高考数学：专题七第二讲数形结合思想配套限时规范训练

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高考数学二轮专题复习与策略数学思想集训2数形结合思想理

数学思想集训(二) 数形结合思想题组1 利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题 1．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a ＞0)的解的个数有________个． 2 [∵a ＞0，∴a 2＋1＞1. 而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有2个交点．]2．已知函数f (x )＝|log 2|x ||－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则下列结论正确的是________．①f (x )有三个零点，且所有零点之积大于－1； ②f (x )有三个零点，且所有零点之积小于－1； ③f (x )有四个零点，且所有零点之积大于1； ④f (x )有四个零点，且所有零点之积小于1.① [在同一坐标系中分别作出f 1(x )＝|log 2|x ||与f 2(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，如图所示，由图象知f 1(x )与f 2(x )有三个交点，设三个交点的横坐标从左到右分别是x 1，x 2，x 3，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＞0，所以－12＜x 1＜－14，同理12＜x 2＜1,1＜x 3＜2，即－1＜x 1x 2x 3＜－18，即所有零点之积大于－1.]3．设函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3，则函数g (x )＝|cos(πx )|－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52上的所有零点的和为________．7 [函数g (x )＝|cos(πx )|－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52上的零点为函数h (x )＝|cos(πx )|与函数f (x )的交点的横坐标．因为f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，所以函数f (x )为关于x ＝1对称的偶函数，又因为当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3，则在平面直角坐标系内画出函数h (x )＝|cos(πx )|与函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52内的图象，如图所示，由图易得两函数图象共有7个交点，不妨设从左到右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，则由图易得x 1＋x 2＝0，x 3＋x 5＝2，x 4＝1，x 6＋x 7＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 7＝7，即函数g (x )＝|cos(πx )|－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52上的零点的和为7.] 4．若函数f (x )＝a ＋sin x 在[π，2π]上有且只有一个零点，则实数a ＝_____. 1 [函数f (x )＝a ＋sin x 在[π，2π]上有且只有一个零点，即方程a ＋sin x ＝0在[π，2π]上只有一解，即函数y ＝－a 与y ＝sin x ，x ∈[π，2π]的图象只有一个交点，由图象可得a ＝1.]5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是______________．(－∞，0)∪(1，＋∞) [函数g (x )有两个零点，即方程f (x )－b ＝0有两个不等实根，则函数y ＝f (x )和y ＝b 的图象有两个公共点．①若a ＜0，则当x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增；当x ＞a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f (x )的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点．②若0≤a ≤1，则a 3≤a 2，函数f (x )在R 上单调递增，f (x )的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y ＝b 至多有一个公共点．③若a ＞1，则a 3＞a 2，函数f (x )在R 上不单调，f (x )的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点．综上，a ＜0或a ＞1.]题组2 利用数形结合思想求解不等式或参数范围6．若不等式log a x ＞sin 2x (a ＞0，a ≠1)对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4都成立，则a 的取值范围为________．⎝⎛⎭⎪⎫0，π4 [记y 1＝log a x (a ＞0，a ≠1)，y 2＝sin 2x ，原不等式即为y 1＞y 2，由题意作出两个函数的图象，如图所示，知当y 1＝log a x 的图象过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1时，a ＝π4，所以当π4＜a＜1时，对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4都有y 1＞y 2.]7．函数f (x )是定义域为{x |x ≠0}的奇函数，且f (1)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，当x ＞0时，f (x )＋xf ′(x )＞1x，则不等式xf (x )＞1＋ln|x |的解集是________． (－∞，－1)∪(1，＋∞) [令g (x )＝xf (x )－ln|x |，则g (x )是偶函数，且当x ＞0时，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )－1x＞0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增．故不等式xf (x )＞1＋ln|x |⇔g (|x |)＞g (1)， ∴|x |＞1，解得x ＞1或x ＜－1.]8．若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 [作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12.]9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0＜x ≤10，－12x ＋6，x ＞10.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是________．(10,12) [作出f (x )的大致图象．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a ＜b ＜c ，则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6.∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∴abc ＝c . 由图知10＜c ＜12，∴abc ∈(10,12)．]10．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3的相邻两条对称轴之间的距离为π4，将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到g (x )的图象，若g (x )＋k ＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数根，则k 的取值范围是________．【导学号：19592072】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫k ⎪⎪⎪－12＜k ≤12或k ＝－1[因为f (x )相邻两条对称轴之间的距离为π4，结合三角函数的图象可知T 2＝π4，即T ＝π2.又T ＝2π2ω＝π2，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3.将f (x )的图象向右平移π8个单位得到f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝⎛⎭⎪⎫x －π8＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6的图象，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象．所以方程为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋k ＝0. 令2x －π6＝t ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以－π6≤t ≤5π6.若g (x )＋k ＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数根，即y ＝sin t 与y ＝－k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上有且只有一个交点．如图所示，由正弦函数的图象可知－12≤－k ＜12或－k ＝1，即－12＜k ≤12或k ＝－1.]题组3 利用数形结合解决解析几何问题11．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为________．6 [根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且AB ＝2m ，因为∠APB ＝90°，连结OP ，易知OP ＝12AB ＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为OC ＝32＋42＝5，所以OP max ＝OC ＋r ＝6，即m 的最大值为6.]12．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的直线l 与抛物线交于B ，C 两点，l 与抛物线的准线交于点A ，且AF ＝6，AF →＝2FB →，则BC ＝________.92[如图所示，直线与抛物线交于B ，C 两点，与抛物线的准线交于A 点．∵AF →＝2FB →，∴F 在A ，B 中间，C 在A ，F 之间，分别过B ，C 作准线的垂线BB 1，CC 1，垂足分别为B 1，C 1.由抛物线的定义可知BF ＝BB 1，CF ＝CC 1.∵AF →＝2FB →，AF ＝6， ∴FB ＝BB 1＝3.由△AFK ∽△ABB 1可知，FK BB 1＝AFAB，∴FK ＝2. 设CF ＝a ，则CC 1＝a ，由△ACC 1∽△AFK ，得CC 1FK ＝AC AF. ∴a 2＝6－a 6，∴a ＝32. ∴BC ＝BF ＋FC ＝3＋32＝92.]13．已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为________．22 [从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC 的面积S Rt △PAC ＝12PA ·AC ＝12PA 越来越大，从而S 四边形PACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形PACB 变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直于直线l 时，S 四边形PACB 应有唯一的最小值，此时PC ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而PA ＝PC 2－AC 2＝2 2.所以(S 四边形PACB )min ＝2×12×PA ×AC ＝2 2.]14．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．[解] (1)圆C 1的方程x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为(3,0). 3分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由题意可知直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝tx . 将上述方程代入圆C 1的方程，化简得(1＋t 2)x 2－6x ＋5＝0. 5分由题意，可得Δ＝36－20(1＋t 2)＞0(*)，x 1＋x 2＝61＋t 2，所以x 0＝31＋t 2，代入直线l 的方程，得y 0＝3t 1＋t2. 因为x 2＋y 20＝9＋t22＋9t 2＋t22＝＋t 2＋t22＝91＋t 2＝3x 0，所以⎝⎛⎭⎪⎫x 0－322＋y 20＝94. 由(*)解得t 2＜45，又t 2≥0，所以53＜x 0≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53＜x ≤3. 10分 (3)由(2)知，曲线C 是在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3上的一段圆弧．如图，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－253，F (3,0)，直线L 过定点G (4,0)．联立直线L 的方程与曲线C 的方程，消去y 整理得(1＋k 2)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2＝0. 14分令判别式Δ＝0，解得k ＝±34，由求根公式解得交点的横坐标为x H ，I ＝125∈⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3.由图可知：要使直线L 与曲线C 只有一个交点，则k ∈[k DG ，k EG ]∪{k GH ，k GI }，即k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－257，257∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34. 16分。

高考数学数形结合思想解析(与“练习”有关文档共14张)

Y
,求
y+5 x+2
最大值和最小值。
3
-3 -2
O
3X
-3
-5
第6页，共14页。
练习1：已知x，y满足条件
பைடு நூலகம்x2
16
+
y2 25 =1
，
求y-3x的最值。
Y 5
y-3x最大值为： 13
y-3x最小值为：-13
-4
O 4X
第7页，共14页。
-5
练习2：从点P(m , 3)向圆 (x+2)2 + (y+2) 2 =1
点的线段相交，则l 斜率的取值范围是------------。
Y
Y
M
[5,+∞) ∪(- ∞ ,
2 5]
2
y-3x最大值为： 13
O π2 π X -2 SSS求y围一段围yy[s[ys求练围y段求练数ysS55((-(--iiiiiiinnnc333cc,,nnnny是象没是y习是没函习形++(((oooxxx--xxx∞∞33最最最sss-限有 -3-有数 5结------xx)):：-------的大的大大---内公公f合∪∪直------1111(22)2)已)---最值最值值===θ---有共共思((线)))-----)===知---=值为值为为--∞∞-两点点想sssl---iii双过---nnn。：。：：,,---个，，在---曲点------不则则《---111---111线M---333。。。同正正解(]]-的数数析1 ,交几aa2的的点何)且取取》,的则与值值中最m以范范的大的P围围应的(值取-为为2用右值和,----焦范---最3----点)--、小----为。。Q值F(4，。,0)为端

高考数学第 2 讲数形结合思想26页文档

39、没有不老的誓言，没有不变的承诺，踏上旅途，义无反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识的人，决不会坚韧勤勉。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育；而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自形结合思想
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只在愚人的字典中找得到。--拿破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突破，不要嫉妒要欣赏，不要托延要积极，不要心动要行动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要素。(注意：传统观念认为勤奋和机会是成功的要素，但是经过统计学和成功人士的分析得出，乐观是成功的第三要素。

专题1 数形结合思想【高考文科数学】数学思想方法含答案

第二讲数形结合思想1．数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确．2．数形结合思想的实质、关键及运用时应注意的问题：其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化，在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参，合理用参，建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．3．实现数形结合，常与以下内容有关：(1)实数与数轴上的点的对应关系；(2)函数与图象的对应关系；(3)以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；(4)所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．如等式(x－2)2＋(y－1)2＝4，表示坐标平面内以(2,1)为圆心，以2为半径的圆．1．(2013·重庆)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( ) A．52－4 B.17－1C．6－2 2 D.17答案 A解析设P(x,0)，设C1(2,3)关于x轴的对称点为C1′(2，－3)，那么|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝2－32＋－3－42＝5 2.而|PM|＝|PC1|－1，|PN|＝|PC2|－3，∴|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥52－4.2． (2011·大纲全国)已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b －c)＝0，则|c|的最大值是( )A．1 B．2 C. 2 D.2 2答案 C解析如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则CA →＝a －c ，CB →＝b －c .由题意知CA →⊥CB →，∴O 、A 、C 、B 四点共圆．∴当OC 为圆的直径时，|c |最大，此时，|OC →|＝ 2.3． (2013·山东)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12答案 C解析如图，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0得A (3，－1)．此时直线OM 的斜率最小，且为－13.4． (2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ， x ≤0，ln x ＋1， x >0.若|f (x )|≥ax ，则a的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]答案 D解析函数y ＝|f (x )|的图象如图． ①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立． ②当a >0时，只需在x >0时， ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度．显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． ③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立．即a ≥x －2成立，∴a ≥－2.综上所述：－2≤a ≤0.故选D.5． (2012·天津)已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．答案 (0,1)∪(1,4)解析根据绝对值的意义，y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x >1或x <－1，－x －1－1≤x <1.在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．根据图象可知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点．题型一数形结合解决方程的根的个数问题例1 (2012·福建)对于实数a和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．审题破题本题以新定义为背景，要先写出f (x )的解析式，然后将方程f (x )＝m 根的个数转化为函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝m 的交点个数．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0解析由定义可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1x ，x ≤0，－x －1x ，x >0.作出函数f (x )的图象，如图所示．由图可知，当0<m <14时，f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3. 不妨设x 1<x 2<x 3，易知x 2>0，且x 2＋x 3＝2×12＝1，∴x 2x 3<14.令⎩⎪⎨⎪⎧2x －1x ＝14，x <0，解得x ＝1－34.1－34<x1<0，∴1－316<x1x2x3<0.∴反思归纳研究方程的根的个数、根的范围等问题时，经常采用数形结合的方法．一般地，方程f (x )＝0的根，就是函数f (x )的零点，方程f (x )＝g (x )的根，就是函数f (x )和g (x )的图象的交点的横坐标．变式训练1 已知：函数f (x )满足下面关系：①f (x ＋1)＝f (x －1)；②当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则方程f (x )＝lg x 解的个数是( )A ．5B ．7C ．9D ．10答案 C解析由题意可知，f (x )是以2为周期，值域为[0,1]的函数．又f (x )＝lg x ，则x ∈(0,10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．由图象可知共9个交点．题型二数形结合解不等式问题例2 设有函数f (x )＝a ＋－x 2－4x 和g (x )＝43x ＋1，已知x ∈[－4,0]时恒有f (x )≤g (x )，求实数a 的取值范围．审题破题 x ∈[－4,0]时恒有f (x )≤g (x )，可以转化为x ∈[－4,0]时，函数f (x )的图象都在函数g (x )的图象下方或者两图象有交点．解 f (x )≤g (x )，即a ＋－x 2－4x ≤43x ＋1，变形得－x 2－4x ≤43x ＋1－a ，令y ＝－x 2－4x ， ① y ＝43x ＋1－a .②①变形得(x ＋2)2＋y 2＝4(y ≥0)，即表示以(－2,0)为圆心，2为半径的圆的上半圆；②表示斜率为43，纵截距为1－a 的平行直线系．设与圆相切的直线为AT ，AT 的直线方程为： y ＝43x ＋b (b ＞0)，则圆心(－2,0)到AT 的距离为d ＝|－8＋3b |5，由|－8＋3b |5＝2得，b ＝6或－23(舍去)．∴当1－a ≥6即a ≤－5时，f (x )≤g (x )．反思归纳解决含参数的不等式和不等式恒成立问题，可以将题目中的某些条件用图象表现出来，利用图象间的关系以形助数，求方程的解集或其中参数的范围．变式训练2 已知不等式x 2＋ax －2a 2<0的解集为P ，不等式|x ＋1|<3的解集为Q ，若P ⊆Q ，求实数a 的取值范围．解 x 2＋ax －2a 2＝(x ＋2a )(x －a )<0. |x ＋1|<3⇒Q ＝{x |－4<x <2}．当－2a <a ，即a >0时，P ＝{x |－2a <x <a }．∵P ⊆Q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2a ≥－4，a ≤2，a >0.解得0<a ≤2.当－2a ＝a ，即a ＝0时，P ＝∅，P ⊆Q . 当－2a >a ，即a <0时，P ＝{x |a <x <－2a }，∵P ⊆Q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－4，－2a ≤2，a <0，解得－1≤a <0，综上可得－1≤a ≤2.题型三数形结合解决有明显几何意义的式子(概念)问题例3 已知函数f (x )＝ax 2＋bx －1(a ，b ∈R 且a >0)有两个零点，其中一个零点在区间(1,2)内，则ba ＋1的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(－2,1]D ．(－2,1)审题破题先根据图象确定a ，b 满足的条件，然后利用ba ＋1的几何意义——两点(a ，b )，(－1,0)连线斜率求范围．答案 D解析因为a >0，所以二次函数f (x )的图象开口向上．又f (0)＝－1，所以要使函数f (x )的一个零点在区间(1,2)内，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，f 1<0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋b －1<0，4a ＋2b －1>0.如图所示的阴影部分是上述不等式组所确定的平面区域，式子ba ＋1表示平面区域内的点 P (a ，b )与点Q (－1,0)连线的斜率．而直线QA 的斜率k ＝1－00－－1＝1，直线4a ＋2b －1＝0的斜率为－2，显然不等式组所表示的平面区域不包括边界，所以P ，Q 连线的斜率的取值范围为(－2,1)．故选D. 反思归纳如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有： (1)b －n a －m ↔(a ，b )、(m ，n )连线的斜率； (2)a －m2＋b －n2↔(a ，b )、(m ，n )之间的距离；(3)a 2＋b 2＝c 2↔a 、b 、c 为直角三角形的三边； (4)f (a －x )＝f (b ＋x )↔f (x )图象的对称轴为x ＝a ＋b2.只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法．变式训练3 已知点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则x 2＋y 2－6x ＋9的取值范围是( )A ．[2,4]B ．[2,16]C ．[4,10]D ．[4,16]答案 B解析画出可行域如图，所求的x 2＋y 2－6x ＋9＝(x －3)2＋y 2是点Q (3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q 到射线x －y －1＝0(x ≥0)的距离d 的平方，最大值为|QA |2＝16.∵d 2＝⎝⎛⎭⎪⎫|3－0－1|12＋－122＝(2)2＝2. ∴取值范围是[2,16]．题型四数形结合解几何问题例4 已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A ．(14，－1)B ．(14，1)C ．(1,2)D ．(1，－2)审题破题本题可以结合图形将抛物线上的点P 到焦点的距离转化为到准线的距离，再探求最值．答案 A解析定点Q (2，－1)在抛物线内部，由抛物线的定义知，动点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，问题转化为当点P 到点Q 的距离和点P 到抛物线的准线距离之和最小时，求点P 的坐标，显然点P 是直线y ＝－1和抛物线y 2＝4x的交点时，两距离之和取最小值，解得这个点的坐标是(14，－1)．反思归纳在几何中的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值．变式训练4 已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值．解从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC 的面积S Rt △PAC＝12|PA |·|AC |＝12|PA |越来越大，从而S 四边形PACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直直线l 时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|PA |＝|PC |2－|AC |2＝2 2.∴(S 四边形PACB )min ＝2×12×|PA |×|AC |＝2 2.典例 (12分)已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．规范解答解 (1)f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )，当a <0时，对x ∈R ，有f ′(x )>0，∴当a <0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a >0时，由f ′(x )>0，解得x <－a 或x >a ，由f ′(x )<0，解得－a <x <a ，∴当a >0时，f (x )的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间为(－a ，a )． [4分](2)∵f (x )在x ＝－1处取得极值， ∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，∴a ＝1. [6分]∴f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3，由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1.由(1)中f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合如图所示f (x )的图象可知：m 的取值范围是(－3,1)．[12分]评分细则 (1)求出f ′(x )给1分，不写出单调区间扣1分；(2)只画图象没有说明极值扣2分；(3)没有结论扣1分，结论中范围写成不等式形式不扣分．阅卷老师提醒 (1)解答本题的关键是数形结合，根据函数的性质勾画函数的大致图象； (2)解答中一定要将函数图象的特点交待清楚，单调性和极值是勾画函数的前提，然后结合图象找出实数m 的取值范围．1．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f (13)<f (2)<f (12)B ．f (12)<f (2)<f (13)C ．f (12)<f (13)<f (2)D ．f (2)<f (12)<f (13)答案 C解析由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|，∴f (12)<f (13)<f (2)．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ， x ≤0，2， x >0.若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则函数y ＝g (x )＝f (x )－x 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析由f (－4)＝f (0) 得16－4b ＋c ＝c .由f (－2)＝－2，得4－2b ＋c ＝－2. 联立两方程解得：b ＝4，c ＝2.于是，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2， x ≤0，2， x >0.在同一直角坐标系内，作出函数y ＝f (x )与函数y ＝x 的图象，知它们有3个交点，进而函数亦有3个零点．3．若方程x ＋k ＝1－x 2有且只有一个解，则k 的取值范围是( )A ．[－1,1)B ．k ＝± 2C ．[－1,1]D ．k ＝2或k ∈[－1,1)答案 D解析令y ＝x ＋k ，令y ＝1－x 2，则x 2＋y 2＝1(y ≥0)．作出图象如图：而y ＝x ＋k 中，k 是直线的纵截距，由图知：方程有一个解⇔直线与上述半圆只有一个公共点⇔k ＝2或－1≤k <1.4．设a ，b ，c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( ) A ．－2 B.2－2 C ．－1D ．1－ 2答案 D解析由于(a －c )·(b －c )＝－(a ＋b )·c ＋1，因此等价于求(a ＋b )·c 的最大值，这个最大值只有当向量a ＋b 与向量c 同向共线时取得．由于a ·b ＝0，故a ⊥b ，如图所示，|a ＋b |＝2，|c |＝1，当θ＝0时，(a ＋b )·c 取最大值2，故所求的最小值为1－ 2. 5．当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2)D ．(2，2)答案 B解析由0<x ≤12，且log a x >4x>0，可得0<a <1，12由4 ＝log a 12可得a ＝22.令f (x )＝4x，g (x )＝log a x ，若4x<log a x ，则说明当0<x ≤12时，f (x )的图象恒在g (x )图象的下方(如图所示)，此时需a >22. 综上可得a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫22，1. 6．已知P 为抛物线y ＝14x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是(2,0)，则|PA |＋|PM |的最小值是________．答案5－1解析如图，抛物线y ＝14x 2，即x 2＝4y 的焦点F (0,1)，记点P 在抛物线的准线l ：y ＝－1上的射影为P ′，根据抛物线的定义知， |PP ′|＝|PF |，则|PP ′|＋|PA |＝|PF |＋|PA |≥|AF |＝22＋12＝5.所以(|PA |＋|PM |)min ＝(|PA |＋|PP ′|－1)min ＝5－1.专题限时规范训练一、选择题1．已知f (x )是定义在(－3,3)上的奇函数，当0<x <3时，f (x )的图象如图所示，那么不等式f (x )·cos x <0的解集是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－π2∪(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3 C ．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－π2∪(0,1)∪(1,3) 答案 B解析根据对称性画出f (x )在(－3，0)上的图象如图，结合y ＝cos x 在(－3,0)，(0,3)上函数值的正负，易知不等式f (x )cos x <0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a 、b 、c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)答案 C解析 a ，b ，c 互不相等，不妨设a <b <c ， ∵f (a )＝f (b )＝f (c )，由图象可知，0<a <1,1<b <10,10<c <12. ∵f (a )＝f (b )，∴|lg a |＝|lg b |，即lg a ＝lg 1b ，a ＝1b.则ab ＝1，所以abc ＝c ∈(10,12)．3．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x } (x≥0)，则f (x )的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 C解析画出y ＝2x，y ＝x ＋2，y ＝10－x 的图象，如图所示，观察图象，可知当0≤x ≤2，f (x )＝2x，当2<x ≤4时，f (x )＝x ＋2，当x >4时，f (x )＝10－x ，f (x )的最大值在x ＝4时取得，为6.4．函数f (x )＝(12)x－sin x 在区间[0,2π]上的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4答案 B解析函数f (x )＝(12)x－sin x 在区间[0,2π]上的零点个数即为方程(12)x －sin x ＝0在区间[0,2π]上解的个数．因此可以转化为两函数y ＝(12)x 与y＝sin x 交点的个数．根据图象可得交点个数为2，即零点个数为2.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1,2)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)答案 C解析 ∵渐近线y ＝bax 与过焦点F 的直线l 平行，或渐近线从该位置绕原点按逆时针旋转时，直线l 与双曲线的右支有一个交点，∴b a≥3，即c 2＝a 2＋b 2≥4a 2，∴e ≥2.6．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <c <aD ．b <a <c答案 D解析 a ＝sin 5π7＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－2π7＝sin 2π7，又π4<2π7<π2，可通过单位圆中的三角函数线进行比较：如图所示，cos 2π7＝OA ，sin 2π7＝AB ，tan 2π7＝MN ，∴cos 2π7<sin 2π7<tan 2π7，即b <a <c .7．不等式x 2－log a x <0在x ∈(0，12)时恒成立，则a 的取值范围是( )A ．0<a <1 B.116≤a <1C ．a >1D ．0<a ≤116答案 B解析不等式x 2－log a x <0转化为x 2<log a x ，由图形知0<a <1且 (12)2≤log a 12， ∴a ≥116，故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1.8．函数y ＝11－x的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 D解析令1－x ＝t ，则x ＝1－t .由－2≤x ≤4，知－2≤1－t ≤4，所以－3≤t ≤3. 又y ＝2sin πx ＝2sin π(1－t )＝2sin πt .在同一坐标系下作出y ＝1t和y ＝2sin πt 的图象．由图可知两函数图象在[－3,3]上共有8个交点，且这8个交点两两关于原点对称．因此这8个交点的横坐标的和为0，即t 1＋t 2＋…＋t 8＝0.也就是1－x 1＋1－x 2＋…＋1－x 8＝0，因此x 1＋x 2＋…＋x 8＝8. 二、填空题9．若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，则yx的最小值是________．答案 2解析可行域如图所示．又y x的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k . 由图知，过点A 的直线OA 的斜率最小．联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得A (1,2)，∴k OA ＝2－01－0＝2.∴y x的最小值为2.10．设A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －1)2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ⊆B 成立的实数m的取值范围是__________．答案 m ≥2－1解析集合A 是一个圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合，集合B 是一个不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A ⊆B ，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有|m ＋1|2＝1，又m >0，∴m ＝2－1，故m 的取值范围是m ≥2－1.11．若函数f (x )＝a x－x －a (a ＞0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．答案 a ＞1解析设函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)和函数y ＝x ＋a .则函数f (x )＝a x－x －a (a ＞0且a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)的图象与函数y ＝x ＋a 的图象有两个交点．由图象可知，当0＜a ＜1时，两函数只有一个交点，不符合；当a ＞1时，因为函数y ＝a x(a ＞1)的图象过点(0,1)，而直线y ＝x ＋a 的图象与y 轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a 的取值范围是a ＞1.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥0－2x ，x <0，则关于x 的方程f [f (x )]＋k ＝0，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有1个实根； ②存在实数k ，使得方程恰有2个不相等的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有4个不相等的实根．其中正确命题的序号是________．(把所有满足要求的命题序号都填上) 答案 ①②解析依题意知函数f (x )>0，又f [f (x )]＝依据y ＝f [f (x )]的大致图象(如图)知，存在实数k ，使得方程f [f (x )]＋k ＝0恰有1个实根；存在实数k ，使得方程f [f (x )]＋k＝0恰有2个不相等的实根；不存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根；不存在实数k ，使得方程恰有4个不相等的实根．综上所述，其中正确命题的序号是①②. 三、解答题13．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx .(1)若函数y ＝f (x )在x ＝2处有极值－6，求y ＝f (x )的单调递减区间； (2)若y ＝f (x )的导数f ′(x )对x ∈[－1,1]都有f ′(x )≤2，求ba －1的范围．解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ f ′2＝0，f 2＝－6.即⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a ＋b ＝0，8＋4a ＋2b ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2－5x －2.由f ′(x )＜0，得－13＜x ＜2.∴y ＝f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ′－1＝3－2a ＋b ≤2，f ′1＝3＋2a ＋b ≤2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －1≥0，2a ＋b ＋1≤0.不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b －1＝0，2a ＋b ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1. ∴Q 点的坐标为(0，－1)．设z ＝ba －1，则z 表示平面区域内的点(a ，b )与点P (1,0)连线的斜率．∵k PQ ＝1，由图可知z ≥1或z ＜－2，即ba －1∈(－∞，－2)∪[1，＋∞)．14．设关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β.(1)求实数a 的取值范围； (2)求α＋β的值．解方法一(1)设x ＝cos θ，y ＝sin θ，则由题设知，直线l ：3x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝1有两个不同的交点A (cos α，sin α)和B (cos β，sin β)．所以原点O 到直线l 的距离小于半径1，即 d ＝||0＋0＋a 32＋12＝|a |2＜1，∴－2＜a ＜2. 又∵α、β∈(0,2π)，且α≠β. ∴直线l 不过点(1,0)，即3＋a ≠0.∴a ≠－3，即a ∈(－2，－3)∪(－3，2)．(2)如图，不妨设∠xOA ＝α，∠xOB ＝－β，作OH ⊥AB ，垂足为H ，则∠BOH ＝α－β2.∵OH ⊥AB ，∴kAB ·k OH ＝－1.∴tan α＋β2＝33.又∵α＋β2∈(0,2π)，∴α＋β＝π3或α＋β＝7π3.方法二 (1)原方程可化为sin (θ＋π3)＝－a 2，作出函数y ＝sin (x ＋π3)(x ∈(0,2π))的图象．由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1＜－a2＜1－a 2≠32，即－2＜a ＜－3或－3＜a ＜2.(2)由图知：当－3＜a ＜2，即－a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32时，直线y ＝－a 2与三角函数y ＝sin(x＋π3)的图象交于C 、D 两点，它们中点的横坐标为7π6，∴α＋β2＝7π6，∴α＋β＝7π3. 当－2＜a ＜－3，即－a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1时，直线y ＝－a 2与三角函数y ＝sin(x ＋π3)的图象有两交点A 、B ，由对称性知，α＋β2＝π6，∴α＋β＝π3，综上所述，α＋β＝π3或α＋β＝7π3.。

2015年高考理科数学大一轮总复习配套限时规范特训75份共495页

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1 A．{0， } 2 1 C．{x|0<x< } 2
B．{x|－1≤x≤1} D．{x|x>0}
1 解析：由题意得 A＝{x|0<x≤ }，B⊆A，所以选 C 项． 2 答案：C 3．[2014· 郑州质量预测]若集合 A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数 x 有( A．1 个 C．3 个
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限时规范特训：第五章数列 5-1 限时规范特训：第五章数列 5-2 限时规范特训：第五章数列 5-3 限时规范特训：第五章数列 5-4 限时规范特训：第五章数列 5-5 限时规范特训：第六章不等式、推理与证明 6-1 限时规范特训：第六章不等式、推理与证明 6-2 限时规范特训：第六章不等式、推理与证明 6-3 限时规范特训：第六章不等式、推理与证明 6-4 限时规范特训：第六章不等式、推理与证明 6-5 限时规范特训：第六章不等式、推理与证明 6-6 限时规范特训：第六章不等式、推理与证明 6-7 限时规范特训：第七章立体几何 7-1 限时规范特训：第七章立体几何 7-2 限时规范特训：第七章立体几何 7-3 限时规范特训：第七章立体几何 7-4 限时规范特训：第七章立体几何 7-5 限时规范特训：第七章立体几何 7-6 限时规范特训：第七章立体几何 7-7 限时规范特训：第八章平面解析几何 8-1 限时规范特训：第八章平面解析几何 8-2 限时规范特训：第八章平面解析几何 8-3 限时规范特训：第八章平面解析几何 8-4 限时规范特训：第八章平面解析几何 8-5 限时规范特训：第八章平面解析几何 8-6 限时规范特训：第八章平面解析几何 8-7 限时规范特训：第八章平面解析几何 8-8 限时规范特训：第八章平面解析几何 8-9 限时规范特训：第九章统计、统计案例及算法初步 9-1

高考数学二轮复习(浙江专用)训练：专题七数学思想方法第2讲Word版含解析

一、选择题1.等比数列 { a n} 中， a3＝7，前 3 项之和 S3＝21，则公比 q 的值是 ()1A.1B.－211C.1 或－2D.－1 或2分析当公比 q＝1 时， a1＝a2＝ a3＝7，S3＝ 3a1＝ 21，切合要求 .1 2a1（1－q3）1当 q≠1 时， a q＝7，＝21，解之得， q＝－2或 q＝1(舍去 ).综上可1－q1知， q＝1 或－2.答案Cx2y22.过双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)上随意一点 P，引与实轴平行的直线，交两渐→ →)近线于 R， Q 两点，则 PR·的值为 (PQA. a2B.b22＋b2分析当直线 PQ 与 x 轴重合时，→→＝，应选|PR ＝|PQ| A.|a答案A函数f(x)＝2x＋ x3－2 在区间 (0，1)内的零点个数是 ()3.A.0B.1C.2D.3分析法一函数 f(x)＝2x＋3－2在区间(0，内的零点个数即函数y1＝x－2x1)2与 y2＝－ x3的图象在区间 (0，1)内的交点个数 .作图，可知在 (0，＋∞)内最多有一个交点，故清除 C，D 项；当 x＝0 时， y1＝－ 1＜y2＝ 0，当 x＝1 时， y1＝0＞ y2＝－ 1，所以在区间 (0，1)内必定会有一个交点，所以 A 项错误 .选 B.法二由于 f(0)＝ 1＋ 0－2＝－ 1， f(1)＝2＋13－2＝1，所以 f(0) f(1)·＜ 0.又函数f(x)在 (0，1)内单一递加，所以f(x)在(0，1)内的零点个数是 1.答案 B1324.已知函数 f(x)＝ln x －4x ＋ 4x －1，g(x)＝－ x ＋2bx －4，若对随意的 x 1∈(0，2)，随意的 x 2∈[1，2]，不等式 f(x 1)≥2 恒成立，则实数b 的取值范围是 ()g(x )14A. －∞，2B.(1，＋∞ )1414C.1， 2D.1， 2分析依题意，问题等价于 f(x 1)min ≥g(x 2)max ，13f(x)＝ ln x －4x ＋4x －1(x ＞0)， 1 13 4x －x 2－ 3所以 f ′(x)＝x － 4－4x 2＝ 4x 2.由 f ′(x)＞ 0，解得 1＜x ＜3，故函数 f(x)单一递加区间是 (1，3)，同理得 f(x)的单调递减区间是 (0， 1)和(3，＋ ∞)，故在区间 (0， 2)上， x ＝1 是函数 f(x)的极小1值点，这个极小值点是独一的，所以f(x 1)min ＝ f(1)＝－ 2.函数 g(x 2)＝－ x 22＋2bx 2－ 4， x 2∈[1，2].当 b ＜1 时， g(x 2)max ＝g(1)＝ 2b －5；当 1≤b ≤2 时， g(x 2)max ＝g(b)＝b 2－4；当 b ＞2 时， g(x 2)max ＝g(2)＝ 4b －8.故问题等价于b ＜1，1≤b ≤2， b ＞ 2，1或1 2 或 1－ 2≥ 2b －5－ 2≥ b －4－2≥4b － 8.解第一个不等式组得 b ＜ 1，14解第二个不等式组得 1≤ b ≤ 2 ，第三个不等式组无解 .14综上所述， b 的取值范围是－ ∞， 2 .应选 A.答案A二、填空题5.若数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝3n －1，则它的通项公式 a n ＝________.n n －1 n －1分析当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n －S n －1＝3 －1－(3 －1)＝ 2×3 ；当 n ＝1 时， a 1＝ S 1＝2，也知足式子 a n ＝2×3n －1，答案2×3n － 1在△ 中，点，→ →→→→→→M N 知足AM ＝2MC ， BN ＝ NC ，若 MN ＝xAB ＋yAC ，则 x6.ABC＝ ________，y ＝________.分析不如设 AC ⊥AB ，有 AB ＝ 4，AC ＝ 3，以 A 为坐标原点， AB ，AC 所在直线分别为 x 轴， y 轴成立平面直角坐标系，如下图.则 A(0，0)，B(4， 0)， C(0，3)， M(0，2)， N 2， 3，2→ 1 →→那么 MN ＝ 2，－ 2 ，AB ＝(4， 0)，AC ＝(0，3)，→ →→ 1＝ x(4， 0)＋y(0，3)，由 MN ＝ xAB ＋yAC ，可得 2，－ 2114x ＝2，x ＝ 2，即 2，－ 2 ＝ (4x ， 3y)，则有1，解得13y ＝－ 2y ＝－ .61 1 答案 2－6设 22F 1，F 2 为椭圆 x＋y＝1 的两个焦点， P 为椭圆上一点 .已知 P ，F 1，F 2 是一7.94个直角三角形的三个极点，且 |PF 1 ＞2 ，则|PF 1|的值为 ________.||PF ||PF 2|分析若∠ PF 2F 1＝90°，则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，∵|PF1|＋|PF2|＝6， |F1F2|＝ 2 5，144|PF1| 7解得 |PF1|＝3， |PF2|＝3，∴|PF2|＝2 .若∠F2PF1＝90°，则 |F1F2|2＝|PF1|2＋ |PF2|2＝|PF1|2＋ (6－|PF1|)2，|PF1|解得 |PF1|＝ 4， |PF2|＝2，∴|PF2|＝ 2.|PF1|7综上所述，|PF2|＝ 2 或2.7答案 2或2x x28.已知 a 为正常数，若不等式1＋x≥ 1＋2－2a对全部非负实数 x 恒成立，则a的最大值为 ________.分析原不等式即x2≥1＋x－＋≥，(*) 2a21x(x 0)令 1＋x＝ t，t≥1，则 x＝ t2－ 1，（t2－1）2≥1＋t2－1t2－2t＋1（t－1）2所以 (*) 式可化为2a2－ t＝2＝2对 t≥ 1恒成立，所以（t＋ 1）2对 t≥1 恒成立，又 a 为正常数，所以 a≤[(t＋ 1)2min＝，故≥ 1a]4 a 的最大值是 4.答案4三、解答题9.数列 { a n} 中， a1＝8，a4＝ 2，且知足 a n＋2－2a n＋1＋ a n＝0.(1)求数列的通项公式；(2)设 S n＝|a1|＋|a2|＋＋ |a n|，求 S n.解 (1)a n＋2－2a n＋1＋a n＝ 0，所以 a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n，所以 { a n＋1－a n} 为常数列，所以 { a n} 是以 a1为首项的等差数列，设 a n＝a1＋(n－1)d，a4＝ a1＋3d，2－8所以 d＝3＝－2，所以a n＝10－2n.(2)由于 a n＝10－2n，令 a n＝ 0，得 n＝5.当 n＞ 5 时， a n＜0；当 n＝5 时， a n＝0；当 n＜ 5 时， a n＞ 0.所以当 n＞5 时，S n＝|a1|＋ |a2|＋＋ |a n |＝a1＋a2＋＋ a5－ (a6＋a7＋＋ a n)＝T5－(T n－T5)＝2T5－T n＝ n2－9n＋ 40，T n＝a1＋a2＋＋ a n，当 n≤5 时，S n＝|a1|＋ |a2|＋＋ |a n |＝a1＋a2＋＋ a n＝ T n＝9n－ n2 .29n－n（n≤5），ax10.已知函数 g(x)＝x＋1(a∈R)， f(x)＝ ln(x＋1)＋g(x).(1)若函数 g(x)过点 (1，1)，求函数 f(x)的图象在 x＝0 处的切线方程；(2)判断函数 f(x)的单一性 .解(1)由于函数 g(x)过点 (1，1)，所以 1＝a，解得 a＝2，所以 f(x)＝ln(x＋1＋12x12x＋31)＋x＋1.由 f′(x)＝x＋1＋（x＋1）2＝（x＋1） 2，则f′(0)＝3，所以所求的切线的斜率为 3.又 f(0)＝0，所以切点为 (0， 0)，故所求的切线方程为y＝3x.ax(2)由于 f(x)＝ln(x＋1)＋x＋1(x＞－ 1)，1a（ x＋ 1）－ ax x＋ 1＋ a所以 f′(x)＝x＋1＋（x＋1）2＝（x＋1）2.①当 a≥0 时，由于 x＞－ 1，所以 f′(x)＞0，故 f(x)在(－1，＋∞ )上单一递加；f′（x）＜ 0，②当 a＜0 时，由得－ 1＜ x＜－ 1－ a，x＞－ 1，故 f(x)在(－1，－ 1－a)上单一递减；f′（x）＞ 0，由得 x＞－ 1－a，x＞－ 1，故 f(x)在(－1－a，＋∞ )上单一递加 .综上，当 a≥0 时，函数 f(x)在 (－1，＋∞ )上单一递加；当 a＜0 时，函数 f(x)在 (－1，－ 1－ a)上单一递减，在(－1－a，＋∞ )上单一递加 .x2 y2211.已知椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的一个焦点与抛物线y ＝ 43x 的焦点 F 重合，且椭圆短轴的两个端点与点 F 组成正三角形 .(1)求椭圆的方程；(2)若过点 (1，0)的直线 l 与椭圆交于不一样的两点P，Q，试问在 x 轴上能否存在→→定点 E(m，0)，使PE·QE恒为定值？若存在，求出 E 的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明原因.解 (1)由题意，知抛物线的焦点为 F( 3， 0)，所以c＝ a2－ b2＝ 3.由于椭圆短轴的两个端点与 F 组成正三角形，3所以 b＝3×3＝1.2x2可求得 a＝ 2，故椭圆的方程为4＋y ＝1.(2)假定存在知足条件的点 E，当直线 l 的斜率存在时设其斜率为 k，则 l 的方程为y＝k(x－1).2x2由4＋ y ＝1，y＝k（x－1），得 (4k2＋1)x2－ 8k2x＋4k2－4＝0，设 P(x1， y1)，Q(x2，y2)，所以 x 1＋ x 2＝ 8k24k 2－42 ，x 1x 2＝ 4k 2.4k ＋1 ＋1→， → ＝ (m －x 2，－ y 2 ，则 PE ＝ (m －x 1，－ y 1) QE ) → →所以 PE ·QE ＝(m －x 1)(m －x 2)＋ y 1y 2＝ m 2－m(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 1y 2＝ m 2－m(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋k 2(x 1－1)(x 2－1)2 8k m4k －4 2 4k 2－48k 2＝ m －4k 2＋1＋ 4k 2＋1＋k 4k 2＋1－ 4k 2＋ 1＋ 122（4m 2－8m ＋1）k 2＋（ m 2－ 4）＝4k 2＋1（4m 2－8m ＋1） k 2＋14 ＋（ m 2－ 4）－14（4m 2－8m ＋1）＝4k 2 ＋117122m － 4＝ 4(4m －8m ＋1)＋ 4k 2＋ 1 .→ → 为定值，令 2m － 17 要使 PE ·＝0，QE417→→ 33即 m ＝ 8 ，此时 PE ·QE ＝ 64.当直线 l 的斜率不存在时，不如取 P 1，3 ，Q 1，－ 3 ，2217→ 93→9 3 由 E 8 ，0 ，可得 PE ＝ 8，－2 ，QE ＝ 8， 2 ，→→81333所以 PE ·QE ＝64－ 4＝ 64.综上，存在点 E 17→ → 为定值 338 ， 0，使 PE ·64.QE。

高考数学思想02 运用数形结合的思想方法解题(精讲精练)(解析版)

思想02运用数形结合的思想方法解题【命题规律】高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等．【核心考点目录】核心考点一：研究函数的零点、方程的根、图象的交点核心考点二：解不等式、求参数范围、最值问题核心考点三：解决以几何图形为背景的代数问题核心考点四：解决数学文化、情境问题【真题回归】1．（2022·北京·统考高考真题）在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-【答案】D【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动，设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，所以()3cos ,sin PA θθ=-- ，()cos ,4sin PB θθ=--，所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯-22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈-；故选：D2．（2022·天津·统考高考真题）设a ∈R ，对任意实数x ，记(){}2min 2,35f x x x ax a =--+-．若()f x 至少有3个零点，则实数a 的取值范围为______．【答案】10a ≥【解析】设()235g x x ax a =-+-，()2h x x =-，由20x -=可得2x =±．要使得函数()f x 至少有3个零点，则函数()g x 至少有一个零点，则212200a a ∆=-+≥，解得2a ≤或10a ≥．①当2a =时，()221g x x x =-+，作出函数()g x 、()h x的图象如下图所示：此时函数()f x 只有两个零点，不合乎题意；②当2a <时，设函数()g x 的两个零点分别为1x 、()212x x x <，要使得函数()f x 至少有3个零点，则22x ≤-，所以，()2224550ag a ⎧<-⎪⎨⎪-=+-≥⎩，解得a ∈∅；③当10a =时，()21025g x x x =-+，作出函数()g x 、()h x的图象如下图所示：由图可知，函数()f x 的零点个数为3，合乎题意；④当10a >时，设函数()g x 的两个零点分别为3x 、()434x x x <，要使得函数()f x 至少有3个零点，则32x ≥，可得()222450a g a ⎧>⎪⎨⎪=+-≥⎩，解得4a >，此时10a >．综上所述，实数a 的取值范围是[)10,+∞．故答案为：[)10,+∞．3．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是________________．【答案】13【解析】∵椭圆的离心率为12c e a ==，∴2a c =，∴22223b a c c =-=，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ===，，，∴23AF O π∠=，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE直线DE的方程：x c =-，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：221390y c --=，判别式()22224139616c c ∆=+⨯⨯=⨯⨯，∴122264613cDE y =-=⨯⨯⨯⨯=，∴138c =，得1324a c ==，∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ==，，∴ADE V 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为222211*********DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==．故答案为：13．4．（2022·浙江·统考高考真题）设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++ 的取值范围是_______．【答案】[12+【解析】以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示：则1345726(0,1),,,(1,0),,,(0,1),,,(1,0)222222A A A A A A A ⎛⎫⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，822A ⎛- ⎝⎭，设(,)P x y ，于是()2222212888PA PA PA x y +++=++ ，因为cos 22.5||1OP ≤≤，所以221cos 4512x y +≤+≤，故222128PA PA PA +++的取值范围是[12+．故答案为：[12+．5．（2022·天津·统考高考真题）在ABC 中，,CA a CB b == ，D 是AC 中点，2CB BE = ，试用,a b表示DE 为___________，若AB DE ⊥，则ACB ∠的最大值为____________【答案】3122b a - 6π【解析】方法一：31=22DE CE CD b a -=- ，,(3)()0AB CB CA b a AB DE b a b a =-=-⊥⇒-⋅-=，2234b a a b+=⋅223cos 4a b b a ACB a b a b ⋅+⇒∠==a = 时取等号，而0πACB <∠<，所以(0,6ACB π∠∈．故答案为：3122b a - ；6π．方法二：如图所示，建立坐标系：(0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y ，3(,(1,)22x y DE AB x y +=--=--，23(1)022x y DE AB x +⊥⇒-+= 22(1)4x y ⇒++=，所以点A 的轨迹是以(1,0)M -为圆心，以2r =为半径的圆，当且仅当CA 与M 相切时，C ∠最大，此时21sin ,426r C C CM π===∠=．故答案为：3122b a - ；6π．【方法技巧与总结】1、以形助数（数题形解）：借助形的生动性和直观性来阐述数与形之间的关系，把抽象问题具体化，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想．2、以数辅形（形题数解）：借助于数的精确性、规范性、严密性来阐明形的某些属性，把直观图形数量化，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想．【核心考点】核心考点一：研究函数的零点、方程的根、图象的交点【典型例题】例1．（2023·河北衡水·高三周测）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则在区间(]2,6-内关于x 的方程()()2log 20f x x -+=的根的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，所以(2)(2)(2)f x f x f x -=+=-，即()(4)f x f x =+，所以函数()f x 的周期为4，当[0,2]x ∈时，则[2,0]x -∈-，此时()()112xf x f x -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，即()21,[0,2]xf x x =-∈，由()2log (2)0f x x -+=，(]2,6x ∈-，得()2log (2)f x x =+，分别作出函数()y f x =和2log (2)y x =+，(]2,6x ∈-的图象，如图所示，则由图象可知两个函数的图象的交点个数为4个，即方程()()2log 20f x x -+=的零点个数为4个．故选：D ．例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数23,0()3,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是A ．1(,1)2B ．1(2，2)C ．(1,2)-D ．(1,3)-【答案】C【解析】设函数1y kx =-00(,)P x y 关于直线1y =-对称的点为(,)P x y '，则00,12y y x x +==-，所以02y y =--，而P 在函数1y kx =-上，所以21y kx --=-，即1y kx =--，所以函数1y kx =-恒过定点(0,1)A -，（1）当0x >时，()ln 3f x x x x =-，设直线1y kx =--与()f x 相切于点(,ln 3)C x x x x -，()ln 31ln 13ln 2x x x f x x x x k x-+'=+-=-=-=，整理可得ln 2ln 31x x x x x x -=-+，解得1x =，所以ln122AC k k =-=-=-；（2）当0x ≤时，()23f x x x =+，设直线1y kx =--与函数()f x 相切于点B 点2(,3)x x x +，()23123x x f x x k x++'=+=-=，整理可得222331(0)x x x x x +=++≤，解得=1x -，所以2(1)31AB k k =-=-+=，故21k -<-<，即12k -<<时，在0x >时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点；在0x ≤时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点，故函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有4个交点时的k 的范围是(1,2)-．故选：C ．例3．（2023·上海·高三专题练习）已知函数f （x ）＝x 2＋ex －12（x <0）与g （x ）＝x 2＋ln （x ＋a ）的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（）A ．(-∞B ．(-∞C ．)+∞D ．)+∞【答案】B【解析】()()2102xx e f x x =+-<关于y 轴对称得到的函数为()()2102x h x x e x -=+->，依题意可知()h x 与()g x 在()0,∞+上有公共点，由()()h x g x =得()221ln 2x x e x x a -+-=++，()11ln 2x x a e =++．对于函数1xy e =，在()0,∞+上单调递减，且()0,1y ∈．对于函数()1ln 2y x a =++，在()0,∞+上单调递增．当0a ≤时，1ln 2x +的图像向右平移a 个单位得到()1ln 2y x a =++，与1x y e =图像在()0,∞+上必有1个交点．当0a >时，1ln 2x +的图像向左平移a 个单位得到()1ln 2y x a =++，要使()1ln 2y x a =++与1x y e=图像在()0,∞+上有交点，则需当0x =时（也即y 轴上），()1ln 2y x a =++的函数值小于1xy e =的函数值，即0111ln ,ln 22a a e +<<，解得0a <<．综上所述，a 的取值范围是(-∞．故选：B ．例4．（2023·全国·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x R ∈，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()122xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 20(01)a f x x a -+=<<恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．1,42⎫⎪⎪⎝⎭B ．4⎛ ⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】对于任意的x R ∈，都有(2)(2)f x f x -=+，∴函数()f x 关于直线2x =对称，又当[2x ∈-，0]时，1()2()2xf x =-，且函数()f x 是定义在R 上的偶函数，故函数()f x 在区间(2-，6]上的图象如下图所示：若在区间(2-，6]内关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=恰有3个不同的实数解则log 42a >-，log 82a <-，解得：1(,)42a ∈故选：A核心考点二：解不等式、求参数范围、最值问题【典型例题】例5．（2023春·山东枣庄·高三枣庄市第三中学校考阶段练习）设函数()()()222ln 2f x x a x a =-+-，其中0x >，a R ∈，若存在0x R ∈，使得()045f x ≤成立，则实数a 的值是A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】A【解析】函数()f x 可以看作是动点2(,)M x lnx 与动点(,2)N a a 之间距离的平方，动点M 在函数2y lnx =的图象上，N 在直线2y x =的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由2y lnx =得，22y x'==，解得1x =，∴曲线上点(1,0)M 到直线2y x =的距离最小，最小距离5d ==，则4()5f x ，根据题意，要使04()5f x ，则04()5f x =，此时N 恰好为垂足，由2021112MN a a k a a -===---，解得15a =．故选A ．例6．（2023·全国·m ≥对任意a ∈R ，()0,b ∈+∞恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎝⎦B．2⎛-∞ ⎝⎦C．(-∞D ．(],2-∞【答案】B【解析】设T =T 的几何意义是直线y x =上的点(,)P a a 与曲线()ln f x x =上的点(,ln )Q b b 的距离，将直线y x =平移到与面线()ln f x x =相切时，切点Q 到直线y x =的距离最小．而()1f x x '=，令()0011f x x ='=，则01x =，可得(1,0)Q ，此时，Q 到直线y x =2=，故min ||2PQ =，所以2m ≤．故选：B例7．（2023春·黑龙江黑河·高三嫩江市高级中学校考期中）设函数()2x f x xe a =+，()x g x e ax =+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得00()()f x g x <，则a 的取值范围是（）A ．3[2e-，1)B ．3[2e，1)C ．3[2e -，34D ．3[2e ，3)4【答案】B【解析】由题意可知，存在唯一的整数x ，使得(21)x x e ax a -<-，构造函数()(21)x h x x e =-，则()(21)x h x x e '=+．当12x <-时，()0h x '<；当12x >-时，()0h x '>．所以，函数()(21)x h x x e =-的单调递减区间为1(,)2-∞-，单调递增区间为1(,)2-+∞．函数()y h x =在12x =-处取得极小值1(2h -=如下图所示，由于(0)1h =-，3(1)h e-=-，所以，(1)(0)h h -<，结合图象可知，(0)0(1)(1)h a a h a a <⨯-⎧⎨-⨯--⎩，解得312a e < ．故选：B核心考点三：解决以几何图形为背景的代数问题【典型例题】例8．（2023·全国·高三专题练习）已知3,||,||AB AC AB t AC t ⊥==，若点P 是ABC 所在平面内的一点，且3||||AB ACAP AB AC =-，则PB PC ⋅ 的最大值等于（）A ．8B ．10C ．12D ．13【答案】C【解析】∵AB AC ⊥，∴可以A 为原点，,AB AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系；不妨设()30,,(,0)B t C t ，则(0,1)3(1,0)(3,1)AP =-=- ，故点P 坐标为(3,1)-则()33,1,(3,1)PB t PC t =--=-- ，∴()333(3)1310PB PC t t t t ⋅=---+-=-++ 令3()310,0f t t t t =-++>，则2(333(1)(1),0f t t t t t -+=-+-≥'，则当(0,1)t ∈时，()0f t '>，当(1,)t ∈+∞时，()0f t '<，则函数()f t 在[0,1)递增，在(1,)+∞上递减，则max ()(1)12f t f ==，即PB PC ⋅的最大值为12．故选：C ．例9．（2023春·浙江杭州·高二学军中学阶段练习）2≤的解集为[],a b ，则ab 的值是（）A ．5B．C ．6D ．7【答案】D【解析】设23y =，则y =2≤．2=．2=±2=，两边平方可得，()()2222154x y x y -+=-+±，整理可得，27x =-，两边平方整理可得()22313y x --=．2=表示的点(),x y 在双曲线()22313y x --=上．2≤表示的点(),x y 在双曲线()22313yx--=上及其内部．2≤与不等式组()2223133y x y ⎧--≤⎪⎨⎪=⎩同解，整理可得2670x x -+≤．由已知可得，不等式2670x x -+≤的解集是[],a b ，所以2670x x -+=的两个解为a 、b ，根据韦达定理有7ab =．故选：D ．例10．（2023春·安徽六安·(0)kx k ≤>的解集为区间[,]a b ，且2b a -=，则k =（）A ．3B C D ．2【答案】C【解析】如图所示：因为y =4为半径位于x 轴上方（含和x 轴交点）的半圆，(0)y kx k =>表示过坐标原点及第一三象限内的直线，(0)kx k ≤>的解集为区间[,]a b ，且2b a -=，即半圆位于直线下方的区间长度为2，所以2,4a b ==，所以直线与半圆的交点(2,，所以2k ==故选：C ．核心考点四：解决数学文化、情境问题【典型例题】例11．（2023·全国·高三专题练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M ，N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在QB 边上找一点P ，使得MPN ∠最大．”如图，其结论是：点P 为过M ，N 两点且和射线QB 相切的圆与射线QB 的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点M （-1，2），N （1，4），点P 在x 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是（）A ．1B ．-7C ．1或-1D ．2或-7【答案】A【解析】由题M （-1，2），N （1，4），则线段MN 的中点坐标为（0，3），易知1MN k =，则经过M ，N 两点的圆的圆心在线段MN 的垂直平分线3y x =-上．设圆心为(),3S a a -，则圆S 的方程为()()()222321x a y a a -+-+=+．当MPN ∠取最大值时，圆S 必与x 轴相切于点P （由题中结论得），则此时P 的坐标为(),0a ，代入圆S 的方程，得()()22213a a +=-，解得1a =或7a =-，即对应的切点分别为P （1，0）和()7,0P '-．因为对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，又过点M ，N ，P '的圆的半径大于过点M ，N ，P 的圆的半径，所以MPN MP N ∠>∠'，故点P （1，0）为所求，即点P 的横坐标为1．故选：A ．例12．（2023春·北京大兴·高三校考阶段练习）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线22:C x y x y +=+就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线C 围成的图形的面积是2π+；②曲线C 上的任意两点间的距离不超过2；③若(),P m n 是曲线C 上任意一点，则3m n +-的最小值是1．其中正确结论的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】当0x 且0y 时，曲线C 的方程可化为22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当0x 且0y 时，曲线C 的方程可化为22111222x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当0x 且0y 时，曲线C 的方程可化为22111222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当0x 且0y 时，曲线C 的方程可化为22111222x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，曲线C 的图像如图所示；由图可知，曲线C从而曲线C所围成的面积2114π2π22⨯⨯+=+，故①正确；过原点O 且连接两个半圆圆心M 、N 的直线交曲线C 于D 、E两点，如下图所示：则|||||MN DM EN ===，所以，||||||||2DE MN DM EN =++=>，故命题②错误；因为(,)P m n 到直线30x y +-=的距离为d ，所以|3|m n +-=，当d 最小时，易知(,)P m n 在曲线C 的第一象限内的图象上，因为曲线C 的第一象限内图象是圆心为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭的半圆，所以圆心11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线30x y +-=的距离d '所以min d d ='⎭所以|3|m n +-的最小值为12=，故③正确．故选：C例13．（2023·青海海东·统考一模）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的前纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均为正方形ABCD 各边的中点（如图2），若P 在 BC 的中点，则()PA PB PO +⋅=___________．【答案】8【解析】方法一：图3如图3，取BC 中点为E ，连结PO ，显然PO 过E 点．易知，90BPC ∠=o ，45BPE ∠= ，则1EP EB EC ===，PB =2PO PE OE =+=．所以，cos PB PO PB PO BPE ⋅=∠ 222=⨯=．图4如图4，延长PO 交AD 于F ，易知F 是AD 的中点，且PF AD ⊥．则3PF PE EF =+=，1AF =，在Rt AFP 中，AP ==，cos10PF APF PA ∠==所以，cos PO PA PO PA APF ⋅=∠ 26==．所以，()8PA PB PO PA PO PB PO +⋅⋅==⋅+．故答案为：8．方法二：图5取BC 中点为E ，连结PO ，显然PO 过E 点．易知，90BPC ∠=o ，45BPE ∠= ，1PE =如图5，取AB 中点为G ，显然OG PO ⊥，1OG =，2PO PE OE =+=．在Rt GOP 中，PG ==cosOP GPO PG ∠===．又G 为AB 中点，则2G PA B P P =+．所以，()2PA PB PO PG PO +⋅=⋅ cos 2GPO PG PO =∠ 228==．故答案为：8．【新题速递】一、单选题1．（2023春·江苏盐城·高三盐城中学校考）若直线():40l x m y +-=与曲线x =有两个交点，则实数m 的取值范围是（）A ．03m <<B ．0m ≤<C ．0m <≤D ．0m ≤≤【答案】B【解析】x =表示的曲线是圆心为()0,0，半径为2的圆在y 轴以及右侧的部分，如图所示：直线():40l x m y +-=必过定点()0,4，当直线l 与圆相切时，直线和圆恰有一个交点，2=，结合直线与半圆的相切可得m =，当直l 的斜率不存在时，即0m =时，直线和曲线恰有两个交点，所以要使直线和曲线有两个交点，则0m ≤<故选：B.2．（2023春·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考阶段练习）已知x ，y 是实数，且22410x y x +-+=，则21y x ++的最大值是（）A ．66B ．116C ．336D ．66【答案】D【解析】方程可化为()223x y -+=，表示以()2,021y x ++的几何意义是圆上一点与点A ()1,2--连线的斜率，设21k y x =++，即()21y k x +=+，当此直线与圆相切时，斜率最大或最小，当切线位于切线AB 时斜率最大.=，66k =，，所以21y x ++的最大值为66.故选：D ．3．（2023春·陕西渭南·高一统考）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()24f x x x =-.若函数()()()R g x f x m m =+∈，则函数()g x 的零点个数不可能是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()224(2)4f x x x x =-=--,作出()f x的图象如图：，故当0m =时，()()g x f x =有3个零点；当0m <或4m =时，()()g x f x m =+的图象与x 轴有两个交点，则函数有2个零点；当04m <<时，()()g x f x m =+的图象与x 轴有4个交点，则函数有4个零点；由于()()g x f x m =+也为偶函数，结合()f x 图象可知，()()g x f x m =+不可能有1个零点，故选：A4．（2023春·陕西西安·高三统考期末）已知函数()e ,03,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，若函数()()()g x f x f x =--，则函数()g x 的零点个数为（）A ．1B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】当0x >时，0x -<，()3f x x-=当0x <时，0x ->，()exf x --=()()()3e ,00,0e 3,0x x x xg x f x f x x x x -⎧->⎪∴=--==⎨⎪+<⎩，()()()()g x f x f x g x -=--=-，且定义域为R ，关于原点对称，故()g x 为奇函数，所以我们求出0x >时零点个数即可，(0,)3e x g x x x =->，()3e 0x g x '=->，令()3e 0x g x '=->，解得0ln 3x <<，故()g x 在()0,ln 3上单调递增，在(ln3,)+∞单调递减，且(ln 3)3ln 330g =->，而()226e 0g =-<，故()g x 在(ln 3,2)有1零点，1311e 03g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故()g x 在1(,ln 3)3上有1零点，图像大致如图所示：故()g x 在()0,∞+上有2个零点，又因为其为奇函数，则其在(),0∞-上也有2个零点，且()00g =，故()g x 共5个零点，故选：D.5．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）若函数()f x 的定义域为(),1f x -R 为偶函数，当1x ≥-时，()31x f x -=-，则函数()()12g x f x =-的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】D 【解析】令310x --≥解得0x ≤，令310x --<解得0x >，所以当1x ≥-时，()11,1033111,03xx x x f x x -⎧⎛⎫--≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=-=⎛⎫⎪-+> ⎪⎪⎝⎭⎩，()1f x -为偶函数，所以()1f x -的图象关于y 轴对称，所以()f x 的图象关于直线=1x -轴对称，故作出()f x的图象如下，令()()102g x f x =-=，即()12f x =，由图象可知，()f x 的图象与12y =的图象共有四个交点，所以函数()()12g x f x =-的零点个数为4个.故选:D.6．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且(1)f x -是奇函数，当01x 时，有()f x =()(2021)y f x k x =--的零点个数为5，则实数k 取值范围是（）A ．15<2<1kB ．16<3<1kC ．12<4<k 或12k =-D ．31<2k -<-或12<3<k 【答案】C【解析】∵偶函数()f x ，()()f x f x ∴-=，(1)f x -是奇函数，得(1)(1)f x f x -=---，即()(2)f x f x =---，(2)()f x f x ---=-，得4T =，()(2021)0f x k x --=，即()y f x =与(2021)y k x =-的图像交点的个数，因为4T =，即为()y f x =与(1)y k x =-的图像交点的个数，因为()f x =k 应该在1k 与2k 之间或为3k ，21341212k k k ===-12<4<k 或12k =，故选：C.7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()ln2,01ln 2ln 2,12x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-+≤<⎪⎩，若存在02a b c <<<<使得()()()f a f b f c ==，则111ab bc ca ++的取值范围是（）A ．20,93⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．∞⎫+⎪⎪⎣⎭D ．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】A【解析】∵()()ln 2ln2ln 22x x ⎡⎤-+=-⎣⎦，∴ln 2y x =与()ln 2ln2y x =-+的图象关于直线1x =对称，作出()f x的大致图象如图所示，易知2b c +=，由ln2ln2a b =，即ln 2ln 2a b -=，ln 40ab =，得14ab =，∵112b <<，∴11124a <<，得1142a <<，∴()()421621112181244a a a a b c a c ab bc ca abc a a+++++++====--.设81t a =-，则()1,3t ∈，111117184t ab bc ca t ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭.17t t+≥=t 故当()1,3t ∈时，令()1718h t t t +=+，()h t 单减，()()80136,33h h ==，故1172018,943t t ⎛⎫⎛⎫++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A二、多选题8．（2023·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30 的直线分别交y 轴与双曲线右支于点,M P ，1PM MF =，下列判断正确的是（）A ．2160PF F ∠= ，B ．2112MF PF =C ．ED ．E的渐近线方程为y =【答案】BCD 【解析】如下图所示，因为1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，所以2//OM PF ，因为12OM F F ⊥，所以212PF F F ⊥，所以212PF F π∠=，2112MF PF =，A 错误，B 正确；由212PF F F ⊥知：22b PF a=，又122F F c =，1230PF F ∠= ，2c =)222c a ac -=220e -=，解得：e =C 正确；所以==c e a ，所以223c a =，所以22222b c a a =-=，所以b a=所以E 的渐近线方程为y =，D 正确．故选：BCD ．9．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l 过抛物线2:8C y x =的焦点F ，l 与抛物线交于,P Q两点（P 在第一象限），以,PF QF 为直径的圆分别与y 轴相切于,A B 两点，则下列结论正确的是（）A ．32||3PQ =B ．ABC ．若M 为抛物线C 上的动点，(2,1)N ，则min (||||)4MF MN +=D ．若0(,M x 为抛物线C 上的点，则9MF =【答案】ABC【解析】设直线PQ 的方程为：y =x ﹣2），与28y x =联立整理可得：3x 2﹣20x +12=0，解得：x 23=或6，则P （6，，Q （23，3-）；所以|PQ |=623++4323=，选项A 正确；因为F (2,0),所以PF ，QF 的中点分别为：（4，，（43，3-），所以A （0，，B （0，3-），所以|AB 33=，选项B 正确；如图M 在抛物线上，ME 垂直于准线交于E ，可得|MF |=|ME |，所以|MF |+|MN |=|ME |+|MN |≥NE =2+2=4，当N ，M ，E 三点共线时，|MF |+|MN |最小，且最小值为4，选项C 正确；对于选项D ，若0(M x 为抛物线C 上的点，则05x =，又4p =，所以072p MF x =+=，选项D 错误.故选：ABC.10．（2023春·河南·高三校联考）在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，2BD CD ==，ABD △为等边三角形，E 是棱AC 的中点，F 是棱AD 上一点，若异面直线DE 与BF 所成角的余弦值为28，则AF 的值可能为（）A ．23B ．1C ．43D ．53【答案】AC【解析】由ABD △为等边三角形，取BD 的中点O ，连接AO ,则AO BD⊥又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD=所以AO ⊥平面BCD ，由BD CD⊥过O 作与CD 平行的直线为y 轴，分别以,OB OA 为,x z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为2BD CD ==，则()1,0,0B ，()()(1,0,0,1,2,0,D C A --，所以1,1,22E ⎛- ⎝⎭．设()F a，则12DE ⎛= ⎝⎭，()BF a =- ，则28=13a =-或23a =-，故1233AF AD ==或2433AF AD ==．故选：AC11．（2023秋·福建三明·高一福建省宁化第一中学校考阶段练习）已知G 为ABC 的重心，60BAC ∠=︒，2AB AC ⋅= ，则||AG uuu r 的可能取值为（）A ．23B ．1CD ．32【答案】CD【解析】如图，G 是ABC 的重心，记,,AB c AC b AB a ===，则2211()()3323AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+ ，222222111()(2)(4)999AG AB AC AB AB AC AC b c =+=+⋅+=++ ，又1cos 6022AB AC bc bc ⋅=︒== ，即4bc =，所以2228b c bc +≥=，当且仅当2b c ==时等号成立，所以214(84)93AG ≥⨯+=．即3AG ≥ ．只有CD 满足．故选：CD ．12．（2023春·湖北黄冈·高三校考开学考试）已知ABC 的重心为G ，过G 点的直线与边AB ，AC 的交点分别为M ，N ，若AM MB λ= ，且AMN 与ABC 的面积之比为920，则λ的可能取值为（）A ．43B ．32C ．53D ．3【答案】BD【解析】如图，()AM MB AB AM λλ==- ，1AM AB λλ∴=+ ，即1AB AM λλ+= ，设AC t AN = ，则11()333t AG AB AC AM AN λλ+=+=+ ，M G N 、、三点共线，1=133t λλ+∴+，12t λ∴=-，所以12AC AN λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，AMN ∴ 与ABC 的面积之比为920，191sin sin 2202AM AN A AB AC A ∴=⨯⨯ ，即112029λλλ+⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得22990λλ-+=，解得32λ=或3.故选：BD13．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校联考）在三维空间中，定义向量的外积：a b ⨯ 叫做向量a 与b 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：①()a a b ⊥⨯ ，()b a b ⊥⨯ ，且a ，b 和a b ⨯ 构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；②a b ⨯ 的模sin ,a b a b a b ⨯= ，(,a b 表示向量a ，b 的夹角)．在正方体1111ABCD A B C D -中，有以下四个结论，正确的有（）A ．11AB AC AD DB⨯=⨯ B ．111AC A D ⨯ 与1BD 共线C ．AB AD AD AB ⨯=⨯ D ．6BC AC ⨯ 与正方体表面积的数值相等【答案】ABD【解析】对于A ，设正方体的棱长为1，在正方体中1,60AB AC =︒ ，则111sin ,AB AC AB AC AB AC ⨯= ，因为11//BD B D ，且1160AD B ∠=︒，所以1,120AD DB =︒ ，所以111sin ,2AD DB AD DB AD DB ⨯== 所以11AB AC AD DB ⨯=⨯ ，所以A 正确；对于B ，1111AC B D ⊥，111A C BB ⊥，1111B B B D B ⋂=，111,B B B D ⊂平面11BB D D ，11A C ⊥平面11BB D D ，因为1BD ⊂平面11BB D D ，所以111BD A C ⊥，同理可证11BD A D ⊥，再由右手系知，111AC A D ⨯ 与1BD 同向，所以B 正确；对于C ，由a ，b 和a b ⨯ 构成右手系知，a b ⨯ 与b a ⨯ 方向相反，又由a b ⨯ 模的定义知，sin ,sin ,a b a b a b b a a b b a ⨯===⨯ ，所以a b b a ⨯=-⨯ ，则AB AD AD AB ⨯=-⨯ ，所以C 错误；对于D ，正方体棱长为a ，266sin 4566BC AC BC AC a a ⨯=⋅︒=⨯⨯，正方体表面积为26a ，所以D 对．故选：ABD ．三、填空题14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数243,0()41,01x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪+⎩.若关于x 的方程()()()2[]2110f x m f x m +--+=有6个不同的实数根，则m 的取值范围___________.【答案】7,5⎛- ⎝⎭【解析】因为243,0()41,01x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪+⎩，所以当0x ≤时，()243f x x x =++开口向上，对称轴为2x =-，()()min 21f x f =-=-，两零点为1,3x x =-=-；当0x >时，()411f x x =-+，则()f x 在()0,∞+上单调递减，零点为3x =，且()1f x >-；由此作出()f x的图像如图，.令()t f x =，则当13t -<<时，()t f x =有三个实数根，因为()()()2[]211f x m f x m +--+有6个不同的实数根，所以()22110t m t m +--+=必须有两个不等实根12,t t ，且()21,1,3t t ∈-，令()()2211g t t m t m =+--+，则()()103021132Δ0g g m ⎧->⎪>⎪⎪⎨--<-<⎪⎪>⎪⎩，即()()()()212110932110621221410m m m m m m m ⎧---+>⎪+--+>⎪⎨-<-<⎪⎪---+>⎩，解得75m -<<7,52m ⎛∈-- ⎝⎭.故答案为：7,5⎛- ⎝⎭.15．（2023春·全国·高一期末）已知函数241,1()log 3,1x x f x x x ⎧-⎪=⎨+>⎪⎩ 集合21()2()02M x f x t f x t ⎧⎫⎛⎫=-++=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∣，若集合M 中有3个元素，则实数t 的取值范围为________．【答案】{|0t t =或1}2t ≥【解析】令()f x m =，记21()(2)2g m m t m t =-++的零点为12,m m ，因为集合M 中有3个元素，所以()f x 的图象与直线12,y m y m ==共有三个交点，则，12001m m =⎧⎨<<⎩或12101m m =⎧⎨<<⎩或12001m m >⎧⎨<<⎩当10m =时，得0=t ，212m =，满足题意；当11m =时，得12t =，212m =，满足题意；当12001m m >⎧⎨<<⎩时，(0)01(1)1202g t g t t =>⎧⎪⎨=--+<⎪⎩，解得12t >.综上，t 的取值范围为{|0t t =或1}2t ≥.故答案为：{|0t t =或1}2t ≥16．（2023秋·黑龙江绥化·高一校考期末）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知30,12=︒=A b ，若ABC 有两解，写出a 的一个可能的值为__________．【答案】7（满足(612)a ∈，均可，答案不唯一）【解析】由于满足条件的ABC 有两个，则sin b A a b <<，即612a <<.故答案为：7（满足(612)a ∈，均可，答案不唯一）．17．（2023·海南·统考模拟预测）已知函数()sin 314f x x m π⎛⎫++- ⎪⎝⎭在3,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有3个零点1x ，2x ，3x ，其中123x x x <<，则1232x x x ++=______．【答案】53π-【解析】令()0f x =314x m π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，故()314f x x m π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭的零点为函数()314g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭与函数y ＝m 交点的横坐标，作出函数g (x )在3,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的大致图象：令3()42x k k πππ+=+∈Z ，解得()123k x k ππ=+∈Z ，令1k =-，得4x π=-，则由图知2322=4x x ππ⎛⎫+=⨯-- ⎪⎝⎭，令2k =-，得712x π=-，则由图知12772=126x x ππ⎛⎫+=⨯-- ⎪⎝⎭，故123752263x x x πππ++=--=-．故答案为：53π-﹒18．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知双曲线22:14x y C m-=与直线2y x =无交点，则m 的取值范围是_____．【答案】(]0,16【解析】依题意，由22:14x y C m -=可得0m >，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，因为双曲线C 与直线2y x =无交点，所以直线2y x =应在两条渐近线上下两部分之间，2≤，解得016m <≤，即(]0,16m ∈.故答案为：(]0,16..。

运用数形结合的思想方法解题(4大核心考点)(课件)-2024年高考数学二轮复习(新教材新高考)

）
【答案】A
1
2 − 2ln，其中e
1
e
1
= 2 + e2，ℎ e =
考点题型一：研究函数的零点、方程的根、图象的交点
【变式1-2】（2024·山东德州·高三统考期末）已知定义在[−2,2]上的函数() =
2 + , −2 ≤ ≤ −1
，
ln( + 1) , −1 < ≤ 2
若 = − + 1 的图像与轴有4个不同的交点，则实数的取值范围是（
A．
ln3 1
,
3 e
B．
ln3 1
,
3 e
C．
ln3 1
,
3 3e
D．
【答案】A
综上所述：
【解析】因为 = − + 1 的图像与轴有4个不同的交点，
所以与 = + 1 有4个不同的交点，作出二者图像如图，
A．−1
1
C．−1或 − 1
【答案】A
因为1 < 2 ，则1 + = ，ln2 = ，得1 = − ，
2 = e ，所以2 − 1 = e − + .
令 =
− + ≤ ，则′ =
e
− 1 ≤ ，∴
当 ≤ 0时，在 −∞, 上单调递减，
ln3
−1
当直线过点 2, ln3 时， = 2−
=
ln3
，此时有四个交点；
3
故选：A.
ln3
3
1
e
≤< ，
）
考点题型二：解不等式、求参数范围、最值问题
【例2】（2024·全国·模拟预测）已知关于x的不等式ln − 4 + 3 > 0恰有一个整数解，则实数k的取值范围为（

高考数学二轮专题复习训练：专题第讲数形结合思想

第2讲数形结合思想(推荐时间：60分钟)一、填空题1．若实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝3，那么yx的最大值为________．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，x 12， x ＞0.若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是____________．3．若直线y ＝k (x －2)＋4与曲线y ＝1＋4－x 2有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是________．4．函数f (θ)＝sin θ2＋cos θ的最大值为________．5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x 3a ＋y 4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32，则a 的值为________．6．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________．7．已知y ＝f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，那么在区间[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1 (k ∈R ，k ≠1)有4个根，则k 的取值范围为__________．8．设函数y ＝f (x )是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0,1]上的图象为如图所示的线段AB ，则在区间[1,2]上f (x )＝________.9．若方程x 3－3x －a ＝0有三个不相等的实根，则实数a 的取值范围是________．10．函数f (x )＝x 2＋9＋(x －3)2＋1的最小值为________．11．若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________.12．y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6， x ≥－2－6－3x ， x <－2，若不等式f (x )≥2x －m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．二、解答题13．不等式x 2＋|2x －4|≥p 对所有x 都成立，求实数p 的最大值．14.设有函数f (x )＝a ＋－x 2－4x 和g (x )＝43x ＋1，已知x ∈[－4,0]时恒有f (x )≤g (x )，求实数a 的取值范围．15．已知a >0，函数f (x )＝x |x －a |＋1 (x ∈R )． (1)当a ＝1时，求所有使f (x )＝x 成立的x 的值；(2)当a ∈(0,3)时，求函数y ＝f (x )在闭区间[1,2]上的最小值；(3)试讨论函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 的交点个数．答案1. 3 2．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 3.⎝⎛⎦⎤512，34 4．1 5．1 6．2 7.⎝⎛⎭⎫－13，0 8．x 9．(－2,2) 10．5 11. 2 12．[－4，＋∞) 13．解构造函数f (x )＝x 2＋|2x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2－5 (x ≥2)，(x －1)2＋3 (x <2).作出函数y ＝f (x )的图象如图．由图象知f (x )的最小值为3， ∴p ≤3，即p 的最大值为3. 14．解 f (x )≤g (x )，即a ＋－x 2－4x ≤43x ＋1，变形得－x 2－4x ≤43x ＋1－a ，令y ＝－x 2－4x ， ① y ＝43x ＋1－a ，②①变形得(x ＋2)2＋y 2＝4 (y ≥0)，即表示以(－2,0)为圆心，2为半径的圆的上半圆；②表示斜率为43，纵截距为1－a 的平行直线系．设与圆相切的直线为AT ，其倾斜角为α，则有tan α＝43，0<α<π2，∴sin α＝45，cos α＝35，OA ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫90°＋α2＝2·1－cos (90°＋α)sin (90°＋α)＝2·1＋sin αcos α＝2⎝⎛⎭⎫1＋4535＝6. 要使f (x )≤g (x )在x ∈[－4,0]时恒成立，则②所表示的直线应在直线AT 的上方或与它重合，故有1－a ≥6，∴a ≤－5.15．解 (1)x |x －1|＋1＝x ，所以x ＝－1或x ＝1.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋1， x ≥a－x 2＋ax ＋1， x <a，(其示意图如图所示)①当0<a ≤1时，x ≥1≥a ，这时，f (x )＝x 2－ax ＋1，对称轴x ＝a 2≤12<1，所以函数y ＝f (x )在区间[1,2]上递增，f (x )min ＝f (1)＝2－a ；②当1<a ≤2时，x ＝a 时函数f (x )min ＝f (a )＝1；③当2<a <3时，x ≤2<a ，这时，f (x )＝－x 2＋ax ＋1，对称轴x ＝a2∈⎝⎛⎭⎫1，32，f (1)＝a ，f (2)＝2a －3.因为(2a －3)－a ＝a －3<0，所以函数f (x )min ＝f (2)＝2a －3.(3)因为a >0，所以a >a2，所以y 1＝x 2－ax ＋1在[a ，＋∞)上递增；y 2＝－x 2＋ax ＋1在⎝⎛⎭⎫－∞，a 2上递增，在⎣⎡⎭⎫a2，a 上递减．因为f (a )＝1，所以当a ＝1时，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有2个交点；又f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a 24＋1≥2·a 2·1＝a ，当且仅当a ＝2时，等号成立．所以，当0<a <1时，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有1个交点；当a ＝1时，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有2个交点；当1<a <2时，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有3个交点；当a ＝2时，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有2个交点；。

高中数学高考总复习----数形结合的思想知识讲解及巩固练习题(含答案解析)

3．“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”，用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。
4．函数的图象、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是 “以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形”，还有导数更是数形结合的产物，这些都为我们提供了 “数形结合”的知识平台。
图① 综合①②③得
图②
图③
t2 5t 1
h(t
)
29 4
(t 5) 2
( 5 t 3)
2
2
t2 3t 5
(t 3) 2
。
【总结升华】通过二次函数的图象确定解题思路，直观、清晰，体现了数形结合的优越性。应特别注意，对于二次函数在闭区间上的最值问题，应抓住对称轴与所给区间的相对位置关系进行讨论解决。首先确定其对称轴与区间的位置关系，结合函数图象确定在闭区间上的增减情况，然后再确定在何处取最值。举一反三：
A． {1, 2,3} B． {1,3,5}
Ｃ． {1, 4,5}
【答案】B；
【解析】画出韦恩图，可知 N {1,3,5}。
Ｄ． {2,3, 4}
2
【变式
2】设平面点集
A
(
x,
y)
(
y
x)(
y
1 x
) y) (x 1)2 ( y 1)2 1
，则 A
示的平面图形的面积为（）
【变式 1】已知函数 f (x) x2 2ax 1 a 在 0≤x≤1 时有最大值 2，求 a 的值。
【解析】∵ f (x) (x a)2 a2 a 1 ，

高考数学二轮专题突破专题七第2讲数形结合思想文(1)

第2讲数形结合思想1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．(2)双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．(3)简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．3．数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围．(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围．(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式．(5)构建立体几何模型研究代数问题．(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题．(7)构建方程模型，求根的个数．(8)研究图形的形状、位置关系、性质等．4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域．(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解.类型一利用数形结合思想讨论方程的根、函数的零点例1 (2012·辽宁改编)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的零点个数为________．答案 6解析根据题意，函数y ＝f (x )是周期为2的偶函数且0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x 3，且g (x )＝|x cos(πx )|，所以当x ＝0时，f (x )＝g (x )．当x ≠0时，若0<x ≤12，则x 3＝x cos(πx )，即x 2＝cos πx .再根据函数性质画出⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的图象，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根．所以总共有6个．用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤02， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________．答案 3解析由f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，解得b ＝4，c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤02， x >0∴方程f (x )＝x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >0x ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x 2＋4x ＋2＝x解得x ＝2或x ＝－1或x ＝－2，均合题意．类型二利用数形结合思想解不等式或求参数范围例2 (1)(2012·福建)对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1－316，0解析由定义可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1x ，x ≤0，－x －1x ，x >0.作出函数f (x )的图象，如图所示．由图可知，当0<m <14时，f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3.不妨设x 1<x 2<x 3，易知x 2>0，且x 2＋x 3＝2×12＝1，∴x 2x 3<14.令⎩⎪⎨⎪⎧2x －1x ＝14，x <0，解得x ＝1－34或x ＝1＋34(舍去)．∴1－34<x 1<0，∴1－316<x 1x 2x 3<0. (2)已知奇函数f (x )的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }，且在(0，＋∞)上单调递增，若f (1)＝0，则满足x ·f (x )<0的x 的取值范围是________．答案 (－1,0)∪(0,1)解析作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x ·f (x )<0的x 的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．(1)使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |， 0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是________．答案 (1)(－1,0) (2)(10,12)解析 (1)在同一坐标系中，分别作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，由图可知，x 的取值范围是(－1,0)．(2)作出f (x )的大致图象．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a <b <c ，则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6.∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∴abc ＝c . 由图知10<c <12，∴abc ∈(10,12)．类型三利用数形结合思想求最值例3 已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值．在同一坐标系中画出直线与圆．作出圆的切线PA 、PB ，则四边形PACB 的面积S 四边形PACB ＝S △PAC ＋S △PBC ＝2S △PAC .解方法一从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或向右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC 的面积S Rt△PAC ＝12PA ·AC ＝12PA越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直直线时，S 四边形PACB 应有唯一的最小值，此时PC ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而PA ＝PC 2－AC 2＝2 2.∴(S 四边形PACB )min ＝2·12·PA ·AC ＝2 2.方法二利用等价转化的思想，设点P 的坐标为(x ，y )，则PC ＝x －12＋y －12，由勾股定理及AC ＝1，得PA ＝PC 2－AC 2＝x －12＋y －12－1，从而S 四边形PACB ＝2S △PAC ＝2·12·PA ·AC ＝PA＝x －12＋y －12－1，从而欲求S 四边形PACB 的最小值，只需求PA 的最小值，只需求PC 2＝(x －1)2＋(y －1)2的最小值，即定点C (1,1)与直线上动点P (x ，y )距离的平方的最小值，它也就是点C (1,1)到直线3x ＋4y ＋8＝0的距离的平方，即d 2＝(|3×1＋4×1＋8|32＋42)2＝9， ∴(S 四边形PACB )min ＝9－1＝2 2.方法三利用函数思想，将方法二中S 四边形PACB ＝x －12＋y －12－1中的y 由3x＋4y ＋8＝0解出，代入转化为关于x 的一元二次函数，进而用配方法求最值，也可得(S 四边形PACB )min ＝2 2.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：①要彻底弄清一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论，既分析其几何意义又分析其代数意义．②要恰当设立参数，合理建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化．③要正确确定参数的取值范围．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，则yx的最小值是________．答案 2解析画可行域如图所示．又y x的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k . 由图知，过点A 的直线OA 的斜率最小．联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2得A (1,2)，∴k OA ＝2－01－0＝2.∴y x的最小值为2.1．在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的．2．有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的．3．利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象．4．数形结合思想是解决高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题时更方便，可以提高解题速度．5．数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)；点到直线的距离公式等．1．已知0<a <1，则方程a |x |＝|log a x |的实根个数为________．答案 2解析作出函数y ＝a |x |，y ＝|log a x |的图象，由图象可知，两图象只有两个交点，故方程有2个实根．2．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则a 、b 、c 的大小关系为_______．答案 b <a <c解析 a ＝sin 5π7＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π7＝sin 2π7，又π4<2π7<π2，可通过单位圆中的三角函数线进行比较：如图所示，cos 2π7＝OA ，sin 2π7＝AB ，tan 2π7＝MN ，∴cos 2π7<sin 2π7<tan 2π7，即b <a <c .3．等差数列{a n }中，a 1>0，S 8＝S 12，则当n ＝________时，S n 取得最大值；S 20＝________.答案 10 0解析由于等差数列前n 项和可写成S n ＝an 2＋bn 的形式，其图象是过原点的一条抛物线．由已知S 8＝S 12可知对应的二次函数的对称轴应是x ＝10，且公差小于零，开口向下，有最大值．于是可知n ＝10时，S n 取得最大值．因为二次函数图象过原点，所以过点(20,0)，即S 20＝0.(如图) 4．当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫22，1 解析利用指数函数和对数函数的性质及图象得， ⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1log a 12>412，解得22<a <1. 5．若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________. 答案2解析令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－x 2≤k (x＋2)－2的解集为[a ，b ]且b －a ＝2.结合图象知b ＝3，a ＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,22)． ∴k ＝22＋21＋2＝ 2.6．若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 解析作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12.7．已知实系数方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根x 1，x 2满足0<x 1<1<x 2<2.则a 2＋b 2的取值范围是________．答案 (1,10)解析令f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，由二次方程根的分布(如图①)，可得⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0，f 1<0，f 2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b >0，1＋a ＋2b <0，2＋a ＋b >0，则点(a ，b )所在区域为△ABC 的内部(如图②)．a 2＋b 2的几何意义是区域内的点(a ，b )与原点距离的平方，由图②可看出：OB 2<a 2＋b 2<OA 2，即a 2＋b 2∈(1,10)．8．设函数f (x )＝ax 3－3ax ，g (x )＝bx 2－ln x (a ，b ∈R )，已知它们在x ＝1处的切线互相平行．(1)求b 的值；(2)若函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，x ≤0，g x ，x >0，且方程F (x )＝a 2有且仅有四个解，求实数a 的取值范围．解函数g (x )＝bx 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)， (1)f ′(x )＝3ax 2－3a ⇒f ′(1)＝0，g ′(x )＝2bx －1x⇒g ′(1)＝2b －1，依题意2b －1＝0，所以b ＝12.(2)x ∈(0,1)时，g ′(x )＝x －1x<0，x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＝x －1x>0，所以当x ＝1时，g (x )取得极小值g (1)＝12；当a ＝0时，方程F (x )＝a 2不可能有四个解；当a <0，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0，所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值f (－1)＝2a ，又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图所示：从图象可以看出F (x )＝a 2不可能有四个解．当a >0，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0，x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0，所以当x ＝－1时，f (x )取得极大值f (－1)＝2a . 又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图：从图象看出方程F (x )＝a 2有四个解，则12<a 2<2a ，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫22，2.。

高三数学-数形结合思想-第二讲

α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为(
)
3 3
A.
4
2 3
B.
3
3 2
C.
4
D.
3
2
解析:满足题设的平面 α 可以是与平面 A1BC1 平行的平面,如图(1)所
示.
图(1)
再将平面 A1BC 平移,得到如图(2)所示的六边形.
图(2)
图(3)
设 AE=a,如图(3)所示,可得截面面积为
是
.
解析:当 x∈(0,2]时,设 y=f(x)= 1-(-1)2 ⇔(x-1)2+y2=1(y≥0),结合 f(x)
是周期为 4 的奇函数,可作出 f(x)的图象:
1
∵当 x∈(1,2]时,g(x)=- ,又 g(x)的周期为 2,
2
1
∴当 x∈(3,4]∪(5,6]∪(7,8]时,g(x)=- .
答案:(1)D (2)(-1,0)∪(0,1) (3) 2
1+2
= 2.
考点1
考点2
考点3
考点4
对应训练2
(1)当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax恒成立,则a的取值范围为(
)
A.(2,3] B.[4,+∞)
C.(1,2] D.[2,4)
(2)设A={(x,y)|x2+(y-1)2=1},B={(x,y)|x+y+m≥0},则使A⊆B成立的
的x的取值范围是(-1,0)∪(0,1).
(3)令 y1= 9- 2 ,y2=k(k+2)- 2,在同一个坐标系中作出其图象,因
9- 2 ≤k(x+2)- 2的解集为[a,b]且 b-a=2.

高考数学二轮复习第2部分必考补充专题数学思想专项练2数形结合思想理

数学思想专项练(二) 数形结合思想(对应学生用书第124页)题组1 利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题 1．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a ＞0)的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 B [∵a ＞0， ∴a 2＋1＞1.而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有2个交点．]2．已知函数f (x )＝|log 2|x ||－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )有三个零点，且所有零点之积大于－1 B ．f (x )有三个零点，且所有零点之积小于－1 C ．f (x )有四个零点，且所有零点之积大于1 D ．f (x )有四个零点，且所有零点之积小于1A [在同一坐标系中分别作出f 1(x )＝|log 2|x ||与f 2(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，如图所示，由图象知f 1(x )与f 2(x )有三个交点，设三个交点的横坐标从左到右分别是x 1，x 2，x 3，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＞0，所以－12＜x 1＜－14，同理12＜x 2＜1,1＜x 3＜2，即－1＜x 1x 2x 3＜－18，即所有零点之积大于－1.]3．(2016·内蒙古包头一模)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )且在[0,2]上为增函数，若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4的值为( ) A ．8 B ．－8 C ．0D ．－4B [此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0,2]上为增函数，综合条件得函数的示意图如图所示．由图看出，四个交点中，y 轴左侧的两个交点的横坐标之和为2×(－6)＝－12，另两个交点的横坐标之和为2×2＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－8.故选B.]4．(2017·湖南湘中名校联考)已知函数f (x )＝－13x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2，若x 1＜f (x 1)＜x 2，则关于x 方程[f (x )]2－2af (x )－b ＝0的实数根的个数不可能为( )A ．2B ．3C ．4D ．5D [由题意，得f ′(x )＝－x 2＋2ax ＋b .因为x 1，x 2是函数f (x )的两个极值点，所以x 1，x 2是方程－x 2＋2ax ＋b ＝0的两个实数根，所以由[f (x )]2－2af (x )－b ＝0，可得f (x )＝x 1或f (x )＝x 2.由题意，知函数f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增，又x 1＜f (x 1)＜x 2，依题意作出简图，如图所示，结合图形可知，方程[f (x )]2－2af (x )－b ＝0的实根个数不可能为5，故选D.]5．(2016·合肥二模)若函数f (x )＝a ＋sin x 在[π，2π]上有且只有一个零点，则实数a ＝________.1 [函数f (x )＝a ＋sin x 在[π，2π]上有且只有一个零点，即方程a ＋sin x ＝0在[π，2π]上只有一解，即函数y ＝－a 与y ＝sin x ，x ∈[π，2π]的图象只有一个交点，由图象可得a ＝1.]6．设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N *，则方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是________. 【导学号：07804147】8 [由于f (x )∈[0,1)，则只需考虑1≤x <10的情况．在此范围内，当x ∈Q 且x ∉Z 时，设x ＝qp，p ，q ∈N *，p ≥2且p ，q 互质，若lg x ∈Q ，则由lg x ∈(0,1)，可设lg x ＝n m ，m ，n ∈N *，m ≥2且m ，n 互质，因此10nm ＝q p，则10n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫q p m，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x ∈D 对应的部分相等，只需考虑lg x 与每个周期x ∉D 部分的交点．画出函数草图．图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x ∉D 部分，且x ＝1处(lg x )′＝1x ln 10＝1ln 10<1，则在x ＝1附近仅有一个交点，因此方程解的个数为8.]题组2 利用数形结合思想求解不等式或参数范围7．若不等式log a x ＞sin 2x (a ＞0，a ≠1)对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4都成立，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 D ．(0,1)A [记y1＝log a x (a ＞0，a ≠1)，y 2＝sin 2x ，原不等式即为y 1＞y 2，由题意作出两个函数的图象，如图所示，知当y 1＝log a x 的图象过点A ⎝⎛⎭⎪⎫π4，1时，a ＝π4，所以当π4＜a ＜1时，对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4都有y 1＞y 2.]8．(2017·山西重点中学5月联考)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x ≤2，若x2＋y 2的最大值为m ，最小值为n ，则m －n ＝( ) A.252B ．172C ．8D ．9B [作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，x 2＋y 2表示平面区域内的点与原点的距离的平方，观察图形可知，原点到直线x ＋y －3＝0的距离|OD |的平方等于n ，|OA |2＝m ，经过计算可得m ＝13，n ＝92，则m －n ＝172，故选B.]9．如图1，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )图1A ．{x |－1<x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1<x ≤1}D ．{x |－1<x ≤2}C [如图所示，把函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位得到y ＝log 2(x ＋1)(x ＞－1)的图象，x ＝1时两图象相交，∴不等式的解集为{x |－1＜x ≤1}，故选C.]10．(2017·合肥二模)已知函数f (x )＝x ln x －a e x(e 为自然对数的底数)有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )【导学号：07804148】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B ．(0，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e D ．(－∞，e)A [由题易知，f ′(x )＝1＋ln x －a e x，令f ′(x )＝0，得a ＝1＋ln x e x，函数f (x )有两个极值点，则需f ′(x )＝0有两个实数根，等价于a ＝1＋ln xe x有两个实数根，等价于直线y ＝a 与y ＝1＋ln xex的图象有两个交点．令g (x )＝1＋ln xe x ，则g ′(x )＝1x －1－ln x ex，令h (x )＝1x－1－ln x ，得h (x )在(0，＋∞)上为减函数，且h (1)＝0，所以当x ∈(0,1)时，h (x )＞0，故g ′(x )＞0，g (x )为增函数，当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜0，故g ′(x )＜0，g (x )为减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝1e ，又当x →＋∞时，g (x )→0，所以g (x )的图象如图所示，故0＜a ＜1e.]11．已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪[23，＋∞) B ．(0,1]∪[3，＋∞) C ．(0，2]∪[23，＋∞) D ．(0，2]∪[3，＋∞)B [在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m 2与g (x )＝x ＋m 的大致图象．分两种情形：(1)当0<m ≤1时，1m≥1，如图①，当x ∈[0,1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符合题意；① ②(2)当m >1时，0<1m<1，如图②，要使f (x )与g (x )的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g (1)≤f (1)，即1＋m ≤(m －1)2，解得m ≥3或m ≤0(舍去)．综上所述，m ∈(0,1]∪[3，＋∞)．故选B.]12．(2017·广东五校联考)已知方程|cos x |x＝k 在(0，＋∞)上有两个不同的解α，β(α＜β)，则下面结论正确的是( ) A ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝α＋1α－1B ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝α－1α＋1C ．tan ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π4＝β＋1β－1 D ．tan ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π4＝β－1β＋1 D [由于方程|cos x |x＝k 在(0，＋∞)上有两个不同的解α，β(α＜β)，即方程kx ＝|cos x |在(0，＋∞)上有两个不同的解α，β(α＜β)，也就是说，直线y ＝kx与函数f (x )＝|cos x |在y 轴右侧的图象有且仅有两个交点，由图象可知，当直线y ＝kx 与曲线f (x )＝|cos x |相切时满足题意，且切点的横坐标为β，此时π2≤x ≤π，又当π2≤x ≤π时，f (x )＝－cos x ，则f ′(x )＝sin x ，故k ＝f ′(β)＝sin β，在切点处有k β＝f (β)＝－cos β，即k ＝sin β＝－cos ββ，故tan β＝－1β，tan ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π4＝tan β＋11－tan β＝－1β＋11＋1β＝β－1β＋1，选D.]13．若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 [作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12.]14．已知奇函数f (x )的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }，且在(0，＋∞)上单调递增，若f (1)＝0，则满足x ·f (x )＜0的x 的取值范围是________．(－1,0)∪(0,1) [作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x ·f (x )＜0的x 的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．]15．已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为________． 2 2 [如图，S Rt△PAC ＝12|PA |·|AC |＝12|PA |，当CP ⊥l 时，|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3， ∴此时|PA |min ＝|PC |2－|AC |2＝2 2.∴(S 四边形PACB )min ＝2(S △PAC )min ＝2 2.]16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋a －x ＋3a ，x ＜0，log ax ＋＋1，x ≥0(a ＞0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x3恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是________.【导学号：07804149】⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 [因为函数f (x )在R 上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧02＋a －＋3a ≥f ，3－4a2≥0，0＜a ＜1.解得13≤a ≤34.作出函数y ＝|f (x )|，y ＝2－x3的图象如图．由图象可知，在[0，＋∞)上，|f (x )|＝2－x3有且仅有一个解；在(－∞，0)上，|f (x )|＝2－x 3同样有且仅有一个解，所以3a ＜2，即a ＜23.综上可得13≤a ＜23，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23.]。