数字信号处理课件ppt

相关卷积定理：

卷积的相关函数等于相关函数的卷积
e(n)=a(n)*b(n)
f(n)=c(n)*d(n) ref(m)=rac(m) * rbd(m)
ryy(m)= rxx(m)*v(m)=rxy(m)*h(-m)
r h (m) h(m), rh (m) h(m)
时间序列信号模型：
维纳预测：
x(n)=s(n)+υ (n) H(z)
ˆ y(n) s(n)
x(
图2.4.1(a)
维纳滤波器
ˆ y(n) s(n N )
x(n)=s(n)+υ (n)
H(z)
图2.4.1(b)
维纳预测器
2
ˆ E s(n N ) s(n N ) min


纯预测：
假设x(n)=s(n)+v(n)，纯预测问题是在v(n)=0情况下对s(n+N), N＞0的预测，此时x(n)=s(n)。 因果情况下，假设s(n)与v(n)不相关，纯预测情况下
原理。
* E[ yopt (n)eopt (n)] 0
维纳—霍夫方程：
* * * E x(n k ) d (n) h (m) x (n m) 0 m 0
维纳-霍夫（Wiener－Hopf）方程：
rxd (k ) h(m)rxx (k m) h( k ) rxx ( k )
信号和噪声不相关时
S xs ( z ) Sss ( z ) H opt ( z ) S xx ( z ) Sss ( z ) Svv ( z )
因果IIR维纳滤波求解：
对于因果IIR维纳滤波器，其维纳－霍夫方程为
r xd (k ) h(m)rxx (k m) h(k ) rxx (k )
Pxx ( )
2 w
2
AR模型
1 H ( z) A( z )
1 A(e j )
2
滤波器阶数：
对于IIR滤波器或者AR模型、ARMA模型，阶数是指p的 大小，如果用差分方程表示，则p就是差分方程的阶数。
对于FIR滤波器或者MA模型的阶数，则是指q的大小，或 者说是它的长度减1。
w(n)
q
H(z)
1 bi z i 1 ai z i
i 1 i 1 p
x(n)
ARMA模型 MA模型
B( z ) H ( z) A( z )
Pxx ( )
2 w
B (e ) A(e j )
2 w j
j
2
H ( z ) B( z )
Pxx ( ) B(e )

自相关函数及其性质：

Байду номын сангаас
对一个随机序列的统计描述，可以由这个序列的 自相关函数来高度概括。 对一平稳随机信号，只要知道它的自相关函数， 就等于知道了该随机信号的主要数字特征。
Dx2 E x 2 n rxx (0);
2 mx rxx (); 2 x2 E x 2 n mx rxx (0) rxx ()
现代数字信号处理课程回顾
第一章 时域离散随机信号的分析 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 第三章 自适应数字滤波器 第四章 功率谱估计 第五章 时频分析

第一章 时域离散随机信号的分析
主要内容：
平稳随机信号的统计描述 随机序列数字特征的估计 平稳随机序列通过线性系统 时间序列信号模型
Pxx(ω)≥0
随机序列数字特征的估计：
估计准则：无偏性、有效性、一致性 1 N 1 ˆ 均值的估计： mx xi

N
i 0

方差的估计：
1 ˆ N
2 x
ˆ ( xn mx )2
n 0
N 1
1 N |m|1 自相关函数的估计：xx (m) ˆ r x(n) x(n m) N | m | n 0
三种信号模型可以相互转化，而且都具有普遍适用性， 但 是对于同一时间序列用不同信号模型表示时，却有不同的效率。 这里说的效率, 指的是模型的系数愈少，效率愈高。
谱分解定理：
如果功率谱Pxx(ejω)是平稳随机序列x(n)的有理谱，那么一定 存在一个零极点均在单位圆内的有理函数H(z),
q q
H ( z)
因果维纳滤波器的复频域最佳解为
1 S xs ( z ) H opt ( z ) 2 B( z ) B( z) B( z 1 ) Gopt ( z ) 1
因果维纳滤波的最小均方误差为
E[| e(n) |2 ]min rss (0)
k 0

| rws (k ) |2
2 w
1 dz 1 C Sss ( z) H opt ( z)S xs ( z ) z 2πj
通过前面的分析, 因果维纳滤波器设计的一般方法可以按 下面的步骤进行：
(1) 根据观测信号x(n)的功率谱求出它所对应的信号模型的
传输函数，即采用谱分解的方法得到B(z)。 S xs ( z) (2) 求 B( z 1 ) 的Z反变换，取其因果部分再做Z变换，即 S xs ( z ) 舍掉单位圆外的极点，得 B( z 1 ) (3) 积分曲线取单位圆，应用（2.3.38）式和（2.3.39）式，计 算Hopt(z), E［|e(n)|2］min。
一步线性预测：
采用p个最近的采样值来预测时间序列下一时刻的 值，包括前向预测和后向预测两种。
后向预测
x(n －p) , x(n －p ＋1) , … , x(n －2) , x(n －1) , x(n)
前向预测
前向预测：
ˆ ˆ y ( n) s ( n) x ( n) h( k ) x ( n k )
2 S xx ( z ) S xs ( z ) S ss ( z ) B( z ) B( z 1 )
1 z N S xs ( z ) 1 H opt ( z ) 2 [ z N B( z )] B( z ) B( z 1 ) B( z ) 1
h hopt Rxx1Rxd
2 * 2 * E[| e(n) |2 ]min d ( Rxd )T Rxx1Rxd d ( Rxd )T hopt
h1 h 2 h hM
rxd (0) r (1) Rxd xd rxd ( M 1)
非因果IIR维纳滤波求解：
r xd (k )
m
h ( m) r

xx
(k m) h(k ) rxx (k )
设定d(n)=s(n)，对上式两边做Z变换，得到
Sxs(z)=Hopt(z)Sxx(z)
S xs ( z ) H opt ( z ) S xx ( z )
1 ˆ' rxx (m) N
N |m|1

n 0
x ( n ) x ( n m)
平稳随机序列通过线性系统：
y (n)
k
h( k ) x ( n k )
k

m y E[ y (n )]
h(k ) E[ x(n k )]
k

ryy (m)
〈x(n)〉=mx=E［X(n)］
1 N * rxx (n, m) E[ X (n) X (m)] lim x (n, i)x(m, i) N N i 1
*
N 1 x (n) x(n m) lim x* (n) x(n m) N N 2 N 1 n *
最佳滤波器：
s(n) x(n) h(n) y(n) v(n)
x(n)=s(n)+v(n)
ˆ y(n) s(n) h(m) x(n m)
m
e(n) s(n) y(n)
min E e2 (n) hopt (n) E e 2 (n) min min
m
0 m M 1 0 m m
FIR 维纳滤波器 因果IIR 维纳滤波器 非因果IIR 维纳滤波器
FIR维纳滤波求解：
rxd (k ) h(m)rxx (k m) h(k ) rxx (k )
m 0 M 1
k=0, 1, 2, …
Rxd Rxxh
rxx (0) | rxx (m) |
各态遍历性：
只要一个实现时间充分长的过程能够表现出各个实现的特 征，就可以用一个实现来表示总体的特性。
1 N mx (n) E[ X (n)] lim x(n, i ) N N i 1
N 1 x(n) lim N x(n) N 2 N 1 n
rxx (0) rxx (1) Rxx rxx ( M 1)
rxx (1) rxx ( M 1) rxx (0) rxx ( M 2) rxx ( M 2) rxx (0)
rxx m rxs m rxv m rss m rvv m
m0

k=0, 1, 2, …
利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程:
x(n)=s(n)+υ (n)
H(z) (a)
ˆ y ( n) s ( n)
x(
x(n)
1 B( z )
w(n)
G(z) (b)
ˆ y ( n) s ( n)
x(
图2.3.5 利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程
满足
B( z ) A( z )
bk z k ak z k
k 0 k 0 p

(1 k z 1 ) (1 k z 1 )
k 1 k 1 p
Pxx ( z) H ( z)H ( z )
2 w 1
0
2 w
式中，ak, bk都是实数，a0=b0=1, 且|αk|＜1, |βk|＜1。
e
j
2 j
hopt (n)
正交性原理：
要使均方误差为最小，须满足
min E e (n) hj
2
E[| e(n) |2 ] 0 h j
h
j
h j
E［x (n-j)e* (n)］=0
j=0, 1, 2, …
分析：上式说明，均方误差达到最小值的充要条件是误差信 号与任一进入估计的输入信号正交，这就是通常所说的正交性
D (m)
2 x
rxx (m)
2 x (m)
cov xx (m)
2 mx
m
m
rxx (m) 的特性
cov xx (m) 的特性
rxx (m) rxx (m), cov xx (m) cov xx (m) rxy (m) ryx (m), cov xy (m) cov yx (m)
〈x*(n)x(n+m)〉=rxx(m)=E［X*(n)X(n+m)］
功率密度谱：
维纳–––辛钦定理（Wiener-Khinchin Theorem）
Pxx (e ) rxx (m)e
j

j m
1 rxx (m) 2
P
-

xx
(e )e
j
j m
d
Pxx () Pxx ()
rxx(m)
Z变换
Pxx(z)
Z反变换
谱分解
H(z)
2 Pxx ( z) w H ( z)H ( z 1 )
自相关函数、功率谱、时间序列信号模型三者之间关系
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波
主要内容：



FIR维纳滤波求解 非因果IIR维纳滤波求解 因果IIR维纳滤波求解 维纳纯预测 维纳一步线性预测 卡尔曼滤波
rxx (m) v m
l
rxx (m l ) h* (k )h(l k )

rxx (m) h* (m) * h m
2 1 j j j Pyy ( z ) Pxx ( z ) H ( z ) H * Pyy e Pxx e H e z *