信号与系统3-2拉普拉斯反变换课件

F(s) K1 K2
s j s j
K１ | K1 | 1
f (t) K1e( j ) t K2e( j ) t | K1 | e j1e( j ) t | K1 | e e j1 ( j ) t
| K1 | e t [e j( t1) e ] j( t1)
2 | K1 | e t cos( t 1) (t)
9
例 3.16
反变换公式
已知
F (s)
s(s2
1 2s
5)
，求 f (t)。
解一： s2 2s 5 0解得： s1,2 1 j2
F (s) K1 K2 K2 s s 1 j2 s 1 j2
1
1
K1 s2 2s 5
s0 5
K2
1 s(s 1
j2)
1 1 90 arctan 2 5 153.4
F(s)可展开成
F (s) K1 K2 Ms N
s j s j (s )2 2
K１ (s j )F (s) s j | K1 | 1 A jB
由于F(s)是S的实系数有理函数，应有
K2 K1 | K1 | 1 A jB
6
部分分式展开法 复数极点
返回
原函数的形式之一
f (t) 1 1 e t cos 2t 1 et sin 2t (t)
5 5
10
12
MATLAB计算
F=sym('1/(s^3-2*s^2+5*s)');f=ilaplace(F)
>>1/5-1/5*exp(t)*cos(2*t)+1/10*exp(t)*sin(2*t)
b=1;a=[1 -2 5 0];[r,p,k]=residue(b,a)
r=
-0.1000 - 0.0500i
-0.1000 + 0.0500i 0.2000 p=
F (s) 0.1 j0.05 0.1 j0.05 0.2 s 1 j2 s 1 j2 s
(t)
K1 2
t 2e p1t
K2t
e
p1
t
K3e p1t
(t)
4
例 3.15
反变换公式
已知
F (s)
1 s3(s2
1)
，求 f (t)。
解：
F(s)
s3(s
1 1)(s
1)
K1 s3
K2 s2
K3 s
K4 s 1
K5 s 1
K1
1 s2 1
1
s0
2s
K2 (s2 1)2
0
s0
K3
1 2
7
部分分式展开法 复数极点
返回
原函数的形式之二
F(s) K1 K2
s j s j
K１ A jB
f (t) K1e( j ) t K2e( j ) t ( A jB) e( j ) t ( A jB) e( j ) t
e t [ A(e j t e j t ) jB(e j t e j t )]
5)
，求 f (t)。
解三：
F (s)
K1 s
Ms N (s 1)2 22
K1
s2
1 2s
5
1 s0 5
F(s)
1
1 5
(s2
2s
5)
Ms 2
Ns
s(s2 2s 5)
s(s2 2s 5)
可得：M 1 , N 2
1
F(s) 5
1 5
(s
1)
1 10
2
5
5
s (s 1)2 22 (s 1)2 22
2e t[Acos t B sin t] (t)
8
部分分式展开法 复数极点
返回
原函数的形式之三
F
(s)
(s
Ms
)2
N
2
M (s ) M N
(s )2 2
(s )2 2
s (s )2 2
e t
cos t (t)
(s )2
2
e t
sin
t (t)
f (t) (Met cos t M N et sin t) (t)
2(s2
1)2 4s(s2 (s2 1)4
1)2s
1
s0
K4
1 s3(s 1)
源自文库
1 s1 2
K5
1 s3(s 1)
1 s1 2
f (t) － 1 t 2 1 1 e t 1 e t (t)
2
2 2
5
部分分式展开法
返回
复数极点： 若 D(s)=(s –-j )(s –+j ) , 其根为 p1,2= j
s1 j2 (1 j2) j4 4 5
20
f
(t)
1 5
5 10
e
t
cos(2t
153.4)
(t)
10
例 3.16
反变换公式
已知
F (s)
s(s2
1 2s
5)
，求 f (t)。
解二： s2 2s 5 0 解得： s1,2 1 j2
F (s) K1 K2 K2 s s 1 j2 s 1 j2
K1
(s
2s2 16 3)(s 12)
24 2.4 s2 10
K2
(s
2s2 16 2)(s 12)
34 s3 9
K3
(s
2s2 16 2)(s 3)
304 152 s12 90 45
f (t) 2.4e2 t 34 e3t 152 e12t (t)
9
45
3
部分分式展开法
n
Ki (s pi )F (s) s pi f (t) Ki e pi t (t) i 1
2
例 3.14
反变换公式
已知
F
(s)
(s2
2s2 16 5s 6)(s
12)
，求
f
(t)。
解： F(s)
2s2 16
K1 K2 K3
(s 2)(s 3)(s 12) s 2 s 3 s 12
1
1
K1 s2 2s 5
s0 5
K2
s(s
1 1
j2)
1 1 1 j 1 s1 j2 (1 j2) j4 8 j4 10 20
f (t) 1 1 e t cos 2t 1 et sin 2t (t)
5 5
10
11
例 3.16
反变换公式
已知
F (s)
s(s2
1 2s
返回
多重极点： 若 D(s)=(s – p1)n, 令 n=3
F(s)可展开成
F(s)
(s
K1 p1)3
(s
K2 p1)2
s
K3 p1
K1 (s p1)3 F (s) s p1
K2
d [(s ds
p1)3 F (s)]
s p1
K3
1 2
d2 ds 2
[(s
p1)3 F (s)]
s p1
f
3.3 拉普拉斯反变换
查表法 部分分式展开法 应用拉氏变换的性质
1
部分分式展开法
返回
用部分分式展开法求拉普拉斯反变换，
一般为有理函数。 F(s) N(s)
D(s)
单极点：D(s)=0的根也称为的极点。
F(s)可展开成
n
F(s)
Ki
i1 s pi
pi (i 1,2n) 为 n个不相等的单根。