矩阵分析

I. QUESTION I

Summarize the known constructions of orthogonal matrices and unitary matrices. Give some numerical examples for each construction.

1》正交矩阵：是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。尽管我们在这

里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵不一定是实矩阵。实正交矩阵可以看做是一种特殊的酉矩阵，但存在一种复正交矩阵，复正交矩阵不是酉矩阵。

正交矩阵有以下几种等价定义及其判定 (满足的结构性质) 定义1.1 A 为n 阶实矩阵,若E AA =',则称A 为正交矩阵. 定义1.2 A 为n 阶实矩阵,若E A A =',则称A 为正交矩阵. 定义1.3 A 为n 阶实矩阵,若1-=A A ,则称A 为正交矩阵.

定义1.4 A 为n 阶实矩阵,若A 的n 个行（列）向量是两两正交的单位向量,则称A 为正交矩阵.

实例：

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-θθθθ

c o s s i n s i n c o s

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡1001

2》酉矩阵：n 阶复方阵U 的n 个列向量是U 空间的一个标准正交基，

则U 是酉矩阵。酉矩阵是正交矩阵往复数域上的推广。

酉矩阵的相关性质： 设有矩阵 ，则

（1）若是酉矩阵，则的逆矩阵也是酉矩阵； （2）若是酉矩阵，则也是酉矩阵；

（3）是酉矩阵的充分必要条件是，它的个列向量是两两正交的单位向量。

一个简单的充分必要判别准则是： 酉矩阵的共轭转置和它的逆矩阵相等 酉矩阵基本性质:(A 是酉矩阵) 1.A 的行列式的模等于1 2.H A A =-1,11)()(--=H H A A

3.1-A 也是酉矩阵，两个n 阶酉矩阵的乘积也是酉矩阵

4.A 的每个(列)行向量(看作酉空间n C 的向量)是单位向量；不同的两个(列)行向量是酉矩阵正交的。 实例：

⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡++ββαα

s i n c o s 00s i n c o s i i （βα,为任意角度）

II. QUESTION II

A Hadamard matrix of order n is an n n ⨯matrix with elements in {}1,1+- such that T n n HH nE ⨯=where T H is the transpose of H and

n E is the identity matrix of order n .This class of matrices are useful in

many practical applications.

Q1 Does Hadamard matrix exist for any order? Please list a Hadarmard matrix of order n with 20n ≤ if such a matrix exists.

Q2

Design

two

Hadamard

matrices []12 ;;; n H h h h =and

12; ;

[; ]n G g g g = of order 2m n = (where m is odd) such that:

12/2; ;{}; n h h h is orthogonal to 12/2 ; ;{}; n g g g ;and

/21/22;;};{n n n h h h ++is orthogonal to /21/22; ;; {}n n n g g g ++.

If this cannot be done for general n, please give numerical examples for the cases that m = 3, 5,7.

Q3 Let 12; ;[; ]n H h h h =be a Hadamard matrix of order n,

where

2m n = for a positive integer m and j h denotes the column vector of H. Let

12; ;

;{( :11)}n i T i A a a a a a and a h for i n ===±≠≤≤

Define

()max ;1I = ,max j a A j n

a h ∈≤≤

where (),j a h denotes the absolute value of the inner product of a and j h . Try to derive a lower bound for max I . If this cannot be achieved, please guess a lower bound for max I respectively for even and odd m based on numerical results by computer.

2.1

Hadamard 矩阵是以+1和-1两个元素组成的，并且是任意两行互为正交的一

种方阵，比如：

⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2122221112)

11

这其中，ij a 只能取+1和-1，同时也满足

⎩

⎨⎧=≠=∑=j i n j

i a a n

k jk ik 01

其实hadamard 矩阵它的转置也是一个hadamard 矩阵