(完整版)2.2.3独立重复试验与二项分布
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高二数学 选修2-3
2.2.3独立重复试验 与二项分布
1、独立重复试验的概念
引例分析下面的试验，它们有什么共同特点？ ⑴投掷一个骰子投掷 5 次; ⑵某人射击 1 次，击中目标的概率是 0.8，他射 击 10 次; ⑶实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛， 规定 5 局 3 胜制（即 5 局内谁先赢 3 局就算胜 出并停止比赛）; ⑷一个盒子中装有 5 个球（3 个红球和 2 个黑 球），有放回地依次从中抽取 5 个球; ⑸生产一种零件，出现次品的概率是 0.04,生产 这种零件 4 件.
C41 p1q 41
C42 p2q42 C44 p4q44
他在n次投篮中，投中 k(k n, k N )次的概率是多少？
Cnk pk qnk
2、n次独立重复试验的概率公式及结构特点：
如果在1次试验中，事件A发生的概率为p, 则 在n次独立重复试验中，A恰好发生k次的概率为：
事件 A 发生的概率 事件A发生的概率
解：（1）甲、乙两队实力相等，所以每局 比赛甲获胜的概率为 1 ，乙获胜的概率为
1
．
2
2
记事件 A =“甲打完3局才能取胜”，记事件 B =“甲打完4局
才能取胜”，记事件C =“甲打完5局才能取胜”．
①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛
甲均取胜∴甲打完3局取胜的概率为
P( A)
C33
符合独立重复试验的概率模型称为伯努利概型
雅各布•伯努利
1654年12月27日，雅各布•伯努利生于 巴塞尔，毕业于巴塞尔大学，1671年17 岁时获艺术硕士学位。这里的艺术指 “自由艺术”，包括算术、几何学、天 文学、数理音乐和文法、修辞、雄辩术 共7大门类。雅各布对数学最重大的贡 献是在概率论方面的研究。他从1685年 起发表关于赌博游戏中输赢次数问题的 论文，后来写成巨著《猜度术》。
P A1A2 A3 A4 4 p3q q 1 p
C43 p3q43
他在5次投篮中，投中3次的可能性有多大呢？
C53 p3q53
他在n次投篮中，投中3次的可能性有多大呢？
Cn3 p3qn3
他在4次投篮中，未投中、投中1次、2次、4次的可能性 分别是多少呢？
未投中的概率： C40 p0q40
投中1次的概率： 投中2次的概率： 投中4次的概率：
记为 A1A2 A3 A4 记为 A1A2 A3 A4 记为 A1 A2 A3 A4 记为 A1A2 A3 A4
用Ai(i=1,2,3,4)表示第i次命中的事件
B3表示“恰好命中3次”的事件
P B3 P A1A2 A3 A4 P A1A2 A3 A4 P A1 A2 A3 A4
于是得到随机变量X的概率式分布如下：
X
0
1…
k
…
n
p
… Cn0 p0qn Cn1 p1qn1
CΒιβλιοθήκη Baiduk pk qnk
…
Cnn pnq0
此时我们称随机变量X服从二项分布，
记作: X ~ B(n, p) 其中p为成功概率.
二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？
1．两点分布是特殊的二项分布 (1 p)
2．一个袋中放有 M 个红球，( N M )个白球，依次从袋中 取 n 个球，记下红球的个数 .
⑴如果是有放回地取，则 B(n, M )
N ⑵如果是不放回地取, 则 服从超几何分布.
P (
k)
C C k nk M NM
C
n N
(k
0,1, 2,L
,m)
(其中 m
min(M , n)
例3 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5 局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）． （1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率； （2）按比赛规则甲获胜的概率．
(
1 2
)3
1 8
．
②甲打完4局才能取胜，相当于前3局为2胜1负且第4局比赛甲取 胜，∴甲打完4局才能取胜的概率为
P(B)
C32
(1)2 2
1 2
1 2
3 16
③甲打完5局才能取胜,相当于前4局恰好2胜2负且第5局比赛甲 取胜，∴甲打完5局才能取胜的概率为
P(C)
推导n次独立重复试验中事件A发生k次的概率公式
姚明投篮1次成功 的概率是p，他在某场 比赛中得到4次罚篮机 会，假设每次投篮都互 不影响，那么他投中3 次的可能性有多大呢？
他在某场比赛中得到4次罚篮机会，假设每次投篮都 互不影响，那么他投中3次的可能性有多大呢？
第一次 第二次 第三次 第四次 用Ai(i=1,2,3,4)表示第i次命中的事件
家谱简图：
尼古拉·伯努利（父）
雅各布·伯努利 （兄）约翰·伯努利 （弟）
丹尼尔·伯努利（次子）
例题
2．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3
粒种子恰有2粒发芽的概率是
()
12 A.125
16 B.125
C.14285
D.19265
解析：P＝C23(45)2(15)1＝14285. 答案： C
例2.已知随机变量 ~ B(4, 1)，则P( 2) （ D ）．
3
（A）19 (B) 62 (C) 1 (D) 8
81
81
9
9
3、二项分布
在n次独立重复试验中，设事件A发说生说的与次两数点是分X布，且 在每次试验中事件A发生的概率是p，那的么区事别件和A联恰系好发生 k次的概率是为
P( X k) Cnk pk (1 是p)(nq+kp, k)n展 0开,1, 2, ..., n q 1 p
共同特点是: 多次重复地独立做同一个试 验.
1、独立重复试验的概念
在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结 果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验.
独立重复试验的特点
1).每次试验是在相同的条件下重复进行的; 2).各次试验中的结果是相互独立的； 3).每次试验都只有两种结果:发生与不发生； 4).每次试验某事件发生的概率是相同的.
Pn (k)
C
k n
pk
(1
p)nk
实验总次数
（其中k = 0，1，2，···，n ） 事件 A 发生的次数
基本概念
2、伯努利概型： 一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的
次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为
P( X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1, 2,..., n.
2.2.3独立重复试验 与二项分布
1、独立重复试验的概念
引例分析下面的试验，它们有什么共同特点？ ⑴投掷一个骰子投掷 5 次; ⑵某人射击 1 次，击中目标的概率是 0.8，他射 击 10 次; ⑶实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛， 规定 5 局 3 胜制（即 5 局内谁先赢 3 局就算胜 出并停止比赛）; ⑷一个盒子中装有 5 个球（3 个红球和 2 个黑 球），有放回地依次从中抽取 5 个球; ⑸生产一种零件，出现次品的概率是 0.04,生产 这种零件 4 件.
C41 p1q 41
C42 p2q42 C44 p4q44
他在n次投篮中，投中 k(k n, k N )次的概率是多少？
Cnk pk qnk
2、n次独立重复试验的概率公式及结构特点：
如果在1次试验中，事件A发生的概率为p, 则 在n次独立重复试验中，A恰好发生k次的概率为：
事件 A 发生的概率 事件A发生的概率
解：（1）甲、乙两队实力相等，所以每局 比赛甲获胜的概率为 1 ，乙获胜的概率为
1
．
2
2
记事件 A =“甲打完3局才能取胜”，记事件 B =“甲打完4局
才能取胜”，记事件C =“甲打完5局才能取胜”．
①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛
甲均取胜∴甲打完3局取胜的概率为
P( A)
C33
符合独立重复试验的概率模型称为伯努利概型
雅各布•伯努利
1654年12月27日，雅各布•伯努利生于 巴塞尔，毕业于巴塞尔大学，1671年17 岁时获艺术硕士学位。这里的艺术指 “自由艺术”，包括算术、几何学、天 文学、数理音乐和文法、修辞、雄辩术 共7大门类。雅各布对数学最重大的贡 献是在概率论方面的研究。他从1685年 起发表关于赌博游戏中输赢次数问题的 论文，后来写成巨著《猜度术》。
P A1A2 A3 A4 4 p3q q 1 p
C43 p3q43
他在5次投篮中，投中3次的可能性有多大呢？
C53 p3q53
他在n次投篮中，投中3次的可能性有多大呢？
Cn3 p3qn3
他在4次投篮中，未投中、投中1次、2次、4次的可能性 分别是多少呢？
未投中的概率： C40 p0q40
投中1次的概率： 投中2次的概率： 投中4次的概率：
记为 A1A2 A3 A4 记为 A1A2 A3 A4 记为 A1 A2 A3 A4 记为 A1A2 A3 A4
用Ai(i=1,2,3,4)表示第i次命中的事件
B3表示“恰好命中3次”的事件
P B3 P A1A2 A3 A4 P A1A2 A3 A4 P A1 A2 A3 A4
于是得到随机变量X的概率式分布如下：
X
0
1…
k
…
n
p
… Cn0 p0qn Cn1 p1qn1
CΒιβλιοθήκη Baiduk pk qnk
…
Cnn pnq0
此时我们称随机变量X服从二项分布，
记作: X ~ B(n, p) 其中p为成功概率.
二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？
1．两点分布是特殊的二项分布 (1 p)
2．一个袋中放有 M 个红球，( N M )个白球，依次从袋中 取 n 个球，记下红球的个数 .
⑴如果是有放回地取，则 B(n, M )
N ⑵如果是不放回地取, 则 服从超几何分布.
P (
k)
C C k nk M NM
C
n N
(k
0,1, 2,L
,m)
(其中 m
min(M , n)
例3 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5 局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）． （1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率； （2）按比赛规则甲获胜的概率．
(
1 2
)3
1 8
．
②甲打完4局才能取胜，相当于前3局为2胜1负且第4局比赛甲取 胜，∴甲打完4局才能取胜的概率为
P(B)
C32
(1)2 2
1 2
1 2
3 16
③甲打完5局才能取胜,相当于前4局恰好2胜2负且第5局比赛甲 取胜，∴甲打完5局才能取胜的概率为
P(C)
推导n次独立重复试验中事件A发生k次的概率公式
姚明投篮1次成功 的概率是p，他在某场 比赛中得到4次罚篮机 会，假设每次投篮都互 不影响，那么他投中3 次的可能性有多大呢？
他在某场比赛中得到4次罚篮机会，假设每次投篮都 互不影响，那么他投中3次的可能性有多大呢？
第一次 第二次 第三次 第四次 用Ai(i=1,2,3,4)表示第i次命中的事件
家谱简图：
尼古拉·伯努利（父）
雅各布·伯努利 （兄）约翰·伯努利 （弟）
丹尼尔·伯努利（次子）
例题
2．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3
粒种子恰有2粒发芽的概率是
()
12 A.125
16 B.125
C.14285
D.19265
解析：P＝C23(45)2(15)1＝14285. 答案： C
例2.已知随机变量 ~ B(4, 1)，则P( 2) （ D ）．
3
（A）19 (B) 62 (C) 1 (D) 8
81
81
9
9
3、二项分布
在n次独立重复试验中，设事件A发说生说的与次两数点是分X布，且 在每次试验中事件A发生的概率是p，那的么区事别件和A联恰系好发生 k次的概率是为
P( X k) Cnk pk (1 是p)(nq+kp, k)n展 0开,1, 2, ..., n q 1 p
共同特点是: 多次重复地独立做同一个试 验.
1、独立重复试验的概念
在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结 果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验.
独立重复试验的特点
1).每次试验是在相同的条件下重复进行的; 2).各次试验中的结果是相互独立的； 3).每次试验都只有两种结果:发生与不发生； 4).每次试验某事件发生的概率是相同的.
Pn (k)
C
k n
pk
(1
p)nk
实验总次数
（其中k = 0，1，2，···，n ） 事件 A 发生的次数
基本概念
2、伯努利概型： 一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的
次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为
P( X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1, 2,..., n.