柱坐标系和球坐标系教案
人教版高中选修4-4四柱坐标系与球坐标系简介课程设计
人教版高中选修4-4四柱坐标系与球坐标系简介课程设计课程目标本课程旨在引导高中学生了解形式变量，学习如何应用数学知识来描述和解决问题。
通过本课程，学生将学习追踪点在三维空间中的运动的方程，并将使用四柱坐标系和球坐标系来描述和解决此类问题。
本课程将探讨以下重点：•四柱坐标系的基本原理和应用场景•球坐标系的基本原理和应用场景•如何将一个点的坐标从一个坐标系转换为另一个坐标系教学大纲课时一•介绍课程目标，概述课程内容。
•引导学生理解形式变量的概念，了解如何使用形式变量描述运动的方程。
•讲解四柱坐标系的概念和原理，演示应用场景。
•授课结束后，布置课后作业：熟练使用四柱坐标系描述运动。
课时二•查看和解决熟练使用四柱坐标系描述运动的问题，并对于存在的疑惑做出解答。
•讲解球坐标系的概念和原理，演示应用场景。
•授课结束后，布置课后作业：熟练使用球坐标系描述运动。
课时三•查看和解决熟练使用球坐标系描述运动的问题，并就存在的疑惑进行解答。
•演示如何在四柱坐标系和球坐标系之间进行坐标转换。
•授课结束后，布置课后作业：熟练进行坐标转换。
课程重点四柱坐标系的基本原理和应用场景四柱坐标系是三维空间中用于描述点和向量位置的坐标系统，由三个以原点为顶点的垂直平面构成，每个平面用直角坐标系来描述。
在四柱坐标系中，一个点的位置由其在三个坐标轴上的位置确定。
这个位置通常用一个三元组表示，例如(x,y,z)。
四柱坐标系通常用于描述在三维空间中的运动问题，例如运动的物体、飞行器、机器人等。
球坐标系的基本原理和应用场景球坐标系是三维空间中用于描述点和向量位置的坐标系统，由一个固定原点和一个点到原点的距离以及该点与原点之间的两个角度构成。
在球坐标系中，一个点的位置由三个分量确定：距离r，方位角 $\\theta$，天顶角 $\\phi$。
球坐标系通常用于描述绕点运动问题，例如在天体物理学中，用于描述运动星体相对于一个观测者或者一个中间点的运动修正。
高中数学人教新课标A版选修4-4第一章坐标系1.1.6柱坐标系与球坐标系课件2
3.坐标系是联系数与形的桥梁，利用坐标系可以实现几何
问题与代数问题的相互转化.但不同的坐标系有不同的特点，
在实际应用时，要根据问题的特点选择适当的坐标系，使
研究过程方便、简捷.
提高训练
设地球的半径为R，在球坐标系中，点A的坐标为(R，45°，
70°)，点B的坐标为(R，45°，160°)，求A，B两点间的球
故点 M 的柱坐标为
π
1, ,5
2
2
.
[A
基础达标]
5π
4， ，3
1．点 P 的柱坐标是
4
，则其直角坐标为(
)
A ． 2 2，2 2，3
B ． －2 2，2 2，3
C ． －2 2，－2 2，3
D ． 2 2，－2 2，3
5π
5π
解析：选 C．x＝ρcos θ＝4cos
＝－2 2，y＝ρsin θ＝4sin
π
6
.故点 M 的球坐标为 2 2, ,
6
7π
4
.
B基础训练达标
4．已知点
则|P1P2|＝(
π 5π
π
P1 的球坐标为4， 2， 3 ，P2 的柱坐标为2， 6，1，
)
A． 21
B． 29
C． 30
D．4 2
解析：选 A．设点 P1 的直角坐标为(x1，y1，z1)，
数学选修4-4：坐标系与参数方程
第一章 坐标系
1.1.6 柱坐标系与球坐标系
学习目标
思维脉络
1.了解在柱坐标系、
球坐标系中刻画空间 柱坐标系与球坐标系
7 柱坐标系和球坐标系(教师版)
7 柱坐标系和球坐标系主备： 审核：学习目标：1.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法；2.了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式.学习重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系. 学习难点：利用它们进行简单的数学应用. 学习过程： 一、课前准备阅读教材1618P P -的内容，了解柱坐标系的定义, 以及如何用柱坐标系描述空间中的点.并思考下面的问题：空间中的点的表示法是不是唯一的？到目前为止，你知道了几种表示空间一个点的位置的方法？答：不是唯一的.到目前为止，我们知道了三种表示空间点的位置的方法：空间直角坐标，柱坐标系，球坐标系.二、新课导学： （一）新知： 1.柱坐标系：（1）设P 是空间任意一点，在xOy 平面的射影为Q ，用(,)(0,02)ρθρθπ≥≤<表示点Q 在平面xOy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组(,,)z ρθ表示. 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系.有序数组(,,)z ρθ叫点P 的柱坐标，记作(,,)z ρθ.其中0ρ≥，02θπ≤<，z R ∈.（2）柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的.（3）空间点P 的直角坐标(,,)x y z 与柱坐标(,,)z ρθ之间的变换公式为cos sin x y z z ρθρθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩.2.球坐标系：（1）设P 是空间任意一点，连接O P ， 记||OP r =，O P 与O z 轴正向所夹的角为ϕ.设P 在xOy 平面的射影为Q ，O x 轴按逆时针方向旋转到O Q 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(,,)r ϕθ表示.空间的点与有序数组(,,)r ϕθ之间建立了一种对应关系.我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系 (或空间极坐标系) . 有序数组(,,)r ϕθ叫做点P 的球坐标，其中0,0,02r φπθπ≥≤≤≤<.（2）点P 球坐标(,,)r ϕθ与直角坐标(,,)x y z 的互化公式：①2222x y z r ++=；②sin cos sin sin cos x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩.（二）典型例题【例1】建立适当的球坐标系，分别表示棱长为1的正方体的顶点.【解析】如图，建立球坐标系，则各个顶点的坐标分别为(1,,0)2A π，12,,0)4A π，2,,)24B ππ，13,,)4B πϕ，其中tan 2ϕ=α为锐角，(1,,)22C ππ，1(2,,)42C ππ，(0,0,0)D ，1(1,0,0)D .动动手：在例1 中，建立适当的柱坐标系，写出各个顶点的柱坐标. 【解析】如上图建立柱坐标系，则各个点的坐标如下：(1,0,0)A ，1(1,0,1)A ，2,,0)4B π，12,,1)4B π，(1,,0)2C π， 1(1,,1)2C π，(0,0,0)D ，1(0,0,1)D .【例2】已知点1P 的柱坐标是)1,6,2(1πP ,2P 的柱坐标是)3,32,4(2-πP ,求21P P .【解析】点1P 的柱坐标是)1,6,2(1πP 转化为直角坐标为,1,16sin2,36cos2=====z y x ππ，即)1,1,3(1P ，点2P 的柱坐标是)3,32,4(2-πP 转化为直角坐标为,3,3232sin4,232cos4-===-==z y x ππ，即)3,32,2(2--P ，所以，126P P ==.zyxD 1C 1B 1A 1DC BA动动手：在球坐标系中，求)6,3,3(ππP 与)32,3,3(ππQ 两点间的距离.【解析】将球坐标)6,3,3(ππP 化为直角坐标：93sincos364x ππ==，3sin sin 36y ππ==，33cos 32z π==，即P 的直角坐标为9333()42.将球坐标2(3,,)33Q ππ化为直角坐标：2333sincos33x ππ-==293sin sin 334y ππ==，33cos 32z π==， 即P 的直角坐标为3393,)42-. 所以22339933||()()4444PQ =--+-36=.三、总结提升：1．理解柱坐标系和球坐标系下各个量的几何意义，会在图中标出点的坐标. 2．能够将柱坐标或球坐标转化为直角坐标，在直角坐标系中解决问题. 四、反馈练习：1.在空间直角坐标系，已知点)1,1,1(-A ，则点A 关于原点对称的点的坐标)1,1,1(-- ，点A 关于z 轴对称的点的坐标)1,1,1(-.2.在以O 为极点的柱坐标系中，若点⎪⎭⎫⎝⎛1,6,4πQ ，则||OQ =17，面xOz 与半平面zOQ所成的角是6π .3. 点P 的球坐标是)2,4,2(ππ，则它的直角坐标是)1,1,0(.4. （1）球坐标满足方程3r =的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程. （2）柱坐标满足方程2ρ=的点所构成的图形是什么?【解析】(1)构成的图形是一个球面，球心在坐标系的原点，半径为3，其直角坐标方程为2229x y z ++=.(2) 图形是以z 为轴，横截面为圆（圆的半径为2）的圆柱面.5.长方体的过一个顶点的三条棱的长分别为1、16，建立适当的球坐标系，写出各个顶点的坐标.【解析】如图建立球坐标系，则各个点的坐标如下：,0)A α，1(1,,0)2A π，,)64B ππ，1,)24B ππ，,)2C πα， 1(1,,)22C ππ，0,0)D ，1(0,0,1)D.其中tanϕ=α为锐角.五、学后反思：。
柱坐标系与球坐标系简介PPT学习教案
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思考3：根据坐标思想，可以用数组 (302，17 ，1.8)表示点A的准确位置， 么那这个1空2 间坐标系是如何建立的？
z 在水平面内建立极坐标系 Ox，过极点O作水平面的垂 线 Oz.
O
x
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思考4：上述所建立的坐标系叫做柱坐
标系，对于空间一点P，点P的柱坐标如
P
以与零子午线相交
r
的球半径所在射线
Ox为一条极轴，再
Oφ
以经过北极的球半 径所在射线Oz为另
xθ
Q
一条极轴.
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思考4：上述坐标系称为球坐标系或空
间极坐标系，因为极角是极径与极轴所
成的角，那么航天器的纬度角φ可换成
哪个角来反映？
z
射线OP与Oz轴正 向所夹的角为φ.
P φr
Oφ
xθ
思考1：地球上一点P的经度和纬度分别是什
么概念？对地球表面上一点的位置，一般用
哪种方式来确定？
北极
北极
子 地轴 午
P
线o
赤道
P
o
赤道 地轴
南极
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南极
经度：过点P从北极到南极的半圆面与 子午面所成的二面角的平面角；
纬度：过点P的球半径与赤道平面所成 的角.
对地球表面上一点的位置一般用经度和 纬度来确定.
Q
θ
O
x
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思考6：若按如图所示建立空间直角坐
标系和柱坐标系，那么点P的直角坐标
(x，y，z) 和柱坐标(ρ，θ，z)之间的
互化公式是什么？
z
x＝ρcosθ， y＝ρsinθ，
§3柱坐标系和球坐标系-副本(3)
§3柱坐标系和球坐标系一、教学目的：知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。
德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系。
教学难点：利用它们进行简单的数学应用。
三、教学方法：启发、诱导发现教学.四、教学过程：（一）、复习引入：情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。
问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？学生回顾在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理（二）、讲解新课：1、柱坐标系设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在平面oxy上的极坐标，点P的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z ∈R 空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为： 2、球坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为θ，P 在oxy 平面的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为ϕ，点P 的位置可以用有序数组),,(ϕθr 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)有序数组),,(ϕθr 叫做点P 的球坐标，其中r ≥0，0≤θ≤π，0≤ϕ＜2π。
空间点P 的直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(ϕθr 之间的变换关系为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====++θϕθϕθcos sin sin cos sin 2222r z r y r x r z y x 3.数学应用例1.建立适当的球坐标系,表示棱长为1的正方体的顶点.变式训练：建立适当的柱坐标系, 表示棱长为1的正方体的顶点.例2.将点M 的球坐标)65,3,8(ππ化为直角坐标.变式训练：1.将点M 的直角坐标)2,1,1(--化为球坐标.2.将点M 的柱坐标)8,3,4(π化为直角坐标. 3.在直角坐标系中点),,(a a a a (＞0)的球坐标是什么?例3.球坐标满足方程r=3的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程.⎪⎩⎪⎨⎧===z z y x θρθρsin cos变式训练：极坐标满足方程ρ=2的点所构成的图形是什么?例4.已知点M 的柱坐标为),3,4,2(π点N 的球坐标为),2,4,2(ππ求线段MN 的长度. 思考:在球坐标系中,集合⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫≤≤≤≤≤≤=πϕπθϕθ20,20,62),,(r r M 表示的图形的体积为多少?（三）、巩固练习：课本P22页练习3（四）、小结：本节课学习了以下内容：1．球坐标系的作用与规则； 2．柱坐标系的作用与规则。
柱坐标系与球坐标系PPT教学课件
＃思想核心： 大一统（“新”所在）
天人感应
“天子受命于天，天下受命于天子”；“古之造文者，三画 连其中，谓之王，三画者，天地人，而连其中，通其道也， 谓之王。”
董仲舒认为道源于天。“天不变，道亦不变。” “天道”就是“三纲五常三”纲：君为臣纲，父为子纲，夫为妻纲
五常：仁、义、礼、智、信
崇
“有为”而治。
独 尊 儒 术
罢黜百家 独尊儒术
董仲舒： 中国古代著名的思想家。 （前179——前104年）广
川人（今河北景县人）向 汉武帝提出“罢黜百家 独尊儒术”的主张，创立 新儒学。
2、董仲舒的新儒学的思想内涵
＃思想来源： 以《公羊春秋》为骨干， 融合阴阳家，黄老之学 以及法家思想而形成的 新的思想体系。
坐标系. 有序数组(ρ,θ,Z)叫点P的柱
坐标，记作(ρ,θ,Z). 其中
ρ≥0, 0≤θ＜ 2π, -∞＜Z＜+∞
柱坐标系又称半极坐标系，它是由 平面极坐标系及空间直角坐标系中的 一部分建立起来的.
空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐
标 (ρ,θ,Z) 之间的变换公式为
x cos
y
• 兴办学校，有利于教 育的发展。
• 确立了儒学在中国的 统治地位。
总结
原 西汉初年，
因
经济残败 百业待兴。
无为不适应集权
原 新儒学的大一统 因 统治者的有为愿望
黄
老 内 治身、治国 之 容 无为而无不为 学
独
尊
内 容
天人感应 实行仁政
儒
术
作 经济恢复 用 国力增强
作 巩固国家统一
用
限制君主权利 儒学独尊地位
柱坐标系和球坐标系
π 4
,5
=
, 2cos
π 4
=
1,
所以 ������ = ������sin������ =
2sin
π 4
=
1,
故(1,1,5)为所求.
������ = 5,
变式训练
将柱坐标点
π 2,6 ,1
化为直角坐标:
解：设所求点的直角坐标为(x,y,z).
因为(ρ,θ,z)=
2,
π 6
������ = ������cos������
P
3、得出P点柱坐标。
O x θQ
y
思考：当 M (r,, z) 处于下述特
殊情况时，各表示什么图形?
1、当r＝常数， 表示的是以z轴为轴的圆柱面； 2、当θ＝常数， 表示的是过z轴的半平面；
3、z＝常数， 表示的是与xOy平面平行的平面.
空间 直角坐标系
z
P(x,y,z)
xz
空间点P(x,y,z)
θ
y
x
Q
有序数组(ρ,θ,Z)叫P的柱坐标，记作(ρ,θ,Z).
其中 规定：ρ ≥0, 0≤θ ＜ 2π , Z∈R
（二）、化归定义
z
z
在空间直
在水平面 内建立极
角坐标系 中， 将
坐标系OX， 过极点O作
O
x
XOY平面
水平面的
O
内点用极
Y 坐标表示。
垂线Oz.
柱坐标系又称半极
坐标系,它是由平
思考：还可以用什么方法呢？
x
P
oc ay
b Q
二、学习目标
1、理解柱坐标系。并通过实 例了解在柱坐标系中刻画空间 中点的位置方法 2、体会柱坐标系与空间直角 坐标系的区别与联系。 3、了解柱坐标与空间直角坐 标的互化关系并进行简单的数 学应用。
柱坐标与球坐标系简介ppt课件
栏 目 链
(2)求点C的和点D的直角坐标、柱坐标以及球坐
接
标．
分析：利用点的直角坐标、柱坐标以及球坐标的转化公式，结合
图形运用方程求解．
解析：(1)点 C1 的直角坐标为(1，1，1)，设点 C1 的柱坐标为(ρ，
θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，其中 ρ≥0，r≥0，0≤φ≤π，0≤θ 栏
目
＜2π，
x2＋y2＋z2，
φ＝zr.
在
目 链 接
用三角函数值求角时，要结合图形确定角的取值范围再求值，若不是
特殊角，可以设定角，然后明确其余弦值或正切值，并标注角的取值
范围即可．
►变式训练
1．如图所示，已知长方体ABCDA1B1C1D1的边长AB＝
6，AD＝6，AA1＝12，以这个长方体的顶点A为坐标原
点，以射线AB、AD、AA1分别为x轴、y轴、z轴的正半
接
正解一：M
2，π4 ，1的直角坐标为：
π x＝ 2·cos 4 ＝1， y＝ 2·sinπ4 ＝1， z＝1，
∴M 关于原点 O 的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)，
ρ＝ x2＋y2＝ 2，
则 tan θ＝xy＝1，
z＝－1，
栏
目
∴M 关于原点 O 的对称点的柱坐标为
2，5π4 ，－1.
要明确点的球坐标(r，φ，θ)中角 φ，θ的边与坐标轴 Oz，Ox 的关
系，注意各自的限定范围，即 0≤φ≤π，0≤θ＜2π，化点的球坐 栏
目
x＝rsin 标(r，φ，θ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式y＝rsin
φcos φsin
θ， θ，
链 接
z＝rcos φ
转化为三角函数的求值与运算即可．
柱坐标系和球坐标系教案
柱坐标系和球坐标系
[教学目标]
一、知识与技能：
1.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法。
2.了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。
3.掌握柱坐标、球坐标与直角坐标的互化
二、过程与方法：情感、态度、价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
三、[教学重点]：在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，
四、[教学难点]：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系.利用它们进行简单的数学应用。
柱坐标与球坐标系
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解析 答案
5 5.已知点M的直角坐标为(1,2,3), 球坐标为(r, φ, θ), 则tan φ＝_____, ta3n θ＝ ____. 2
解析 如图所示,
tan φ＝
x2＋y2 z＝
35，tan
θ＝yx＝2.
1角坐标为(2,0,2), 则点M的柱坐标为
√A.(2,0,2)
C.( 2，0,2)
B.(2，π，2) D.( 2，π，2)
12345
答案
3.在球坐标系中, 方程r＝2表示空间的
A.球
√B.球面 C.圆 D.直线
12345
答案
4.点 P 的柱坐标为(4，π6，3)，则点 P 到原点的距离为__5___. 解析 x＝ρcos θ＝4cos π6＝2 3， y＝ρsin θ＝4sin 6π＝2. 即点 P 的直角坐标为(2 3，2,3)，
1.空间点的坐标的确定
规律与方法
(1)空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标来确定的,
即(x, y, z).
(2)空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的竖坐标组成
的, 即(ρ, θ, z).
(3)空间点的球坐标是点在Oxy平面上的射影和原点连线与x轴正方向所成
的角θ, 点和原点的连线与z轴的正方向所成的角φ, 以及点到原点的距离
跟踪训练3 在例3的条件下, 求点C, A1的直角坐标、柱坐标及球坐标.
解答
当堂训练
1.在空间直角坐标系中，点 P 的柱坐标为(2，π4，3)，P 在 xOy 平面上的
射影为 Q，则 Q 点的坐标为
A.(2,0,3)
高中数学 同步学案 柱坐标系和球坐标系
§3 柱坐标系和球坐标系学习目标：1.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法．(重点)2.理解柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式．(重点)3.体会空间直角坐标、柱坐标、球坐标刻画点的位置的方法的区别．(易错易混点)教材整理1 柱坐标系和球坐标系 1．柱坐标系如图,建立空间直角坐标系Oxyz.设M(x,y,z)为空间一点,并设点M 在xOy 平面上的投影点P 的极坐标为(r,θ),则这样的三个数r,θ,z 构成的有序数组(r,θ,z)就叫作点M 的柱坐标,这里规定r,θ,z 的变化范围为0≤r＜＋∞,0≤θ＜2π,－∞＜z ＜＋∞.特别地,r ＝常数,表示的是以z 轴为轴的圆柱面； θ＝常数,表示的是过z 轴的半平面； z ＝常数,表示的是与xOy 平面平行的平面． 2．球坐标系设M(x,y,z)为空间一点,点M 可用这样三个有次序的数r,φ,θ来确定,其中r 为原点O 到点M 间的距离,φ为有向线段O M →与z 轴正方向所夹的角,θ为从z 轴正半轴看,x 轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段O P →的角,这里P 为点M 在xOy 平面上的投影(如图)．这样的三个数r,φ,θ构成的有序数组(r,φ,θ)叫作点M 的球坐标,这里r,φ,θ的变化范围为0≤r<＋∞,0≤φ≤π,0≤θ＜2π.特别地,r ＝常数,表示的是以原点为球心的球面；φ＝常数,表示的是以原点为顶点,z 轴为轴的圆锥面； θ＝常数,表示的是过z 轴的半平面．判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)柱坐标和球坐标都是有序数组,但意义不同．( )(2)在柱坐标系M(r,θ,z)中,θ表示OM 与y 轴所成的角．( ) (3)球坐标中,r 表示OM 的长度．( )[解析] (1)√ 柱坐标和球坐标都是有序数组,但意义不同． (2)× θ表示OM 与x 轴所成的角． (3)√ 球坐标中r 表示OM 的长度． [答案] (1)√ (2)× (3)√教材整理2 空间中点的坐标之间的变换公式设空间一点M 的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(r,θ,z),球坐标为(r,φ,θ),则空间直角坐标柱坐标系 球坐标系(x,y,z)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝rcos θy ＝rsin θz ＝z⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rsin φcos θy ＝rsin φsin θz ＝rcos φ填空：(1)柱坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，1的直角坐标是________．(2)球坐标⎝⎛⎭⎪⎫4，π4，π6的直角坐标是________． [解析] (1)x ＝2cos π3＝1,y ＝2sin π3＝3,z ＝1.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，1的直角坐标是(1,3,1)．(2)x ＝4×sin π4×cos π6＝6,y ＝4×sin π4×sin π6＝2,z ＝4cos π4＝2 2.∴⎝⎛⎭⎪⎫4，π4，π6的直角坐标是(6,2,22)．[答案] (1)(1, 3,1) (2)(6, 2,22)把点的柱坐标化为直角坐标【例1】 根据下列点的柱坐标,分别求直角坐标． (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π6，3；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5.[精彩点拨][尝试解答] 设点的直角坐标为(x,y,z)．(1)∵(r ,θ,z)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π6，3,∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos θ＝2cos 5π6＝－3，y ＝rsin θ＝2sin 5π6＝1，z ＝3，∴(－3,1,3)为所求．(2)∵(r ,θ,z)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5, ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos θ＝2cos π4＝1，y ＝rsin θ＝2sin π4＝1，z ＝5，∴(1,1,5)为所求．点(r,θ,z)是三维空间坐标系中的点的坐标,在平面xOy 内实际为极坐标系,且r≥0,0≤θ＜2π,在竖直方向上,z 为任意实数．化点的柱坐标(r,θ,z)为直角坐标(x,y,z),需要运用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos θ，y ＝rsin θ，z ＝z 转化为三角函数的求值与运算即得．1．将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，1；(2)(1,π,0)．[解] 设点的直角坐标为(x,y,z),(1)∵(r ,θ,z)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，1,∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos θ＝2cos π6＝3，y ＝rsin θ＝2sin π6＝1，z ＝1，∴(3,1,1)为所求． (2)∵(r ,θ,z)＝(1,π,0),∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos θ＝cos π＝－1，y ＝rsin θ＝sin π＝0，z ＝0，∴(－1,0,0)为所求.把点的球坐标化为直角坐标【例2】 把下列各点的球坐标化为直角坐标． (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，34π，54π；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π6.[精彩点拨][尝试解答] 设点的直角坐标为(x,y,z),(1)∵(r ,φ,θ)＝⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，5π4,∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rsin φcos θ＝2sin 3π4cos 5π4＝－1，y ＝rsin φsin θ＝2sin 3π4sin 5π4＝－1，z ＝rcos φ＝2cos 3π4＝－2，∴(－1,－1,－2)为所求． (2)∵(r ,φ,θ)＝⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，π6,∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rsin φcos θ＝6sin π3cos π6＝364，y ＝rsin φsin θ＝6sin π3sin π6＝324，z ＝rcos φ＝6cos π3＝62，∴⎝⎛⎭⎪⎫364，324，62为所求．首先要明确点的球坐标(r,φ,θ)中角φ,θ的边与数轴Oz,Ox 的关系,注意各自的限定范围,即0≤φ≤π,0≤θ＜2π.化点的球坐标(r,φ,θ)为直角坐标(x,y,z),需要运用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rsin φcos θ，y ＝rsin φsin θ，z ＝rcos φ.转化为三角函数的求值与运算．2．将下列各点的球坐标分别化为直角坐标．(1)⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，23π；(2)(3,π,π)．[解] 设点的直角坐标为(x,y,z)．(1)∵(r ,φ,θ)＝⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，2π3,∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rsin φcos θ＝6sin π3cos 2π3＝－332，y ＝rsin φsin θ＝6sin π3sin 2π3＝92，z ＝rcos φ＝6cos π3＝3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－332，92，3为所求． (2)∵(r ,φ,θ)＝(3,π,π),∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rsin φcos θ＝3sin πcos π＝0，y ＝rsin φsin θ＝3sin πsin π＝0，z ＝rcos φ＝3cos π＝－3，∴(0,0,－3)为所求.化点的坐标为柱坐标或球坐标[探究问题]1．空间中点的坐标有三种形式：直角坐标、柱坐标和球坐标,它们各有何特点？[提示] 设空间中点M 的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(r,θ,z),球坐标为(r,φ,θ),它们都是有序数组,但意义不同．直角坐标为三个实数；柱坐标分别表示距离、角、实数；球坐标分别表示距离、角、角．2．在空间的柱坐标系中,方程r ＝r 0(r 0为不等于0的常数),θ＝θ0,z ＝z 0分别表示什么图形？ [提示] 在空间的柱坐标系中,方程r ＝r 0表示中心轴为z 轴,底半径为r 0的圆柱面,它是上述圆周沿z 轴方向平行移动而成的．方程θ＝θ0表示与zOx 坐标面成θ0角的半平面．方程z ＝z 0表示平行于xOy 坐标面的平面,如图所示．常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面．【例3】 已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1,如图,建立空间直角坐标系Axyz ,以Ax 为极轴,求点C 1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．[精彩点拨] 先求C 1的直角坐标,再根据柱坐标、球坐标与直角坐标的关系,求得其柱坐标、球坐标． [尝试解答] 点C 1的直角坐标为(1,1,1)．设点C 1的柱坐标为(r,θ,z),球坐标为(r,φ,θ),其中r≥0,r≥0,0≤φ≤π,0≤θ＜2π. 由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos θ，y ＝rsin θ，z ＝z及⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rsin φcos θ，y ＝rsin φsin θ，z ＝rcos φ，得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x≠0)，及⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝zr ，得⎩⎨⎧r ＝2，tan θ＝1，及⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，cos φ＝33，结合图形,得θ＝π4,由cos φ＝33得tan φ＝ 2. 所以点C 1的直角坐标为(1,1,1),柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1,球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，φ，π4, 其中tan φ＝2,0≤φ≤π.化点M 的直角坐标(x,y,z)为柱坐标(r,θ,z)或球坐标(r,φ,θ),需要对公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos θy ＝rsin θz ＝z 以及⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rsin φcos θ，y ＝rsin φsin θ，z ＝rcos φ进行逆向变换,得到⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x≠0)，z ＝z以及⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝zr .提醒：在由三角函数值求角时,要结合图形确定角的范围再求值．3．已知点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1,求M 关于原点O 对称的点的柱坐标．[解] M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1的直角坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1，z ＝1，∴M 关于原点O 的对称点的直角坐标为(－1,－1,－1)．(－1,－1,－1)的柱坐标为： ρ2＝(－1)2＋(－1)2＝2,∴ρ＝ 2.tan θ＝－1－1＝1,又x<0,y<0,∴θ＝5π4,∴其柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，－1, ∴M 关于原点O 对称点的柱坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4，－1.1．要刻画绕地球运转的某气象卫星的位置,应适合运用( ) A ．极坐标系 B ．空间直角坐标系 C ．柱坐标系D ．球坐标系[解析] 由题意知D 正确． [答案] D2．已知点A 的柱坐标为(1,0,1),则点A 的直角坐标为( ) A ．(1,1,0) B ．(1,0,1) C ．(0,1,1)D ．(1,1,1) [解析] 由点A 的柱坐标为(1,0,1)知,r ＝1,θ＝0,z ＝1,故x ＝rcos θ＝1,y ＝rsin θ＝0,z ＝1,所以直角坐标为(1,0,1)． [答案] B3．已知点A 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π2，π2,则点A 的直角坐标为________．[解析] ∵x＝3×sin π2×cos π2＝0,y ＝3×sin π2×sin π2＝3,z ＝2×cos π2＝0,∴直角坐标为(0,3,0)． [答案] (0,3,0)4．设点M 的直角坐标为(1,－3,4),则它的柱坐标是________．[解析] r ＝x 2＋y 2＝2,tan θ＝－3,∵x>0,y<0,∴θ＝5π3,∴柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3，4.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3，45．已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5,点B 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π6,求这两个点的直角坐标．[解] 设点P 的直角坐标为(x,y,z), 则x ＝2cos π4＝2×22＝1,y ＝2sin π4＝1,z ＝5.设点B 的直角坐标为(x,y,z),则x ＝6sin π3cos π6＝6×32×32＝364,y ＝6sin π3sin π6＝6×32×12＝324,z ＝6cos π3＝6×12＝62.所以点P 的直角坐标为(1,1,5),点B 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62.。
柱坐标与球坐标系
(2)3，56π，53π.
解 ∵(r，φ，θ)＝3，56π，53π，
x＝rsin φcos θ＝3sin
5π 6 cos
53π＝34，
∴y＝rsin φsin θ＝3sin
5π 6 sin
53π＝－3 4 3，
z＝rcos φ＝3cos
56π＝－3
3 2.
∴34，－3
4
3，－3
2
3为所求.
解答
解 由变换公式y＝ρsin θ，
z＝z， 得 x＝4cos π3＝2，y＝4sin π3＝2 3，z＝8. ∴点 P 的直角坐标为感悟
(1)由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为 x＝ρcos θ，
(ρ，θ，z)，代入变换公式 y＝ρsin θ，求ρ；也可以利用ρ2＝x2＋y2，求ρ.
答案
梳理
柱坐标系的概念 (1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一 点，它在平面Oxy上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0, 0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标.这时点P的位 置可用有序数组 (ρ，θ，z) (z∈R)表示，这样，我们建 立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种
z＝z， 利用tan θ＝ y ，求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ
x 的取值.
(2)点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同.
跟踪训练1 (1)已知点M的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标； 解 ρ＝ x2＋y2＝ 02＋12＝1. ∵x＝0，y>0，∴θ＝π2. ∴点 M 的柱坐标为(1，π2，2).
2.柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中 的一部分建立起来的，空间任一点P的位置可以用有序数组(ρ，θ，z)表 示，(ρ，θ)是点P在Oxy平面上的射影Q的极坐标，z是P在空间直角坐标 系中的竖坐标.
高二数学《第一讲 坐标系 四、柱坐标系与球坐标系简介》教案 新人教A版
湖南省蓝山二中高二数学《第一讲 坐标系 四、柱坐标系与球坐标系简介》教案 新人教A 版知识与技能： 通过本节知识的学习，使我们了解除了空间直角坐标系之外，还常用到柱坐标系等，我们日常生活中这种坐标系经常用到，从而进一步明确坐标系的实际应用价值，了解柱坐标系及其与极坐标系之间的关系，会把直角坐标系化为柱坐标系.情感、态度与价值观：通过本节知识的学习，我们认识到，知识来源于实践，又应用于实践，我们在平常的学习中要多思考、多探究，不要墨守陈规，要用于创新，积极发现，为我们的数学知识体系再创新天地，同时，树立起学好数学用好数学的良好个性品质、积极向上，把学习的知识用用到实践中去.教学过程如图，在圆形体育场内，如何确定看台上某个座位的位置？ 右图是一个圆形体育场，自正东方向起，按逆时针方向等分为十二个圆形区域，顺次记为一区，二区……十二区.我们设圆形体育场第一排与体育中心O 的距离为300m ，每相邻两排的间距为1m ，每层看台的高度为0.6m.现在需要确定第九区第三排正中的位置A ，如何描述这个位置？柱坐标系一般地，建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点.它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序实数组(ρ,θ,z )(z ∈R)表示.这样，我们建立了空间的点与有序实数组(ρ,θ,z )之间的一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ,θ,z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ,θ,z )，其中ρ≥0，0≤θ＜2π，－∞＜z ＜＋∞. 柱坐标系又称半极坐标系. 空间点P 的直角坐标(x ,y ,z )与柱坐标(ρ,θ,z )之间的变换公式为⎪⎩⎪⎨⎧===zz y x θρθρsin cos例1. 设点M 的直角坐标为(1, 1, 1)，求它的柱坐标系中的坐标.y课堂练习)()3 ,3 ,1(.1C M ，则它的柱坐标是的直角坐标为设点--)3 ,35 ,2.(D )3 ,34 ,2.(C )3 ,32 ,2.(B )3 ,3 ,2.(A ππππ2. 建立适当的坐标系，写出棱长为2 的正方体的各顶点的空间直角坐标和柱坐标.课后作业1.如图：直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA ⊥CB ,且CA =CB =1,AA 1=2,D 、E 、F 分别是棱BA 、BC 、BB 1的中点，建立适当的坐标系，写出D 、E 、F 的空间直角坐标和柱坐标.2.《学案》第一讲 NO. 4.1。
高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介互动课堂学案
四 柱坐标系与球坐标系简介互动课堂重难突破本课时的重点与难点均为对柱坐标系、球坐标系概念的理解及简单应用.一、柱坐标系1.定义：如图,建立空间直角坐标系O —xyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ）（ρ≥0,0≤θ〈2π）来表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标.这时点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,z)（z ∈R ）表示.这样,我们建立了空间的点与有序数组（ρ,θ,z ）之间的一种对应关系,把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组（ρ,θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ,θ,z ），其中ρ≥0,0≤θ〈2π，—∞〈z <+∞。
2.空间点P 的直角坐标（x ,y ,z )与柱坐标（ρ,θ,z ）之间的变换公式为⎪⎩⎪⎨⎧===.,cos ,cos z z y x θρθρ二、球坐标系1.定义：如图,建立空间直角坐标系O —xy z ，设P 是空间任意一点,连结OP ，记|OP |=r ,OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ,Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ。
这样点P 的位置就可以用有序数组（r ，φ,θ）表示。
这样，空间的点与有序数组（r ，φ,θ）之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系），有序数组(r ,φ，θ）叫做点P 的球坐标，记作P （r ,φ,θ），其中r ≥0,0≤φ≤π,0≤θ〈2π。
2。
空间点P 的直角坐标(x ，y ,z ）与球坐标（r ,φ，θ）之间的变换关系为⎪⎩⎪⎨⎧===.cos ,sin sin ,cos sin ϕθϕρθϕρr z r y r x3.球坐标系在地理学、天文学中有着广泛的应用。
在测量实践中,球坐标中的角θ称为被测点P (r ,φ，θ）的方位角，90°-φ称为高低角.可以看出,球坐标系与柱坐标系都是在空间直角坐标系的基础上建立的. 在直角坐标系中，我们需要三个长度：（x ，y ,z ），而在球坐标系与柱坐标系中,我们需要长度，还需要角度.它是从长度、方向来描述一个点的位置，需要（ρ,θ,z )或者（r ,φ,θ)。
教学设计2：球坐标系与柱坐标系
球坐标系与柱坐标系
教学目标：
理解球坐标系与柱坐标系的建立，掌握空间点的球坐标极坐标与柱坐标的表示方法，掌握空间点的直角坐标与球坐标、柱坐标的互相转化，理解球面的球坐标方程和圆柱面的柱坐标方程。
教学过程：
一、 球坐标系
实例引入：地球同步通讯卫星。
1、球坐标系的建立。
在地球同步通讯卫星的问题中，建立适当的球坐标系，并运用球坐标表示三个地球同步通讯卫星的位置。
例1、建立适当的球坐标系，表示棱长为1的正方体的顶点。
你能再建立一个球坐标系求解吗？
2、空间点的直角坐标与球坐标的关系。
例2、将点M 的球坐标)65,3,
8(ππ化为直角坐标。
例3、球坐标满足r=3的点所构成的图形是什么？并将此方程化为直角坐标方程。
二、柱坐标系
实例引入：圆柱面上的点，可以通过怎样的量来描述它的位置?
1、柱坐标系的建立。
2、空间点的直角坐标与柱坐标的关系。
例4、将点M的直角坐标)4,3
2,6
(-化为柱坐标。
ρ的点所构成的图形是什么？并将此方程化为直角坐标方例5、柱坐标满足2
=
程。
作业：班级____________姓名
1、将下列各点的球坐标化为直角坐标：
2、将下列各点的直角坐标化为球坐标：
3、将下列各点的柱坐标化为直角坐标：
4、分别建立适当的直角坐标系、球坐标系、柱坐标系，表示棱长为3的正四面体的四个顶点。
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柱坐标系和球坐标系
[教学目标]
一、知识与技能：
1.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法。
2.了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。
3.掌握柱坐标、球坐标与直角坐标的互化
二、过程与方法：情感、态度、价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
三、[教学重点]：在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，
四、[教学难点]：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系.利用它们进行简单的数学应用。