(完整版)2.2.3独立重复试验与二项分布
课件5：2.2.3 独立重复试验与二项分布
(2)“5 次预报中至少有 2 次准确”的对立事件为“5 次预报 全部不准确或只有 1 次准确”，
其概率为 P＝C05×(0.2)5＋C15×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01. 所以所求概率为 1－P＝1－0.01＝0.99. 所以 5 次预报中至少有 2 次准确的概率约为 0.99.
(3)说明第 1,2,4,5 次中恰有 1 次准确． 所以概率为 P＝C14×0.8×0.23×0.8＝0.02 048≈0.02， 所以恰有 2 次准确，且其中第 3 次预报准确的概率约为 0.02.
P(X＝2)＝C32(34)2·14＝2674， P(X＝3)＝C33(34)3＝2674. 所以 X 的分布列为
X0 1 2 3
P
1 64
9 64
27 64
64
类型3 二项分布的综合应用
例 3 某车间有 10 台同类型的机床，每台机床配备的电 动机功率为 10 kW，已知每台机床工作时，平均每小时实际 开动 12 min，且开动与否是相互独立的．
P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝C13(13)(23)2＝49，
P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝C03(23)3＝287. 故 ξ 的分布列是
ξ0 12 3
P
1 27
2 9
4 9
8 27
【错因分析】 (1)对事件关系判断不明确，3 人选择项 目所属类别互不相同的事件 AiBjCk(i，j，k 互不相同)共有 A33 ＝6 种情形，误认为只有 A1B2C3 发生，导致计数错误．
2.2.3独立重复试验与二项分布
如果将上题改为：在相同条件下，抛5次骰子，出现 两次1点的概率为多少？ 抛10次骰子出现两次1点的概率为多少？
若改为抛n(n≥3)次骰子，出现两次1点的概率为多 少呢？ 出现三次一点的概率为多少呢？
进而出现k次1点的概率为多少呢？（0≤k ≤n）
学到了什么
1.理解n 次独立重复试验的概念 2.理解伯努利概型是哪一类问题？并会求其
概率 3.体会从题目中分析概率模型，并会求一些
简单的概率应用问题
作业
P57 练习A.T4 P57 练习B.T2
击，已知至少命中一次的概率为 80 ，则
此射手的命中率为______
81
3.假定人在一年365天中的任意一天出生的概率是相同 的，某班级有50名同学， （1）其中至少有两个同学生于元旦的概率是多少？ （2）其中至少有两个同学生于同一天的概率是多少？
4.某运动员练习射击，他的命中率为0.8，在 相同条件下，他射击了5次，求他命中三次且 连续命中两次的概率？
独立重复试验
鞍山一中 周兴奎
复习旧知
如何求互斥事件中至少有一个发生的概率？ P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2) P(A1∪A2∪···∪An)=P(A1) +P(A2)+ ···+
P(An)
如何求相互独立事件同时发生的概率 P(A1∩A2)=P(A1) × P(A2)
P(A1∩A2∩···∩An)=P(A1) ×P(A2)× ···× P(An)
③某气象站天气预报的准确率为80%，5次预报中 一次都没预报成功的概率？
④已知某种疗法的治愈率是பைடு நூலகம்0%，在对10位病人采 用这种疗法后，至少有8人治愈的概率是多少？
2.2.3独立重复试验与二项分布(二)2013.5.29
C42 p2 1 p2 C43 p3 1 p p4
二发动机正常飞行的概率P2= C21 p1 p p2
∵ P1>P2 ∴ 整理得 3 p4 8 p3 7 p2 2 p 0
即 p p 12 3p 2 0 ∵ 0<p<1 ∴ 2/3<p<1
∴ 2/3<p<1时,四发动机飞机比两发动机飞机更安全.
A
1
C 50 365
36550
0.97
例2（05，北京）甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目
标的概率为 1 ，乙每次击中目标的概率为 2 ，求：
2
3
（1）甲恰好击中目标2次的概率；
（2）乙至少击中目标2次的概率；
（3）乙恰好比甲多击中目标2次的概率；
（4）甲、乙两人共击中5次的概率。
练：甲、乙两个篮球远动员投篮命中率分别为0.7和0.6，每
解:(2)该学生在途中至少遇到一次红灯的事件为{X≥1}
(2)该学生在途中至少遇到一次红灯的概率。
分析:(2)该学生在途中至少遇到一次红灯的事件 为{X≥1}
所以所求概率为
P(X≥1)=1-P(X=0)=
1
2 3
4
65 81
(3)设Y为该学生在首次停车前经过的路口次数, 求Y的分布列.(若没有停车,认为Y=4)
例5 某人抛掷一枚硬币，出现正面和反面的概率都是0.5，构
造数列{an}，使 an
1，当第n次出现正面 -1，当第n次出现反面
记 Sn a1 a2 ... an (n N *)
（1）求 S8 2 时的概率；
（2）求S2 0且S8 2 时的概率。
(2)求S2≠0, 且S8=2时的概率. 分析: ∵S2≠0, ∴前两次抛掷硬币为2次都是正面或2次都是反面.
《2.2.3独立重复实验与二项分布》教案
2．2．3独立重复实验与二项分布教学目标：知识与技能：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。
过程与方法：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题 教学难点：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥 11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么12()n P A A A +++＝12()()()n P A P A P A +++13．相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立14．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅一般地，如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 二、讲解新课： 1 独立重复试验的定义： 指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验2．独立重复试验的概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(．它是[](1)nP P -+展开式的第1k +项 3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．由于k n k k n q p C -恰好是二项展开式011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布（binomial distribution )，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．三、讲解范例：例1．某射手每次射击击中目标的概率是0 . 8.求这名射手在 10 次射击中，(1)恰有 8 次击中目标的概率；(2)至少有 8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．)解：设X 为击中目标的次数，则X ～B (10, 0.8 ) .(1)在 10 次射击中，恰有 8 次击中目标的概率为P (X = 8 ) ＝88108100.8(10.8)0.30C -⨯⨯-≈. (2)在 10 次射击中，至少有 8 次击中目标的概率为P (X ≥8) = P (X = 8) + P ( X = 9 ) + P ( X = 10 )8810899109101010101010100.8(10.8)0.8(10.8)0.8(10.8)C C C ---⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-0.68≈.例2．（2000年高考题）某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．解：依题意，随机变量ξ～B (2，5%)．所以，P (ξ=0)=02C (95%)2=0.9025，P (ξ=1)=12C (5%)(95%)=0.095，P (2=ξ)=22C (5%)2=0.0025．因此，次品数ξ例3．>3)．解：依题意，随机变量ξ～B ⎪⎭⎫ ⎝⎛61,5．∴P (ξ=4)=6561445⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛C =777625，P (ξ=5)=55C 561⎪⎭⎫ ⎝⎛=77761． ∴P (ξ>3)=P(ξ=4)+P (ξ=5)=388813 例4．某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）： （1）5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预报中至少有4次准确的概率解：（1）记“预报1次，结果准确”为事件A ．预报5次相当于5次独立重复试验，根据n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率计算公式，5次预报中恰有4次准确的概率4454455(4)0.8(10.8)0.80.41P C -=⨯⨯-=≈ 答：5次预报中恰有4次准确的概率约为0.41.（2）5次预报中至少有4次准确的概率，就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都准确的概率的和，即4454555555555(4)(5)(4)0.8(10.8)0.8(10.8)P P P P C C --=+==⨯⨯-+⨯⨯-450.80.80.4100.328=+≈+≈答：5次预报中至少有4次准确的概率约为0.74．例5．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是14，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）解：记事件A ＝“1小时内，1台机器需要人照管”，1小时内5台机器需要照管相当于5次独立重复试验1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率55513(0)(1)()44P =-=，1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率145511(1)(1)44P C =⨯⨯-， 所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为[]551(0)(1)P P P =-+≈答：1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为0.37．点评：“至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法例6．某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击n 次记事件A ＝“射击一次，击中目标”，则()0.25P A =．∵射击n 次相当于n 次独立重复试验，∴事件A 至少发生1次的概率为1(0)10.75nn P P =-=-． 由题意，令10.750.75n -≥，∴31()44n ≤，∴1lg4 4.823lg 4n ≥≈， ∴n 至少取5． 答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次例7．十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？解：依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次 ∴从低层到顶层停不少于3次的概率 3364455549999991111111()()()()()()()2222222P C C C C =++++ 3459990129999999911()()2()()22C C C C C C C ⎡⎤=+++=-++⎣⎦+991233(246)()2256=-= 设从低层到顶层停k 次，则其概率为k 9999111C ()()()222k k k C -=， ∴当4k =或5k =时，9k C 最大，即991()2k C 最大， 答：从低层到顶层停不少于3次的概率为233256，停4次或5次概率最大． 例8．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．（2）按比赛规则甲获胜的概率．解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12． 记事件A =“甲打完3局才能取胜”，记事件B =“甲打完4局才能取胜”，记事件C =“甲打完5局才能取胜”．①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜∴甲打完3局取胜的概率为33311()()28P A C ==． ②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负∴甲打完4局才能取胜的概率为2231113()()22216P B C =⨯⨯⨯=． ③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负∴甲打完5局才能取胜的概率为22241113()()()22216P C C =⨯⨯⨯=． (2)事件D ＝“按比赛规则甲获胜”，则D A B C =++，又因为事件A 、B 、C 彼此互斥， 故1331()()()()()816162P D P A B C P A P B P C =++=++=++=． 答：按比赛规则甲获胜的概率为12． 例9．一批玉米种子，其发芽率是0.8.（1）问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？（2）若每穴种3粒，求恰好两粒发芽的概率．（lg 20.3010=）解：记事件A ＝“种一粒种子，发芽”，则()0.8P A =，()10.80.2P A =-=，（1）设每穴至少种n 粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%．∵每穴种n 粒相当于n 次独立重复试验，记事件B ＝“每穴至少有一粒发芽”，则00()(0)0.8(10.8)0.2n n n n P B P C ==-=． ∴()1()10.2nP B P B =-=-．由题意，令()98%P B >，所以0.20.02n <，两边取常用对数得， lg0.2lg0.02n <．即(lg 21)lg 22n -<-， ∴lg 22 1.6990 2.43lg 210.6990n ->=≈-，且n N ∈，所以取3n ≥． 答：每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%．（2）∵每穴种3粒相当于3次独立重复试验，∴每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为2230.80.20.384P C =⨯⨯==，答：每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为0.384四、课堂练习：1．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（ ）()A 33710(1)C p p - ()B 33310(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p - 2．10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为（ ）()A 32100.70.3C ⨯⨯ ()B 1230.70.3C ⨯⨯ ()C 310 ()D 21733103A A A ⋅ 3．某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是 （ ）()A 33351A A - ()B 211232323355A A A A A A ⋅⋅+ ()C 331()5- ()D 22112333232()()()()5555C C ⨯⨯+⨯⨯ 4．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）()A 23332()55C ⋅ ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()()33C 5．一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，则该射手打3发得到不少于29环的概率为 ．（设每次命中的环数都是自然数）6．一名篮球运动员投篮命中率为60%，在一次决赛中投10个球，则投中的球数不少于9个的概率为 ．7．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手的命中率为 ．8．某车间有5台车床，每台车床的停车或开车是相互独立的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为31，求：（1）在任一时刻车间有3台车床处于停车的概率；（2）至少有一台处于停车的概率9．种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求：⑴全部成活的概率； ⑵全部死亡的概率；⑶恰好成活3棵的概率； ⑷至少成活4棵的概率10．（1）设在四次独立重复试验中，事件A 至少发生一次的概率为8081，试求在一次试验中事件A 发生的概率（2）某人向某个目标射击，直至击中目标为止，每次射击击中目标的概率为13，求在第n 次才击中目标的概率 答案：1. C 2. D 3. A 4. A 5. 0.784 6. 0.0467. 23 8.（1）()323551240333243P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()()5552211113243P B P B C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 9.⑴5550.90.59049C =； ⑵5550.10.00001C =；⑶()3325530.90.10.0729P C =⋅=； ⑷()()55450.91854P P P =+=10.(1) 23P = (2) 112()33n P -=⋅ 五、小结 ：1．独立重复试验要从三方面考虑第一：每次试验是在同样条件下进行第二：各次试验中的事件是相互独立的不发生2．如果1次试验中某事件发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为k n k k n n P P C k P --=)1()(对于此式可以这么理解：由于1次试验中事件A 要么发生，要么不发生，所以在n 次独立重复试验中A 恰好发生k 次，则在另外的n k -次中A 没有发生，即A 发生，由()P A P =，()1P A P =-所以上面的公式恰为n P P ])1[(+-展开式中的第1k +项，可见排列组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系六、课后作业：课本58页 练习1、2、3、4第60页 习题 2. 2 B 组2、3七、板书设计（略）八、课后记：教学反思：1. 理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。
独立重复事件与二项分布
例3、甲、乙两人进行五次比赛，如果甲或
乙无论谁胜了三次，比赛宣告结束。假定甲
获胜的概率是 2 ，乙获胜的概率是 1 ，
试求下列概率。3
3
（I）比赛以甲3胜1败而结束的概率；
（II）比赛以乙3胜2败而结束的概率；
（III）设甲先胜3次的概率为a，乙先胜3次
的概率为b，求a:b的值。
预备：冰箱内两格放着甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮 新疆 王新敞 奎屯 用时从两格中任取1瓶甲种或乙种饮料，取甲种或乙 种饮料概率相等。
n=1时即为二点分布
3.Pn (k ) Cnk Pk (1 P)nk与二项式定理间的关系:
Pn
(k
)
C
k n
P
k
(1
P)
nk
是二项展开式
[(1
P)
P]n
的第k+1项。
3.例题分析：
直接用公式求概率
例1.某射手每次射击，没击中目标的概率是0.2，
求这名射手在10次射击中，
（1）恰有8次击中目标的概率
2.2.3 独立重复事件与二项分布
1.独立重复试验：一般地，在相同条件下可以重 复进行的，各次之间是相互独立的一种试验，称 为独立重复试验
2.n次独立重复试验：一般地，在相同条件下重 复做的n次试验称为n次独立重复试验
说明：
1。要有一系列试验，每次试验只有发生或不发生两 种结果
2。事件的概率在整个系列的试验中保持不变。 每次试验结果与其它各次试验结果无关。
小结：
1.n次独立重复试验：一般地，在相同条件下重 复做的n次试验称为n次独立重复试验
说明：
1。要有一系列试验，每次试验只有发生或不发 生两种结果
2.2.3独立重复试验与二项分布课件人教新课标B版
ξ
0
1
2
3
P 0.001 0.027 0.243 0.729
数学 选修2-3
第二章 随机变量及其散布
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
二项散布的应用
甲、乙两人各射击一次击中目标的概率分别是23和 34，假设两人每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．
第二章 随机变量及其散布
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
采用有放回的取球，每次取得红球的概率都
相等，均为35，取得红球次数 X 可能取的值为 0,1,2,3,4.
由以上分析，知随机变量 X 服从二项分布，
4分
P(X＝k)＝Ck435k·1－354－k(k＝0,1,2,3,4).
6分
数学 选修2-3
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
[问题2] 3次中恰有1次针尖向上，有几种情况？
[提示 2] 共有 3 种情况：A1 A2 A3 ，A1 A2 A3 ，A1 A2 A3. [问题3] 它们的概率分别是多少？ [提示3] 概率都是0.61×(1－0.6)2.
数学 选修2-3
第二章 随机变量及其散布
第二章 随机变量及其散布
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
(2)3 局比赛相当于进行 3 次独立重复试验，因为顺序一定， 所以在前 3 局比赛中，直至第 3 局甲才胜 1 局的概率为：
P＝1－123－1121＝18. (3)4 局比赛相当于进行 4 次独立重复试验，但甲在第 4 局 比赛一定取胜，而前 3 局为 2 胜 1 负，故甲打完 4 局取胜的概 率为： P＝C23122×1－121×12＝136.
数学 选修2-3
第二章 随机变量及其散布
(完整)2.2.3 独立重复试验与二项分布
C32
3 5
(1
3
5 )2
5
54 125
5
5
125
（4）刚好在第二、第三两次击中目标。
(1 3) 3 3 18 5 5 5 125
11 [普通高中课程数学选修课2-3堂] 练2.2习二项分布及其应用
1、每次试验的成功率为P（0＜P＜1）,重复进行10次 试验，其中前七次未成功后三次成功的概率（ C ）
C
n n
pn
注: P( X k ) cnk pkqnk是( p q)n展开式中的第 k 1 项.
8 [普通高中课程数学选修2-3] 2.2 二项分布及其应用
二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？ 1．两点分布是特殊的二项分布 (1 p)
2．一个袋中放有 M 个红球，( N M )个白球，依次从袋中 取 n 个球，记下红球的个数 .
P(B0) P(A1 A2 A3) q3, P(B1) P(A1 A2 A3) P(A1A2 A3) P(A1 A2 A3) 3q2 p, P(B2) P(A1A2 A3) P(A1A2 A3) P(A1 A2 A3) 3qp2,
P(B3 ) P( A1A2 A3 ) p3.
所以，连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是 3q2 p.
6 [普通高中课程数学选修2-3] 2.2 二项分布及其应用
思考？
上面我们利用掷1次图钉，针尖向上的概率为p，求 出了连续掷3次图钉，仅出现次1针尖向上的概率。类
似地，连续掷3次图钉，出现 k(0 k 3) 次针尖向
上的概率是多少？你能发现其中的规律吗？
（2）在10次射击中，至少8次击中目标的概率为：
2.2.3独立重复试验与二项分布
√ A. X~B ( 5，0.5 )
A. 0.192
C. X~B ( 2，0.5 )
B. X~B (0.5，5 ） D. X~B ( 5，1 )
（2）随机变量X~B ( 3, 0.6 ) ,Ｐ ( Ｘ=1 ) =（ ）
B. 0.288
√
情感、态度与价值观
（1）通过主动探究、合作学习、相互交 流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数 学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度 和契而不舍的钻研精神; （2）培养学生对新知识的科学态度，勇 于探索和敢于创新的精神. 让学生了解数学来 源于实际，应用于实际的唯物主义思想.
教学重难点
独立重复试验、二项分布的理 解及应用二项分布模型解决一些简 单的实际问题. 二项分布模型的构建.
继续
P(ξ=1)=C21(95%)(5%)=0.095；
P(ξ=2)=C22(5%)2=0.0025.
因此，次品数ξ的概率分布是
ξ P 0 0.9025 1 0.095 2 0.0025
课堂练习
1.填空
（1）某人考试，共有5题,解对4题为及格，若 243 他解一道题正确率为0.6，则他及格概率为_____. 625
2.能力总结
① 分清事件类型； ② 转化复杂问题为基本的互斥事件与相互 独立事件.
3.思想、方法
① 分类讨论、归纳与演绎的方法； ② 辩证思想.
高考链接
1. （2000年高考题）某厂生产电子元件，其 产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连 续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．
解：
依题意，随机变量ξ~B(2，5%)．所以， P(ξ=0)=C20(95%)2=0.9025；
2019-2020学年高中数学人教B版选修2-3教学案：2.2.3 独立重复试验与二项分布 Word版含解析
2．2.3 独立重复试验与二项分布[对应学生用书P31]要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验．试想每次试验的前提是什么？提示：条件相同．1．在相同条件下重复地做n次试验，各次实验的结果相互独立，则称它们为n次独立重复试验．2．一般地，如果在一次试验中事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P n(k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n).在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8.用A i(i＝1,2,3)表示第i次投篮命中这件事，用B1表示仅投中1次这件事．问题1：试用A i表示B1.提示：B1＝(A1∩A2∩A3)∪(A1∩A2∩A3)∪(A1∩A2∩A3)．问题2：试求P(B1)．提示：因为P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8，且A1∩A2∩A3，A1∩A2∩A3，A1∩A2∩A3两两互斥，故P(B1)＝P(A1∩A2∩A3)＋P(A1∩A2∩A3)＋P(A1∩A2∩A3)＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22＝3×0.8×0.22.问题3：用B k表示投中k次这件事，试求P(B2)和P(B3)．提示：P(B2)＝3×0.2×0.82，P(B3)＝0.83.问题4：由以上结果你能得出什么结论？提示：P(B k)＝C k30.8k0.23－k，k＝0,1,2,3.若将事件A发生的次数记为X，事件A不发生的概率为q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝C k n p k q n－k，其中k＝0,1,2，…，n.于是得到X的分布列由于表中的第二行恰好是二项式展开式(q＋p)n＝C0n p0q n＋C1n p1q n－1＋…＋C k n p k q n－k＋…＋C n p n q0各对应项的值，所以称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．1．独立重复试验满足的条件：(1)每次试验是在相同的条件下进行的；(2)各次试验的结果互不影响，即每次试验是相互独立的；(3)每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．2．二项分布中各个参数的意义：n表示试验的总次数；k表示在n次独立重复试验中成功的次数；p表示试验成功的概率；1－p表示试验不成功的概率．3．二项分布的特点：(1)对立性：即一次试验中只有两种结果——“成功”和“不成功”，而且有且仅有一个发生；(2)重复性：试验在相同条件下独立重复地进行n次，保证每一次试验中“成功”的概率和“不成功”的概率都保持不变．[对应学生用书P32][例1] 2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．[思路点拨]由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(或准确，或不准确)，符合独立重复试验模型．[精解详析](1)记“预报1次准确”为事件A，则P(A)＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为P＝C250.82×0.23＝0.051 2≈0.05.因此5次预报中恰有2次准确的概率为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P＝C05(0.2)5＋C15×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01.所求概率为1－P＝1－0.01＝0.99.(3)由题意知第1,2,4,5次预报中恰有1次准确．所以概率P＝C140.8×0.23×0.8＝0.020 48≈0.02.即恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.[一点通]1．运用独立重复试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率．2．解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．1．打靶时，甲每打10发可中靶8次，则他打100发子弹有4发中靶的概率为( ) A ．C 41000.84×0.296 B ．0.84 C ．0.84×0.296D ．0.24×0.296解析：设X 为中靶的次数，则X ～B (100,0.8)， ∴P (X ＝4)＝C 41000.84×0.296. 答案：A2．在4次独立重复试验中，事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中出现的概率为( )A.13B.25C.56D.34解析：由题意知，C 04p 0(1－p )4＝1－6581，p ＝13.答案：A3．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，求：(1)甲恰好击中目标2次的概率； (2)乙至少击中目标2次的概率； (3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率．解：(1)甲恰好击中目标2次的概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38.(2)乙至少击中目标2次的概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋C 3⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝2027. (3)设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A ，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B 1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B 2，则A ＝B 1∪B 2，B 1，B 2为互斥事件．P (A )＝P (B 1)＋P (B 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13×C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋C 3⎝ ⎛⎭⎪⎫233×C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝118＋19＝16.[2](12分)已知某种从太空飞船中带回来的植物种子每粒成功发芽的概率都为13，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的．(1)第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X ，求X 的概率分布列； (2)第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率．[思路点拨] (1)X 服从二项分布；(2)共7次试验，前6次试验有3次失败．[精解详析] (1)由题意，随机变量X 可能取值为0,1,2,3，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13.(2分)即P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫130⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝827，(4分)P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫131⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132＝49，(5分) P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫1－131＝29，(6分)P (X ＝3)＝C 3⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127.(7分)所以X 的概率分布列为(8分)(2)第二小组第7次试验成功，前面6次试验中有3次失败，3次成功，每次试验又是相互独立的，因此所求概率为P ＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133×13＝1602 187.(12分)[一点通]解决此类问题的步骤：(1)判断随机变量X 服从二项分布； (2)建立二项分布模型；(3)确定X 的取值并求出相应的概率； (4)写出分布列．4．已知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13，则P (X ＝2)等于( ) A.316 B.4243 C.13243D.80243解析：P (X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝80243.答案：D5．某射手每次射击击中目标的概率是0.8，现连续射击4次，求击中目标次数X 的分布列． 解：击中目标的次数X 服从二项分布X ～B (4,0.8)， ∴P (X ＝k )＝C k 4(0.8)k (0.2)4－k (k ＝0,1,2,3,4)，即X 的分布列为6.4名考生选做这两题的可能性均为12.(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的学生数为X ，求X 的分布列．解：(1)设事件A 表示“甲选做第14题”，事件B 表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“(A ∩B )∪(A ∩B )”，且事件A ，B 相互独立．∴P ((A ∩B )∪(A ∩B )) ＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝12×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＝12.(2)随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12.∴P (X ＝k )＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－124－k＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫124(k ＝0,1,2,3,4)． 所以变量X 的分布列为1．独立重复试验概率求解的关注点：(1)运用独立重复试验的概率公式求概率时，要判断问题中涉及的试验是否为n 次独立重复试验，判断时可依据n 次独立重复试验的特征．(2)解此类题常用到互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式． 2．二项式(q ＋p )n (p ＋q ＝1)的展开式中，第k ＋1项为T k ＋1＝Ckn q n －k p k ，可见P (X ＝k )就是二项式(q ＋p )n 的展开式中的第k ＋1项，故此公式称为二项分布公式．错误!1．某地人群中高血压的患病率为p ，由该地区随机抽查n 人，则( )A ．样本患病率X /n 服从B (n ，p ) B ．n 人中患高血压的人数X 服从B (n ，p )C ．患病人数与样本患病率均不服从B (n ，p )D ．患病人数与样本患病率均服从B (n ，p ) 解析：由二项分布的定义知B 正确． 答案：B2．某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分．已知他解题的正确率为35，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是( )A ．C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫354×25B ．C 5⎝ ⎛⎭⎪⎫355C ．C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫354×25＋C 5⎝ ⎛⎭⎪⎫355 D ．1－C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫353×⎝ ⎛⎭⎪⎫252 解析：该生被选中包括“该生做对4道题”和“该生做对5道题”两种情形，故所求概率为P ＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫354×25＋C 5⎝ ⎛⎭⎪⎫355. 答案：C3．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队的实力之比为3∶2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为( )A ．C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫353×25B ．C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352×25C ．C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫353×25D ．C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13解析：甲打完4局才胜，说明在前三局中甲胜两局，且在第4局中获胜，其概率为P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352×25×35＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫353×25. 答案：A4．位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫123 B ．C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125 C ．C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123 D ．C 25C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125 解析：质点由原点移动到(2,3)需要移动5次，且必须有2次向右，3次向上，所以质点的移动方法有C 25种．而每一次向右移动的概率都是12，所以向右移动的次数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，所求的概率等于P (X ＝2)＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125.答案：B5．下列说法正确的是________．①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B (10,0.6)； ②某福彩的中奖概率为P ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B (8，P )； ③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且X ～B⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12. 解析：①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X 的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．答案：①②6．设X ～B (2，p )，若P (X ≥1)＝59，则p ＝________.解析：∵X ～B (2，p )，∴P (X ＝k )＝C k 2p k (1－p )2－k ，k ＝0,1,2.∴P (X ≥1)＝1－P (X ＜1)＝1－P (X ＝0) ＝1－C 02p 0(1－p )2＝1－(1－p )2， ∴1－(1－p )2＝59.结合0≤p ≤1，解之得p ＝13.答案：137．在资料室存放着书籍和杂志，任一读者借书的概率为0.2，而借杂志的概率为0.8，设每人只借一本，现有5位读者依次借阅．(1)求5人中有两人借杂志的概率；(2)求5人中至多有2人借杂志的概率．(保留到0.000 1)解：记“一位读者借杂志”这为事件A ，则“此人借书”为事件A －，5位读者借几次可看作几次独立重复事件．(1)5人中有2人借杂志的概率为P ＝C 25(0.8)2(0.2)3＝0.051 2.(2)5人中至多有2人借杂志，包括三种情况：5人都不借杂志；5人中恰有1人借杂志；5人中恰有2人借杂志．所以求概率为P ＝C 05(0.8)0(0.2)5＋C 15(0.8)1(0.2)4＋C 25(0.8)2(0.2)3≈0.057 9.8．在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从桥上游漂流而下的一个巨大汽油灌，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是23.(1)求油灌被引爆的概率；(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为X ，求X 不小于4的概率．解：(1)油灌被引爆的对立事件为油灌没有被引爆，没有引爆的可能情况是射击5次只击中一次或一次也没有击中，故该事件的概率为C 15·23·⎝ ⎛⎭⎪⎫134＋⎝ ⎛⎭⎪⎫135＝11243， 所以所求的概率为 1－11243＝232243. (2)当X ＝4表示前3次中只有一次击中，第四次击中，则 P (X ＝4)＝C 13·23·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·23＝427.当X ＝5时，表示前4次射击只击中一次或一次也未击中，第5次可以击中，也可以不击中， 则P (X ＝5)＝C 14·23·⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19，所以所求概率为P (X ≥4)＝P (X ＝4)＋P (X ＝5)＝427＋19＝727.。
2.2.3独立重复试验与二项分布
例3. 一批产品有50%的一级品, 现进行重复抽样检 查, 共取出5个样品，试求： (1)取出的5个样品恰有2个一级品的概率； (2)取出的5个样品中至少有2个一级品的概率 (3)记X为取出产品中一级品的数量，求X的分 布列以及数学期望
练习：
4. 设在一袋子内装有6只白球, 4只黑球, 从这个 袋子中任意取球5次, 每次取一只, 每次取出 的球又立即放回袋子内,求在5次取球中(结果 保留两个有效数字) (1)取得白球3次的概率； (2)至少有1次取得白球的概率. (3)记X为取出的黑球数，求X的分布列、数学 期望
课堂练习
1. 课本P58 练习1, 2.
2. 某人参加一次考试,若5道题中解对4道则为及 格, 已知他解一道题的正确率为0.6, 试求他能 及格的概率(结果保留两位有效数字):
3. 甲乙丙三人各射击一次, 三人击中目标的概率 都是0.6, 求其中恰有一人击中目标的概率和 目标被击中的概率.
4. 甲乙两高射炮同时向一架敌机射击, 已知甲击 中敌机的概率是0.6, 乙击中敌机的概率为0.5. (1) 求敌机被击中的概率； (2)已知甲乙两炮都击中敌机时, 敌机才坠毁, 求敌机坠毁的概率。
在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的
概率是: Pn (k) Cnk Pk (1 P)nk
此时称随机变量X服从二项分布,记作 X～B(n,P), 并称P为成功概率
例2 某射手每次射击击中目标的概率是 0.8.求这各射手在10射击中， （1）恰有8次击中目标的概率； （2）至少有8次击中目标的概率.
解: 记事件A:预报1次, 结果准确
则P(A)=0.8
∴(1)P5(4)=C54 0.84(1-0.8)5-4≈0.41
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-3)配套课件第二章 2.2.3 独立重复试验与二项分布
)
栏 目 链 接
C．0.84×0.2 96 D．0.24×0.296
解析：由题意可知中靶的概率为 0.8，故打 100 发子
4 96 弹有 4 发中靶的概率为 C4 1000.8 ×0.2 .故选 A.
答案：A
自 测 自 评
3．在 4 次独立试验中，事件 A 出现的概率相同，若事件 65 A 至少发生 1 次的概率是 ，则事件 A 在一次试验中发生的 81 概率是( A ) 1 2 5 2 A. B. C. D. 3 5 6 3
33 32 216 3 P＝C5× ×1－ ＝ . 5
栏 目 链 接
5
625
(3)该射手射击了 5 次，其中恰有 3 次连续击中目标，而 其他两次没有击中目标，应用排列组合知识，把 3 次连续击
1 中目标看成一个整体可得共有 C3 种情况．
故所求概率为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
32 1 33 · 1－ ＝ P＝C3·
5
5
324 . 3 125
栏 目 链 接
点评：解决此类问题的关键是正确设出独立重复试验中 的事件 A，接着分析随机变量是否满足独立重复试验概型的
k n－k 条件，若是，利用公式 P(ξ＝k)＝Ck p (1 － p ) 计算便可． n
变 式 迁 移 1．某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设 每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中 任一个片区的房源是等可能的．该市的4位申请人中恰
各次之间 重复地 ________地进行的一种试验，也叫贝努里试验． 相互独立
特点：每一次试验的结果只有
______________________________，且任何一次试验中发
二项分布及其分布列 PPT
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
9
思考7：假设在投掷图钉的试验中，每次 抛掷针尖向上的概率都是0.7，则连续抛 掷10次恰有6次针尖向上的概率如何计算？
P6=C1600.76?0.34
思考8：一般地，设在每次试验中事件A
发生的概率为p，则在n次独立重复试验
中，事件A恰好发生k次的概率如何计算？
3.二项分布是来自于独立重复试验的 一个概率模型，对于求在n次独立重复试 验中，事件A恰好发生k次的概率，就直 接利用概率公式求解.
作业：
P58练习：1，2，3，4.
0.37
小结作业
1.在独立重复试验中，若每次试验结 果只有事件A发生或不发生两种可能， 则事件A发生的次数服从二项分布；若 每次试验结果有多种可能，则可以根据 需要适当设定事件A，将其转化为二项 分布.
2.二项分布B(n，p)中有两个参数，其 中n是独立重复试验的总次数，p是每次 试验事件A发生的概率，书写时n在左， p在右.
件A1，A2，…，A100两两之间是否相互独
立？
相互独立
思考2：在同等条件下，某射手连续射击
20次，记Ai(i＝1，2，…，20)表示“第 i次射击不小于8环”，那么事件A1， A2，…，A20两两之间是否相互独立？
思考3：一般地，在相同条件下重复做的 n次试验称为n次独立重复试验.那么在n 次独立重复试验中，每次试验的结果具 有什么特点？
不受其它试验结果的影响，具有相同结 果的随机事件彼此相互独立.
思考4：投掷ห้องสมุดไป่ตู้枚图钉，设针尖向上的概
率为p，连续投掷3次，则仅出现1次针尖
向上有哪几种情形？如何计算仅出现1次 针尖向上的概率？
人教a版数学【选修2-3】2.2.3《独立重复试验与二项分布》ppt课件
1.理解n次独立重复试验的模型，掌握二项分布，并能利用 它们解决一些简单的实际问题． 2 ．通过本节的学习，体会模型化思想在解决问题中的作 用，感受概率在生活中的应用，提高数学的应用能力．
第二章
2.2
2.2.3
成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
第二章
随机变量及其分布
第二章
随机变量及其分布
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
第二章 2.2 二项分布及其应用
第二章
2.2
2.2.3
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
ξ P
0
1
－1
„ „
k
k k Cn p (1－
„ „
n
n Cn p n (1－
0 n 1 1 n C0 p (1 － p ) C p (1 － p ) n n
p)
n－k
p)0
k＋1 由于 P(ξ ＝ k) 刚好是 [(1 － p) ＋ p]n 的展开式中的第 _______
第二章
2.2
2.2.3
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
新知导学 3．二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A 次数 是X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那 发生的_________
么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)
课件12：2.2.3 独立重复试验与二项分布
探究点二 二项分布的应用 问题 二项分布和二点分布有何联系？
答 二项分布中，每次试验都服从相同的二点分 布．二点分布可看作 n＝1 的二项分布，二项分布可 看作二点分布的一般形式．
例 2 甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队 3 人， 每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得 零分．假设甲队中每人答对的概率均为32，乙队中 3 人答对的概率分别为23，23，12，且各人答对正确与否 相互之间没有影响．用 ξ 表示甲队的总得分． (1)求随机变量 ξ 的分布列； (2)设 C 表示事件“甲得 2 分，乙得 1 分”，求 P(C)．
A.C130×0.72×0.3
B.C31×0.72×0.3
3 C.10
D.3AA2713·0A31
3．若 X～B(5,0.1)，则 P(X≤2)等于
A．0.665
B．0.008 56
C．0.918 54
D．0.991 44
(D )
解析 P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2) ＝C500.10×0.95＋C150.1×0.94＋C250.12×0.93＝0.991 44.
问题 2 问题 1 中若连续掷一枚图钉 n 次，恰好出现 k 次(k≤n)针尖向上的概率又是多少？它与二项式定理 有何联系？ 答 一般地，如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 p， 那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率 Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k，它是二项式[(1－p)＋p]n 展开式的第 k＋1 项．所以称这样的随机变量 X 服从二项分布，记作 X～ B(n，p)．
解 (1)由题意知，ξ 的可能取值为 0,1,2,3，且 P(ξ＝0)＝C30×1－233＝217， P(ξ＝1)＝C31×23×1－232＝29，
2.2.3独立重复试验与二项分布
P (ξ = 1) = 0.9
2
P (ξ = 2) = 0.1 × 0.9
P (ξ = 3) = 0.1 × 0.9 P (ξ = 4) = 0.13 × 0.9 4 “ξ = 5” 表示前四次都没射中 ∴ P (ξ = 5) = 0.1
故所求分布列为: 故所求分布列为:
ξ
1
0.9
2
3
4
5
0.14
P
独立重复试验的特点： 独立重复试验的特点： 1）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生； ）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生； 2）任何一次试验中，A事件发生的概率相同，即相 ）任何一次试验中， 事件发生的概率相同 事件发生的概率相同， 互独立，互不影响试验的结果。 互独立，互不影响试验的结果。
例题讲解
练习： 一射手平均每射击10次中靶4 练习：设一射手平均每射击10次中靶4次，求在五次 10次中靶 射击中①击中一次; ②第二次击中; ③击中两次; 射击中 击中一次 第二次击中; 击中两次 击中 解：由题设，此射手射击1次，中靶的概率为0.4． 题设，此射手射击1 中靶的概率为0.4． 0.4 ① n＝5，k＝1，应用公式得
例题讲解
例5.名学生每天骑自行车上学,从家到学校的途中有5 名学生每天骑自行车上学,从家到学校的途中有5 个交通岗,假设他在交通岗遇到红灯的事件是独立的, 个交通岗,假设他在交通岗遇到红灯的事件是独立的, 并且概率都是1/3 1/3. 并且概率都是1/3. 1)求这名学生在途中遇到红灯的次数 的分布列. 求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ (1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列. 2)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率 求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. (2)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
2.2.3独立重复试验与二项分布
一般地，在相同条件下重复做n次试 验,称为n次独立重复试验.
探究:投掷一枚图钉,设针尖向上的概率为p,则针 尖向下的概率为q=1-p,连续掷一枚图钉3次,恰出 现2次针尖向上的概率是多少？
率是p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰
好发生k次的概率是:
P(X
k)
C
k n
pkqnk
(其中k＝0,1,2,…,n. q=1-p)
记作：X～B (n ,p) , 并称p为成功概率
B组1.方法一
(1)采用3局2胜制 甲胜有两种互斥情况： 甲以2 : 0胜的概率P1=0.6×0.6=0.36, 甲以2 : 1胜的概率P2=C21 0.6×0.4×0.6=0.288
为系统的可靠性.设所用元件的可靠性都为r(0<r<1)，
且各元件能否正常工作是互相独立的.试求各系统的
可靠性. 1
（1）
1
2
（2）
2
P1=r2
2
P2=1－(1－r)2
（3）
1
3
P3=r[1－(1－r)2]
问题的解决
已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭 皮匠老大解出问题的概率为0.5,老二为 0.45,老三为0.4,且每个人必须独立解题， 问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与 诸葛亮解出的概率比较，谁大？
C42
C120
2 15
(2)从中依次不放回地连续抽2次,每次抽一件，
求两次都抽出次品的概率？
A42
A120
2 15
(3)从中依次有放回地连续抽2次,每次抽一件，
第二章 2.2.3独立重复试验与二项分布
2．2.3独立重复试验与二项分布学习目标1.理解n次独立重复试验的模型.2.理解二项分布.3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．知识点一独立重复试验1．独立重复实验的定义一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．2．独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率一般地，如果在1次实验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.思考(1)有放回地抽样试验是独立重复试验吗？(2)在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互有影响吗？答案(1)是．有放回地抽样试验是相同条件下重复做的n次试验，是独立重复试验．(2)在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互之间无影响．因为每次试验是在相同条件下独立进行的，所以第i次试验的结果不受前i－1次结果的影响(其中i＝1,2，…，n)．知识点二二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．1．有放回地抽样试验是独立重复试验．(√)2．在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互没有影响．(√)3．对于n次独立重复试验，各次试验中事件发生的概率可以不同．(×)4．如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.(√)一、独立重复试验的判断例1判断下列试验是不是独立重复试验：(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．解(1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是独立重复试验．(2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是独立重复试验．(3)每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是独立重复试验．反思感悟独立重复试验的判断依据(1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行．(2)每次试验相互独立，互不影响．(3)每次试验都只有两种结果，即事件发生，不发生．跟踪训练1下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标．其中是独立重复试验的是()A．①B．②C．③D．④答案 D解析①③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互独立事件；④是独立重复试验．二、独立重复试验的概率例2 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(结果需用分数作答)(1)求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率． 考点 独立重复试验的计算题点 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率解 (1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A 1，由题意，知射击3次，相当于3次独立重复试验，故P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－⎝⎛⎭⎫233＝1927.(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B 2，则P (A 2)＝C 22×⎝⎛⎭⎫232＝49，P (B 2)＝C 12×⎝⎛⎭⎫341×⎝⎛⎭⎫1－34＝38，由于甲、乙射击相互独立，故P (A 2B 2)＝49×38＝16.引申探究1．在本例(2)的条件下，求甲、乙均击中目标1次的概率．解 记“甲击中目标1次”为事件A 3，“乙击中目标1次”为事件B 3，则P (A 3)＝C 12×23×13＝49，P (B 3)＝38， 所以甲、乙均击中目标1次的概率为P (A 3B 3)＝49×38＝16.2．在本例(2)的条件下，求甲未击中，乙击中2次的概率．解 记“甲未击中目标”为事件A 4，“乙击中2次”为事件B 4，则P (A 4)＝C 02⎝⎛⎭⎫1－232＝19，P (B 4)＝C 22⎝⎛⎭⎫342＝916，所以甲未击中、乙击中2次的概率为P (A 4B 4)＝19×916＝116. 反思感悟 独立重复试验概率求法的三个步骤(1)判断：依据n 次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验． (2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．(3)计算：就每个事件依据n 次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．跟踪训练2 甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为23，没有平局．(1)若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率是多少？ (2)若进行五局三胜制比赛，甲获胜的概率为多少？解 (1)甲第一、二局胜，或第二、三局胜，或第一、三局胜，则P ＝⎝⎛⎭⎫232＋C 12×23×13×23＝2027. (2)甲前三局胜，或甲第四局胜，而前三局仅胜两局，或甲第五局胜，而前四局仅胜两局，则 P ＝⎝⎛⎭⎫233＋C 23×⎝⎛⎭⎫232×13×23＋C 24×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫132×23＝6481.三、二项分布的应用例3 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率． 考点 二项分布的计算及应用 题点 二项分布的实际应用 解 (1)由ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，则 P (ξ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5. 即P (ξ＝0)＝C 05×⎝⎛⎭⎫130×⎝⎛⎭⎫235＝32243； P (ξ＝1)＝C 15×13×⎝⎛⎭⎫234＝80243； P (ξ＝2)＝C 25×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233＝80243； P (ξ＝3)＝C 35×⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫232＝40243； P (ξ＝4)＝C 45×⎝⎛⎭⎫134×23＝10243； P (ξ＝5)＝C 55×⎝⎛⎭⎫135＝1243. 故ξ的分布列为(2)η的分布列为P (η＝k )＝P (前k 个是绿灯，第k ＋1个是红灯)＝⎝⎛⎭⎫23k ·13，k ＝0,1,2,3,4， 即P (η＝0)＝⎝⎛⎭⎫230×13＝13； P (η＝1)＝23×13＝29；P (η＝2)＝⎝⎛⎭⎫232×13＝427； P (η＝3)＝⎝⎛⎭⎫233×13＝881； P (η＝4)＝⎝⎛⎭⎫234×13＝16243； P (η＝5)＝P (5个均为绿灯)＝⎝⎛⎭⎫235. 故η的分布列为(3)所求概率为P (ξ≥1)＝1－P (ξ＝0) ＝1－⎝⎛⎭⎫235＝211243.反思感悟 (1)对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A ＋B 还是AB ，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别应用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n 次独立重复试验的概率公式求解． (2)把一个交通问题抽象为二项分布问题，体现了数学建模的核心素养．跟踪训练3 某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为34，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X 的分布列． 考点 二项分布的计算及应用 题点 求二项分布的分布列解 由题意可知X ～B ⎝⎛⎭⎫3，34， 所以P (X ＝k )＝C k 3⎝⎛⎭⎫34k ·⎝⎛⎭⎫143－k ，k ＝0,1,2,3， 即P (X ＝0)＝C 03×⎝⎛⎭⎫340×⎝⎛⎭⎫143＝164； P (X ＝1)＝C 13×34×⎝⎛⎭⎫142＝964； P (X ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫342×14＝2764； P (X ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫343＝2764. 所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P164964276427641．独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验的结果是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． 2．如果1次试验中某事件发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k .此概率公式恰为[(1－p )＋p ]n 展开式的第k ＋1项，故称该公式为二项分布公式．1．若随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，则P (X ＝2)等于( ) A.⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233B.⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫133C ．C 25⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫133 D ．C 25⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233 答案 D解析 ∵随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13， ∴P (X ＝2)＝C 25⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233. 2．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第X 次首次测到正品，则P (X ＝3)等于( )A ．C 23⎝⎛⎭⎫142×34B ．C 23⎝⎛⎭⎫342×14C.⎝⎛⎭⎫142×34D.⎝⎛⎭⎫342×14答案 C解析 P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫142×34.3．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在1次试验中发生的概率p 的取值范围是( ) A ．[0.4,1] B ．(0,0.4] C ．(0,0.6] D ．[0.6,1]答案 A解析 由题意知C 14p (1－p )3≤C 24p 2(1－p )2，解得p ≥0.4，故选A.4．在4次独立重复试验中，事件出现的概率相同，若事件A 至少出现一次的概率为6581，则事件A 在一次试验中出现的概率为________． 答案 13解析 设事件A 在一次试验中出现的概率为x ，则1－C 04(1－x )4＝6581，解得x ＝13. 5．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________． 答案1132解析 正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次、5次或6次，所求概率P＝C 46⎝⎛⎭⎫126＋C 56⎝⎛⎭⎫126＋C 66⎝⎛⎭⎫126＝1132.一、选择题1．若X ～B (5,0.1)，则P (X ≤2)等于( ) A ．0.665 B ．0.008 56 C ．0.918 54 D ．0.991 44答案 D解析 P (X ≤2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 050.10×0.95＋C 150.1×0.94＋C 250.12×0.93＝0.991 44.2．一头猪服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头猪中恰有3头被治愈的概率为( ) A ．0.93B ．1－(1－0.9)3C ．C 35×0.93×0.12D ．C 35×0.13×0.92答案 C解析 5头猪中恰有3头被治愈的概率为C 35×0.93×0.12. 3．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手的命中率是( )A.13B.23C.14D.25考点 独立重复试验的计算 题点 n 次独立重复试验概率的应用 答案 B解析 设此射手的命中概率为x ，则不能命中的概率为1－x ，由题意知4次射击全部没有命中目标的概率为1－8081＝181，有(1－x )4＝181，解得x ＝23或x ＝43(舍去)．4．甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局比赛都结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )A.827B.6481C.49D.89 考点 独立重复试验的计算题点 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 答案 A解析 当甲以3∶1的比分获胜时，说明甲乙两人在前三场比赛中，甲只赢了两局，乙赢了一局，第四局甲赢，所以甲以3∶1的比分获胜的概率为P ＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫1－23×23＝3×49×13×23＝827，故选A.5．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( )A.⎝⎛⎭⎫125B ．C 25×⎝⎛⎭⎫125C ．C 35×⎝⎛⎭⎫123 D ．C 25×C 35×⎝⎛⎭⎫125 考点 独立重复试验的计算 题点 n 次独立重复试验概率的应用 答案 B解析 如图，由题意可知，质点P 必须向右移动2次，向上移动3次才能位于点(2,3)，问题相当于5次重复试验中向右恰好发生2次的概率，所求概率为P ＝C 25×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫123＝C 25×⎝⎛⎭⎫125.故选B.6．设随机变量ξ～B (2，p )，η～B (3，p )，若P (ξ≥1)＝59，则P (η≥2)的值为( )A.2027B.827C.727D.127 考点 二项分布的计算及应用 题点 利用二项分布求概率 答案 C解析 易知P (ξ＝0)＝C 02(1－p )2＝1－59，∴p ＝13，则P (η≥2)＝C 33p 3＋C 23p 2(1－p )1＝127＋627＝727. 7．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( ) A.⎝⎛⎭⎫593×49 B.C 35C 14C 45C.35×14D ．C 14×⎝⎛⎭⎫593×49考点 独立重复试验的计算题点 用独立重复试验的概率公式求概率 答案 A解析 由题意知前3次取出的均为黑球，第4次取得的为白球．故其概率为⎝⎛⎭⎫593×49. 二、填空题8．从次品率为0.1的一批产品中任取4件，恰有两件次品的概率为________． 考点 独立重复试验的计算题点 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 答案 0.048 6解析 P ＝C 24×(0.1)2×(1－0.1)2＝0.048 6.9．已知实验女排和育才女排两队进行比赛，在一局比赛中实验女排获胜的概率是23，没有平局．若采用三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则实验女排获胜的概率为________． 考点 独立重复试验的计算 题点 n 次独立重复试验概率的计算 答案2027解析 实验女排要获胜必须赢得两局，故获胜的概率为 P ＝⎝⎛⎭⎫232＋23×13×23＋13×23×23＝2027.10．在等差数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝－4，现从{a n }的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为________． 考点 独立重复试验的计算 题点 n 次独立重复试验概率的应用 答案625解析 由已知可求得通项公式为a n ＝10－2n (n ＝1,2,3，…)，其中a 1，a 2，a 3，a 4为正数，a 5＝0，a 6，a 7，a 8，a 9，a 10为负数，∴从中取一个数为正数的概率为410＝25，为负数的概率为12.∴取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为C 23×⎝⎛⎭⎫252×⎝⎛⎭⎫121＝625. 三、解答题11．甲队有3人参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，且各人答对正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列． 考点 二项分布的计算及应用 题点 求二项分布的分布列解 由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且P (ξ＝0)＝C 03×⎝⎛⎭⎫1－233＝127， P (ξ＝1)＝C 13×23×⎝⎛⎭⎫1－232＝29，P (ξ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－23＝49， P (ξ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫233＝827， 所以ξ的分布列为12.某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且各棵大树是否成活互不影响，求移栽的4棵大树中， (1)至少有1棵成活的概率； (2)两种大树各成活1棵的概率． 考点 独立重复试验的计算 题点 n 次独立重复试验概率的应用解 设A k 表示第k 棵甲种大树成活，k ＝1,2，B l 表示第l 棵乙种大树成活，l ＝1,2， 则A 1，A 2，B 1，B 2相互独立， 且P (A 1)＝P (A 2)＝56，P (B 1)＝P (B 2)＝45.(1)至少有1棵成活的概率为1－P (A 1·A 2·B 1·B 2) ＝1－P (A 1)·P (A 2)·P (B 1)·P (B 2) ＝1－⎝⎛⎭⎫162⎝⎛⎭⎫152＝899900.(2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知， 所求概率为P ＝C 12⎝⎛⎭⎫56⎝⎛⎭⎫16·C 12⎝⎛⎭⎫45⎝⎛⎭⎫15 ＝1036×825＝80900＝445.13．某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下(不包括90分)的被淘汰，若有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图．(1)求获得参赛资格的人数；(2)根据频率分布直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；(3)若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛．已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响．已知他前两次连续答错的概率为19，求甲在初赛中答题个数X 的分布列．解 (1)由频率分布直方图得，获得参赛资格的人数为 500×(0.005 0＋0.004 3＋0.003 2)×20＝125(人)． (2)设500名学生的平均成绩为x ，则x ＝(40×0.006 5＋60×0.014 0＋80×0.017 0＋100×0.005 0＋120×0.004 3＋140×0.003 2)×20＝78.48.(3)设学生甲答对每道题的概率为P (A )， 则(1－P (A ))2＝19，∴P (A )＝23.学生甲答题个数X 的可能值为3,4,5， 则P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫233＋⎝⎛⎭⎫133＝13，P (X ＝4)＝C 13×13×⎝⎛⎭⎫233＋C 13×23×⎝⎛⎭⎫133＝1027， P (X ＝5)＝C 24×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫232＝827. 所以X 的分布列为14.网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物． (1)求这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率；(2)用ξ，η分别表示这4个人中去淘宝网和京东商城购物的人数，令X ＝ξη，求随机变量X 的分布列．考点 二项分布的计算及应用 题点 二项分布的实际应用解 依题意，得这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为13，去京东商城购物的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去淘宝网购物”为事件A i (i ＝0,1,2,3,4)， 则P (A i )＝C i 4⎝⎛⎭⎫13i ⎝⎛⎭⎫234－i(i ＝0,1,2,3,4)．(1)这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率为 P (A 1)＝C 14⎝⎛⎭⎫131⎝⎛⎭⎫233＝3281.(2)易知X 的所有可能取值为0,3,4.P (X ＝0)＝P (A 0)＋P (A 4)＝C 04⎝⎛⎭⎫130×⎝⎛⎭⎫234＋C 44⎝⎛⎭⎫134×⎝⎛⎭⎫230 ＝1681＋181＝1781， P (X ＝3)＝P (A 1)＋P (A 3)＝C 14⎝⎛⎭⎫131×⎝⎛⎭⎫233＋C 34⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫231 ＝3281＋881＝4081， P (X ＝4)＝P (A 2)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝2481. 所以随机变量X 的分布列是。
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(
1 2
)3
1 8
．
②甲打完4局才能取胜，相当于前3局为2胜1负且第4局比赛甲取 胜，∴甲打完4局才能取胜的概率为
P(B)
C32
(1)2 2
1 2
1 2
3 16
③甲打完5局才能取胜,相当于前4局恰好2胜2负且第5局比赛甲 取胜，∴甲打完5局才能取胜的概率为
P(C)
于是得到随机变量X的概率式分布如下：
X
0
1…
k
…
n
p
… Cn0 p0qn Cn1 p1qn1
Cnk pk qnk
…
Cnn pnq0
此时我们称随机变量X服从二项分布，
记作: X ~ B(n, p) 其中p为成功概率.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？
1．两点分布是特殊的二项分布 (1 p)
高二数学 选修2-3
2.2.3独立重复试验 与二项分布
1、独立重复试验的概念
引例分析下面的试验，它们有什么共同特点？ ⑴投掷一个骰子投掷 5 次; ⑵某人射击 1 次，击中目标的概率是 0.8，他射 击 10 次; ⑶实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛， 规定 5 局 3 胜制（即 5 局内谁先赢 3 局就算胜 出并停止比赛）; ⑷一个盒子中装有 5 个球（3 个红球和 2 个黑 球），有放回地依次从中抽取 5 个球; ⑸生产一种零件，出现次品的概率是 0.04,生产 这种零件 4 件.
共同特点是: 多次重复地独立做同一个试 验.
1、独立重复试验的概念
在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结 果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验.
独立重复试验的特点
1).每次试验是在相同的条件下重复进行的; 2).各次试验中的结果是相互独立的； 3).每次试验都只有两种结果:发生与不发生； 4).每次试验某事件发生的概率是相同的.
记为 A1A2 A3 A4 记为 A1A2 A3 A4 记为 A1 A2 A3 A4 记为 A1A2 A3 A4
用Ai(i=1,2,3,4)表示第i次命中的事件
B3表示“恰好命中3次”的事件
P B3 P A1A2 A3 A4 P A1A2 A3 A4 P A1 A2 A3 A4
推导n次独立重复试验中事件A发生k次的概率公式
姚明投篮1次成功 的概率是p，他在某场 比赛中得到4次罚篮机 会，假设每次投篮都互 不影响，那么他投中3 次的可能性有多大呢？
他在某场比赛中得到4次罚篮机会，假设每次投篮都 互不影响，那么他投中3次的可能性有多大呢？
第一次 第二次 第三次 第四次 用Ai(i=1,2,3,4)表示第i次命中的事件
例2.已知随机变量 ~ B(4, 1)，则P( 2) （ D ）．
3
（A）19 (B) 62 (C) 1 (D) 8
81
81
9
9
3、二项分布
在n次独立重复试验中，设事件A发说生说的与次两数点是分X布，且 在每次试验中事件A发生的概率是p，那的么区事别件和A联恰系好发生 k次的概率是为
P( X k) Cnk pk (1 是p)(nq+kp, k)n展 0开,1, 2, ..., n q 1 p
C41 p1q 41
C42 p2q42 C44 p4q44
他在n次投篮中，投中 k(k n, k N )次的概率是多少？
Cnk pk qnk
2、n次独立重复试验的概率公式及结构特点：
如果在1次试验中，事件A发生的概率为p, 则 在n次独立重复试验中，A恰好发生k次的概率为：
事件 A 发生的概率 事件A发生的概率
Pn (k)
C
k n
pk
(1
p)nk
实验总次数
（其中k = 0，1，2，···，n ） 事件 A 发生的次数
基本概念
2、伯努利概型： 一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的
次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为
P( X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1, 2,..., n.
2．一个袋中放有 M 个红球，( N M )个白球，依次从袋中 取 n 个球，记下红球的个数 .
⑴如果是有放回地取，则 B(n, M )
N ⑵如果是不放回地取, 则 服从超几何分布.
P (
k)
C C k nk M NM
C
n N
(k
0,1, 2,L
,m)
(其中 m
min(M , n)
例3 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5 局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）． （1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率； （2）按比赛规则甲获胜的概率．
P A1A2 A3 A4 4 p3q q 1 p
C43 p3q43
他在5次投篮中，投中3次的可能性有多大呢？
C53 p3q53
他在n次投篮中，投中3次的可能性有多大呢？
Cn3 p3qn3
他在4次投篮中，未投中、投中1次、2次、4次的可能性 分别是多少呢？
未投中的概率： C40 p0q40
投中1次的概率： 投中2次的概率： 投中4次的概率：
解：（1）甲、乙两队实力相等，所以每局 比赛甲获胜的概率为 1 ，乙获胜的概率为
1
．
2
2
记事件 A =“甲打完3局才能取胜”，记事件 B =“甲打完4局
才能取胜”，记事件C =“甲打完5局才能取胜”．
①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛
甲均取胜∴甲打完3局取胜的概率为
P( A)
C33
家谱简图：
尼古拉·伯努利（父）
雅各布·伯努利 （兄）约翰·伯努利 （弟）
丹尼尔·伯努利（次子）
例题
2．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3
粒种子恰有2粒发芽的概率是
()
12 A.125
16 B.125
C.14285
D.19265
解析：P＝C23(45)2(15)1＝14285. 答案： C
符合独立重复试验的概率模型称为伯努利概型
雅各布•伯努利
1654年12月27日，雅各布•伯努利生于 巴塞尔，毕业于巴塞尔大学，1671年17 岁时获艺术硕士学位。这里的艺术指 “自由艺术”，包括算术、几何学、天 文学、数理音乐和文法、修辞、雄辩术 共7大门类。雅各布对数学最重大的贡 献是在概率论方面的研究。他从1685年 起发表关于赌博游戏中输赢次数问题的 论文，后来写成巨著《猜度术》。