换个角度看问题--数学一题多解

换个角度看问题--数学一题多解

换个角度看问题，这边风景独好

一题多解面面观山东省郓城一中梁桂梅数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通”，这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的。通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。从而培养创新精神和创造能力。

下面仅举一例进行一题多解和一题多变来说明：

例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。

解答此题的方法比较多，下面给出几种常见的思想方法，以作示例。

解法一：（函数思想）由x+y=1得y=1-x，则

x2+y2= x2+（1-x）2=2x2－2x+1=2（x－1

2

）2+

1

2

由于x∈[0，1]，根据二次函数的图象与性质知

当x=1

2时，x2+y2取最小值

1

2

；当x=0或1时，x2+y2取最大值1。

评注：函数思想是中学阶段基本的数学思想之一，揭示了一种变量之间的联系，往往用函数观点来探求变量的最值。对于二元或多元函数的最值问题，往往是通过变量替换转化为一元函数来解决，这是一种基本的数学思想方法。解决函数的最值问题，我们已经有比较深的函数理论，函数性质，如单调性的运用、导数的运用等都可以求函数的最值。

解法二：（三角换元思想）由于x+y=1，x、y≥0，则可设

x=cos2θ，y=sin2θ其中θ∈[0，π

2

]

则x2+y2= cos4θ+sin4θ=（cos2θ+sin2θ）2－2 cos2θsin2θ

=1－1

2（2sinθcosθ）2=1－

1

2

sin22θ

=1－1

2×

1－cos4θ

2

=

3

4

+

1

4

cos4θ

于是，当cos4θ=－1时，x 2+y 2取最小值12

； 当cos4θ=1时，x 2+y 2取最小值1。

评注：三角换元思想也是高中数学的基本思想方法之一，通过三角换元就将问题转化为三角恒等式变形后来解决，而三角恒等变形却有着一系列的三角公式，所以运用三角换元解决某些问题往往比较方便。

解法三：（对称换元思想）由于x+y=1，x 、y ≥0，则可设

x=12 +t ， y=12 －t ，其中t ∈[－12 ，12

] 于是，x 2+y 2= （12 +t ）2+（12 －t ）2=12 +2t 2 t 2∈[0，14

] 所以，当t 2=0时，x 2+y 2取最小值12 ；当t 2=14

时，x 2+y 2取最大值1。 评注：对称换元将减元结果进行简化了，从而更容易求最值。

这三种方法，在本质上都一样，都是通过函数观点来求最值，只是换元方式的不同而已，也就导致了化简运算量大小不同，教师通过引导、启发学生主动思考、运用，提高了学生对数学的认识，也增强了学生思维能力的提高。

解法四：（运用基本不等式）由于x 、y ≥0且x+y=1

则 xy ≤（x+y ）24 =14 ，从而0≤xy ≤14

于是，x 2+y 2=（x+y ）2－2xy=1－2xy

所以，当xy=0时，x 2+y 2取最大值1；当xy=14 时，x 2+y 2取最小值12

。 评注：运用基本不等式可以解决一些含有两个未知量的最值问题，但要注意等号成立的条件是否同时满足。

解法四：（解析几何思想）设d=x 2+y 2 ，则d 为动点C （x ，y ）到原点（0，

0）的距离，于是只需求线段⎪⎩

⎪⎨⎧≥≥=+001y x y x 上的点到原点的最大和最小距离就可。

当点C 与A 或B 重合时，d max =1，则（x 2+y 2）max

当OC ⊥AB 时d min = 2

2 ，则（x 2+y 2）min =12

评注：使学生在数和形的理解把握好一个联系的尺度，能够由数想到形的意义，由形想到数的结构，从而达到快速解决这类问题的目的。事实上，有许多解析几何最值问题和代数中许多最值问题都可以用类似的方法解决，这对学生数学思维能力的培养，有着很积极的作用。

解法五：（数形结合思想）设x 2+y 2=r 2（r ＞0），此二元方程表示以坐标原点为圆心、半径为r 的动圆，记为⊙F 。

于是，问题转化为⊙F 与线段⎪⎩⎪⎨⎧≥≥=+001y x y x

有公共点，求r 的变化范围。

当⊙F 经过线段AB 端点时r max =1；当⊙F 与线段AB 相切时r min = 2 2

则 12

≤x 2+y 2≤1 评注：此解法与解法四并无本质区别，关键是数形结合思想的形成。 至此，解答本题的几种常见方法介绍完毕，下面展示对本题的变式和推广。 解法六： 设.22y x z +=

.2

121)21()21(1,12222≥+-+-=+--+=∴=+y x y x y x z y x ∴ 当21==y x 时，.21＝最小z 即22y x +的最小值为.2

1 评注：配方法是解决求最值问题的一种常用手段，利用已知条件结合所求式子，配方后得两个实数平方和的形式，从而达到求最值的目的。