信号与系统3-2拉普拉斯反变换课件
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《拉氏变换详解》课件
积分性质
积分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$， 则 $int_{0}^{infty} f(t) dt$ 的拉普拉 斯变换为 $- frac{1}{s} F(s)$。
应用
积分性质在求解初值问题和极值问题 时非常有用，可以方便地得到原函数 的表达式。
微分性质
微分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $f^{(n)}(t)$ 的拉普拉斯变换为 $s^{n} F(s) - s^{n-1} f(0-) - s^{n-2} f'(0-) - ldots - f^{(n-1)}(0-)$。
卷积定理
总结词
卷积定理是拉普拉斯变换的一个重要特性， 它描述了函数与其导数之间的卷积关系。
详细描述
卷积定理表明，对于任意实数t，如果函数 f(t)与其导数f'(t)的拉普拉斯变换都存在，则 它们之间的卷积结果等于零。这个定理在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的应用， 可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质
，再通过反变换得到 (y(t))。
控制系统的稳定性分析
总结词
通过拉普拉斯变换，可以分析控制系统的稳定性，为系 统设计和优化提供依据。
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换，可以将 其转化为传递函数的形式。根据传递函数的极点和零点 分布，可以判断系统的稳定性。如果所有极点都在复平 面的左半部分，则系统是稳定的。如果极点在右半部分 或等于零，则系统是不稳定的。此外，系统的动态性能 也可以通过传递函数的极点和零点分布进行分析和优化 。
03
动态行为。
2023
PART 02
拉普拉斯变换的应用
REPORTING
在微分方程中的应用
拉普拉斯变换ppt课件
ds ds 0
0
e-st t f (t)dt 0
从而 ℒ [t f (t)] (1) dF(s) ds
类推 ℒ [t n f (t)] (1)n dnF (s)
ds n
17
6.2 基本函数的拉普拉斯变换
18
一 单位阶跃函数
二 δ(t)函数
L[ (t t0 )]
关于 p的代数方程
原微分方程的解
Laplace 变换的反演
39
一 有理分式的反演 把有理分式分解,然后利用一些基本公式
和 Laplace 变换的性质求原函数。
一般步骤：1）化简，使分子幂次低于分母； 2）分母分解因式； 3）利用待定系数法进行部分分
式展开 4）利用拉氏变换表求解
注：需要注意多阶极点和共轭极点的情况。
20
6.3 Laplace 变换的基本性质
21
Laplace 变换F(s) 的特性：
（1） F(s) 在 Re(s)>0 的半
平面代表一个解析函数。
（2）当 | s | ,
s 平面
|Arg s| /2 - ε (ε > 0) 时：
o
F(s) 存在，
且满足 lim F(s) 0 s
L[teat ]
1
t d e(sa)t
0
sa 0
1 sa
t e(sa)t
|
0
e (sa)t
0
dt
s
1 a
0
s
1
a
e (sa)t
0
d[(s
信号与系统教学课件第九章拉普拉斯变换
其他数值计算方法简介
数值逆变换方法
介绍基于数值计算的拉普拉斯逆 变换方法，如直接数值积分法、
离散化方法等。
优缺点分析
比较各种数值计算方法的优缺点， 如计算精度、计算速度、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用范围 等。
应用场景
根据实际需求，选择适合的数值计 算方法进行拉普拉斯逆变换求解， 并给出具体应用场景和实例。
04 拉普拉斯变换在信号处理 中的应用举例
频移性质
时域函数的频移对 应频域函数的相移 和幅度变化。
积分性质
时域函数的积分对 应频域函数的除法 运算。
拉普拉斯变换与傅里叶变换关系
01
02
03
04
拉普拉斯变换是傅里叶变换的 推广，可以处理不收敛的信号
。
傅里叶变换是拉普拉斯变换在 虚轴上的特例，即s=jω时的拉
普拉斯变换。
拉普拉斯变换提供了更广泛的 信号分析工具，适用于更复杂
信号与系统教学课件第九章拉普拉 斯变换
目录
• 拉普拉斯变换基本概念 • 拉普拉斯变换在信号与系统中的应用 • 拉普拉斯逆变换及计算方法 • 拉普拉斯变换在信号处理中的应用举
例
目录
• 拉普拉斯变换在控制系统稳定性分析 中的应用
• 总结回顾与拓展延伸
01 拉普拉斯变换基本概念
拉普拉斯变换定义
拉普拉斯变换是一种线性积分变 换，用于将时间域函数转换为复
上升时间与峰值时间
上升时间是指系统响应从某一低电平上升到高电平所需的时间，峰值时间是指系统响应达到最大值所需的时 间。上升时间和峰值时间是评价系统快速性的重要指标之一。
超调量与调节时间
超调量是指系统响应在达到稳态值之前出现的最大偏离量，调节时间是指系统响应从瞬态过程进入稳态过程 所需的时间。超调量和调节时间是评价系统准确性和稳定性的重要参数。
信号与系统-拉普拉斯变换ppt
38
部分分式展开法(m<n)
1.第一种情况：单阶实数极点
F(s)
(s
p1 )(s
A( s ) p2 )(s
pn )
p1 , p2 , p3 pn为不同的实数根
F (s) k1 k2 kn
s p1 s p2
s pn
求出k1, k2 , k3 kn ,即可将F s展开为部分分式
2. 第二种情况：极点为共轭复数
第四章 拉普拉斯变换
u
1
•优点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进
行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为 普遍。 •缺点： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。
2
本章内容及学习方法
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频 域分析。
对于f te t 是F j 的傅里叶逆变换
f t e t 1 F j ej td
2π
两边同乘 以e t
f t 1 F j e j t d
2π
其中: s j ; 若取常数，则d s jd
积分限：对 : 对s : j
j
所以
f t 1
j
F
s
estd s
整理得：
Y (s)
2F (s) s2 5s
6
(s
5) y(0 ) y(0 ) s2 5s 6
26
电感元件的s域模型
iL(t) L vL(t)
vL(t)
L
d
iL(t) dt
设 LiL(t) IL(s), LvL(t) VL(s)
应用原函数微分性质
VL (s) LsI L (s) iL (0 ) sL I L (s) LiL (0 )
部分分式展开法(m<n)
1.第一种情况：单阶实数极点
F(s)
(s
p1 )(s
A( s ) p2 )(s
pn )
p1 , p2 , p3 pn为不同的实数根
F (s) k1 k2 kn
s p1 s p2
s pn
求出k1, k2 , k3 kn ,即可将F s展开为部分分式
2. 第二种情况：极点为共轭复数
第四章 拉普拉斯变换
u
1
•优点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进
行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为 普遍。 •缺点： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。
2
本章内容及学习方法
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频 域分析。
对于f te t 是F j 的傅里叶逆变换
f t e t 1 F j ej td
2π
两边同乘 以e t
f t 1 F j e j t d
2π
其中: s j ; 若取常数，则d s jd
积分限：对 : 对s : j
j
所以
f t 1
j
F
s
estd s
整理得：
Y (s)
2F (s) s2 5s
6
(s
5) y(0 ) y(0 ) s2 5s 6
26
电感元件的s域模型
iL(t) L vL(t)
vL(t)
L
d
iL(t) dt
设 LiL(t) IL(s), LvL(t) VL(s)
应用原函数微分性质
VL (s) LsI L (s) iL (0 ) sL I L (s) LiL (0 )
信号与系统拉普拉斯变换分析法二课件
商的规则表明对两个函数的商进行拉普拉斯变换，等于被除 数的拉普拉斯变换除以除数的拉普拉斯变换。
03
拉普拉斯反变换
幂级数法
总结词
通过将拉普拉斯变换式进行整理，得到一个幂级数形式，再利用幂级数展开式进行反变换。
详细描述
首先将拉普拉斯变换式进行整理，得到一个幂级数形式。然后利用幂级数展开式，将整理后的拉普拉斯变换式进 行反变换，得到原函数的表达式。
在信号处理中的应用
1 2 3
信号滤波
通过拉普拉斯变换，可以对信号进行滤波处理， 去除噪声和干扰信号，提高信号的信噪比。
信号调制与解调
在信号调制与解调过程中，拉普拉斯变换用于将 信号从时域转换到频域，便于信号的分析和处理 。
信号处理算法
在信号处理算法中，拉普拉斯变换用于将信号从 时域转换到频域，便于信号的分析和处理。
论上是等价的，但在实际应用中各有侧重。
傅里叶变换与拉普拉斯变换的对应关系
定义域
应用范围
傅里叶变换适用于全时间域，而拉普 拉斯变换则适用于有限的、非零时间 区域。
傅里叶变换在通信、振动分析等领域 应用广泛，而拉普拉斯变换则在控制 系统、电路分析等领域应用广泛。
收敛条件
傅里叶变换的收敛条件较为严格，而 拉普拉斯变换的收敛条件相对较为宽 松。
02 03
交流电路分析
在交流电路分析中，拉普拉斯变换用于求解正弦稳态电路的响应，通过 将时域函数转换为复频域函数，可以方便地计算出电路的阻抗、导纳等 参数。
动态电路分析
在动态电路分析中，拉普拉斯变换用于求解一阶和二阶常微分方程，通 过将时域函数转换为复频域函数，可以方便地计算出电路的传递函数和 极点、零点等参数。
部分分式法
总结词
03
拉普拉斯反变换
幂级数法
总结词
通过将拉普拉斯变换式进行整理，得到一个幂级数形式，再利用幂级数展开式进行反变换。
详细描述
首先将拉普拉斯变换式进行整理，得到一个幂级数形式。然后利用幂级数展开式，将整理后的拉普拉斯变换式进 行反变换，得到原函数的表达式。
在信号处理中的应用
1 2 3
信号滤波
通过拉普拉斯变换，可以对信号进行滤波处理， 去除噪声和干扰信号，提高信号的信噪比。
信号调制与解调
在信号调制与解调过程中，拉普拉斯变换用于将 信号从时域转换到频域，便于信号的分析和处理 。
信号处理算法
在信号处理算法中，拉普拉斯变换用于将信号从 时域转换到频域，便于信号的分析和处理。
论上是等价的，但在实际应用中各有侧重。
傅里叶变换与拉普拉斯变换的对应关系
定义域
应用范围
傅里叶变换适用于全时间域，而拉普 拉斯变换则适用于有限的、非零时间 区域。
傅里叶变换在通信、振动分析等领域 应用广泛，而拉普拉斯变换则在控制 系统、电路分析等领域应用广泛。
收敛条件
傅里叶变换的收敛条件较为严格，而 拉普拉斯变换的收敛条件相对较为宽 松。
02 03
交流电路分析
在交流电路分析中，拉普拉斯变换用于求解正弦稳态电路的响应，通过 将时域函数转换为复频域函数，可以方便地计算出电路的阻抗、导纳等 参数。
动态电路分析
在动态电路分析中，拉普拉斯变换用于求解一阶和二阶常微分方程，通 过将时域函数转换为复频域函数，可以方便地计算出电路的传递函数和 极点、零点等参数。
部分分式法
总结词
教学课件：第二章拉普拉斯变换及其应用
信号处理
在信号处理中，拉普拉斯变换可以用于分析信号的频域特性，例如傅里 叶变换和Z变换等。
03
电路分析
在电路分析中，拉普拉斯变换可以用于分析线性时不变电路的响应，例
如求解一阶和二阶电路的零状态响应。
02 拉普拉斯变换的基本理论
拉普拉斯变换的公式和定理
拉普拉斯变换的定义
对于所有实数$s$，定义函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$int_{0}^{infty}f(t)e^{-st}dt$。
拉普拉斯变换的线性性质
如果$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变换存在，那么对于任意实数$a$和$b$，$(af(t)+bg(t))$的 拉普拉斯变换等于$aF(s)+bG(s)$，其中$F(s)$和$G(s)$分别是$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变 换。
拉普拉斯变换的延迟性质
如果$f(t)$的拉普拉斯变换存在，那么$f(t-a)$的拉普拉斯变换等于$e^{-as}F(s)$，其中 $F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换的公式为：F(s) = ∫f(t)e^(-st) dt (s为复数，t为 实数)。
拉普拉斯变换的性质
线性性质
如果c1和c2是常数，f1(t)和f2(t) 是任意函数，那么c1f1(t) + c2f2(t)的拉普拉斯变换等于 c1F1(s) + c2F2(s)。
时移性质
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(at-b)的拉普拉斯变换为 a^(-b)F(s/a)。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
根轨迹的应用
03
根轨迹分析在控制系统分析和设计中具有重要应用，通过根轨
迹可以判断系统的稳定性、分析系统的性能指标等。
在信号处理中，拉普拉斯变换可以用于分析信号的频域特性，例如傅里 叶变换和Z变换等。
03
电路分析
在电路分析中，拉普拉斯变换可以用于分析线性时不变电路的响应，例
如求解一阶和二阶电路的零状态响应。
02 拉普拉斯变换的基本理论
拉普拉斯变换的公式和定理
拉普拉斯变换的定义
对于所有实数$s$，定义函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$int_{0}^{infty}f(t)e^{-st}dt$。
拉普拉斯变换的线性性质
如果$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变换存在，那么对于任意实数$a$和$b$，$(af(t)+bg(t))$的 拉普拉斯变换等于$aF(s)+bG(s)$，其中$F(s)$和$G(s)$分别是$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变 换。
拉普拉斯变换的延迟性质
如果$f(t)$的拉普拉斯变换存在，那么$f(t-a)$的拉普拉斯变换等于$e^{-as}F(s)$，其中 $F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换的公式为：F(s) = ∫f(t)e^(-st) dt (s为复数，t为 实数)。
拉普拉斯变换的性质
线性性质
如果c1和c2是常数，f1(t)和f2(t) 是任意函数，那么c1f1(t) + c2f2(t)的拉普拉斯变换等于 c1F1(s) + c2F2(s)。
时移性质
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(at-b)的拉普拉斯变换为 a^(-b)F(s/a)。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
根轨迹的应用
03
根轨迹分析在控制系统分析和设计中具有重要应用，通过根轨
迹可以判断系统的稳定性、分析系统的性能指标等。
第3章 拉普拉斯变换 128页 6.1M ppt版
6.3 拉氏变换的性质：
揭示信号时域特性与复频域描述的关系，主要讨论 ROC
1、 线性。
ax1(t) bx2 (t) aX1(s) bX 2 (s)
ROC:包括 R1 R2
若 R1 与R2 无公共部分，则表明ax1(t) bx2 (t) 的拉氏变换不存在。
当 aX1(s) bX 2 (s) 中有零极点抵消时，ROC 可能会扩大。
第三章 拉普拉斯变换
本章要点 拉氏变换的定义——从傅立叶变换到拉 氏变换 拉氏变换与傅氏变换的关系 拉氏变换的性质，收敛域 卷积定理(S域) 系统函数和单位冲激响应
1
第六章 拉普拉斯变换
6.0 引言
第四章已经讨论过复指数信号est 是 LTI 系统的特征函数 s j ，并对
s j 的情况进行了研究，即傅立叶分析。本章对更一般的情况（ s j ）
7
例三: x(t) ea t eatu(t) eatu(t)
j
X (s) 0 eatestdt eatestdt
0
1 1 sa sa
( a, a)
-a
a
当 a>0 时，这两部分地收敛域有共同部分
a a
此时
X (s)
1 sa
1 sa
2a s2 a2
存在
当 a<0 时这两个 ROC 无公共区域 x(s)不存在。
立叶变换地推广。
3
如果Xx(s) 在 s j 收敛，则 即 s 可以取j
X ( j) Xx(t))eejjtdt tdt
是x(t) 的拉付氏里变叶换变换
X ( j) X (s) 表明傅立叶变换氏是拉氏变换在j 轴上的特例 s j
由傅立叶反变换得到拉斯反变换
信号与系统三大变换PPT课件
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换可以将时域信 号转换为复频域,能够分析 系统的动态特性,是分析线 性时不变系统的重要工具。
Z变换
Z变换可以将离散时间信号 转换为复频域,广泛应用于 数字信号处理、数字滤波器 设计等领域。
信号与系统分析的一般流程
信号建模
1
根据实际问题,建立合适的数学模型
系统分析 2
对系统的输入输出关系进行分析
信号与系统分析实例
频域分析
运用傅里叶变换将时域信号转换到频域,分析信号的频谱特性,如频带、主频、谐波等。
时域分析
利用时域函数描述信号的波形、幅值、时间特性,如上升时间、延迟时间、衰减特性等。
系统建模
建立信号传输系统的数学模型,运用拉普拉斯变换或Z变换分析系统的响应特性。
滤波设计
利用频域分析结果设计合适的滤波器,如低通、高通、带通滤波器,优化系统性能。
系统
系统指由相互关联的元素组成的 整体,对输入信号进行处理并产 生输出信号的装置或过程。
输入输出
系统接受外界信号作为输入,经 过一系列的处理过程后产生输出 信号。输入输出是系统的基本特 性。
为什么要学习信号与系统
理解现代技术的 基础
信号与系统是现代技 术的基础之一,涉及 电子、通信、控制、 信息处理等诸多领域 。学习这门课程可以 帮助我们深入理解这 些技术的工作原理变换F(s)的收敛性 由实部大于某个门限值的s 决定。即当Re(s) > σ₀时, 拉普拉斯变换收敛。
拉普拉斯变换的性质
线性性
拉普拉斯变换满足线 性性质,即对任意常 数a和b以及信号x(t) 和y(t),有 L{ax(t)+by(t)}=aL{ x(t)}+bL{y(t)}。这 使得拉普拉斯变换在 信号分析中有很强的 适用性。
拉普拉斯反变换ppt
f1(t) f2 (t) ... fn (t)
部分分式展开法的优点是当F(s)展开成部分分式形式后，它的每一 个单项都是s的非常简单的函数。但是，在应用部分分式展开法求 F(s)=B(s)/A(s)的拉普拉斯反变换时， 必须先求出分母多项式A(s)的 根。就是在对分母多项式进行因式分解之前，不能应用这种方法。
w2
2.5 拉普拉斯反变换
2.只包含不同极点的F(s)的部分分式展开
给定的F(s)可以写成阻尼正弦函数与阻尼余弦函数之和
F (s)=
2s + 12 s2 + 2s + 5 =
10 + 2(s + 1) (s + 1)2 + 22
2
s+ 1
=
5 (s +
1)2
+
22
+
2 (s +
1)2
+
22
由此得：
F (s) = s2 - s + 2 = s2 - s + 2 = A1 + A2 + A3
s(s2 - s - 6) s(s - 3)(s + 2) s s - 3 s + 2
A1 A2 A3
= = =
轾 臌F (s)s s= 0 轾 臌F (s)(s 轾 臌F (s)(s +
=
3) 2)
轾 犏 s2
F (s) A1 A2 A3 (s p1)3 (s p1)2 s p1
A1 (s p1)3 F(s) s p1
A2
d [(s ds
p1)3 F (s)]
s p1
A3
部分分式展开法的优点是当F(s)展开成部分分式形式后，它的每一 个单项都是s的非常简单的函数。但是，在应用部分分式展开法求 F(s)=B(s)/A(s)的拉普拉斯反变换时， 必须先求出分母多项式A(s)的 根。就是在对分母多项式进行因式分解之前，不能应用这种方法。
w2
2.5 拉普拉斯反变换
2.只包含不同极点的F(s)的部分分式展开
给定的F(s)可以写成阻尼正弦函数与阻尼余弦函数之和
F (s)=
2s + 12 s2 + 2s + 5 =
10 + 2(s + 1) (s + 1)2 + 22
2
s+ 1
=
5 (s +
1)2
+
22
+
2 (s +
1)2
+
22
由此得：
F (s) = s2 - s + 2 = s2 - s + 2 = A1 + A2 + A3
s(s2 - s - 6) s(s - 3)(s + 2) s s - 3 s + 2
A1 A2 A3
= = =
轾 臌F (s)s s= 0 轾 臌F (s)(s 轾 臌F (s)(s +
=
3) 2)
轾 犏 s2
F (s) A1 A2 A3 (s p1)3 (s p1)2 s p1
A1 (s p1)3 F(s) s p1
A2
d [(s ds
p1)3 F (s)]
s p1
A3
信号与系统教学第九章拉普拉斯变换PPT课件
80%
幂级数展开
一个解析函数可以展开为幂级数 。
复数域的微积分
01
02
03
导数
复数域函数的导数定义为 函数值的增量与自变量增 量的比值。
积分
复数域函数的积分是函数 值的累积。
微分方程
在复数域中，微分方程是 描述函数行为的一种重要 工具。
03
拉普拉斯变换的求解方法
直接法
定义法
根据拉普拉斯变换的定义， 通过积分计算得出函数的 拉普拉斯变换。
02
01
03
定义法
根据卷积的定义，通过积分计算得出函数的卷积。
表格法
利用卷积表，查表得出函数的卷积。
性质法
利用卷积的性质，简化计算过程。
04
拉普拉斯变换的性质与定理
线性性质
总结词
线性性质是指拉普拉斯变换具有类似于线性代数中的线性性质，即对于两个函 数的和与积，其拉普拉斯变换可以分别通过各自拉普拉斯变换的和与积来获得。
拉普拉斯变换在控制系统稳定性分析中的应用，有 助于设计更加稳定、可靠的控制系统，提高工程实 践中的控制效果。
信号处理中的拉普拉斯变换
在信号处理中，拉普拉斯变换 用于分析信号的频域特性。通 过将信号从时域转换到频域， 可以更好地理解信号的频率成 分和频率特性。
拉普拉斯变换在信号处理中的 应用包括：信号的频谱分析、 滤波器设计、信号调制与解调 等。
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(at)的拉普拉斯变换为 |a|F(s/a)。
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(t-b)的拉普拉斯变换为 e−bF(s)。
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f'(t)的拉普拉斯变换为 sF(s)-f(0)。
数学基础-拉普拉斯变换PPT课件
es F (s)
f (t )
t
拉氏变换性质
(d)微分定理
L[df (t)] L[ f '(t)] sF (s) f (0) dt
d 2 f (t) L[ dt 2 ]
L[
f
''(t )]
s2F(s)
sf
(0)
f
'(0)
f (0)
其中：
f (t)
t 0
f '(0) f '(t) t0
1
(t)dt 1(t 0)
f(t)
0 L[ (t)]
(t )estdt
lim 1estdt (t)0(t 0)
0
0 0
t
eL[e ] lim 1 (1 S) lijmt(1
0 S
0
(2)单位阶跃函数u(t)
e( S)'
S
)'
s
11 j
f(t)
L[u(t)]
0
10
21 [
e
0
[
( s j
e(s
)t dt
j )t dt
2 j 0
e ( s j )t dt ]
0
e( s j )t dt ]
21j[ 01
1
0
]
21 s j1 s j1
L[cost]
2 j [ss
s2 2
j
s
]
j
L[sint]
s2
2
拉普拉斯变换
（5）et sint，et sint，et cost，et cost
欧拉 e jt cost j sint
公式
《拉普拉斯逆变换》课件
拉普拉斯逆变换可以对信号的时 间轴进行缩放。
拉普拉斯逆变换的常见函数表
函数 单位阶跃函数 指数函数 正弦函数 余弦函数
拉普拉斯逆变换 1/s 1/(s - a) s/(s^2 + ω^2) s/(s^2 + ω^2)
拉普拉斯逆变换的求解方法
1
部分分式分解法
将复杂的函数表达式分解成简单的分式，再进行逆变换。
拉普拉斯逆变换
将复频域函数表达式转换回 连续时域函数表达式的操作。
复频域函数
描述信号在复平面上的频域 特性。
连续时域函数
描述信号在连时域与频域的关系
拉普拉斯逆变换使得我们能够在 时域和频域之间进行转换。
线性性质
拉普拉斯逆变换具有线性叠加的 性质。
时域缩放性质
2
拉普拉斯逆变换的表格法
利用常见函数表格，对复频域函数进行查表得到逆变换。
示例分析
单位阶跃函数的拉普拉斯逆变换
将单位阶跃函数在复频域进行逆变换，得到连续时 域表达式。
极点在左半平面的函数的拉普拉 斯逆变换
处理具有极点在左半平面的复频域函数，求取其相 应的时域表达式。
总结
拉普拉斯逆变换是信号与系统领域中重要的数学工具，通过逆变换操作，我 们可以从复频域回到连续时域，更好地理解和处理信号。
《拉普拉斯逆变换》PPT 课件
拉普拉斯逆变换是一个重要的数学工具，用于研究信号与系统。本课程将介 绍拉普拉斯逆变换的概念、性质、常见函数表和求解方法，以及通过示例分 析加深理解。
什么是拉普拉斯逆变换？
拉普拉斯逆变换是将复杂的连续时域函数表达式转换为复杂的复频域函数表达式的过程。
拉普拉斯逆变换的定义
拉普拉斯逆变换的常见函数表
函数 单位阶跃函数 指数函数 正弦函数 余弦函数
拉普拉斯逆变换 1/s 1/(s - a) s/(s^2 + ω^2) s/(s^2 + ω^2)
拉普拉斯逆变换的求解方法
1
部分分式分解法
将复杂的函数表达式分解成简单的分式，再进行逆变换。
拉普拉斯逆变换
将复频域函数表达式转换回 连续时域函数表达式的操作。
复频域函数
描述信号在复平面上的频域 特性。
连续时域函数
描述信号在连时域与频域的关系
拉普拉斯逆变换使得我们能够在 时域和频域之间进行转换。
线性性质
拉普拉斯逆变换具有线性叠加的 性质。
时域缩放性质
2
拉普拉斯逆变换的表格法
利用常见函数表格，对复频域函数进行查表得到逆变换。
示例分析
单位阶跃函数的拉普拉斯逆变换
将单位阶跃函数在复频域进行逆变换，得到连续时 域表达式。
极点在左半平面的函数的拉普拉 斯逆变换
处理具有极点在左半平面的复频域函数，求取其相 应的时域表达式。
总结
拉普拉斯逆变换是信号与系统领域中重要的数学工具，通过逆变换操作，我 们可以从复频域回到连续时域，更好地理解和处理信号。
《拉普拉斯逆变换》PPT 课件
拉普拉斯逆变换是一个重要的数学工具，用于研究信号与系统。本课程将介 绍拉普拉斯逆变换的概念、性质、常见函数表和求解方法，以及通过示例分 析加深理解。
什么是拉普拉斯逆变换？
拉普拉斯逆变换是将复杂的连续时域函数表达式转换为复杂的复频域函数表达式的过程。
拉普拉斯逆变换的定义
拉普拉斯变换的数学方法ppt课件
L[t]
test dt t est
( est )dt
0
s0 0 s
0
est s
dt
1 s2
est
0
1 s2
；.
12
2.3 典型时间函数的拉氏变换
4 指数函数 定义为：
f (t) eat
指数函数的拉氏变换为：
L[eat ] eatest dt e(sa)t dt
00e(sa)t1sa 0 sa
；.
13
2.3 典型时间函数的拉氏变换
5 正弦函数 用欧拉公式表示为：
sin t 1 (e jt e jt )
2j
其拉氏变换为：
L[sint]
sin t estdt
0
s2
2
6 余弦函数 用欧拉公式表示为：
其拉氏变换为：
cost 1 (e jt e jt )
2
L[cost]
G(s) s2 1
( 2 2 1) j2
；.
6
G(s) K (s z1) (s zm ) (s p1) (s pn )
当s＝z1,…,zm时，G(s)=0，则称z1,…,zm 为G(s)的零点； 当s＝p1,…,pm时，G(s)=∞，则称p1,…,pm 为G(s)的极点。
；.
时域的微分方程 拉氏变复换数域的代数方程
•系统分析大为简化 •直接在频域中研究系统的动态性能
；.
3
引言 复数和复变函数
（1）复数的概念
s j, 其中，,
数。 j 1
为虚单位。
均为实
（2）复数的表示法
点表示法 向量表示法
s j,
s r 2 2
arctan
拉普拉斯变换及反变换ppt课件
补充 拉普拉斯变换及反变换 重点 知识
一、拉氏变换及其特性 1、 拉氏变换定义
如果有一个以时间 t为自变量的实变函数 f t ，它的定义域是 t 0 ，那么 f t 的拉普
拉斯变换定义为
F
s
L
f
t
0
f
t estdt
式中，s是复变数，s j（ 、
均为实数）， est 称为拉普拉斯积分；F s 0
>> p=[1 -120 25 126
用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式， 即：num = [b0 b1 … bm]
den = [a0 a1 … an] MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展 开，其句法为：
[r, p, k] = residue(num, den)
f (t) L1(F (s)) 1
c
j
F
(s)e
st
ds
2j c j
式中 L1 表示拉普拉斯反变换的符号
2、拉氏反变换的计算方法 由象函数求原函数的方法：
方法一：利用拉氏反变换定义求 ——不常用解
方法二：查拉氏变换表求解——对简单的象函数适用 方法三：部分分式法——象函数为有理分式函数时适用
p1)r ]}s p1
br j
1 dj
{ j!
ds
j
[F
s
(s
p1)r ]}s p1
b1
1
d r1
(r
{ 1)!
ds
r
1
[
F
s
(s
p1)r ]}s p1
例
F(s)
(s
s 1 2)3 ( s
3)
解：F (s)
一、拉氏变换及其特性 1、 拉氏变换定义
如果有一个以时间 t为自变量的实变函数 f t ，它的定义域是 t 0 ，那么 f t 的拉普
拉斯变换定义为
F
s
L
f
t
0
f
t estdt
式中，s是复变数，s j（ 、
均为实数）， est 称为拉普拉斯积分；F s 0
>> p=[1 -120 25 126
用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式， 即：num = [b0 b1 … bm]
den = [a0 a1 … an] MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展 开，其句法为：
[r, p, k] = residue(num, den)
f (t) L1(F (s)) 1
c
j
F
(s)e
st
ds
2j c j
式中 L1 表示拉普拉斯反变换的符号
2、拉氏反变换的计算方法 由象函数求原函数的方法：
方法一：利用拉氏反变换定义求 ——不常用解
方法二：查拉氏变换表求解——对简单的象函数适用 方法三：部分分式法——象函数为有理分式函数时适用
p1)r ]}s p1
br j
1 dj
{ j!
ds
j
[F
s
(s
p1)r ]}s p1
b1
1
d r1
(r
{ 1)!
ds
r
1
[
F
s
(s
p1)r ]}s p1
例
F(s)
(s
s 1 2)3 ( s
3)
解：F (s)
拉普拉斯变换及反变换.ppt
s s
1 s 1 sa
由终值定理得
f () lim sF ( s) lim
s 0 s 0
1 s 0 sa
机械工程控制基础
七、时域卷积性 8时域卷积性：
L 若f1 (t ) F1 ( s ), f 2 (t ) F2 ( s ) L 则f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
例3
1 1 I ( s ) ℒ [1 e ] s s1 1 1 i ( t ) t lims( )1 s0 s s1
-t
机械工程控制基础
1 例4：已知F(s)= ，求f(0)和f(∞) sa
拉普拉斯变换及反变换
解：由初值定理得
f (0) lim sF ( s) lim
st
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
5. f (t ) t
ℒ [t ]
n
n
n
（幂函数）
0
t e dt 0
n st
t n st de s
t st e s
tn 0 st lim t e
0
e st n n n1 st dt t e dt 0 s 0 s
I (s) R LsI (s) Ui (s)
Ui(s)
H(s)
I(s)
系统方框图
机械工程控制基础
（3）求系统传递函数 H(s)
（4）应用时域卷积定理
拉普拉斯变换及反变换
I ( s) 1 U i (s) R Ls
h(t) Ui(s) H(s) I(s)
1 s 1 sa
由终值定理得
f () lim sF ( s) lim
s 0 s 0
1 s 0 sa
机械工程控制基础
七、时域卷积性 8时域卷积性：
L 若f1 (t ) F1 ( s ), f 2 (t ) F2 ( s ) L 则f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
例3
1 1 I ( s ) ℒ [1 e ] s s1 1 1 i ( t ) t lims( )1 s0 s s1
-t
机械工程控制基础
1 例4：已知F(s)= ，求f(0)和f(∞) sa
拉普拉斯变换及反变换
解：由初值定理得
f (0) lim sF ( s) lim
st
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
5. f (t ) t
ℒ [t ]
n
n
n
（幂函数）
0
t e dt 0
n st
t n st de s
t st e s
tn 0 st lim t e
0
e st n n n1 st dt t e dt 0 s 0 s
I (s) R LsI (s) Ui (s)
Ui(s)
H(s)
I(s)
系统方框图
机械工程控制基础
（3）求系统传递函数 H(s)
（4）应用时域卷积定理
拉普拉斯变换及反变换
I ( s) 1 U i (s) R Ls
h(t) Ui(s) H(s) I(s)
信号与系统3-2
]
2 | K1 | e cos( t 1 ) (t )
电信学院
7
部分分式展开法
原函数的形式之二
复数极点
返回
K1 K2 F ( s) s j s j
f (t ) K1e( j ) t K 2e( j ) t
K１ A jB
电信学院
4
例 3.15
1 已知 F ( s) 3 2 ，求 f (t)。 s ( s 1)
反变换公式
解： F ( s)
K1 1 s2 1
K5 1 K1 K 2 K 3 K 4 3 2 3 s ( s 1)( s 1) s s s s 1 s 1
1
1 e s
S
2
，求 拉氏反变换 f (t)。
S 2 S 1 2 e e 1 2 S 1 2 S 解： F ( s) 2 2e 2e 2 s s s s
应用时移性质：
f (t ) t (t ) 2(t 1) (t 1) (t 2) (t 2)
11
例 3.16
已知 F ( s)
1 ，求 f (t)。 2 s( s 2s 5)
反变换公式
K1 Ms N 解三： F ( s) s ( s 1) 2 22
1 K1 2 s 2s 5
1 s 0 5
2 2 1 ( s 2 s 5 ) Ms Ns 1 5 F ( s) 2 s( s 2s 5) s( s 2 2s 5)
3.3 拉普拉斯反变换
查表法 部分分式展开法 应用拉氏变换的性质
1
部分分式展开法
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7
部分分式展开法 复数极点
返回
原函数的形式之二
F(s) K1 K2
s j s j
K１ A jB
f (t) K1e( j ) t K2e( j ) t ( A jB) e( j ) t ( A jB) e( j ) t
e t [ A(e j t e j t ) jB(e j t e j t )]
2(s2
1)2 4s(s2 (s2 1)4
1)2s
1
s0
K4
1 s3(s 1)
1 s1 2
K5
1 s3(s 1)
1 s1 2
f (t) － 1 t 2 1 1 e t 1 e t (t)
2
2 2
5
部分分式展开法
返回
复数极点： 若 D(s)=(s –-j )(s –+j ) , 其根为 p1,2= j
s1 j2 (1 j2) j4 4 5
20
f
(t)
1 5
5 10
e
t
cos(2t
153.4)
(t)
10
例 3.16
反变换公式
已知
F (s)
s(s2
1 2s
5)
，求 f (t)。
解二： s2 2s 5 0 解得： s1,2 1 j2
F (s) K1 K2 K2 s s 1 j2 s 1 j2
f (t) 1 1 e t cos 2t 1 et sin 2t (t)
5 5
10
12
MATLAB计算
F=sym('1/(s^3-2*s^2+5*s)');f=ilaplace(F)
>>1/5-1/5*exp(t)*cos(2*t)+1/10*exp(t)*sin(2*t)
b=1;a=[1 -2 5 0];[r,p,k]=residue(b,a)
r=
-0.1000 - 0.0500i
-0.1000 + 0.0500i 0.2000 p=
F (s) 0.1 j0.05 0.1 j0.05 0.2 s 1 j2 s 1 j2 s
F(s)可展开成
F (s) K1 K2 Ms N
s j s j (s )2 2
K１ (s j )F (s) s j | K1 | 1 A jB
由于F(s)是S的实系数有理函数，应有
K2 K1 | K1 | 1 A jB
6
部分分式展开法 复数极点
返回
原函数的形式之一
2e t[Acos t B sin t] (t)
8
部分分式展开法 复数极点
返回
原函数的形式之三
F
(s)
(s
Ms
)2
N
2
M (s ) M N
(s )2 2
(s )2 2
s (s )2 2
e t
cos t (t)
(s )2
2
e t
sin
t (t)
f (t) (Met cos t M N et sin t) (t)
9
例 3.16
反变换公式
已知
F (s)
s(s2
1 2s
5)
，求 f (t)。
解一： s2 2s 5 0解得： s1,2 1 j2
F (s) K1 K2 K2 s s 1 j2 s 1 j2
1
1
K1 s2 2s 5
s0 5
K2
1 s(s 1
j2)
1 1 90 arctan 2 5 153.4
5)
，求 f (t)。
解三：
F (s)
K1 s
Ms N (s 1)2 22
K1
s2
1 2s
5
1 s0 5
F(s)
1
1 5
(s2
2s
5)
Ms 2
Ns
s(s2 2s 5)
s(s2 2s 5)
可得：M 1 , N 2
1
F(s) 5
1 5
(s
1)
1 10
2
5
5
s (s 1)2 22 (s 1)2 22
(t)
K1 2
t 2e p1t
K2t
e
p1
t
K3e p1t
(t)
4
例 3.15
反变换公式
已知
F (s)
1 s3(s2
1)
，求 f (t)。
解：
F(s)
s3(s
1 1)(s
1)
K1 s3
K2 s2
K3 s
K4 s 1
K5 s 1
K1
1 s2 1
1
s0
2s
K2 (s2 1)2
0
s0
K3
1 2
3.3 拉普拉斯反变换
查表法 部分分式展开法 应用拉氏变换的性质
1
部分分式展开法
返回
用部分分式展开法求拉普拉斯反变换，
一般为有理函数。 F(s) N(s)
D(s)
单极点：D(s)=0的根也称为的极点。
F(s)可展开成
n
F(s)
Ki
i1 s pi
pi (i 1,2n) 为 n个不相等的单根。
n
Ki (s pi )F (s) s pi f (t) Ki e pi t (t) i 1
2
例 3.14
反变换公式
已知
F
(s)
(s2
2s2 16 5s 6)(s
12)
，求
f
(t)。
解： F(s)
2s2 16
K1 K2 K3
(s 2)(s 3)(s 12) s 2 s 3 s 12
K1
(s
2s2 16 3)(s 12)
24 2.4 s2 10
K2
(s
2s2 16 2)(s 12)
34 s3 9
K3
(s
2s2 16 2)(s 3)
304 152 s12 90 45
f (t) 2.4e2 t 34 e3t 152 e12t (t)
9
45
3
部分分式展开法
返回
多重极点： 若 D(s)=(s – p1)n, 令 n=3
F(s)可展开成
F(s)
(s
K1 p1)3
(s
K2 p1)2
s
K3 p1
K1 (s p1)3 F (s) s p1
K2
d [(s ds
p1)3 F (s)]
s p1
K3
1 2
d2 ds 2
[(s
p1)3 F (s)]
s p1
f
1
1
K1 s2 2s 5
s0 5
K2
s(s
1 1
j2)
1 1 1 j 1 s1 j2 ( j2) j4 8 j4 10 20
f (t) 1 1 e t cos 2t 1 et sin 2t (t)
5 5
10
11
例 3.16
反变换公式
已知
F (s)
s(s2
1 2s
F(s) K1 K2
s j s j
K１ | K1 | 1
f (t) K1e( j ) t K2e( j ) t | K1 | e j1e( j ) t | K1 | e e j1 ( j ) t
| K1 | e t [e j( t1) e ] j( t1)
2 | K1 | e t cos( t 1) (t)