圆与函数整合中考题

2012潍坊

如图，三角形ABC 的两个顶点B 、C 在圆上，顶点A 在圆外，AB 、AC 分别交圆于E 、D 两点，连结EC 、BD ．

(1)求证：ΔABD ∽ΔACE ；

(2)若ΔBEC 与ΔBDC 的面积相等，试判定三角形ABC 的形状．

2012威海

20.如图，AB 为⊙的直径，弦CD ⊥AB ，垂为点E 。K 为»AC

上一动点，AK 、DC 的延长线相交于点F ，连接CK 、KD 。 （1）求证：∠AKD=∠CKF ；

（2）若，AB=10，CD=6，求tan ∠CKF 的值。

【答案】解：（1）证明：连接AD 。

∵∠CKF 是圆内接四边形ADCK 的外角， ∴∠CKF=∠ADC 。

∵AB 为⊙的直径，弦CD ⊥AB ，∴»»AD

AC 。 ∴∠ADC=∠AKD 。∴∠AKD =∠CKF 。

（2）连接OD 。

∵AB 为⊙的直径，AB=10，∴OD=5。 ∵弦CD ⊥AB ，CD=6，∴DE=3。

在Rt △ODC 中，22OE OD DE 4=-=。∴AE=9。 在Rt △ADE 中，AE 9

tan ADE 3DE 3

∠=

==。 ∵∠CKF=∠ADE ，∴tan CKF 3∠=。

11．(2011·芜湖)如图，已知直线P A 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径．点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠P AE ，过C 作CD ⊥P A ，垂足为D .

(1)求证：CD 为⊙O 的切线；

(2)若DC ＋DA ＝6，⊙O 的直径为10，求AB 的长度． 解 (1)证明：连接OC ，

∵点C 在⊙O 上，OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC . ∵CD ⊥P A ，∴∠CDA ＝90°， ∴∠CAD ＋∠DCA ＝90°. ∵AC 平分∠P AE ， ∴∠DAC ＝∠CAO .

∴∠DCO ＝∠DCA ＋∠ACO ＝∠DCA ＋∠CAO ＝∠DCA ＋∠DAC ＝90°. 又∵点C 在⊙O 上，OC 为⊙O 的半径， ∴CD 为⊙O 的切线．

(2)解：过O 作OF ⊥AB ，垂足为F ， ∴∠OCD ＝∠CDA ＝∠OFD ＝90°， ∴四边形OCDF 为矩形， ∴OC ＝FD ，OF ＝CD .

∵DC ＋DA ＝6，设AD ＝x ，则OF ＝CD ＝6－x . ∵⊙O 的直径为10，∴DF ＝OC ＝5， ∴AF ＝5－x .

在Rt △AOF 中，由勾股定理得

AF 2＋OF 2＝OA 2. 即(5－x )2＋(6－x )2＝25， 化简得：x 2－11x ＋18＝0， 解得x ＝2或x ＝9.

由AD

∵OF ⊥AB ，由垂径定理知，F 为AB 的中点， ∴AB ＝2AF ＝6.

2012大连

26.如图15，抛物线y=ax 2+bx +c 经过A (-3,0)、B (3,0)、C (0,3)三点，线段BC 与抛物线的对称轴l 相交于点D 。设抛物线的顶点为P ，连接PA 、AD 、DP ，线段AD 与y 轴相交于点E 。

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在平面直角坐标系中是否存在点Q ，使以Q 、C 、D 为顶点的三角形与△ADP 全等？

若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由；

（3）将∠CED 绕点E 顺时针旋转，边EC 旋转后与线段BC 相交于点M ，边ED 旋转后与

对称轴l 相交于点N ，连接PM 、DN ，若PM=2DN ，求点N 的坐标（直接写出结果）。

26、(1)33

32312++-

=x x y (2) )7,0(1Q ;)4,33(2Q ;)2,3(3-Q ;)1,32(4-Q

(3)如图，做EF ⊥l 于点F ，

由题意易证明△PMD ≌△EMD ，△CME ≌△DNE ∴PM=EM=EN=2DN ，由题意DF=1，EF=3，NF=1-DN

在Rt △EFN 中 222NF EF EN +=

∴()2

2134DN DN -+=解得3

1

13-=

DN ∴3

13

731132-=

--=GN ∴)3137,3(-N

（1（2的取值范围；

①当平行四边形OEAF 的面积为24 ②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 在，请说明理由．

12．(2011·綦江)在如图的直角坐标系中，已知点A (1,0)、B (0，－2)，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°至AC .

(1)求点C 的坐标；

(2)若抛物线y ＝－1

2

x 2＋ax ＋2经过点C .

①求抛物线的解析式；

②在抛物线上是否存在点P (点C 除外)使△ABP 是以AB 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

解 (1)过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，

在△ACD 和△BAO 中，有∠CAD ＋∠BAO ＝90°，∠ABO ＋∠BAO ＝90°，∴∠CAD ＝∠ABO .又∵∠ADC ＝∠AOB ＝90°，CA ＝AB ，∴△ACD ≌△BAO ，∴CD ＝OA ＝1，AD ＝BO ＝2，∴点C 的坐标为(3，－1)．

(2)①∵抛物线y ＝－1

2

x 2＋ax ＋2经过点C (3，－1)，

∴－1＝－12×32＋3a ＋2，解得a ＝1

2

.

∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋1

2x ＋2.

②解法一：

i ) 当A 为直角顶点时 ，延长CA 至点P 1，使AP 1＝AC ＝AB ，则△ABP 1是以AB 为直角边的等腰直角三角形．

过点P 1作P 1E ⊥x 轴， ∵AP 1＝AC ，∠EAP 1＝∠DAC ，∠P 1EA ＝∠CDA ＝90°，∴△EP 1A ≌△DCA ，∴AE ＝AD ＝2, EP 1＝CD ＝1，∴可求得P 1的坐标为(－1,1)．

经检验点P 1在抛物线上，因此存在点P 1满足条件；

ii ) 当B 为直角顶点时，过点B 作直线l ⊥BA ，在直线l 上分别取BP 2＝BP 3＝AB ，得到以AB 为直角边的等腰Rt △ABP 2和等腰Rt △ABP 3.作P 2F ⊥y 轴，同理可证△BP 2F ≌△ABO ，

∴P 2F ＝BO ＝2, BF ＝OA ＝1，可得点P 2的坐标为(－2，－1)，经检验P 2在抛物线上，因此存在点P 2满足条件．

同理可得点P 3的坐标为(2，－3)，经检验P 3不在抛物线上，故不存在满足条件的点P 3.