2020年江苏省徐州中学、徐州一中高考数学模拟试卷(5月份)解析版

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江苏省徐州中学、徐州一中2020届高三下学期数学5月高考模拟试卷

江苏省徐州中学、徐州一中2020届高三下学期数学5月高考模拟试卷一、填空题（共14题；共14分）1.已知集合，，则________.2.设复数（a，，i是虚数单位），且，则________.3.若一组样本数据21，19，x，20，18的平均数为20，则该组样本数据的方差为________.4.椭圆( )与双曲线有公共的焦点，则________.5.执行如图所示的伪代码，则输出的结果为________．6.把分别标有“诚”“信”“考”“试”的四张卡片随意的排成一排，则能使卡片从左到右可以念成“诚信考试”和“考试诚信”的概率是________.7.已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在半径为2的同一个球的球面上.则球的体积与圆柱的体积的比值为________.8.已知数列的前项和为，且满足，________.9.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则________．10.如图，在平面四边形中，，，，点在线段上，且，若，则的值为________.11.过直线l：上任意一点P作圆C：的一条切线，切点为A，若存在定，使得恒成立，则________.12.设,则的最小值为________.13.函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1，A2，A3，…，A n，…，在点列{A n}中存在三个不同的点A k、A l、A p，使得△A k A l A p是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数记为ωn，则ω6＝________．14.已知定义在上的偶函数满足．且当时，．若对于任意，都有，则实数的取值范围为________．二、解答题（共6题；共65分）15.在中，角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.16.如图，在三棱锥A-BCD中，点M，N分别在棱AC，CD上，且N为CD的中点．（1）当M为AC的中点时，求证：AD//平面BMN；（2）若平面ABD平面BCD，AB BC，求证：BC AD.17.如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是，从点沿海岸正东处有一城镇B.一年青人从小岛出发，先驾驶小船到海岸线上的某点C处，再沿海岸线步行到城镇B.若，假设该年青人驾驶小船的平均速度为，步行速度为.（1）试将该年青人从小岛A到城镇B的时间t表示成角的函数；（2）该年青人欲使从小岛A到城镇B的时间t最小，请你告诉他角的值.18.已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上一点，以PF1为直径的圆E：x2过点F2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P且斜率大于0的直线l1与C的另一个交点为A，与直线x＝4的交点为B，过点（3，）且与l1垂直的直线l2与直线x＝4交于点D，求△ABD面积的最小值．19.已知函数的极大值为,其中为自然对数的底数.（1）求实数k的值；（2）若函数,对任意, 恒成立.（i）求实数a的取值范围；（ii）证明：.20.对于数列{a n}，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{a n}为P数列.（1）若{a n}的前n项和S n＝3n+2，试判断{a n}是否是P数列，并说明理由；（2）设数列a1，a2，a3，…，a10是首项为﹣1、公差为d的等差数列，若该数列是P数列，求d 的取值范围；（3）设无穷数列{a n}是首项为a、公比为q的等比数列，有穷数列{b n}，{c n}是从{a n}中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为T1，T2，求{a n}是P数列时a与q所满足的条件，并证明命题“若a＞0且T1＝T2，则{a n}不是P数列”.答案解析部分一、填空题1.【答案】{1,4}2.【答案】±23.【答案】24.【答案】45.【答案】156.【答案】7.【答案】8.【答案】9.【答案】10.【答案】11.【答案】12.【答案】13.【答案】π14.【答案】二、解答题15.【答案】（1）解：由，，，，；（2）解：，由余弦定理得，，周长为.16.【答案】（1）解：在中，因为，分别为棱，的中点，所以，又平面，平面，所以平面（2）解：如图，在平面内，作，垂足为，因为平面平面，，，所以平面．因为，所以，又，，，，所以，又，所以．17.【答案】（1）解：由题意知，，，，所以，，，所以关于的函数为；（2）解：由（Ⅰ）知，，令，则；解得，当且仅当时，等号成立；即时，所花时间最小．18.【答案】（1）解：在圆E的方程中，令y＝0，得到：x2＝4，所以F1（﹣2，0），F2（2，0），又因为，所以P点坐标为，所以，则，b＝2，因此椭圆的方程为；（2）解：设直线l1：y k（x﹣2）（k＞0），所以点B的坐标为，设A（x A，y A），D（x D，y D），将直线l1代入椭圆方程得：（1+2k2）x2+（4 k﹣8k2）x+8k2﹣8 k ﹣4＝0，所以x P x A，所以x A，直线l2的方程为y （x﹣3），所以点D坐标为，所以S△ABD（4﹣x A）|y B﹣y D| • •＝2k 2 2 2 ，当且仅当2k ，即k 时取等号，综上，△ABD面积的最小值2 2 ．19.【答案】（1）解：的定义域为,,令,解得：,令,解得：,所以当, 为增函数,当, 为减函数,所以时, 有极大值,所以;（2）解：（i）由（1）知, ,则,即对恒成立,所以对恒成立,即对恒成立,设,则对恒成立,,设, ,原问题转化为：对恒成立,①若,当时,则,不合题意;②若,则对恒成立,符合题意③若,则,令, ,令, ,所以当时, 为减函数,当时, 为增函数,所以, 即,即;综上.（ii）要证,只需证,即,即,只需证,设, ,因为所以在上单调递减,在上单调递增, 所以：因为恒成立,所以在上单调递增,所以,则,则,由（2）可知, ,所以;所以,即,得证.所以成立20.【答案】（1）解：∵，∴，当n＝1时，a1＝S1＝5，故，那么当时，，符合题意，故数列{a n}是P数列.（2）解：由题意知，该数列的前n项和为，由数列a1，a2，a3，…，a10是P数列，可知a2＞S1＝a1，故公差d＞0，对满足n＝1，2，3，，9的任意n都成立，则，解得，故d的取值范围为（3）解：①若{a n}是P数列，则a＝S1＜a2＝aq，若a＞0，则q＞1，又由a n+1＞S n对一切正整数n都成立，可知，即对一切正整数n都成立，由，故2﹣q≤0，可得q≥2，；若a＜0，则q＜1，又由a n+1＞S n对一切正整数n都成立，可知，即（2﹣q）q n＜1对一切正整数n都成立，又当q∈（﹣∞，﹣1]时，（2﹣q）q n＜1当n＝2时不成立，故有或，解得，∴当{a n}是P数列时，a与q满足的条件为或；②假设{a n}是P数列，则由①可知，q≥2，a＞0，且{a n}中每一项均为正数，若{b n}中的每一项都在{c n}中，则由这两数列是不同数列，可知T1＜T2；若{c n}中的每一项都在{b n}中，同理可得T1＞T2；若{b n}中至少有一项不在{c n}中且{c n}中至少有一项不在{b n}中，设{b n'}，{c n'是将{b n}，{c n}中的公共项去掉之和剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为T1'，T2'，不妨设{b n'}，{c n'}中最大的项在{b n'}中，设为a m（m≥2），则T2'≤a1+a2+……+a m﹣1＜a m≤T1'，故T2'＜T1'，故总有T1≠T2与T1＝T2矛盾，故假设错误，原命题正确.。

江苏省徐州市铜山区高三5月高考模拟数学试题Word版含答案

江苏省徐州市铜山区高三 5月高考模拟数学试题 Word 版含答注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 •本试卷共4页，均为非选择题（第 1题〜第20题，共20题）。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2 .答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3 •请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4 •作答试题，必须用 0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5 .如需作图，须用―2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

•、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分•请把答案填写在答题纸相应位置上.1 •已知全集 U 1,0,1，集合 A 0,| x|，则 C U A =▲ . 12.在复平面内，复数（ i 为虚数单位）对应的点到原点的距离为▲.1 i3•阅读如图所示的程序框图，若输入n 是100,则输出的变量 S 的值是 ▲. 50494・一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）•为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500,3000）（元）月收入段应抽出▲ 人.25已知5件产品中有2件次品，其余为合格品•现从这 5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为▲. 0.6S=S+nVX=M-15. ■/输入刃/EJ已知圆锥的母线长为|2cm ,侧面积为2 cm2,则此圆锥的体积为15.的最小值为 ▲0上的动点，若在圆 C一_上总存在不同的两点 A , B 使得OA OB OP ,则x 0的取值范围是▲ . 0.—13x y w 0,7 .若x , y 满足x y w 1 ,则 z x 2y 的最大值为 ▲.2xA0 ,&在△ ABC 中,a 4 ,b 5,…rt sin 2A c 6，则▲ .1sin C2 29.过双曲线—2y 1(a 0,b 0)的左焦点F 1作垂直于实轴的弦 MN , A 为右顶点，若a buuiui uurAM AN 0，则该双曲线的离心率为 ▲. 2I 2，则实数a(2)若 b 2 2 , B n ，求△ ABC 的面积.2C 2 A 3- cosC (1)证:v acos — ccos — b , • a2 2 2 21 cosC 1 cos A 3 由正弦定理得， sin Asi nC s2 2 2化简得， sin A sin C sin AcosC sin C cosA 3sin B••• sin A sin C si n( A C) 3s inB••• sin Asin C sin B 3sin BB(1)求证：a , b , c 成等差数列;c L_^ % 2 210.已知正数 a,b ,直线 h : (a b)x aby 1 0,l 2: x (a b)y 0 ,若 l 12 211.已知圆 C ： x y 1，点 P(X 0,y °)是直线 1: 3x 2y 4uuu uuur 12 .已知AB AC, uu 1 uuAA 1tt ，若P 点是ABC 所在平面内一点，且 uuu uur AP AB 4A C uuu uuu , AB ACuur uuu 则PB PC 的最大值等于 13 3 13.已知 a, b R ，函数 f(x) ax bx 2 x 和 g(x) 2 — _ ax bx 有交点 Q(m, n)(m, n Z), 且它们在点Q 处有公共切线，则 m n a b 14.若a , b 是函数f(x) = x 2- px + q(p >0, q >0)的两个不同的零点，且a ,b , - 2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p + q 的值等于▲. 9二.解答题：本大题共 6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤. 15. (本小题满分14分)在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ,已知acos —2ccos 2-二sin A sin C 2sin Ba c 2b••• a , b , c成等差数列. .............. 6分(2)解：••• b 2.2 , B n,3由余弦定理得a2 c2 2accosB b2,即a2 c2 2accos n (2 一2)28 .......................... 8 分32•- (a c) 3ac 8 .......................... 10 分又;a c 2b•ac 8 .......................... 12 分•△ ABC 的面积S -acsinB - 8 3 2 3. .......................... 14分2 2 216. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC ABG中，AB AC , AB AC .点E是BC上一点，且平面BRGC 平面AER(1)求证：AE BC ;(2)求证：AC//平面AEB1 .16.证明：(1)过点B在平面BB1C1C内作BF QE ,Q 平面BB1C1C 平面AER 平面BBCC I平面AB E= B EBF 平面AB E ......................... 2分Q AE 平面AB E BF AE又在直三棱柱ABC A1B1C1中，BB 平面ABC , AE 平面ABC , BB AEQ BB I BF = B, BB 平面BBCC, BF 平面BBCC,,AE 平面BBCC, .......................... 6分Q BC 平面BB1C1CAE BC ; .............. 8 分(2)连结AB，设AB I AB = G，连结GE ,Q AE BC 且AB AC , AB AC ,AE是等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高线，且点G为AB和AB的中点........................... 10分AE也是斜边BC上的中线，即点E为边BC的中点，GE是ABC 的中位线，GE // AC .......................... 12 分Q GE 平面AB E, AC 平面AB E,A i C // 平面 ABE17. （本小题满分14分）如图（示意），公路AM 、AN 围成的是一块顶角为 a 的角形耕地，其中tan a=— 2.在该块土地中P 处有一小型建筑，经测量，它到公路AM ,AN 的距离分别为3km ，:5km .现要过点P 修建一条直线公路 BC ,将三条公路围成的区域 ABC 建成一个工业园.为尽量减少耕地占用，问如何确定 B 点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积.14分17•解：（方法如图1 ,以A 为原点，AB 为x 轴，建立平面直角坐标系.因为tan a=— 2，故直线 AN 的方程是y =— 2x . 设点 P （X o , y o ）. 因为点P 到B（第 16题图）（第19题图）,225因为当 t € (— 25,— 9)时，t +『€ (— 34,— 30],所以点P(1 , 3).显然直线BC 的斜率存在.设直线 BC 的方程为y — 3= k(x — 1), k € (— 2, 0).由 y =—=2：(x—1)，解得 y C =6—k. ...................设 A ABC 的面积为 S,贝V S = 2 X B y o = ―'^6： ? =— 1 + 胃^匚2k10茁 g — 2(4k + 3)(k — 3) ^曰.. °由 S = (k 2 + 2k)2 = 0 得 k = —4或 k = 33 3当一2v k v — 3时，S v 0, S 单调递减；当一3<k v 0时,4 4 S >0, S 单调递增.…13分 3所以当k =—寸时，即AB = 5时，S 取极小值，也为最小值 15. 答：当AB = 5km 时, 该工业园区的面积最小，最小面积为 15km 2.16(方法二)如图1,以A 为原点,AB 为x 轴，建立平面直角坐标系.因为tan a=— 2，故直线 AN 的方程是y =— 2x . 设点 P (X o , y o ).因为点P 到由P 到直线AN 的距离为• 5, 得1 2x0 + y 0I 寸5= V 5，解得X 0= 1或X 0=— 4(舍去),所以点P(1 , 3).显然直线BC 的斜率存在.设直线 BC 的方程为y — 3= k(x — 1), k € (— 2, 0). 令 y = 0 得 X B = 1 — 3.k 由 y -3= k(x -1)，解得 y o = 6^2k....................y = — 2xk + 2 1— k 2 + 6k — 98k — 9设△ABC 的面积为 S,贝V S = X B y o =迄+2^ =— 1 + 口+2^°k 2 + 2k 10令 8k — 9 = t ，贝U t € (— 25,— 9)，从而 k =牛9.8 因此匕S =——1 +t (宁厲2=—1 +t 2+ 3；4； 225 =— 1+―34 + t + t13分225当且仅当t=—15时，此时AB = 5, 34 + t+ —厂的最大值为4.从而S有最小值为15.答：当AB = 5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2.16分(方法三)如图2,过点P作PE丄AM , PF丄AN，垂足为E、F，连接FA .设AB = x, AC = y.因为P到AM, AN的距离分别为3, 5即FE= 3, PF = .；5.由S/ABC = S A ABP+S A APC=2x3 +1 y . 5 = *(3x+ ,'5y).2因为tan =—2,所以sin =百•1 2所以S ZABC = 1 x y §.②1 2 1由①②可得，xy需=gQx+JEy).即3叮5x + 5y = 2xy.③10因为 3 "：5x+ 5y>2 15 - 5xy，所以2xy>215 ；5xy.解得xy> 15 5.13当且仅当3 5x= 5y取=”，结合③解得x= 5, y= 3 '5.1 2所以S ZABC =1 x y 〒有最小值15.2V5答：当AB = 5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2. 1618.(本小题满分16分)已知圆M的圆心M在x轴上，半径为2,直线I :3x 4y 1 0被圆M截得的弦长为2、. 3，且圆心M在直线l的上方.(1)求圆M的方程；(2)设A0,t , BO,t 6 (2w t w 4),若圆M是ABC的内切圆，求ABC的面积S的最大值及对应的t值.【答案】(1) x 2 2y2 4 ； (2) 2 或4.解：(1)设圆心M a, o ,2由已知得M 到|：3x 4y 1 0的距离为22 ... 3 1•••竺2=仆・(2分)5又••• M 在l 的上方，••• 3a 1>0,.・・3a 1=5••• a 2，故圆的方程为 x 2 2 y 2 4 ............................... 分(2)设AC 斜率为k 1，BC 斜率为k 2，由于圆M 与AC 相切，所以2k 2=4 t 64 t 619. (本小题满分16分)已知函数 f(x)= ax 3 + |x — a|, a € R .(1) 若a =— 1,求函数y = f(x) (x € [0,+^)的图象在x = 1处的切线方程； (2) 若g(x) = x 4,试讨论方程f(x) = g(x)的实数解的个数；(3) 当a > 0时，若对于任意的冷€ [a , a + 2],都存在X 2€ [a + 2, +旳，使得f(x”f(X 2) =1024，求满足条件的正整数 a 的取值的集合.则直线AC 的方程为yk 1x t ，直线BC 的方程为y k 2x t 6. 同理, 联立两条直线方程得 C 点的横坐标为6 k 2 k 1•/ | AB|=t t 6 =6,k k = 36 2 - 1 =22 t 2 6t2< t < 4, • - 9W t 2 6tw- 83 ” 2 3 ,, W 2 w , • k 2 - k 14 t 26t 3 4Smax =245 .6 1 4 ........................ A ...................... A/V,•5 k 2 k [3........ 12分此时 t 2 6t = - 8, t=2 或 416^••• S=1 2X 6=18 k 2 k i1分解：(1 )当 a =— 1, x € [0, + 时，f(x) = — x 3 + x + 1,从而 f 'x) =— 3x 2+ 1.当 x = 1 时，f(1) = 1, f '(特—2,所以函数y = f(x) (x € [0,+s)的图象在x = 1处的切线方程为 y — 1 = — 2(x — 1), 即 2x + y — 3= 0.................................................................... 3 分(2) f(x) = g(x)即为 ax 3 + |x — a| = x 4.所以 x 4— ax 3= |x — a|,从而 x 3(x — a)= |x — a|. 此方程等价于x = a 或x > a ，或x v a ，....................................................... 分6x = 1 x =— 1 .所以当a 羽时，方程f(x) = g(x)有两个不同的解a , — 1; 当一1v a v 1时，方程f(x) = g(x)有三个不同的解a , — 1, 1; 当a 匚1时，方程f(x) = g(x)有两个不同的解 a , 1.................................... 9分(3) 当 a >0, x € (a ,+^)寸，f(x)= ax 3 + x — a , f'x)= 3ax 2 + 1 >0,所以函数f(x)在(a , + ^上是增函数，且f(x) >f(a)= a 4> 0.当 x € [a + 2,+ s 时，f(x) € [ f(a + 2), + ^).因为对任意的 *€ [a , a + 2]，都存在 X 2 € [a + 2 ,+旳，使得f(x 1)f(x 2)= 1024,所以 f 2(a + 2)<1024,即 f(a + 2)<32,也即 a(a + 2)3+ 2<32.因为a > 0,显然a = 1满足，而a 丝时，均不满足.20. (本小题满分16分)若实数数列｛a n ｝满足a n 2 a n 1 a n (n N *)，则称数列｛a n ｝为“ P 数列”. (1) 若数列｛a n ｝是P 数列，且a 1 0,a 4 1，求a 3, a 5的值；(2) 求证：若数列｛a n ｝是P 数列，贝U ｛a n ｝的项不可能全是正数，也不可能全是负数; (3)若数列｛a n ｝为P 数列，且｛a n ｝中不含值为零的项，记｛a n ｝前2016项中值为负数所以当 x € [a , a + 2]时,f(x) € [f(a), f(a + 2)],1024丽1024 f(a)11分所以［ 1024f(a + 2)1024f(a) ]?[ f(a + 2), +从而1024f(a + 2)芳(a + 2).所以满足条件的正整数 a 的取值的集合为｛1｝. 16分的项的个数为m ，求m 所有可能取值 20. (1)因为｛务｝是P 数列，且a !0,所以 a 3 |a 21 a o & |,(2)假设P 数列｛a n ｝的项都是正数，即a n 0,a n 1 0,a n 20，所以 a n 2 a n1a n ，a n3 a n 2a .1a n0 ,与假设矛盾故P 数列｛ a n ｝的项不可能全是正数假设P 数列｛a n ｝的项都是负数, 则a n0,而a n 2 a n 1 a n 0,与假设矛盾故P 数列｛ a n ｝的项不可能全是负数(3)由(2)可知P 数列｛a n ｝中项既有负数也有正数，且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数因此存在最小的正整数 k 满足a k 0,a k 1 0( k 5).设 a ka,a k 1 b(a,b 0)，贝U a k 2 b a,a k 3 a, a k 4 b, a k 5 b a .a k 6b a b,a k 7 ba a, a k8a b, a k9a, a k10b ,故有a k a k 9,即数列｛a n ｝是周期为9的数列.................... .分由上可知a k ,a k 1, ,a k 8这9项中a k , a k 4为负数，a k 5,a k 8这两项中一个为正数，另一个为负数，其余项都是正数 .所以a 4a 3 a 2a 2 a 2,所以|a 2 所以a 3a 2 1，解得a 2訐5|a 41 a 3.分 .分.分.分因为2016 9 224,所以当k 1时，m 224 3 672 ; ...................... 12分当2 k 5时，a i,a2, ,a k1这k 1项中至多有一项为负数，而且负数项只能是a k1,记a k,a k i, , a20i6这2007 k项中负数项的个数为t ,当k 2,3,4时，若a k i 0,则b a k 1a k a k 1a k a，故a k 8为负数,此时t 671，m 671+1=672 ；若a k 1 0,则b a k 1 a k a k 1 a k a，故a k 5为负数•此时t 672，m 672 ,当k 5时，a k 1必须为负数，t 671 , m 672 , (14)综上可知m的取值集合为{672} . (16)。

江苏省徐州中学、徐州一中2020届高三五月联合考试数学试题

江苏省徐州高级中学、徐州一中2020届高三五月联合考试数学(考试时间：120分钟总分160分)2020年5月注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效。

一．填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．。

1. 已知集合A = { x | x ≥1}, B ={-1，0，1，4}，则A ∩B = ▲ ．2. 设复数z = a + bi (a , b ∈R , i 是虚数单位), 且x 2 = 2i , 则a + b = ▲ ．3. 若一组样本数据21,19,x ,20,18的平均数为20, 则该组样本数据的方差为 ▲ ．4. 椭圆 x 225＋y 2b 2=1 (b >0)与双曲线x 28－y 2=1有公共的焦点, 则b = ▲ ．5. 执行如图所示的伪代码, 则输出的结果为 ▲ ．6. 把分别标有“诚”“信”“考”“试”的四张卡片随意的排成一排, 则能使卡片从左到右可以念成“诚信考试”和“考试诚信”的概率是 ▲ ．7. 已知圆柱的高为2, 它的两个底面的圆周在半径为2的同一个球的球面上. 则球的体积与圆柱的体积的比值为 ▲ ． 8. 已知数列{a n }的前n 项和为S n , 且满足2S n = a n － 13n ( n ∈N *),S 2020 ＝ ▲ ．9. 在△ABC 中, 角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若sinB － sinA sinB － sinC ＝ca ＋b,则sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝ ▲ ． 10.如图, 在平面四边形ABCD 中, ∠CBA =∠CAD =90°, ∠ACD =30°, AB =BC , 点E 在线段BC 上且BC →=3BE →, 若AC →=λAD →＋μAE →(λ, μ∈R ), 则 μλ的值为 ▲ ．11.过直线l : y = x －2上任意一点P 作圆C : x 2+y 2=1的一条切线, 切点为A , 若存在定点B (x 0, y 0) , 使得P A = PB 恒成立, 则x 0－y 0＝ ▲ ． 12.设a > 0, b > 0, a －2b =1, 则(a 2＋4)(b 2＋1)ab的最小值为 ▲ ．13.函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为A 1,A 2,A 3,…,A n ,…, 在点列{ A n }中存在三个不同的点A K 、A 1、A P ,使得△A K A 1A P 是等腰直角三角形, 将满足上述条件的ω值从小到大组成的数记为ωn , 则ω6 = ▲ ．14.已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (1＋x )＋f (1－x ) = 0. 且当0≤x ≤1时, f (x )=log 3(a -x ). 若对于任意x ∈[-1，0], 都有f (x 2－tx － 13)≥1－log 35, 则实数t 的取值范围为 ▲ ．I ←1While I <9 S ←2 I +1 I ← I +2 End While Print S（第5题）E C（第10题）二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内．．．．．．．．．作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步驟．15.(本小题满分14分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2a－c =2b cos C.(1) 求B；(2) 若b = 3, △ABC的面积为32, 求△ABC的周长.16. (本小题满分14分)如图, 在三棱锥A－BCD中, 点M、N分别在棱AC、CD上, N为CD的中点.(1) 若M为AC的中点, 求证: AD∥平面BMN；(2) 若平面ABD⊥平面BCD, AB⊥BC, 求证: BC⊥AD.（第16题）NABC DM17. (本小题满分14分)如图所示, 一座小岛A 距离海岸线上最近的点P 的距离是2km , 从点P 沿海岸正东12km 处有一城镇B . 一年青人从小岛A 出发, 先驾驶小船到海岸线上的某点C 处, 再沿海岸线步行到城镇B .若∠P AC =θ, 假设该年青人驾驶小船的平均速度为2km /h , 步行速度为4km /h . (1) 试将该年青人从小岛A 到城镇B 的时间表示成角θ的函数;(2) 该年青人欲使从小岛A 到城镇B 的时间t 最小, 请你告诉他角θ的值.18. (本小题满分16分)已知椭圆C : x 2a 2＋y 2b 2=1 (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 是椭圆C 上一点, 以PF 1为直径的圆E : x 2＋⎝⎛⎭⎫y －22 2 =92 过点F 2 .（1）求椭圆C 的方程:(2) 过点P 且斜率大于0的直线l 1与C 的另一个交点为A , 与直线x = 4的交点为B , 过点（3，2），且与l 1垂直的直线l 2与直线x =4交于点D , 求△ABD 面积的最小值.A 小岛CP•（第17题）城镇B19. (本小题满分16分)己知函数f (x )＝ln xx ＋k 的极大值为1＋e e ,其中e =2.71828…为自然对数的底数.(1) 求实数k 的值;(2) 若函数g (x )＝e x ＋ax , 对任意x ∈ (0,+∞), g (x )≥a f (x )恒成立.(ⅰ) 求实数a 的取值范围;(ⅱ) 证明: x 2 f (x ) > a sinx ＋x 2－1.20. (本小题满分16分)对于数列{a n },若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和,则称{a n }为P 数列. (1) 若{a n }的前n 项和S = 3n + 2, 试判断{a n }是否是P 数列, 并说明理由;(2) 设数列a 1,a 2,a 3,…,a 10是首项为－1、公差为d 的等差数列, 若该数列是P 数列, 求d 的取值范围;(3) 设无穷数列{a n }是首项为a 、公比为q 的等比数列, 有穷数列{b n },{c n }是从{a n }中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列, 其所有项和分别为T 1, T 2, 求{a n }是P 数列时a 与q 所满足的条件, 并证明命题“若a >0且T 1= T 2, 则{a n }不是P 数列” .。

2020年江苏省徐州市高考数学考前试卷(5月份)(含答案解析)

2020年江苏省徐州市高考数学考前试卷（5月份）题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.集合A={-1，0，1}，B={x|-2＜x＜0}，则A∩B中元素的个数是______．2.已知i是虚数单位，复数z满足，则复数z的实部为______．3.一组数据175,177,174,175,174的方差为___________．4.某算法流程图如图所示，该程序运行后，若输出的x=63，则实数a的值为______．5.已知两个袋子中装有大小和形状相同的小球，其中甲袋中有3个小球编号为1，2，3，乙袋中有4个小球编号为1，2，3，4，若从两个袋中各取出1球，则取出的两个小球编号相同的概率为______．6.已知双曲线的左准线与x轴的交点为点P，则点P到其中一条渐近线的距离为______．7.已知函数（其中e为自然对数的底数）为偶函数，则实数a的值为______．8.已知，是夹角为的两个单位向量，向量，，若，则实数k的值为______．9.已知函数，若实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）=0，则|x1+x2|的最小值为______．10.已知数列{a n}的前n项积为T n，若对∀n≥2，n∈N*，都有成立，且a1=1，a2=2，则数列{a n}的前10项和为______．11.已知一个圆柱的轴截面为正方形，其侧面积为S1，与该圆柱等底等高的圆锥的侧面积为S2，则的值为______．12.已知函数，g（x）=k（x+1），若方程f（x）-g（x）=0有两个不同的实根，则实数k的取值范围是______．13.已知A，B为圆O：x2+y2=5上的两个定点，AB=4且与x轴平行，M为线段AB的中点，点P为直线l：x+y-6=0上一动点，则的最小值为______．14.设实数a，b，c，满足a+b=2c-1，a2+b2=c2+2c-3，则ab的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.在△ABC中，已知AC=3，cos B=，A=．（1）求AB的长；（2）求cos（C-）的值．16.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC，侧面BCC1B1⊥底面ABC，E，F分别为棱BC和A1C1的中点．（1）求证：EF∥平面ABB1A1；（2）求证：平面AEF⊥平面BCC1B1．17.如图，某隧道的剖面图是由半圆及矩形ABCD组成．交通部门拟在隧道顶部安装通风设备（视作点P），为了固定该设备，计划除从隧道最高点Q处使用钢管垂直向下吊装以外，再在两侧自A，B两点分别使用钢管支撑．已知道路宽AB=8m，设备要求安装在半圆内部，所使用的钢管总长度为L．（1）①设PQ=x，将L表示为关于x的函数；②设∠PAB=θ，将L表示为关于θ的函数；（2）请选用（1）中的一个函数关系式，说明如何设计，所用的钢管材料最省？18.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，且PF2垂直于x轴，连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设=λ．（1）若点P的坐标为（2，3），求椭圆C的方程及λ的值；（2）若4≤λ≤5，求椭圆C的离心率的取值范围．19.已知函数．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率为3，求实数a的值；（2）若函数在区间[1，2]上存在极小值，求实数a的取值范围；（3）如果f（x）＜0的解集中只有一个整数，求实数a的取值范围．20.在数列{a n}中，a1=0，且对任意k∈N*，a2k-1，a2k，a2k+1成等差数列，其公差为d k．（1）若d1=2，求a2，a3的值；（2）若d k=2k，证明a2k，a2k+1，a2k+2成等比数列（k∈N*）；（3）若对任意k∈N*，a2k，a2k+1，a2k+2成等比数列，其公比为q k．设q1≠1，证明数列是等差数列．-------- 答案与解析 --------1.答案：1解析：解：∵A={-1，0，1}，B={x|-2＜x＜0}；∴A∩B={-1}；∴A∩B元素的个数是1．故答案为：1．进行交集的运算即可求出A∩B，从而得出A∩B元素的个数．考查描述法、列举法的定义，交集的运算，以及集合元素的定义．2.答案：-4解析：解：由，得z-3i=4i2=-4，则z=-4+3i，∴复数z的实部为-4．故答案为：-4．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：解析：解：样本平均数为=175+（0+2-1+0-1）=175，则方差为[（175-175）2+（177-175）2+（174-175）2+（175-175）2+（174-175）2]=（0+4+1+0+1）=，故答案为：．先计算出样本平均数，然后根据方差公式进行计算即可．本题主要考查样本方差和平均数的计算，结合方差的定义直接进行计算是解决本题的关键．4.答案：7解析：解：n=1，x=a，n≤3成立，则x=2a+1，n=2，n≤3成立，则x=2（2a+1）+1=4a+3，n=3，n≤3成立，则x=2（4a+3）+1=8a+7，n=4，n≤3不成立，输出x=8a+7=63，则8a=56，则a=7，故答案为：7根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．解析：解：两个袋子中装有大小和形状相同的小球，其中甲袋中有3个小球编号为1，2，3，乙袋中有4个小球编号为1，2，3，4，从两个袋中各取出1球，基本事件总数n=3×4=12，取出的两个小球编号相同包含的基本事件有：（1，1），（2，2），（3，3），包含的基本事件个数m=3，∴取出的两个小球编号相同的概率p==．故答案为：．从两个袋中各取出1球，基本事件总数n=3×4=12，利用列举法求出取出的两个小球编号相同包含的基本事件有3个，由此能求出取出的两个小球编号相同的概率．本题主要考查概率的求法，考查古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．6.答案：解析：解：根据题意，双曲线中a=2，b=2，则c==4，则该双曲线的左准线为x=-=-1，则P（-1，0）渐近线方程为y=±x，即x±y=0，则点P到其中一条渐近线的距离d==；故答案为：．根据题意，由双曲线的方程求出a、b、c的值，进而求出双曲线的准线方程，即可得P的坐标，同时求出双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得答案．本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程，属于基础题．7.答案：1解析：解：若函数f（x）是偶函数，则f（-1）=f（1），即e-=-+e，则-a=-1，a=1，故答案为：1根据函数是偶函数，结合偶函数的定义进行求解即可．本题主要考查函数奇偶性的应用，根据偶函数的定义建立方程关系是解决本题的关键．解析：解：由，是夹角为的两个单位向量，则||=||=1，=，又，，且，所以（）•（k）=0，所以k2-22+（2k-1）=0，所以k-2+，解得k=，故答案为：．由平面向量数量积的坐标运算得：k2-22+（2k-1）=0，所以k-2+，解得k=，得解．本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属中档题．9.答案：解析：【分析】本题考查三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题．直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．【解答】解：函数，若实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）=0，则：函数的图象关于（，0）对称，当k=0和1时，图象关于（-，0）和（，0）对称，所以：或，所以：|x1+x2|的最小值为，故答案为：．10.答案：1023解析：解：数列{a n}的前n项积为T n，若对∀n≥2，n∈N*，都有成立，且a1=1，a2=2，则：T1=1，T2=a1•a2=2，进一步求出：T3=8，，…，所以：a1=1，a2=2，a3=4，…，故：．故答案为：1023利用数列中的递推关系式的应用求出数据之间的关系，进一步求出结果．本题考查的知识要点：数列中递推关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．11.答案：解析：解：设圆柱的底面圆半径为r，则高为h=2r，其侧面积为S1=2πr•2r=4πr2；与该圆柱等底等高的圆锥的母线长为l==r，则其侧面积为S2=πrl=πr•r=πr2，所以==．故答案为：．设圆柱的底面圆半径为r，高为2r，求出侧面积S1；计算该圆柱等底等高的圆锥的母线长，求出侧面积S2，再求的值．本题考查了圆柱与圆锥的侧面积计算问题，是基础题．12.答案：（-]解析：解：当x≤0时，f（x）=xe x，所以f′（x）=（x+1）e x，当x＜-1时，f′（x）＜0，-1＜x＜0时f′（x）＞0，即函数f（x）在（-∞，-1）为减函数，在（-1，0）为增函数，方程f（x）-g（x）=0有两个不同的实根等价于函数f（x）的图象与直线y=kx+1有两个不同的交点，又函数f（x）与函数y=kx+1的图象的位置关系如图所示，则实数k的取值范围是-，故答案为：（-，-]．方程f（x）-kx=1有两个不同实根可化为函数f（x）与函数y=kx+1有两个不同的交点，作函数f（x）与函数y=kx+1的图象，结合函数的图象求解即可．本题考查了方程的根与函数的图象之间的关系应用及学生的作图能力，同时考查了导数的几何意义的应用，利用数形结合以及转化法进行求解是解决本题的关键．13.答案：7解析：【分析】本题考查了平面向量数量积的坐标运算及二次函数的最值，属中档题．由已知得：A（-2，1），B（2，1），M（0，1），设P（x，6-x），则=（-x，x-5）•（2-x，x-5）=-x（2-x）+（x-5）2=2（x-3）2+7≥7，即的最小值为7，得解．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则A（-2，1），B（2，1），M（0，1），设P（x，6-x），则=（-x，x-5）•（2-x，x-5）=-x（2-x）+（x-5）2=2（x-3）2+7≥7，即的最小值为7，故答案为：7．14.答案：[，]．解析：解：由题意，可知：∵a+b=2c-1，∴（a+b）2=（2c-1）2=4c2-4c+1，又∵a2+b2=c2+2c-3，∴2ab=（4c2-4c+1）-（c2+2c-3）=3c2-6c+4．∴ab=．∵c2+2c-3=a2+b2≥2ab=3c2-6c+4．整理，得：2c2-8c+7≤0，解得：．当时，≤≤．∴ab的取值范围为[，]．故答案为：[，]．本题通过两个算式得出ab关于c的表达式ab=，然后根据a2+b2≥2ab求出c的取值范围，再求得的取值范围，即可得到ab的取值范围．本题主要基本不等式的运用，不等式的计算，以及函数思想的应用．本题属中档题．15.答案：解：（1）∵在△ABC中，cos B=，∴sin B==，又∵A+B+C=π，A=，∴sin C=sin（A+B）=sin（+B）=sin cos B+cos sin B=，∴由正弦定理，可得：AB==2．（2）∵A+B+C=π，∴cos C=-cos（A+B）=-cos（+B）=sin sin B-cos cos B=，∴cos（C-）=cos C cos+sin C sin=．解析：（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值，根据三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可计算得解sin C，由正弦定理可求得AB的值．（2）根据三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cos C的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解cos（C-）的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理，两角和的余弦函数公式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.答案：证明：（1）取A1B1的中点G，连接FG，BG，∵F，G分别是A1C1和A1B1的中点，∴FG∥B1C1，FG=B1C1，∵E是BC的中点，BC∥B1C1，BC=B1C1，∴BE∥B1C1，BE=B1C1，∴FG∥BE，FG=BE，∴四边形BEFG是平行四边形，∴EF∥BG，又EF⊄平面ABB1A1，BG⊂平面ABB1A1，∴EF∥平面ABB1A1．（2）∵AB=AC，E是BC的中点，∴AE⊥BC，又侧面BCC1B1⊥底面ABC，侧面BCC1B1∩底面ABC=BC，AE⊂平面ABC，∴AE⊥平面BCC1B1．解析：（1）取A1B1的中点G，连接FG，BG，通过证明四边形EFGB是平行四边形得出EF∥GB，从而得出EF∥平面ABB1A1；（2）由AB=AC得到AE⊥BC，再根据侧面BCC1B1⊥底面ABC得出平面AEF⊥平面BCC1B1．本题考查了线面平行的判定，面面垂直的性质，属于中档题．17.答案：解：（1）延长QP交AB于点E，则QE⊥AB，且E为AB的中点，∴EA=EB=EQ=，由对称性可知，PA=PB．①若PQ=x，则0＜x＜4，EP=4-x，在Rt△PAE中，PA=，∴L=PQ+2PA=x+（0＜x＜4）．②若∠PAB=θ，则0＜θ＜．在Rt△PAE中，PA=，PE=AE tanθ=4tanθ，∴PQ=QE-PE=4-4tanθ．∴L=PQ+2PA=4-4tanθ+2×（0＜θ＜）；（2）选取②中的函数关系，L=4+4×，（0＜θ＜），记f（θ）=（0＜θ＜）．则由f′（θ）==0及0＜θ＜，可得．当θ∈（0，）时，f′（θ）＜0，此时f（θ）单调递减，当θ∈（，）时，f′（θ）＞0，此时f（θ）单调递增．∴当θ=时，f（θ）求得最小值，从而钢管总长度为L取得最小值，即所用的钢管材料最省．解析：（1）延长QP交AB于点E，则QE⊥AB，且E为AB的中点，由对称性可知，PA=PB．①若PQ=x，则0＜x＜4，可得L=x+（0＜x＜4）．②若∠PAB=θ，则0＜θ＜，得到L=PQ+2PA=4-4tanθ+2×（0＜θ＜）；（2）选取②中的函数关系，L=4+4×，（0＜θ＜），记f（θ）=（0＜θ＜），然后利用导数求最值．本题考查根据实际问题性质函数模型，考查三角函数最值的求法，训练了利用导数求最值，是中档题．18.答案：解：（1）∵PF2⊥x轴，且点P的坐标为（2，3），∴a2-b2=c2=4，=1，解得：a2=16，b2=12，∴椭圆C的方程为=1．∴F1（-2，0），直线PF1的方程为y=（x+2），将y=（x+2）代入椭圆方程，解得x Q=-，∴λ=；（2）∵PF2⊥x轴，不妨设P在x轴上方，P（c，y0），y0＞0，设Q（x1，y1）．∵P在椭圆上，∴=1，解得y0=，即P（c，）．∵F1（-c，0），由PQ=λF1Q，得c-x1=λ（-c-x1），，解得x1=-c，y1=-，∴Q（-c，-），∵点Q在椭圆上，∴=1，即（λ+1）2e2+（1-e2）=（λ-1）2．∴（λ+2）e2=λ-2，从而e2=．∵4≤λ≤5，∴，解得．∴椭圆C的离心率的取值范围是[]．解析：（1）由PF2⊥x轴，且点P的坐标为（2，3），可得关于a，b，c的方程，联立求得a，b的值，则椭圆方程可求，写出直线PF1的方程，与椭圆方程联立，解得Q的横坐标，由λ=求解λ的值；（2）由PF2⊥x轴，不妨设P在x轴上方，可得P（c，y0），y0＞0，设Q（x1，y1），由P在椭圆上，解得P（c，），再由已知向量等式得Q的坐标，结合点Q在椭圆上，可得．再由4≤λ≤5，即可求得椭圆C的离心率的取值范围．本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．19.答案：解：（1）由题可知，．∵f（1）=3，∴a+2=3，即a=1．（2）令f′（x）=0，即x2+ax+1=0，解得x=．又∵函数在区间[1，2]上存在极小值，∴．解得，．经检验，当时，符合题意，∴．（3）∵（i）当a2-4≤0，即-2≤a≤2时，f′（x）≥0恒成立，∴y=f（x）在（0，+∞）上为增函数，又∵f（10=0，∴当0＜x＜1时，f（x）＜0，当x＞1时，f（x）＞0，不合题意，舍去．（ii）当a2-4＞0，即a＜-2或a＞2时，若，此时不符合题意．若，则有y=f（x）在（0，x0）上为减函数，（x0，+∞）上为增函数，又∵f（x）＜0的解集中只有一个整数解，∴，解得，．综上所述，-．解析：（1）利用导数的几何意义可求出切线的斜率即可；（2）通过导数来判定函数是否体存在极小值，可得出a的取值范围；（3）通过分类讨论来求出参数的取值范围．利用导数研究函数的单调性，属于中档题．20.答案：解：（1）a1=0，且对任意k∈N*，a2k-1，a2k，a2k+1成等差数列，其公差为d k．d1=2，可得a1，a2，a3成等差数列，a2=a1+2=2；a3=a1+4=4；（2）证明：a2k-1，a2k，a2k+1成等差数列，其公差为d k．可得a2k+1-a2k-1=4k，即有a3-a1=4，a5-a3=8，…，a2k+1-a2k-1=4k，累加可得a2k+1-a1=4+8+…+4k=k（4+4k）=2k（k+1），可得a2k+1=2k（k+1），a2k=a2k+1-2k=2k2，a2k+2=2（k+1）2，则==，可得d k=2k时，a2k，a2k+1，a2k+2成等比数列（k∈N*）；（3）证明：对任意k∈N*，a2k-1，a2k，a2k+1成等差数列，可得2a2k=a2k-1+a2k+1，对任意k∈N*，a2k，a2k+1，a2k+2成等比数列，其公比为q k．即有2=+=+q k．q1≠1可得q k≠1，==1+，即-=1，k≥2，可得数列是公差为1的等差数列．解析：（1）由等差数列的定义，可得所求值；（2）由等差数列的定义可得a2k+1-a2k-1=4k，由数列的恒等式可得a2k+1=2k（k+1），a2k=a2k+1-2k=2k2，a2k+2=2（k+1）2，运用等比数列的性质即可得证；（3）由等差数列和等比数列的定义和性质，即可得证．本题考查等差数列和等比数列的定义、通项公式，考查化简运算能力，属于中档题．。

江苏省无锡市徐州第一高级中学2019-2020学年高三数学理模拟试卷含解析

江苏省无锡市徐州第一高级中学2019-2020学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，，△ABC的面积为2，则的最小值为（）A．B．C．D．参考答案：C由的面积为，所以，得，在中，由正弦定理得，当且仅当时，等号是成立的，故选C．2. 在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝（A）33 （B）72 （C）84 （D）189参考答案：答案：C3. 函数的定义域是（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．[﹣1，1）∪（1，+∞）参考答案：C考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：依题意可知要使函数有意义需要x+1＞0且x﹣1≠0，进而可求得x的范围．解答：解：要使函数有意义需，解得x＞﹣1且x≠1．∴函数的定义域是（﹣1，1）∪（1，+∞）．故选C．点评：本题主要考查对数函数的定义域及其求法，熟练解不等式组是基础，属于基础题．4. 已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若存在f(a)＝g(b)，则实数b的取值范围为()A.[0，3]B.(1，3)C.[2－，2＋]D.(2－，2＋)参考答案：D由题可知f（x）＝e x－1>－1，g（x）＝－x2＋4x－3＝－（x－2）2＋1≤1，若有f（a）＝g （b），则g（b）∈（－1,1]．即－b2＋4b－3>－1，解得2－<b<2＋．5. 过双曲线的左焦点F（-c，0）(c＞0), 作圆的切线，切点为E，延长FE交曲线右支于点P，若, 则双曲线的离心率为A．B．C．D．参考答案：C因为，所以为的中点，令右焦点为，则为的中点，则，因为为切点，所以，，因为，所以，在中，，即，所以.6. 设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).A. B. C.D.参考答案：B略7. 如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图则该几何体的体积是A. B. C. D.参考答案：D受三视图的启发，据三视图，想象感知、分析校正、操作确认得原实物图为：在一个水平横躺的底面半径为2，高为4的圆柱中，在其前方、上侧的左侧挖去部分，余下的部分.所以该几何体的体积为.选Ｄ.8. 在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC参考答案：D9. 下列命题为真命题的个数（）① 若命题则② 要得到的图像，可以将横坐标变为原来的2倍向左移动③ 的值域为④ 函数的值域A 1B 2C 3D 4参考答案：B略10. （5分）各项都为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=32，a5+a6+a7=2，则公比的值是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】：等比数列的性质．【专题】：计算题；等差数列与等比数列．【分析】：利用等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式，由条件，两式相除求出公比q．解：因为S3=32，所以a1+a2+a3=32，因为a5+a6+a7=2，所以q4=，所以q=．故选：A．【点评】：本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式的应用，比较基础．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设，则__________．（用数字作答）参考答案：11212. 若不等式组表示的平面区域是面积为的三角形，则m的值．参考答案：【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用三角形的面积，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，若对应的区域为三角形，则m＜2，由，得，即C（m，m），由，得，即B（m，），由，得，即A（2，2），则三角形ABC的面积S=×（﹣m）×（2﹣m）=，即（2﹣m）2=，解得2﹣m=，或2﹣m=﹣，即m=或m=（舍），故答案为：；【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合作出对应的图象，利用三角形的面积公式是解决本题的关键．13. 已知函数,记,,若,则的最大值为________________.参考答案：514. 曲线C:f(x)＝sin x+e x+2在x＝0处的切线方程为__________．参考答案：15. 已知曲线C的极坐标方程为，则C与极轴的交点到极点的距离是。

2020年江苏省徐州市高考数学考前试卷(5月份) (含答案解析)

2020年江苏省徐州市高考数学考前试卷（5月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={x ∈Z|x 2−3x −4≤0}，B ={x|0<lnx <2}，则A ∩B 的真子集的个数为______．2. 复数z =1+2i i (i 为虚数单位)的虚部是________．3. 一组数据1，3，2的方差为__ ．4. 某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x 值为31，则a 等于________．5. 从大小相同的红、黄、白、紫、粉5个小球中任选2个，则取出的两个小球中没有红色的概率为_________．6. 已知双曲线ax 2−y 2=1的一条渐近线方程为y =x ，则实数a 的值为______．7. 已知函数f(x)=(e x +a e x )x 3为偶函数，则实数a = ______ ．8. 已知两个单位向量a ⃗ 、b ⃗ 的夹角为π3，则(2a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=______．9. 函数f(x)=1−3sin(2x +π6)的值域为______．10. 已知数列{a n }的前n 项积为T n =5n 2，n ∈N ∗，则a 2009=____。

11. 从轴截面是边长为2的正方形的圆柱中挖去一个同底等高的圆锥，则余下部分的体积是_____．12. 设函数f(x)={−x 2+2x,x ⩾0−2x,x <0，若方程f(x)−kx =3有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是____________．13. 等腰三角形ABC 中，AB =AC =4√2，∠B =45°，P 为线段AB 中点，则CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______ ．14. 已知实数a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，c ≠0，则b a−2c 的取值范围为______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15. 在△ABC 中，已知AB =2，AC =3，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−3． (1)求BC 的长；(2)求sin(C +π4)的值．16.在正三棱柱ABC−A′B′C′中，D、E、F分别为棱BC，A′A，AC的中点．(1)求证：平面AB′D⊥平面BCC′B′；(2)求证：EF//平面AB′D．17.如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A,B两地，A地位于东西方向的直线MN上的陆地处，B地位于海上一个灯塔处，在A地用测角器测得∠BAN=π4，在A地正西方向4km的点C处，用测角器测得tan∠BCN=3.拟定铺设方案如下：在岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设．预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km和4万元/km，设∠BPN=θ，θ∈(π4,π2)，铺设电缆的总费用为f(θ)万元．(1)求函数f(θ)的解析式；(2)试问点P选在何处时，铺设的总费用最少，并说明理由．18.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1(−√3,0)，且过点P(√32,√134).(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知A1，A2分别为椭圆C的左、右顶点，Q为直线x=1上任意一点，直线A1Q，A2Q分别交椭圆C于不同的两点M，N.求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标．19.已知函数f(x)=x3−2ax2+x+1，(1)若函数f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为4，求实数a的值；(2)若函数g(x)=f′(x)在区间(1,2)上存在零点，求a的取值范围．20.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2+a4=6，a6=S3．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)若k∈N∗，且a k，a3k，S2k成等比数列，求k的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：7解析：解：A={x∈Z|−1≤x≤4}={−1,0，1，2，3，4}，B={x|1<x<e2}；∴A∩B={2,3，4}；∴A∩B的真子集的个数为：∁30+∁31+∁32=7个．故答案为：7．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可求出A∩B，从而得出A∩B的真子集的个数．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的单调性．2.答案：−1解析：【分析】本题考查复数的基本运算与复数的基本概念，考查计算能力．【解答】解：∵z=1+2ii =(1+2i)×(−i)i×(−i)=2−i，∴z的虚部为−1，故答案为−1．3.答案：23解析：【分析】本题考查了求数据平均数与方差的问题，解题时应根据平均数与方差的公式进行计算，是基础题．根据平均数与方差的公式，先计算数据的平均数，再求方差．【解答】解：数据1，3，2的平均数是x=1+3+23=2，∴它的方差是s2=13[(1−22+(3−2)2+(2−2)2]=23．故答案为23．4.答案：3 解析：本题考查了循环结构的程序框图，属于基础题．直到4≤3不成立，输出x，即8a+7=31，得a=3．【解答】解：第一次循环：x=2a+1，n=2；第二次循环：x=2(2a+1)+1=4a+3，n=3；第三次循环：x=2(4a+3)+1=8a+7，n=4．因为4≤3不成立，所以输出x，即8a+7=31，得a=3．故答案为3．5.答案：35解析：【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．基本事件总数n=C52=10，取出的两个小球中没有红色球包含的基本事件个数为m=C42=6，由此能求得取出的两个小球中没有红色的概率．【解答】解：从大小相同的红、黄、白、紫、粉5个小球中任选2个，基本事件总数n=C52=10，取出的两个小球中没有红色球包含的基本事件个数m=C42=6，∴取出的两个小球中没有红色的概率为p=mn =610=35．故答案为35．6.答案：1解析：解：∵双曲线ax2−y2=1的渐近线方程为y=±√ax，又已知一条渐近线方程为y=x，∴√a=1，a=1，故答案为：1．根据双曲线的方程求得渐近线方程为y=±√ax，求得a值．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得渐近线方程为y=±√ax，是解题的关键．解析：解：函数的定义域为R，若函数f(x)是偶函数，则g(x)=e x+ae x是奇函数，则f(0)=0，即f(0)=1+a=0，则a=−1，故答案为：−1．根据函数奇偶性的定义，结合奇函数f(0)=0进行求解即可．本题主要考查函数奇偶性的应用，根据奇函数的性质，利用f(0)=0进是解决本题的关键．比较基础．8.答案：12解析：【分析】直接利用向量的数量积的运算法则求解即可．本题考查平面向量数量积的应用，属于基础题．【解答】解：两个单位向量a⃗、b⃗ 的夹角为π3，则(2a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=2a⃗2−a⃗⋅b⃗ −b⃗ 2=2−12−1=12，故答案为12．9.答案：[−2,4]解析：解：函数f(x)=1−3sin(2x+π6)，∵−3≤3sin(2x+π6)≤3．∴−2≤f(x)≤4．故答案为[−2,4]．根据三角函数的性质即可求解值域．本题考查了正弦函数的图象及性质，最值的求法．属于基础题．10.答案：54017解析：本题主要考查数列的递推公式求通项公式，属于基础题．根据前n项积为T n=5n2可得a2009=T2009T2008=520092520082=54017即可求解．答案：解：∵数列{a n}的前n项积为T n=5n2，所以a2009=T2009T2008=520092520082=54017．故答案为：54017．11.答案：43π解析：【分析】本题主要考查了圆柱，圆锥的体积，属于中档题.先求出圆柱的底面半径，高，再求得体积，圆锥体积，可得结果．【解答】解：轴截面是边长为2的正方形，故圆柱的底面直径为2，高为2，圆柱的底面半径为1，体积为V=π×12×2=2π，圆锥的底面半径为1，高为2，体积为V1=13×π×12×2=23π，故余下部分体积为2π−23π=43π．故答案为43π．12.答案：(−2,2−2√3)解析：【分析】本题考查函数与方程的综合应用，中档题把方程根的个数问题转化成函数交点问题，作出两个函数图像，运用数形结合方法求解解：画出函数f(x)的图象，如图所示；若f(x)=kx+3恰有三个不相等的实数解，则f(x)的图象与y=kx+3有3个交点；当函数f(x)=−x2+2x与y=kx+3相切时，即−x2+2x=kx+3，令Δ=(2−k)2−12=0，解得k=2−2√3．此时f(x)的图象与y=kx+3有2个交点当直线y=−2x与y=kx+3平行时有2个交点，则f(x)的图象与y=kx+3有3个交点，只要k∈(−2,2−2√3).故答案为：(−2,2−2√3).13.答案：−48解析：【分析】本题考查了向量的坐标运算和数量积运算，属于基础题．由已知建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和数量积运算即可得出．【解答】解：∵AB=AC，∠B=45°，∴∠ACB=45°，∴∠A=90°．建立如图所示坐标系，C(4√2,0)，A(0,0)，B(0,4√2)，P(0,2√2)．∴CP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4√2,2√2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4√2,−4√2)． ∴CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4√2×4√2−2√2×4√2=−32−16=−48．故答案为：−48．14.答案：[−√33,√33]解析：【分析】本题考查了三角函数换元法、直线的斜率计算公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．实数a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，c ≠0，化为(a c )2+(b c )2=1，令a c =cosθ，b c =sinθ，θ∈[0,2π).可得k =b a−2c =b c a c −2=sinθcosθ−2，表示点P(2,0)与圆x 2+y 2=1上的点连线的在的斜率．利用直线与圆的位置关系即可得出．【解答】解：∵实数a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，c ≠0，∴(a c )2+(b c )2=1，令x =a c =cosθ，y =b c=sinθ，θ∈[0,2π)． ∴k =b a−2c =b c a c −2=sinθcosθ−2，表示点P(2,0)与圆x 2+y 2=1上的点连线的直线的斜率．设直线l ：y =k(x −2)，则√1+k 2≤1，化为k 2≤13，解得−√33≤k ≤√33． ∴b a−2c 的取值范围为[−√33,√33]．故答案为：[−√33,√33]． 15.答案：(本题满分为14分)解：(1)∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⋅CA ⋅(−cosA)=2×3⋅(−cosA)=−3， ∴cosA =12，又∵A ∈(0,π)，∴A =π3，…(2分) 由余弦定理得BC =√AB 2+AC 2−2AB ⋅ACcos π3…(4分) =√7…(6分)(2)解法一：由正弦定理得BC sin60=AB sinC ，即sinC =2×√32√7=√217.…(8分) 因为AB <BC 所以C <A 即角C 为锐角，…(10分)所以cosC =2C =2√77，…(11分) 所以sin(C +π4)=√22sinC +√22cosC =√22(sinC +cosC)…(12分)=√22×(√217+2√77)=√42+2√1414.…(14分) 解法二：由正弦定理得BC sin60∘=AB sinC 即sinC =2×√32√7=√217，…(8分) 再由余弦定理得cosC =AC 2+BC 2−AB 22⋅AC⋅BC =2√7)222×3×√7(10分) =2√77，…(11分) 所以sin(C +π4)=√22sinC +√22cosC =√22(sinC +cosC)…(12分) =√22×(√217+2√77)=√42+2√1414.…(14分)解析：(1)由题意利用平面向量数量积的运算可求cos A 的值，结合A ∈(0,π)，利用特殊角的三角函数值即可求得A 的值，进而利用余弦定理可求BC 的值．(2)解法一：由正弦定理可求sin C 的值，利用大边对大角，同角三角函数基本关系式可求cos C 的值，进而利用两角和的正弦函数公式即可计算得解．解法二：由正弦定理可求sin C 的值，再由余弦定理求得cos C 的值，进而利用两角和的正弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了平面向量数量积的运算，特殊角的三角函数值，余弦定理，正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.答案：证明：(1)∵BB′⊥平面ABC ，BB′⊂平面B′C′CB ，∴平面B′C′CB⊥平面ABC，∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC，又平面B′C′CB⊥平面ABC，平面B′C′CB∩平面ABC=BC，∴AD⊥平面B′C′CB，∵AD⊂平面AB′D，∴平面AB′D⊥平面BCC′B′．(2)取AB′中点M，连接EM，DM，DF．∵D、E、F、M分别为棱BC，A′A，AC，AB′的中点，∴DF=//12AB，EM=//12A′B′，∵AB=//A′B′，∴DF=//EM，∴四边形DFEM是平行四边形，∴EF//DM，又EF⊄平面AB′D，DM⊂平面AB′D．∴EF//平面AB′D．解析：本题考查了线面平行，面面垂直的判定，构造平行线是证明的关键，属于中档题．(1)由BB′⊥平面ABC可得BB′⊥AD，由正三角形ABC得出BC⊥AD，于是AD⊥平面BCC′B′，从而有平面AB′D⊥平面BCC′B′．(2)取AB′中点M，连接EM，DM，DF，则利用中位线定理可证四边形DFEM是平行四边形，于是EF//DM，于是EF//平面AB′D．17.答案：解：(1)过点B作MN的垂线，垂足为D，在中，∠BAD=π4，则BD=AD，在中，tan∠BCD=BDDC=3，所以DB=3CD，由于AC=4，所以BD−13BD=4，解得BD=6，由∠BPN=θ，则BP=6sinθ，DP=6tanθ，由AD=BD=6，得到AP=6−6tanθ，所以，其中θ∈(π4,π2 );(2)设ℎ(θ)=2−cosθsinθ，θ∈(π4,π2)，则，令ℎ′(θ)=0，得cosθ=12，所以θ=π3，当θ∈(π4,π3)时，ℎ′(θ)<0，θ∈(π3,π2)时，ℎ′(θ)>0，所以当θ=π3时，函数的极小值为ℎ(π3)=√3，所以f(θ)的最小值为12+12√3，此时AP=6−2√3，答：当点P选在距离A地6−2√3km处时，铺设的总费用最少，且为12+12√3万元．解析：本题考查解三角形的实际应用，导数在解决实际问题中的应用，属于中档题．(1)过B作MN的垂线，垂足为D，求得BD=6，再求得，即可得出f(θ)的解析式;(2)设，，利用导数即可得出其最小值，从而可得f(θ)的最小值．18.答案：解：(1)椭圆的一个焦点F1(−√3,0)，则另一个焦点为F2(√3,0)，由椭圆的定义知：PF1+PF2=2a，代入计算得a=2，又b2=a2−c2=1，所以椭圆C的标准方程为x24+y2=1;(2)证明：设Q(1,t)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，则直线A1Q的方程为y=t3(x+2)，与x24+y2=1联立，解得M(−8t2+184t2+9,12t4t2+9)，同理N(8t2−24t+1,4t4t+1)，所以直线MN的斜率为12t4t2+9−4t4t2+1−8t2+18 4t2+9−8t2−24t2+1=−2t4t2+3，所以直线MN的方程为y−12t4t2+9=−2t4t2+3(x−−8t2+184t2+9)，则y=−2t4t+3(x−4)，所以直线MN恒过定点，且定点坐标为(4,0)．解析：(1)由由椭圆的定义知：PF1+PF2=2a，代入计算得a=2，b2=a2−c2求得b的值，求得椭圆方程；(2)设Q(1,t)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，分别求出M，N的坐标，根据斜率公式和求出直线方程，则可得y=−2t4t+3(x−4)，即可求出定点坐标．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，直线方程，考查计算能力，属于中档题．19.答案：解：(1)∵f(x)=x3−2ax2+x+1，∴f′(x)=3x2−4ax+1，∵函数f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为4，∴f′(1)=3−4a+1=4，解得a=0．(2)g(x)=f′(x)=3x2−4ax+1，若g(x)=f′(x)在区间(1,2)上存在零点，即3x2−4ax+1=0在(1,2)上有解，即∵g(0)=1>0，若对称轴−−4a2×3=2a3<0，则函数g(x)在(1,2)上单调递增，不满足条件，若对称轴−−4a2×3=2a3>0，即a>0，要使g(x)=f′(x)在区间(1,2)上存在零点，则g(1)g(2)<0，或{1<2a 3<2g(1)>0,g(2)>0即(4−4a)(13−8a)<0，解得1<a <138，即 a ∈(1,138)．解析：(1)求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求实数a 的值；(2)若函数g(x)=f′(x)在区间(1,2)上存在零点，求a 的取值范围．本题主要考查导数的几何意义，以及函数根的存在性条件的应用，综合考查函数的性质． 20.答案：解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得：{a 1+d +a 1+3d =6a 1+5d =3a 1+3d，解得{a 1=1d =1． ∴{a n }的通项公式为a n =1+n −1=n ．(Ⅱ)由(Ⅰ)知S n =n(n+1)2，∵a k ，a 3k ，S 2k 成等比数列．∴a 3k 2=a k ⋅S 2k ，∴9k 2=k ⋅k(2k +1)，解得k =4．解析：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，根据等差数列的通项公式和求和公式，列出关于a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，即可得到所求通项；(Ⅱ)由等比数列的中项的性质及等差数列的通项公式和求和公式，可得9k 2=k ⋅k(2k +1)，解出k ．本题考查了等差数列的通项公式，以及求和公式，以及等比数列的中项的性质，考查了运算能力，属于中档题．。

2020年江苏省徐州市高考数学预测押题试卷(含答案解析)

由全国各地一线教师精心编制《高考终极预测押题卷》对近十年全国各地高考试题的全方位精确分析，把握命题规律，找出命题趋势。

全网首发！百位名师呕血专研，只为高考最后一搏！江苏省徐州市高考数学预测押题试卷一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．． 1．设集合{}2340A x x x =--≤，{}04B x x =≤≤，则A B =ð ▲ ． 2．复数i (1i)z =⋅+（为虚数单位）在复平面上对应的点位于第 ▲ 象限． 3．函数()lg(2)f x x =-的定义域为 ▲ ．4．甲、乙两个学习小组各有10名学生，他们在一次数学测验中成绩的茎叶图如图所示，则在这次测验中成绩较好的是 ▲ 组．5．已知某算法的伪代码如图所示，则可算得(1)(e)f f -+的值为 ▲ ． 6．一个袋中装有2只红球、3只绿球，从中随机抽取3只球，则恰有1只红球的概率是 ▲ ．7．已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长与侧棱长相等．蚂蚁甲从A 点沿表面经过棱1BB ，1CC 爬到点1A ，蚂蚁乙从B 点沿表面经过棱1CC 爬到点1A ．如图，设PAB α∠=，QBC β∠=，若两只蚂蚁各自爬过的路程最短，则αβ+= ▲ ．注意事项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分。

本试卷满分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上。

3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

4.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

（第5题图）Read xIf 0x > Then()ln f x x ← Else()2x f x ←End If（第7题图）ABCQ R A 1 PB 1C 1 乙53甲6789847456690294866431（第4题图）8．已知函数212,1,()e , 1x x x f x x -⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，则不等式()1f x >的解集是 ▲ ．9．若过点(3,4)P 的直线与圆22(2)(2)4x y -+-=相切，且与直线10ax y -+=垂直，则实数a 的值为 ▲ ．10．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>）的部分图象如图所示．若()1f α=，π(0,)3α∈，则sin 2α= ▲ ．11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a 和{}n S n +都是公差为(0)d d ≠的等差数列，则1a = ▲ ．12．已知平面向量a ，b ，e 满足||1=e ，1⋅=a e ，2⋅=b e ， ||2-=a b ，则⋅a b 的最小值为 ▲ ．13．已知11(,)A x y ，22(,)B x y 12()x x >是函数3()f x x x =-图象上的两个不同点，且在A ，B 两点处的切线互相平行，则12x x 的取值范围为 ▲ ． 14．设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，且11a ≥，2424a ≥，12168S ≤，则29a d -的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(tan tan ,3)A C =+m ，(tan tan 1,1)A C =-n ，且//m n ．（1）求角B ；（2）若2b =，求ABC Δ的面积的最大值．16．（本小题满分14分）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD DC CB a ===，o 60ABC ∠=．平面ACEF ⊥平面ABCD ，四边形ACEF 是矩形，AE a =，点M 在线段EF 上．x yO π37π123-（第10题图）（1）求证：BC ⊥平面ACEF ；（2）当FM 为何值时，//AM 平面BDE ？证明你的结论．17．（本小题满分14分）第十八届省运会将于2014年9月在徐州市举办．为营造优美的环境，举办方决定在某“葫芦”形花坛中建喷泉．如图，该花坛的边界是两个半径为10米的圆弧围成，两圆心1O 、2O 之间的距离为10米．（1）如图甲，在花坛中建矩形喷泉，四个顶点A ，B ，C ，D 均在圆弧上，12O O AB⊥于点M ．设2AO Mq ?，求矩形的宽AB 为多少时，可使喷泉ABCD 的面积最大；（2）如图乙，在花坛中间铺设一条宽为2米的观赏长廊以作休闲之用，则矩形喷泉变为两个全等的等腰三角形，其中NA NB =，24NO =米．若2[,]64AO M p pq ??，求喷泉的面积的取值范围．18．（本小题满分16分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 作直线与椭圆C 交于点M 、N ．（1）若椭圆C 的离心率为12，右准线的方程为4x =，M 为椭圆C 上顶点，直线交右准线于点P ，求11PM PN+的值；（2）当224a b +=时，设M 为椭圆C 上第一象限内的点，直线交y 轴于点Q ，11F M F Q ⊥，证明：点M 在定直线上．θO 1 O 2MBACD观赏长廊N （第17题图乙）M BACDθO 1（第17题图甲）O 2M BACDE（第16题图）F19．（本小题满分16分）在数列{}n a ，{}n b 中，已知12a =，14b =，且n a ，n b -，1n a +成等差数列，n b ，n a -，1n b +也成等差数列．（1）求证：{}n n a b +是等比数列；（2）设m 是不超过100的正整数，求使1144n m n m a m a a m a ++-+=-+成立的所有数对(,)m n ．20．（本小题满分16分）已知函数()ln ()f x a x x c x c =+--，0a <，0c >．（1）当34a =-，14c =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当12a c =+时，若1()4f x ≥对(,)x c ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设函数()f x 的图象在点11(,())P x f x 、22(,())Q x f x 两处的切线分别为1l 、2l ．若12ax =-，2x c =，且12l l ⊥，求实数c 的最小值．数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在答题．．．．．．．．．．．．纸．指定区域内作答．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A ．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）在ABC Δ中，23AB AC =，BM 是ABC ∠的平分线，AMC Δ的外接圆交BC 边于点N ．求证：32CN AM =．B ．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵13a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征值13λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ．（1）求,a b 的值；（2）求曲线22:4131C x xy y ++=在M 对应的变换作用下的新曲线的方程．C ．选修4-4:坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线的参数方程为22,x t y t =-⎧⎨=⎩（为参数），曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．若直线与曲线C 交于A 、B 两点，试求线段AB 的垂直平分线的极坐标方程．注意事项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共2页，均为非选择题(第21题～第23题)。

江苏省徐州市第一中学2020届高三数学下学期6月第一次适应性考试试题含解析

【详解】设
因为，，
所以，即，，，
所以，
因为，
所以，解得，，
故选：A。
【点睛】本题考查向量垂直的相关性质以及向量的坐标运算，若两向量垂直，则向量的乘积为 ,考查计算能力，体现了基础性，是中档题.
4.温度对许多化学反应的反应速率有非常大的影响。一般来说，温度每升高，化学反应的反应速率大约增加倍.瑞典科学家总结了大量化学反应的反应速率与温度之间关系的实验数据，得出一个结论：化学反应的速率常数与温度之间呈指数关系，并提出了相应的公式： ,式中为碰撞频率因子，为自然对数的底数，为活化能，为气体常数。通过公式，我们可以获得不同温度下化学反应的速率常数之间的关系.已知温度为时，化学反应的速率常数为；温度为时，化学反应的速率常数为 .则（ )
D. 点与点到平面的距离相等
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据锥体的体积公式可判断A选项的正误；假设，推导出平面，结合题意可判断B选项的正误；取的中点，计算出四边形的面积，可判断C选项的正误;证明出平面，可判断D选项的正误。
【详解】对于A选项，、分别为、的中点，则，且 ,
8。已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为4，渐近线方程为，点N在圆上，则的最小值为( )
A. B。 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】
求得双曲线的a，b，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值,连接CF2,交双曲线于M,圆于N，计算可得所求最小值．
【详解】由题意可得2a＝4,即a＝2，
渐近线方程为y＝± x，即有，
即b＝1，可得双曲线方程为 y2＝1，

2020年江苏省徐州中学、徐州一中高考数学模拟试卷(5月份)(含答案解析)

2020年江苏省徐州中学、徐州一中高考数学模拟试卷（5月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合，0，1，，则______．2.设复数i是虚数单位，且，则______．3.若一组样本数据21，19，x，20，18的平均数为20，则该组样本数据的方差为______．4.椭圆与双曲线有公共的焦点，则______．5.执行如图所示的伪代码，则输出的结果为______．6.把分别标有“诚”“信”“考”“试”的四张卡片随意的排成一排，则能使卡片从左到右可以念成“诚信考试”和“考试诚信”的概率是______．7.已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在半径为2的同一个球的球面上．则球的体积与圆柱的体积的比值为______．8.已知数列的前n项和为，且满足，______．9.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则______．10.如图，在平面四边形ABCD中，，，，点E在线段BC上，且，若，则的值为______．11.过直线l：上任意一点P作圆C：的一条切线，切点为A，若存在定点，使得恒成立，则______．12.设，，，则的最小值为______．13.函数的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为，，，，，，在点列中存在三个不同的点、、，使得是等腰直角三角形，将满足上述条件的值从小到大组成的数记为，则______．14.已知定义在R上的偶函数满足且当时，若对于任意，都有，则实数t的取值范围为______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．求B；若，的面积为，求的周长．16.如图，在三棱锥中，点M、N分别在棱AC、CD上，N为CD的中点．若M为AC的中点，求证：平面BMN；若平面平面BCD，，求证：．17.如图所示，一座小岛A距离海岸线上最近的点P的距离是2km，从点P沿海岸正东12km处有一城镇一年青人从小岛A出发，先驾驶小船到海岸线上的某点C处，再沿海岸线步行到城镇若，假设该年青人驾驶小船的平均速度为，步行速度为．Ⅰ试将该年青人从小岛A到城镇B的时间t表示成角的函数；Ⅱ该年青人欲使从小岛A到城镇B的时间t最小，请你告诉他角的值．18.已知椭圆C：的左右焦点分别为，，点P是椭圆C上一点，以为直径的圆E：过点．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ过点P且斜率大于0的直线与C的另一个交点为A，与直线的交点为B，过点且与垂直的直线与直线交于点D，求面积的最小值．19.已知函数的极大值为，其中为自然对数的底数．求实数k的值；若函数，对任意，恒成立．求实数a的取值范围；证明：．20.对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为P数列．若的前n项和，试判断是否是P数列，并说明理由；设数列，，，，是首项为、公差为d的等差数列，若该数列是P数列，求d的取值范围；设无穷数列是首项为a、公比为q的等比数列，有穷数列，是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为，，求是P数列时a与q 所满足的条件，并证明命题“若且，则不是P数列”．-------- 答案与解析 --------1.答案：解析：解：，0，1，，．故答案为：．进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：解析：解：，且，，得，解得或．．故答案为：．由已知利用复数代数形式的乘除运算可得，然后利用复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．3.答案：2解析：解：数据21，19，x，20，18的平均数为，解得；所以该组样本数据的方差为．故答案为：2．由平均数的定义求出x的值，再计算方差的大小．本题考查了平均数与方差的计算问题，是基础题．4.答案：4解析：解：双曲线的焦点为，由题意可得，得，则．故答案为：4．求得双曲线的焦点坐标，可得，解方程可得b的值．本题考查椭圆和双曲线的焦点坐标，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5.答案：15解析：解：依题意，第一次运行循环时，，满足，，；第二次运行循环时，，满足，，；第三次运行循环时，，满足，，；第四次运行循环时，，满足，，；循环结束，输出，故答案为：15．根据给出的算法语句的作用求解即可．本题考查了算法语句的理解和应用，考查分析和解决问题的能力，属于基础题．6.答案：解析：解：把分别标有“诚”“信”“考”“试”的四张卡片随意的排成一排，基本事件总数，能使卡片从左到右可以念成“诚信考试”和“考试诚信”包含的基本事件个数，则能使卡片从左到右可以念成“诚信考试”和“考试诚信”的概率是．故答案为：．基本事件总数，能使卡片从左到右可以念成“诚信考试”和“考试诚信”包含的基本事件个数，由此能求出能使卡片从左到右可以念成“诚信考试”和“考试诚信”的概率．本题考查概率的求法，考查查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.答案：解析：解：如图，外接球的体积，圆柱的底面直径，故底面半径，故圆柱体积故球的体积与圆柱的体积的比值为．故答案为：．画图分析可得，该球的直径与圆柱的底面直径和高构成直角三角形，进而求得圆柱的底面半径，进而求得球的体积与圆柱的体积的比值．本题主要考查了圆柱与外接球的关系，需要根据球的直径和圆柱的底面直径和高构成直角三角形进行求解．属于基础题．8.答案：解析：【分析】利用关系式得到，再利用累加及分组求和求出结果．本题考查数列的递推关系以及数列求和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．【解答】解：当时有得，当时，，又，得，整理得；于是得，得，得，，，；．故答案为：9.答案：解析：解：，由正弦定理可得，，整理可得，，由余弦定理可得，，，，则．故答案为：由已知结合正弦定理及余弦定理可求A，然后代入即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．10.答案：解析：解如图建立直角坐标系：设，则，，点E在线段BC上，且，所以，因为在中，，，所以，由题知，是等腰三角形．所以，所以，，，，，若，则，，解得，，所以．故答案为：．建立平面直角坐标系后，设后，用向量的坐标运算可得．本题考查了平面向量的基本运算，属中档题．11.答案：解析：解：设，由题意知B必在以P为圆心，PA为半径的圆上，为这些圆的公共点，因为，所以即，因为任意，恒成立，所以解得或，所以，故答案为：．设，B必在以P为圆心，PA为半径的圆上，为这些圆的公共点，恒成立，即任意，恒成立，所以，即可解得，，进而得到答案．本题考查直线与圆的位置关系，恒成立问题，属于难题．12.答案：解析：解：，，，则，，，，当且仅当时取等号，此时取得最小值．故答案为：．结合已知条件进行化简后，直接利用基本不等式即可求解．本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题．13.答案：解析：解：由，得，，由题意得，，，，，即，，，，由是等腰直角三角形，得，即，得，同理是等腰直角三角形得，得．同理是等腰直角三角形得，得从而有．则，故答案是：令，可求对称轴方程，进而可求，，，的坐标，由是等腰直角三角形可知直线的斜率之积为可求，进而可求的值．本题主要考查了正弦函数的对称性及直线垂直关系的应用，还考查了归纳推理的应用，属于知识的简单综合．14.答案：解析：解：因为令，则，即，由于时，所以，解得，即有当时，．因为，又因为为偶函数，所以，再根据，则，所以函数是周期为4的周期函数，当时，，所以，所以当时，．因为，所以，故，所以当时，，所以．作出函数的图象如图：由，得，对于任意成立当时，，解得，所以，即对于任意成立，当时，由得的最大值，由于在单调递减，所以，由得的最小值，由于在单调递增，所以，综上，t的取值范围是，故答案为：．先求得的值，由此求得a的值，证得时周期为4的函数，将转化为，根据函数周期性和对称性，将原式转化为，结合x的取值范围即可求得t的取值范围．本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．15.答案：解：，整理可得，，由，可得．，的面积为，，，由余弦定理，可得，解得，的周长．解析：由已知利用余弦定理可得，可求cos B的值，结合范围，可得B的值．由已知利用三角形的面积公式可求，进而利用余弦定理可求的值，即可求解的周长．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.答案：证明：在中，点M、N分别在棱AC、CD的中点，，平面BMN，平面BMN，平面BMN．如图，在平面ADB中，作，垂足为O，平面平面BCD，平面平面，平面ABD，平面BCD，平面BCD，，又，，平面ABD，平面ABD，．解析：推导出，由此能证明平面BMN．作，垂足为O，推导出平面BCD，从而，再由，得平面ABD，由此能证明．本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.答案：解：Ⅰ由题意知，，，，所以，，，所以t关于的函数为；Ⅱ由Ⅰ知，，令，则；解得，当且仅当时，等号成立；即时，所化时间t最小．解析：Ⅰ根据直角三角形的边角关系求出AC和BC的值，再求t关于的函数解析式；Ⅱ根据t的解析式，结合三角函数的性质求出t的最小值以及对应的值．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角函数图象与性质的问题，是中档题．18.答案：解：Ⅰ在圆E的方程中，令，得到：，所以，，又因为，所以P点坐标为，所以，则，，因此椭圆的方程为；Ⅱ设直线：，所以点B的坐标为，设，，将直线代入椭圆方程得：，所以，所以，直线的方程为，所以点D坐标为，所以，当且仅当，即时取等号，综上，面积的最小值．解析：Ⅰ根据题意求得椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义求得a和b的值，即可求得椭圆方程；Ⅱ设直线的方程，代入涂鸦方程，利用韦达定理求得A的横坐标，求得直线方程，求得D点坐标，利用三角形的面积公式及基本不等式即可求得面积的最小值．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理及基本不等式的应用，考查转化思想，属于中档题．19.答案：解：，当时，，单调递增，当时，，单调递减，的极大值为，；根据题意，对任意，都有，化简得，令，设，则，，只需，，当，时，，则，不合题意；当时，显然成立；当时，由，解得，由，解得，当时，单调递减，当时，单调递减，，即，解得；综上，实数a的取值范围为；证明：要证，只需证，化简得，只需证，设，，则，易知当时，递减，当时，递增，，由，则在递增，则，则，又由可知，故，成立，故原命题成立．解析：求导，得出函数的单调性情况，进而求得其极大值，结合题意可求得；依题意，在恒成立，令，设，，则恒成立，接下来分，及三种情形讨论即可得出结论；问题转化为证明，构造函数，，求出函数的最小值，函数的最大值，结合a的取值范围即可得证．本题考查利用导数研究函数的极值，以及不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想等数学思想，考查运算求解能力及推理论证能力，属于中档题．20.答案：解：，，当时，，故，那么当时，，符合题意，故数列是P数列；由题意知，该数列的前n项和为，由数列，，，，是P数列，可知，故公差，对满足，2，，9的任意n都成立，则，解得，故d的取值范围为；若是P数列，则，若，则，又由对一切正整数n都成立，可知，即对一切正整数n都成立，由，故，可得，；若，则，又由对一切正整数n都成立，可知，即对一切正整数n都成立，又当时，当时不成立，故有或，解得，当是P数列时，a与q满足的条件为或；假设是P数列，则由可知，，，且中每一项均为正数，若中的每一项都在中，则由这两数列是不同数列，可知；若中的每一项都在中，同理可得；若中至少有一项不在中且中至少有一项不在中，设，是将，中的公共项去掉之和剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为，，不妨设，中最大的项在中，设为，则，故，故总有与矛盾，故假设错误，原命题正确．解析：求出数列的通项，根据P数列的定义判断即可；由P数列的定义建立不等式，求解即可；通过反证法即可得出结论．本题考查数列的通项公式的求法，考查P数列的判断，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，是难题．。

2020届高考数学5月预测考试试题文(含解析)

其中和为奇数的情况包含 6 种：（1.2），（1，4），（2.3），（2.5），（3.4），（4.5）.
3 故满足题意的概率为 5 ，
故选：C.
【点睛】本题考查古典概型的概率求解，属简单题；注意列举的不重不漏.
7.
函数
f
x tan x
0, 0
2 与直线
y
1的两个相邻交点之间的距离为
T
2
，求出
2
，再由函数奇偶性，得到
π 6
，求得
f
x
tan
2x
6
，再由正切函数的性质，逐项判断，即可得出结果.
T 【详解】由题意，易得最小正周期为
2
，所以
2，
将
f
x 的图象向左平移
6
之后得到
y
tan
2x
3
，因为其图象关于原点对称，
所以
y
tan
2x
3
为奇函数，因此
3
k 2
运算，考查了运算能力，属于中档题.
12. 定义在 R 上的连续函数 f x，导函数为 f x，若对任意不等于 1的实数 x 均有
x 1 f
x
f x
0
成立.且
f
1 x
f
1 xe2x ，则下列命题中一定成立的
是（）
A. f 1 f 0
ef 2 f 0
C.
ef 2 f 1
B.
ef 2 f 0
D.
【答案】B
8 B. 9
【答案】A
【解析】
【分析】
根据算法和循环结构依次计算即可
3 C. 7
6 D. 7
S 0 1 1

江苏省徐州中学、徐州一中2020届高三五月联合考试(参考答案与讲评)

高三数学讲评（5-18）第1页共8页江苏省徐州中学、徐州一中2020届高三五月联合考试数学(考试时间：120分钟总分160分)2020年5月注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效。

一．填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．。

2019-2020学年江苏省徐州市高一(下)5月调研数学试卷(含答案)

2019-2020学年江苏省徐州市高一（下）5月调研数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）sin45°cos15°+cos45°sin15°的值为（）A．B．C．﹣D．2．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD1与B1C是（）A．异面直线B．平行直线C．相交直线D．相交且垂直的直线3．（5分）已知：α，β均为锐角，tanα＝，tanβ＝，则α+β＝（）A．B．C．D．4．（5分）在△ABC中，已知a＝6，b＝8，C＝60°，则△ABC的面积为（）A．24B．12C．6D．125．（5分）若α，β∈（0，π），cos（α﹣）＝﹣，sin（﹣β）＝，则sin＝（）A．B．﹣C．D．﹣6．（5分）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a，b，c，若b cos C+c cos B＝b，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形7．（5分）若tanα＝2，则2cos2α+sin2α＝（）A．B．C．D．8．（5分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，点F在棱P A上，PF＝λAF，若PC∥平面BDF，则λ的值为（）A．1B．C．3D．2二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（5分）下列各式中，值为的是（）A．2sin15°cos15°B．C．1﹣2sin215°D．10．（5分）根据下列条件解三角形，有两解的有（）A．已知a＝，b＝2，B＝45°B．已知a＝2，b＝，A＝45°C．已知b＝3，c＝，C＝60°D．已知a＝2，c＝4，A＝45°11．（5分）在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是（）A．E，F，G，H一定是各边的中点B．G，H一定是CD，DA的中点C．AE：EB＝AH：HD，且BF：FC＝DG：GCD．四边形EFGH是平行四边形或梯形12．（5分）在△ABC中，C＝120°，tan A+tan B＝，下列各式正确的是（）A．A+B＝2C B．tan（A+B）＝﹣C．tan A＝tan B D．cos B＝sin A三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知α为第二象限的角，sinα＝，则tan2α＝．14．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为．15．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则角B＝．16．（5分）已知：﹣＜α＜，cos（α+）＝，则cos（α﹣）＝．四、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）△ABC三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，且满足c sin A＝a cos C．（1）求角C的大小；（2）若b＝，c＝，求a．18．（12分）已知函数f（x）＝cos2x+sin x cos x﹣．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若x∈[，]，求函数f（x）的取值范围．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别为A1C1和BC的中点，M，N分别为A1B和A1C的中点．求证：（1）MN∥平面ABC；（2）EF∥平面AA1B1B．。

2020年高考数学模拟江苏省宿迁市、徐州市、淮安市、连云港市四市高考数学一模试卷含解析

2020年高考数学一模试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B＝．2．已知复数z满足z2＝﹣4，且z的虚部小于0，则z＝．3．若一组数据7，x，6，8，8的平均数为7，则该组数据的方差是．4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为．5．函数的定义域为．6．某学校高三年级有A，B两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为．7．若关于x的不等式x2﹣mx+3＜0的解集是（1，3），则实数m的值为．8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线y2＝2px 上，则实数p的值为．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a9＝8，S5＝﹣5，则S15的值为．10．已知函数的图象与函数y＝cos2x的图象相邻的三个交点分别是A，B，C，则△ABC的面积为．11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：x2+y2﹣4x﹣8y+12＝0，圆N与圆M外切于点（0，m），且过点（0，﹣2），则圆N的标准方程为．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x＝1对称，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣e ax（其中e是自然对数的底数），若f（2020﹣ln2）＝8，则实数a的值为．13．如图，在△ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，，则cos∠ADE 的最小值为．14．设函数f（x）＝|x3﹣ax﹣b|，x∈[﹣1，1]，其中a，b∈R．若f（x）≤M恒成立，则当M取得最小值时，a+b的值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AP＝AB，M，N分别为棱PB，PC的中点，平面PAB⊥平面PBC．（1）求证：BC∥平面AMN；（2）求证：平面AMN⊥平面PBC．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）若a＝5，，求b的值；（2）若，求tan2C的值．17．如图，在圆锥SO中，底面半径R为3，母线长l为5．用一个平行于底面的平面去截圆锥，截面圆的圆心为O1，半径为r．现要以截面圆为底面，圆锥底面圆心O为顶点挖去一个倒立的小圆锥，记小圆锥的体积为V．（1）将V表示成r的函数；（2）求小圆锥的体积V的最大值．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右顶点为A，过点A作直线l与圆O：x2+y2＝b2相切，与椭圆C交于另一点P，与右准线交于点Q．设直线l的斜率为k．（1）用k表示椭圆C的离心率；（2）若，求椭圆C的离心率．19．（16分）已知函数（a∈R）．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣1＝0，求a的值；（2）若f（x）的导函数f'（x）存在两个不相等的零点，求实数a的取值范围；（3）当a＝2时，是否存在整数λ，使得关于x的不等式f（x）≥λ恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，说明理由．20．（16分）已知数列{a n}的首项a1＝3，对任意的n∈N*，都有a n+1＝ka n﹣1（k≠0），数列{a n﹣1}是公比不为1的等比数列．（1）求实数k的值；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，求所有正整数m的值，使得恰好为数列{b n}中的项．数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．已知矩阵M＝的一个特征值为4，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）＝12，曲线C的参数方程为（θ为参数，θ∈R），在曲线C上求点M，使点M到l的距离最小，并求出最小值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知正数x，y，z满足x+y+z＝1，求++的最小值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C为菱形，∠BB1C1＝60°，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C．（1）求直线AC1与平面AA1B1B所成角的正弦值；（2）求二面角B﹣AC1﹣C的余弦值．25．已知n为给定的正整数，设，x∈R．（1）若n＝4，求a0，a1的值；（2）若，求的值．参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B＝（﹣1，2）．【分析】进行并集的运算即可．解：∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}＝（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．2．已知复数z满足z2＝﹣4，且z的虚部小于0，则z＝﹣2i．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出a，b．解：设z＝a+bi，（a，b∈R）．复数z满足z2＝﹣4，∴a2﹣b2+2abi＝﹣4，∴a2﹣b2＝﹣4，2ab＝0，且z的虚部小于0，∴a＝0，b＝﹣2．则z＝﹣2i．故答案为：﹣2i．3．若一组数据7，x，6，8，8的平均数为7，则该组数据的方差是．【分析】由平均数的定义列方程求出n的值，再计算这组数据的方差．解：由题意知，×（7+x+6+8+8）＝7，解得x＝6，计算该组数据的方差为S2＝×[（7﹣7）2+（6﹣7）2+（6﹣7）2+（8﹣7）2+（8﹣7）2]＝．故答案为：．4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为20 ．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解：模拟程序的运行，可得S＝0，I＝1满足条件I＜6，执行循环体，I＝2，S＝2满足条件I＜6，执行循环体，I＝3，S＝5满足条件I＜6，执行循环体，I＝4，S＝9满足条件I＜6，执行循环体，I＝5，S＝14满足条件I＜6，执行循环体，I＝6，S＝20此时，不满足条件I＜6，退出循环，输出S的值为20．故答案为：20．5．函数的定义域为[4，+∞）．．【分析】函数f（x）＝有意义，只需log2x﹣2≥0，且x＞0，解不等式即可得到所求定义域．解：函数f（x）＝有意义，只需log2x﹣2≥0，且x＞0，解得x≥4．则定义域为[4，+∞）．故答案为：[4，+∞）．6．某学校高三年级有A，B两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为．【分析】基本事件总数n＝23＝8，甲、乙两人不在同一教室上自习包含的基本事件个数m＝＝4，由此能求出甲、乙两人不在同一教室上自习的概率．解：某学校高三年级有A，B两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，基本事件总数n＝23＝8，甲、乙两人不在同一教室上自习包含的基本事件个数m＝＝4，∴甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为p＝＝＝．故答案为：．7．若关于x的不等式x2﹣mx+3＜0的解集是（1，3），则实数m的值为 4 ．【分析】利用不等式与对应方程的关系，和根与系数的关系，即可求得m的值．解：不等式x2﹣mx+3＜0的解集是（1，3），所以方程x2﹣mx+3＝0的解1和3，由根与系数的关系知，m＝1+3＝4．．故答案为：4．8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线y2＝2px 上，则实数p的值为．【分析】求出双曲线的渐近线方程，右准线方程，得到交点坐标代入抛物线方程求解即可．解：双曲线的右准线x＝，渐近线y＝x，双曲线的右准线与渐近线的交点（，），交点在抛物线y2＝2px上，可得：＝3p，解得p＝．故答案为：．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a9＝8，S5＝﹣5，则S15的值为135 ．【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式解答．解：由于a2+a9＝8，S5＝﹣5，所以．则．所以S15＝15×（﹣5）+×15×14×2＝135．故答案是：135．10．已知函数的图象与函数y＝cos2x的图象相邻的三个交点分别是A，B，C，则△ABC的面积为．【分析】根据函数相等，建立方程关系求出x的值，求出点的坐标，结合三角形的面积公式进行计算即可．解：由＝cos2x得tan2x＝，则2x＝kπ+，得x＝+，k∈Z，取相邻的三个k，k＝﹣1时，x＝﹣，2x＝﹣，此时y＝cos2x＝﹣，即A（﹣，﹣），k＝0时，x＝，2x＝，此时y＝cos2x＝，即B（，），k＝1时，x＝，2x＝，此时y＝cos2x＝﹣，即C（，﹣），则|AC|＝﹣（﹣）＝π，B到线段AC的距离h＝﹣（﹣）＝，则△ABC的面积S＝π×＝π，故答案为：π11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：x2+y2﹣4x﹣8y+12＝0，圆N与圆M外切于点（0，m），且过点（0，﹣2），则圆N的标准方程为（x+2）2+y2＝8 ．【分析】直接利用圆与圆的位置关系式的应用和相关的运算的应用求出圆的方程．解：已知圆M：x2+y2﹣4x﹣8y+12＝0，整理得：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝8，令y＝0，圆的方程转换为：y2﹣8y+12＝0，解得y＝2或6．由于圆N与圆M相切于（0，m）且过点（0，﹣2）．所以m＝2．即圆N经过点A（0，2），B（0，﹣2）．所以圆心在这两点连线的中垂线x轴上，x轴与MA的交点为圆心N．所以MA：y＝x+2．令y＝0，则x＝﹣2．即N（﹣2，0），R＝|NA＝2．所以圆N的标准方程为：（x+2）2+y2＝8．故答案为：（x+2）2+y2＝812．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x＝1对称，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣e ax（其中e是自然对数的底数），若f（2020﹣ln2）＝8，则实数a的值为 3 ．【分析】根据题意，分析可得f（x）是周期为4的周期函数，进而结合函数的奇偶性与周期性可得f（2020﹣ln2）＝f（﹣ln2）＝﹣f（ln2）＝﹣（﹣e x•ln2）＝8，计算可得答案．解：根据题意，f（x）的图象关于x＝1对称，所以f（1+x）＝f（1﹣x）又由f（x）是R上的奇函数，所以f（x+1）＝﹣f（x﹣1），则有f（x+2）＝﹣f（x），f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）．则f（x）是周期为4的函数，故f（2020﹣ln2）＝f（﹣ln2）＝﹣f（ln2）＝﹣（﹣e x•ln2）＝8，变形可得：2x＝8，解可得x＝3；故答案为：313．如图，在△ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，，则cos∠ADE 的最小值为．【分析】由D，E为三等分点可得相等的向量，，分别写出，，，用与∠ADE的边有关系的向量表示，再由均值不等式求出最小值．解：由D，E是BC上的两个三等分点可得，由图形可得＝＝﹣，＝＝2﹣，又因为即（﹣）＝2（2），整理可得：7＝，即7||•cos∠ADE＝||2+4||2，由基本不等式可得cos∠ADE＝≥＝，故cos∠ADE的最小值为：．故答案为：．14．设函数f（x）＝|x3﹣ax﹣b|，x∈[﹣1，1]，其中a，b∈R．若f（x）≤M恒成立，则当M取得最小值时，a+b的值为．【分析】构造函数g（x）＝x3﹣ax﹣b，可知该函数关于点（0，﹣b）对称，然后分a≤0、a≥3、0＜a＜3三种情况讨论，分析函数y＝g（x）在区间[﹣1，1]上的单调性，得出函数f（x）＝|g（x）|在区间[﹣1，1]上最值的可能取值，利用绝对值三角不等式可求出当M取得最小值时a+b的值．解：构造函数g（x）＝x3﹣ax﹣b，则f（x）＝|g（x）|，由于g（x）+g（﹣x）＝（x3﹣ax﹣b）+（﹣x3+ax﹣b）＝﹣2b，∴，函数y＝g（x）的图象关于点（0，﹣b）对称，且g'（x）＝3x2﹣a．①当a≤0时，g'（x）≥0，函数y＝g（x）在区间[﹣1，1]上单调递增，则，∴，此时，当a＝0，﹣1≤b≤1时，M取最小值1；②当a≥3时，对任意的x∈[﹣1，1]，g'（x）≤0，函数y＝g（x）在区间[﹣1，1]上单调递减，则，∴，此时，当a＝3，﹣2≤b≤2时，M取最小值2；③当0＜a＜3时，令g'（x）＝0，得，令，列表如下：x[﹣1，﹣t）﹣t（﹣t，t）t（t，1] g'（x）+ 0 ﹣0 +g（x）↗极大值↘极小值↗不妨设g（0）＝﹣b≥0，则b≤0，则，∴M≥max{f（1），f（t），f（﹣t），f（﹣1）}，∵g（﹣t）+g（t）＝2g（0）≥0，且g（t）＜g（﹣t），∴g（﹣t）≥|g（t）|＝f（t），∵g（﹣1）+g（1）＝2g（0）≥0，若g（﹣1）≥g（1），则g（﹣1）≥|g（1）|＝f（1），若g（﹣1）＜g（1），则g（1）＞0，但g（﹣t）＞g（﹣1），∵g（﹣t）﹣g（1）＝（2t3﹣b）﹣（1﹣a﹣b）＝2t3+a﹣1＝2t3+3t2﹣1＝（2t﹣1）（t+1）2，∴．当时，，当且仅当b＝0，时，即当，b＝0时，M取得最小值；当时，M≥g（﹣t）＝2t3﹣b≥2t3＞2．综上所述，当，b＝0时，M取得最小值，此时．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AP＝AB，M，N分别为棱PB，PC的中点，平面PAB⊥平面PBC．（1）求证：BC∥平面AMN；（2）求证：平面AMN⊥平面PBC．【分析】（1）线面平行的定理的应用，注意一定要有面内，面外的说明；（2）面面垂直定理的性质定理及判定定理的应用．【解答】证明：如图所示：（1）M，N分别为棱PB，PC的中点，∴MN∥BC，MN⊂AMN，BC⊄AMN，所以BC∥面AMN；（2）PA＝AB，点M为棱PB的中点，∴AM⊥PB，又平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，AM⊂PAB，AM⊥面PBC，又AM⊂AMN，∴平面AMN⊥平面PBC．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）若a＝5，，求b的值；（2）若，求tan2C的值．【分析】（1）结合已知，可利用余弦定理求出b；（2）由已知结合同角平方关系可求sin A，然后结合诱导公式及和差角公式可求cos C，sin C，再利用同角基本关系及二倍角正切公式可求．解：（1）在△ABC中，由余弦定理b2+c2﹣2bc cos A＝a2，得，即b2﹣4b﹣5＝0，解得b＝5或b＝﹣1（舍），所以b＝5．（2）由及0＜A＜π得，，所以，又因为0＜C＜π，所以，从而，所以．17．如图，在圆锥SO中，底面半径R为3，母线长l为5．用一个平行于底面的平面去截圆锥，截面圆的圆心为O1，半径为r．现要以截面圆为底面，圆锥底面圆心O为顶点挖去一个倒立的小圆锥，记小圆锥的体积为V．（1）将V表示成r的函数；（2）求小圆锥的体积V的最大值．【分析】（1）在△SAO中，，由△SNO1∽△SAO可知，，从而，，由此能将V表示成r的函数．（2）由，得，令V'（r）＝0，得r＝2，由此能求出小圆锥的体积V的最大值．解：（1）在△SAO中，，由△SNO1∽△SAO可知，，所以，所以，所以．（2）由（1）得，所以，令V'（r）＝0，得r＝2，当r∈（0，2）时，V'（r）＞0，所以V（r）在（0，2）上单调递增；当r∈（2，3）时，V'（r）＜0，所以V（r）在（2，3）上单调递减．所以当r＝2时，V（r）取得最大值．答：小圆锥的体积V的最大值为．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右顶点为A，过点A作直线l与圆O：x2+y2＝b2相切，与椭圆C交于另一点P，与右准线交于点Q．设直线l的斜率为k．（1）用k表示椭圆C的离心率；（2）若，求椭圆C的离心率．【分析】（1）写出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于半径可得．由此求得椭圆的离心率；（2）设椭圆C的焦距为2c，则右准线方程为，分别联立直线方程、直线与椭圆方程求得Q与P的坐标，结合，得a（a2k2﹣b2）＝2b2k2（a﹣c），由（1）知，，由此列等式求解椭圆C的离心率．解：（1）直线l的方程为y＝k（x﹣a），即kx﹣y﹣ak＝0，∵直线l与圆O：x2+y2＝b2相切，∴，故．∴椭圆C的离心率；（2）设椭圆C的焦距为2c，则右准线方程为，由，得，∴，由，得（b2+a2k2）x2﹣2a3k2x+a4k2﹣a2b2＝0，解得，则，∴，∵，∴，即a（a2k2﹣b2）＝2b2k2（a﹣c），由（1）知，，∴，整理得a＝2a﹣2c，即a＝2c，∴，故椭圆C的离心率为．19．（16分）已知函数（a∈R）．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣1＝0，求a的值；（2）若f（x）的导函数f'（x）存在两个不相等的零点，求实数a的取值范围；（3）当a＝2时，是否存在整数λ，使得关于x的不等式f（x）≥λ恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，说明理由．【分析】（1）求导，利用导数的几何意义即可求解；（2）因为存在两个不相等的零点，所以g（x）＝ax﹣1+lnx存在两个不相等的零点，则，再对a分情况讨论求出a的取值范围；（3）当a＝2时，，，设g （x）＝2x﹣1+lnx，则．所以g（x）单调递增，且，g（1）＝1＞0，所以存在使得g（x0）＝0，所以x＝x0时，f（x）取得极小值，也是最小值，此时，因为，所以f（x0）∈（﹣1，0），因为f（x）≥λ，且λ为整数，所以λ≤﹣1，即λ的最大值为﹣1．解：（1），因为曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣1＝0，所以f'（1）＝a﹣1＝﹣1，得a＝0；（2）因为存在两个不相等的零点，所以g（x）＝ax﹣1+lnx存在两个不相等的零点，则，①当a≥0时，g'（x）＞0，所以g（x）单调递增，至多有一个零点，②当a＜0时，因为当时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，当时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，所以时，，因为g（x）存在两个零点，所以，解得﹣e﹣2＜a＜0，因为﹣e﹣2＜a＜0，所以，因为g（1）＝a﹣1＜0，所以g（x）在上存在一个零点，因为﹣e﹣2＜a＜0，所以，因为，设，则y＝2lnt﹣t﹣1（t＞e2），因为，所以y＝2lnt﹣t﹣1（t＞e2）单调递减，所以y＜2ln（e2）﹣e2﹣1＝3﹣e2＜0，所以，所以g（x）在上存在一个零点，综上可知，实数a的取值范围为（﹣e﹣2，0）；（3）当a＝2时，，，设g（x）＝2x﹣1+lnx，则．所以g（x）单调递增，且，g（1）＝1＞0，所以存在使得g（x0）＝0，因为当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，所以f（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，所以f（x）单调递增，所以x＝x0时，f（x）取得极小值，也是最小值，此时，因为，所以f（x0）∈（﹣1，0），因为f（x）≥λ，且λ为整数，所以λ≤﹣1，即λ的最大值为﹣1．20．（16分）已知数列{a n}的首项a1＝3，对任意的n∈N*，都有a n+1＝ka n﹣1（k≠0），数列{a n﹣1}是公比不为1的等比数列．（1）求实数k的值；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，求所有正整数m的值，使得恰好为数列{b n}中的项．【分析】（1）利用递推关系a n+1＝ka n﹣1，取特殊值n＝1，2，3，从而得到a1＝3，a2＝3k﹣1，．因为数列{a n﹣1}是等比数列，利用等比中项公式，可得，进而算出k＝2或，然后检验即可得解；（2）由（1）可得，结合分组求和法算得S2m，S2m﹣1，并得知S2m＞0，S2m＞0．于是假设，则t＝1，3或t为偶数，然后分类﹣1讨论每种情形是否符合题意即可得解．解：（1）由a n+1＝ka n﹣1，a1＝3，可知a2＝3k﹣1，，∵{a n﹣1}为等比数列，∴，即（3k﹣2）2＝2×（3k2﹣k﹣2），整理，得3k2﹣10k+8＝0，解得k＝2或．①当时，，此时a n＝3，则a n﹣1＝2，∴数列{a n﹣1}的公比为1，不符合题意；②当k＝2时，a n+1﹣1＝2（a n﹣1），所以数列{a n﹣1}的公比，综上所述，实数k的值为2．（2）由（1）知，，∴．则＝（4﹣1）+（4﹣3）+...+[4﹣（2m﹣1）]+4+42+ (4)＝，．∵，∴，∵b2+b3＝5＞0，b1＝3＞0，∴S2m﹣1＞0，S2m＞0．设，则t＝1，3或t为偶数，因为S2m≠S2m﹣1，所以t＝3（即b3＝1）不可能，所以t＝1或t为偶数，①当时，，化简得6m2﹣24m+8＝﹣4m≤﹣4，即m2﹣4m+2≤0，所以m可取值为1，2，3，验证得，当m＝2时，成立．②当t为偶数时，，设，则，由①知m＞3，当m＝4时，；当m＞4时，c m+1﹣c m＞0，所以c4＞c5＜c6＜…，所以c m的最小值为，所以，令，则，即﹣3m2+12m﹣4＝0，而此方程无整数解．综上，正整数m的值为2．数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．已知矩阵M＝的一个特征值为4，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．【分析】写出矩阵M的特征多项式f（λ），根据题意知f（4）＝0求出t的值，写出矩阵M，再求它的逆矩阵．解：矩阵M的特征多项式为f（λ）＝＝（λ﹣2）（λ﹣1）﹣3t；因为矩阵M的一个特征值为4，所以方程f（λ）＝0有一根为4；即f（4）＝2×3﹣3t＝0，解得t＝2；所以M＝，设M﹣1＝，则MM﹣1＝＝，由，解得；由，解得；所以M﹣1＝．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）＝12，曲线C的参数方程为（θ为参数，θ∈R），在曲线C上求点M，使点M到l的距离最小，并求出最小值．【分析】首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）＝12，转换为直角坐标方程x+y﹣12＝0．曲线C的参数方程为（θ为参数，θ∈R），设点P（），所以点P（）到直线x+y﹣12＝0的距离d＝＝，当时，即M（3，1）到直线的距离的最小值为4．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知正数x，y，z满足x+y+z＝1，求++的最小值．【分析】根据题意，分析可得（x+2y）+（y+2x）+（z+2x）＝3（x+y）＝3，结合柯西不等式分析可得答案．解：根据题意，x+y+z＝1，则（x+2y）+（y+2x）+（z+2x）＝3（x+y）＝3；则有[（x+2y）+（y+2x）+（z+2x）]（++）≥[（×）+（×）+（×）]2＝9；当且仅当x＝y＝z＝时等号成立；变形可得：++≥3，即++的最小值为3．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C为菱形，∠BB1C1＝60°，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C．（1）求直线AC1与平面AA1B1B所成角的正弦值；（2）求二面角B﹣AC1﹣C的余弦值．【分析】（1）在平面BB1C1C内过点B作Bz⊥BB1，以点B为坐标原点，分别以BA，BB1所在的直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz，用向量法求出即可；（2）求出平面BAC1的一个法向量和平面ACC1的一个法向量，利用向量的夹角公式求出即可．解：（1）在正方形ABB1A1中，AB⊥BB1，因为平面AA1B1B⊥平面BB1C1C，平面AA1B1B∩平面BB1C1C＝BB1，AB⊂平面ABB1A1，所以AB⊥平面BB1C1C，在平面BB1C1C内过点B作Bz⊥BB1，以点B为坐标原点，分别以BA，BB1所在的直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz，设A（2，0，0），则B1（0，2，0）．在菱形BB1C1C中，∠BB1C1＝60°，C（0，﹣1，），C1（0，1，），，平面AA1B1B的一个法向量为，则由cos＝＝＝，故线AC1与平面AA1B1B所成角的正弦值为；（2）设平面BAC1的一个法向量为，，由，得，故，设平面ACC1的一个法向量，，，由，得，故，由cos＝，故二面角B﹣AC1﹣C的余弦值为．25．已知n为给定的正整数，设，x∈R．（1）若n＝4，求a0，a1的值；（2）若，求的值．【分析】（1）利用二项式展开式公式计算n＝4时a0和a1的值；（2）由x＝写出a k x k，利用k＝n，讨论n＝1和n≥2时，计算（n﹣k）•a k•x k的值即可．解：（1）因为n＝4，所以a0＝•＝，a1＝•＝；（2）当x＝时，a k x k＝••，又因为k＝k•＝n•＝n，当n＝1时，（n﹣k）a k x k＝•＝；当n≥2时，（n﹣k）•a k•x k＝（n﹣k）•••＝n﹣k＝n﹣n＝n﹣n＝n﹣n＝n，当n＝1时，也符合．所以（n﹣k）a k x k的值为n．。

2020年江苏省高考数学模拟试卷5套(附答案解析)

高考数学模拟试卷一二总分题号得分一、填空题（本大题共14 小题，共70.0 分）1.集合A={1，2}，B={2，3}，则A∪B=______．2.已知复数z=i（1+i），其中i是虚数单位，则复数z的虚部是______．3.如图是一个算法的流程图，则输出的S的值是______．4.袋中装有3 个红球，2 个白球，除颜色外其余均相同，现从中任意摸出2 个小球，则摸出的两球颜色不同的概率为______．5.某学校组织部分学生参加英语口语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若不低于60 分的人数是35 人，则参加英语口语测试学生人数是______．的终边经过点6.在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作角α，已知角P（-2，1），则tanα的值是______．7.设正项数列{a}为等差数列，S为数列{a}的前n项和，已知a2-a=9，S-2a=2，n n n 2 3 4 4 则a10=______．8.已知函数，且f（3）=1，则实数a的值是______．9. 在平面直角坐标系 xOy 中，F ，F 分别是椭圆（a ＞b ＞0）的左、右焦点，1 2 椭圆上一点 P 满足 PF ⊥F F ，若三角形 PF F 为等腰直角三角形，则该椭圆的离 2 12 1 2 心率是______．10. 已知球 O 的半径 R = ，圆柱内接于球 O ，若圆柱的轴截面是一个正方形 ABCD ，则圆柱的表面积为______．11. 已知实数 x ＞0，y ＞0，且 x +2y =xy ，则 x +y 的最小值是______．12. 已知直线的值为______．13. 如图，在△ABC 中，已知 AC =4，AB =3，∠BAC =60°，且=8，则实数 λ 的值为______．与圆 O ：x 2+y 2=4 相交于 A ，B 两点，若 =0，则实数 m，若 14. 在△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边依次为 a ，b ，c ，a +b =2c cos B ，则的最小值为______．二、解答题（本大题共 6 小题，共 90.0 分）15. 如图，在三棱锥 P -ABC 中，平面 PAB ⊥平面 ABC ，PA ⊥PB ，M ，N 分别为 AB ，PA的中点．（1）求证：PB ∥平面 MNC ；（2）若 AC =BC ，求证：平面 PAC ⊥平面 MNC ．16. 已知在斜三角形 ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别是 a ，b ，c ，且 tan A +tan B -tan A tan B + =0，3a =b ．（1）若 a =1，求△ABC 的面积；（2）求 tan A 的值．17.华人著名建筑设计师贝津铭设计的“苏州博物馆”用中国元素和几何元素营造中国气度和内涵．其中一处平面图纸设计如图所示，在矩形ABCD中，阴影区域为墙体涂料部分，空白区域为墙体玻璃部分（边界面积忽略不计），点P，Q是矩形边长AB，CD的中点，且EF=2AE，设∠PEH=∠PFH=θ，θ∈（0，），PE=a（米）．（1）若a=5 米，用θ表示墙体的总面积为S（即矩形ABCD的面积），并求S的最大值；（2）若PQ=10 米，求墙体涂料部分（即阴影区域）面积的最大值．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的左右顶点分别为A、B，右准线方程为直线x= ，以右顶点B为圆心，半径为r（r＞0）的圆B交椭圆于点P，Q（点P位于x轴上方），直线AP与圆B相交于另一点C．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线OP与圆B相切，求圆B的标准方程；（3）若BP=PC，求直线AP的方程．19.已知函数f（x）=a ln x-x+1．（1）若函数f（x）在x=1 处取得极大值，求实数a的值；（2）若函数f（x）有唯一零点，求实数a的值；（3）若不等式对任意实数x＞0 恒成立，求实数a的取值范围．20.己知等比数列{a}首项a=1，公比为q，S为{a}的前n项和．数列{b}满足b=1，n 1 n n n 1且b=max{b+S，b+ ，…，b+ }，设C=（n-1）（b-b）．n 1 1 2 n-1 n n n-1（1）若公比q=1，求数列{b n}的通项公式；（2）若{a n}单调递增，①求证：单调递增；②求{C n}的前n项和；（3）数列中是否存在无穷等差子数列？若存在，求出所有满足条件q的值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】{1，2，3}【解析】解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}．故答案为：{1，2，3}由集合A与B，求出两集合的并集即可．此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2.【答案】1【解析】解：∵z=i（1+i）=-1+i，∴复数z的虚部是1．故答案为：1．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】9【解析】解：模拟程序的运行，可得a=1，s=0，n=1s=1，a=3满足条件n＜3，执行循环体，n=2，s=4，a=5满足条件n＜3，执行循环体，n=3，s=9，a=7此时，不满足条件n＜3，退出循环，输出s的值为9．故答案为：9．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4.【答案】【解析】解：从袋中任意地同时摸出两个球共C2=10 种情况，其中有C1C1=6 种情况5 3 2是两个球颜色不相同；由古典概型概率的定义可知：故其摸出的两球颜色不同的概率为= ；故答案为：利于分布的计数原理，先从袋中任意地同时摸出两个球共C52=10 种情况，再求其中有C1C1=6 种情况是两个球颜色不相同；由古典概型概率的定义可得．3 2本题考查古典概型的概率，分布和分类的计数原理，是基础题．5.【答案】100【解析】解：由频率分布直方图得不低于60 分的频率为：（0.020+0.015）×10=0.35，∵不低于60 分的人数是35 人，∴参加英语口语测试学生人数为：=100．故答案为：100．由频率分布直方图得不低于60 分的频率为0.35，再由不低于60 分的人数是35 人，能求出参加英语口语测试学生人数．本题考查参加英语口语测试学生人数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．6.【答案】-1的终边经过点P（-2，1），【解析】解：∵角∴tan（）=- ，= =-1，则tanα=tan（α+- ）=故答案为：-1根据三角函数的定义得tan（）=- ，然后利用两角和差的正切公式进行计算即可．本题主要考查三角函数值的计算，结合三角函数的定义以及两角和差的正切公式进行化简是解决本题的关键．7.【答案】28【解析】解：设正项等差数列{a}的首项为a，公差为d，n 1由a2-a=9，S-2a=2，2 3 4 4得，解得a1=1，d=3．∴a=a+9d=1+9×3=28．10 1故答案为：28．设正项等差数列{a}的首项为a，公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求解n 1可得首项与公差，再由等差数列的前n项和公式求解．本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列前n项和，是基础的计算题．8.【答案】-1【解析】解：∵函数，且f（3）=1，∴f（3）=f（1）=f（-1）=（）-1+a=1，解得a=-1．∴实数a的值是-1．故答案为：-1．推导出f（3）=f（1）=f（-1）=（）-1+a=1，由此能求出实数a的值．本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．9.【答案】-1【解析】【分析】本题考查了椭圆的简单性质，离心率的计算，属于中档题．计算 PF ，根据 PF =F F 列方程得出 a ，b ，c 的关系，从而得出椭圆的离心率．2 2 1 2 【解答】解：设 F 2（c ，0），把 x =c 代入椭圆方程可得 y =± ，∵PF ⊥F F ，∴PF = ， 2 1 2 2∵三角形 PF F 为等腰直角三角形，PF ⊥F F ， 1 2 2 12 ∴ =2c ，即 a 2-c 2-2ac =0，∴e 2+2e -1=0，解得：e = -1 或 e =-1- （舍）．故答案为： -1．10.【答案】6π【解析】解：作出轴截面如图，∵球 O 的半径 R = ，直径为，∴圆柱的高与底面直径为 2，圆柱的底面半径为 1，∴圆柱的表面积为 2×π×12+2π×1×2=6π．故答案为：6π．由题意画出图形，求出圆柱的高与底面直径，则答案可求．本题考查球内接圆柱表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题． 11.【答案】3+2【解析】解：x ＞0，y ＞0，且 x +2y =xy ，∴ ，∴x +y =（x +y ）（）=3+ ，即 y =1+ ，x =，当且仅当且时取等号，故答案为：3+2 由已知可得，．，从而有 x +y =（x +y ）（），展开后利用基本不等式可求．本题主要考查了利用 1 的代换配凑基本不等式的应用条件求解最值，属于基础试题． 12.【答案】±2【解析】解：根据题意，直线=0，则 OA 与 OB 垂直，△AOB 为等腰直角三角形，又由 O ：x 2+y 2=4，其圆心为（0，0），半径 r =2，则 O 到 AB 的距离 d = r = 与圆 O ：x 2+y 2=4 相交于 A ，B 两点，若，则有 d = = ，解可得 m =±2 ，故答案为：±2根据题意，由 =0，分析可得△AOB 为等腰直角三角形，由圆的方程分析圆心与半径，进而可得 O 到 AB 的距离 d = r = ，由点到直线的距离公式可得 d == ，解可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及向量数量积的计算以及性质，属于基础题． 13.【答案】【解析】解：因为，且 =8，所以（）• =8，所以（ +λ ）• =8，所以[（1-λ）所以（1-λ） ]• =8， 2=8，由 AC =4，AB =3，∠BAC =60°，所以| |=4，| |=3，所以 6（1-λ）+9λ=8，=6，所以故答案为：．由平面向量的线性运算及平面向量数量积的运算得：由， =8，所以（）• =8 ，所以（1-λ）=6，所以 2=8，由 AC =4，AB =3，∠BAC =60°，所以| |=4，| |=3，，得解．本题考查了平面向量的线性运算及平面向量数量积的运算，属中档题．14.【答案】【解析】解：∵a +b =2c cos B ，∴由正弦定理可得：sin A +sin B =2sin C cos B ，可得：sin B cos C +cos B sin C +sin B =2sin C cos B ，可得：sin B cos C +sin B =sin C cos B ，可得： sin B =sin C cos B -sin B cos C =sin （C -B ），∵B ，C ∈（0，π），B -C ∈（-π，π），∴B =C -B ，或 B =π-（C -B ），解得：C =2B ，或 C =π（舍去），∴B ∈（0，），∴= •= •= = = == ；使得分母最大时，所求有最小值．即：转换为求分母）-2cos3B+2cos B的最大值．令f（B）=-2cos3B+2cos B，B∈（0，），f′（B）=6cos2B sinB-2sin B=2sin B（3cos2B-1），B∈（0，），利用导函数求最值易知：在（0，B）时f′（B）＞0；在（B，）时，f′（B）＜0；∴在当cos2B= 时，函数f（B）=-2cos3B+2cos B有最大值，B∈（0，），即：cos2B= 时，cos B= 时，f（B）=-2cos3B+2cos B= 为最大值．故所求最小值为：，故答案为：，根据已知a+b=2c cos B由正弦定理化简，再化简利用三角函数求分母最大值即可．本题主要考察了正弦定理的应用，二倍角公式，两角和差公式，三角形内角和的应用，三角函数求最值，属于中档题．15.【答案】证明：（1）∵M，N分别为AB，PA的中点，∴MN∥PB，又MN⊂平面MNC，PB⊄平面MNC，∴PB∥平面MNC．（2）∵AC=BC，∴CM⊥AB，∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，CM⊂平面ABC，∴CM⊥平面PAB，∴CM⊥PA，∵PA⊥PB，PB∥MN，∴PA⊥MN，又MN⊂平面MNC，CM⊂平面MNC，MN∩CM=M，∴PA⊥平面MNC，又PA⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面MNC．【解析】（1）由中位线定理得MN∥PB，故而PB∥平面MNC；（2）证明CM⊥平面PAB可得CM⊥PA，再根据PA⊥PB得PA⊥MN，于是PA⊥平面MNC ，从而有平面PAC⊥平面MNC．本题考查了线面平行的判定定理，面面垂直的判定，属于中档题．16.【答案】解：（1）∵在斜三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且tan A+tan B- tan A tan B+ =0，a=1，∴3a=b=3，且tan（A+B）= = =- ，∴A+B= ，C= ．∴△ABC的面积为S= ab•sin C= •1•3•sin = ．= ，S= = •bc•sin A= •3••sin A，（2）由余弦定理可得c=∴sin A=．= = ，又A为锐角，故cos A=∴tan A= = ．【解析】（1）由题意利用两角和的正切公式求得tan（A+B）的值，可得A+B的值，进而得到C的值，由△ABC的面积为S= ab•sin C，计算求得结果．（2）先由余弦定理求得c，根据△ABC的面积求得sin A的值，可得cos A的值，进而求得tan A= 的值．本题主要考查两角和的正切公式、余弦定理、同角三角函数的基本关系，属于基础题．17.【答案】解：（1）∵PE=a=5，∠PEH=∠PFH=θ，∴PH=5sinθ，EH=5cosθ，则墙体的总面积为S=10cosθ（5sinθ+5cosθ）=25sin2θ+25（1+cos2θ）= （0＜θ＜）．当，即θ=时，S有最大值为；（2）当PQ=10 时，有5sinθ+5cosθ=10，即sinθ+cosθ=2，此时阴影区域的面积S1=5sinθ•5cosθ=25sinθcosθ．当且仅当sinθ=cosθ，即θ=时取最大值25．【解析】（1）由题意，PH=5sinθ，EH=5cosθ，可得墙体的总面积为S=10cosθ（5sinθ+5cosθ）=25sin2θ+25（1+cos2θ）= （0＜θ＜）．然后利用三角函数求最值；（2）当PQ=10 时，有5sinθ+5cosθ=10，即sinθ+cosθ=2，写出阴影部分面积，再由基本不等式求最值．本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了三角函数最值的求法，是中档题．18.【答案】解：（1）由题意可知，解得a=2，c= ，∴b2=a2-c2= ，∴椭圆的标准方程为：．（2）∵直线OP与圆B相切，∴OP⊥BP，且BP=r，由（1）可知OB=2，过P作PD⊥AB，垂足为D，则Rt△PBD∽RtOBP，∴，即，故BD= ，∴PD= ，OD=2- ，即P（2- ，），+ =1，把P代入椭圆方程可得：解得：r2=2，∴圆B的标准方程为（x-2）2+y2=2．（3）设直线AP的方程为y=k（x+2），显然k＞0，直线AP的一般式方程为：kx-y+2k=0，∴B到直线AP的距离d= ，联立方程组，消去y可得：（1+3k2）x2+12k2x+12k2-4=0，设P（x，y），则-2+x=- ，即x1= ，∴y1= ，1 1 1∴r=PB= = ，若BP=PC，则△PBC为等边三角形，故d= r，•，解得：k2= ，即k= ，即=∴直线AP的方程为：y= （x+2）．【解析】（1）根据离心率和准线方程列方程组得出a，b的值即可得出椭圆方程；（2）根据三角形相似列比例式，用r表示出P点坐标，代入椭圆方程求出r的值即可得出圆B的方程；（3）设直线AP的方程为y=k（x+2），求出P点坐标，计算PB与B到直线AP的距离d，根据△BPC为等边三角形列方程求出k的值即可得出直线AP的方程．本题考查了椭圆的性质，直线与圆、直线与椭圆的位置关系，属于中档题．19.【答案】解：（1），因为函数f（x）在x=1 处取得极大值，f′（1）=a-1=0，则a=1；所以函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，在（0，1）上单调递增；则当x=1 时，函数f（x）有极大值；所以a=1；（2）f（1）=0当a≤0时，f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立成立，则f（x）在（0，+∞）上单调递减；所以a≤0时满足函数f（x）有唯一零点；当a＞0 时，f（x）在（0，a）上单调递增，f（x）在（a，+∞）上单调递减；函数f（x）有唯一零点，则f（a）=0，即a=1；所以a≤0或a=1 时函数f（x）有唯一零点；（3）不等式对任意实数x＞0 恒成立；即不等式则对任意实数 x ＞0 恒成立；对任意实数 x ＞0 恒成立；或或或或则对任意实数 x ＞0 恒成立；对任意实数 x ＞0 恒成立；对任意实数 x ＞0 恒成立；故不满足条件；则则对于对于当 x =1 时，，设，则； ①当 a ≤0 时，h ′（x ）＜0，h （x ）在（0，+∞）上单调递减，且当 x →0 时，h （x ）→+∞，故不满足条件；②当 a ＞0 时，h （x ）在（0，2a ）上单调递增，在（2a ，+∞）上单调递减；所以 h （x ）max =h （2a ）=a ln2a -a ＜0，即；故实数 a 的取值范围：；【解析】（1）f ′（1）=a -1=0，则 a =1，再验证单调性，确定函数 f （x ）在 x =1 处取得极大值；（2）讨论函数的单调可知：a ≤0 时，f （x ）在（0，+∞）上单调递减，f （1）=0 满足，当 a ＞0 时，f （x ）在（0，a ）上单调递增，f （x ）在（a ，+∞）上单调递减，分析零点位置；（3）不等式对任意实数 x ＞0 恒成立，即或对任意实数 x ＞0 恒成立；再分别讨论两个函数的最值即可；本题考查函数的极值，零点问题，零点存在性定理，恒成立求参数问题，考查利用导数考查函数单调性，分析函数最值，属于难题．20.【答案】解：（1）a =1，S =n ．因为 b =max{b +S ，…，b + }≥b + =b n -1+1， n n n 1 1 n -1 n -1所以数列{b n }单调递增．所以 b +S ＜b + ＜…＜b + ，所以 b =b + =b +1，所以数列{b }是 1 为首项， 1 1 2 n -1n n -1 n -1 n 公差为 1 的等差数列．所以 b n =n ．（2）①因为{a }单调递增，所以 a =q ＞1，所以 S = ，． n 2n 令 f （x ）=，则 f '（x ）= ，令 g （x ）=q x （x ln q -1）+1，则 g '（x ）=q x x ln 2q．当 x ＞0 时，g '（x ）＞0，所以 g （x ）单调递增，g （x ）＞g （0）=0，所以 f '（x ）＞0，所以 f （x ）单调递增．所以数列{ }单调递增．②因为数列{ }单调递增，所以≥S1=1，所以b=max{b+S，…，b+ }≥b+ ＞b，n 1 1 n-1 n-1 n-1所以数列{b n}单调递增．所以b+S＜b+ ＜…＜b+ ，所以当n≥2时，b=b+ ⇒C=（n-1）（b-b）1 12 n-1 n n-1 n n n-1=S= ；C1=0．n-1所以C+C+…+C= = ．1 2 n（3）i．当q=1 时，=1，本身就是无穷等差数列．ii．当q=-1 时，是无穷等比数列．iii．当|q|∈（0，1）时，0＜＜．假设存在无穷等差子列{ }，其中=An+B．时，＜|B|，因此不存在无穷多项值为若A=0，因为≠0，所以B≠0，则当n＞B，矛盾；若A≠0，则存在正整数n，使得|An+B|＞，与＜≤矛盾．iv．当q＞1 时，由（2）知单调递增．令dn== ，假设存在无穷等差子列{ }，其中=An+B，则A＞0．d n-n= + + ，令h（x）=q x-2x（x+1），则h'（x）=q x ln q-4x-2，h''（x）=q x ln2q-4．所以存在正数N使得当n＞N时，d-n＞0，即d＞n．n n所以当n＞N且，n＞A时，＞= ≥dn＞n＞A，矛盾．v．当q＜-1 时，假设存在无穷等差子列{ }，其中=An+B．因为S2n＜0，S2n+1＞0，，同iv矛盾．所以当A＞0 时，考虑，当A＜0 时，考虑综上，q=±1．【解析】（1）最重要的是要比较max 中各个元素的大小，从而确定bn的递推公式；（2）可以借用函数的单调性来分析数列的单调性；（3）此数列的性质由公比q决定，|q|＜1 时是有界的，|q|＞1 时是增长很快的，远比等差数列增长来的快，因此都不满足．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及求和公式、数列的单调性等问题，运用了分析法、分类讨论等方法，属于难题．高考数学模拟试卷题号一二总分得分一、填空题（本大题共14 小题，共70.0 分）1.设集合A={x∈Z|x2-2x-3＜0}，B={-1，0，1，2}，则A∩B=______．2.在复平面内，复数对应的点位于第______象限．3.“a＞b”是“ln a＞ln b”的______条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”和“既不充分也不必要”）4.将某选手的7 个得分去掉1 个最高分，去掉1 个最低分，现场作的7 个分数的茎叶图如图，则5 个剩余分数的方差为______．5.某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4 个社团中随机选择2 个，则数学建模社团被选中的概率为______．6.执行如图所示的程序框图，输出的s值为______．7.已知焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且其焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的标准方程为______．8.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O，O，过直线O O的平面截该圆柱所得的1 2 1 2截面是面积为16 的正方形，则该圆柱的表面积为______．，=2 ，则9.平行四边形ABCD中，| |=6，| |=4，若点M，N满足：=3=______．10.若函数f（x）=cos x-sin x在[-a，a]是减函数，则a的最大值是______．11.已知函数f（x）= ，g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2 个零点，则实数a取值范围是______．12.已知公差为d等差数列{a}满足d＞0，且a是a，a的等比中项．记b=a（n∈N+n 2 1 4 n ），则对任意的正整数n均有+ +…+ ＜2，则公差d的取值范围是______ ．13.已知点Q（0，5），若P，R分别是⊙O：x2+y2=4 和直线y= 上的动点，则||的最小值为______14.用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，已知实数x，y满足0≤x≤y≤10，设M=max{xy，xy-x-y+1，x+y-2xy}，则M的最小值为______二、解答题（本大题共10 小题，共120.0 分）15.已知角α的顶点与原点0 重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．（1）求tan2α的值；（2）若角β满，求cosβ的值．16.如图，在斜三棱柱ABC-A B C中，侧面AA C C是菱1 1 1 1 1形，AC与A C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥1 1平面BCC1B1（1）求证：E是AB中点；（2）若AC⊥A B，求证：AC⊥BC．1 1 117.已知椭圆=1 的离心率为，以椭圆的2 个焦点与1 个短轴端点为顶点的三角形的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）如图，斜率为k的直线l过椭圆的右焦点F，且与椭圆交与A，B两点，以线段AB为直径的圆截直线x=1 所得的弦的长度为，求直线l的方程．18.如图（1）是某水上乐园拟开发水滑梯项目的效果图，考虑到空间和安全方面的原因，初步设计方案如下：如图（2），自直立于水面的空中平台CP的上端点P处分别向水池内的三个不同方向建水滑道PA，PM，PB，水滑道的下端点B，M，A 在同一条直线上，CM=10m，∠BCA=120°，CM平分∠BCA，假设水滑梯的滑道可以看成线段，B，M，A均在过C且与PC垂直的平面内，为了滑梯的安全性，设计要求S△PCB+S△PCA≤2S△ACB．（1）求滑梯的高PC的最大值；（2）现在开发商考虑把该水滑梯项目设计成室内游玩项目，且为保证该项目的趣味性，设计∠PBC=30°，求该滑梯装置（即图（2）中的几何体）的体积最小值．19.已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R），设直线l，l分别是曲线y=f（x1 2）的两条不同的切线．（1）若函数f（x）为奇函数，且当x=1 时f（x）有极小值为-4．（i）求a，b，c，d的值；（ii）若直线l亦与曲线y=f（x）相切，且三条不同的直线l，l，l交于点G（m，3 1 2 34），求实数m的取值范围；（2）若直线l∥l，直线l与曲线y=f（x）切于点B且交曲线y=f（x）于点D，直1 2 1线l2 和与曲线y=f（x）切于点C且交曲线y=f（x）于点A，记点A，B，C，D的横坐标分别为x，x，x，x，求（x-x）：（x-x）：（x-x）的值．A B C D A B B C C D20.如果数列{a}满足“对任意正整数i，j，i≠j，都存在正整数k，使得a=a a”，则n k i j称数列{a}具有“性质P”．已知数列{a}是无穷项的等差数列，公差为dn n（Ⅰ）若a=2，公差d=3，判断数列{a}是否具有“性质P”，并说明理由；1 n（Ⅱ）若数列{a}具有“性质P”，求证：a≥0且d≥0；n 1（Ⅲ）若数列{a}具有“性质P”，且存在正整数k，使得a=2018，这样的数列共n k有多少个？并说明理由．21.已知矩阵A= ，向量= ．求向量，使得A2 =b．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是方程是上运动，求△PAB的面积的最大值．（t为参数），圆C的参数（θ为参数），直线l与圆交于两个不同的点A，B，点P在圆C23.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AD=AP=4，AB=BC=2，M为PC的中点．（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；（2）点N在线段AD上，且AN=λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．24.如图，将一个正三角形ABC的每一边都n（n≥2）等分后，过各分点作其它两边的平行线形成一个三角形网．记f（n）为n等分后图中所有梯形的个数．（1）求f（2），f（3）的值；（2）求f（n）（n≥4）的表达式．答案和解析1.【答案】{0，1，2}【解析】解：A={0，1，2}；∴A∩B={0，1，2}．故答案为：{0，1，2}．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】一【解析】解：∵= ，∴复数对应的点的坐标为（，），位于第一象限．故答案为：一．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】必要不充分【解析】解：由“ln a＞ln b”⇒a＞b＞0，反之，由a＞b无法推出“ln a＞ln b”．∴a＞b”是“ln a＞ln b”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．由“ln a＞ln b”⇒a＞b＞0，反之，由a＞b无法推出“ln a＞ln b”．即可判断出关系．本题考查了对数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】6【解析】解：将某选手的7 个得分去掉1 个最高分，去掉1 个最低分，现场作的7 个分数的茎叶图如图，则5 个剩余分数的平均数为：= （87+90+91+93+94）=91，∴5 个剩余分数的方差为：S2= [（87-91）2+（90-91）2+（91-91）2+（93-91）2+（94-91）2]=6．故答案为：6．先求出则5 个剩余分数的平均数，由此能求出5 个剩余分数的方差．本题考查方差的求法，考查平均数、方差、茎叶图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，是基础题．基本事件总数n= =6，数学建模社团被选中包含的基本事件个数m= =3，由此能求出数学建模社团被选中的概率．【解答】解：某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4 个社团中随机选择2 个，基本事件总数n= =6，数学建模社团被选中包含的基本事件个数m= =3，∴数学建模社团被选中的概率为p= ．故答案为：．6.【答案】【解析】解：模拟程序的运行过程，可得：第一次运行：k=1 时，，第二次运行：k=2 时，，第三次运行：此时k=3 满足k≥3，退出循环，输出，故答案为：．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7.【答案】【解析】解：由题意可设此双曲线的标准方程为：（a＞0，b＞0）．双曲线的一条渐近线的倾斜角为，取焦点F（c，0），∵焦点到渐近线的距离为3，∴，c2=a2+b2，因此该双曲线的方程为：故答案为：，解得b=2，a=2 ，．．利用双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式即可得出．本题考查了双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，属于基本知识的考查．8.【答案】24π【解析】解：如图所示，设圆柱的底面圆半径为r，则高为h=2r，所以该圆柱的轴截面面积为（2r）2=16，解得r=2，∴该圆柱的表面积为S=2πr2+πr2h=2π•22+π•22•4=24π．故答案为：24π．根据题意求出圆柱的底面圆半径r和高h，再计算圆柱的表面积．本题考查了圆柱表面积和体积的计算问题，是基础题．9.【答案】9【解析】解：∵=3 ，=2 ，∴∴∴，，=-= ．= = ，= =．=（）•（- ）= - = 36- =9．故答案为：9．用，表示出，，在进行计算．本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．10.【答案】【解析】解：∵函数f（x）=cos x-sin x= cos（x+ ）在[-a，a]是减函数，∴-a+ ≥0，且a+ ≤π，求得a≤，故a的最大值为，故答案为：．由题意利用两角和的余弦公式，化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性求得a的最大值．本题主要考查两角和的余弦公式，余弦函数的单调性，属于基础题．11.【答案】[-1，+∞）【解析】解：由 g （x ）=0 得 f （x ）=-x -a ，作出函数 f （x ）和 y =-x -a 的图象如图：当直线 y =-x -a 的截距-a ≤1，即 a ≥-1 时，两个函数的图象都有 2 个交点，即函数 g （x ）存在 2 个零点，故实数 a 的取值范围是[-1，+∞），故答案为：[-1，+∞）．由 g （x ）=0 得 f （x ）=-x -a ，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键．12.【答案】[）【解析】解：因为 a 是 a 和 a 的等比中项，所以（a +d ）2=a （a +3d ），2 1 4 1 1 1 解得 a =d ＞0，所以 a =nd ，因此，b =2n d ， 1 n n 故，所以，故答案为：[因为 a 是 a 和 a 的等比中项，所以（a +d ）2=a （a +3d ），继而求得 a =d ，从而 ==，，）． 2 1 4 1 1 1 1的式子即可求得，列式求解即得到 d 的取值范围．本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用，属于难度较大的题目，在高考中常在选择填空压轴出现．13.【答案】6．【解析】因为 P 、Q 分别是⊙O ：x 2+y 2=4 和直线 y = 上的动点，所以设点 P （2cosθ，2sinθ），点 R （m ，），所以，，所以||=，表示的是圆 x 2+y 2=4 上一点与直线 y = 直线上一点距离的最小值，圆 x 2+y 2=4 是圆心为（0，0）半径为 2 的圆，直线一般式：3x -4y +40=0，最小值为：，故答案为：6．设出点 P 的坐标和点 R 的坐标，分别表示出其向量，利用坐标求其模长，可得表示为圆与直线上一点距离的问题，再利用点到直线的距离求得其最小值．本题考查了直线与圆的综合，会结合到参数方程和向量的坐标运算，模长的求法，属于较难题目．14.【答案】【解析】令 t =x +y ，则 t ∈[0，20]．i ．当 t ∈[ ， ]时，x +y -2xy ≥x +y - =t - ≥ ，所以 M ≥ ；ii ．当 t ∈[0，）∪（，20]时，|（xy -x -y +1）-xy |=|1-t |≥ ，所以当 max{xy ，xy -x -y +1}≤ 时，（xy -x -y +1）+xy ≤ +（ - ）= ．x +y -2xy =1-（xy -x -y +1）-xy ≥ ，所以 M ≥ ；当 x =y = 或 x =y = 时，M = ；故答案为：．当 x =y = 或 x =y = 时，M = ．我们针对 x ，y 的不同范围来证明 M 的值始终≥ ．观察发现：xy ，xy -x -y +1，x +y -2xy 三者的和为定值 1，所以理论上可以 M 的最小值可以达到，但是代入检验发现不成立．虽然题干中 x ，y 具有大小关系，实际上在各代数式中还是等价的，所以可以合理猜测 M 取最小值时，x =y ，从而把答案大致猜测出来，再辅以严密的证明即可．15.【答案】解：（1）角 a 的顶点与原点 0 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点∴tanα= = ，cosα=- ，sinα=- ， ∴tan2α==- ．（2）若角 β 满当 cos （α+β）= 时，cosβ=cos[（α+β）-α]=cos （α+β）cosα+sin （α+β）sinα =- ．当 cos （α+β）=- 时，cosβ=cos[（α+β）-α]=cos （α+β）cosα+sin （α+β）sinα =-= ．，=，∴cos （α+β）=±=± ．=++【解析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用二倍角公式求得tan2α的值．（2）利用同角三角函数的基本关系求得cos（α+β）的值，再利用两角差的余弦公式求得cosβ=cos[（α+β）-α]的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式、同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．16.【答案】证明：（1）连结BC1，取AB中点E′，∵侧面AA C C是菱形，AC与A C交于点O，1 1 1 1∴O为AC1 的中点，∵E′是AB的中点，∴OE′BC1；∵OE∥平面BCC B，平面平面1 1∴,∴E，E′重合，∴E是AB中点；（2）∵侧面AA C C是菱形，1 1∴AC⊥A C，1 1∵AC⊥A B，A C∩A B=A，A C⊂平面A BC，A B⊂平面A BC，1 1 1 1 1 1 1 1 1∴AC⊥平面A BC，1 1∵BC⊂平面A1BC，∴AC1⊥BC．【解析】【分析】本题考查的知识要点：线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理和性质定理，属于中档题．（1）利用同一法，首先通过连接对角线得到中点，进一步利用中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理，得到结论．（2）利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直．17.【答案】解：（1）由题意可得：= ，•2cb=2 ，a2=b2+c2．联立解得：a2=6，b2=2，c=2．∴椭圆的方程为：+ =1．（2）设直线l方程为：y=k（x-2），A（x，y），B（x，y），AB的中点为：M（x，1 12 2 0y0）．联立，得（1+3k2）x2-12k2x+12k2-6=0，∴x+x= ，，x x=1 2 1 2|AB|= |x-x|= = ．1 2∴x0= ，点M到直线x=1 的距离为d=|x0-1|=| -1|= ．以线段AB为直径的圆截直线x=1 所得的弦的长度为，得-d2= ，∴- = ，解得 k =±1．∴直线 l 的方程为：y =±（x -2）．【解析】（1）由题意可得： = ， •2cb =2 ，a 2=b 2+c 2．联立解得：a 2，b 2，c ．可得椭圆的方程．（2）设直线 l 方程为：y =k （x -2），A （x ，y ），B （x ，y ），AB 的中点为：M （x ， 1 1 2 2 0y 0）．与椭圆方程联立化为（1+3k 2）x 2-12k 2x +12k 2-6=0，|AB |=|x -x |=1 2．可得 x 0=，点 M 到直线 x =1 的距离为 d =|x 0-1|=．以线段 AB为直径的圆截直线 x =1 所得的弦的长度为，得 -d 2=，代入解出即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）设 CB =xm ，CA =ym ，PC =zm ，x ，y ，z ＞0．由题意可知：S △BCM +S △ACM =S △BCA ．由∠BCA =120°，CM 平分∠BCA ，可得： CB •CM sin60°+ CA •CM sin60°= CB •CA sin120°．化为：10x +10y =xy ．由 S △PCB +S △PCA ≤2S △ACB ．∴ xz + yz ≤2× xy sin120°，∴z ≤10 ． ∴滑梯的高 PC 的最大值为 10 m ．（2）∵滑道 PB 的坡度为 30°，∴z = x ．由（1）可得： x ≤10 ，即 x ≤30．又 10x +10y =xy ，∴y = ∴三棱锥 P -ABC 的体积 V （x ）= S △ABC •PC = × xy •sin120°•z = ∴V ′（x ）=可得：x =15 时，V 取得最小值，V （15）= ∴该滑梯装置（即图（2）中的几何体）的体积最小值为 562.5m 3．，10＜x ≤30．，10＜x ≤30．．=562.5．【解析】（1）设 CB =xm ，CA =ym ，PC =zm ，x ，y ，z ＞0．由题意可知：S △BCM +S △ACM =S △BCA ．由∠BCA =120°，CM 平分∠BCA ，可得： CB •CM sin60°+ CA •CM sin60°= CB •CA sin120° ．根据 S △PCB +S △PCA ≤2S △ACB ．即可得出滑梯的高 PC 的最大值为 10 m ．（2）由滑道 PB 的坡度为 30°，可得 z = x ．由（1）可得： x ≤10 ，即 x ≤30．又 10x +10y =xy ，可得 y = ，10＜x ≤30．三棱锥 P -ABC 的体积 V （x ）= S △ABC •PC =，10＜x ≤30．利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了三棱锥的体积计算公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不。

徐州市2020届高考数学考前模拟检测卷附答案

徐州市 2019~2020 学年度高三年级考前模拟检测数学Ⅰ注意事项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共 4页，包含填空题（第1题～第 14题）、解答题（第15题～第 20题）两部分。

本试卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。

2. 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在试卷及答题纸上。

3. 作答时必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

4. 如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

参考公式：圆锥的体积 V 1Sh ，其中 S 是圆锥的底面圆面积， h 是高．3一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，共 70 分．请把答案直接填写在答题．卡．相．应．位．置．上．．1．已知集合 A {0,9} ，B {1,2,9} ，则集合 AU B 中的元素个数为 ▲ ．2．复数 z （4 2i ）（1 i ）（ i 为虚数单位）的实部为 ▲ ．3．从参加疫情防控知识竞赛的学生中抽出 60 名学生，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图所示，则这 60 名学生中成绩在区间 [79.5,89.5）的人数为 ▲ ．（第 17 题）4．执行如图所示的算法流程图，则输出的结果为▲5．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具）,频率第 4 题）先后抛掷两次，则两次点数之和大于10 的概率为▲2x 26．在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线y 21的一个焦点为 (2,0) ，则该双曲线的 m9．已知公差不为 0的等差数列 { a n } ，其前 n 项和为 S n ，首项 a 1 2，且 a 1， a 2，a 4成等比数列，则 S 7的值为 ▲π310．已知函数 f(x) sin(x)， x (0, π) ，若函数 g(x) 3f(x) 2的两个零点分别是 62x 1, x 2 ，则 g(x 1 x 2) 的值为 ▲ ．log 2(x 1),x ≥ 0,11．设函数 f (x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x) 2则 g ［f( 7)］的值g(x) ,x 0, 为▲ ．12．在平面直角坐标系 xOy 中，若圆 C 1:x 2y 22y 0与圆 C 2 :x 2y 2ax 2 3ay 0上分别存在点 P ， Q ，使△POQ 为以 O 为直角顶点的等腰直角三角形，且斜边长为 2 2，则实数 a 的值为 ▲12313．若△ ABC 的内角满足，则 cosC 的最小值为 ▲tanA tanB tanC二、解答题：本大题共 6小题，共字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分 14分)如图，在三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中，侧面 ABB 1A 1 是棱 AB ， BC 的中点．求证：(1)A 1C 1 ∥平面B 1EF ；(2) AC B 1E ．离心率为 ▲ ．uuur uuur 7．已知 AB (2,3) ， AC uuur ( 1,m) ，若 AB uuurBC ，则实数 m 的值为 ▲8．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 4，面积为 4π的扇形，则该圆锥的体积为 ▲14．若函数 f(x) |xlnx a| a ， x(0,1］的最大值为 0，则实数 a 的最大值为F 分别90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答 . 解答时应写出文数学I 试卷第 2 页(共12 页)16．（本小题满分 14 分）1）求 sinB 的值； 2）求 △ ABC 的面积．17．（本小题满分 14 分）如图，某市地铁施工队在自点 M 向点 N 直线掘进的过程中，因发现一地下古城（如图中正方形 ABCD 所示区域）而被迫改道．原定的改道计划为：以 M 点向南， N 点向西的交汇点 O 为圆心， OM 为半径做圆弧 MN ，将MN 作为新的线路，但由于弧线施工难1ON 的距离分别为千米和 1千米， AB // ON ，且 AB 1千米，记 PON 21）求 sin 的取值范围；2）已知弧形线路 MP 的造价与弧长成正比，比例系数为的平方成正比，比例系数为 a ，当 θ为多少时，总造价最少？如图，在 △ABC 中，AC 6 ，D 为 AB 边上一点， CD AD 2 ，且 cos BCD 6 ．度大，于是又决定自 P 点起，改为直道 PN ．已知 ON OM3千米，点 A 到 OM ，3a ，直道 PN 的造价与长度第 16 题）东18．本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：x 2 21（a b 0）的右焦点为 F ， ab左顶点为 A ，下顶点为 B ，连结 BF 并延长交椭圆于点离心率为 e ．19．（本小题满分 16 分）已知函数 f （x ） e x x 2ax ， e 是自然对数的底数， a R ．（1）当 a 1时，求曲线 y f （x ）在点（0, f （0））处的切线方程；（2）若函数 f （ x ）在[1,2] 上单调递增，求 a 的取值范围；（3）若存在正实数 b ，使得对任意的 x （0,b ），总有 f （x ） x 21，求a 的取值范围．20．（本小题满分 16 分）已知数列 {a n }满足a 1 6，a 23，a n a n 3 a n 1 a n 2，n N（1）若 a 3 4，求 a 4， a 5的值；（2）证明：对任意正实数 m ，{a 2n ma 2n 1}成等差数列；（3）若 a n a n 1（n N *），a 3 a 4 33 ，求数列 {a n } 的通项公式．徐州市 2019~2020 学年度高三年级考前模拟检测2y 22P ，连结 PA ，AB ．记椭圆的1）若 e 2）若直线数学Ⅱ（附加题）21．［选做题］本题包括A、B、C 三小题，请．选．定．其．中．两．题．，并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．［选修 4 2：矩阵与变换］（本小题满分10 分）3a已知矩阵 A ，点 M （1,1）在矩阵A对应的变换作用下变为点 N （4,4）．b21）求 a ， b 的值；2）求矩阵A 的特征值．B．［选修 4 4：坐标系与参数方程］（本小题满分10 分）在极坐标系中，已知两点 A（4, π）， B（2, π）．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴62建立平面直角坐标系 xOy ，直线 l 的参数方程为x 2t,y 3t 2（t为参数）（1）求A，B 两点间的距离；（2）求点A 到直线 l 的距离．C．[选修 4 5：不等式选讲] （本小题满分10 分）设函数 f (x) |x 1| ．1）解不等式 f （x） 2 ；1f（x） f （ax）（a 1），若 g（x）的最小值为，求a的值．2时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10 分）如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB AA1 的中点．1）求异面直线BC1与EF 所成角的余弦值；2）求二面角B1－EG－ F 的余弦值．第22 题）23．（本小题满分10 分）已知数列 {a} 满足 a1122，且a n 1 a n a n ，* n N*．（1）求证：1 ≤a n 11；2 a n（ 2 ）求证：C1n(2a n1)2C2n(2a n 1)2 L kC k n (2 a n 1)k L nC n n (2a n 1)n≤ 02)设g(x)必做题】第22、23题，每小题10分，共计20 分．请在答．题．卡．指．定．区．域内作答，解答2，E，F，G 分别为AA1，A1C1，ABC1A G B徐州市 2019~2020 学年度高三年级考前模拟检测数学Ⅰ参考答案与评分标准、填空题所以A1C1 / /EF ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分又因为A1C1 平面B1EF ，EF 平面B1EF ，所以A1C1 / / 平面B1EF ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分2)因为侧面ABB1A1 底面ABC ，侧面ABB1 A1 I 底面ABC AB，AB AC ，AC 平面ABC ，所以AC 平面ABB1 A1 ，⋯⋯⋯⋯⋯12分2）在中，由正弦定理得BDBCD CD BC，⋯⋯⋯⋯10 分sin sin B sin BDC10CDsin BCD2BDsin B104，88分1．4 2．63．15 4．21 5．129．56 10．11．212．26 ．33237．513．14．158 ．π312e二、解答题15．（1）在△ABC 中，又在三棱柱ABC A1B1C1 中，E，F 分别是棱AB ，BC的中点，A C//AC ，所以EF / /AC，⋯2 分又因为B1E平面ABB1 A1 ，所以AC B1E ．⋯16．（1）在ADC 中，由余弦定理得cos AD2 ADC AD CD2 AC 22222( 6)2 12AD CD22242所以sin ADC 1 cos2 ADC111544所以sin 所以sin BCD 1 cos2 BCD 1B sin( ADC BCD)6 1014 分2分4分6分sin ADC cos BCD cos ADC sin BCD1561104444108因为cos BCD 6BCD 是三角形BCD 的内角，1 24 π令 f ( ) 0得， sin 12 (0, 2245) ，所以6π，列表如下：π(0, ) 6 π6 π(6, 0) f()f ( )↘极小值↗π所以当6π时， f （）有极小值，也是最小值．答：当 θ为 π时，总造价最少．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分618．（ 1）设椭圆的焦距为 2c ．BC12分所以S ABC1 1 1012 AB BC sin B 12 6 2 6 8103 15 214 分17．（ 1）以 O 为原点， ON 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，13则 N(3,0) ， A( 1 ,1)， C (3 ,2) ，224所以直线 CN 的方程为 y 4(x 3) ，3 ?MN 所214x 25, ，y(x 3),联立3 解得2272xy 29,y25,当 PN 过点 C 时， 21 72 P(2251,2752)， sin24 25 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分则 PN 2 (3cos) ，设 P(3cos ,3sin ) ，223)2(3sin )2 18 18cos ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分所以总造价 f ( ) 3a 3( π) 2 9πa( 18 9 2所以 f ( ) a(18sin 9) ，a(18 18cos )18cos ) ， (0, 0)， sin 02425⋯ 10 分 CD sin BDCsin B2 6 ，8所以 sin 的取值范围是（0, 24）．(第 17 题 )2） M ? P 的长为c1 a219．1)2)3)由题意，得a2b27，解得2 2 2a b c ，所以椭圆的方程为2)因为B，F 在直线xy解方程组 c b2x2 y2a2b2所以点P 的坐标为2y3 1．PB 上，所以直线1，得1，x1a2b24，3.4分2a2ca2+c2b a2PB 的方程为c x y b 1．2 c22 a +c22ac2 2 2 2 a +c a +c( 2a2 cy1)．x2y20，b，8分因为直线PB 的斜率k PB0 ( b)PB c 0b a2c22 2 0直线PA 的斜率 k PA a +2c2a2c22 a+cb a2b，c22b a c22a2c a(a2+c2)baa(a22 cc)2a(2ac (a2 +c2))又因为直线PA和PB 的斜率之积为1622 a2c2ac(a c)b ac b b a c 所以b=a(a c) c ac(a c) 化简得6a2 13ac 6c 2 (3a 3c ，2．3．2x因为 a c ，所以2a所以椭圆的离心率eac2c)(2a 3c) 0 ，baa(aaccc)，12分1，6，16分当 a 1 时，则f(0) 1，所以曲线y f (x)在点(0, f(0)) 处的切线方程为y 1．⋯⋯⋯因为 f (x) 在[1,2] 上单调递增，所以f (x)≥0在[1,2] 上恒成立，即 f (x) e x 2x a≥0在[1,2] 上恒成立，所以a≤e x2x在[1,2] 上恒成立，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯又因为函数y e x 2x在[1,2] 上单调递增，所以a≤e 2，当且仅当a e 2，x 1时，f (1) 0，所以 a 的取值范围为( 不等式 f (x) 令 g(x) e xf(x) e xf (0)0 ，x2axx ， f (x) e x 2x 1，2分4分e,e 2] ．1 即e x ax 1， 1，则 g (x) e xa ，6分①当a≤1时， g (x) e x a 0在(0, )上恒成立，所以 g(x)在(0, )上单调增，所以 g(x) g(0) 0 ，不符合题意；⋯10分②当a 1时，由g(x) 0得 x ln a，列表如下：令 b lna ，在 (0,ln a) 上，总有，符合题意，综上所述， a 的取值范围为 (1, ) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分20．( 1)当 n 1时，a1 a4 a2 a3 ，所以a4 5，当n 2时，a2 a5 a3 a4，所以a5 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分(2)因为a n a n 3 a n 1 a n 2 ，当n≥ 2 时，a n 1 a n 2 a n a n 1 ，两式相加得，a n 1 a n 3 2a n 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分即an 3an 1an 1an 1 ，所以{a2n 1}为等差数列，设公差为 d1，{a2n} 为等差数列，设公差为 d2．所以 (a2 n+2 ma2n 3 ) (a2n ma2n 1) (a2n+2 a2n) m(a2n 3 a2n 1) d2 md1，所以{a2n ma2n 1} 成等差数列．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分3) 设奇数项所成等差数列的公差为d1，偶数项所成等差数列的公差为d2 ．①当n 为奇数时，则6所以n1 d121d1 d2≥ 0, 1 (d1 d2)n1a n 6 d1 ， a n 12n 1d2，即 n(d12d2d10,，故d2)d1②当n 为偶数时，n(n21)d2，a nn13d22，18 2(d2 d1) 0 ，d2 ≥0 ．n6 d1 ，2112分则 3 (n 1)d222d1 d2 ≤ 0, 所以1 22 (d1 d2) 综上可得， d1 d2 又n d1，21n(d1d2)18 2d2 0 ，a3 a4a1a218 2d2 0,9．d2d1，故d1d1d2 ≤0,9,14 分所以当n 为奇数时，3 2d1 33 ，所以 d1 18 ． n1 2( 18) 15 9n ；当n 为偶数时，a n故数列{a n} 的通项公式为(n2an1)15( 18) 15 9n ．9n，n N*．16 分21． A ． 2) B ． 1) 2) C ． 1) 2) 徐州市 2019~2020 学年度高三年级考前模拟检测数学Ⅱ参考答案与评分标准 3 b1)由条件知，由( 1)知， A 矩阵 A 的特征多项式为，所以3a b24, 4,解得1,⋯ 5 分 2.f( 令 f( ) 0 ，解得 A 的特征值为在 △OAB 中， A(4, π) ， B(2,π) ， 62 由余弦定理，得 AB 321和4．3)(2) 2(1)(4)，10分42 22 2 4 2cos( π π) 2 3 ．直线 l 的普通方程为 3x 2y 4 0 ，点 A 的直角坐标为 (2 3,2) ，所以点 A 到直线 l 的距离为 | 3 2 3 2 2 4|( 3) 2 ( 2)2不等式 f(x) 2即|x 1| 2，则 x 1 2或 x 1 所以不等式 f (x) 2的解集为 ( , 3)U (1, )． (a 1)x 2,5分g(x) | x 1| |ax 1| (1 a)x, 1≤ x ≤ 由a 1可知，函数 (a 1)x 2,1,1,a1. ag(x)在( 67 710 分2 ，解得 x 1或 x3， 4分1 1, ) 上单调增， a 1) 上单调减，在a 1a BO ， 1 g(x) 的最小值为 g( 1) 22．( 1)取 AC 的中点 O ，连接 FO ，在正三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中， uuur uuur uuur 以{OA,OB,OF} 为基底建立空间直角坐标系则 A(1，0，0) ， B(0， 3，0)， E(1，0，1) ， B 1(0， 3，0)， C 1( 1，0，2) ， uuur uuuur 所以 EF ( 1，0，1) ， BC 1 ( uuur uuuurEF gBC 1 uuur uuu 1ur 所以 1， 2 解得 a 2．10 分FO 平面 BO AC ，ABC ， O xyz 如图所示， F (0，0，2) ， 1， uuur uuuur 所以 cos EF ，BC 1， 3，2) ， 3， |EF ||BC 1|4 ，A 1 z3所以异面直线 BC 1与 EF 所成角的余弦值为；⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分4 uuur uuur2）因为 G 为 AB 的中点，所以G （1， 3，0），则 EF （ 1，0，1），EG （ 1，3， 1）r2 2 2 2设平面 EFG 的法向量为 n 1 （x 1， y 1， z 1 ），r平面EGB1的法向量为n 2 （ x 2，y 2，z 2 ），r uuur x1z 1 0n 1 EF 0 则r uuur ，所以 1 3，n 1 EG 0x 1y z 1 0r2 1 2 1令 z 1 1 ，得 n (1， 3，1) r ，同理 n （ 3，1，rr 所以 cos n 1,n 2rr n 1gn 2rr15 ， |n 1 ||n 2r | r 5 所以二面角的大小与向量 n 1，n 2 所成的角相等或互补，由图形知，二面角B 1 EGF 的余弦值为 15．510 分23．（ 1）因为 a n 1 a n 2 a n，即 an 1 a n1 a n ．要证 1 ≤ an 12 a n 用数学归纳法证明： 12 ，命题成立；1，只需证 0an≤12 ． 2分n 1 时，a 1 假设当 k (k ≥1，k N * ）时命题成立，0 a k ≤12 ，则当 n 1 时，有 a k 1 2a k a k a k由于 0 1a k 1≤ 41 ，显然有所以当所以对任意a k ≤ 21，所以 0 k 1 时，命题也成立． 0 a n ≤ 21成立，即 n N ，都有 kA n k 1 k nC n 1，k!所以 kC k n (2a n 1)k(2a 因此 C 1n (2a n2）因为 kC k n 1， 4， a k 1≤ 12， 1 a n 1≤ 2 a n 1得证． 4分 6分(2a n 1)nk1kC k n (2a n1)nC kn 11(2a n 1) 1)2n2 1) 2C n 2(2a n n12a n ．11)k L nC n n (2a n 1)n1。

江苏省徐州市高三下学期数学5月高考模拟试卷

江苏省徐州市高三下学期数学5月高考模拟试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分）(2018·如皋模拟) 集合，，若，则实数的值为________.2. （1分）复数的虚部是________3. （1分） (2019高三上·清远期末) 某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取个学生的成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），已知成绩在[90,100]的学生人数为8，则=________；估计该校高三学生此项体育测试平均成绩为________．4. （1分） (2016高二上·沭阳期中) 如图，当输入的x值为3时，输出y的结果是________5. （1分） (2017高三上·沈阳开学考) 将一颗骰子先后抛掷2次，则向上的点数之和为3的倍数的概率为________．6. （1分）(2017·扬州模拟) 已知正四棱锥的体积是48cm3 ，高为4cm，则该四棱锥的侧面积是________cm2 ．7. （1分） (2019高一下·浙江期中) 己知{an}，{bn}是公差分别为d1 ， d2的等差数列，且An=an+bn ，Bn=anbn ．若A1=1，A2=3，则A3=________；若{Bn}为等差数列，则d1d2=________ ．8. （1分） (2020高一下·沈阳期中) 已知函数的部分图象如图所示，则 ________， ________．9. （1分）(2017·海淀模拟) 双曲线的实轴长为________．10. （1分） (2018高一上·南通月考) 在中，若，，，则________．11. （1分）(2020·徐州模拟) 在中，角 A ， B ， C所对的边分别为 a ， b ， c ，若则 ________．12. （1分）(2018高二上·凌源期末) 已知是直线上的动点，是圆的两条切线，是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值为________．13. （1分） (2018高二下·双流期末) 已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：①对于任意，函数是上的减函数；②对于任意，函数存在最小值；③存在，使得对于任意的，都有成立；④存在，使得函数有两个零点．其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)14. （1分） (2019高一下·慈溪期中) 已知在等差数列中，若，则前项和________， ________.二、解答题 (共6题；共65分)15. （10分）(2016·静宁模拟) 如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点．（1）证明：EF∥面PAD；（2）证明：面PDC⊥面PAD；（3）求锐二面角B﹣PD﹣C的余弦值．16. （10分） (2020高一下·天津期中) 在海岸A处，发现北偏东方向，距离为海里的B 处有一艘走私船，在A处北偏西方向，距离A为2海里的C处有一艘缉私艇奉命以海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/时的速度从处向北偏东方向逃窜.（1）问C船与B船相距多少海里？C船在B船的什么方向？（2）问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间.17. （10分） (2015高一上·西安期末) 已知点m是直线l： x﹣y+3=0与x轴的交点，将直线l绕点m 旋转30°，求所得到的直线l′的方程．18. （10分） (2018高二下·河南期中) 已知椭圆的一个焦点为，且过点 .（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆交于，两点，求（为坐标原点）的面积取最大值时直线的方程.19. （10分） (2019高二上·辽宁月考) 数列满足，（）．（1）求证：数列是等差数列；（2）若，求正整数的最小值．20. （15分）(2013·山东理) 设函数．（1）求f（x）的单调区间及最大值；（2）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共65分)15-1、15-2、15-3、16-1、16-2、17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、第11 页共11 页。

2020年江苏省徐州一中高考数学模拟试卷(5月份) (含答案解析)

2020年江苏省徐州一中高考数学模拟试卷(5月份)一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={0,1，2}，集合B ={−1,0，2，3}，则A ∩B =______．2. i 是虚数单位，复数6+7i 1+2i =______．3. 若一组样本数据4，5，x ，3，6的平均数为5，则该组样本数据的方差为______．4. 已知椭圆C 1与双曲线C 2有公共焦点F 1，F 2，M 为C 1与C 2的一个交点，MF 1⊥MF 2，椭圆C 1的离心率为e 1，双曲线C 2的离心率为e 2，若e 2=2e 1，则e 1=______．5. 执行如图的伪代码后，输出的结果是________．6. 给3个人写3封内容不同的信，写好后将它们随意装入写好地址与收信人的3个信封，每个信封装一封信，则全部装错的概率为______．7. 圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱体积之比为________，球的表面积与圆柱的侧面积之比为________．8. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=2，a n+2+(−1)n−1a n =1，则S 20=__________．9. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A =π4，b 2−12c 2=a 2，则tanB =_____。

10. 如图，在△ABC 中，AB =2，BC =3，∠ABC =60°，AH ⊥BC 于点H.若AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=________．11.已知圆C：x2+y2=4，过点A(2,3)作圆C的切线，切点分别为P，Q，则直线PQ的方程为___________．12.若x>1，则2x+9x+1+1x−1的最小值是____．13.若函数f(x)=sin(ωx−π4)(ω>0)在区间(0,π2)上单调递增，则ω的取值范围是____________．14.已知函数f(x)为偶函数，且x>0时，，则f(−e)=__________．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.在△ABC中，A=60°，a=√7，三角形面积为3√32，求b，c．16.如图，在三棱锥P−ABC中，底面ABC为正三角形，PA⊥平面ABC，点D，E，N分别为PB，PC，AC的中点，点M为DB的中点．(1)求证：BN⊥平面PAC；(2)求证：MN//平面ADE．17.如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是2km，从点P沿海岸正东12km处有一个城镇．假设一个人驾驶的小船的平均速度为3km/ℎ，步行的速度是5km/ℎ，用t(单位：ℎ)表示他从小岛到城镇的时间，x(单位：km)表示此人将船停在海岸处距P点的距离．(1)请将t表示为x的函数t(x)；(2)将船停在海岸处距点P多远时从小岛到城镇所花时间最短？最短时间是多少？18.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√53，右顶点A(3,0)，直线l与x轴交于点A，与y轴交于点E．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆C的另一交点为D，P为弦AD的中点，是否存在着定点Q，使得OP⊥EQ恒成立？若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由；(3)若，交椭圆C于点M，在(2)的条件下，求|AD|+|AE||OM|的最小值．19.已知函数f(x)=e x−ax−a(其中a∈R，e是自然对数的底数，e=2.71828…)．(Ⅰ)当a=e时，求函数f(x)的极值；(Ⅱ)若f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．20.设等差数列{a n}的公差为d>1，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q.已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)记c n=a n，求数列{c n}的前n项和T n．b n-------- 答案与解析 --------1.答案：{0,2}解析：解：∵A={0,1，2}，B={−1,0，2，3}；∴A∩B={0,2}．故答案为：{0,2}．进行交集的运算即可．考查列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：4−i解析：本题考查复数的运算，属于基础题．解：6+7i1+2i =(6+7i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=20−5i5=4−i．故答案为4−i．3.答案：2解析：本题主要考查了样本数据的平均数，以及方差的计算，属于基础题．解：由已知可得，4+5+x+3+65=5，解得x=7，则S2=15[(4−5)2+(5−5)2+(7−5)2+(3−5)2+(6−5)2]=2．故答案为2．4.答案：√104解析：本题考查了圆锥曲线的几何性质，以及椭圆和双曲线的简单性质，属于中档题．设出MF1和MF2的长x，y，利用双曲线和椭圆的几何性质以及MF1⊥MF2的条件得到x，y的等量关系，最后求得离心率解：设MF1=x，MF2=y，不妨令x>y设椭圆长半轴为a 1，双曲线实半轴为a 2，焦距为c则根据题意，有{x +y =2a 1x −y =2a 2，且x 2+y 2=4c 2，联立得(a 1+a 2)2+(a 1−a 2)2=4c 2，即e 1−2+e 2−2=2．由e 2=2e 1，得e 1=√104 故答案为：√104． 5.答案：7解析：本题考查循环语句，属于基础题目．只须按照循环条件模拟循环，一次一次算出结果即可得出答案．解：第一次循环后，S =3，I =3；第二次循环后，S =12，I =5；第三次循环后，S =27，I =7，退出循环，所以输出的结果为7．故答案为7．6.答案：13解析：解：给3个人写3封内容不同的信，写好后将它们随意装入写好地址与收信人的3个信封，每个信封装一封信，基本事件总数n =A 33=6，全部装错包含的基本事件个数m =2×1×1=2，全部装错的概率p =m n =26=13．基本事件总数n =A 33=6，全部装错包含的基本事件个数m =2×1×1=2，由此能求出全部装错的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.答案：2:3;1:1解析：本题考查圆柱与球的体积及圆柱的侧面积及球的表面积公式的应用，考查计算能力，是基础题．设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，利用公式直接求解即可．解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，则球的体积V球=43πR3，圆柱的体积V圆柱=2πR3，则球的体积与圆柱的体积之比为43πR32πR3=23，球的表面积为4πR2，圆柱的侧面积为4πR2，所以球的表面积与圆柱的侧面积之比为1:1．故答案为2:3;1:1．8.答案：70解析：本题主要考查了数列递推式，考查了数列前n项和的求法，是基础题．由已知数列递推式可分别求奇数项之和与偶数项之和，代入求和公式得答案．解：因为a n+2+(−1)n−1a n=1，所以当n为奇数时，a n+2+a n=1，故a1+a3+a5+⋯+a19=5，当n为偶数时，a n+2−a n=1，且a2=2，所以a2+a4+a6+⋯+a20=10×2+10×92=65，所以S40=65+5=70．故答案为70．9.答案：3解析：【试题解析】解：由余弦定理知，cosA =b 2+c 2−a 22bc ， ∵A =π4，b 2−12c 2=a 2， ∴√22=b 2+c 2−(b 2−12c 2)2bc，化简得3c =2√2b ，由正弦定理知，b sinB =c sinC ，∴3sinC =2√2sinB ，又A +B +C =π，∴3sin(A +B)=2√2sinB ，∴3×√22(sinB +cosB)=2√2sinB ，即3cosB =sinB ， ∴tanB =sinB cosB =3．故答案为：3．由余弦定理知，cosA =b 2+c 2−a 22bc ，代入已知条件后化简得3c =2√2b ，再根据正弦定理，将边化角有3sinC =2√2sinB ，然后结合A +B +C =π与正弦的两角和公式，可推出3cosB =sinB ，从而得解．本题考查解三角形与三角恒等变换的综合运用，包含正弦定理、余弦定理、两角和与差的三角函数公式，属于中档题．10.答案：43解析：本题考查平面向量的线性运算、平面向量基本定理的应用，属于中档题．解：∵AB =2，BC =3，∠ABC =60°，∴BH =1．BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故λ=1,μ=13．∴λ+μ的值为43 ．故答案为43． 11.答案：2x +3y −4=0解析：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，结合圆与圆的位置关系是解决本题的关键，属于中档题．直线PQ 可看作已知圆与以OA 为直径的圆的交线，求出未知圆的方程，运用两圆方程相减，即可．解：圆心C(0,0)，半径为R =2，∵过点A(2,3)作C 的切线，切点分别为P ，Q ， ∴直线PQ 可看作已知圆与以OA 为直径的圆的交线，则OA 的中点为(1,32)，则|OA |=√22+32=√13，则半径为√132，即对应圆的方程为(x −1)2+(y −32)2=134，即x 2+y 2−2x −3y =0，两式相减得2x +3y −4=0，即直线PQ 的方程为2x +3y −4=0，故答案为：2x +3y −4=0． 12.答案：8解析：解：若x>1，2x+9x+1+1x−1=x+1+9x+1+x−1+1x−1≥2√(x+1)⋅9(x+1)+2√(x−1)⋅(1x−1)=8，当且仅当x+1=3，x−1=1，即x=2时取等号，故2x+9x+1+1x−1的最小值是8，故答案为：8．由x>1，把2x写出x+1+x−1，利用基本不等式求出最小值即可．本题考查基本不等式的应用，考查了运算能力，基础题．13.答案：(0,32]解析：本题主要考查了利用正余弦函数的性质问题，利用单调性求解取值范围．属于基础题．解：由−π2+2kπ≤ωx−π4≤π2+2kπ，k∈Z，得−π4ω+2kπω≤x≤3π4ω+2kπω，k∈Z.取k=0，得−π4ω≤x≤3π4ω．因为函数在区间(0,π2)上单调递增，所以3π4ω≥π2，即ω≤32．又ω>0，所以ω的取值范围是(0,32]．故答案是(0,32]．14.答案：3解析：本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题．函数f(x)为偶函数，f(x)=f(−x)，所以f(−e)=f(e)解：已知函数f(x)为偶函数，∴f(x)=f(−x)，．故答案为3．15.答案：解：∵A=60°，a=√7，三角形面积为3√32，∴由S△ABC=12bcsinA，可得：3√32=12×bc×√32，可得：bc=6，①由a2=b2+c2−2bccosA，可得：7=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc=(b+c)2−18，可得：b+c=5，②∴联立①②，可得：b=3，c=2或b=2，c=3．解析：本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了配方法的应用和转化思想，属于基础题．利用已知及三角形面积公式可求bc=6，利用余弦定理可得b+c=5，联立即可解得b，c的值．16.答案：证明：(1)正三角形ABC中，N为中点，则BN⊥AC，又PA⊥平面ABC，BN⊂平面ABC，∴PA⊥BN，又PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，∴BN⊥平面PAC．(2)连结PN，交AE于G，连结DG，如图，在△PAC中，PN，AE都是中线，则PGGN =21，∵点D为PB的中点，点M为DB的中点，∴PDDM =21，在△PMN中，∵PDDM =PGGN=21，∴MN//DG，又∵MN⊄平面ADE，DG⊂ADE，∴MN//平面ADE．解析：本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．(1)推导出BN⊥AC，PA⊥BN，由此能证明BN⊥平面PAC．(2)连结PN，交AE于G，连结DG，推导出MN//DG，由此能证明MN//平面ADE．17.答案：解：(1)总的时间t为驾船行驶的时间与步行到城镇的时间之和，小岛到Q点的距离：√x2+4，∴从小岛到Q点的时间为：√x2+43，Q点到城镇的距离：12−x，∴从Q点到城镇所需的时间为：12−x5，∴t(x)=√x2+43+12−x5，0≤x≤12；(2)t′=5x−3√x2+415√x2+4，令t′=0得x=1.5，当x∈(0,1.5)时，t′<0，t(x)单调递减；当x∈(1.5,12)时，t′>0，t(x)单调递增．故当x =1.5时，t(x)最小，且最短时间为4415ℎ.解析：(1)根据总的时间t 为驾船行驶的时间与步行到城镇的时间之和，分别表示出从小岛到Q 点的时间为√x2+43，从Q 点到城镇所需的时间为12−x 5，即可求得函数t(x)，根据实际意义，求得定义域，从而得到答案；(2)利用导数法，即可求得结论．本题主要考查函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：(1)阅读理解，认真审题；(2)引进数学符号，建立数学模型；(3)利用数学的方法，得到数学结果；(4)转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．属于基础题．18.答案：解：(1)由椭圆右顶点A(3,0)，a =3，椭圆的离心率e =√53，则c =√5． b 2=a 2−c 2=4椭圆的标准方程：x 29+y 24=1．(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程y =k (x −3)， {y =k (x −3)x 29+y 24=1消去y ，整理得：(9k 2+4)x 2−54k 2x +81k 2−36=0．设D (x D ,y D )则3x D =81k 2−369k 2+4.则x D =27k 2−129k 2+4,y D =−24k9k 2+4．D (27k 2−129k 2+4,−24k9k 2+4)．由P 为弦AD 的中点，P (27k 29k 2+4,−12k9k 2+4) 直线OP 的斜率k OP =−49k ．对于直线l 的方程y =k (x −3)，令x =0，则E (0,−3k )．假设存在定点Q (m,n ),m ≠0满足OP ⊥EQ ．直线EQ 的斜率k EQ =n+3k m．k OP k EQ =−49k ×n+3k m=−1，整理得4n +12k −9km =0．由4n +(12−9m )k =0恒成立，则{12−9m =04n =0，解得：{m =43n =0．则定点Q 的坐标为(43,0)；(3)由OM//l 则直线OM 的方程y =kx ，M(x M ,y M )由{x 29+y 24=1y =kx解的：x M =±√9k 2+4．由|AD |+|AE ||OM |=|x D −3|+|x E −3||x M |=12(2√9k 2+4)=12(√9k 2+4+√9k 2+4)≥2√2，当且仅当√9k 2+4=√9k 2+4，即k =±23时，取等号，当k =±23时，|AD |+|AE ||OM |的最小值2√2．解析：本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查中点坐标公式，直线的斜率公式，考查基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．(1)由题意可知：a =3，c =√5则b 2=a 2−c 2=4即可求得椭圆方程；(2)设直线l 的方程，代入椭圆方程，利用中点坐标公式，求得D 坐标，根据中点坐标公式，即可求得P 点坐标，分别求得OP 及EQ 的斜率，由k OP k EQ =−1，即可求得4n +(12−9m )k =0即可求得m 和n 值，求得Q 点坐标；(3)设直线OM 的方程y =kx ，代入椭圆方程，求得x M ．|AD |+|AE ||OM |=|x D −3|+|x E −3||x M |=12(2√9k 2+4)=12(√9k 2+4+√9k 2+4)根据基本不等式的性质，即可求得答案．19.答案：解：(Ⅰ) 当a =e 时，f(x)=e x −ex −e ，f′(x)=e x −e ，当x <1时，f′(x)<0；当x >1时，f′(x)>0．所以函数f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以函数f(x)在x =1处取得极小值f(1)=−e ，函数f(x)无极大值． (Ⅱ)由f(x)=e x −ax −a ，f′(x)=e x −a ，若a <0，则f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x 趋近于负无穷大时，f(x)趋近于负无穷大；当x 趋近于正无穷大时，f(x)趋近于正无穷大，故a <0不满足条件．若a =0，f(x)=e x ≥0恒成立，满足条件．若a >0，由f′(x)=0，得x =lna ，当x <lna 时，f′(x)<0；当x >lna 时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，所以函数f(x)在x =lna 处取得极小值f(lna)=e lna −a ⋅lna −a =−a ⋅lna ，由f(lna)≥0得−a ⋅lna ≥0，解得0<a ≤1．综上，满足f(x)≥0恒成立时实数a 的取值范围是[0,1]．解析：(Ⅰ)当a =e 时，f(x)=e x −ex −e ，f′(x)=e x −e ，由导数确定函数的单调性及极值； (Ⅱ)由f(x)=e x −ax −a ，f′(x)=e x −a ，从而化恒成立问题为最值问题，讨论求实数a 的取值范围．本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．20.答案：(本小题(12分)，第1小题(6分)，第2小题6分)解：(1)由题意可得：{10a 1+45d =100a 1d =2，解得{a 1=9d =29(舍去)或{a 1=2d =2，所以a n =2n −1，b n =2n−1． (2)∵c n =a nb n ，c n=2n−12n−1，∴T n =1+32+522+723+⋯+2n−12n−1…①，12T n =12+322+523+724+925+⋯+2n −12n…② ①−②可得12T n =2+12+122+⋯+12n−2−2n−12n=3−2n+32n，.(12分)故T n=6−2n+32n−1解析：(1)利用已知条件求出数列的首项与公差，然后求解通项公式．(2)化简数列的通项公式，然后利用错位相减法求和即可．本题考查数列的通项公式的求法，等差数列以及等比数列的应用，考查数列求和的方法，是中档题．。

2020年江苏省徐州市高考数学(5月份)春季联考数学试卷 (解析版)

2020年高考数学春季联考数学试卷（5月份）一、填空题1．设全集U＝R，集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x≥2}，则A∩∁U B＝．2．复数i1−i的虚部是．3．某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图）．则这100名同学中学习时间在6～8小时内的同学为人．4．如图是一个算法的流程图，若输入的x的值为1，则输出的S的值为5．某校有A，B两个学生食堂，若a，b，c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为．6．已知正四棱锥的底面边长是4√2，侧棱长为5，则该正四棱锥的体积为．7．若将函数f（x）＝sin（2x+π3）的图象沿x轴向右平移φ（φ＞0）个单位后所得的图象关于y轴对称，则φ的最小值为．8．已知{a n}为等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，S n为{a n}前n项和，则S10的值为．9．双曲线x 2a −y 2b =1的一条渐近线与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝1相交于A ，B 两点且∠ACB＝90°，则此双曲线的离心率为．10．函数y =√−x 2−3x+4ln(x+1)的定义域是．11．已知x ，y ∈R ，且x ＞1，若（x ﹣1）（y ﹣2）＝1，则xy +6x +y +6的最小值为．12．在△ABC 中，若∠BAC ＝120°，BA ＝2，BC ＝3，BM →=13BC →+12BA →，则MA →•MC →= ．13．已知圆O ：x 2+y 2＝4，直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，A （2，2），若AP 2+AQ 2＝40，则弦PQ 的长度的最大值为．14．函数f （x ）满足f （x ）＝f （x ﹣4），当x ∈[﹣2，2）时，f （x ）={2x +3x 2+a ，−2≤x ≤a1−x ，a ＜x ＜2，若函数f （x ）在[0，2020）上有1515个零点，则实数a 的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，15-17题每题14分，18-20题每题16分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知向量m →=（cos x ，sin x ），n →=（√3sin x ，sin x ），函数f （x ）=m →⋅n →．（1）求函数f （x ）的最小正周期．（2）若α∈（0，π2），f （α2）=1310，求sin α的值．16．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，M 是棱CG 上的一点．（1）求证：BC ⊥AM ；（2）若M ，N 分别是CC 1，AB 的中点，求证：CN ∥平面AMB 1．17．如图，某生态农庄内有一直角梯形区域ABCD ，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝6百米，CD ＝4百米．该区域内原有道路AC ，现新修一条直道DP （宽度忽略不计），点P 在道路AC 上（异于A ，C 两点），∠BAC =π6，∠DPA ＝θ．（1）用θ表示直道DP 的长度；（2）计划在△ADP 区域内修建健身广场，在△CDP 区域内种植花草．已知修建健身广场的成本为每平方百米4万元，种植花草的成本为每平方百米2万元，新建道路DP 的成本为每百米4万元，求以上三项费用总和的最小值（单位：万元）．18．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）过点（0，1），椭圆C 的离心率e =√32．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，设直线l 与圆x 2+y 2＝r 2（1＜r ＜2）相切于点A ，与椭圆C 相切于点B ，当r 为何值时，线段AB 长度最大？并求出最大值．19．（16分）已知函数f （x ）＝xlnx +a 和函数g （x ）＝lnx ﹣ax ．（1）若曲线f （x ）在x ＝1处的切线过点A （2，﹣2），求实数a 的值．（2）求函数h （x ）＝g （x ）+x 2的单调区间．（3）若不等式f （x ）+g （x ）＞0对于任意的x ＞1恒成立，求实数a 的最大值． 20．（16分）已知等差数列{a n }和等比数列{b n }的各项均为整数，它们的前n 项和分别为S n ，T n ，且b 1＝2a 1＝2，b 2S 3＝54，a 2+T 2＝11．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）求M n ＝a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+…+a n b n ；（3）是否存在正整数m ，使得S m +T m+1S m +T m恰好是数列{a n }或{b n }中的项？若存在，求出所有满足条件的m 的值；若不存在，说明理由．选做题【本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚[选修4-2：矩阵与变换]21．已知二阶矩阵M =[a 13b ]的特征值λ＝﹣1所对应的一个特征向量e 1→=[1−3]．（1）求矩阵M ；（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C ′的方程为xy ＝1，求曲线C 的方程． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若直线l 的极坐标方程为ρsin （θ−π4）＝3√2．（1）把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知P 为椭圆C ：x 23+y 2＝1上一点，求P 到直线l 的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知实数x ，y ，z 满足x +y +z ＝2，求2x 2+3y 2+z 2的最小值．【必做题】第22题、第23题，每小题0分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）上不同两点．（1）若抛物线C 的焦点为F ，D （x 0，y 0）为AB 的中点，且AF +BF ＝4+2y 0，求抛物线C 的方程；（2）若直线AB 与x 轴交于点P ，与y 轴的正半轴交于点Q ，且y 1y 2=p 24，是否存在直线AB ，使得1PA+1PB=3PQ？若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由25．已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }，其中0≤a 1＜a 2＜…＜a n ，且n ≥3，若对∀i ，j （1≤i ≤j ≤n ），a j +a i 与a j ﹣a i 两数中至少有一个属于A ，则称数集A 具有性质P ．（Ⅰ）分别判断数集{0，1，3}与数集{0，2，4，6}是否具有性质P ，说明理由；（Ⅱ）已知数集A ＝{a 1，a 2…a 8}具有性质P ，判断数列a 1，a 2…a 8是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由．参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．设全集U ＝R ，集合A ＝{﹣1，0，1，2，3}，B ＝{x |x ≥2}，则A ∩∁U B ＝ {﹣1，0，1} ．【分析】根据补集与交集的定义，写出∁U B 与A ∩∁U B 即可．【解答】解析：因为全集U ＝R ，集合B ＝{x |x ≥2}，所以∁U B ＝{x |x ＜2}＝（﹣∞，2），且集合A ＝{﹣1，0，1，2，3}，所以A ∩∁U B ＝{﹣1，0，1} 故答案为：{﹣1，0，1}．【点评】本题考查了集合的定义与计算问题，是基础题目． 2．复数i 1−i的虚部是12．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a +bi （a ，b ∈R ）的形式，即可．解：复数i 1−i=i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i 2，它的虚部为：12，故答案为：12．【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，考查计算能力，常考题型．3．某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图）．则这100名同学中学习时间在6～8小时内的同学为 30 人．【分析】利用频率分布直方图中，频率等于纵坐标乘以组距，求出在6～8小时外的频率；利用频率和为1，求出在6～8小时内的频率；利用频数等于频率乘以样本容量，求出这100名同学中学习时间在6～8小时内的同学的人数．解：∵这100名同学中学习时间在6～8小时外的频率为（0.04+0.12+0.14+0.05）×2＝0..7∴这100名同学中学习时间在6～8小时内为1﹣0.7＝0.3∴这100名同学中学习时间在6～8小时内的同学为100×0.3＝30故答案为：30【点评】本题考查频率分布直方图中，频率等于纵坐标乘以组距、考查频数等于频率乘以样本容量．4．如图是一个算法的流程图，若输入的x的值为1，则输出的S的值为100【分析】据流程图可知，计算出S，判定是否满足S≥50，不满足则循环，直到满足就跳出循环即可．解：由流程图知，第一次循环：x＝1，S＝1，不满足S≥50第二次循环：x＝2，S＝9；不满足S≥50第三次循环：x＝3，S＝36，不满足S≥50第四次循环：x＝4，S＝100，满足S≥50此时跳出循环，所以输出S ＝100．故答案为：100．【点评】本题考查算法流程图，直到型循环结构．循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．5．某校有A ，B 两个学生食堂，若a ，b ，c 三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为34．【分析】先求出基本事件的总数，再找出所要求的事件包括的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式即可得出解：a 学生随机选择其中的一个食堂用餐可有两种选法，同理b ，c 也各有两种选法，根据乘法原理可知：共有23＝8中选法；其中他们在同一个食堂用餐的方法只有两种：一种是都到第一个食堂，另一种是都到第二个食堂，则他们不同在一个食堂用餐的选法有8﹣2＝6；他们不同在一个食堂用餐的概率为68=34．故答案为：34【点评】熟练掌握分步乘法原理和古典概型的概率计算公式是解题的关键． 6．已知正四棱锥的底面边长是4√2，侧棱长为5，则该正四棱锥的体积为 32 ．【分析】求出棱锥的高与底面面积，即可求解棱锥的体积．解：正四棱锥的底面边长是4√2，侧棱长为5，底面对角线长为：8．所以棱锥的高为：√52−42=3．所以棱锥的体积为：13×4√2×4√2×3＝32．故答案为：32．【点评】本题考查棱锥的体积的求法，求解棱锥的高是解题的关键．7．若将函数f （x ）＝sin （2x +π3）的图象沿x 轴向右平移φ（φ＞0）个单位后所得的图象关于y 轴对称，则φ的最小值为512π ．【分析】直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：函数f （x ）＝sin （2x +π3）的图象沿x 轴向右平移φ（φ＞0）个单位后所得函数g （x ）＝sin （2x ﹣2φ+π3）的图象，由于函数g （x ）的图象关于y 轴对称，所以：﹣2φ+π3=k π+π2，整理得：φ=−kπ2−π12，当k ＝﹣1时，φ=5π12，故答案为：5π12．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．已知{a n }为等差数列，其公差为2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }前n 项和，则S 10的值为 ﹣110 ．【分析】由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和．解：{a n }为等差数列，其公差为2，由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得a 72＝a 3a 9，即（a 1+12）2＝（a 1+4）（a 1+16），解得a 1＝﹣20，则S 10＝10×（﹣20）+12×10×9×2＝﹣110．故答案为：﹣110．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及等比数列的中项性质，考查方程思想和化简运算能力，是一道基础题． 9．双曲线x 2a −y 2b =1的一条渐近线与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝1相交于A ，B 两点且∠ACB＝90°，则此双曲线的离心率为 √2 ．【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用圆的半径与半弦长，圆心到直线的距离满足的勾股定理求解即可．解：双曲线x 2a −y 2b =1的一条渐近线：bx ﹣ay ＝0，圆（x ﹣1）2+y 2＝1相交于A 、B 两点，圆的圆心（1，0），半径为1，∠ACB ＝90°，圆心到直线的距离为：√22，可得：√a 2+b 2=√22．解得b ＝a ，c =√2a ．双曲线的离心率为√2．故答案为：√2．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．10．函数y =√−x 2−3x+4ln(x+1)的定义域是（﹣1，0）∪（0，1] ．【分析】根据函数的定义为使函数的解析式有意义的自变量x 取值范围，我们可以构造关于自变量x 的不等式，解不等式即可得到答案．解：要使函数y =√−x 2−3x+4ln(x+1)有意义，则需满足{−x 2−3x +4≥0x +1＞0且ln(x +1)≠0 解之得，﹣1＜x ≤1且x ≠0，∴函数y =√−x 2−3x+4ln(x+1)的定义域是（﹣1，0）∪（0，1]．故答案是（﹣1，0）∪（0，1]．【点评】本题考查了函数定义域的求解，做这类题目的关键是找对自变量的限制条件． 11．已知x ，y ∈R ，且x ＞1，若（x ﹣1）（y ﹣2）＝1，则xy +6x +y +6的最小值为 25 ．【分析】由x ＞1，（x ﹣1）（y ﹣2）＝1，可得y ＞2．变形xy +6x +y +6＝（x ﹣1）（y ﹣2）+8（x ﹣1）+2（y ﹣2）+16，利用基本不等式的性质即可得出．解：∵x ＞1，（x ﹣1）（y ﹣2）＝1，∴y ＞2．则xy +6x +y +6＝（x ﹣1）（y ﹣2）+8（x ﹣1）+2（y ﹣2）+16≥2√8(x −1)⋅2(y −2)+17＝25，当且仅当8（x ﹣1）＝2（y ﹣2），x =32，y ＝4． ∴xy +6x +y +6的最小值为25．故答案为：25．【点评】本题考查基本不等式的性质、变形方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．在△ABC 中，若∠BAC ＝120°，BA ＝2，BC ＝3，BM →=13BC →+12BA →，则MA →•MC →=√6−32．【分析】本题在△ABC 中，根据余弦定理，可列出关于AC 的一元二次方程，计算出AC 的长度，然后转化BA →•BC →=BA →•（BA →+AC →）并计算值，再将BA →、BC →看作基底向量分别表示出MA →和MC →，然后代入MA →•MC →进行向量的多项式运算代入数值即可得到结果．解：依题意，画图如下：在△ABC 中，根据余弦定理，可知cos120°=22+AC 2−322⋅2⋅AC =−12，整理，得AC 2+2AC ﹣5＝0，解得AC ＝﹣1−√6（舍去），或AC =√6−1．则BA →•BC →=BA →•（BA →+AC →）＝|BA →|2+BA →•AC →＝4−AB →•AC →＝4﹣2•（√6−1）•cos120° ＝4﹣2•（√6−1）•（−12）=√6+3．∵MA →=BA →−BM →=BA →−13BC →−12BA →=12BA →−13BC →，MC →=BC →−BM →=BC →−13BC →−12BA →=−12BA →+23BC →，∴MA →•MC →=（12BA →−13BC →）（−12BA →+23BC →）=−14|BA →|2+13BA →•BC →+16BC →•BA →−29|BC →|2=−14•4−29•9+12BA →•BC →＝﹣3+12•（√6+3）=√6−32．故答案为：√6−32．【点评】本题主要考查向量线性表示和数量积运算问题．考查了转化与化归思想，方程思想，余弦定理，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．13．已知圆O ：x 2+y 2＝4，直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，A （2，2），若AP 2+AQ 2＝40，则弦PQ 的长度的最大值为 2√2 ．【分析】设M 为PQ 的中点，根据2（AP 2+AQ 2）＝（2AM ）2+（2QM ）2，化简可得点M 的轨迹方程，结合图象即可得解．解：设M 为PQ 的中点，则2（AP 2+AQ 2）＝（2AM ）2+（2QM ）2，即AP 2+AQ 2＝2AM 2+2QM 2， ∴40＝2AM 2+2（OQ 2﹣OM 2）， ∴AM 2+4﹣OM 2＝20， ∴AM 2﹣OM 2＝16，设M （x ，y ），则（x ﹣2）2+（y ﹣2）2﹣（x 2+y 2）＝16，化解得x +y +2＝0， ∴OM min =2=√2，则PQ max =2√4−2=2√2．故答案为：2√2．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查轨迹方程的求法，考查数形结合思想的运用，属于中档题．14．函数f （x ）满足f （x ）＝f （x ﹣4），当x ∈[﹣2，2）时，f （x ）={2x +3x 2+a ，−2≤x ≤a1−x ，a ＜x ＜2，若函数f （x ）在[0，2020）上有1515个零点，则实数a 的取值范围为 [0，13）．【分析】由已知可得函数周期，结合函数f （x ）在[0，2020）上有1515个零点，可得f （x ）在[﹣2，2）上有3个零点，则需二次函数在[﹣2，a ]上有两个零点，一次函数在（a ，2）上有一个零点，结合二次函数零点的分布与系数间的关系列不等式组求解．解：定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）＝f （x ﹣4），函数的周期为4，且至多在[﹣2，2）上有3个零点，而[0，2020）含505个周期，∴要使函数f （x ）在[0，2020）上有1515个零点，则f （x ）在[﹣2，2）上有3个零点．设g （x ）＝2x +3x 2+a ＝3x 2+2x +a ，该函数为二次函数，在[﹣2，2）上至多有两个零点，则要使f （x ）在[﹣2，2）上有3个零点，需要函数h （x ）＝1﹣x 在（a ，2）上有一个零点，即a ＜1；函数g （x ）＝3x 2+2x +a 的对称轴方程为x =−13∈[﹣2，2），则g （x ）在[﹣2，a ]上有两个零点， ∴{−13＜a ＜1△=22−12a ＞0f(a)=3a 2+3a ≥0，解得0≤a ＜13．∴实数a 的取值范围为[0，13）．故答案为：[0，13）．【点评】本题考查分段函数零点与方程根的关系，考查二次函数零点的分布与系数之间的关系，是中档题．二、解答题：本大题共6小题，15-17题每题14分，18-20题每题16分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知向量m →=（cos x ，sin x ），n →=（√3sin x ，sin x ），函数f （x ）=m →⋅n →．（1）求函数f （x ）的最小正周期．（2）若α∈（0，π2），f （α2）=1310，求sin α的值．【分析】先根据向量的数量积以及三角函数的有关知识得到f （x ）＝sin （2x −π6）+12．（1）直接代入周期公式即可；（2）先根据f （α2）=1310，得到sin （α−π6）=45，再结合角的范围求得cos （α−π6）=35，最后利用两角和的正弦即可求解结论．解：∵向量m →=（cos x ，sin x ），n →=（√3sin x ，sin x ），∴函数f （x ）=m →⋅n →=√3sin x cos x +sin 2x =√3sin2x 2+1−cos2x 2=sin （2x −π6）+12．（1）T =2π2=π；（2）f （α2）＝sin （α−π6）+12=1310⇒sin （α−π6）=45，∵α∈（0，π2），∴−π6＜α−π6＜π3；∴cos （α−π6）=√1−sin 2(α−π6)=√1−(45)2=35；∴sin α＝sin[（α−π6）+π6]＝sin （α−π6）cos π6+cos （α−π6）sinπ6=45×√32+35×12=3+4√310．【点评】本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，M 是棱CG 上的一点．（1）求证：BC ⊥AM ；（2）若M ，N 分别是CC 1，AB 的中点，求证：CN ∥平面AMB 1．【分析】（1）由已知推导出CC 1⊥BC ，BC ⊥平面ACC 1A 1，由此能证明BC ⊥AM ．（2）取AB 1的中点为Q ，连结NQ ，推导出四边形NCMQ 是平行四边形，从而NC ∥QM ，由此能证明CN ∥平面AMB 1．解：（1）证明：在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴CC 1⊥BC ，∵BC ⊥AC ，AC ∩CC 1＝C ，∴BC ⊥平面ACC 1A 1， ∵AM ⊂平面ACC 1A 1，∴BC ⊥AM ．（2）证明：取AB 1的中点为Q ，连接NQ ，QM ，∵在△ABB 1中，N ，Q 分别为AB ，AB 1中点，∴NQ ∥AB 1，且NQ =12AB 1，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∵BB 1∥CC 1，且BB 1＝CC 1，M 为CC 1的中点， ∴CM ∥BB 1，且CM =12BB 1，∴NQ ∥MC ，且NQ ＝MC ，∴四边形NCMQ 是平行四边形，∴NC ∥QM ， ∵NC ⊄平面AMB 1，QM ⊂平面AMB 1，∴CN ∥平面AMB 1．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17．如图，某生态农庄内有一直角梯形区域ABCD ，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝6百米，CD ＝4百米．该区域内原有道路AC ，现新修一条直道DP （宽度忽略不计），点P 在道路AC 上（异于A ，C 两点），∠BAC =π6，∠DPA ＝θ．（1）用θ表示直道DP 的长度；（2）计划在△ADP 区域内修建健身广场，在△CDP 区域内种植花草．已知修建健身广场的成本为每平方百米4万元，种植花草的成本为每平方百米2万元，新建道路DP 的成本为每百米4万元，求以上三项费用总和的最小值（单位：万元）．【分析】（1）根据解三角形和正弦定理可得DP =2sinθ，π6＜θ＜5π6，（2）分别求出S △APD ，S △ADC ，可得S △DPC ，设三项费用之和为f （θ），可得f （θ）＝12√3+4（2+cosθsinθ），π6＜θ＜5π6，利用导数求出最值．解：（1）过点D 作DD ′⊥AB ，垂足为D ′，在Rt △ABC 中，∵AB ⊥BC ，∠BAC =π6，AB ＝6， ∴BC ＝2√3，在Rt △ADD ′中，∵AD ′＝2，DD ′＝2√3，AD ＝4，∴sin ∠DAD ′=√32，∴∠DAD ′=π3， ∵∠BAC =π6， ∴∠ADP =π6，在△ADP 中，由正弦定理可得AD sinθ=DP sinπ6，∴DP =2sinθ，π6＜θ＜5π6；（2）在△ADP 中，由正弦定理可得AP sin∠ADP =AD sinθ，∴AP =4sin∠ADP sinθ=4sin(5π6−θ)sinθ， ∴S △APD =12AP •PD •sin θ=4sin(5π6−θ)sinθ，又S △ADC ＝AD •DC •sin ∠ADC =12×4×4×sin 2π3=4√3， ∴S △DPC ＝S △ADC ﹣S △APD ＝4√3−4sin(5π6−θ)sinθ，设三项费用之和为f （θ），则f （θ）=4sin(5π6−θ)sinθ×4+（4√3−4sin(5π6−θ)sinθ）×2+2sinθ×4＝12√3+4（2+cosθsinθ），π6＜θ＜5π6， ∴f ′（θ）＝8（−12−cosθsin θ），令f ′（θ）＝0，解得θ=2π3，当θ∈（π6，23π）时，f ′（θ）＜0，函数f （θ）单调递减，当θ∈（2π3，5π6）时，f ′（θ）＞0，函数f （θ）单调递增，∴f （θ）min ＝f （2π3）＝16√3，答：三项费用总和的最小值为16√3万元．【点评】本题考查了函数解析式的求解，解三角形，函数最值的计算，属于中档题． 18．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）过点（0，1），椭圆C 的离心率e =√32．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，设直线l 与圆x 2+y 2＝r 2（1＜r ＜2）相切于点A ，与椭圆C 相切于点B ，当r 为何值时，线段AB 长度最大？并求出最大值．【分析】（1）由椭圆的过的店的坐标，及离心率，以及a ，b ，c 之间的关系，求出a ，b 的值，进而求出椭圆的标准方程；（2）设直线l 的方程，由与圆x 2+y 2＝r 2（1＜r ＜2）相切可得圆心到直线的距离为半径，可得m ，k ，r 之间的关系，再由与椭圆联立由相切由判别式等于0可得m ，k ，r 之间的关系，求出弦长|AB |的表达式，由均值不等式求出|AB |的最大值．解：（1）由椭圆过的定点坐标及离心率可得b ＝1，c a=√32，又c 2＝a 2﹣b 2，解得：a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆C 的标准方程：x 24+y 2＝1；（2）设直线AB 的方程为：y ＝kx +m ，因为直线l 与圆C ：x 2+y 2＝r 2（1＜r ＜2）相切于A ，所以r =|m|√1+k，即m 2＝r 2（1+k 2），①，因为直线l与椭圆C相切于B，联立直线与椭圆的方程：{y=kx+mx24+y2=1，整理可得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0有两个相等的实数根，所以△＝64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＝0，整理可得m2＝1+4k2，②由①②可得{m2=3r24−r2 k2=r2−14−r2；设B（x1，y1），由求根公式可得x1=−8km2(1+4k2)=−4kmm2=−4k m，∴y1＝kx1+m＝k（−4km）+m=−4k2+m2m=1m，∴|OB|2＝x12+x22=16k 2+1m =5−4r2，∴在直角三角形OAB中，|AB|2＝|OB|2﹣|0A|2＝5−4r2−r2＝5﹣（r2+4r2）≤5﹣4＝1，当r4＝4，即r=√2，即r=√2∈（1，2）时，|AB|取到最大值，且最大值为1．【点评】本题考查求椭圆的标准方程，及直线与椭圆相切，直线与圆相切的性质及均值不等式的应用，属于中档题．19．（16分）已知函数f（x）＝xlnx+a和函数g（x）＝lnx﹣ax．（1）若曲线f（x）在x＝1处的切线过点A（2，﹣2），求实数a的值．（2）求函数h（x）＝g（x）+x2的单调区间．（3）若不等式f（x）+g（x）＞0对于任意的x＞1恒成立，求实数a的最大值．【分析】（1）先利用导数将x＝1处的切线方程表示出来，然后将点（2，﹣2）代入，即可求出a的值；（2）求出f（x）的导数，然后判断导数的符号即可；（3）利用判别式判断函数q （x ）＝f （x ）+g （x ）的零点情况，然后根据零点研究导数的符号，确定函数q （x ）的单调性、最值，构造出a 的不等式求解．解：（1）因为f ′（x ）＝lnx +1，∴f ′（1）＝1，结合f （1）＝a ，所以f （x ）在x ＝1处的切线方程为y ﹣a ＝x ﹣1，结合切点过A （2，﹣2）， ∴﹣2﹣a ＝2﹣1，∴a ＝﹣3．（2）h （x ）＝lnx ﹣ax +x 2的定义域为（0，+∞）． h′(x)=2x 2−ax+1x=0，则x 2﹣ax +1＝0，令△＝a 2﹣8． ①当△≤0，即−2√2≤a ≤2√2时，h ′（x ）≥0，所以h （x ）的增区间为（0，+∞）． ②当△＞0，即a ＜−2√2或a ＞2√2时，2x 2﹣ax +1＝0有两个不等的实数根即：x 1=a−√a 2−84，x 2=a+√a 2−84．当a ＜−2√2时，x 1，x 2＜0，∴h ′（x ）＞0，所以h （x ）的增区间为（0，+∞）；当a ＞2√2时，x 1＞0，x 2＞0，令h ′（x ）＞0，则0＜x ＜x 1或x ＞x 2；令h ′（x ）＜0，则x 1＜x ＜x 2．所以h （x ）的增区间为（0，x 1），（x 2，+∞）；减区间为（x 1，x 2）．（3）令q （x ）＝f （x ）+g （x ）＝（x +1）lnx ﹣ax +a ，显然q （1）＝0． q′(x)=lnx +1x +1−a ，（x ＞1）．①当a ≤2时，q ′（x ）＞0，所以q （x ）在（1，+∞）上递增，∴q （x ）＞q （1）＝0，符合题意；②当a ＞2时，q″(x)=x−1x 2＞0，所以q ′（x ）在（1，+∞）上递增，且q ′（1）＝2﹣a ＜0，令x ＝e a ，显然q′(e a )=1e a+1＞0，故存在唯一实数x 0＞1，使得q ′（x 0）＝0，当x ∈（1，x 0）时，q ′（x ）＜0；当x ∈（x 0，+∞）时，q ′（x ）＞0，所以q （x ）在（1，x 0）递减，所以q （x 0）＜q （1）＝0，与q （x ）＞0矛盾．综上，a 的最大值为2．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值以及最值情况，同时考查学生运用分类讨论、函数与方程思想解决问题的能力，也体现了对学生的逻辑推理、数学运算等数学核心素养的考查．属于较难的题目．20．（16分）已知等差数列{a n }和等比数列{b n }的各项均为整数，它们的前n 项和分别为S n ，T n ，且b 1＝2a 1＝2，b 2S 3＝54，a 2+T 2＝11．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）求M n ＝a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+…+a n b n ；（3）是否存在正整数m ，使得S m +T m+1S m +T m恰好是数列{a n }或{b n }中的项？若存在，求出所有满足条件的m 的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）设等差数列{a n }的公差为d 和等比数列{b n }的公比为q ，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求通项公式；（2）由数列的错位相减法法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和；（3）假设存在正整数m ，使得S m +T m+1S m +T m恰好是数列{a n }或{b n }中的项，可设m 2+3m+1−1m 2+3m −1=L ，L ∈N*，化简整理，结合整数的性质可得L ＝2或3，分别讨论L 的值，解方程可得所求结论．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d 和等比数列{b n }的公比为q ，由b 1＝2a 1＝2，b 2S 3＝54，a 2+T 2＝11，可得{2q(3+3d)=541+d +2+2q =11，解得{d =2q =3或{d =5q =32（舍去），则a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1；b n ＝2•3n ﹣1；（2）M n ＝a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+…+a n b n ＝1•2+3•6+…+（2n ﹣1）•2•3n ﹣1， 3M n ＝1•6+3•18+…+（2n ﹣1）•2•3n ，两式相减可得﹣2M n ＝2+2（6+18+…+2•3n ﹣1）﹣（2n ﹣1）•2•3n＝2+4•3(1−3n−1)1−3−（2n ﹣1）•2•3n ，化简可得M n ＝2（n ﹣1）•3n +2；（3）由（1）可得S n ＝n 2，T n ＝3n ﹣1，假设存在正整数m ，使得S m +T m+1S m +T m恰好是数列{a n }或{b n }中的项，所以S m +T m+1S m +T m=m 2+3m+1−1m 2+3m −1，可设m 2+3m+1−1m 2+3m −1=L ，L ∈N*，所以（L ﹣1）（m 2﹣1）＝（3﹣L ）3m ，因为m 2﹣1≥0，3m ＞0，所以1＜L ≤3，由L ∈N*，可得L ＝2或3，当L ＝2时，m 2﹣1＝3m，即m 2−13=1，可令f （m ）=m 2−13m ，f （m +1）﹣f （m ）=(m+1)2−13m+1−m 2−13m =−2m 2−2m−33m+1，当m ＝1时，f （1）＜f （2），当m ≥2时，f （m +1）＜f （m ），可得f （1）＜f （2）＞f （3）＞f （4）＞…，由f （1）＝0，f （2）=13，可得m 2−13=1无整数解．当L ＝3时，有m 2﹣1＝0，即存在m ＝1使得m 2+3m+1−1m 2+3m −1=3，是数列{a n }中的第二项，故存在正整数m ＝1，使得S m +T m+1S m +T m恰好是数列{a n }中的项．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的错位相减法求和，数列中存在性问题解法，考查方程思想和分类讨论思想，化简运算能力和推理能力，属于难题．选做题【本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚[选修4-2：矩阵与变换]21．已知二阶矩阵M =[a 13b ]的特征值λ＝﹣1所对应的一个特征向量e 1→=[1−3]．（1）求矩阵M ；（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C ′的方程为xy ＝1，求曲线C 的方程．【分析】本题（1）可以利用矩阵的特征值和特征向量的意义列出相应的方程，解方程得到本题结论；（2）根据矩阵变换下相关点的坐标关系，利用代入法求出曲线的方程，得到本题结论．解：（1）依题意，得[a 13b ][1−3]=[−13]，即{a −3=−13−3b =3，解得{a =2b =0， ∴M =[2130]；（2）设曲线C 上一点P （x ，y ）在矩阵M 的作用下得到曲线xy ＝1上一点P ′（x ′，y ′），则[x′y′]=[2130][xy ]，即{x′=2x +y y′=3x ，∴x ′y ′＝1，∴（2x +y ）×（3x ）＝1，整理得曲线C 的方程为6x 2+3xy ＝1．【点评】本题考查了矩阵的特征值和特征向量，本题难度不大，属于基础题． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若直线l 的极坐标方程为ρsin （θ−π4）＝3√2．（1）把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知P 为椭圆C ：x 23+y 2＝1上一点，求P 到直线l 的距离的最小值．【分析】（1）展开两角差的正弦，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的直角坐标方程；（2）设P （√3cosα，sinα）（0≤π＜2π），写出点到直线的距离公式，再由三角函数求最值．解：（1）由ρsin （θ−π4）＝3√2，得√22ρsinθ−√22ρcosθ=3√2，即ρsin θ﹣ρcos θ＝6．∴直线l 的直角坐标方程为x ﹣y +6＝0；（2）P 为椭圆C ：x 23+y 2＝1上一点，设为P （√3cosα，sinα）（0≤π＜2π），∴P 到直线l 的距离d =√3cosα−sinα+6|2=|2cos(α+π6)+6|2．∴当cos （α+π6）＝﹣1时，d 取得最小值为2√2．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查点到直线距离公式的应用，训练了利用三角函数求最值，是中档题． [选修4-5：不等式选讲]23．已知实数x ，y ，z 满足x +y +z ＝2，求2x 2+3y 2+z 2的最小值．【分析】由柯西不等式知：（x +y +z ）2≤[（√2x ）2+（√3y ）2+z 2]•[（√2）2+（√3）2+12]故2x 2+3y 2+z 2≥2411，由此能求出2x 2+3y 2+z 2的最小值．解：由柯西不等式可知：（x +y +z ）2≤[（√2x ）2+（√3y ）2+z 2]•[（√2）2+（√3）2+12]，…故2x 2+3y 2+z 2≥2411，当且仅当√2x1√2=√3y1√3=z1，即：x =611，y =411，z =1211时，2x 2+3y 2+z 2取得最小值为2411．【点评】考查柯西不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的灵活运用，属于基础题．【必做题】第22题、第23题，每小题0分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）上不同两点．（1）若抛物线C 的焦点为F ，D （x 0，y 0）为AB 的中点，且AF +BF ＝4+2y 0，求抛物线C 的方程；（2）若直线AB 与x 轴交于点P ，与y 轴的正半轴交于点Q ，且y 1y 2=p 24，是否存在直线AB ，使得1PA+1PB=3PQ？若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用抛物线的定义，有AF +BF ＝y 1+y 2+p ＝2y 0+p ＝4+2y 0，从而求得p 的值，即可得解；（2）直线AB 的斜率一定存在，设其方程为y ＝kx +m （k ≠0，m ＞0），将其与抛物线的方程联立，消去y 得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系，可分别求得y 1+y 2和y 1y 2，从而得到m =p2；作AA '⊥x 轴于A '，BB '⊥x 轴于B '，利用三角形相似，可将1PA+1PB=3PQ转化为OQ AA′+OQ BB′=3，把该等式中的线段全用m 和p 代换，化简整理后，可求得k 的值，从而得解．解：（1）由抛物线的定义可知，AF +BF ＝y 1+y 2+p ＝2y 0+p ＝4+2y 0， ∴p ＝4，故抛物线C 的方程为x 2＝8y ．（2）由题意得，直线AB 的斜率一定存在，设其方程为y ＝kx +m （k ≠0，m ＞0），则点Q （0，m ），联立{y =kx +mx 2=2py，得x 2﹣2pkx ﹣2pm ＝0，∴x1+x2＝2pk，x1x2＝﹣2pm，∴y1y2=x122p⋅x222p=m2=p24，解得m=p2，y1+y2=k(x1+x2)+2m=2pk2+2m，作AA'⊥x轴于A'，BB'⊥x轴于B'，∵1PA +1PB=3PQ，∴PQPA+PQPB=3，则OQAA′+OQBB′=3，∴my1+my2=m(y1+y2)y1y2=m(2pk2+2m)p24=p2(2pk2+p)p24=k2+1214=3，解得k2=14，k=±1 2，∴存在直线AB满足题意，其方程为y=±12x+p2．【点评】本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系，还借助了三角形相似求线段比例，考查学生的转化与化归能力和运算能力，属于中档题．25．已知数集A＝{a1，a2，…，a n}，其中0≤a1＜a2＜…＜a n，且n≥3，若对∀i，j（1≤i ≤j≤n），a j+a i与a j﹣a i两数中至少有一个属于A，则称数集A具有性质P．（Ⅰ）分别判断数集{0，1，3}与数集{0，2，4，6}是否具有性质P，说明理由；（Ⅱ）已知数集A＝{a1，a2…a8}具有性质P，判断数列a1，a2…a8是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据数集A具有性质P的定义，判断数集{0，1，3}与数集{0，2，4，6}是否具有性质P．（Ⅱ）根据数集A＝{a1，a2…a8}具有性质P，可得a i+a9﹣i＝a8 …①，a i+a8﹣i＝a7 …②，由①②可知a i＝a8﹣a9﹣i＝a8﹣（a7﹣a i﹣1），即a i﹣a i﹣1＝a8﹣a7，从而得到a1，a2，…a8构成等查数列．解：（Ⅰ）由于3﹣1和3+1都不属于集合{0，1，3}，所以该集合不具有性质P；由于2+0、4+0、6+0、4+2、6﹣2、6﹣4、0﹣0、2﹣2、4﹣4、6﹣6都属于集合{0，2，4，6}，所以该数集具有性质P．…（Ⅱ）∵A＝{a1，a2，…，a8}具有性质P，所以a8+a8与a8﹣a8中至少有一个属于A，由0≤a1＜a2＜…＜a8，有a8+a8＞a8，故a8+a8∉A，∴0＝a8﹣a8∈A，故a1＝0．∵0＝a1＜a2＜…＜a8，∴a8+a k＞a8，故a8+a k∉A（k＝2，3，…，8）．由A具有性质P知，a8﹣a k∈A（k＝2，3，…，8）．又∵a8﹣a8＜a8﹣a7＜…＜a8﹣a2＜a8﹣a1，∴a8﹣a8＝a1，a8﹣a7＝a2，…，a8﹣a2＝a7，a8﹣a1＝a8，即a i+a9﹣i＝a8（i＝1，2，…，8）．…①由a2+a7＝a8知，a3+a7，a4+a7，…，a7+a7均不属于A，由A具有性质P，a7﹣a3，a7﹣a4，…，a7﹣a7均属于A，∴a7﹣a7＜a7﹣a6＜…＜a7﹣a4＜a7﹣a3＜a8﹣a3 ，∴a7﹣a7＝0，a7﹣a6＝a2，a7﹣a5＝a3，…，a7﹣a3＝a5，即a i+a8﹣i＝a7（i＝1，2…7）．…②由①②可知a i＝a8﹣a9﹣i＝a8﹣（a7﹣a i﹣1）（i＝1，2…7，8），即a i﹣a i﹣1＝a8﹣a7（i＝2，3，…，8）．故a1，a2，…a8构成等查数列．…【点评】本题主要考查等差关系的确定，等差数列的定义，新定义，属于中档题．。

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