信号与系统4-2差分方程的解法课件
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信号与系统复习课件全
(2) (b)计算零状态响应:
yzs [k ]
n
x[n]h[k
n]
u[k
]
3(
1 2
)
k
2( 1 ) k 3
u[k
]
n
u[n]
3(
1 2
)kn
2( 1 ) k n 3
u[k
-
n]
k n0
3(
1 2
)k
n
2( 1 ) k n 3
k 3(1 )kn k 2(1)kn
n0 2
CLTI系统数学模型——线性常系数微分方程，冲
激响应h(t);系统函数H(s);频率响应特性H( jw)
H (s) Yzs (s) X (s)
LT
h(t) H(s)
H ( j) H (s) |s j (系统稳定)
FT
h(t) H(j )
26
DLTI系统数学模型——线性常系数差分方程；冲
激响应h(n);系统函数H(z);频率响应特性H(ejw).
则
yzi[k ]
C1
(
1 2
)k
C2
(
1 )k 3
，k
0
代入初始条件,有:
y[1] 2C1 3C2 0
y[2] 4C1 9C2 1 C1 1/ 2, C2 1/ 3
则
yzi[k ]
1 2
(1)k 2
1 3
( 1 ) k ，k 3
0
= ( 1 )k1 (1)k1，k 0
2
3
17
n0 3
[ 3 3(1)k (1)k ]u[k] 23
完全响应: y[k] yzi[k] yzs[k]
[ 1 7 (1)k 4 (1)k ]u[k]
第4讲 差分方程方法(new)PPT课件
它的平衡点 x* 0 是稳定的充要条件是 A 的所有特
征根都有 i 1(i 1,2,, n) 。
对于一阶线性常系数非齐次差分方程组
x(k 1) Ax(k) B(k 0,1,2,)
的情况同样给出。
11
2020年11月23日
二 差分方程的平衡点及其稳定性
3.二阶线性常系数差分方程的平衡点
二阶线性常系数齐次差分方程的一般形式为
则 x* 也是一阶线性差分方程 xk1 f (x*)(xk x*) f (x*)
的平衡点. 故平衡点 x* 稳定的充要条件是 f (x* ) 1 。
2020年11月23日
三 连续模型的差分方法
1. 微分的差分方法
问题：已知 f (x) 在点 xk 处的函数值 f (xk )(k 0,1,, n 1) ，且 a x0 x1 xn1 b，试求函数的导数值 f (xk )(k 1,2,, n) 。
二 差分方程的平衡点及其稳定性
4.一阶非线性差分方程的平衡点
一阶非线性差分方程的一般形式为
xk1 f (xk ),k 0,1,2,
其中 f 为已知函数，其平衡点定义为方程 x f (x) 的解 x* 。
事实上：将 f (xk ) 在 x* 处作一阶的台勒展开有
xk1 f (x* )( xk x* ) f (x* )
, n)
14
2020年11月23日
三 连续模型的差分方法
2. 定积分的差分方法
问题：已知 f (x) 在点 xk 处的函数值 f (xk )(k 0,1,, n) ，
b
且在[a,b]上可积，试求 f (x) 在[a,b] 上的积分值 f (x)dx 。 a
对应代数方程:
k a1k1 a2k2 ak 0
征根都有 i 1(i 1,2,, n) 。
对于一阶线性常系数非齐次差分方程组
x(k 1) Ax(k) B(k 0,1,2,)
的情况同样给出。
11
2020年11月23日
二 差分方程的平衡点及其稳定性
3.二阶线性常系数差分方程的平衡点
二阶线性常系数齐次差分方程的一般形式为
则 x* 也是一阶线性差分方程 xk1 f (x*)(xk x*) f (x*)
的平衡点. 故平衡点 x* 稳定的充要条件是 f (x* ) 1 。
2020年11月23日
三 连续模型的差分方法
1. 微分的差分方法
问题：已知 f (x) 在点 xk 处的函数值 f (xk )(k 0,1,, n 1) ，且 a x0 x1 xn1 b，试求函数的导数值 f (xk )(k 1,2,, n) 。
二 差分方程的平衡点及其稳定性
4.一阶非线性差分方程的平衡点
一阶非线性差分方程的一般形式为
xk1 f (xk ),k 0,1,2,
其中 f 为已知函数，其平衡点定义为方程 x f (x) 的解 x* 。
事实上：将 f (xk ) 在 x* 处作一阶的台勒展开有
xk1 f (x* )( xk x* ) f (x* )
, n)
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2020年11月23日
三 连续模型的差分方法
2. 定积分的差分方法
问题：已知 f (x) 在点 xk 处的函数值 f (xk )(k 0,1,, n) ，
b
且在[a,b]上可积，试求 f (x) 在[a,b] 上的积分值 f (x)dx 。 a
对应代数方程:
k a1k1 a2k2 ak 0
信号与系统5-2差分方程的Z变换解课件
电信学院
1
前向差分方程
查公式
考虑二阶系统：
y(k 2) a1y(k 1) a0 y(k) b2 f (k 2) b1 f (k 1) b0 f (k)
初始值：yzi (0), yzi (1)
两边取Z变换有：
(z2 a1z a0 )Y (z) yzi (0)z2 yzi (1)z a1yzi (0)z (b2z2 b1z b0 )F(z)
1
(z
1)( z
2)
z
1
3
z
1
z
1
3
z
2
全响应
yzs (k )
[2 3
(1)k
1 3
(2)k
] (k)
y(k)
yzi
(k)
yzs (k )
[
2 3
6(1)k
2 3
(2)k
]
(k)
电信学院 返回
8
例 5.12 解 法 二
y(k 2) 3y(k 1) 2y(k) f (k 1) 3 f (k) yzi(1)=1, yzi(2)=3
F(z)
Y (z) Yzi (z) Yzs (z) 零输入响应
零状态响应
电信学院
3
系统函数
定义
H
(z)
零状态响应的z变换 激励信号的z变换
Yzs (z) F(z)
二阶系统零状态响应
Yzs (z)
b2z2 b1z b0 z2 a1z a0
F(z)
H (z)F (z)
对n阶LTI系统的系统函数
(b2z2 b1z b0 )F(z) b2 f (0)z2 b2 f (1)z b1 f (0)z
令：M (z) [ y(0) b2 f (0)]z2 [ y(1) a1y(0) b2 f (1) b1 f (0)]z
西安电子科技大学信号与系统课件ppt-第1章信号与系统
般步骤： (1)若信号 f(t)→f(at+b)，则先反转，后展缩，再平 移； ( ２ ) 若信号 f(mt+n)→f(t) ，则先平移，后展缩，再
反转；
(３)若信号f(mt+n)→f(at+b)，则先实现f(mt+n)→f(t)， 再进行f(t)→f(at+b)。
例１―４试粗略地画出下列信号的波形图： (1) f1(t)=(2-3e-t)· u(t)； (2) f2(t)=(5e-t-5e-3t)· u(t)； (3) f3(t)=e-|t|(-∞<t<∞)； (4) f4(t)=cosπ(t-1)· u(t+1)； (5) f5(t)=sin π /2 (1-t)· u(t-1)； (6) f6(t)=e-tcos10πt(u(t-1)-u(t-2))；
系统的输入和输出是连续时间变量 t 的函数，叫作
连续时间系统。输入用f(t)表示,输出用y(t)表示。
图1.6 连续时间信号及反转波形
图1.7 离散时间信号及反转波形
7.平移
以变量t- t0代替信号f(t)中的独立变量t，得信号f(tt0) ，它是信号 f(t) 沿时间轴平移 t0 的波形。这里 f(t) 与 f(t-t0)的波形形状完全一样,只是在位置上移动了t0(t0为 一实常数)。 t0 >0，f(t)右移； t0 <0，f(t)左移；平移距 离为| t0 |。 图１.８表示连续时间信号的平移。这类信号在雷 达、声纳和地震信号处理中经常遇到。利用位移信号
图1.9 f(t)、f(2t)、f(t/2)的波形
9.综合变换 以变量at+b代替f(t)中的独立变量t，可得一新的信 号函数 f(at+b) 。当 a> ０时，它是 f(t) 沿时间轴展缩、平 移后的信号波形；当a<０时，它是f(t)沿时间轴展缩平 移和反转后的信号波形，下面举例说明其变换过程。
反转；
(３)若信号f(mt+n)→f(at+b)，则先实现f(mt+n)→f(t)， 再进行f(t)→f(at+b)。
例１―４试粗略地画出下列信号的波形图： (1) f1(t)=(2-3e-t)· u(t)； (2) f2(t)=(5e-t-5e-3t)· u(t)； (3) f3(t)=e-|t|(-∞<t<∞)； (4) f4(t)=cosπ(t-1)· u(t+1)； (5) f5(t)=sin π /2 (1-t)· u(t-1)； (6) f6(t)=e-tcos10πt(u(t-1)-u(t-2))；
系统的输入和输出是连续时间变量 t 的函数，叫作
连续时间系统。输入用f(t)表示,输出用y(t)表示。
图1.6 连续时间信号及反转波形
图1.7 离散时间信号及反转波形
7.平移
以变量t- t0代替信号f(t)中的独立变量t，得信号f(tt0) ，它是信号 f(t) 沿时间轴平移 t0 的波形。这里 f(t) 与 f(t-t0)的波形形状完全一样,只是在位置上移动了t0(t0为 一实常数)。 t0 >0，f(t)右移； t0 <0，f(t)左移；平移距 离为| t0 |。 图１.８表示连续时间信号的平移。这类信号在雷 达、声纳和地震信号处理中经常遇到。利用位移信号
图1.9 f(t)、f(2t)、f(t/2)的波形
9.综合变换 以变量at+b代替f(t)中的独立变量t，可得一新的信 号函数 f(at+b) 。当 a> ０时，它是 f(t) 沿时间轴展缩、平 移后的信号波形；当a<０时，它是f(t)沿时间轴展缩平 移和反转后的信号波形，下面举例说明其变换过程。
信号与系统-吴大正PPT课件
■ 第 17 页
§1.2 信号的描述和分类
信号的描述 信号的分类 几种典型确定性信号
■ 第 18 页
一、信号的描述
信号是信息的一种物理体现。它一般是随时间或 位置变化的物理量。
信号按物理属性分：电信号和非电信号。它们 可以相互转换。
电信号容易产生，便于控制，易于处理。本课 程讨论电信号——简称“信号”。
▲
■
第1页
信号与系统
是电子技术、信息工程、通信工程 等专业重要的学科基础课
课程介绍
Signals and Systems
电子技术、 信息工程、 通信工程 等专业的 考研课程
■
第3页
课程位置
先修课
后续课程
《高等数学》 《通信原理》
《线性代数》 《数字信号处理》
《复变函数》 《自动控制原理》
《电路分析基础》 《数字图像处理》
▲
■
第7页
参考书目
(1)郑君里等. 信号与系统(第二版) . 北京：高等教育出 版社, 2000 (2) 管致中等 . 信号与线性系统 (第四版) . 北京：高等 教育出版 社, 2004 (3)A.V.OPPENHEIM. 信号与系统 (第二版) .北京 ：电 子工业出版 社, 2002 (4)王松林、张永瑞、郭宝龙、李小平.信号与线性系统 分析 (第4版) 教学指导书. 北京:高等教育出版 社, 2006
▲
■
第8页
信号与系统
第一章 信号与系统
第二章 连续系统的时域分析
第三章 离散系统的时域分析
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
第五章 连续系统的s域分析
第六章 离散系统的z域分析
第七章 系统函数
第八章 系统的状态变量分析
§1.2 信号的描述和分类
信号的描述 信号的分类 几种典型确定性信号
■ 第 18 页
一、信号的描述
信号是信息的一种物理体现。它一般是随时间或 位置变化的物理量。
信号按物理属性分：电信号和非电信号。它们 可以相互转换。
电信号容易产生，便于控制，易于处理。本课 程讨论电信号——简称“信号”。
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信号与系统
是电子技术、信息工程、通信工程 等专业重要的学科基础课
课程介绍
Signals and Systems
电子技术、 信息工程、 通信工程 等专业的 考研课程
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第3页
课程位置
先修课
后续课程
《高等数学》 《通信原理》
《线性代数》 《数字信号处理》
《复变函数》 《自动控制原理》
《电路分析基础》 《数字图像处理》
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参考书目
(1)郑君里等. 信号与系统(第二版) . 北京：高等教育出 版社, 2000 (2) 管致中等 . 信号与线性系统 (第四版) . 北京：高等 教育出版 社, 2004 (3)A.V.OPPENHEIM. 信号与系统 (第二版) .北京 ：电 子工业出版 社, 2002 (4)王松林、张永瑞、郭宝龙、李小平.信号与线性系统 分析 (第4版) 教学指导书. 北京:高等教育出版 社, 2006
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第8页
信号与系统
第一章 信号与系统
第二章 连续系统的时域分析
第三章 离散系统的时域分析
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
第五章 连续系统的s域分析
第六章 离散系统的z域分析
第七章 系统函数
第八章 系统的状态变量分析
差分方程课件
例3 求 yt t 2 3t 的差分.
解 由差分的运算性质，有
yt (t 3 ) 3 t (t 1) (3 )
2 t t 2 2 t
3 (2t 1) (t 1) 2 3 3 (2t 6t 3)
t 2 t t 2
.
1 差分方程的概念
差分满足以下性质： （1） （2） （3）
(Cyt ) Cyt (C为常数)
（yt zt ) yt zt
（yt zt ) zt yt yt 1zt
yt zt yt yt zt ( zt 0) （4） （ ) zt zt 1 zt
引例1： Fibonacci （斐波那契）数列
问题 13世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作《算盘书》 中记载着这样一个有趣的问题： 一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一 个月后可以繁殖出一对幼兔. 若不计兔子的死亡数，问一年之 后共有多少对兔子？
月份
幼兔 成兔
0
1 0
1
引例2：日常的经济问题中的差分方程模型
1）. 银行存款与利率 假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利 率为7%. 用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列 就是你每年的存款额： a0, a1, a2, a3, …, an,… 设r为年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款问题的数学模型 是： a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3,…
yt t
( n)
t (t 1)(t 2) (t n 1) ，则
yt (t 1)( n) t ( n) (t 1)t (t 1) (t 1 n 1)
微分方程和差分方程方法ppt课件
但增加是有一定限度的，当产品在市场上趋于 饱和时，销售速度将趋于极限值，这时无论采 取那种形式作广告(不包括其它的促销手段)， 都不能使销售速度增加。
ppt精选版
22
设 M 为销售饱和水平，即市场对产品的最 大容纳能力，它对应着销售速度的上限。当 销售速度达到饱和水平之后，广告已不起作 用，销售速度随时间增加而自然衰减，同样 为衰减因子， 0 ，且为常数。
ppt精选版
16
x(t t) x(t) kx(t)t
两边除以t ，令t 0 ，有
lim x(t t) x(t) kx (t)
t 0
t
即 x(t) 满足微分方程
d x kx (t) dt
其解为
(3.7)
x(t) C ekt
若已知t 0 时，x(0) x0 ，则满足初值条件的解为
ppt精选版
12
r(x)
r0
(1
x xm
)
(3.4)
这样 Malthus 模型公式(3.2)变为
d x d t
r0
x (1
x xm
)
x(0) x0
(3.5)
称为阻滞增长模型或 Logistic 模型。由分离
变量法，解得
x(t)
xm
1 ( xm 1) er0 t
x0
(3.6)
ppt精选版
8
这种为了使用数学工具的需要而对离散量进 行连续化处理的方法，在建模中经常使用，如 将道路中运动的车辆群视为连续的“流体”， 动物种群和生产产品当达到一定数量都可以 看作是连续的变量。有时建模中也会作相反的 处理，比如求微分方程近似解时，把连续量进 行离散化，通过数值格式迭代求出数值解。因 此在一定条件下，连续和离散是相对的，可以 转换的，当然这种连续化或离散化的处理必须 是合理和适当的。
ppt精选版
22
设 M 为销售饱和水平，即市场对产品的最 大容纳能力，它对应着销售速度的上限。当 销售速度达到饱和水平之后，广告已不起作 用，销售速度随时间增加而自然衰减，同样 为衰减因子， 0 ，且为常数。
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16
x(t t) x(t) kx(t)t
两边除以t ，令t 0 ，有
lim x(t t) x(t) kx (t)
t 0
t
即 x(t) 满足微分方程
d x kx (t) dt
其解为
(3.7)
x(t) C ekt
若已知t 0 时，x(0) x0 ，则满足初值条件的解为
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12
r(x)
r0
(1
x xm
)
(3.4)
这样 Malthus 模型公式(3.2)变为
d x d t
r0
x (1
x xm
)
x(0) x0
(3.5)
称为阻滞增长模型或 Logistic 模型。由分离
变量法，解得
x(t)
xm
1 ( xm 1) er0 t
x0
(3.6)
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8
这种为了使用数学工具的需要而对离散量进 行连续化处理的方法，在建模中经常使用，如 将道路中运动的车辆群视为连续的“流体”， 动物种群和生产产品当达到一定数量都可以 看作是连续的变量。有时建模中也会作相反的 处理，比如求微分方程近似解时，把连续量进 行离散化，通过数值格式迭代求出数值解。因 此在一定条件下，连续和离散是相对的，可以 转换的，当然这种连续化或离散化的处理必须 是合理和适当的。
信号与系统PPT全套课件
T T
T
f (t ) dt
f (t ) dt
2
2
（1.1-1）
1 P lim T 2T
T
T
（ 1.1-2 ）
上两式中，被积函数都是f ( t )的绝对值平方，所以信号能量 E 和信号功率P 都是非负实数。 若信号f ( t )的能量0 < E < , 此时P = 0，则称此信号 为能量有限信号，简称能量信号（energy signal）。 若信号f ( t )的功率0 < P < , 此时E = ，则称此信 号为功率有限信号，简称功率信号（power signal）。 信号f ( t )可以是一个既非功率信号，又非能量信号， 如单位斜坡信号就是一个例子。但一个信号不可能同时既是 功率信号，又是能量信号。
1.3 系统的数学模型及其分类
1.3.1 系统的概念 什么是系统（ system ）？广义地说，系统是由若干相互作用 和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。例如， 通信系统、自动控制系统、计算机网络系统、电力系统、水 利灌溉系统等。通常将施加于系统的作用称为系统的输入激 励；而将要求系统完成的功能称为系统的输出响应。 1.3.2 系统的数学模型 分析一个实际系统，首先要对实际系统建立数学模型，在数 学模型的基础上，再根据系统的初始状态和输入激励，运用 数学方法求其解答，最后又回到实际系统，对结果作出物理 解释，并赋予物理意义。所谓系统的模型是指系统物理特性 的抽象，以数学表达式或具有理想特性的符号图形来表征系 统特性。
2．连续信号和离散信号 按照函数时间取值的连续性划分，确定信号可分为连续时 间信号和离散时间信号，简称连续信号和离散信号。 连续信号（ continuous signal）是指在所讨论的时间内，对 任意时刻值除若干个不连续点外都有定义的信号，通常用f ( t ) 表示。 离散信号（discrete signal）是指只在某些不连续规定的时刻 有定义，而在其它时刻没有定义的信号。通常用 f(tk) 或 f(kT) [简写 f(k )] 表示，如图1.1-2所示。图中信号 f (tk) 只在t k = －2, －1, 0, 1, 2, 3,…等离散时刻才给出函数值。
郑君里信号与系统课件
2 an T1
T1 2 T 1 2
f ( t )dt
余弦分量 系数 正弦分量 系数
T1 2 T 1 2
f ( t ) cos(n1t )dt
2 bn T1
T1 2 T 1 2
f ( t ) sin( n1t )dt
注意！
傅立叶级数与傅立叶系数的联系与区别
指数形式傅立叶级数的傅里叶系数
尺度变换、初值、终值
卷积特性 拉氏逆变换
部分分式展开法（求系数）
系统函数H(s)
定义（两种定义方式）
求解（依据两种定义方式）
第四章 拉普拉斯变换、 连续时间系统的s域分析
收敛域：实际上就是拉氏变换存在的条件；
σ t
lim f (t ) e
t
0
σ σ0
三．一些常用函数的拉氏变换
t n st n n1 st e t e dt s 0 s 0
n n1 st t e dt s 0 n n 1 n 所以 L t L t s n1
Lt t e d t
st 0
1 1 st 1 e s2 s s 0 n2 2 2 1 2 2 L t Lt 2 3 s s s s n3 3 2 3 2 6 3 Lt Lt 3 4 s s s s
1 sin( t ) (e jt e jt ) 2j 1 cos(t ) (e jt e jt ) 2
推出 公式
第一章 绪论
关于冲激信号
(at )
1 (t ) a
尺度变换特性
(t ) f (t ) f (0) (t )
T1 2 T 1 2
f ( t )dt
余弦分量 系数 正弦分量 系数
T1 2 T 1 2
f ( t ) cos(n1t )dt
2 bn T1
T1 2 T 1 2
f ( t ) sin( n1t )dt
注意！
傅立叶级数与傅立叶系数的联系与区别
指数形式傅立叶级数的傅里叶系数
尺度变换、初值、终值
卷积特性 拉氏逆变换
部分分式展开法（求系数）
系统函数H(s)
定义（两种定义方式）
求解（依据两种定义方式）
第四章 拉普拉斯变换、 连续时间系统的s域分析
收敛域：实际上就是拉氏变换存在的条件；
σ t
lim f (t ) e
t
0
σ σ0
三．一些常用函数的拉氏变换
t n st n n1 st e t e dt s 0 s 0
n n1 st t e dt s 0 n n 1 n 所以 L t L t s n1
Lt t e d t
st 0
1 1 st 1 e s2 s s 0 n2 2 2 1 2 2 L t Lt 2 3 s s s s n3 3 2 3 2 6 3 Lt Lt 3 4 s s s s
1 sin( t ) (e jt e jt ) 2j 1 cos(t ) (e jt e jt ) 2
推出 公式
第一章 绪论
关于冲激信号
(at )
1 (t ) a
尺度变换特性
(t ) f (t ) f (0) (t )
差分方程讲解老师优秀课件
定理1.4 若数列{an}具有性质: 对一切n有2an c, c为一个常数, 则该数列的项遵从二次变化模式, 而且表达其通项的公式是一个二次多项式.
注: 一般地, 由k次多项式定义的数列的k1阶 差分为零, 反之, 若数列{an}的k1阶差分为 零, 则存在一个生成该数列的k次多项式.
§1 数列的差分
问 题 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定
当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定
蛛网模型
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格
消费者的需求关系 需求函数 yk f(xk) 减函数
生产者的供应关系 供应函数 xk1h(yk) 增函数
§2 一阶线性差分方程
解析解给出了一个我们可以直接计算数列 中任何特定项的函数. 解析解的另一个优点 是, 当我们求得一个解析解时, 通常也同时 得到了通解. 相比之下, 用迭代计算求得的 解只从属于某个初始条件.
§2 一阶线性差分方程
二. 齐次线性差分方程的解析解
定理2.1 一阶线性差分方程an1 ran b的解为
§2 一阶线性差分方程
定义2.5 差分方程的一个解析解是一个函数, 当 把它代入差分方程时就得到一个恒等式, 而且还 满足任何给定的初始条件. 差分方程 an1 an 0.07an 若把函数ak (0.07)kc, 其中c为任意常数, 代入差 分方程就得到一个恒等式:
ak1 (1.07)k1c (1.07)k c 0.07(1.07)k c,
an
an
2an
1
0
1
2
2
1
1
2
3
0
3
2
4
3
5
2
5
8
7
注: 一般地, 由k次多项式定义的数列的k1阶 差分为零, 反之, 若数列{an}的k1阶差分为 零, 则存在一个生成该数列的k次多项式.
§1 数列的差分
问 题 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定
当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定
蛛网模型
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格
消费者的需求关系 需求函数 yk f(xk) 减函数
生产者的供应关系 供应函数 xk1h(yk) 增函数
§2 一阶线性差分方程
解析解给出了一个我们可以直接计算数列 中任何特定项的函数. 解析解的另一个优点 是, 当我们求得一个解析解时, 通常也同时 得到了通解. 相比之下, 用迭代计算求得的 解只从属于某个初始条件.
§2 一阶线性差分方程
二. 齐次线性差分方程的解析解
定理2.1 一阶线性差分方程an1 ran b的解为
§2 一阶线性差分方程
定义2.5 差分方程的一个解析解是一个函数, 当 把它代入差分方程时就得到一个恒等式, 而且还 满足任何给定的初始条件. 差分方程 an1 an 0.07an 若把函数ak (0.07)kc, 其中c为任意常数, 代入差 分方程就得到一个恒等式:
ak1 (1.07)k1c (1.07)k c 0.07(1.07)k c,
an
an
2an
1
0
1
2
2
1
1
2
3
0
3
2
4
3
5
2
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8
7
分式方程 (PPT)4-2
一 教学目标 1．使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，能用去 分母的方法或换元的方法求此类方程的解，并会验根；
2．通过本节课的教学，向学生渗透“转化”的数学思想方法；
3．通过本节的教学，继续向学生渗透事物是相互联系及相互转化 的辨证唯物主义观点.
二 重点、难点、疑点及解决ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ法 1．教学重点：可化为一元二次方程的分式方程的解法．
2．教学难点：解分式方程，学生不容易理解为什么必须进行检 验． 3. 教学疑点：学生容易忽视对分式方程的解进行检验通过对分式方 程的解的剖析，进一步使学生认识解分式方程必须进行检验的重要 性．
目录 形态特征 生长习性 地理分布 4 相关变种 主要价值 ? 药用价值 ? 观赏价值 ? 工业价值 栽培技术 ? 培育管理 ? 田间管理 ? 采收加工 7 防寒保护 ? 覆土防 寒法 ? 覆草防寒法 ? 设障防寒法 ? 冬灌防寒法 ? 涂白防寒法 ? 薄膜防寒法 ? 药剂防治法 ? 防冻害五法 形态特征编辑 油松 油松(张) 油松为乔木，高达米， 胸径可达米以上；树皮灰褐色或红褐色，裂； 口才加盟品牌前十名 口才加盟品牌前十名 ；成不规则较厚的鳞状块片，裂缝及上部树皮红褐 色；枝平展或向下斜展，老树树冠平顶，小枝较粗，褐黄色，无毛，幼时微被白粉；冬芽矩圆形，顶端尖，微具树脂，芽鳞红褐色，边缘有丝状缺裂。 针叶
但那时人们认为不管什么气体都不能单独存在，既不能收集，也不能进行测量。这位医生认为氢气与空气没有什么不同，很快就放弃了研究。 最先把氢气收
集起来并进行认真研究的是在7年英国的一位化学家卡文迪什。 卡文
去括号,得
4x 4 x x2 x
整理,得
x2 4x 4 0
解这个方程，得
针一束，深绿色，粗硬，长-厘米，径约.毫米，边缘有细锯齿，两面具气孔线；横切面半圆形，二型层皮下层，在第一层细胞下常有少数细胞形成第二层皮下 层，树脂道-个或更多，边生，多数生于背面，腹面有-个，稀角部有-个中生树脂道，叶鞘初呈淡褐色，后呈淡黑褐色。 雄球花圆柱形，长.-.厘米，在新枝下 部聚生成穗状。球果卵形或圆卵形，长4- 厘米，有短梗，向下弯垂，成熟前绿色，熟时淡黄色或淡褐黄色，常宿存树上近数年之久；中部种鳞近矩圆状倒卵 形，长.-厘米，宽约.4厘米，鳞盾肥厚、隆起或微隆起，扁菱形或菱状多角形，横脊显著，鳞脐凸起有尖刺；种子卵圆形或长卵圆形，淡褐色有斑纹，长-毫 米，径4-毫米，连翅长.-.厘米；子叶-枚，长.-.厘米；初生叶窄条形，长约4.厘米，先端尖，边缘有细锯齿。花期4-月，球果第二年月成熟。 [] 生长习性编辑 油松为喜光、深根性树种，喜干冷气候，在土层深厚、排水良好的酸性、中性或钙质黄土上均能生长良好。 [] 地理分布编辑 中国特有树种，产吉林南部、 辽宁、河北、河南、山东、山西、内蒙古、陕西、甘肃、宁夏、青海及四川等省区，生于海拔-米地带，多组成单纯林。其垂直分布由东到西、由北到南逐渐 增高。辽宁、山东、河北、山西、陕西等省有人工林。早在十六世纪，瑞士的一名医生就发现了氢气。他说：“把铁屑投到硫酸里，就会产生气泡，像旋风 一样腾空而起。”他还发现这种气体可以燃烧。然而他是一位著名的医生，病人很多，没有时间去做进一步的研究。 十七世纪时又有一位医生发现了氢气。
2．通过本节课的教学，向学生渗透“转化”的数学思想方法；
3．通过本节的教学，继续向学生渗透事物是相互联系及相互转化 的辨证唯物主义观点.
二 重点、难点、疑点及解决ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ法 1．教学重点：可化为一元二次方程的分式方程的解法．
2．教学难点：解分式方程，学生不容易理解为什么必须进行检 验． 3. 教学疑点：学生容易忽视对分式方程的解进行检验通过对分式方 程的解的剖析，进一步使学生认识解分式方程必须进行检验的重要 性．
目录 形态特征 生长习性 地理分布 4 相关变种 主要价值 ? 药用价值 ? 观赏价值 ? 工业价值 栽培技术 ? 培育管理 ? 田间管理 ? 采收加工 7 防寒保护 ? 覆土防 寒法 ? 覆草防寒法 ? 设障防寒法 ? 冬灌防寒法 ? 涂白防寒法 ? 薄膜防寒法 ? 药剂防治法 ? 防冻害五法 形态特征编辑 油松 油松(张) 油松为乔木，高达米， 胸径可达米以上；树皮灰褐色或红褐色，裂； 口才加盟品牌前十名 口才加盟品牌前十名 ；成不规则较厚的鳞状块片，裂缝及上部树皮红褐 色；枝平展或向下斜展，老树树冠平顶，小枝较粗，褐黄色，无毛，幼时微被白粉；冬芽矩圆形，顶端尖，微具树脂，芽鳞红褐色，边缘有丝状缺裂。 针叶
但那时人们认为不管什么气体都不能单独存在，既不能收集，也不能进行测量。这位医生认为氢气与空气没有什么不同，很快就放弃了研究。 最先把氢气收
集起来并进行认真研究的是在7年英国的一位化学家卡文迪什。 卡文
去括号,得
4x 4 x x2 x
整理,得
x2 4x 4 0
解这个方程，得
针一束，深绿色，粗硬，长-厘米，径约.毫米，边缘有细锯齿，两面具气孔线；横切面半圆形，二型层皮下层，在第一层细胞下常有少数细胞形成第二层皮下 层，树脂道-个或更多，边生，多数生于背面，腹面有-个，稀角部有-个中生树脂道，叶鞘初呈淡褐色，后呈淡黑褐色。 雄球花圆柱形，长.-.厘米，在新枝下 部聚生成穗状。球果卵形或圆卵形，长4- 厘米，有短梗，向下弯垂，成熟前绿色，熟时淡黄色或淡褐黄色，常宿存树上近数年之久；中部种鳞近矩圆状倒卵 形，长.-厘米，宽约.4厘米，鳞盾肥厚、隆起或微隆起，扁菱形或菱状多角形，横脊显著，鳞脐凸起有尖刺；种子卵圆形或长卵圆形，淡褐色有斑纹，长-毫 米，径4-毫米，连翅长.-.厘米；子叶-枚，长.-.厘米；初生叶窄条形，长约4.厘米，先端尖，边缘有细锯齿。花期4-月，球果第二年月成熟。 [] 生长习性编辑 油松为喜光、深根性树种，喜干冷气候，在土层深厚、排水良好的酸性、中性或钙质黄土上均能生长良好。 [] 地理分布编辑 中国特有树种，产吉林南部、 辽宁、河北、河南、山东、山西、内蒙古、陕西、甘肃、宁夏、青海及四川等省区，生于海拔-米地带，多组成单纯林。其垂直分布由东到西、由北到南逐渐 增高。辽宁、山东、河北、山西、陕西等省有人工林。早在十六世纪，瑞士的一名医生就发现了氢气。他说：“把铁屑投到硫酸里，就会产生气泡，像旋风 一样腾空而起。”他还发现这种气体可以燃烧。然而他是一位著名的医生，病人很多，没有时间去做进一步的研究。 十七世纪时又有一位医生发现了氢气。
差分方程_精品文档
程）法。本节主要讲述前3种方法，后2种方法将在后续章节中讲
解。
一、差分方程的初值问题（边界条件）
二、差分方程的解法（前3种方法）
三、传输算子的概念
返回
一、差分方程的初值问题（边界条件）
相应于连续时间系统中的起始条件和初始条件, 在离散时间系统中存在着起始样值与初始样值。
起始样值即在激励信号加入之前系统已具有的 一组样值, 以符号y-(n)表示。
返回
例7-4-6 已知 y(n)+2y(n-1) =5u(n), 且y(-1) =1,
求完全解。
特征方程 a +2=0 a = -2
齐次解
yhn C1 2n
特解
因为x(n)=5u(n), n³0时为5（常数）
所以 yp(n) =D
代入原方程求特解 D+2D =5 (n 0)
完全解
所以 D 5
“E”表示将序列超前一个单位时间的运算。 E也称为移
序算子，利用移序算子可y(n写-1)出= 1: y(n)
对y于(n差+分1方)=程Eyy((nn)+1)
-
ay(n)
E
=x(n)
可改写为: （E - a）y(n) =x(n)
对于二例，可以引入
传输算子 HE 1
于是有：
Ea
而对于方程式 y(n) - ay(n-1) =x(n -1)
N
akCa nk 0
k 0
消去常数C，逐项除以a n-N 并化简得:
a0a N+a1a N-1+……+ aN-1a + aN=0
该式称为差分方程的特征方程，特征方程的根a1. a2 、……、 aN称为差分方程的特征根。
最新课件-信号与线性系统分析例差分方程求解 精品
方法一：经典法
（1） 求齐次解 yh n 特征方程为 故特征根为 则齐次解为 （2）求特解 由题知激励是指数序列形式，可设特解为
y p k P2
k
3 2 0
2
1 1, 2 2
yh k C1 1 C2 2
k k
将其代入差分方程得
（2） 零状态响应 y f k 零状态响应 y f k 是满足非齐次方程，且初始状态全部 为零的解，即满足
yk 3 yk 1 2 yk 2 f k y 1 y 2 y N 0
yx k 1 2 2
2 3 2 0
故特征根为 单位样值响应
1 1, 2 2
hk B1 1 B2 2
k k
k 0
利用边界条件
h0 1 h 1 0
解得
B1 1, B2 2
则，单位样值响应
k k h k 1 2 2
k k y x k C（ 1 ） C （ 2 ） x1 1 x2 2
k 0
此时必须用初始状态 y(1), y(2) 来求系数 Cx1 , Cx 2。
这一点一定要注意：如果已知系统的初始值 y0, y1 , 欲求零输入响应，还必须经过迭代求出初始状态。
1 由题知 y 1 0, y 2 , 代入 y x k , 得 2 1 1 1 y x 1 D1 D2 0 y x 2 D1 D2 2 4 2 解得 D1 1, D2 2 ，则
1 i 2 k 1 - 1 2 k - k i 0 i 0 2
k k
i
利用等比级数求和公式，得系统的零状态响应
信号与系统
y(1) a y(0) x(1) y(2) a y(1) x(2)
这就是迭代法求解差分方程
例如 差分方程 y(n) a y(n 1) x(n) 已知 x(n) (n)，y(1) 0 可以求得
y(0) a y(1) 1 1
y(1) a y(0) 0 a
dy( t ) y[(n 1)T ] y( nT ) dt T 因此，微分方程式可以写作 y(n 1) y(n) Ay(n) x(n) T
y(n 1) (1 AT ) y(n) Tx(n) 经整理后得 上式与差分方程式具有相同的形式。必须注意 ，微分方程近似写作差分方程的条件是样值间 隔 T 要足够小，T 越小，近似程度越好。
n — 序号 取整数
二、离散时间信号的运算
1. 序列相加和相乘
2. 移位运算
3. 反褶运算 4. 尺度展缩 5. 差分
6. 累加
7. 序列的能量
1. 序列相加和相乘 序列 x(n) 与 y(n) 相加是指两序列同序号 的数值逐项对应相加构成一个新序列 z(n) z(n) = x(n) + y(n) 类似地，二者相乘表示同序号样值逐项 对应相乘构成一个新的序列z(n) z(n) = x(n) y(n)
这是一个一阶前向差分方程式。
3. 差分方程的迭代求解法
y(n) a y(n 1) x(n)
假定在 n 0 时刻，输入 x(n) 的样值 x(0) 进入 那么，y(n) 寄存器的起始值为 y(1) 。
y(0) a y(1) x(0) 求得 y(0) 把 y(0) 作为下一次迭代的起始值依次给出
时不变性 — 响应与激励施加与系统的时刻 无关。
这就是迭代法求解差分方程
例如 差分方程 y(n) a y(n 1) x(n) 已知 x(n) (n)，y(1) 0 可以求得
y(0) a y(1) 1 1
y(1) a y(0) 0 a
dy( t ) y[(n 1)T ] y( nT ) dt T 因此，微分方程式可以写作 y(n 1) y(n) Ay(n) x(n) T
y(n 1) (1 AT ) y(n) Tx(n) 经整理后得 上式与差分方程式具有相同的形式。必须注意 ，微分方程近似写作差分方程的条件是样值间 隔 T 要足够小，T 越小，近似程度越好。
n — 序号 取整数
二、离散时间信号的运算
1. 序列相加和相乘
2. 移位运算
3. 反褶运算 4. 尺度展缩 5. 差分
6. 累加
7. 序列的能量
1. 序列相加和相乘 序列 x(n) 与 y(n) 相加是指两序列同序号 的数值逐项对应相加构成一个新序列 z(n) z(n) = x(n) + y(n) 类似地，二者相乘表示同序号样值逐项 对应相乘构成一个新的序列z(n) z(n) = x(n) y(n)
这是一个一阶前向差分方程式。
3. 差分方程的迭代求解法
y(n) a y(n 1) x(n)
假定在 n 0 时刻，输入 x(n) 的样值 x(0) 进入 那么，y(n) 寄存器的起始值为 y(1) 。
y(0) a y(1) x(0) 求得 y(0) 把 y(0) 作为下一次迭代的起始值依次给出
时不变性 — 响应与激励施加与系统的时刻 无关。
信号与系统教案第4章2PPT课件
2
bn
2 T
T
2 T
f (t) sin(nt) d t
2
可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。
第4-6页
■
长春工程学院电子信息教研室
信号与系统 电子教案
4.2 傅里叶级数
一、傅里叶级数的三角形式
f (t)
a0 2
an
n1
cos(nt)
bn
n1
sin(nt)
f
(t)
A0 2
n1
An
因此该信号含有正
弦各次谐波分量，直流 分量。
例4 求图示周期信号f(t)的傅里叶级数
f (t)
2 1
-4 -3 -2 -1
1 2 34
f1(t)
2
t
f (t) = f1(t) f2(t)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
t
f 2 (t )
1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
t
信号与系统 电子教案
0
-0.2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
1.2
1
0.8
N=50 0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
1.2
1
0.8
0.6
0.4
N=15
0.2
0
-0.2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
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10
例 4.6
差分方程为
y(k 1) 1.1y(k) P
齐次解为 yh (k) C(1.1)k
特解为 y p (k) 10 P
全解为
y(k) C(1.1)k 10P
代入初始条件，可得 C 10P 20000
y(k) (10P 20000)(1.1)k 10P
令y(10)=0，有 0 (10P 20000 )(1.1)10 10P
将yp(k)代入原差分方程，得：
P(2)k 3P(2)k1 2P(2)k2 2k
P(2)k 3 P(2)k 2 P(2)k 2k
2
4
y
p
(k
)
1 3
(2)k
解得：P 1
3
8
例 4.5
(3)用初始值求常数：
全响应为： y(k )
yh (k)
yp (k)
C1 (1) k
C2 (2)k
1 3
这个模型也可以用来计算还贷余额。其中，f(k)代表每 年开始时还贷的金额，y(k)代表扣除当期还贷金额后的 还贷余额，若向银行贷款20000元，每年利息是10%， 即或r=0.1。按等额还贷法计算10年归还贷款本息时每年 所需的还贷额。
解 设每年所需的还贷额为P，则f(k)=P。
初始条件是贷款y(0)=-20000 。注意，由于还贷10次后将 全部还清贷款余额，必须找出使y(10)=0的每年所需还贷 额P。
解 Matlab程序如下：
k=-2:10;n=length(k)-2; y=[1,2,zeros(1,n)];f=k.*u(k); for i=3:n+2 y(i)=y(i-1)-0.24*y(i-2)+f(i)-2*f(i-1); end clf;stem(k,y);xlabel('k');ylabel('y(k)'); disp('k y');disp([num2str([k',y'])])
(2)k
将初始条件代入上式，得：
微yy((差分12)) 分方CC1 1方程C4C22程的211216的经120经典典解解得解法：法类与似CC12 ！ 321
故，全响应为： y(t) 2 (1)k (2)k 1 (2)k
3
3
k 0
自由响应
强迫响应
9
例 4.6
描述银行存款模型的差分方程为
y(k 1) (1 r) y(k) f (k 1)
齐次解：写出特征方程，求出特征根（自然频率或固有
频率）。根据特征根的特点，齐次解有不同的形式。一
般形式（无重根）： n yh (k) Ciik
i 特征根
i 1
特解：根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定 系数法确定。
用初始值确定系数Ci。一般情况下，n 阶方程有n个常数， 可用n个初始值确定。
i1
i0
上式中的第一项为
N
ai y(k i) aN
i 1
y(k N)
a N 1
a1
y(k
N
1
y(k 1)
第二项求和与上式类似
4
计算机例题C4.3
用MATLAB迭代计算差分方程
y(k) y(k 1) 0.24y(k 2) f (k) 2 f (k 1)
其中输入信号 f (k) k (k)，初始条件 y(1) 2, y(2) 1。
P 2000(1.1)10 3254.91＝零输入响应＋零状态响应
零输入响应的求法与齐次解一样。
n
yzi (k) Ciik i 1
i---特征根，Ci由初始值确定。
零状态响应的求法与解非齐次方程一样。
yzs (k) 齐次解＋特解
n
＝ C jik yp (k) j 1
4.4 差分方程的解法
迭代法
可以利用手算或计算机递推法算，方法简便，概念 清楚，但对于复杂问题直接得到一个解析式(或称闭 式)解答较为困难。
经典法
和连续系统的时域分析法相似，先求齐次解和特解， 再根据边界条件求待定系数，时域法求解过程比较 烦，但各响应分量的物理概念比较清楚。
卷积和法
利用卷积和法求系统的零状态响应，再由齐次解求 零输入响应，零状态响应与零输入响应之和即为系 统的完全响应。
所以，y(1)是差分方程的系数与 y，(0) ，y(1)
y(N 1)
和 f (1), f (0), ,的f (线M性组1) 合。
以此类推，通过反复迭代，就可以求出任意时刻的响 应值。这种迭代方法最适合用计算机计算，下面我们 用Matlab来实现这种计算。
3
迭代法
N
M
y(k) ai y(k i) bi f (k i)
即 y(0) 是差分方程的系数与 y(1) ，y(2) ， y(N )
和 f (0), f (1),, f (M ) 的线性组合。
2
迭代法
令上式中 k 1，有
y(1) a1 y(0) a2 y(1) aN y(N 1)
b0 f (1) b1 f (0) bM f (M 1)
5
Matlab程序运行结果
>> k y
-2
1
-1
2
0 1.76
1 2.28
2 1.8576
3 0.3104
4 -2.13542
5 -5.20992
6 -8.69742
7 -12.447
8 -16.3597
9 -20.3724
10 -24.4461
6
差分方程的经典解法
全响应＝齐次解(自由响应)＋特解(强迫响应)
7
例 4.5
描述某线性非移变系统的差分方程为
y(k) 3y(k 1) 2y(k 2) 2k (k)
试求：当初始状态为 y(-1)=0, y(-2)= ½时，求全响应。
解：(1)求齐次解，特征根为：1 1, 2 2
yh (k) C1(1)k C2 (2)k
(2)求特解：设特解为：yp (k) P(2)k
12
零输入响应的一般形式
返回
若无重根： yzi (k) C11k C22k Cnnk
Z变换法
1
迭代法
N
M
令 ai y(k i) bl f (k i) 式的 a0 1，
i0
i0
则常系数线性差分方程为
N
M
y(k) ai y(k i) bi f (k i)
i 1
i0
令上式中 k 0，有
y(0) a1 y(1) a2 y(2) aN y(N ) b0 f (0) b1 f (1) bM f (M )
例 4.6
差分方程为
y(k 1) 1.1y(k) P
齐次解为 yh (k) C(1.1)k
特解为 y p (k) 10 P
全解为
y(k) C(1.1)k 10P
代入初始条件，可得 C 10P 20000
y(k) (10P 20000)(1.1)k 10P
令y(10)=0，有 0 (10P 20000 )(1.1)10 10P
将yp(k)代入原差分方程，得：
P(2)k 3P(2)k1 2P(2)k2 2k
P(2)k 3 P(2)k 2 P(2)k 2k
2
4
y
p
(k
)
1 3
(2)k
解得：P 1
3
8
例 4.5
(3)用初始值求常数：
全响应为： y(k )
yh (k)
yp (k)
C1 (1) k
C2 (2)k
1 3
这个模型也可以用来计算还贷余额。其中，f(k)代表每 年开始时还贷的金额，y(k)代表扣除当期还贷金额后的 还贷余额，若向银行贷款20000元，每年利息是10%， 即或r=0.1。按等额还贷法计算10年归还贷款本息时每年 所需的还贷额。
解 设每年所需的还贷额为P，则f(k)=P。
初始条件是贷款y(0)=-20000 。注意，由于还贷10次后将 全部还清贷款余额，必须找出使y(10)=0的每年所需还贷 额P。
解 Matlab程序如下：
k=-2:10;n=length(k)-2; y=[1,2,zeros(1,n)];f=k.*u(k); for i=3:n+2 y(i)=y(i-1)-0.24*y(i-2)+f(i)-2*f(i-1); end clf;stem(k,y);xlabel('k');ylabel('y(k)'); disp('k y');disp([num2str([k',y'])])
(2)k
将初始条件代入上式，得：
微yy((差分12)) 分方CC1 1方程C4C22程的211216的经120经典典解解得解法：法类与似CC12 ！ 321
故，全响应为： y(t) 2 (1)k (2)k 1 (2)k
3
3
k 0
自由响应
强迫响应
9
例 4.6
描述银行存款模型的差分方程为
y(k 1) (1 r) y(k) f (k 1)
齐次解：写出特征方程，求出特征根（自然频率或固有
频率）。根据特征根的特点，齐次解有不同的形式。一
般形式（无重根）： n yh (k) Ciik
i 特征根
i 1
特解：根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定 系数法确定。
用初始值确定系数Ci。一般情况下，n 阶方程有n个常数， 可用n个初始值确定。
i1
i0
上式中的第一项为
N
ai y(k i) aN
i 1
y(k N)
a N 1
a1
y(k
N
1
y(k 1)
第二项求和与上式类似
4
计算机例题C4.3
用MATLAB迭代计算差分方程
y(k) y(k 1) 0.24y(k 2) f (k) 2 f (k 1)
其中输入信号 f (k) k (k)，初始条件 y(1) 2, y(2) 1。
P 2000(1.1)10 3254.91＝零输入响应＋零状态响应
零输入响应的求法与齐次解一样。
n
yzi (k) Ciik i 1
i---特征根，Ci由初始值确定。
零状态响应的求法与解非齐次方程一样。
yzs (k) 齐次解＋特解
n
＝ C jik yp (k) j 1
4.4 差分方程的解法
迭代法
可以利用手算或计算机递推法算，方法简便，概念 清楚，但对于复杂问题直接得到一个解析式(或称闭 式)解答较为困难。
经典法
和连续系统的时域分析法相似，先求齐次解和特解， 再根据边界条件求待定系数，时域法求解过程比较 烦，但各响应分量的物理概念比较清楚。
卷积和法
利用卷积和法求系统的零状态响应，再由齐次解求 零输入响应，零状态响应与零输入响应之和即为系 统的完全响应。
所以，y(1)是差分方程的系数与 y，(0) ，y(1)
y(N 1)
和 f (1), f (0), ,的f (线M性组1) 合。
以此类推，通过反复迭代，就可以求出任意时刻的响 应值。这种迭代方法最适合用计算机计算，下面我们 用Matlab来实现这种计算。
3
迭代法
N
M
y(k) ai y(k i) bi f (k i)
即 y(0) 是差分方程的系数与 y(1) ，y(2) ， y(N )
和 f (0), f (1),, f (M ) 的线性组合。
2
迭代法
令上式中 k 1，有
y(1) a1 y(0) a2 y(1) aN y(N 1)
b0 f (1) b1 f (0) bM f (M 1)
5
Matlab程序运行结果
>> k y
-2
1
-1
2
0 1.76
1 2.28
2 1.8576
3 0.3104
4 -2.13542
5 -5.20992
6 -8.69742
7 -12.447
8 -16.3597
9 -20.3724
10 -24.4461
6
差分方程的经典解法
全响应＝齐次解(自由响应)＋特解(强迫响应)
7
例 4.5
描述某线性非移变系统的差分方程为
y(k) 3y(k 1) 2y(k 2) 2k (k)
试求：当初始状态为 y(-1)=0, y(-2)= ½时，求全响应。
解：(1)求齐次解，特征根为：1 1, 2 2
yh (k) C1(1)k C2 (2)k
(2)求特解：设特解为：yp (k) P(2)k
12
零输入响应的一般形式
返回
若无重根： yzi (k) C11k C22k Cnnk
Z变换法
1
迭代法
N
M
令 ai y(k i) bl f (k i) 式的 a0 1，
i0
i0
则常系数线性差分方程为
N
M
y(k) ai y(k i) bi f (k i)
i 1
i0
令上式中 k 0，有
y(0) a1 y(1) a2 y(2) aN y(N ) b0 f (0) b1 f (1) bM f (M )