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极坐标(高考考点解析)

极坐标与参数方程目录题型1：求圆或直线的极坐标方程 .......................................................................................................................... 1 题型2：极坐标方程化参数方程 .............................................................................................................................. 1 题型3：参数方程化极坐标方程 .............................................................................................................................. 2 题型4：求圆与直线的交点 ...................................................................................................................................... 4 题型5：求两点间距离 .............................................................................................................................................. 4 题型6：求点到直线的距离 ...................................................................................................................................... 5 题型7：极坐标的综合性问题 . (6)题型1：求圆或直线的极坐标方程【例1】【2013年高考安徽卷（理）】在极坐标系中，圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A ．0()cos 2R θρρ=∈=和B ．()cos 22R πθρρ=∈=和C ．()cos 12R πθρρ=∈=和 D ．0()cos 1R θρρ=∈=和【答案】B【解析1】由2cos ρθ=知，圆心坐标为(1,0)，半径为1，所以圆与极轴的两个交点坐标为(0,0)，(2,0)。

【高中数学】参数方程和极坐标方程常考题型及解题方法归纳

参数方程和极坐标方程常考题型及解题方法归纳一、根据直线参数方程中ｔ的几何意义求与距离有关的问题经过点Ｐ（ｘ０，ｙ０），倾斜角为α的直线ｌ的参数方程为ｘ＝ｘ０＋ｔｃｏｓαｙ＝ｙ０＋ｔｓｉｎ烅烄烆α（ｔ为参数），参数ｔ的几何意义是：直线上定点Ｐ到动点Ｍ的有向线段，ｔ表示参数ｔ对应的点Ｍ到定点Ｐ的距离，即｜ｔ｜＝｜ＰＭ｜．若Ａ，Ｂ为直线ｌ上两点，其对应的参数分别为ｔ１与ｔ２，则有：①ＡＢ＝｜ｔ１－ｔ２｜；②当Ａ，Ｂ在点Ｐ的同侧时，ｔ１与ｔ２同号；当Ａ，Ｂ分别在点Ｐ的两侧时，ｔ１与ｔ２异号．需要注意的是：有时候直线的参数方程也可写为ｘ＝ｘ０＋ａｔｙ＝ｙ０＋烅烄烆ｂｔ（ｔ为参数），如果ａ２＋ｂ２≠１，则参数ｔ没有上述几何意义．例１　在直角坐标系中，以原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线Ｃ：ρｌｌ与ｌ的普通方程；（２）若ＰＭ，ＭＮ，ＰＮ成等比数列，求ａ的值．分析　（１）利用ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ即可将曲线Ｃ的极坐标方程转化为直角坐标方程，在直线ｌ的参数方程中消去参数ｔ即可得直线ｌ的普通方程；（２）将直线ｌ的参数方程代入曲线Ｃ的直角坐标方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可建立关于ａ的方程求解．解　（１）由ρｓｉｎ２θ＝ａｃｏｓθ得ρ２　ｓｉｎ２θ＝ａρｃｏｓθ，可得曲线Ｃ的平面直角坐标方程ｙ２＝ａｘ（ａ＞０）．由直线ｌ的参数方程消去参数ｔ，可得直线ｌ的普通方程为ｘ－ｙ－１＝０．（２）设点Ｍ，Ｎ对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，则ＰＭ＝ｔ１，ＰＮ＝ｔ２，ＭＮ＝ｔ１－ｔ２．将ｘ＝－１＋槡２２ｔ，ｙ＝－２　＋槡２２ｔ代入ｙ２＝ａｘ，得ｔ２－（槡４　２　＋槡２ａ）ｔ＋８＋２ａ＝０．所以Δ＝（槡４　２　＋槡２ａ）２－４（８＋２ａ）＝２ａ２＋８ａ＞０，ｔ１＋ｔ２＝槡４　２　＋槡２ａ，ｔ１ｔ２＝８＋２ａ．由ＰＭ，ＭＮ，ＰＮ成等比数列，可以得到ｔ１－ｔ２２＝ｔ１ｔ２，所以（ｔ１＋ｔ２）２－４ｔ１ｔ２＝ｔ１ｔ２，即（槡４　２　＋槡２ａ）２－５（８＋２ａ）＝０，解得ａ＝１（ａ＝－４舍去）．例２　（２０１５年高考湖南卷）已知直线ｌ：ｘ＝５　＋槡３２ｔｙ　＝槡３＋１２烅烄烆ｔ（ｔ为参数），以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Ｃ的极坐标方程为ρ＝２ｃｏｓθ．（Ⅰ）将曲线Ｃ的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点Ｍ的直角坐标为（５，槡３），直线ｌ与曲线Ｃ的交点为Ａ，Ｂ，求｜ＭＡ｜·｜ＭＢ｜的值．分析　（Ⅰ）利用ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ｘ＝ρｃｏｓθ即可将已知条件中的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）注意到点Ｍ在直线ｌ上，将直线ｌ的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可求解．解　（Ⅰ）ρ＝２ｃｏｓθ等价于ρ２＝２ρｃｏｓθ，将ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ρｃｏｓθ＝ｘ代入即得曲线Ｃ的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２－２ｘ＝０．（Ⅱ）结合直线ｌ的参数方程，注意到点Ｍ在直线ｌ上，且（槡３２）２＋（１２）２＝１，可设点Ｍ，Ｎ对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，则ＭＡ＝｜ｔ１｜，ＭＢ＝｜ｔ２｜，所以ＭＡ·ＭＢ＝ｔ１ｔ２．　将直线ｌ的参数方程代入曲线Ｃ的直角坐标方程，整理得ｔ２　＋槡５　３ｔ＋１８＝０，则ＭＡ·ＭＢ＝ｔ１ｔ２＝１８．例３　已知圆锥曲线Ｃ：ｘ＝２ｃｏｓαｙ＝ｓｉｎ｛α（α为参数）和定点Ａ（０，，槡３），Ｆ１，Ｆ２是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点Ｏ为极点，以ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（１）求直线ＡＦ２的极坐标方程；（２）经过点Ｆ１且与直线ＡＦ２垂直的直线ｌ交此圆锥曲线于Ｍ，Ｎ两点，求ＭＦ１－ＮＦ１的值．解　（１）消去参数α即可将曲线Ｃ的方程化为普通方程ｘ２４＋ｙ２＝１，从而可求得Ｆ１（－槡３，０），Ｆ２（槡３，０），于是可得直线ＡＦ２的普通方程为ｘ＋ｙ－槡３＝０，利用互化公式化为极坐标方程为ρｃｏｓθ＋ρｓｉｎθ＝槡３．（２）由（１）可得ｋＡＦ２＝－１，所以直线ｌ的倾斜角为４５°，从而可得直线ｌ的参数方程为ｘ＝－槡３　＋槡２２ｔｙ　＝槡２２烅烄烆ｔ（ｔ为参数），代入椭圆Ｃ的直角坐标方程：ｘ２４＋ｙ２＝１，得５ｔ２－槡２　６ｔ－２＝０，设点Ｍ，Ｎ对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，注意到点Ｍ，Ｎ，Ｆ１都在直线ｌ上且点Ｍ，Ｎ在点Ｆ１两侧，所以｜ＭＦ１｜－｜ＮＦ１｜＝｜ｔ１＋ｔ２｜＝槡２　６５．评注　对于直线上与定点距离有关的问题，利用直线参数方程中参数ｔ的几何意义，能避免通过解方程组求交点坐标的繁琐运算，使解题过程得到简化．二、利用参数方程求最值和取值范围利用曲线的参数方程求解两曲线间的最值问题，是解决这类问题的常用方法，优点是解题过程比较简洁．为此，需要熟悉常见曲线的参数方程、参数方程与普通方程的互化以及参数方程的简单应用．例４　已知曲线Ｃ１：ｘ＝８ｃｏｓｔｙ＝２ｓｉｎ｛ｔ（ｔ为参数），以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线Ｃ２的极坐标方程为ρ＝７ｃｏｓθ－ｓｉｎθ．（１）将曲线Ｃ１的参数方程化为普通方程，将曲线Ｃ２的极坐标方程化为直角坐标方程．（２）设Ｐ为曲线Ｃ１上的点，点Ｑ极坐标为（２槡２，π４），求ＰＱ的中点与曲线Ｃ２上的点的距离的最小值．分析　（１）利用参数方程和普通方程之间的关系进行互化即可，（２）先把点Ｑ的极坐标化为直角坐标，设出点Ｐ的参数形式的直角坐标（ｔ为参数），进而得到ＰＱ的中点Ｍ的直角坐标，可用公式得到点Ｍ到直线Ｃ２的距离ｄ的表达式（用参数ｔ表示），再求最值即可．解　（１）由曲线Ｃ１的参数方程消去参数ｔ得曲线Ｃ１的普通方程ｘ２６４＋ｙ２４＝１．由曲线Ｃ２的极坐标方程得ρｃｏｓθ－ρｓｉｎθ＝７，于是可得它的直角坐标方程为ｘ－ｙ－７＝０．（２）由点Ｑ的极坐标（槡２　２，π４）可得它的直角坐标为（２，２），设Ｐ（８ｃｏｓｔ，２ｓｉｎｔ），则ＰＱ的中点Ｍ的直角坐标为（４ｃｏｓｔ＋１，ｓｉｎｔ＋１），所以，点Ｍ到直线Ｃ２的距离ｄ＝４ｃｏｓｔ－ｓｉｎｔ－７槡２＝槡１７ｃｏｓ（ｔ＋φ）－７槡２，其中φ为锐角，且ｔａｎφ＝１４．当ｃｏｓ（ｔ＋φ）＝１时，ｄ取得最小值ｄｍｉｎ＝槡７　２　－槡３４２．所以，ＰＱ的中点Ｍ与曲线Ｃ２上的点的距离的最小值为槡７　２　－槡３４２．例５　（２０１４年全国卷Ⅰ）已知曲线Ｃ：ｘ２４＋ｙ２９＝１，直线ｌ：ｘ＝２＋ｔｙ＝２－２｛ｔ（ｔ为参数）．（Ⅰ）写出曲线Ｃ的参数方程和直线ｌ的普通方程；（Ⅱ）过曲线Ｃ上任一点Ｐ作与ｌ夹角为３０°的直线，交ｌ于点Ａ，求｜ＰＡ｜的最大值与最小值．分析　（Ⅰ）利用椭圆的普通方程及直线的参数的特征进行互化即可；（Ⅱ）由椭圆的参数方程建立｜ＰＡ｜的三角函数表达式，再求最值．图１解　（Ⅰ）曲线Ｃ的参数方程为ｘ＝２ｃｏｓθｙ＝３ｓｉｎ｛θ（θ为参数），直线ｌ的普通方程为２ｘ＋ｙ－６＝０．（Ⅱ）如图１，在曲线Ｃ上任意取一点Ｐ（２ｃｏｓθ，３ｓｉｎθ），它到直线ｌ的距离为：ｄ＝槡５５４ｃｏｓθ＋３ｓｉｎθ－６，则｜ＰＡ｜＝ｄｓｉｎ３０°＝槡２　５５｜５ｓｉｎ（θ＋α）－６｜，其中α为锐角，且ｔａｎα＝４３．当ｓｉｎ（θ＋α）＝－１时，｜ＰＡ｜取得最大值，最大值为槡２２　５５；当ｓｉｎ（θ＋α）＝１时，｜ＰＡ｜取得最小值，最小值为槡２　５５．例６　（２０１５年高考陕西卷）在直角坐标系ｘΟｙ中，直线ｌ的参数方程为ｘ＝３＋１２ｔｙ　＝槡３２烅烄烆ｔ（ｔ为参数）．以原点为极点，ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙Ｃ的极坐标方程为ρ＝槡２　３ｓｉｎθ．（Ⅰ）写出⊙Ｃ的直角坐标方程；（Ⅱ）Ρ为直线ｌ上一动点，当Ρ到圆心Ｃ的距离最小时，求Ρ的直角坐标．分析　（Ⅰ）利用ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，由⊙Ｃ的极坐标方程可得它的直角坐标方程；（Ⅱ）先设点Ρ的参数坐标，可得ΡＣ的函数表达式，再利用函数的性质可得ΡＣ的最小值，进而可得Ρ的直角坐标；或将直线ｌ的方程化为普通方程，再求过圆心且垂直于直线ｌ的直线方程，联立两方程可解得点Ｐ的直角坐标．解　（Ⅰ）由ρ＝槡２　３ｓｉｎθ，得ρ２　＝槡２　３ρｓｉｎθ，从而，⊙Ｃ的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２　＝槡２　３ｙ，即ｘ２＋（ｙ－槡３）２＝３．（Ⅱ）设Ｐ（３＋１２ｔ，槡３２ｔ），又Ｃ（０，槡３），则｜ＰＣ｜＝（３＋１２ｔ）２＋（槡３２ｔ　－槡３）槡２＝ｔ２＋槡１２，易知：当ｔ＝０时，ΡＣ取得最小值，此时Ρ点的直角坐标为（３，０）．评注　将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，常用的技巧有：代入消参、加减消参、整体消参、平方后加减消参等．如果题目中涉及圆、椭圆上的动点求相关最值（范围）问题时，可考虑用其参数方程设出点的坐标，将问题转化为函数问题来解决，可以使解题的过程更简洁．例７　（２０１６年全国卷Ⅱ理科第２０题）已知椭圆Ｅ：ｘ２ｔ＋ｙ２３＝１的焦点在ｘ轴上，Ａ是Ｅ的左顶点，斜率为ｋ（ｋ＞０）的直线交Ｅ于Ａ，Ｍ两点，点Ｎ在Ｅ上，ＭＡ⊥ＮＡ．（Ⅰ）当ｔ＝４，ＡＭ＝ＡＮ时，求△ＡＭＮ的面积；（Ⅱ）当２　ＡＭ＝ＡＮ时，求ｋ的取值范围．分析　（Ⅰ）先结合已知条件设出直线ＡＭ的参数方程，代入椭圆方程，可求得ＡＭ，进而求得△ＡＭＮ的面积；（Ⅱ）设出直线ＡＭ、ＡＮ的参数方程（以直线ＡＭ的倾斜角α为参数），代入椭圆方程，用ｔ和α表示｜ＡＭ｜和｜ＡＮ｜，再利用２　ＡＭ＝ＡＮ将ｔ表示为ｋ的函数，结合ｔ＞３，可求得ｋ的取值范围．解　（Ⅰ）当ｔ＝４，ＡＭ＝ＡＮ时，可得点Ａ（－２，０），ｋ＝１．设直线ＡＭ的参数方程为ｘ＝－２＋槡２２ｍｙ　＝槡２２烅烄烆ｍ（ｍ为参数），代入椭圆方程，整理得７２ｍ２－槡６　２　ｍ＝０，故ＡＭ　＝槡１２　２７，所以Ｓ△ＡＭＮ＝１２ＡＭ·ＡＮ＝１４４４９．（Ⅱ）设直线ＡＭ的倾斜角为α，又点Ａ（－槡ｔ，０），可设直线ＡＭ的参数方程为ｘ＝－槡ｔ＋ｍｃｏｓαｙ＝ｍｓｉｎ烅烄烆α（ｍ为参数），代入椭圆方程，整理得（３ｃｏｓ２α＋ｔ　ｓｉｎ２α）ｍ２－６ｔｃｏｓα·ｍ＝０，所以ＡＭ＝６ｔｃｏｓα３ｃｏｓ２α＋ｔ　ｓｉｎ２α．因为ＭＡ⊥ＮＡ，故直线ＡＮ的倾斜角为α＋π２，同理可得：ＡＮ＝６ｔｃｏｓ（α＋π２）３ｃｏｓ２（α＋π２）＋ｔ　ｓｉｎ２（α＋π２）＝６ｔｓｉｎα３ｓｉｎ２α＋ｔ　ｃｏｓ２α．由２　ＡＭ＝ＡＮ，ｋ＝ｔａｎα，代入化简得ｔ＝６ｋ２－３ｋｋ３－２．又因为椭圆Ｅ：ｘ２ｔ＋ｙ２３＝１的焦点在ｘ轴上，所以ｔ＞３，即６ｋ２－３ｋｋ３－２＞３，解得３槡２＜ｋ＜２．所以，ｋ的取值范围是（３槡２，２）．评注　本题属于圆锥曲线试题，常规思路是利用直角坐标直接求解，过程比较复杂．利用直线的参数方程来求解本题，使问题的求解过程变得简洁．三、利用极坐标中ρ的几何意义求有关距离或相关问题我们知道，极坐标中的ρ为极径，表示曲线上一点与原点Ｏ之间的距离，因此，与原点Ｏ有关的距离、面积等问题都可考虑运用极坐标中ρ的几何意义来解决，这是一种有效的解题策略，很多时候比化为直角坐标运算更简便．例８　（２０１５年高考全国卷Ⅱ）在直角坐标系ｘＯｙ中，曲线Ｃ１：ｘ＝ｔｃｏｓα，ｙ＝ｔｓｉｎα｛，（ｔ为参数，ｔ≠０），其中０≤α＜π，在以Ｏ为极点，ｘ轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线Ｃ２：ρ＝２ｓｉｎθ，曲线Ｃ３：ρ＝２　槡３ｃｏｓθ．（Ⅰ）求Ｃ２与Ｃ１的交点的直角坐标；（Ⅱ）若Ｃ２与Ｃ１相交于点Ａ，Ｃ３与Ｃ１相交于点Ｂ，求ＡＢ的最大值．分析　（Ⅰ）可将曲线Ｃ２与Ｃ１的极坐标方程化为直角坐标方程后联立求交点的直角坐标，也可以直接联立极坐标方程求得交点的极坐标，再化为直角坐标；（Ⅱ）分别联立Ｃ２与Ｃ１、Ｃ３与Ｃ１的极坐标方程，求得Ａ，Ｂ的极坐标，由极径的概念用α表示出ＡＢ，转化为求关于α的三角函数的最大值．解　（Ⅰ）曲线Ｃ２的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２－２ｙ＝０，曲线Ｃ３的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２　－槡２　３ｘ＝０．联立两方程解得：ｘ１＝０，ｙ１＝０烅烄烆，ｘ２＝槡３２，ｙ２＝３２烅烄烆，所以，Ｃ２与Ｃ１的交点的直角坐标为（０，０）和（槡３２，３２）．（Ⅱ）曲线Ｃ１的极坐标方程为θ＝α（ρ∈Ｒ，ρ≠０），其中０≤α＜π．于是可得：点Ａ的极坐标为（２ｓｉｎα，α），点Ｂ的极坐标为（槡２　３ｃｏｓα，α）．所以ＡＢ＝２ｓｉｎα－槡２　３ｃｏｓα＝４｜ｓｉｎ（α－π３）｜，又０≤α＜π，所以，当α＝５π６时，ＡＢ取得最大值，最大值为４．评注　如果用直角坐标来处理本题，计算量较大．例９　（２０１６年全国卷Ⅱ理科第２３题）在直线坐标系ｘＯｙ中，圆Ｃ的方程为（ｘ＋６）２＋ｙ２＝２５．（Ⅰ）以坐标原点为极点，ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系，求Ｃ的极坐标方程；（Ⅱ）直线ｌ的参数方程是ｘ＝ｔｃｏｓα，ｙ＝ｔｓｉｎα｛，（ｔ为参数），ｌ与Ｃ交于Ａ，Ｂ两点，｜ＡＢ｜＝槡１０，求ｌ的斜率．分析　（Ⅰ）利用ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ｘ＝ρｃｏｓθ可得Ｃ的极坐标方程；（Ⅱ）先将直线ｌ的参数方程化为极坐标方程，再利用弦长公式可求得ｌ的斜率．解　（Ⅰ）由ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ可得Ｃ的极坐标方程ρ２＋１２ρｃｏｓθ＋１１＝０．（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线ｌ的极坐标方程为θ＝α（ρ∈Ｒ），与Ｃ的极坐标方程联立得ρ２＋１２ρｃｏｓα＋１１＝０．设点Ａ，Ｂ所对应的极径分别为ρ１，ρ２，则ρ１＋ρ２＝－１２ｃｏｓα，ρ１ρ２＝１１，所以｜ＡＢ｜＝｜ρ１－ρ２｜＝（ρ１＋ρ２）２－４ρ１ρ槡２＝１４４ｃｏｓ２α－槡４４．又｜ＡＢ｜＝槡１０，所以１４４ｃｏｓ２α－槡４４　＝槡１０，解得ｃｏｓ２α＝３８，故ｔａｎα＝±槡１５３，所以，直线ｌ的斜率为槡１５３或－槡１５３．例１０　（２０１５年高考全国卷Ⅰ理科第２３题）在直角坐标系ｘＯｙ中，直线Ｃ１：ｘ＝－２，圆Ｃ２：（ｘ－１）２＋（ｙ－２）２＝１，以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求Ｃ１，Ｃ２的极坐标方程；（Ⅱ）若直线Ｃ３的极坐标方程为θ＝π４（ρ∈Ｒ），设Ｃ２与Ｃ３的交点为Ｍ，Ｎ，求△Ｃ２ＭＮ的面积．分析　（Ⅰ）根据公式ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，ｘ２＋ｙ２＝ρ２即可求得Ｃ１，Ｃ２的极坐标方程；（Ⅱ）联立直线Ｃ３和圆Ｃ２的极坐标方程得到关于ρ的方程，可求得ＭＮ，进而可求出△Ｃ２ＭＮ的面积．解　（Ⅰ）因为ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，所以，可求得：Ｃ１的极坐标方程为ρｃｏｓθ＝－２，Ｃ２的极坐标方程为ρ２－２ρｃｏｓθ－４ρｓｉｎθ＋４＝０．（Ⅱ）将Ｃ３的极坐标方程θ＝π４代入Ｃ２的极坐标方程ρ２－２ρｃｏｓθ－４ρｓｉｎθ＋４＝０，得ρ２　－槡３　２ρ＋４＝０，解得ρ１＝槡２　２，ρ２＝槡２，所以，ＭＮ＝ρ１－ρ２＝槡２．又因为Ｃ２的半径为１，∠Ｃ２ＭＮ＝π４，所以△Ｃ２ＭＮ的面积为Ｓ＝１２×槡２×１×ｓｉｎπ４＝１２．评注　过坐标原点、倾斜角为θ０的直线的极坐标方程为θ＝θ０，其上两点Ｐ（ρ１，θ０），Ｑ（ρ２，θ０）间的距离为ＰＱ＝ρ１－ρ２．【一点感悟】参数方程和极坐标虽然是选考内容，也应得到充分的重视，如果能够将它们和普通方程有机联系，相互补充，可以优化解题思路，简化计算过程，减少运算量，提高解题的效率．。

极坐标与参数方程题型讲义-2022届高三数学一轮复习

极坐标与参数方程题型汇总题型一．直线参数方程t 的几何意义1.经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为为参数）t t y y t x x (sin cos 00⎩⎨⎧+=+=αα若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t 0=t 1＋t 22；(2)|PM |=|t 0|=t 1＋t 22；(3)|AB |=|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |=|t 1·t 2|（5）⎪⎩⎪⎨⎧>+<-+=-=+=+0,0,4)(212121212212121t t t t t t t t t t t t t t PB PA 当当（注：记住常见的形式，P 是定点，A 、B 是直线与曲线的交点，P 、A 、B 三点在直线上）【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |=|t |. 直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-； 2.解题思路第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t 的一元二次方程：02=++c bt at第三步：韦达定理：a ct t a b t t =-=+2121,第四步：选择公式代入计算。

1．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），设点P（1，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|P A|+|PB|的值．2．在直角坐标系xOy中，直线l过点P（0，1）且斜率为1，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ+2cosθ．（Ⅰ）求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C的交点为A、B，求|P A|+|PB|的值．3．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ＝0．（1）写出直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）已知点P（0，1），点Q（，0），直线l过点Q且曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求|PM|的值．4．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|P A|•|PB|＝1，求实数m的值．5．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求的极坐标方程；（2）设点，直线与曲线相交于点，求的值.6．在平面直角坐标系中，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为．（Ⅰ）写出曲线和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线过点与曲线交于不同两点，的中点为，与的交点为，求．7．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）.现以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）过点，且与直线平行的直线交于两点，求.8．在平面直角坐标系中，直线过点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）写出直线的参数方程及曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线交于，两点，且弦的中点为，求的值.9．在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.（1）若点的直角坐标为，求直线及曲线的直角坐标方程；（2）若点在上，直线与交于两点，求的值.10．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），其中，直线与曲线相交于，两点.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若点满足，求的值.11．在平面直角坐标系xOy中，点P(0,−1)，直线l的参数方程为{x=tcosαy=−1+tsinα(t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ+ρcos2θ= 8sinθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点A,B,M是线段AB的中点，当|PM|=409时，求sinα的值．12．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1−√22t y =1+√22t（t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ. （1）求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；（2）若C 1与C 2交于A,B 两点，点P 的极坐标为(√2,π4)，求1|PA|+1|PB|的值.题型二．极径的应用：一直线与两曲线分别相交，求交点间的距离(1)思路：一般采用直线极坐标与曲线极坐标联系方程求出2个交点的极坐标，利用极径相减即可，|=AB |B A 2B A B A 4)(||ρρρρρρ-+=-(2)过原点，倾斜角为α的直线的极坐标方程为：）（R ∈=ραθ 1．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为板轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ+ρ2sin 2θ﹣2ρsin θ﹣3＝0．（1）求直线l 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求AB 的长．2．已知曲线，是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点绕点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线.（Ⅰ）求曲线，的极坐标方程；（Ⅱ）射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积.3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2+2cosφy=2sinφ（φ为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ.（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）已知直线C3的极坐标方程为θ=α(0<α<π,ρ∈R)，A是C3与C1的交点，B是C1与C2的交点，且A，B均异于原点O，|AB|=4√2，求a的值.4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+√3cosαy =√3sinα（α为参数），直线l 的参数方程为{x =tcosβy =tsinβ（t 为参数，0≤β<π），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|OA |−|OB |=2，求β.5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =34+√3t y =a +√3t(t 为参数)，圆C 的标准方程为(x −3)2+(y −3)2=4.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线l 和圆C 的极坐标方程；(2)若射线θ=π3与l 的交点为M ，与圆C 的交点为A ，B ，且点M 恰好为线段AB 的中点，求a 的值．题型三．距离、最值、取值范围（一）与圆有关的题型1.圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较相离，无交点；:r d >个交点；相切，1:r d =个交点；相交，2:r d < 用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200BA C By Ax d +++=，算出d ，在与半径比较。

直线极坐标方程的几何意义

直线极坐标方程的几何意义在解析几何中，直线是一个基础的几何概念。

直线可以用多种方式来表示，其中一种常见的方式就是极坐标方程。

直线的极坐标方程有着一定的几何意义，能够帮助我们更好地理解直线在平面上的特性和性质。

极坐标方程的基本形式直线的极坐标方程一般可以写作：r = a·cos(θ) + b·sin(θ)其中，r是极坐标系中的径向距离，表示从原点到该直线的距离；θ是极坐标系中的极角，表示与极轴的夹角；a和b是常数，决定了直线的位置和方向。

直线在极坐标系中的表达极坐标方程的几何意义可以通过直线在极坐标系中的表达来体现。

我们知道，极坐标系由原点 O、极轴、极角和径向距离组成。

而直线的极坐标方程所表示的直线实际上是由一组点构成的集合，这些点满足直线方程的条件。

在极坐标系中，直线方程r = a·cos(θ) + b·sin(θ)描述了一条直线随着极角的变化而移动的轨迹。

当极角θ在特定范围内变化时，满足方程的点将被绘制出来，形成直线。

由于直线的极坐标方程是一个周期性方程，它的图形在极坐标系中呈现出特定的规律。

具体而言，直线的图形是一个连接两个极点的曲线，该曲线在每一个周期内都会如此。

直线的斜率与其位置和方向有关，而直线在极坐标系中的图形可以帮助我们更好地理解直线的性质。

直线的位置和方向直线的极坐标方程中的常数a和b决定了直线的位置和方向。

当a = 0且b ≠0时，直线平行于极轴，且过极点(0, 0)。

当a ≠ 0且b = 0时，直线垂直于极轴，且过极点(0, 0)。

当a ≠ 0且b ≠ 0时，直线既不平行于极轴也不垂直于极轴。

直线的位置和方向可以通过极坐标系的图形来判断。

如果直线在极坐标系中的图形与极轴相交，那么直线与极轴的夹角就是其斜率的绝对值。

如果直线在极坐标系中的图形是一条平行于极轴的直线，那么直线与极轴的夹角为零。

直线与其他几何图形的关系直线的极坐标方程还可以帮助我们理解直线与其他几何图形的关系。

极坐标与参数方程解题方法规律技巧

极坐标与参数方程解题方法规律技巧极坐标解题方法典例1：将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)求曲线C 的标准方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.2.求交点：已知直线的参数方程为（为参数）.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）写出直线经过的定点的直角坐标，并求曲线的普通方程；（Ⅱ）若，求直线的极坐标方程，以及直线与曲线的交点的极坐标.【答案】（1）,；（2）. l 1{1x tcos y tsin αα=-+=+t O x C cos 2ρρθ=+l C 4πα=l l C ()1,1-244y x =+2,2π⎛⎫⎪⎝⎭解析：（1）直线经过定点，由得，得曲线的普通方程为，化简得；（2）若，得的普通方程为，则直线的极坐标方程为，联立曲线： . ∵得，取，得，所以直线与曲线的交点为. 3．利用极角求最值和范围3.1.在平面直角坐标系中，已知曲线与曲线（为参数，）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点是射线与的公共点，点是与的公共点，当在区间上变化时，求的最大值．【答案】（1），（2） l ()1,1-cos 2ρρθ=+()22cos2ρρθ=+C ()2222x y x +=+244y x =+4πα=12{ 12x y =-+=+2y x =+l sin cos 2ρθρθ=+C cos 2ρρθ=+0ρ≠sin 1θ=2πθ=2ρ=l C 2,2π⎛⎫⎪⎝⎭xOy 1:1C x y +=222:{ 2x cos C y sin ϕϕ=+=ϕ[)0,2ϕπ∈x 12,C C A ():0l θαρ=≥1C B l 2C α0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦OB OAsin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭4cos ρθ=2+【试题解析】（1）曲线的极坐标方程为，即．曲线的普通方程为，即，所以曲线的极坐标方程为．（2）由（1）知，… 由知，当，即时，有最大值3.2. 在直角坐标系中，直线的方程是，圆的参数方程是（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）分别求直线与圆的极坐标方程；（2）射线: （）与圆的交点为，两点，与直线交于点，射线: 与圆交于，两点，与直线交于点，求的最大值．【答案】(1) , ；（2）. 【解析】试题分析：（1）利用直角坐标与极坐标的互化公式，即可求得直线和圆的极坐标方程；（2）由题意可得：点，的极坐标，可得，同理可得：，即可得出结论．试题解析：（1）直线l 的方程是，可得极坐标方程：1C ()cos sin 1ρθθ+=sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2C ()2224x y -+=2240x y x +-=2C 4cos ρθ=1,4cos cos sin A B OA OB ρρθθθ====+()()4cos cos sin 21cos2sin2224OBOA παααααα⎛⎫∴=+=++=++ ⎪⎝⎭02πα≤≤52+444πππα≤≤242ππα+=8πα=OB OA2+xOy l 6y =C { 1x cos y sin φφ==+ϕO x l C OM θα=02πα<<C O P l M ON 2πθα=+C O Q l N OP OQ OMON⋅sin 6ρθ=2sin ρθ=136P M 2sin 3OPaOM =2sin 3OQ ON α=6y =sin 6ρθ=圆C 的参数方程是（为参数），可得普通方程：展开为．化为极坐标方程：即4.求极径：在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为（t 为参数），直线l 2的参数方程为.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.【答案】(1) ；【解析】{1x cos y sin ϕϕ==+ϕ()2211x y +-=2220x y y +-=22sin 0ρρθ-=2sin ρθ=2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩2,,x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）()3:cos sin 0l ρθθ+=()2240x y y -=≠设,由题设得，消去k 得. 所以C 的普通方程为.（2）C 的极坐标方程为 .联立得.故，从而 . 代入得，所以交点M【考点】参数方程与直角坐标方程互化；极坐标中的极径的求解【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用.重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.: 5.求面积5. 1.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。

极坐标与参数方程专题(1)——直线参数t几何意义的应用

极坐标与参数方程专题(1)——直线参数t几何意义的应用极坐标与参数方程专题（1）——直线参数t的几何意义的应用1.（2018•银川三模）在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系。

已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程为：x=2t-2，y=2t+2求M、N两点。

Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；Ⅱ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值。

解：（Ⅰ）根据x=ρcosθ、y=ρsinθ，求得曲线C的直角坐标方程为y2=4x。

用代入法消去参数求得直线l的普通方程x-y-2=0.Ⅱ）直线l的参数方程为：x=2t-2，y=2t+2（t为参数），两曲线相交于M、N两点。

代入y2=4x，得到t1=-4，t2=6.则|PM|+|PN|=|t1+t2|=10.2.（2018•乐山二模）已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为x=t+1，y=t-1（t为参数），点A的极坐标为（2，π/4），设直线l与圆C交于点P、Q两点。

1）求圆C的直角坐标方程；2）求|AP|•|AQ|的值。

解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，即（x-1）2+y2=1，表示以C（1，0）为圆心、半径等于1的圆。

2）点A的直角坐标为(2,2)，所以点A在直线l上。

把直线的参数方程代入曲线C的方程可得t2+t-2=0.由韦达定理可得t1=-2，t2=1.根据参数的几何意义可得|AP|•|AQ|=|t1•t2|=2.3.（2018•西宁模拟）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。

已知直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ-2=0，C的极坐标方程为ρ=4sin(θ-π/2)。

I）求直线l和C的普通方程；II）直线l与C有两个公共点A、B，定点P（2，-2），求||PA|-|PB||的值。

解：（I）直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ-2=0，所以直线l的普通方程为：x-y+2=0.圆C的极坐标方程为ρ=4sin(θ-π/2)，所以圆C的直角坐标方程为：(x-2)2+y2=16.II）直线l的参数方程为：x=tcosθ+tsinθ，y=tsinθ-tcosθ-2（t为参数）。

（完整版）极坐标与参数方程知识点、题型总结（最新整理）

（完整版）极坐标与参数⽅程知识点、题型总结（最新整理）极坐标与参数⽅程知识点、题型总结⼀、伸缩变换：点是平⾯直⾓坐标系中的任意⼀点，在变换),(y x P 的作⽤下，点对应到点，称伸缩变换>?='>?=').0(,y y 0),(x,x :µµλλ?),(y x P ),(y x P '''⼀、1、极坐标定义：M 是平⾯上⼀点，表⽰OM 的长度，是，则有序实数实ρθMOx ∠数对,叫极径，叫极⾓；⼀般地，，。

，点P 的直⾓坐标、(,)ρθρθ[0,2)θπ∈0ρ≥极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)2、直⾓坐标极坐标 2、极坐标直⾓坐标?cos sin x y ρθρθ=??=??222tan (0)x y y x xρθ?=+??=≠?3、求直线和圆的极坐标⽅程：⽅法⼀、先求出直⾓坐标⽅程，再把它化为极坐标⽅程⽅法⼆、（1）若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的⾓为α，则它的⽅程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆⼼为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆⽅程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r 2＝0⼆、参数⽅程：（⼀）．参数⽅程的概念：在平⾯直⾓坐标系中，如果曲线上任意⼀点的坐标都是某个变数的函数并且对于的每⼀个允许值，由这个⽅程所确y x ,t ?==),(),(t g y t f x t 定的点都在这条曲线上，那么这个⽅程就叫做这条曲线的参数⽅程，联系变数),(y x M 的变数叫做参变数，简称参数。

相对于参数⽅程⽽⾔，直接给出点的坐标间关系的y x ,t ⽅程叫做普通⽅程。

（⼆）．常见曲线的参数⽅程如下：直线的标准参数⽅程1、过定点（x 0，y 0），倾⾓为α的直线：（t 为参数）ααsin cos 00t y y t x x +=+=（1）其中参数t 的⼏何意义：点P （x 0，y 0），点M 对应的参数为t ，则PM =|t|(2)直线上对应的参数是。

极坐标参数方程几何意义

极坐标参数方程的几何意义极坐标是一种描述平面点的坐标系统，它使用角度和距离来确定一个点的位置。

在极坐标系统中，一个点的位置由两个参数确定：极径（距离原点的距离）和极角（与极轴的夹角）。

极坐标参数方程是一种使用参数表示极坐标坐标系中的曲线的方程形式。

这些参数方程提供了一种便捷的方法来描述各种几何图形，包括点、线、圆、椭圆等。

极坐标参数方程的表示形式极坐标参数方程通常采用下面的形式：r = r(theta)其中，r表示极径，theta表示极角，r(theta)是一个关于theta的函数，描述了曲线上每个点的距离原点的距离。

通过改变theta的取值范围，可以绘制出不同的曲线形状。

例如，当r(theta)为常数时，即r = a，其中a为常数，表示一个半径为a的圆。

当r(theta)为a*cos(theta)或者a*sin(theta)时，可以绘制出椭圆。

对于更复杂的曲线，r(theta)可以是任意的函数，通过改变函数的形式，可以绘制出各种形状的曲线。

极坐标参数方程与几何图形的关系极坐标参数方程提供了一种简洁的方式来描述各种几何图形。

通过选择适当的r(theta)函数，可以方便地绘制出线段、圆、椭圆、螺线等形状。

例如，在绘制直线时，可以选择r(theta) = a/(cos(theta)*sin(theta))，其中a为常数。

这个函数代表了一种与theta有关的直线方程，在极坐标系中，该直线将作为一条斜线延伸。

通过改变参数a的取值，可以控制直线的斜率。

在绘制圆形时，可以选择r(theta) = a，其中a为常数。

这个函数表示了一个半径为a的圆形，不同的theta取值对应于圆上的不同点。

通过改变参数a的取值，可以绘制不同半径的圆。

特殊的极坐标参数方程除了常见的直线和圆形外，极坐标参数方程还可以绘制出一些特殊的曲线形状。

例如，当r(theta) = a*(1 - cos(theta))时，可以绘制出一个心形。

§7.5极坐标

*§7.5 极坐标预备知识∙坐标的概念∙曲线与方程重点∙极坐标的概念∙直角坐标与极坐标的转换∙极坐标方程表示的曲线的基本认识难点∙接受极坐标的概念∙曲线的极坐标方程学习要求∙理解极坐标的概念∙掌握直角坐标与极坐标之间的转换∙了解曲线的极坐标方程的表示形式解析几何的本质，是几何的数字化；数字化的关键，是把最基本的几何元素——点以坐标形式表示，把几何形视为元素的集合，从而得到形的数学表示．坐标的本质，在平面情况又是点P 与有序实数对(x ,y )之间的一一对应．至今为止，x ,y 一直是点P 在一个已经建立的直角坐标系中的坐标，即P 在x ,y 轴上垂足所对应的实数，因为以这么一对有序实数来与平面上的点之间建立一一对应关系，可谓得心应手，因此你也不会想到，是不是还可能有其它意义的有序数对来作为它的坐标．但是得心应手未必就是完美无缺．你仔细想想，以这种直角坐标就表示形而言，例如表示一条最简单的曲线—半径为r 的圆，尽管可以把坐标原点选在圆心，得到它的并不复杂的方程x 2+y 2=r 2，但是毕竟不能表示成y =f (x )这样最便于研究的函数形式．这不能不说是一个缺憾．在这节中，我们将引进一种有全新意义的有序实数对，它除了一点之外，同样也能与平面上的点建立一一对应关系，但在不少情况下，可以弥补直角坐标的上述这种缺憾．这就是极坐标． 1.极坐标的概念 (1)极坐标的定义平面上取一个定点O ，以O 为始点引一条射线Ox ，并在其上规定了一个长度单位，则平面上除O 以外的任一点P ，与向量OP 一一对应；而向量又与r =||∈R *={x |x >0}、θ=^Ox ∈[0,2π)一一对应(见图7-88)，注意这里的角θ总是取弧度制而不是角度．如果规定以r 在前、θ在后的顺序书写，那么P 与有序实数(r ,θ)∈R *⨯[0,2π)建立起了一一对应的关系，其中的‘⨯’号表示交叉，即r 在R *中、θ在[0,2π)中．既然如此，这样的有序实数对，当然有资格作为平面上点的坐标．只要定点O 取定、在其上已经规定了长度单位的一条射线Ox 取定，这种对应关系即可确立，因此，称定点O 与射线Ox 组成了一个极坐标系(这就像取定了原点、两条规定了长度单位及正方向的直线后，组成了一个直角坐标系一样)．称定点O 为极点，射线Ox 为极轴，r =OP 为极径，θ=∠POx 为极角；称(r ,θ)为极坐标，也就是说，点的极坐标，是在极坐标系中，以极径r ∈R *、极角θ∈[0,2π)作为坐标的一种对应法则．现在还有一个问题需要解决：定点O 本身的极坐标是什么？当P 在O 处，自然r =0，但极角却因为是零向量而无意义，因此严格意义讲，极点O 本身不存在极坐标．好在P 在O 处 ⇔ r =0，因此我们还是规定O 有极坐标(0,θ)，只是θ可取任意值．这么一个小小的不足，不会使极坐标失去价值．这样，r 的取值范围将扩充到非负实数．例1 在极坐标系中，标出下列极坐标的点：•xP (r ,θ) O θ∙ r图7-88A (1,0),B (2,π),C (2,4π), D (2,47π), E (2,23π), F (23,611π)．解画出极坐标系如图7-89． A ：r =1, θ=0，在极轴上距O 为1处； B ：r =2, θ=π，在极轴的延长线反向距 O 为2处；C ,D ：r C =r D =2, θC =4π,θD=47π，C ,D 是等腰Rt ∆OAD , Rt ∆OAC 的顶点；E ：r =2, θ=23π，在极轴于极点O 的垂线的下侧、距O 为2处；同理，从r =1.5, θ=611π可得到F 的位置 ▌例2 (1)以边长为2的正方形OBCD 的顶点O 为极点、射线OB 为极轴建立极坐标系，求顶点B ,C ,D 及各边中点E , F , G , H 的极坐标； (2)以单位圆的圆心为极点，任意一条射线Ox 为极轴，圆周上各点的极坐标有什么特点？(3)写出在极轴上方、与极轴平行且与极轴距离为1的直线l 上的点的极坐标．解 (1)画出极坐标系如图7-90．求B 的极坐标：r =||=OB =2,θ=OB ^Ox =0，所以B (2,0)；求C 的极坐标：r =|OC |=22,θ=^Ox =4π，所以C (22,4π)；同理，可求出D (2,2π), E (1,0), H (1,2π)；求F 的极坐标：r =||=5, θ=arctan 21，所以F (5,arctan 21)；同理G (5,arctan2) ▌(2)过圆心O ，任取一条射线Ox 为极轴．建立极坐标系如图7-91．圆周上任何一点P ， |OP |=1，若θ=OP ^Ox ，则P 的极坐标为(1,θ),θ∈[0,2π)．所以圆周上任意点的极坐标r =1,(θ∈[0,2π)) ▌ (3)画出极坐标和l 如图7-92．在l 上任取点P ，设 θ=OP ^Ox ∈(0,π)，则 r =||=|csc θ|= csc θ．D图7-90图7-91图7-89所以直线l 上的点的极坐标为 (csc θ, θ),θ∈(0,π) ▌ 课内练习11. 在极坐标系中，标出下列极坐标的点： A (3,0), B (3,4π), C (2,2π), D (2,43π), E (1,π),F (1,45π),G (3,23π), H (3,35π), I (3,611π)． 2. (1)以边长为a 的正三角形∆OAB 的顶点O 为极点，射线OA 为极轴建立极坐标系，求顶点A , B 及各边中点D ,E ,F 的极坐标；(2)以半径为R 的圆的圆心为极点，任意一条射线Ox 为极轴，圆周上各点的极坐标有什么特点？(3)写出过极坐标为(2,0)的点的极轴的垂线l 上的点的极坐标． (2)极坐标的推广为了确保平面上点P 与极坐标(r ,θ)之间的一一对应，我们限制了r 的取值范围为非负实数集，θ的取值范围为[0,2π)．这种限制在具体应用中，会带来某些不便．因此在不影响点与坐标之间对应的前提下，对r , θ的取值范围，作一些推广．首先是极角θ的扩充．设极坐标为(r ,θ)对应的点为P ，其中r ≥0,θ∈[0,2π)；现保持r 不变，从极轴到极径的角再逆时针或顺时针加转几圈(见图7-93)，点P 的位置并没有改变，但原来[0,2π)范围内的极角θ，现在变成 θk =θ+2k π(k ∈Z )．这样的θk因为它已经违反了点与坐标之间一一对应的原则，然而就由(r ,θk )确定P 在平面上位置而言，却仍然有效．既然如此，我们也把它作为极坐标的极角看待．这样极坐标中的极角θ的取值范围扩充到了整个实数集R ．其次是极径r 的取值范围的扩充．点P (r ,θ)与点P 1(r ,θ+π)是关于极点对称的两个点(见图7-94)，我们允许以(-r ,θ)表示P 1的极坐标，即关于极点对称的两点的极坐标，有相同的极角，而极径符号相反．因此极坐标为(r ,θ)的点P ，若r >0，点P 是极径为r 、极角为θ的点；若r <0，点P 是极径为-r 、极角为θ+π的点．如此，极径r 的取值范围不再是非负实数集，而是整个实数集R.小结这段，得到的结论是：平面上点的极坐标(r ,θ)的取值范围为R ⨯R ；在r ∈R *,θ∈[0,2π)范围内，除了极点外，点与极坐标是一一对应的．1图7-94P图7-92图7-93例3 在建立了极坐标的平面上，标出下列极坐标所表示的点： A (2,4π), B (-2,4π), C (1.5,-25π), D (-1.5,-25π), E (-1,-6π), F (-2,65π)．解把各点的极坐标化为r ∈R *、θ∈[0,2π)范围内的形式： A (2,4π) → A (2,0)； B (-2,0) → B (2,π)；C (1.5,-25π) → C (1.5,23π)； D (-1.5,-25π) → D (-1.5,23π) → D (1.5,2π)；E (-1,- 6π) → E (-1,611π) → E (1,65π)；F (-2,65π) → F (2,611π)．据最后得到的极径、极角，在平面上标出各点(见图7-95) ▌ 课内练习21. 在建立了极坐标的平面上，标出下列极坐标所表示的点： A (2,5π), B (-2,4π), C (4,25π),D (-4,-25π), E (-2,-3π), F (2,-34π)．2. 极坐标与直角坐标的互化 (1)极坐标与直角坐标的互化公式若在平面上同时建立了一个直角坐标系和一个极坐标系，那么平面上的同一个点，既能以直角坐标表示，又能以极坐标表示，这两个不同的坐标之间有关系吗？若有关系，关系又是怎样的？要回答这个问题，必须要先回答一个问题：两个不同的坐标系有怎样的关系？若随便建立两个坐标系，它们之间风马牛不相及，那么尽管是同一个点，在两个不同坐标系中的坐标肯定也是风马牛不相及的．因此我们规定在两个坐标系的下述情况下，讨论同一点的不同的坐标之间的关系：直角坐标系的原点与极坐标系的极点是同一点，且极坐标系的极轴与直角坐标系的横轴x 的正半轴重合(见图7-96)．在建有满足上述关系的两种坐标系的平面上，任取一点P ，它的直角坐标和极坐标分别为(x , y )和( r , θ)．从图7-96立即可以得得到它们之间的如下换算关系：x =r cos θ, y =r sin θ，r =22y x +tan θ=xy ,(x ≠0) (或sin θ=r y ,cos θ=r x )图7-95图7-96(7-5-2)(7-5-1)其中(7-5-1)是换算极坐标为直角坐标，r ,θ∈R (能说出为什么吗？)；(7-5-2)是换算直角坐标为极坐标．在后一组公式具体演算时，要说明几点： (1)应限制r ,θ的取值范围，r ≥0, θ∈[0,2π)； (2)直角坐标(0,0) → 极坐标r =0,θ为任意值； (3)当直角坐标的x =0时(P 在y 轴上，θ为界限角) 若y >0，则θ=2π；若y <0，则θ=23π； (4)当直角坐标的y =0时(P 在x 轴上，θ为界限角) 若x >0，则θ=0；若x <0，则θ=π；(5)在其余情况，θ∈[0,2π)的取值取决于P 所在的象限：例4 写出下列以极坐标表示的点的直角坐标： A (2,-π), B (-3,3π), C (-9,-35π), D (5,411π)．解 A ：r =2, θ=-π，直角坐标为 (2⋅cos(-π),2⋅sin(-π))=(-2,0)； B ：r =-3,θ=3π，直角坐标为 (-3⋅cos 3π,-3⋅sin 3π)=(-23,-23)；C ：r =-9,θ=-35π，直角坐标为 (-9⋅cos(-35π),-9⋅sin(-35π))=(29,239)；D ：r =5,θ= 411π，直角坐标为 (5⋅cos 411π,5⋅sin 411π)=(-225,225) ▌ 例5 写出下列以直角坐标表示的点的极坐标： A (-2,0), B (0,-3), C (-3,-4), D (5,-4), E (0,1), F (-1,2)．解 A ：r =22y x +=2；因为y =0且x <0，θ=π．所以A 的极坐标为(2,π)；B ：r =22y x +=3；因为x =0且y <0，θ=23π．所以B 的极坐标为(3,23π)； C ：r =22y x +=5；因为x <0,y <0，所以 θ=π+tan -1(34--)=π+tan -134．所以C 的极坐标为(5, π+ tan -134)；D ：r =22y x +=41；因为x >0,y <0，所以θ=2π+tan -1 (54-)=2π-tan -154.所以D 的极坐标为(41,2π- tan -154)； E ：r =22y x +=1；因为x =0,y >0，所以θ=2π．所以E 的极坐标为(1,2π)；F ：r =22y x +=5；因为x <0,y >0，所以θ=π+tan -1(12-)=π-tan -12．所以F 的极坐标为(5,π-tan -12) ▌ 课内练习31. 写出下列以极坐标表示的点的直角坐标： A (2,π), B (3,-3π), C (-9,35π), D (-5,-411π), E (20,0)．2. 写出下列以直角坐标表示的点的极坐标：A (2,-2),B (-3,0),C (-3,4),D (-2,4),E (0,2),F (0,-2),G (1,0),H (1,1)． (2)化曲线的直角坐标方程为极坐标方程有了极坐标和直角坐标转换公式(7-5-1)，以直角坐标方程F (x ,y )=0表示的曲线l ，立即可以转化为以极坐标表示的方程： l ：F (x ,y )=0 → F (r cos θ,r sin θ)=0．你可以发现，有时l 以极坐标表示的方程，远比以直角坐标表示的方程简单．例6 化圆的直角坐标方程222R y x =+为极坐标方程．解以x =r cos θ, y =r sin θ代入，得22222s i n c o s R r r =+θθ，2222)sin (cos R r =+θθ， r=R ．所以，以极点为圆心、半径为R 的圆的极坐标方程为r =R ,(0≤θ<2π) ▌ 课内练习41. 把下列直线或曲线的直角坐标方程，转化为极坐标方程： (1)x =0； (2)y =1； (3)y =x ； (4)y =-2x ； (5)23)(22y x +=2axy ,(其中a >0为常数)； (6)(x 2+y 2)2=a 2(x 2-y 2),(其中a >0为常数)．例7 求椭圆2222y x +=1、双曲线2222y x -=1的极坐标方程．解以x =r cos θ, y =r sin θ代入，得)s i n c o s (22222b a r θθ±=1，以sin 2θ=1-cos 2θ代入，化为 )c o s 1c o s (22222ba r θθ-±=1，在椭圆、双曲线情况，分别又可化为)c o s 1(222222θa b a b r --=1，)cos 1(222222θab a b r ++-=1，以椭圆、双曲线离心率公式e =a b a 22-、e =ab a 22+代入，又有 r =θ22cos 1e b -, (0≤θ<2π) (1) r =θ22cos 1e b+-, (-tan -1ab <θ< tan -1ab 或π-tan -1ab <θ<π+tan -1ab ) (2)(1),(2)即为椭圆、双曲线的极坐标方程．在双曲线方程中极角θ的取值范围，其实就是θ在两条渐近线(即界定矩形的对角线)之间的变化范围．从方程的形式，你可以见到它们的形式是很相近的，而且离心率e 的作用更加突出了．又从这例6、例7可以见到，在直角坐标时无法表示为一个函数形式的曲线方程，在极坐标表示时，很轻松地成为r =g (θ)这样的函数形式．这就是以极坐标方程表示曲线的优点了．课内练习51. 求椭圆2222a y b x +=1、双曲线2222b x a y -=1的极坐标方程． 2. 求抛物线y 2=2px 的极坐标方程，并标明极角θ的取值范围．能不能化曲线的极坐标方程为直角坐标形式呢？原则上讲，也不是不可能，既然能化过来，当然也能化回去．例8 化曲线的极坐标方程r =8sin θ为直角坐标方程．解以r =22y x +，sin θ=r y 代入，得22y x +=822yx y +⋅，即 x 2+y 2-8y =0或x 2+(y -4)2=16．这是一个圆心在(0,4)、半径为4的圆 ▌注意，进行极坐标方程向直角坐标形式这种转化，除非为了作图需要，一般是比较少的．对极坐标方程表示的曲线，我们更注重的是如何作出它的图象．课内练习61. 将下列极坐标方程化为直角坐标方程： (1)r =4cos θ；(2)r =3cos θ-4sin θ；(3)r =5；(4)θ=4π．3. 作极坐标方程表示的曲线的图象给出极坐标形式的方程，如果把方程化为直角坐标形式后，能在直角坐标系下很方便地作出它的图象，那问题就解决了，否则，就得在极坐标系中以描点法作图．在极坐标系中的描点方式与直角坐标情况稍有不同，它是顺次取一些极角θ，求出对应的r ，然后在极角为θ的极径上量取长度r ，得到一点．最后一道步骤总是顺次光滑连接描出的点．但在要求不高的情况下，常常不必逐点地描，看出趋势，直接就能作出草图了．例9 在极坐标系内作出下列极坐标方程所表示的曲线l 的图象：(1)r cos θ =2； (2)θ =43π； (3)r=a ； (4)r =2a cos θ．解：(1)化为直角坐标方程，即x =2 ．图象见图7-97(1) ▌ (2)表示极角等于43π的直线，图象见图7-97(2) ▌ (3)曲线上任何一点的极径等于a ，图象是一个圆心在极点、半径为a 的圆(见图7-97(3)) ▌ (4)曲线上极角为θ的任何一点P ，极径r 为一直角三角形的直角边，这个直角三角形的斜边在极轴上，且长度为2a ．因为立在半圆上的三角形是直角三角形，因此，P 正好在以斜边为直径的圆周上．由此可见图象是一个经过极点、圆心在极轴上、半径为a 的圆(见图7-97(4)) ▌ 课内练习71. 在极坐标系内作出下列极坐标方程所表示的曲线的图象：(1)tan θ =-1；(2)r sin θ =1； (3)r=2； (4)r =2a sin θ．(提示：第(4)题利用几何性质：同一弧上的弦切角与圆周角相等，见附图)用极坐标方程还可以表示一些在直角坐标系中较难表示的复杂的曲线，下面略示数例，这些曲线的作图过程不再详细描述了，曲线上的箭头表示随着极角θ的增加曲线的走向．但这些曲线本身及其名称，不论在数学还是在实际中，均有较多的应用，是你应该熟悉的．例10．在极坐标系中作出下列图象： (1)心形线 r =a (1+cos θ)，r =a (1－cos θ)； (2)双纽线 r 2=a 2cos 2θ，r 2=a 2 sin 2θ ；图7-97(1)图7-97(2) 图7-97(3)O 图7-97(4) ••θθ•第(4)题图(3)四叶玫瑰线 r =asin 2θ；(4)阿基米德螺线(等速螺线) r =a θ，r =r 0 +a θ．解：(1)心形线(2)双纽线 (3)四叶玫瑰线 (4) 阿基米德螺线例11 车床上用来固定加工工件的部件称为的三爪卡盘．三爪卡盘正面有三圈螺纹，盘爪在这些螺纹线移动时，就能改变盘爪之间的距离，达到夹紧工件的目的．已知螺纹线是等速螺线，螺纹到中心的最小距离是32 mm ，最远距离是68mm ，求螺纹的极坐标方程．解如图7-98建立极坐标系，设等速螺线的方程为 r =r 0 +a θ．因为螺纹到中心的最小距离是32，根据极坐标系的建立方法，此时θ=0，即 32=r 0+a ⋅0，r 0=32；当螺纹达到离中心最远距离是68是，正好转过三圈，即此时的θ=6π，所以 68=32+a ⋅6π，a =π6．(a ,π)r =a (1+cos θ)2r =a (1-cos θ)r 2=a 2cos2θ))r=a sin2θr= a θ (虚线为螺线r=r 0+ a θ )图7-98所以螺纹方程为r =32+π6θ ▌课内练习81. 一凸轮其轮廓线是由两段阿基米德螺线 AmB , BnA 构成．已知轮边上点A 离轴心O 最近，点B 离轴心最远，且 OA=R ，OB=R+h ，求曲线弧AmB 和BnA 的极坐标方程．课外习题 A 组1．在坐标系中标出下列各点： (1)(2,4π)； (2)(1,2π)； (3)(-3,23π)； (4)(-5,6π-)．2．将下列各点极坐标化为直角坐标： (1)(6,6π)； (2)(5,0)； (3)(0,π)； (4)(-2,23π-)． 3．将下列各点直角坐标化为极坐标：(1)(-5,0)；(2)(0,2)； (3)(1,1)； (4)(-3,33)． 4．把下列方程化为直角坐标方程，判断曲线，并作草图：(1)r =4； (2)r sin θ =-3； (3) r =4sin θ； (4)r =5sec θ； (5)r =-4cos θ． 5．把下列直角坐标方程化为极坐标方程：(1)922=+y x ； (2)x =7； (3)4xy =9； (4)0622=-+y y x ； (5)222a y x =-．B 组1．证明极坐标系下(r 1,θ1),(r 2,θ2)的两点间距离公式为： )c o s (221212221θθ--+=r r r r d ． 2．在极坐标系中作图象：(1)6πθ=； (2)r =5； (3)r =-6cos θ ； (4)r =1+sin θ；(5)r =2(1+cos θ)； (6)r =4cos2θ； (7)r 2=sin2θ．B (R+h,2)m 第1题附图本章小结1. 向量2. 直线3. 圆的方程(1)已知圆心在O 1(x 0, y 0)、半径为r 的圆方程：普通方程： (x -x 0)2+(y -y 0)2=r 2；参数方程： x =x 0+r cos θ, y =y 0+r sin θ．其中θ∈[0,2π)为参数，其几何意义见图． (2)x ,y 的二次方程表示圆 ⇔ 方程可化为 x 2+y 2+D x+E y+F =0，且D 2+E 2-4F >0． 3. 圆锥曲线4. 坐标轴平移若坐标系{Oxy}的原点移到O'(x0,y0)，x轴、y轴平移到O'成为x'轴、y'轴，构成一个新的坐标系{O'x'y'}．点P在原坐标系(Oxy}内的坐标为(x,y)，在新坐标系{O'x'y'}内的坐标为(x',y'}，则x'=x-x0, x=x'+x0,或y'=y-y0；=y'+y0．在原坐标系{Oxy}中方程为F(x,y)=0的曲线l，在新坐标系{O'x'y'}中的方程为F(x'+x0,y'+y0)=0；反之，在新坐标系{O'x'y'}中的方程为F(x',y')=0的曲线l，在原坐标系{Oxy}中的方程为F(x-x0,y-y0)=0．因此中心在(x0,y0)的、长轴平行于x轴(y轴)的椭圆的方程为220220)()(by y ax x -+-=1, (220220)()(bx x ay y -+-) (a >b >0)；其余依次类推． 5. 极坐标。

极坐标系解题的优劣之小议

ʏ四川省绵阳实验高级中学李小侠在整个高中数学知识的学习中,极坐标虽然作为高考的选考内容之一,但是由于它相对比较简单,因此,在考试时很多同学都会选择极坐标一题㊂本文就极坐标的作用及优劣势做一些总结,以便同学们在学习和考试中能少走些弯路㊂一㊁极坐标方程与直角坐标方程的互化例1已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合,极轴与x轴的非负半轴重合,在极坐标系中,若直线l的极坐标方程为ρc o sθ-π6=3㊂(1)求直线l的直角坐标方程;(2)已知P为椭圆C:x2+y23=1上一点,求点P到直线l的距离的最小值㊂解析:(1)由ρc o sθ-π6=3,展开整理得32ρc o sθ+12ρs i nθ=3,因为x=ρc o sθ,y=ρs i nθ,所以直线l的直角坐标方程为32x+12y=3,即3x+y-23=0㊂(2)由题意可设P c o sα,3s i nα,所以点P到直线l的距离d=3c o sα+3s i nα-232=6s i nα+π4-232,故当s i nα+π4=-1时,d m a x=6+232㊂评注:对于同学们来说,只要把平面直角坐标和极坐标互化的公式记住,一般情况下,解答知一求另一的题目都不成问题㊂二㊁求两条曲线的交点问题,直角坐标与极坐标的优劣对比例2在平面直角坐标系x O y中,曲线C1的参数方程为x=t c o sα,y=t s i nα(t为参数, tʂ0),其中0ɤα<π㊂以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2:ρ=2s i nθ,曲线C3:ρ=23c o sθ㊂(1)求曲线C2与曲线C3交点的直角坐标;(2)若曲线C2与曲线C1交于点A,曲线C3与曲线C1交于点B,求A B的最大值㊂解析:(1)法一:先将曲线C2与曲线C3的极坐标方程化为直角坐标方程,联立方程,解出交点坐标即可㊂将ρ2=x2+y2,ρc o sθ=x,ρs i nθ=y,代入曲线C2,C3的极坐标方程,得曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-23x=0㊂联立x2+y2-2y=0,x2+y2-23x=0,解得x=0,y=0,或x=32,y=32,所以曲线C2与曲线C3交点的直角坐标为(0,0)和32,32㊂法二:可以直接联立曲线C2与曲线C3的极坐标方程,解出交点的极坐标形式,然后化为直角坐标即可㊂联立ρ=2s i nθ,ρ=23c o sθ,解得ρ=3,θ=π3,在极坐图1标系中画出两条曲线的图像,如图1所示,发现两条曲线的交点在第一象限,因此,极角取π3(极角的范围一般取[0,2π)),由图像93解题篇经典题突破方法高考数学2023年6月Copyright©博看网. All Rights Reserved.知,它们还有一个交点是极点(0,0),所以用极坐标联立求解就很容易漏解或增解,因此,需通过图像进行补漏,所以两条曲线的交点的极坐标为(0,0)和3,π3,化为直角坐标为(0,0)和32,32㊂(2)将曲线C 1化为极坐标方程,分别与曲线C 2,C 3的极坐标方程联立,解出点A ,B 的极坐标,利用两点间的距离公式进行计算,结合三角函数的辅助角公式化简得最大值㊂曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρɪR ,ρʂ0),其中0ɤα<π,与曲线C 2,C 3的极坐标方程联立,得点A 的极坐标为(2s i n α,α),点B 的极坐标为(23c o s α,α),所以|A B |=|2s i n α-23c o s α|=4s i n α-π3,当α=5π6时,A B 取得最大值4㊂评注:通过该题我们不难发现,如果题目告诉的全是极坐标方程,求的也是极坐标方程,那么我们用极坐标方程联立求解即可,比化成直角坐标方程求解后再化回来要简单得多㊂如果告诉的是极坐标方程,求的是直角坐标方程,那么我们从一开始就化成直角坐标方程进行联立求解,一是大多数同学比较熟悉直角坐标方程,二是可以避免出现漏解或增解的问题㊂但无论采取哪种方法求解,都必须注意范围限制,必要时可以依赖图形避免失误㊂例3 已知曲线C 1:ρc o s θ=3,C 2:ρ=4c o s θ,其中ρȡ0,0ɤθ<π2,求曲线C 1,C 2交点的极坐标㊂解法一:联立极坐标方程,得到c o s θ=ʃ32,结合0ɤθ<π2,得到θ=π6,从而求出ρ及交点坐标㊂联立ρc o s θ=3,ρ=4c o s θ,消去ρ可得4c o s 2θ=3,所以c o s θ=ʃ32㊂因为θɪ0,π2,所以c o s θ=32,θ=π6,所以ρ=4c o s π6=23,所以曲线C 1,C 2交点的极坐标为23,π6㊂解法二:先把极坐标方程化为直角坐标方程,联立直角坐标方程x =3,x 2+y2=4x ,解得x =3,y=ʃ3㊂又因为ρȡ0,0ɤθ<π2,所以化为极坐标为23,π6㊂评注:像本题这种有范围限制的话,直接用极坐标方程联立求解曲线交点问题就比较方便,而用直角坐标方程联立就要绕一个大圈,因此两种方法各有优劣,我们应根据题目的已知来选取合适的方法㊂三、依据极坐标系中极径和极角的几何意义求解题目例4 过极点O 作圆C :ρ=8c o s θ的弦O N ,求O N 的中点M 的轨迹方程㊂解法一:由题得圆C 的直角坐标方程为(x -4)2+y 2=16,所以圆心坐标为(4,0),半径为4㊂在极坐标系中作出圆C 的图像,如图2图2所示,圆心C 4,0 ,半径r =O C =4,连接C M ,因为M 为弦O N 的中点,所以C M ʅO N ,所以M 在以O C 为直径的圆上㊂此时可以直接写出极坐标方程,也可以先写出直角坐标方程再化成极坐标方程㊂故动点M 的轨迹方程是ρ=4c o s θρʂ0㊂因为题中说有弦O N 存在,所以要有条件限制ρʂ0㊂解法二:把圆的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2+y 2=8x ,设中点M (x ,y ),由于M 为O N 的中点,所以N (2x ,2y ),而N 点在圆上,代入圆的方程得(2x -4)2+4y 2=16,再化为极坐标方程,可得动点M 的轨迹方程为ρ=4c o s θρʂ0㊂同样要有限制条件ρʂ0㊂评注:本题主要考查动点的轨迹方程,以及极坐标和直角坐标的互化,重要的是结合图形,翻译出动点的几何意义,无论用哪种坐标系写出动点的轨迹方程都比较简单,意在4 解题篇经典题突破方法高考数学 2023年6月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.考查同学们对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力㊂例5 在平面直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为x =3t ,y =1-t 2(t 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρs i n θ+π6=3㊂(1)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程;(2)在极坐标系中,射线θ=π6ρȡ0 与曲线C 1交于点A ,射线θ=π3ρȡ0 与曲线C 2交于点B ,求әA O B 的面积㊂解析:(1)由题意得x 23=t 2,t 2=1-y 2y ȡ0 ,所以x 23+y 2=1(y ȡ0),将x =ρc o s θ,y =ρs i n θ,代入得ρ2c o s 2θ+3ρ2si n 2θ-3=0,即ρ2+2ρ2si n 2θ-3=0,即ρ2(2-c o s 2θ)-3=0,θɪ[0,π],所以曲线C 1的极坐标方程为ρ2(2-c o s 2θ)-3=0,θɪ[0,π]㊂由ρs i n θ+π6=3,展开整理得32ρs i n θ+12ρc o s θ=3,将ρs i n θ=y ,ρc o s θ=x ,代入得32y +12x -3=0,即3y +x -23=0,所以曲线C 2的直角坐标方程为3y +x -23=0㊂(2)法一:联立θ=π6,ρ22-c o s 2θ-3=0,解得ρ=2,所以A 2,π6㊂联立θ=π3,ρs i n θ+π6=3,解得ρ=3,所以B 3,π3㊂所以S әA O B =12ρA ㊃ρB s i n π3-π6=12㊃2㊃3s i n π6=64㊂法二:我们把所需要的几个曲线的方程都化为直角坐标方程㊂由(1)知C 1的直角坐标方程为x 23+y 2=1(y ȡ0),射线θ=π6的直角坐标方程为y =33x (x ȡ0),射线θ=π3的直角坐标方程为y =3x (x ȡ0)㊂联立y =y =33x (x ȡ0),x 23+y 2=1(y ȡ0),解得A62,22㊂联立y =y =3x (x ȡ0),x 23+y 2=1(y ȡ0),解得B32,32㊂然后算出әA O B 的两边,即O A =2,O B =3,两边的夹角为π6,所以S әA O B =12㊃2㊃3s i n π6=64㊂评注:本题的第二问如果用平面直角坐标方程来求解,先要把极坐标化为直角坐标,然后联立求解,还要用到距离公式,才能算出三角形的面积㊂如果根据极径和极角的几何意义,先联立极坐标方程,求出两点的极坐标,再根据三角形的面积公式S =12a b s i n C ,即可解决问题,公式中的边长由极径来担任,公式中的角度由O A ,O B 两条极径之间的极角之差来解决,这道题目就显得非常简单㊂总之,我们在遇到有关极坐标中的边角问题时,要有意识地往极坐标上去想,而不能觉得平面直角坐标系熟悉,一味地往平面直角坐标上面转化,总想用自己熟悉的思想方法去解决问题,结果反而使问题复杂化㊂(责任编辑王福华)14解题篇经典题突破方法高考数学 2023年6月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

极坐标表示直线方程 p 的几何意义

极坐标表示直线方程 p 的几何意义在平面坐标系中，我们通常使用笛卡尔坐标来表示点的位置。

但是除了笛卡尔坐标系，还有一种常用的坐标系——极坐标系。

极坐标系由一个固定点及其到各个点的极径和极角组成。

在极坐标系中，我们可以用极径和极角的函数来表示点的位置。

类似地，我们也可以使用极坐标表示直线的方程，这就是极坐标表示直线方程p。

极坐标表示直线方程 p 的一般形式为p = r * cos(θ - α)，其中 r 是点到坐标原点的距离，θ 是点与正半轴的夹角，α 是直线的极轴角度。

首先，让我们来分析一下上述方程中的各个参数的含义。

•r：极径，表示点到坐标原点的距离。

可以是任意非负实数。

•θ：极角，表示点与正半轴的夹角。

可以是任意实数。

•α：极轴角度，表示直线与正半轴的夹角。

可以是任意实数。

下面我们将重点讨论 p 表示的直线的几何意义。

通过观察方程p = r * cos(θ - α)，我们可以发现当α = 0 时，方程简化为 p = r * cos(θ)。

这意味着 p 表示的直线与正半轴重合，与极径的长度（r）和极角（θ）无关。

也就是说，在极坐标系中，直线 p 与极径无关，只与极角有关。

当极角（θ）增大时，直线 p 相对于极轴逆时针旋转；当极角（θ）减小时，直线 p 相对于极轴顺时针旋转。

这意味着直线 p 的斜率在极坐标系中是变化的，而非常量。

由于直线 p 的斜率是可变的，这代表着方程p = r * cos(θ - α) 所表示的直线可以是任意的弧线。

这与笛卡尔坐标系中的直线不同，笛卡尔坐标系中的直线是由线段组成的，斜率是常量。

另外，由于方程p = r * cos(θ - α) 中的 r 是非负实数，因此直线 p 的位置限制在极径为非负数的区域内。

这也就限定了 p 所表示的直线的范围。

综上所述，极坐标表示直线方程 p 是一种特殊的直线表示方式，它具有以下几个特点：1.直线 p 的位置与极径无关，仅与极角有关。

极坐标与参数方程知识点+典型例题与详解(可编辑修改word版)

⎩ ⎩ 极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x 、y 都是某个变数 t 的函数，即⎧x = ⎨y = f (t ) f (t )并且对于 t 每一个允许值，由方程组所确定的点 M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．（二）常见曲线的参数方程如下：1. 过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：x = x 0 + t cos y = y 0 + t sin（t 为参数）其中参数 t 是以定点 P （x 0，y 0）为起点，对应于 t 点 M （x ，y ）为终点的有向线段 PM 的数量，又称为点 P 与点 M 间的有向距离．根据 t 的几何意义，有以下结论．○1 ．设 A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为 t A 和 t B ，则 AB ＝ t B -t A ＝．t A + t B．线段 AB 的中点所对应的参数值等于．22. 中心在（x 0，y 0），半径等于 r 的圆：x = x 0 + r cosy = y 0 + r s in（为参数）3. 中心在原点，焦点在 x 轴（或 y 轴）上的椭圆：x = a c os y = b s in（为参数）（或x = b c os ）y = a s in中心在点（ x0,y0）焦点在平行于 x 轴的直线上的椭圆的参数方程⎧x = x 0 + a cos ,⎨y = y + b sin (为参数） .4. 中心在原点，焦点在 x 轴（或 y 轴）上的双曲线：(t B - t A ) - 4t ⋅ t2A B○2 0x = a s ec （为参数）（或x = b tg）y = b tgy = a s ec5. 顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线：x = 2 pt 2 y = 2 pt（t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x ，y ），倾斜角为的直线的参数方程是⎧x = x 0 + t cos（t 为参数）．⎨⎩ y = y 0+ t sin（三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点 O ，叫做极点，引一条射线 Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。

高中数学——极坐标专题(教案)

极坐标专题一、解答题1．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，（θ为参数），曲线2C 的方程为()2239x y +-=．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线1C 的极坐标方程； (2)已知射线1π:02l θαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭与曲线1C 交于O ，A 两点，将射线1l 绕极点逆时针方向旋转π3得到射线2l ，射线2l 与曲线2C 交于O ，B 两点．当AOB 的面积最大时，求α的值，并求AOB 面积的最大值．2．在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求,A B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.3．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．（Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标()0,02ρθπ≥≤<4．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在曲线2C 上，求ABO ∆面积的最大值． 5．在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2+x ty kt=⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为2x m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数）.设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径.6．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线24cos C ρθ=：. （Ⅰ）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a . 7．已知圆1C：(223x y +=，圆2C ：2cos ρθ=.(1)将圆1C 化成极坐标方程；(2)在极坐标系中，已知直线θα=与圆1C 、圆1C 分别交于P Q 、两点（P Q 、都不是原点），求PQ 的最大值.8．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=．(1)求直线l 的极坐标方程及曲线C 的直角坐标方程； (2)若1π,2A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭是直线l 上一点，2π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭是曲线C 上一点，求OAB 的面积.9．已知圆1C：(223x y +=，圆2C ：2cos ρθ=．(1)将圆1C 化成极坐标方程； (2)在极坐标系中，已知直线3πθ=与圆1C 、圆2C 分别交于P Q 、两点（P Q 、都不是原点），求PQ 的值．10．曲线1C 的参数方程为1cos 2sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=． (1)把1C 的参数方程化为极坐标方程；(2)求曲线1C 与2C 交点的极坐标()0,02ρθπ≥≤<．参考答案：1．【答案】(1)4cos ρθ= (2) π12α=，AOB面积的最大值为92+【解析】(1)由22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，得()2224x y -+=，即2240x y x +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入2240x y x +-=，得24cos 0ρρθ-=，即4cos ρθ=，故曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=．(2)依题意，设()1,A ρα，2π,3B ρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭．则14cos ρα=．将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入曲线2C 的方程()2239x y +-=，得6sin ρθ=，即曲线2C 的极坐标方程为6sin ρθ=．则2π6sin 3ρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以)2121ππsin sin sin cos 233AOB S ρρααααα⎛⎫==+= ⎪⎝⎭△99π92cos 222232ααα⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭．由π02α<<，有ππ4π2333a <+<．所以当AOB 的面积最大时，当且仅当ππ232α+=，此时，π12α=，且AOB面积的最大值为92+ 2．【答案】（1（2）2.【解析】【分析】(1)由题意，在OAB 中，利用余弦定理求解AB 的长度即可；(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标，然后结合点B 的坐标结合几何性质可得点B 到直线l 的距离. 【详解】（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B 2π），由余弦定理，得AB（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=.【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．3．【答案】（1）28cos 10sin 160ρρθρθ--+=；（2）),(2,)42ππ. 【解析】【详解】试题分析：（1）先根据同角三角函数关系cos 2t ＋sin 2t=1消参数得普通方程：（x －4）2＋（y－5）2＝25 ，再根据cos ,sin x y ρθρθ==将普通方程化为极坐标方程：28cos 10sin 160ρρθρθ--+=（2）将2sin ρθ=代入28cos 10sin 160ρρθρθ--+=得cos 0tan 1θθ==或得,2,24或ππθρθρ====为极坐标试题解析：（1）∵C 1的参数方程为45cos {55sin x ty t =+=+ ∴（x －4）2＋（y －5）2＝25（cos 2t ＋sin 2t ）＝25，即C 1的直角坐标方程为（x －4）2＋（y －5）2＝25，把cos ,sin x y ρθρθ==代入（x －4）2＋（y －5）2＝25，化简得：28cos 10sin 160ρρθρθ--+=.（2）C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，C 1的直角坐标方程为（x －4）2＋（y －5）2＝25，∴C 1与C 2交点的直角坐标为（1，1），（0，2）.∴C 1与C 2交点的极坐标为),(2,)42ππ. 考点：参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程4．【答案】（1）()22x 2y 40x -+=≠（）；（2）2【解析】【详解】试题分析：（1）设出P 的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为()()22240x y x -+=≠；（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得OAB面积的最大值为2试题解析：解：（1）设P 的极坐标为（,ρθ）（ρ＞0），M 的极坐标为()1,ρθ（10ρ＞）由题设知|OP|=ρ，OM =14cos θρ=.由OM ⋅|OP|=16得2C 的极坐标方程4cos 0ρθρ=（＞）因此2C 的直角坐标方程为()22x 2y 40x -+=≠（）.（2）设点B 的极坐标为(),αB ρ （0B ρ＞）.由题设知|OA|=2，4cos αB ρ=，于是△OAB 面积1S AOB 4cos α|sin(α)|2|sin(2α)2233B OA sin ππρ∠=⋅=⋅-=-≤+当α12π=-时， S取得最大值2+所以△OAB面积的最大值为2+点睛:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程. 5．【答案】（1）()2240x y y -=≠（2【解析】【详解】（1）消去参数t 得1l的普通方程()1:2l y k x =-；消去参数m 得l 2的普通方程()21:2l y x k =+.设(),P x y ,由题设得()()212y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，消去k 得()2240x y y -=≠.所以C 的普通方程为()2240x y y -=≠.（2）C 的极坐标方程为()()222cos sin 402π,πρθθθθ-=<<≠.联立()()222cos sin 4,cos sin 0ρθθρθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩得()cos sin 2cos sin θθθθ-=+.故1tan 3θ=-，从而2291cos ,sin 1010θθ==.代入()222cos sin 4ρθθ-=得25ρ=，所以交点M【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.6．【答案】（Ⅰ）圆，222sin 10a ρρθ-+-=（Ⅱ）1 【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）把cos {1sin x a ty a t ==+化为普通方程，再化为极坐标方程；（Ⅱ）通过解方程组可以求得.试题解析：（Ⅰ）消去参数得到的普通方程.是以为圆心，为半径的圆.将代入的普通方程中，得到的极坐标方程为.（Ⅱ）曲线的公共点的极坐标满足方程组若，由方程组得，由已知，可得，从而，解得（舍去），.时，极点也为的公共点，在上.所以.【考点】参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.7．【答案】(1)ρθ= (2)4【解析】【分析】（1）将圆1C 的方程展开，然后可得答案；（2）当θα=时，可得122cos PQ ρραα=-=-，然后利用三角函数的知识求解即可. (1) 将圆1C：展开得：2233x y +-+=，于是2sin 0ρθ-=，即圆1C的极坐标方程为0ρθ-=，得ρθ=；(2) 当θα=时，得1ρα=、22cos ρα=，则122cos 4sin 46PQ πρρααα⎛⎫=-=-=-≤ ⎪⎝⎭，即PQ的最大值为4.8．【答案】(1)πcos 43ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2220x y y +-= (2)2【解析】【分析】（1）先消去参数求出直线线l 的直角坐标方程，进而利用公式求出直线l 的极坐标方程以及曲线C 的直角坐标方程；（2）分别代入直线l 的极坐标方程及曲线C 的极坐标方程，求出12,ρρ，利用三角形面积公式求出△OAB 的面积.(1)直线l的参数方程为1112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t （其中t 为参数）．消去参数t 得直线l 的直角坐标方程为:8x =，由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得直线l的极坐标方程()cos 8ρθθ=，即πcos 43ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，所以22sin ρρθ=，由222x y ρ=+，sin y ρθ=，得曲线C 的直角坐标方程为：2220x y y +-=．(2)因为1π,2A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线l 上，2π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭在曲线C 上，所以1πcos46ρ=，解得：1ρ=，而2π2sin 16ρ==，所以△OAB的面积121ππ1π1sin sin 12262232S OA OB ρρ⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭．9．【答案】(1)ρθ= (2)2【解析】【分析】（1）由圆1C 2233x y +-+=，利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩求解；（2）由3πθ=，分别求得12,ρρ，由12ρρ=-PQ 求解．(1)解：将圆1C：展开得：2233x y +-+=，所以2sin 0ρθ-=，即圆1C的极坐标方程分别为0ρθ-=，得ρθ=； (2) 当3πθ=时，得133πρ==，22cos13πρ==，则122PQ ρρ=-=．10．【答案】(1)22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；(2),2,42ππ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭.【解析】【分析】（1）应用同角三角形函数的平方关系消参，得到直角坐标方程，再由公式法写出极坐标方程即可. （2）写出2C 的直角坐标方程，联立1C 求交点坐标，再转化为极坐标形式即可.(1)曲线1C 的参数方程为12sin x cos y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），则cos 1sin 2x y αα=-⎧⎨=-⎩，所以直角坐标方程为()()22121x y -+-=，由公式法，可得极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.(2) 曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，可得其直角坐标方程为2220,x y y +-= 所以()()222212120x y x y y ⎧-+-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩，所以交点极坐标为,2,42ππ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭.。

极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结

极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、极坐标系在平面上取一个定点O ，由点O 出发的一条射线Ox 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O 称为极点，Ox 称为极轴.平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示). 这两个实数组成的有序实数对(,)ρθ称为点M 的极坐标. ρ称为极径，θ称为极角.二、极坐标与直角坐标的互化设M 为平面上的一点，其直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立:cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩或222tan (0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩（对0ρ<也成立）. 三、极坐标的几何意义r ρ=——表示以O 为圆心，r 为半径的圆；0θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为0θ的直线，0(0)θθρ=≥为射线；2cos a ρθ=表示以(,0)a 为圆心过O 点的圆.(可化直角坐标: 22cos a ρρθ=222x y ax ⇒+=222()x a y a ⇒-+=.)四、直线的参数方程直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为00()y y k x x -=-，其中tan (k αα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程:00sin ()()cos 2y y x x απαα-=-≠,即00cos sin x x y y αα--=. 记上式的比值为t ,整理后得00cos t sin x x t y y αα=+⎧⎨=+⎩,2πα=也成立，故直线的参数方程为00cos t sin x x t y y αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数，α为倾斜角，直线上定点000(,)M x y ，动点(,)M x y ，t 为0M M 的数量，向上向右为正(如图16-33所示).五、圆的参数方程若圆心为点00(,)M x y ，半径为r ，则圆的参数方程为00cos (02)sin x x r y y r θθπθ=+⎧≤≤⎨=+⎩.六、椭圆的参数方程椭圆2222C :1x y a b +=的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，(02)θπ≤≤）.七、双曲线的参数方程双曲线2222C :1x y a b -=的参数方程为sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩(,)2k k πθπ≠+∈Z .八、抛物线的参数方程抛物线22y px =的参数方程为222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 为参数，参数t 的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数）.题型归纳即思路提示题型1 极坐标方程化直角坐标方程思路提示对于极坐标方程给出的问题解答一般都是通过化为直角坐标方程，利用直角坐标方程求解.这里需注意的是极坐标系与直角坐标系建立的对应关系及其坐标间的关系cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩. 例16.7 在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线6πθ=(ρ∈R )的距离是 .分析将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解.解析极坐标系中的圆4sin ρθ=转化为平面直角坐标系中的一般方程为224x y y +=，即22(2)4x y +-=，其圆心为(0,2)，直线6πθ=转化为平面直角坐标系中的方程为：y x =，即0x =.圆心(0,2)到直线0x ==. 变式1 已知曲线12,C C 的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，4cos ρθ=，(0,0)2πρθ≥≤<，则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 .变式2 ⊙1O 和⊙2O 的极坐标方程分别为4cos ρθ=,4sin ρθ=-.(1)把⊙1O 和⊙2O 的极坐标方程分别化为直角坐方程; (2)求经过⊙1O 和⊙2O 交点的直线的直角坐标方程.变式3已知一个圆的极坐标方程是5sin ρθθ=-，求此圆的圆心和半径. 例16.8 极坐标方程(1)()0(0)ρθπρ--=≥表示的图形是（）A. 两个圆B.两条直线C.一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线分析将极坐标方程化为直角坐标方程.解析因为(1)()0(0)ρθπρ--=≥，所以1ρ=或θπ=(0)ρ≥.11ρ=⇒=，得221x y +=，表示圆心在原点的单位圆；(0)θπρ=≥表示x 轴的负半轴，是一条射线.故选C.变式1 极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 参数)所表示的图形分别是( )A.圆、直线B.直线、圆C.圆、圆D.直线、直线变式2 在极坐标系中，点(2,)6P π-到直线:sin()16l πρθ-=的距离是 .变式3 直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 .题型2 直角坐标方程化为极坐标方程思路提示如果题目中已知的曲线为直角坐标方程，而解答的问题是极坐标系下的有关问题，这里要利用直角坐标与极坐标关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，将直角坐标方程化为极坐标方程.例16.9 在直角坐标系xOy 中，圆1C ：224x y +=，圆2C ：22(2)4x y -+=.（1）在以O 为极点，x 轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆1C , 2C 的极坐标方程，并求出圆1C , 2C 的交点坐标（用极坐标表示）;（2）求出1C 与2C 的公共弦的参数方程.解析（1）圆1C 的极坐标方程为2ρ=，圆2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.24cos ρρθ=⎧⎨=⎩解得2ρ=，3πθ=±，故圆1C 与圆2C 的交点的坐标为(2,),(2,)33ππ-. 注：极坐标系下点的表示不唯一.（2）解法一：由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得圆1C 与圆2C 的交点的坐标分别为.故圆1C 与2C 的公共弦的参数方程为1(x t y t=⎧≤≤⎨=⎩.解法二：将1x =代入cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得cos 1ρθ=，从而1cos ρθ=.于是圆1C 与2C 的公共弦的参数方程为1()tan 33x y ππθθ=⎧-≤≤⎨=⎩.变式1 曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，以原点为极点，x 轴的正半轴为极抽建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 _.题型3 参数方程化普通方程思路提示已知直线或曲线的参数方程讨论其位置关系、性质问题一般要通过消参（代入法、加减法，三角法)转化为普通方程解答.例16.10 若直线340x y m ++=与圆1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)没有公共点，则实数m 的取值范围是 . 解析将圆的参数方程1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)化为普通方程22(1)(2)1x y -++=，圆心(1,2)-，半径1r =.直线与圆无公共点，则圆心到直线的距离大于半径，|38|15m -+>|5|5m ⇒->，得10m >或0m <，即m 的范围是(,0)(10,)-∞+∞.变式 1 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程33x t y t=+⎧⎨=-⎩（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[0,2]θ∈π），则圆C 圆心坐标为 _，圆心到直线l 的距离为 . 变式2 (2013湖北理16)在庄角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0a b >>），在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O 的极坐标方程分别为sin()4πρθ+=（m 为非零数）与b ρ=.若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为 . 变式3 参数方程sin cos sin cos x y θθθθ=+⎧⎨=⎩（θ是参数）的普通方程是 .例16.11 已知动圆22:2cos 2sin 0C x y ax by θθ+--=（,a b 是正常数，a b ≠，θ是参数），则圆心的轨迹是 .解析由动圆22:2cos 2sin 0C x y ax by θθ+--=得222222(cos )(sin )cos sin x a y b a b θθθθ-+-=+.圆心坐标为(cos ,sin )a b θθ（θ为参数），设cos x a θ=，sin y b θ=，则221x y a b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22221x y a b +=为所求轨迹方程，所以圆心的轨迹是椭圆.变式1 方程2232(05)1x t t y t ⎧=+⎪≤≤⎨=-⎪⎩表示的曲线是（） A. 线段 B. 双曲线的一支 C. 圆弧 D. 射线变式2 已知直线11cos :sin x t C y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.(1)当3πα=时，求1C 与2C 的交点坐标；(2)过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点.当α变化时，求点P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.题型4 普通方程化参数方程思路提示对于直线与圆锥曲线方程化为参数方程问题实质是引入第三个变量的换元法，这里有代数换元（如抛物线22y px =的参数方程222x pt y pt =⎧⎨=⎩）或三角换元（如椭圆22221x y a b +=的参数方程cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩）.例16.12 在平面直角坐标系xOy 中，设(,)P x y 是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值.分析利用椭圆的参数方程，建立,x y 与参数θ的关系，运用三角函数最值的求法，求解x y +的最大值.解析点(,)P x y 是椭圆2213x y +=上的一个动点，则sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），[0,2]θ∈π，则sin x y θθ+=+2sin()3πθ=+，[0,2]θ∈π，故max ()2x y +=.变式1 已知点(,)P x y 是圆2220x y y +-=上的动点.(1)求2x y +的取值范围；(2)若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围. 变式2 直线l 过(1,1)P ，倾斜角6πα=.（1）写出l 的参数方程；（2）l 与圆224x y +=相交于,A B 两点，求P 到,A B 两点的距离之积.变式3 已知抛物线2:4C y x =，点(,0)M m 在x 轴的正半轴上，过M 的直线l 与C 相交于,A B 两点，O 为坐标原点.(1)若1m =时，l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程；(2)若存在直线l 使得||,||,||AM OM MB 成等比数列，求实数m 的取值范围.题型5 参数方程与极坐标方程的互化思路提示参数方程与极坐标方程的互化问题，需要通过普通方程这一中间桥梁来实现，先将参数方程（极坐标方程）化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程（参数方程）.例16.13 已知曲线C的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为 .分析把曲线C 的参数方程化为普通方程，求出切线l 的普通方程，然后把求出的直线l 的普通方程化为极坐标方程.解析由22sin cos 1t t +=得曲线C 的普通方程为222x y +=，过原点O 及切点(1,1)的直线的斜率为1，故切线l 的斜率为1-，所以切线l 的方程为1(1)y x -=--，即20x y +-=.把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入直线l 的方程可得cos sin 20ρθρθ+-=sin()204πθ+-=，化简得sin()4πθ+=变式1 设曲线C 的参数方程为2x ty t=⎧⎨=⎩（t 为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 .有效训练题 1.极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（）A. 一条射线和一个圆B. 两条直线C. 一条直线和一个圆D. 一个圆 2.圆cos )ρθθ=-的圆心的一个极坐标是（）A. (B. (2,)4πC. 3(2,)4π D. 7(2,)4π3.在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是(2,)4A π，5(2,)4B π.那么顶点C 的坐标可能是（）A. 3(4,)4πB. 3)4πC. )πD. (3,)π4.直线的参数方程为sin 501cos50x t y t ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），则直线的倾斜角为（）A. 40B. 50C. 140D.1305.过点(2,3)A 的直线的参数方程为232x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），若此直线与直线30x y -+=相交于点B ，则||AB =（）6.设曲线C 的参数方程23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)，直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线l的点的个数为（） A. 1 B. 2 C.3 D.4 7.已知直线l的极坐标方程为sin()42πρθ-=，圆M 的参数方程为22cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)，则圆M 上的点到直线l 的最短距离为 .8.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C的参数方程分别为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，02πθ≤≤）和1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），则曲线1C 与2C 的交点坐标为 . 9.已知抛物线的参数方程为222x pt y pt=⎧⎨=⎩（t 为参数），其中0p >，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作准线l 的垂线，垂足为E ，若||||EF MF =，点M 的横坐标是3，则p = .10.在极坐标系中，O 为极点，已知两点,M N 的极坐标分别为2(4,)3π，)4π,求△OMN 的面积. 11.已知椭圆221164x y +=，O 为坐标原点，,P Q 为椭圆上的两动点，若OP OQ ⊥，求22||||OP OQ +的最大值.12. 已知曲线12cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2247:cos 016C ρθ-+=.（1）若,P Q 分别是曲线1C 和曲线2C 上的两个动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）若曲线1C 上与x 轴、y 轴的正半轴分别交于,A B 点，P 是曲线1C 上第一象限内的动点，O 是坐标原点，试求四边形OAPB 面积的最大值.。

(完整版)极坐标基础

1．极坐标系(1)定义在平面内取定点O，叫做极点，引一条射线OX叫做极轴，再选定一个长度单位和角的正方向(通常以逆时针方向)，这样就建立了极坐标系；(2)点的极坐标点M在极坐标平面内，|OM|=ρ，∠MOX=θ，则点M的坐标为M(ρ，θ)，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角．当ρ＜0时，∠XOP=θ，在OP的反向延长线上取一点M，使|OM|=|ρ|，点M就是坐标为(ρ，θ)的点．由于(ρ，θ+2kπ)，(-ρ，θ+(2k+1)π)(k∈Z)都表示同一点，因此在极坐标平面上点与有序数对不是一一对应的．但如果限定ρ＞0，0≤θ＜2π或-π＜θ≤π，则除极点外就可以一一对应了；(3)对称点坐标点M(ρ，θ)关于极轴的对称点为M；(ρ，-θ)，点M(ρ，θ)关于极点的对称点为M。

(-ρ，θ)，点M(ρ，θ)关于过极点与极轴垂直的直线(极垂线)的对称点为M(-ρ，-θ)；(4)极坐标内两点的距离公式2．直角坐标与极坐标的互化(1)互化条件原点与极点重合，极轴与x轴正半轴重合，两个坐标系长度单位一致．(2)互化公式(3)互化公式所得到的圆锥曲线的方程例题在极坐标系中，点(ρ，0)与(-ρ，π-θ)的位置是 [ ]A．关于极轴所在直线对称；B．关于极点对称；D．重合．说明一般地，为了求出点(ρ，θ)满足一定条件的极坐标，可先写出它的极坐标的一般形式，再根据ρ和θ的条件确定k的值，从而得到所要求的坐标．【例4】已知点B，C，D的直角坐标为(2，-2)，(0，-15)，(-12，5)，求它的极坐标(ρ＞0，0＜θ＜2π)．[ ]A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线分析将方程化为直角坐标方程，即可判断曲线形状．因为给定的[ ]∴极坐标方程是ρ=1+cosθ(图形是心脏线)．说明通过上两例可看出，化极坐标方程为直角坐标方程有时较容易判断曲线形状，但如曲线是由动点旋转运动而产生的，则它的极坐标方程可能比直角坐标方程简单．解法2 由圆锥曲线的统一方程可知∴b2=a2-c2=132-122=52以下同上．说明显然解法2简便，直接根据ρ，θ的几何意义求出a和c．*【例8】求以抛物线y2=3x的焦点为极点，对称轴向右的方向为极轴的正方向时，抛物线的极坐标方程．说明本例作了特殊的要求，则不能用互化公式，利用圆锥曲线统一的极坐标方程不仅方程形式简单，而且几何意义明显，这种特殊的互化方法有广泛的应用，应予以特别注意．解ρ(0)=6即a+c=6ρ(π)=2即a-c=2【例10】点P在直线x+y=1上移动，在连接原点与点P的射线上取点Q，使|QP|·|OQ|=4，求点Q的轨迹方程(如图3-2)解 x+ y=1化成极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1即x′2+y′2=±(4x+4y)．故Q点轨迹方程为 x2+y2-4x-4y=0，和x2+y2+4x+4y=0．3．曲线的极坐标方程在极坐标系中，称方程F(ρ，o)=0是曲线C的极坐标方程，如果以这个方程的每一个解为坐标的点都是曲线C上的点，而且C上每一个点的坐标中至少有一个坐标能够满足这个方程．4．求曲线的极坐标方程和直角坐标系中一样，在极坐标系中求曲线的极坐标方程的主要方法有直接法、转移法和参数法，每种方法的计算步骤与直角坐标系完全类似，只需把步骤中的直角坐标(x，y)改成极坐标(ρ，θ)就可以了．求曲线的极坐标方程，经常要用正、余弦定理三角形面积公式和有关三角知识．5．常见曲线的极坐标方程(1)经过极点倾斜角为α的直线方程为θ=α和θ=α+π；(2)与极轴平行并与极轴距离为a(a＞0)的直线方程为ρsinθ=±a；(3)与极轴垂直(含极轴所在直线)与极点距离为b(b＞0)的直线方程ρcosθ=±b；(4)圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为ρ=r；(5)圆心在O′(ρ0，θ0)，半径为r的圆的极坐标方程为ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ02-r2=0；当0＜e＜l时，方程表示椭圆，当e=1，θ≠2kπ时方程表示抛物线，*(7)等速螺线方程(二)极坐标·习题解法提要(1)极坐标系是用长度和角度来确定平面内点的位置的一种坐标系，通常点的极坐标(ρ，θ)中，ρ取非负值，表示极点O到点A的距离，极角θ采用弧度制．必要时，ρ也可取负值．极坐标平面上同一点的极坐标有无数种表示法，即若(ρ，θ)是一个点的极坐标，则(ρ，2kπ+θ)，[-ρ，(2k+1)π+θ](k∈Z)都是此点的极坐标．(2)在极坐标系中，由于曲线上同一点有不同的坐标，故对于一条曲线的同一极坐标方程，点的坐标中有的满足该方程，有的则不一定满足；但曲线上点的极坐标中应至少有一个满足此曲线的这一方程．同一曲线的极坐标方程也可能不止一种形式．(3)由于极坐标是用长度和角度来表示的，故在求曲线的极坐标方程时，常构造三角形，利用三角形中的边角关系及三角函数的有关公式求出ρ和θ的关系式，即曲线的方程．求曲线的极坐标方程的基本方法有：①直接法：建立极坐标系，根据动点的运动规律，列出动点的极径ρ与极角θ间的关系式，化简整理得出极坐标方程ρ=f(θ)．同时应注意θ的取值范围．②代入法：若已知Q点的轨迹方程和动点P与Q点的相关关系，则可先求出P，Q的极坐标间的关系式，再将关系式代入Q点满足的极坐标方程中，求出P点的轨迹的极坐标方程．③先求曲线的普通方程，再转化为极坐标方程．(4)在同一平面内建立的一个极坐标系和一个直角坐标系，当极点与坐标原点重合，极轴与x轴正半轴重合时，平面上任一点P的极坐标(ρ，θ)与直角坐标(x，y)之间存在下列关系：(5)常见曲线的极坐标方程：(i)直线①过极点、倾斜角为α的直线：θ=α(ρ∈R)②与极轴垂直的直线：ρcosθ=a③与极轴平行的直线：ρsinθ=a④倾斜角为α、极点到它的距离在d的直线：ρsin(α-θ)=d(ii)圆①圆心在极点、半径为a的圆：ρ=a②过极点、圆心为(a，0)、半径为|a|的圆：ρ=2acosθ④圆心为C(ρ0，θ0)，半径为r的圆：(iii)圆锥曲线的统一的极坐标方程其中e为离心率，p为焦点到对应准线的距离．①当0＜e＜1时，方程表示极点为左焦点，极轴所在直线为对称轴的椭圆；②当e=1时，方程表示极点为焦点，开口向右的抛物线；③当e＞1时，方程表示极点为右焦点，极轴所在直线为对称轴的双曲线．ρ＞0时，为右支；ρ＜0时，为左支．椭圆的极坐标方程ρ=ep/(1-ecosθ)是以左焦点F1为极点O，射线F1F2为极轴，依据椭圆的第二定义得来此时极点到椭圆的左准线是p,椭圆的任意点P（ρ，θ)满足ρ/(p+ρcosθ)=e--->ρ=ep+eρcosθ--->ρ(1-ecosθ)=ep--->ρ=ep/(1-ecosθ)(0<e<1)这就是椭圆的极坐标方程。