参数的点估计汇总.

例5. 设X1 ,, X n ~ U (a, b), a b, 试求 a 和 b .
解 由于总体 X U (a, b), 则其概率密度为
1 f ( x) b a , 0,
iid
^
^
a xb 其他
2 2
因为
a b (b a) a b 2 2 E( X Fra Baidu bibliotek , E( X ) D( X ) [ E( X )] 2 12 2
第五章 参数估计
点估计 估计量的评选标准 区间估计 正态总体参数的区间估计
5.2
5.1 点估计
一、参数估计的概念
定义 设总体X的分布函数 F ( x, ) 的形式为已知， 为待估参数。 X1, X 2 , X n 是总体X的一个样本， x1 , x2 , xn 是相应的一个样本值。构造一个适当 ˆ( X , X , X ), 用它的观察值 ˆ( x , x ,x ), 的统计量
ˆ a ˆ b X 2 ˆa ˆ) 2 ˆ ) 2 (a ˆ b (b 2 X 12 4
列方程得
解方程得
ˆ 2X ˆ a b 2 2 ˆ ˆ b a 12[ X ( X ) ]
若记
n n 1 1 2 2 Sn ( X i X )2 , 易得Sn X i2 ( X )2 X 2 ( X )2 n i 1 n i 1 ˆa 于是 b ˆ 12S , 解上述方程组得

x

所以不可用，我们再计算二阶原点矩 2 x 2 x 0 x x E ( X 2 ) x 2 f ( x)dx e dx e 2 0 2 2 2
2


2
0
可选用，因此
ˆ
A2 . 2
例4：设X1， … ， Xn为取自 N (, 2 ) 总体的 样本，求参数 , 2 的矩估计。
2 E ( X ) , D ( X ) , 解 由总体X的矩
列方程 解此方程得
ˆ ˆ E (X ) X 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ E ( X ) X
ˆX 2 2 2 2 ˆ X ( X ) S n
ln L 0, i 1, 2,, k i
i 1
n
称为样本的似然函数。当 x1 , x2 ,, xn 固定时，L是
1 ,2 ,k 的函数，若L在 ˆ , ˆ , ˆ 处达到极大值 1 2 k
ˆ , ˆ , ˆ 为参数 , , 的极大似然 则分别称 1 2 k 1 2 k
估计量。 求极大似然估计量的问题，就是求似然函数L的 极大值问题。
n
ˆ X 3Sn a ˆ X 3S b n
三、极大似然估计法
1、极大似然思想 有两个射手，一人的命中率为0.9,另一人的 命中率为0.1,现在他们中的一个向目标射击了一 发，结果命中了，估计是谁射击的？ 一般说，事件A发生的概率与参数有关，取值 不同，则P(A)也不同。因而应记事件A发生的概率 为P(A|).若A发生了，则认为此时的值应是在中 使P(A|) 达到最大的那一个。这就是极大似然思想
约定：若 是未知参数的矩估计，则g()的矩
估计为g( ),
例1：设X1， … ， Xn为取自总体B(m,p)的样本， 其中m已知，0<p<1未知，求p的矩估计。
解 因为总体X B(m, p), 所以
E ( X ) mp,
所以
ˆ p
1 ˆ 1 E( X ) X m m
得到极大似然估计法的步骤是：
（1）根据总体X的分布，建立似然函数 L( x1, x2 , xn ;1,2 ,k ) （2）当L关于 1 ,2 ,k 可微时，可由方程组
L 0, i 1, 2,, k i
（ 2）
ˆ (i 1, 2,, k ). 定出 i
ˆ 也可由 因为L 与lnL有相同的极大值点，所以 i
由于g(x1， … ， xn) 是实数域上的一个点， 现用它来估计， 故称这种估计为点估计。 点估计的经典方法是矩估计法与极大似然估 计法。
二、矩估计法（简称“矩法”）
定义5.1：.用样本矩作为总体同阶矩的估计，即
1 n E ( X ) X ik . n i 1
k
从而得到参数的估计量的方法叫矩估计法，这样 的估计量称为矩估计量
定义5.2
设总体X属连续型，其概率密度为
f ( x,1 ,2 ,k ), 其中 1 ,2 ,k 是未知参数，
X1 , X 2 ,, X n 为来自总体X的样本，它的联合分布
密度为 令
n
f ( x ; , , ,
i 1 i 1 2
k
)
L( x1 , x2 , xn ;1 , 2 , k ) f ( xi ;1 , 2 ,, k ) （1）
1 2 n 1 2 n
ˆ( X , X , X )为 作为未知参数 的近似值，则称 1 2 n ˆ( x , x , x ) 为 的估计值。 的一个估计量，称 1 2 n
注：F(x;)也可用分布律或密度函数代替.
若x1， … ， xn是样本的一个观测值,则
ˆ g(x , , x )称为 的估计值 , 1 n
例2：设X1， … ， Xn为取自参数为1/的指数分布 总体的样本，求的矩估计。 解 因为 X e( 1 ), 所以

E( X )
从而
ˆ X.
1 e 例3。设总体X的概率密度为 f ( x ) 2 X1， … ， Xn为样本，求参数的矩估计。
解 总体分布X的一阶原点矩 x x 0 x x E ( X ) xf ( x)dx e dx e 2 0 2