矩阵理论1

§4 线性变换的矩阵表示
引言：数域P 上线性空间V 上的所有线性变换组成的集合—L (V )是数域P 的线性空间。

若V 是n 维线性空间，那么L (V )的维数是多少呢？L (V )与n n P ⨯之间具有什么关系？为此，我们先研究一下线性变换的矩阵表示。

一、线性变换在一组基下的矩阵表示：
设n εεε,,,21 是数域P 上的n 维线性空间V 的一组基，A 是V 上的一个线性变换，对V ∈∀α，则有
n n k k k εεεα+++= 2211 )()()(11n n A k A k A εεα++=∴
又),1()(n i V
A i =∈ε
则有：)()()()(22112222112212211111*⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧+++=+++=+++=n nn n n n n
n n
n a a a A a a a A a a a A ε
εεεεεεεεεεε
用矩阵形式表述（*）有
⎪
⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛=nn n n n n n n a a a a a a a a a A A A 2
1222
21112112121),,())(),(),((εεεεεε
习惯上记上式左边为：),(21n A εεε，，
则有：
A A n n ),(),(2121εεεεεε，，，， =；这就有了下面的定义：
1.Df 1.若A A n n ),(),(2121εεεεεε，，，， =则称A 为线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵，且可逆
若V ∈α在n εεε,,,21 下的坐标为⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛n k k 1，那么)(αA 在基n εεε,,,21 下的坐标又如
何呢？
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=++=n n n n k k A A A A k A k A 12111))(),(),(()()()(εεεεεα
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n k k A k k A 121121),,,(),,(εεεεεε
可见，)(αA 在基n εεε,,,21 下的坐标是由A 与α在n εεε,,,21 下的坐标来确定的。

2.结论：
Th 1.域P 上n 维线性空间V 中的线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵是唯一的。

由此可推得：当给定线性空间V 的一组基n εεε,,,21 后，A 与域P 上的n n A ⨯一一对应。

进一步可得
Th 2..若n εεε,,,21 是域P 上的n 维线性空间V 的一组基，i A 是V 上的线性变换，
i A 在n εεε,,,21 下的矩阵为i A ，则有
2121A A A A +→+ 2121A A A A →⋅ 11A A λλ→ 11
--→A A
由此可得：
Th3..数域P 上的n 维线性空间V 在取定一组基下，L (V )与P 域上所有的n n ⨯矩阵构成
的线性空间n
n P
⨯是同构的
即：n n P V L ⨯≅)(
推论：2dim )(dim n P V L n n ==⨯
上述线性变换与矩阵之间的对应关系是在给定的一组基下实现的，随着基的改变，线
性变换的矩阵表示会发生什么样的变化？
二、线性变换在不同基下的矩阵表示(首先回忆过渡矩阵的概念)
Df 2.设n εεε,,,21 与n ηηη,,,21 是n 维线性空间V 的两组不同基，且满足
P n n ),,,(),,,(2121εεεηηη =。

则称P 为由基n εεε,,,21 到基n ηηη,,,21 的过渡矩
阵，且P 是可逆的。

从而可以研究同一线性变换在两组不同基下的矩阵的关系。

下面定理解决这个问题：
Th 4. A 在不同基下的矩阵是相似的
Proof :设n εεε,,,21 ;n ηηη,,,21 是线性空间V 的两组不同基
B A n n ),,(),,(2121ηηηηηη =
由
121212121),,,(),,,(),,,(),,,(-=⇒=P P n n n n ηηηεεεεεεηηη
则
),,(21n A ηηη AP P n 121),,(-ηηη
P 可逆，上式两边右乘1-P
由Th 1 1A PBP -=AP B P
1
-=
即B A ~
eg 1.设4维线性空间4R 上的线性变换A 在基4321,,,x x x x 下的矩阵为：
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=2211310310758231A
试求A 在基⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=+++=1
42133
2124
3211x y x x y x x x y x x x x y 下的矩阵
解：由已知有A x x x x x x x x A ),,,(),,,(43214321= 设B y y y y y y y y A ),,,(),,,(43214321=
而P x x x x x x x x y y y y ),,,(000100110111
1111
),,,(),,,(432143214321=⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛= 计算得：⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛---=-00110110110010
001
P
又B 与A 相似
() ==∴-AP P B 1
三、正交变换在一组标准正交基下的矩阵：
正交变换在一组基下的矩阵为正交矩阵 或
线性变换在一组标准正交基下的矩阵为正交矩阵
设T 是内积空间V 的正交变换，n εεε,,,21 是V 的一组标准正交基，由上节课知，
n T T T εεε ,,21亦是V 的一组标准正交基
若A T n n ),,,(),,,(2121εεεεεε = 即A T T T n n ),,,(),,,(2121εεεεεε =
则A 可以看作是由n n T T T εεεεεε,,,,,,2121 →的过渡矩阵 据正交基变换可知：A 为正交矩阵)(E A A
T
=
同样，内积空间的正交变换与正交矩阵亦是一一对应的。

eg 2.设321,,x x x 是三维欧氏空间V 的一组标准正交基，试求V 的一个正交变换T ，使得：
⎩⎨
⎧+-=-+=3212
3
2112222x x x Tx x x x Tx 解：设3213cx bx ax Tx ++= 由T 在321,,x x x 下的矩阵为正交矩阵 即A x x x x x x T ),,(),,(321321=
其中⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=c b a A 211222为正交矩阵
由E A A T
= 可解得a = b = c = 从而可得正交变换。

第5节 不变子空间与点到子空间的距离
上节课研究了线性变换在一组基下的矩阵及不同基下的矩阵之间的关系，从中可得，线性变换与矩阵之间的关系，以及正交变换与正交矩阵之间的关系。

知道这些关系对研究矩阵理论具有很重要的意义。

不但如此，而且线性空间、线性变换及矩阵这三者之间的关系也是紧密的联系在一起，为此我们先研究一下不变子空间。

一、不变子空间
1.Df : 设A 是线性空间V 的一个线性变换，W 是V 的一个子空间，若对
W x ∈∀W x A ∈)(。

即W W A ⊆)(。

则称W 为A 的不变子空间，或者说子空间W 对线性
变换A 是不变的。

2.结论：①零空间及V 本身都是A 的不变子空间。

②若21,V V 是n 维线性空间 V 的两个子空间，且是线性变换的不变子空间，若
21V V V ⊕=且
m e e e ,,21与n m m e e e ,,,21 ++分别是1V 与2V 的一组基，则向量组n m m m e e e e e e ,,,,,,2121 ++便构成V 的一组基，且A 在基n m m m e e e e e e ,,,,,,2121 ++下
的矩阵为分块对角矩阵
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=21A A A
其中：1A 是A 在基m e e e ,,21下的矩阵；
2A 是A 在基n m m e e e ,,,21 ++下的矩阵
注：该结果可以推广到有限个子空间直和的情形。

即：若V 可分解为有限的k 个子空间),2,1(k i V i =的直和 二、点到子空间的距离与最小二乘法
1.点到子空间的距离
Df :设V 是有限维内积空间（即欧氏空间），V y x ∈∀,称x-y 的长度y x -为x 与y 的
距离，记为),(y x d
),(y x d 满足下列三个基本的性质：
①);,(),(x y d y x d =
②);,(),(),(z y d y x d z x d +≤ ③0),(,0),(==⇔≥y x d y x y x d 时
当然这里点到子空间的距离，也象几何里点到直线（平面）的距离一样，是指点到子空间各点距离的最短距离。

即设子空间V x x x L W k ⊂=),,,(21 ，x 是V 中给定的一元素，显然有),2,1(k i x x W x i =⊥⇔⊥（？）
设W ∈y ，满足W y x ⊥-)(，且对W z ∈-∀都有：
z x y x -≤-（向量x 到W 的各向量间距离以垂线最短）
则y x -即为点x 到子空间W 的距离。

作为点到子空间距离的应用来解决最小二乘法问题
2. 最小二乘法：——在系统理论中处理最优化问题时有重要的应用。

考虑不相容线性方程组 b Ax =※（方程个数与变量个数不同）
其中k n ij a A ⨯=)( T
n b b b b ),,(21 = ()T
k x x x x ,,21=
（线性代数知：R (A )=R (A ,b )时，※有解，R (A )≠R (A ,b ) ※无解） 这里解决无解的情况（利用最小二乘法）
也即：设法找出一组数0
20
1,,k x x x 使偏差的平方和：
∑=-++=n
i i k ik i i b x a x a x a 1
22211)( η
最小，0
0201,,k x x x 称为※的最小二乘解。

若令y =Ax ，则y 是n 维列向量；上述η即为2
b y -。

而最小二乘法即是找一组
0201,,k x x x 。

使y 与b 的距离最小。

为此；假设),,(21k A ααα =，i α表示A 的第i 列。

则有
k k x x x y ααα+++= 2211
显然),,(21k L y ααα ∈，则上述问题可叙述为：
求x ，使2
b y -最小，即在),,(21k L ααα 中找一向量y ，使向量b 到它的距离比到子空间),,(21k L ααα 中其它向量的距离都短。

若k k x x x y ααα ++=2211即为所求向量，则
),,()()(21k L Ax b y b c ααα ⊥-=-=A
0),(),(),(21====⇔k c c c ααα
,0,021===⇒c c c T k T T ααα
此即 θ
=-)(Ax b A T
即
b A Ax A T T =——这就是最小二乘解所满足的代数方程，它仍是一个线性方程组，
系数矩阵为A A T
，常数项为b A T。

eg 2: 用最小二乘法解方程组：1312
1231231210
x x x x x x x x x x +=⎧⎪+=⎪⎨++=-⎪⎪+-=⎩
解：⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-=111111011
101
A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=110111101111T A ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=0121b b A x x x Ax A T T =⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢
⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∴012301033134321
解此线性方程组，得最小二乘解为，2031=x ,60112=x ,20
1
3-=x。