 2(s a)1s (1/ T ) ln a1 e ate at e btsin tcos te at sin te at cos ta t / T(1 e aT )z(z 1)( z e aT )z zz e aT z e bTzsin Tz2 2z cos T 1z2z(z cos T )2z cos T 1ze aT sin Tz2 2ze aT cos T e 2 aTz 2 ze aT cos Tz2 2ze aT cos T e 2 aTzz a用查表法进行拉氏反变换用表法行拉氏反的关在于将式行部分分式睁开，而后逐表行反。