参数的点估计汇总.
统计学中的参数估计方法
统计学中的参数估计方法统计学中的参数估计方法是研究样本统计量与总体参数之间关系的重要工具。
通过参数估计方法，可以根据样本数据推断总体参数的取值范围，并对统计推断的可靠性进行评估。
本文将介绍几种常用的参数估计方法及其应用。
一、点估计方法点估计方法是指通过样本数据来估计总体参数的具体取值。
最常用的点估计方法是最大似然估计和矩估计。
1. 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）最大似然估计是指在给定样本的条件下，寻找最大化样本观察值发生的可能性的参数值。
它假设样本是独立同分布的，并假设总体参数的取值满足某种分布。
最大似然估计可以通过求解似然函数的最大值来得到参数的估计值。
2. 矩估计（Method of Moments）矩估计是指利用样本矩与总体矩的对应关系来估计总体参数。
矩估计方法假设总体参数可以通过样本矩的函数来表示，并通过求解总体矩与样本矩的关系式来得到参数的估计值。
二、区间估计方法区间估计是指根据样本数据来估计总体参数的取值范围。
常见的区间估计方法有置信区间估计和预测区间估计。
1. 置信区间估计（Confidence Interval Estimation）置信区间估计是指通过样本数据估计总体参数，并给出一个区间，该区间包含总体参数的真值的概率为预先设定的置信水平。
置信区间估计通常使用标准正态分布、t分布、卡方分布等作为抽样分布进行计算。
2. 预测区间估计（Prediction Interval Estimation）预测区间估计是指根据样本数据估计出的总体参数，并给出一个区间，该区间包含未来单个观测值的概率为预先设定的置信水平。
预测区间估计在预测和判断未来观测值时具有重要的应用价值。
三、贝叶斯估计方法贝叶斯估计方法是一种基于贝叶斯定理的统计推断方法。
贝叶斯估计将先验知识与样本数据相结合，通过计算后验概率分布来估计总体参数的取值。
贝叶斯估计方法的关键是设定先验分布和寻找后验分布。
点估计(PPT 22)
4 16 f 2 (2, 1 ) 1 .
这就是说，罐中黑球多时，出现两个全黑的的概率
比白球多时出现两个全黑的概率大的多,或说使n=2的样
本来自p=1/4的总体的可能性大的多。用到“概率最大
事情最可能出现”原理, 从参数角度，对总体p
有
pˆ 1
3 4
,
两种估计。自然应是选
pˆ 2
1 4
p 大的
pˆ 1
质。例如，在例5中已得到的极大似然估计为
sˆ 2
1 n
n
(Xi
i 1
X )2.
函数u u(s 2 ) s 2 有单值反函数s 2 u 2 (u 0),
根据上述性质，得到标准差s的极大似然估计为
sˆ sˆ 2
1 n
n i 1
(Xi
X)2 .
•
树立质量法制观念、提高全员质量意 识。20. 10.3020 .10.30Friday , October 30, 2020
Θ
i 1
这一概率随的取值而变化，它是的函数。 L()称为样
本的似然函数
由Fisher引进的极大似然估计法，就是固定样本观察
值x1, x2 , ····, xn，在 的可能取值的范围Q内 挑选使概率 L(x1, x2 , ····, xn; )达到最大的参数值，作为参数的估 计值 。即取使
L( ) L(x1, x2 ,, xn ;ˆ) max L(x1, x2 ,, xn ; ),
解 直观上可以回答。现以概率的角度考虑。设抽
一球为黑球的概率为p，抽n个而出现x个黑球的概率服
从b(n, p).
fn
(x,
p)
n x
p
x
点估计和区间估计公式
点估计和区间估计公式统计学中，点估计和区间估计是两个重要的概念。
点估计是指通过样本数据来估计总体参数的值，而区间估计则是通过样本数据来估计总体参数的值所在的区间。
本文将详细介绍点估计和区间估计的公式及其应用。
一、点估计公式点估计是通过样本数据来估计总体参数的值。
在统计学中，常用的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是指在给定样本数据的情况下，选择使得样本出现的概率最大的总体参数值作为估计值。
矩估计是指通过样本矩来估计总体矩，从而得到总体参数的估计值。
点估计的公式如下：最大似然估计：设总体参数为θ，样本数据为x1,x2,…,xn，样本概率密度函数为f(x;θ)，则总体参数的最大似然估计为：θ^=argmaxθL(θ;x1,x2,…,xn)=argmaxθ∏i=1nf(xi;θ)其中，L(θ;x1,x2,…,xn)为似然函数，θ^为总体参数的最大似然估计值。
矩估计：设总体参数为θ，样本数据为x1,x2,…,xn，样本矩为μ1,μ2,…,μk，则总体参数的矩估计为：θ^=g(μ1,μ2,…,μk)其中，g为函数，θ^为总体参数的矩估计值。
二、区间估计公式区间估计是通过样本数据来估计总体参数的值所在的区间。
在统计学中，常用的区间估计方法有置信区间估计和预测区间估计。
置信区间估计是指通过样本数据来估计总体参数的值所在的区间，使得该区间内的真实总体参数值的概率达到一定的置信水平。
预测区间估计是指通过样本数据来估计未来观测值的区间，使得该区间内的未来观测值的概率达到一定的置信水平。
区间估计的公式如下：置信区间估计：设总体参数为θ，样本数据为x1,x2,…,xn，样本均值为x̄，样本标准差为s，置信水平为1-α，则总体参数的置信区间为：x̄±tα/2,n−1×s/√n其中，tα/2,n−1为自由度为n-1、置信水平为1-α的t分布的上分位数。
预测区间估计：设总体参数为θ，样本数据为x1,x2,…,xn，样本均值为x̄，样本标准差为s，置信水平为1-α，则未来观测值的预测区间为：x̄±tα/2,n−1×s×√1+1/n其中，tα/2,n−1为自由度为n-1、置信水平为1-α的t分布的上分位数。
高考数学知识点解析参数估计的方法与性质
高考数学知识点解析参数估计的方法与性质高考数学知识点解析：参数估计的方法与性质在高考数学中，参数估计是一个重要的知识点，它在统计学和概率论中有着广泛的应用。
理解和掌握参数估计的方法与性质，对于解决相关的数学问题以及在实际生活中的数据分析都具有重要意义。
一、参数估计的基本概念参数估计是指从样本数据中估计总体参数的值。
总体参数是描述总体特征的数值，例如总体均值、总体方差等。
而样本则是从总体中抽取的一部分数据。
通过对样本数据的分析和处理，我们试图推测出总体参数的大致范围或准确值。
二、参数估计的方法1、点估计点估计是用一个具体的数值来估计总体参数。
常见的点估计方法有矩估计法和最大似然估计法。
（1）矩估计法矩估计法的基本思想是利用样本矩来估计总体矩，从而得到总体参数的估计值。
例如，对于总体均值的估计，可以用样本均值来代替；对于总体方差的估计，可以用样本方差来代替。
（2）最大似然估计法最大似然估计法是基于样本出现的概率最大的原则来估计参数。
假设总体服从某种分布，通过求解使得样本出现概率最大的参数值，即为最大似然估计值。
2、区间估计区间估计则是给出一个区间，认为总体参数落在这个区间内的可能性较大。
这个区间被称为置信区间，而与之对应的概率称为置信水平。
三、参数估计的性质1、无偏性如果一个估计量的期望值等于被估计的参数，那么这个估计量就是无偏估计量。
无偏性意味着在多次重复抽样和估计的过程中，估计量的平均值会趋近于真实参数值。
2、有效性在多个无偏估计量中，方差越小的估计量越有效。
有效性反映了估计量的精度，方差小表示估计值的波动较小，更接近真实值。
3、一致性当样本容量无限增大时，如果估计量的值越来越接近被估计的参数，那么这个估计量就是一致估计量。
一致性保证了在样本量足够大时，估计量能够准确地反映总体参数。
四、参数估计在实际问题中的应用1、质量控制在生产过程中，通过对样本产品的检测和参数估计，可以推断出整批产品的质量情况，从而决定是否需要调整生产流程。
常用的点估计方法
常用的点估计方法1. 极大似然估计：极大似然估计是一种常用的点估计方法，通过选择使观测数据出现可能性最大的参数值来进行估计。
它的核心思想是通过观察到的数据来推断未观察到的参数值，从而对总体特征进行估计。
2. 最小二乘估计：最小二乘估计是一种常用的线性回归参数估计方法，它通过最小化观测数据与模型预测值之间的残差平方和来选择最优参数值。
最小二乘估计在统计学中应用广泛，特别是在回归分析和时间序列分析中。
3. 贝叶斯估计：贝叶斯估计是一种基于贝叶斯理论的点估计方法，它将先验信息结合观测数据来推断参数的后验分布，并通过选择后验分布的某个统计量（如期望值）来进行估计。
贝叶斯估计强调对参数的不确定性进行建模，并可以用于处理小样本问题。
4. 矩估计：矩估计是一种基于样本矩的点估计方法，它利用样本矩与总体矩之间的对应关系来推断参数值。
矩估计要求总体矩存在且能够通过观测数据的矩估计得到，适用于多种分布的参数估计。
5. 稳健估计：稳健估计是一种对异常值和模型假设违背具有一定鲁棒性的点估计方法。
它能够通过对观测数据进行适当的变换和调整，来推断参数估计值。
稳健估计在非正态分布和包含异常值的数据情况下表现出较好的性能。
6. 最大后验概率估计：最大后验概率估计是一种基于贝叶斯理论的点估计方法，它将先验信息和观测数据结合起来，通过选择使后验概率最大化的参数值来进行估计。
最大后验概率估计相对于最大似然估计能够更好地处理小样本问题，并对参数的先验概率进行建模。
7. 偏最小二乘估计：偏最小二乘估计是一种在多元统计中常用的点估计方法。
它通过最小化观测数据和预测值之间的误差，选择使预测误差最小的参数值。
偏最小二乘估计在回归分析和主成分分析等领域都有广泛应用。
8. 条件最大似然估计：条件最大似然估计是一种在有缺失数据或混合分布的情况下常用的点估计方法。
它通过对观测数据的边际分布进行建模，并通过最大化边际似然来选择参数值。
条件最大似然估计在处理缺失数据和复杂模型中具有重要的作用。
参数估计方法与实例例题和知识点总结
参数估计方法与实例例题和知识点总结一、参数估计的概念参数估计是指根据从总体中抽取的样本估计总体分布中包含的未知参数。
参数通常是描述总体分布的特征值，比如均值、方差、比例等。
二、参数估计的方法（一）点估计点估计就是用样本统计量来估计总体参数，给出一个具体的数值。
常见的点估计方法有矩估计法和最大似然估计法。
1、矩估计法矩估计法的基本思想是用样本矩来估计总体矩。
比如，用样本均值估计总体均值，用样本方差估计总体方差。
2、最大似然估计法最大似然估计法是求使得样本出现的概率最大的参数值。
它基于这样的想法：如果在一次抽样中得到了某个样本，那么这个样本出现概率最大的参数值就是总体参数的估计值。
（二）区间估计区间估计则是给出一个区间，认为总体参数以一定的概率落在这个区间内。
区间估计通常包含置信水平和置信区间两个概念。
置信水平表示区间包含总体参数的可靠程度，常见的置信水平有90%、95%和 99%。
置信区间则是根据样本数据计算得到的一个区间范围。
三、实例例题假设我们要研究某地区成年人的身高情况。
随机抽取了 100 名成年人，他们的身高数据如下（单位：厘米）：165, 170, 172, 168, 175, 180, 160, 178, 176, 169,（一）点估计1、用样本均值估计总体均值：计算这 100 个数据的均值，得到样本均值为 172 厘米。
因此，我们估计该地区成年人的平均身高约为 172 厘米。
2、用样本方差估计总体方差：计算样本方差，得到约为 25 平方厘米。
（二）区间估计假设我们要以 95%的置信水平估计总体均值的置信区间。
首先，根据样本数据计算样本标准差，然后查找标准正态分布表或使用相应的统计软件，得到置信系数。
最终计算出置信区间为（168，176）厘米。
这意味着我们有 95%的把握认为该地区成年人的平均身高在 168 厘米到 176 厘米之间。
四、知识点总结（一）点估计的评价标准1、无偏性：估计量的期望值等于被估计的参数。
参数估计之点估计和区间估计
作者 | CDA数据分析师参数估计（parameter estimation）是根据从总体中抽取的样本估计总体分布中包含的未知参数的方法。
人们常常需要根据手中的数据，分析或推断数据反映的本质规律。
即根据样本数据如何选择统计量去推断总体的分布或数字特征等。
统计推断是数理统计研究的核心问题。
所谓统计推断是指根据样本对总体分布或分布的数字特征等作出合理的推断。
它是统计推断的一种基本形式，分为点估计和区间估计两部分。
一、点估计点估计是依据样本估计总体分布中所含的未知参数或未知参数的函数。
简单的来说，指直接以样本指标来估计总体指标，也叫定值估计。
通常它们是总体的某个特征值，如数学期望、方差和相关系数等。
点估计问题就是要构造一个只依赖于样本的量，作为未知参数或未知参数的函数的估计值。
构造点估计常用的方法是：①矩估计法，用样本矩估计总体矩②最大似然估计法。
利用样本分布密度构造似然函数来求出参数的最大似然估计。
③最小二乘法。
主要用于线性统计模型中的参数估计问题。
④贝叶斯估计法。
可以用来估计未知参数的估计量很多，于是产生了怎样选择一个优良估计量的问题。
首先必须对优良性定出准则，这种准则是不唯一的，可以根据实际问题和理论研究的方便进行选择。
优良性准则有两大类：一类是小样本准则，即在样本大小固定时的优良性准则；另一类是大样本准则，即在样本大小趋于无穷时的优良性准则。
最重要的小样本优良性准则是无偏性及与此相关的一致最小方差无偏估计，其次有容许性准则，最小化最大准则，最优同变准则等。
大样本优良性准则有相合性、最优渐近正态估计和渐近有效估计等。
下面介绍一下最常用的矩估计法和最大似然估计法。
1、矩估计法矩估计法也称“矩法估计”，就是利用样本矩来估计总体中相应的参数。
它是由英国统计学家皮尔逊Pearson于1894年提出的，也是最古老的一种估计法之一。
对于随机变量来说，矩是其最广泛，最常用的数字特征，主要有中心矩和原点矩。
由辛钦大数定律知，简单随机样本的原点矩依概率收敛到相应的总体原点矩，这就启发我们想到用样本矩替换总体矩，进而找出未知参数的估计，基于这种思想求估计量的方法称为矩法。
参数估计的类型和优缺点
参数估计的类型和优缺点
参数估计是一种统计学方法，用于估计未知参数的值。
根据所使用的数据类型和模型假设，参数估计可以分为不同的类型，每种类型都有其优缺点。
以下是一些常见的参数估计类型及其优缺点：
1.点估计：点估计是最简单的参数估计形式，它使用单一的观测值或样本统计量来估计未
知参数的值。
优点是简单直观，计算方便；缺点是精度较低，且无法给出估计的不确定性或误差范围。
2.区间估计：区间估计使用样本统计量和某些统计方法来估计未知参数的可能取值范围。
优点是能够给出估计的不确定性或误差范围，从而更好地了解参数的精度；缺点是计算较为复杂，需要更多的数据和计算资源。
3.贝叶斯估计：贝叶斯估计基于贝叶斯定理，使用先验信息、样本信息和似然函数来估计
未知参数的后验分布。
优点是能够结合先验信息和样本信息，更好地了解参数的不确定性；缺点是需要主观设定先验分布，可能会受到主观因素的影响。
4.极大似然估计：极大似然估计通过最大化似然函数来估计未知参数的值。
优点是方法简
单、计算方便，且在某些情况下具有一致性和渐近正态性等优良性质；缺点是对某些复杂的模型或数据分布可能不适用。
5.最小二乘估计：最小二乘估计通过最小化误差的平方和来估计未知参数的值。
优点是计
算简便，适用于多种线性回归模型；缺点是对模型的假设要求较高，且容易受到异常值的影响。
参数估计——点估计
1 n 2 A2 X i n i 1 1 n 2 2 2 Xi n i 1
2
所以 X
பைடு நூலகம்
1 n 1 2 ( X i X )2 Xi X n i 1 n i 1
2
结论：不管总体X服从何种分布，总体期望和方差
的矩估计量分别为样本均值、样本二阶中心距，即
设总体的分布函数为F(x,)（未知），X1，X2，…，Xn
为样本，构造一个统计量 ( X1 , X 2 ,, X n ) 来估计 参数，则称 ( X1 , X 2 ,, X n ) 为参数的估计量。
点估计（point estimation) ：如果构造一个统计量
1 n k 样本的 k 阶原点矩，记作 Ak X i n i 1 1 n 样本的 k 阶中心矩，记作 Bk ( X i X )k n i 1
参数的矩法估计
矩法估计：用样本的矩作为总体矩的估计量，即
1 n k Ak (1 , 2 ,, m ) X i n i 1
2
1 2
区间长度的矩估计量为 2 12A 12X 2 2 1 2
例3 对容量为n的子样，求下列密度函数中参数 a的
2 2 (a x), (0 x a) f ( x) a 0, 其它 a 2 a 解 由于 EX x (a x)dx 0 a 2 3 a 所以由矩法估计，得 X 3 3 n 解得 a 3 X X i n i 1 3 n 所以，参数 a 的矩估计量为 a X i n i 1
i 1
n
②若总体X为连续型随机变量
L( ) f ( x1 , x2 ,, xn , ) f ( xi , )
参数的点估计.ppt
证毕. 返回
退出
例2-3 设 X1, X2 , X3 , X4 是总体 X 容量为4 的样本．则总体均
值的以下无偏估计中, 最有效的点估计量是
(B )
A.
1 3
X1
1 6
X
2
1 6
X
3
1 3
X
4
B.
1 4
X1
1 4
X2
1 4
X3
1 4
X4
4311
C. 9 X1 9 X2 9 X3 9 X4
故 aX1 b是X2总 c体X3期望 的无偏E(估X计) .
证毕.
返回
退出
例2-5 从总体 X 中抽得容量为n1, n2 的两样本. 以 X1, X 2 分别 记二者的样本均值. 试证明两系数 a 和 b 只要满足条件 a b 1 ,
则 Y aX1 就bX是2 总体均值μ的无偏估计;试确定系数 a 和 b 的大小, 可使方差 D(Y ) 取最小值.
退出
对概率分布中的未知参数, 若不能利用分布的归一性、随机变量的独立性、 特定取值概率间的特定联系等条件,对参数的具体大小进行确定, 那就不得不改从总体中抽取适度容量样本的方式、 通过对样本中所含的个体进行恰如其分的数学处理，来
直接猜测和推断参数的具体大小. 怎样的数学处理才叫恰如其分？怎样进行推断才令人可信？
,
D(Xi ) E2(Xi ) 2 2 , E(X 2) D(X ) E2(X )
12
n
2
,
∴ 1
E [
(S2)
n
(
1 n
2 2
[ 1i )
n
1
n
E( (1
X
参数的点估计
例2 设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本 其中 >0,
求 的最大似然估计值. 解 似然函数为
对数似然函数为
对数似然函数为 求导并令其为0
=0
从中解得
即为 的最大似然估计值 .
=0
得 即为 p 的最大似然估计值 . 从而 p 的最大似然估计量为
求最大似然估计的一般步骤是：
(1) 由总体分布导出样本的联合分布律(或联 合密度);
(2) 把样本联合分布律 ( 或联合密度 ) 中自变 量看成已知常数,而把参数 看作自变量,得到似然 函数L( );
(3) 求似然函数L( ) 的最大值点(常常转化为 求ln L( )的最大值点) ，即 的最大似然估计;
达到最大值的
称 为 的最大似然估计值 . 而相应的统计量 称为 的最大似然估计量 .
说明： 求似然函数L( ) 的最大值点，可以应用 微积分中的技巧。由于ln(x)是 x 的增函数, lnL( ) 与L( )在 的同一值处达到它的最大值，假定 是一实数，且lnL( )是 的一个可微函数。通过 求解方程：
(4) 在最大值点的表达式中, 用样本值代入就 得参数的最大似然估计值 .
例6 设总体 X ~N( ) , 未知 . 是来自 X 的样本值 , 试求 的最大似然估计量 .
解 X 的概率密度为
似然函数为
于是
(2π)n 2(σ 2 )n 2 exp[ 1 n
2σ 2 i1
( xi μ)2]
LnL n ln(2π) n ln σ2 1
这里我们主要介绍前面两种方法 .
1. 矩估计法
矩估计法是英国统计学家K.皮尔逊 最早提出来的 . 由辛钦大数定律 ,
若总体 的数学期望
参数估计中点估计常见方法
参数估计中点估计常见方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊参数估计里点估计的那些常见方法。
这
可重要着呢，就像咱生活中找路一样，得有合适的办法才能找到正确
的方向呀！
先来说说矩估计法。
这就好比是搭积木，咱通过一些已知的“积木块”来推测整体的形状。
它利用样本矩来估计总体矩，从而得到参数的
估计值。
你想想，这多有意思呀，就像从一些小细节里能看出大乾坤
一样！
还有极大似然估计法。
这就好像侦探破案，根据现场留下的蛛丝马
迹来推断最有可能的情况。
我们根据样本出现的概率，去找到让这个
概率最大的参数值，那这很可能就是我们要找的“真相”啦！
咱再打个比方，矩估计法像是拼图，从局部慢慢拼成整体；而极大
似然估计法呢，就像是寻宝藏，在众多可能性中找到最有可能藏着宝
贝的地方。
那这两种方法有啥优缺点呢？矩估计法简单直接，但有时候可能不
够精确；极大似然估计法呢，往往更能抓住关键，但计算可能会稍微
复杂点。
这就跟咱走路一样，有的路近但不好走，有的路远但平坦呀！
在实际应用中，咱得根据具体情况来选择合适的方法。
可不能瞎用哦，不然就像闭着眼睛走路，那不得撞墙上呀！咱得根据数据的特点、问题的需求来灵活运用。
比如说，要是数据比较简单，矩估计法可能就挺好用；要是数据很复杂，那极大似然估计法说不定能发挥大作用呢！这就跟咱挑工具干活似的，得选对了工具才能干得又快又好呀！
总之呢，参数估计中点估计的常见方法就像是我们手里的武器，我们得了解它们的特点和用途，才能在面对各种问题时游刃有余呀！大家可得好好记住这些方法，说不定啥时候就能派上大用场呢！可别小瞧了它们哦！。
点估计知识点总结
点估计知识点总结在进行点估计时，我们通常会使用样本数据来估计总体参数的值。
在这个过程中，我们会选择一个适当的统计量作为总体参数的估计值。
常见的统计量包括样本均值、样本方差、样本比例等。
我们可以根据这些统计量来估计总体参数的值，并计算出相应的置信区间，以及估计的标准误差等。
点估计的核心是选择一个合适的统计量作为总体参数的估计值。
在选择统计量时，我们通常会考虑其无偏性、一致性和有效性等性质。
一个好的估计量应该是无偏的，即其期望值等于总体参数的真实值。
此外，这个估计量应该是一致的，即当样本容量增大时，估计值应该接近总体参数的真实值。
最后，一个好的估计量应该是有效的，即其方差应该尽可能小。
在选择统计量时，我们通常会考虑这些性质，并选择一个合适的统计量作为总体参数的估计值。
在进行点估计时，我们通常会计算出估计值的置信区间。
置信区间可以帮助我们对估计值的精确性进行评估。
常见的置信区间包括双侧置信区间和单侧置信区间。
双侧置信区间可以帮助我们对总体参数的值进行双边估计，而单侧置信区间则可以帮助我们对总体参数的值进行单边估计。
在计算置信区间时，我们通常会使用统计量的抽样分布来进行计算，以此来评估估计值的精确性。
此外，在进行点估计时，我们还会计算出估计的标准误差。
标准误差可以帮助我们评估估计值的精确性，其值越小表示估计值越精确。
在计算标准误差时，我们通常会使用统计量的标准差来进行计算，以此来评估估计值的精确性。
点估计是统计学中的一个重要概念，它可以帮助我们对总体参数进行估计并做出相应的推断。
在进行点估计时，我们通常会选择一个适当的统计量作为总体参数的估计值，并计算出相应的置信区间和标准误差等。
通过点估计，我们可以对总体参数进行估计，并进行相应的推断，这对于统计学的应用具有重要的意义。
7.1 参数的点估计
总体矩，样本矩回顾：
设 X 是总体，X1，X2，…，Xn是来自 X 的一个样本：
则总体 X 的 k 阶原点矩，记作 k E(X k )
总体 X 的 k 阶中心矩，记作 Vk E[X E(X )]k
样本的 k 阶原点矩，记作
Ak
1 n
n i 1
Xik
样本的 k 阶中心矩，记作
ˆ max{ xi }
小结
两种点估计方法:
矩估计法 最大似然估计法
用矩估计法估计参数通常比较方便，便于实 际应用，但所得估计的优良性有时比较差。
最大似然估计法使用时常常要进行比较复杂 的计算，然而得到的估计在许多情况下具有优良 性，它是目前仍然得到广泛使用的一种方法。
7.1.3 点估计标准
要了解这批灯泡的质量就要估计μ 和σ2的值。
例子：某电话交换台在1小时内接到的呼叫次数为Y Y~P(λ )，但 λ 未知. 某人想知道该电话交换台在1小时内呼叫10次 的概率，必须先估计λ 的值。
问题产生背景
在总体分布类型已知的情况下，如何从样本估 计总体分布中的未知参数就成为数理统计的基 本问题之一。
aˆ X 3B2 , bˆ X 3B2
例7.1.4 设总体X的均值μ 及方差σ 2都存在,且 有σ 2 >0，但μ ,σ 2 均未知. X1,X2,…,Xn 是来自总 体X的样本,求μ,σ2的矩估计量.
解 先求总体的一阶和二阶原点矩：
1 E(X ) ,
2 E(X 2 ) D(X ) E(X )2 2 ,
无偏性表示 ˆ 围绕被估参数 而摆动，以 致平均误差为零，即用ˆ 估计 没有系统
性误差。
例7.1.10 若X ~ U [0 , θ], 证明：
参数的点估计及区间估计
参数的点估计及区间估计1.点估计点估计是通过样本数据得出一个单一的数值作为参数的估计值。
常见的点估计方法有最大似然估计、矩估计等。
最大似然估计是通过寻找参数值，使得给定样本出现的可能性最大化，从而估计参数的值。
矩估计则是通过样本矩的估计值来估计参数的值。
点估计的优点是简单直观，计算方便，但它只给出了一个数值，无法反映参数估计的准确程度。
2.区间估计区间估计是通过样本数据得出一个区间，该区间内的值有一定概率包含着未知参数的真实值。
常见的区间估计方法有置信区间、预测区间等。
置信区间是通过样本数据得出一个区间，该区间内的值有一定程度的置信度来包含着未知参数的真实值。
预测区间是通过样本数据得出一个区间，该区间内的值有一定程度的置信度来包含着新的观测值。
区间估计的优点是可以反映参数估计的不确定性，给出了一个范围，但计算复杂，要求样本量较大。
对于点估计和区间估计，我们需要考虑一些概念和原则：1.无偏性：一个点估计量如果在大样本下的期望等于被估计参数的真实值，则称其为无偏估计量。
无偏估计量估计的是总体参数的中心值。
2.有效性：如果两个估计量都是无偏估计量，但一个估计量的方差较小，则称这个估计量为有效估计量。
3.一致性：一个估计量如果在样本量趋向于无穷大时，以概率1收敛于被估计参数的真实值，则称该估计量为一致估计量。
4.置信水平：置信区间是估计参数范围的一种方法，置信水平是指在重复抽样条件下，这个估计参数范围包含真实参数的概率。
总结起来，点估计提供了一个单一的参数估计值，简单直观，但没有反映参数估计的准确程度；区间估计提供了一个范围，可以反映参数估计的不确定性，但计算较复杂。
在实际应用中，可以根据问题的具体要求选择适当的估计方法，或者同时使用点估计和区间估计方法来对参数进行估计。
参数的点估计
ˆ
2 矩
Eˆ(X 2) Eˆ 2(X )
1 n
n i 1
X
2 i
X
2
1 n
n i1
(Xi
X )2
Sn2
例3 设总体 X ~ E(), X1, X2,…, Xn为总体的样本, 求的矩法估计量。
解 E(X ) 1
故 ˆ 1
X
则
Eˆ ( X
)
1
ˆ
X
例4 设从某灯泡厂某天生产的一大批灯泡中
点估计 区间估计
参数估计的类型
点估计 —— 估计未知参数的值
区间估计—— 估计未知参数的取值范围， 使得这个范围包含未知参数 真值的概率为给定的值.
§8.1 点估计方法
点估计的思想方法
设总体X 的分布函数的形式已知，但它含有
一个或多个未知参数：1,2, ,k
设 X1, X2,…, Xn为总体的一个样本 构造 k 个统计量：
ˆ 2
1 10
10 i 1
xi2
x2
6821(h2 )
Dˆ (X ) 79.25(h)
n
n i 1
Xi
Eˆ ( X )
1
n
n i 1
X
2 i
Eˆ ( X 2 )
ˆ Eˆ(X ) X
ˆ
2
Eˆ ( X
2)
Eˆ Байду номын сангаас(X )
1 n
n i 1
X
2 i
X
2
1 n
n i1
(Xi
X )2
Sn2
即：以样本均值估计总体均值，
以样本的2阶中心距估计方差
点估计和区间估计公式
点估计和区间估计公式估计是统计学中的一个重要分支，它是通过样本数据对总体参数进行推断的过程。
估计可以分为点估计和区间估计。
在本文中，我们将介绍点估计和区间估计的基本概念和公式。
一、点估计点估计是通过样本数据估计总体参数的一种方法。
它的基本思想是利用样本数据的统计量，如平均值、标准差等，来估计总体参数的值。
点估计得到的结果通常是一个单独的数值，称为点估计量。
点估计量通常用希腊字母表示，如θ̂，表示总体参数的估计值。
点估计的公式如下：θ̂=g(X1,X2,...,Xn)其中，θ̂表示总体参数的估计值，g()表示样本数据的某种统计量，如平均值、标准差等，X1,X2,...,Xn表示样本数据。
例如，假设我们要估计某个城市的人均收入，我们可以通过抽取该城市的一部分居民的收入数据来进行估计。
我们可以利用样本数据的平均值来估计总体参数的值，即：θ̂=1/n*ΣXi其中，θ̂表示总体参数的估计值，n表示样本容量，Xi表示第i个样本数据。
二、区间估计区间估计是指通过样本数据构造一个区间，该区间包含总体参数真实值的概率较高。
区间估计得到的结果是一个范围，称为置信区间。
置信区间的长度取决于样本容量和置信水平。
置信水平通常为95%或99%。
区间估计的公式如下：(θ̂-zα/2*σ/√n, θ̂+zα/2*σ/√n)其中，θ̂表示总体参数的点估计值，zα/2表示标准正态分布的上分位数，α表示置信水平，σ表示总体参数的标准差，n表示样本容量。
例如，假设我们要估计某个城市的人均收入，我们可以通过抽取该城市的一部分居民的收入数据来进行估计。
我们可以构造一个置信水平为95%的置信区间来估计总体参数的值，即：(θ̂-1.96*σ/√n, θ̂+1.96*σ/√n)其中，θ̂表示总体参数的点估计值，σ表示总体参数的标准差，n 表示样本容量。
三、总结点估计和区间估计是统计学中常用的估计方法。
点估计通过样本数据的统计量来估计总体参数的值，得到的结果是一个单独的数值。
参数估计公式点估计与区间估计方法的公式整理
参数估计公式点估计与区间估计方法的公式整理在统计学中，参数估计是通过从样本数据中获得的统计量推断总体参数值的方法。
通过参数估计，我们可以利用样本数据来了解总体的特征。
参数估计有两种主要方法，即点估计与区间估计。
本文将对参数估计的公式进行整理，包括点估计和区间估计的常用方法。
一、点估计公式点估计是用样本数据来估计总体参数的方法，其中最常用的是样本均值和样本方差。
下面是一些常见的点估计公式：1. 样本均值的点估计公式总体均值的点估计通常由样本均值给出。
假设我们有一个样本数据集X={x₁, x₂, ..., xn}，其中n是样本大小。
总体均值μ的点估计公式为：μ̂= (x₁ + x₂ + ... + xn) / n2. 样本方差的点估计公式总体方差的点估计通常由样本方差给出。
假设我们有一个样本数据集X={x₁, x₂, ..., xn}，其中n是样本大小。
总体方差σ²的点估计公式为：σ̂² = ((x₁ - μ̂)² + (x₂ - μ̂)² + ... + (xn - μ̂)²) / (n - 1)3. 样本比例的点估计公式总体比例的点估计通常由样本比例给出。
假设我们有一个二分类样本数据集X={x₁, x₂, ..., xn}，其中n是样本大小，p是正例的比例。
总体比例p的点估计公式为：p = (x₁ + x₂ + ... + xn) / n二、区间估计公式区间估计是用来估计参数的可信区间的方法，即给出参数值的一个范围。
下面是一些常见的区间估计公式：1. 总体均值的区间估计公式总体均值的区间估计可以使用置信区间进行。
假设我们有一个样本数据集X={x₁, x₂, ..., xn}，其中n是样本大小，s是样本标准差，Z是对应于所需置信度的Z分位数。
总体均值μ的置信区间估计公式为：μ̂± Z * (s / √n)2. 总体比例的区间估计公式总体比例的区间估计可以使用置信区间进行。
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列方程得
解方程得
ˆ 2X ˆ a b 2 2 ˆ ˆ b a 12[ X ( X ) ]
若记
n n 1 1 2 2 Sn ( X i X )2 , 易得Sn X i2 ( X )2 X 2 ( X )2 n i 1 n i 1 ˆa 于是 b ˆ 12S , 解上述方程组得
定义5.2
设总体X属连续型，其概率密度为
f ( x,1 ,2 ,k ), 其中 1 ,2 ,k 是未知参数，
X1 , X 2 ,, X n 为来自总体X的样本，它的联合分布
密度为 令
n
f ( x ; , , ,
i 1 i 1 2
k
)
L( x1 , x2 , xn ;1 , 2 , k ) f ( xi ;1 , 2 ,, k ) （1）
1 2 n 1 2 n
ˆ( X , X , X )为 作为未知参数 的近似值，则称 1 2 n ˆ( x , x , x ) 为 的估计值。 的一个估计量，称 1 2 n
注：F(x;)也可用分布律或密度函数代替.
若x1， … ， xn是样本的一个观测值,则
ˆ g(x , , x )称为 的估计值 , 1 n
i 1
n
称为样本的似然函数。当 x1 , x2 ,, xn 固定时，L是
1 ,2 ,k 的函数，若L在 ˆ , ˆ , ˆ 处达到极大值 1 2 k
ˆ , ˆ , ˆ 为参数 , , 的极大似然 则分别称 1 2 k 1 2 k
估计量。 求极大似然估计量的问题，就是求似然函数L的 极大值问题。
2 E ( X ) , D ( X ) , 解 由总体X的矩
列方程 解此方程得
ˆ ˆ E (X ) X 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ E ( X ) X
ˆX 2 2 2 2 ˆ X ( X ) S n
ln L 0, i 1, 2,, k i
n
ˆ X 3Sn a ˆ X 3S b n
三、极大似然估计法
1、极大似然思想 有两个射手，一人的命中率为0.9,另一人的 命中率为0.1,现在他们中的一个向目标射击了一 发，结果命中了，估计是谁射击的？ 一般说，事件A发生的概率与参数有关，取值 不同，则P(A)也不同。因而应记事件A发生的概率 为P(A|).若A发生了，则认为此时的值应是在中 使P(A|) 达到最大的那一个。这就是极大似然思想
第五章 参数估计
点估计 估计量的评选标准 区间估计 正态总体参数的区间估计
5.2
5.1 点估计
一、参数估计的概念
定义 设总体X的分布函数 F ( x, ) 的形式为已知， 为待估参数。 X1, X 2 , X n 是总体X的一个样本， x1 , x2 , xn 是相应的一个样本值。构造一个适当 ˆ( X , X , X ), 用它的观察值 ˆ( x , x ,x ), 的统计量
约定：若 是未知参数的矩估计，则g()的矩
估计为g( ),
例1：设X1， … ， Xn为取自总体B(m,p)的样本， 其中m已知，0<p<1未知，求p的矩估计。
解 因为总体X B(m, p), 所以
E ( X ) mp,
所以
ˆ p
Байду номын сангаас
1 ˆ 1 E( X ) X m m
得到极大似然估计法的步骤是：
（1）根据总体X的分布，建立似然函数 L( x1, x2 , xn ;1,2 ,k ) （2）当L关于 1 ,2 ,k 可微时，可由方程组
L 0, i 1, 2,, k i
（ 2）
ˆ (i 1, 2,, k ). 定出 i
ˆ 也可由 因为L 与lnL有相同的极大值点，所以 i
例2：设X1， … ， Xn为取自参数为1/的指数分布 总体的样本，求的矩估计。 解 因为 X e( 1 ), 所以
E( X )
从而
ˆ X.
1 e 例3。设总体X的概率密度为 f ( x ) 2 X1， … ， Xn为样本，求参数的矩估计。
解 总体分布X的一阶原点矩 x x 0 x x E ( X ) xf ( x)dx e dx e 2 0 2
由于g(x1， … ， xn) 是实数域上的一个点， 现用它来估计， 故称这种估计为点估计。 点估计的经典方法是矩估计法与极大似然估 计法。
二、矩估计法（简称“矩法”）
定义5.1：.用样本矩作为总体同阶矩的估计，即
1 n E ( X ) X ik . n i 1
k
从而得到参数的估计量的方法叫矩估计法，这样 的估计量称为矩估计量
x
所以不可用，我们再计算二阶原点矩 2 x 2 x 0 x x E ( X 2 ) x 2 f ( x)dx e dx e 2 0 2 2 2
2
2
0
可选用，因此
ˆ
A2 . 2
例4：设X1， … ， Xn为取自 N (, 2 ) 总体的 样本，求参数 , 2 的矩估计。
例5. 设X1 ,, X n ~ U (a, b), a b, 试求 a 和 b .
解 由于总体 X U (a, b), 则其概率密度为
1 f ( x) b a , 0,
iid
^
^
a xb 其他
2 2
因为
a b (b a) a b 2 2 E( X ) , E( X ) D( X ) [ E( X )] 2 12 2