奥林匹克训练题库·约数与最大公约数(word版)

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小学奥数：最大公约数最小公倍数

最大公约数与最小公倍数1：求2520、14850、819的最大公约数和最小公倍数。

（用因数分解法）2：求35、98、112的最大公约数和最小公倍数。

（用因数分解法）3：求36、108、126的最大公约数和最小公倍数。

（用短除法）4：求403、527、713的最大公约数和最小公倍数。

（用短除法）5：有一位男同学要整理三种厚度分别为30毫米、24毫米和18毫米的一堆书，他只能将厚度相同的书叠在一起，叠成高度一样的三叠，使书得高度尽可能小。

这样的整理共用了多少本书？6：甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果3月5日他们三人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是月日。

7：设a=36，b=54，证明（a，b）×[a，b]=a×b。

8：设a=108，b=720，证明（a，b）×[a，b]=a×b。

9：现有4个自然数，它们的和是1111,。

如果要使这4个数的公约数尽可能大，那么，这4个数的公约数最大是。

10：有很多方法可以将2001写成25个自然数（可以相同，也可以不相同）的和。

对于每一种分法，这25个自然数均有相应的最大公约数，那么这些最大公约数最大值是。

11：某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以表示成11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是多少？12：把26、33、34、35、63、85、91、143分成若干组，要使每一组中任意两个数的最大公约数是1，那么至少要分成组。

13 用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。

现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？14、甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。

三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？15、爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。

奥数最大公约数及最小公倍数例题、练习及答案

最大公约数与最小公倍数（一）教学目标： 1．通过学生对应用题的条件与问题的全面分析，培养学生发现问题和解决问题的意识。

2．通过比较与辨析，使学生进一步理解和掌握“最大公约数和最小公倍数”应用题的解题规律。

3．培养学生的合作交流意识和创新意识，发展学生的空间观念与想像力。

教学过程：一、基本概念知识1.公约数和最大公约数 ①如果一个自然数a 能被自然数b 整除，那么称a 为b 的倍数，b 为a 的约数。

②如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。

在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。

例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12;18的约数有：1，2，3，6，9，18。

自然数n a a a ,,,21 的最大公约数通常用符号（n a a a ,,,21 ）表示，例如，12和18的公约数有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，记作(12，18)=6。

（8，12）=4，（6，9，15）=3。

2.公倍数和最小公倍数③如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。

在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。

例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，…18的倍数有：18，36，54，72，90，…自然数n a a a ,,,21 的最小公倍数通常用符号[n a a a ,,,21 ]表示，例如12和18的公倍数有：36，72，….其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。

[8，12]=24，[6，9，15]=90。

3.互质数如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。

常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。

用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的区别：求n 个数的最大公约数：（1）必须每次都用n个数的公约数去除；（2）一直除到n个数的商互质（但不一定两两互质）；（3）n个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。

奥林匹克数学竞赛试题doc奥数(一)

奥数（一）一、填空题：3．一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有______个．5.图中空白部分占正方形面积的______分之______.6．甲、乙两条船，在同一条河上相距210千米．若两船相向而行，则2小时相遇；若同向而行，则14小时甲赶上乙，则甲船的速度为______．7．将11至17这七个数字，填入图中的○内，使每条线上的三个数的和相等．8．甲、乙、丙三人，平均体重60千克，甲与乙的平均体重比丙的体重多3千克，甲比丙重3千克，则乙的体重为______千克．9．有一个数，除以3的余数是2，除以4的余数是1，则这个数除以12的余数是______．10．现有七枚硬币均正面（有面值的面）朝上排成一列，若每次翻动其中的六枚，能否经过若干次的翻动，使七枚硬币的反面朝上______（填能或不能）．二、解答题：1．浓度为70％的酒精溶液500克与浓度为50％的酒精溶液300克，混合后所得到的酒精溶液的浓度是多少？2．数一数图中共有三角形多少个？3．一个四位数，它的第一个数字等于这个数中数字0的个数，第二个数字表示这个数中数字1的个数，第三个数字表示这个数中数字2的个数，第四个数字等于这个数中数字3的个数，求出这个四位数．奥数（二）一、填空题：1．用简便方法计算：2．某工厂，三月比二月产量高20％，二月比一月产量高20％，则三月比一月高___％．3．算式：（121+122+…+170）-（41+42+…+98）的结果是______（填奇数或偶数）．4．两个桶里共盛水40斤，若把第一桶里的水倒7斤到第2个桶里，两个桶里的水就一样多，则第一桶有______斤水．5．20名乒乓球运动员参加单打比赛，两两配对进行淘汰赛，要决出冠军，一共要比赛______场．6．一个六位数的各位数字都不相同，最左一位数字是3，且它能被11整除，这样的六位数中最小的是______．7．一个周长为20厘米的大圆内有许多小圆，这些小圆的圆心都在大圆的一个直径上．则小圆的周长之和为______厘米．8．某次数学竞赛，试题共有10道，每做对一题得8分，每做错一题倒扣5分．小宇最终得41分，他做对______题．9．在下面16个6之间添上+、-、×、÷（），使下面的算式成立：6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6=1997二、解答题：1．如图中，三角形的个数有多少？2．某次大会安排代表住宿，若每间2人，则有12人没有床位；若每间3人，则多出2个空床位．问宿舍共有几间？代表共有几人？3．现有10吨货物，分装在若干箱内，每箱不超过一吨，现调来若干货车，每车至多装3吨，问至少派出几辆车才能保证一次运走？4．在九个连续的自然数中，至多有多少个质数？奥数（三）一、填空题：1．用简便方法计算下列各题：（2）1997×19961996-1996×19971997=______；（3）100+99-98-97+…+4+3-2-1=______．2．右面算式中A代表______，B代表______，C代表______，D代表______（A、B、C、D各代表一个数字，且互不相同）．3．今年弟弟6岁，哥哥15岁，当两人的年龄和为65时，弟弟______岁．4．在某校周长400米的环形跑道上，每隔8米插一面红旗，然后在相邻两面红旗之间每隔2米插一面黄旗，应准备红旗______面，黄旗______面．5．在乘积1×2×3×…×98×99×100中，末尾有______个零．6．如图中，能看到的方砖有______块，看不到的方砖有______块．7．右图是一个矩形，长为10厘米，宽为5厘米，则阴影部分面积为______平方厘米．8．在已考的4次考试中，张明的平均成绩为90分（每次考试的满分是100分），为了使平均成绩尽快达到95分以上，他至少还要连考______次满分．9．现有一叠纸币，分别是贰元和伍元的纸币．把它分成钱数相等的两堆．第一堆中伍元纸币张数与贰元张数相等；第二堆中伍元与贰元的钱数相等．则这叠纸币至少有_____元．10．甲、乙两人同时从相距30千米的两地出发，相向而行．甲每小时走3.5千米，乙每小时走2.5千米．与甲同时、同地、同向出发的还有一只狗，每小时跑5千米，狗碰到乙后就回头向甲跑去，碰到甲后又回头向乙跑去，……这只狗就这样往返于甲、乙之间直到二人相遇而止，则相遇时这只狗共跑了______千米．二、解答题：1．右图是某一个浅湖泊的平面图，图中曲线都是湖岸（1）若P点在岸上，则A点在岸上还是水中？（2）某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋．若有一点B，他脱鞋的次数与穿鞋的次数和是奇数，那么B点在岸上还是水中？说明理由．2．将1～3000的整数按照下表的方式排列．用一长方形框出九个数，要使九个数的和等于（1）1997（2）2160（3）2142能否办到？若办不到，简单说明理由．若办得到，写出正方框里的最大数和最小数．3．甲、乙、丙、丁四个人比赛乒乓球，每两人要赛一场，结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙三人胜的场数相同，问丁胜了几场？4．有四条弧线都是半径为3厘米的圆的一部分，它们成一个花瓶（如图）．请你把这个花瓶切成几块，再重新组成一个正方形，并求这个正方形的面积．奥数（四）一、填空题：1．41.2×8.1+11×9.25+537×0.19=______．2．在下边乘法算式中，被乘数是______．3．小惠今年6岁，爸爸今年年龄是她的5倍，______年后，爸爸年龄是小惠的3倍．4．图中多边形的周长是______厘米．5．甲、乙两数的最大公约数是75，最小公倍数是450．若它们的差最小，则两个数为______和______．6．鸡与兔共有60只，鸡的脚数比兔的脚数多30只，则鸡有______只，兔有__只．7．师徒加工同一种零件，各人把产品放在自己的筐中，师傅产量是徒弟的2倍，师傅的产品放在4只筐中．徒弟产品放在2只筐中，每只筐都标明了产品数量：78，94，86，77，92，80．其中数量为______和______2只筐的产品是徒弟制造的．8．一条街上，一个骑车人与一个步行人同向而行，骑车人的速度是步行人速度的3倍，每隔10分钟有一辆公共汽车超过行人，每隔20分钟有一辆公共汽车超过骑车人．如果公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车，那么间隔______分发一辆公共汽车．9．一本书的页码是连续的自然数，1，2，3，…，当将这些页码加起来的时候，某个页码被加了两次，得到不正确的结果1997，则这个被加了两次的页码是______．10．四个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有两个是奇数，两个是偶数，而且两个分母是奇数的分数之和等于两个分母是偶数的分数之和．这样的两个偶数之和至少为______．二、解答题：1．把任意三角形分成三个小三角形，使它们的面积的比是2∶3∶5．2．如图，把四边形ABCD的各边延长，使得AB=BA′，BC=CB′CD=DC′，DAAD′，得到一个大的四边形A′B′C′D′，若四边形ABCD的面积是1，求四边形A′B′C′D′的面积．3．如图，甲、乙、丙三个互相咬合的齿轮，若使甲轮转5圈时，乙轮转7圈，丙轮转2圈，这三个齿轮齿数最少应分别是多少齿？4．（1）图（1）是一个表面涂满了红颜色的立方体，在它的面上等距离地横竖各切两刀，共得到27个相等的小立方块．问：在这27个小立方块中，三面红色、两面红色、一面红色，各面都没有颜色的立方块各有多少？（2）在图（2）中，要想按（1）的方式切出120块大小一样、各面都没有颜色的小立方块，至少应当在这个立方体的各面上切几刀（各面切的刀数一样）？（3）要想产生53块仅有一面涂有红色的小方块，至少应在各面上切几刀？奥数（五）一、填空题：1．一个学生用计算器算题，在最后一步应除以10，错误的乘以10了，因此得出的错误答数500，正确答案应是______．2．把0，1，2，…，9十个数字填入下面的小方格中，使三个算式都成立：□+□=□□-□=□□×□=□□3．两个两位自然数，它们的最大公约数是8，最小公倍数是96，这两个自然数的和是______．4．一本数学辞典售价a元，利润是成本的20％，如果把利润提高到30％，那么应提高售价______元．5．图中有______个梯形．6．小莉8点整出门，步行去12千米远的同学家，她步行速度是每小时3千米，但她每走50分钟就要休息10分钟．则她______时到达．7．一天甲、乙、丙三个同学做数学题．已知甲比乙多做了6道，丙做的是甲的2倍，比乙多22道，则他们一共做了______道数学题．8．在右图的长方形内，有四对正方形（标号相同的两个正方形为一对），每一对是相同的正方形，那么中间这个小正方形（阴影部分）的面积为______．9．有a、b两条绳，第一次剪去a的2/5，b的2/3；第二次剪去a绳剩下的2/3，b绳剩下的2/5；第三次剪去a绳剩下的2/5，b绳的剩下部分的2/3，最后a剩下的长度与b剩下的长度之比为2∶1，则原来两绳长度的比为______．10．有黑、白、黄色袜子各10只，不用眼睛看，任意地取出袜子来，使得至少有两双袜子不同色，那么至少要取出______只袜子．二、解答题：1．字母A、B、C、D、E和数字1997分别按下列方式变动其次序：A B C D E 1 9 9 7B C D E A 9 9 7 1（第一次变动）C D E A B 9 7 1 9（第二次变动）D E A B C 7 1 9 9（第三次变动）……问最少经过几次变动后ABCDE1997将重新出现？2．把下面各循环小数化成分数：3．如图所示的四个圆形跑道，每个跑道的长都是1千米，A、B、C、D四位运动员同时从交点O出发，分别沿四个跑道跑步，他们的速度分别是每小时4千米，每小时8千米，每小时6千米，每小时12千米．问从出发到四人再次相遇，四人共跑了多少千米？4．某路公共汽车，包括起点和终点共有15个车站，有一辆车除终点外，每一站上车的乘客中，恰好有一位乘客到以后的每一站下车，为了使每位乘客都有座位，问这辆公共汽车最少要有多少个座位？奥数（六）一、填空题：2．把33，51，65，77，85，91六个数分为两组，每组三个数，使两组的积相等，则这两组数之差为______．大的分数为______．4．如图，一长方形被一条直线分成两个长方形，这两个长方形的宽的比为1∶3，若阴影三角形面积为1平方厘米，则原长方形面积为______平方厘米．5．字母A、B、C代表三个不同的数字，其中A比B大，B比C大，如果用数字A、B、C组成的三个三位数相加的和为777，其竖式如右，那么三位数ABC是______．7．如图，在棱长为3的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是1的正方形高为3的长方体的洞，则所得物体的表面积为______．8．有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放入16块水果糖后，奶糖就只占25％，那么，这堆糖中有奶糖______块．10．某地区水电站规定，如果每月用电不超过24度，则每度收9分；如果超过24度，则多出度数按每度2角收费．若某月甲比乙多交了9.6角，则甲交了______角______分．二、解答题：1．求在8点几分时，时针与分针重合在一起？2．如图中数字排列：问：第20行第7个是多少？3．某人工作一年酬金是1800元和一台全自动洗衣机．他干了7个月，得到490元和一台洗衣机，问这台洗衣机为多少元？4．兄弟三人分24个苹果，每人所得个数等于其三年前的年龄数．如果老三把所得苹果数的一半平分给老大和老二，然后老二再把现有苹果数的一半平分给老大和老三，最后老大再把现有苹果数的一半平分给老二和老三，这时每人苹果数恰好相等，求现在兄弟三人的年龄各是多少岁？奥数（七）一、填空题：2．将一张正方形的纸如图按竖直中线对折，再将对折纸从它的竖直中线（用虚线表示）处剪开，得到三个矩形纸片：一个大的和两个小的，则一个小矩形的周长与大矩形的周长之比为______．么回来比去时少用______小时．4．7点______分的时候，分针落后时针100度．5．在乘法3145×92653=29139□685中，积的一个数字看不清楚，其他数字都正确，这个看不清的数字是______．7．汽车上有男乘客45人，若女乘客人数减少10％，恰好与男乘客人8．在一个停车场，共有24辆车，其中汽车是4个轮子，摩托车是3个轮子，这些车共有86个轮子，那么三轮摩托车有______辆．9．甲、乙两人轮流在黑板上写不超过10的自然数，规定每人每次只能写一个数，并禁止写黑板上数的约数，最后不能写者败．若甲先写，并欲胜，则甲的写法是______．10．有6个学生都面向南站成一行，每次只能有5个学生向后转，则最少要做______次能使6个学生都面向北．二、解答题：1．图中，每个小正方形的面积均为1个面积单位，共9个面积单位，则图中阴影部分面积为多少个面积单位？2．设n是一个四位数，它的9倍恰好是其反序数（例如：123的反序数是321），则n是多少？3．自然数如下表的规则排列：求：（1）上起第10行，左起第13列的数；（2）数127应排在上起第几行，左起第几列？4．任意k个自然数，从中是否能找出若干个数（也可以是一个，也可以是多个），使得找出的这些数之和可以被k整除？说明理由．奥数（八）一、填空题：2．在下列的数字上加上循环点，使不等式能够变正确：0.9195＜0.9195＜0.9195＜0.9195＜0.91953．如图，O为△A1A6A12的边A1A12上的一点，分别连结OA2，OA3，…，OA11，图中共有______个三角形．4．今年小宇15岁，小亮12岁，______年前，小宇和小亮的年龄和是15．5．在前三场击球游戏中，王新同学得分分别为139，143，144，为使前4场的平均得分为145，第四场她应得______分．6．有这样的自然数：它加1是2的倍数，加2是3的倍数，加3是4的倍数，加4是5的倍数，加5是6的倍数，加6是7的倍数，在这种自然数中除了1以外最小的是______．7．如图，半圆S1的面积是14.13cm2圆S2的面积是19.625cm2那么长方形（阴影部分）的面积是______cm2．8．直角三角形ABC的三边分别为AC=3，AB=1.8，BC=2.4，ED垂直于AC，且ED=1，正方形的BFEG边长是______．9．有两个容器，一个容器中的水是另一个容器中水的2倍，如果从每个容器中都倒出8升水，那么一个容器中的水是另一个容器中水的3倍．有较少水的容器原有水______升．10．100名学生要到离校33千米处的少年宫活动．只有一辆能载25人的汽车，为了使全体学生尽快地到达目的地，他们决定采取步行与乘车相结合的办法．已知学生步行速度为每小时5千米，汽车速度为每小时55千米．要保证全体学生都尽快到达目的地，所需时间是______（上、下车所用的时间不计）．二、解答题：1．一个四边形的广场，它的四边长分别是60米，72米，96米，84米．现在要在四边上植树，如果四边上每两树的间隔距离都相等，那么至少要种多少棵树？2．一列火车通过一条长1140米的桥梁（车头上桥直至车尾离开桥）用了50秒，火车穿越长1980米的隧道用了80秒，问这列火车的车速和车身长？3．能否把1，1，2，2，3，3，…，50，50这100个数排成一行，使得两个1之间夹着这100个数中的一个数，两个2之间夹着这100个数中的两个数，……两个50之间夹着这100个数中的50个数？并证明你的结论．4．两辆汽车运送每包价值相同的货物通过收税处．押送人没有带足够的税款，就用部分货物充当税款．第一辆车载货120包，交出了10包货物另加240元作为税金；第二辆车载货40包，交给收税处5包货，收到退还款80元，这样也正好付清税金．问每包货物销售价是多少元？奥数（九）一、填空题：1．在下面的四个算式中，最大的得数是______：（1）1994×1999+1999，（2）1995×1998+1998，（3）1996×1997+1997，（4）1997×1996+1996．2．今有1000千克苹果，刚入库时测得含水量为96％；一个月后，测得含水量为95％，则这批苹果的总重量损失了______．3．填写下面的等式：4．任意调换五位数54321的各个数位上的数字位置，所得的五位数中的质数共有______．5．下面式子中每一个中文字代表1～9中的一个数码，不同的文字代表不同的数码：则被乘数为_____．6．如图，每个小方格的面积是1cm2，那么△ABC的面积是______cm2．7．如图，A1，A2，A3，A4是线段AA5上的分点，则图中以A，A1，A2，A3，A4，A5这六个点为端点的线段共有______条．8．10点15分时，时针和分针的夹角是______．9．一房间中有红、黄、蓝三种灯，当房间中所有灯都关闭时，拉一次开关，红灯亮；第二次拉开关，红黄灯都亮；第三次拉开关，红黄蓝三灯都亮；第四次拉开关，三灯全关闭，现在从1～100编号的同学走过该房间，并将开关拉若干次，他们拉开关的方式为：编号为奇数者，他拉的次数就是他的号数；编号为偶数者，其编号可以写成2r·p（其中p为正奇数，r为正整数），就拉p次，当100人都走过房间后，房间中灯的情况为______．10．老师带99名同学种树100棵，老师先种一棵，然后对同学们说：“男生每人种两棵，女生每两人合种一棵。

初一奥林匹克数学竞赛训练试题集(01)word版含答案

初一奥林匹克数学竞赛训练试题集(01)word版含答案初一奥林匹克数学竞赛训练试题集（01）一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1.设a、b为正整数（a＞b），p是a、b的最大公约数，q 是a、b的最小公倍数，则p，q，a，b的大小关系是（）A．p≥q≥a＞bB．q≥a＞b≥pC．q≥p≥a＞bD．p≥a＞b≥q2.下列四个等式：ab=0，a=0，a+b=0中，可以断定a必等于的式子共有（）A．3个B．2个C．1个3.a为有理数，下列说法中，正确的是（）A．B．22（a+）是正数a+是正数C．D．22﹣（a﹣）是﹣a+的值不负数4.a，b，c均为有理数．在下列：甲：若a＞b，则ac＞bc．乙：若ac＞bc，则a＞b．两个结论中（）A．甲、乙都真B．甲真，乙不真C．甲不真，___D．甲、乙都不真5.若a+b=3，ab=﹣1，则a+b的值是（）A．24B．36C．27D．36.a、b、c、m都是有理数，且a+2b+3c=m，a+b+2c=m，那么b与c的关系是（）A．互为相反数B．互为倒数C．相等D．无法确定7.两个10次多项式的和是（）A．2次多项式B．1次多项式C．100次多项式D．不高于10次的多项式8.在1992个自然数1，2，3，…，1991，1992的每一个数前面添加“+”或“﹣”号，则其代数和一定是（）A．奇数B．偶数C．负整数D．非负整数二、填空题（共8小题，每小题5分，满分40分）9.现在弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的，而九年前弟弟的年龄，只是哥哥年龄的，则哥哥现在的年龄是_________岁．3310.1.2345+0.7655+2.469×0.7655=_________．3.21011.已知方程组abc=_________．1212.若，则=_________．1/413.已知多项式2x﹣3x+ax+7x+b能被x+x﹣2整除，则的值是_________．214.满足的值中，绝对值不超过11的哪些整数之和等于_________．15.若三个连续偶数的和等于1992，则这三个偶数中最大的一个与最小的一个的平方差等于_________．642．（4分）下列四个等式：$a^2+b^2=0$，$ab=0$，$a=0$，$a+b=0$中，可以断定$a$必等于的式子共有（）A．3个。

奥数最大公约数与最小公倍数例题、练习及答案

最大公约数与最小公倍数（一）教学目标：1．通过学生对应用题的条件与问题的全面分析，培养学生发现问题和解决问题的意识。

2．通过比较与辨析，使学生进一步理解和掌握“最大公约数和最小公倍数”应用题的解题规律。

3．培养学生的合作交流意识和创新意识，发展学生的空间观念与想像力。

教学过程：一、基本概念知识1.公约数和最大公约数①如果一个自然数a 能被自然数b 整除，那么称a 为b 的倍数，b 为a 的约数。

②如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。

在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。

例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12; 18的约数有：1，2，3，6，9，18。

自然数n a a a ,,,21 的最大公约数通常用符号（n a a a ,,,21 ）表示，例如，12和18的公约数有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，记作(12，18)=6。

（8，12）=4，（6，9，15）=3。

2.公倍数和最小公倍数③如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。

在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。

例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，… 18的倍数有：18，36，54，72，90，… 自然数na a a ,,,21 的最小公倍数通常用符号[na a a ,,,21 ]表示，例如12和18的公倍数有：36，72，….其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。

[8，12]=24，[6，9，15]=90。

3.互质数如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。

常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。

用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的区别：求n 个数的最大公约数：（1）必须每次都用n 个数的公约数去除；（2）一直除到n 个数的商互质（但不一定两两互质）；（3） n 个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。

20181213小学奥数练习卷(知识点：约数个数与约数和定理)含答案解析

小学奥数练习卷（知识点：约数个数与约数和定理）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共1小题）1．恰有20个因数的最小自然数是（）A．120B．240C．360D．432第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共40小题）2．写出不大于100且恰有8个约数的所有自然数是．3．已知自然数n有10个约数，2n有20个约数，3n有15个约数，那么6n有个约数．4．一个自然数恰有48个约数，并且其中有10个连续的自然数，那么这个数的最小值是．5．自然数N有很多个约数，把它的这些约数两两求和得到一组新数，其中最小的为4，最大的为2684，N有个约数．6．四位数的所有因数中，有3个是质数，其它39个不是质数．那么，四位数有个因数．7．四位数的约数中，恰有3个是质数，39个不是质数，四位数的值是．8．大于0的自然数，如果满足所有因数之和等于它自身的2倍，则这样的数称为完美数或完全数．比如，6的所有因数为1，2，3，6，1+2+3+6=12，6就是最小的完美数．是否有无限多个完美数的问题至今仍然是困扰人类的难题之一．研究完美数可以从计算自然数的所有因数之和开始，81的所有因数之和为．9．恰好有12个不同因数的最小的自然数为．10．有10个不同因数的最小自然数为．11．两个正方形的面积之差为2016平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足上述条件的所有正方形共有对．12．60的不同约数（1除外）的个数是．13．如果一个自然数N（N＞1）满足：N的因数个数就是其个位数字，那么这样的N就称为“中环数”（比如34=2×17，所以它有4个因数，正好就是34的个位数字，所以34就是一个”中环数”）．在2～84中，一共有个“中环数”．14．在所有正整数中，因数的和不超过30的共有个．15．一个五位数是2014 的倍数，并且恰好有16个因数，则的最小值是．16．整数n一共有10个因数，这些因数从小到大排列，第8个是．那么整数n的最大值是．17．一个数恰好有8个因数，已知35和77是其中两个，则这个数是．18．在1～600中，恰好有3个约数的数有个．19．已知a、b是两个不同的正整数，并且a、b的约数个数与2013的约数个数相同，则两数之差（大减小）的最小值为．20．用表示a的不同约数的个数．如4的不同约数有1，2，4共3个，所以=3，那么（﹣）÷=．21．一个自然数恰有9个互不相同的约数，其中3个约数A，B，C满足：①A+B+C=79②A×A=B×C那么，这个自然数是．22．有一个自然数A，它的平方有9个约数，老师9个约数写在9张卡片上，发给学学三张、思思三张．学学说：“我手中的三个数乘积是A3．”思思说：“我手中的三个数乘积就是A2，而且我知道你手中的三个数和是625．”那么，思思手中的三个数和是．23．一个四位数，他最小的8个约数的和是43，那么这个四位回文数是．（回文数例如：1111、4334、3210123）24．一个正整数恰有8个约数，它的最小的3个约数的和为15，且这个四位数的一个质因数减去另一个质因数的5倍等于第三个质因数的2倍，这个数是．25．定义：A□B为A和B乘积的约数个数，那么，1□8+2□7+3□6+4□5=．26．已知自然数N的个位数字是0，且有8个约数，则N最小是．27．一个合数至少有3个约数．．（判断对错）28．把72的所有约数从小到大排列，第4个是．29．把360的所有约数从小到大排列，第4个数是4，那么倒数第4个数是．30．已知360=2×2×2×3×3×5，那么360的约数共有个．31．一个正整数，它的2倍的约数恰好比它自己的约数多2个，它的3倍的约数恰好比它自己的约数多3个．那么，这个正整数是．32．已知300=2×2×3×5×5，则300一共有不同的约数．33．A、B两数都只含有质因数3和4，它们的最大公约数是36．已知A有12个约数，B有9个约数，那么A+B=．34．能被2345整除且恰有2345个约数的数有个．35．分母是3553的最简真分数的和是．36．若用G（a）表示自然数a的约数的个数，如：自然数6的约数有1、2、3、6，共4个，记作G（6）=4，则G（36）+G（42）=．37．聰聰先求出自然數N的所有約數，再將這些約數兩兩求和，結果發現，最小的和是3，最大的和是2010，那麼這個自然數N是．38．自然数N有20个正约数，N的最小值为．39．一个自然数恰好有18个约数，那么它最多有个约数的个位是3．40．数22×33×55有个不同的约数．41．设数A共有9个不同约数，B共有6个不同约数，C共有8个不同约数，这三个数中的任何两个都互不整除，则三个数之积的最小值是．三．解答题（共9小题）42．已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10，这些自然数共有多少个？43．A、B、C、D是一个等差数列，并且A有2个约数、B有3个约数、C有4个约数、D有5个约数．那么，这四个数和的最小值是．44．如果一个数的奇约数个数有2m个（m为自然数），则我们称这样的数为“中环数”，比如3的奇约数有1，3，一共2=21，所以3是一个“中环数”．再比如21的奇约数有1，3，7，21，4=22，所以21 也是一个中环数．我们希望能找到n个连续的中环数．求n的最大值．45．如果一个自然数的约数的个数是奇数，我们称这个自然数为“希望数”，那么，1000以内最大的“希望数”是．46．求100至160之间有8个约数的数．47．2008的约数有个．48．100以内共有8个约数的数共有多少个？它们各是多少？49．已知三位数240有d个不同的约数（因子），求d的值．50．求360所有约数的和．参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．恰有20个因数的最小自然数是（）A．120B．240C．360D．432【分析】首先把20拆成几个数的乘积，利用求约数个数的方法，从最小的质因数2考虑，依次增大，找出问题的答案即可．【解答】解：20=20=2×10=4×5=2×2×5；四种情况下的最小自然数分别为：219、29×3、24×33、24×3×5，其中最小的是最后一个24×3×5=240．故选：B．【点评】此题巧用求一个数约数的方法，从最小的质因数着手，分析不同的情形，得出结论．二．填空题（共40小题）2．写出不大于100且恰有8个约数的所有自然数是24、30、40、42、54、56、66、70、78、88．【分析】恰有8个约数的自然数，具有形式abc或ab3或a7（a、b、c是不同的质数），由此可得结论．【解答】解：根据题意可得：2×3×5=30，2×3×7=42，2×3×11=66，2×3×13=78，2×5×7=70；3×23=24，5×23=40，7×23=56，11×23=88，2×33=54；27=128＞100．所以，所求的数从小到大依次是：24、30、40、42、54、56、66、70、78、88共十个．故答案为：24、30、40、42、54、56、66、70、78、88．【点评】本题考查约数个数问题，考查学生分析解决问题的能力，确定恰有8个约数的自然数，具有形式abc或ab3或a7（a、b、c是不同的质数）是关键．3．已知自然数n有10个约数，2n有20个约数，3n有15个约数，那么6n有30个约数．【分析】n有10个约数，而2n有20个约数，按约数和定理，得知n的分解式中不含有2，3n有15个约数，假设3n的分解式中不含有3，则3n的约数应该是（1+1）×10=20个，则n的分解式中含有一个3，6n分成2×3×n，再根据约数和定理，可以求得约数的个数．【解答】解：根据分析，n有10个约数，2n有20个约数，按约数和定理，又∵，∴n的质因数分解式中含有0个2；设n=3a m x，又∵，∴n的质因数分解式中含有一个3，根据约数和定理，得n的约数和为：（a+1）（x+1）=10，解得：a=1，x=4，此时n=3×m4；故6n=2×3×n=2×3×3×m4=2×32×m4，其约数和为：（1+1）×（2+1）（4+1）=2×3×5=30，故答案是：30．【点评】本题考查了约数个数与约数和定理，本题突破点是：根据约数和定理确定分解式中2和3的个数，再算约数的个数．4．一个自然数恰有48个约数，并且其中有10个连续的自然数，那么这个数的最小值是2520．【分析】因为这个数中的因数中有10个连续的自然数，那么这个数最小是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的最小公倍数，然后再验证这个最小公倍数是不是有48个约数．如果验证不到，再求2、3、4、5、6、7、8、9、10、11的最小公倍数，就这样去尝试．【解答】解：因为10=2×5，9=3×3，8=4×2，所以这10个数的最小公倍数，也就是7、8、9、10的最小公倍数．7、8的最小公倍数是56，9、10的最小公倍数是90，56和90的最小公倍数是2520．将2520分解质因数得23×32×5×7，所以它的因数个数是（3+1）×（2+1）×（1+1）×（1+1）=48个故此题填2520．【点评】此题考查是求公倍数的方法，以及如何去求约数的个数，采用的是假设验证的解题策略．5．自然数N有很多个约数，把它的这些约数两两求和得到一组新数，其中最小的为4，最大的为2684，N有8个约数．【分析】最小的数为4，则约数最小的数为1，另外一个第二小的约数为4﹣1=3，即：3是N的一个约数，最大的约数是本身，第二大的约数和第二小的约数相乘结果即为本身，所以第二大的约数为：，再根据最大的两约数和为2684，可以求出N的值，用约数和定理求出约数的个数．【解答】解：根据分析，约数最小的数为1，最小的两个约数和为4，则第二小的约数为：4﹣1=3，约数是成对出现的，N=1×N=3×，即是第二大的约数，由于最大的两约数和为2684，则有：，解得：N=2013，分解质因数2013=3×11×61，根据约数和定理，得：2013的约数个数为：（1+1）×（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个，故答案是：8．【点评】本题考查了约数和定理与因数倍数知识，突破点是：根据约数和第二大和第二小约数，再求出N，再算其约数的个数．6．四位数的所有因数中，有3个是质数，其它39个不是质数．那么，四位数有12个因数．【分析】首先判断文字中含有隐含的数字，奇偶位数和相等是11的倍数，在分析因数的个数，同时注意题中说的是3个质数．42需要分解成3个数字相乘有唯一情况．再枚举即可．【解答】解：首先根据奇偶位数和相等一定是11的倍数．因数一共的个数是3+39=42（个），将42分解成3个数字相乘42=2×3×7．=a×b2×c6．如果是11×52×26=17600（不是四位数不满足条件）．再看一下如果这个数字最小是=11×32×26=6336．=3663=11×37×32．因数的个数共2×2×3=12（个）．故答案为：12个．【点评】本题考查因数个数的求解同时考查质数与合数的理解和运用，题中隐含数字11就是本题的突破口，同时关键分析42分解成2×3×7的情况．实际就是特殊的情况，都是最小的质数．问题解决．7．四位数的约数中，恰有3个是质数，39个不是质数，四位数的值是6336．【分析】根据因数个数是42个同时需要有3个质数，42分解成3个数字相乘就有唯一情况．同时这四位数中奇数偶数位数和相等．满足11整除特性．接下来从最小的情况枚举尝试即可．【解答】解：根据奇数偶数位数和相等，所以一定是11的倍数，因数个数是3+39=42个．四位数含有3个质数，需要将42分解成3个数字相乘．42=2×3×7．所以可以写成a×b2×c6．那么看一下质数是最小的是什么情况．11×32×26=6336．当质数再打一点b=5时，c=2时，11×52×26=17600（不满足是四位数的条件）．故答案为：6336．【点评】本题考查因数个数的求法，同时对质数的理解和运用，突破口是42需要分解成3个数字相乘有唯一情况．同时数字是11的倍数．最后发现实际都是特殊情况唯一确定．问题解决．8．大于0的自然数，如果满足所有因数之和等于它自身的2倍，则这样的数称为完美数或完全数．比如，6的所有因数为1，2，3，6，1+2+3+6=12，6就是最小的完美数．是否有无限多个完美数的问题至今仍然是困扰人类的难题之一．研究完美数可以从计算自然数的所有因数之和开始，81的所有因数之和为121．【分析】先找出81的所有因数，再把81的所有因数相加即可．【解答】解：81的因数：1、3、9、27、81，81的所有因数之和为：1+3+9+27+81=121，故答案为：121．【点评】本题关键是找到81的所有因数．9．恰好有12个不同因数的最小的自然数为60．【分析】首先把12分成两个数的乘积或3个数的乘积，用因数减1当所求自然数的质因数个数，从最小的质数2开始考虑，使2的个数最多，算出乘积比较得出答案．【解答】解：12=1×12=2×6=3×4=2×2×3，有12个约数的自然数有：①2×2×…×2×2（11个2）=2048，②2×2×…×2（5个2）×3=96，③2×2×2×3×3=72，④2×2×3×5=60；从以上可以看出只有④的乘积最小；所以有12个约数的最小自然数是60．故答案为：60．【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a=pα×qβ×rγ（其中a 为合数，p、q、r是质数），则a的约数共有（α+1）（β+1）（γ+1）个约数．10．有10个不同因数的最小自然数为48．【分析】首先把10分成两个数的乘积或3个数的乘积，用因数减1当所求自然数的质因数个数，从最小的质数2开始考虑，使2的个数最多，算出乘积比较得出答案．【解答】解：因为10=2×5=1×10，210=1024，24×3=48，所以一个自然数有10个不同的约数，则这个自然数最小：24×3=48；故答案为：48．【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a=pα×qβ×rγ（其中a 为合数，p、q、r是质数），则a的约数共有（α+1）（β+1）（γ+1）个约数．11．两个正方形的面积之差为2016平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足上述条件的所有正方形共有12对．【分析】假设大正方形的边长为x，小正方形的为y，x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=2016，x+y与x﹣y奇偶性相同，乘积2016是偶数，所以必是偶数，据此分解质因数2016=25×32×7，然后解答即可．【解答】解：假设大正方形的边长为x，小正方形的为y，有题意可得：x2﹣y2=2016，因式分解：（x+y）（x﹣y）=2016，x+y与x﹣y奇偶性相同，乘积2016是偶数，所以必是偶数，2016=25×32×7，2016因数的个数：（1+5）×（2+1）×（1+1）=36（个），共有因数36÷2=18对因数，其中奇因数有：（2+1）×2=6对，所以偶数有：18﹣6=12对，即，满足上述条件的所有正方形共有12对．故答案为：12．【点评】本题考查了约数个数的定理和奇偶性问题，关键是得到2016的约数的个数，难点是去掉几个奇因数；本题还可以根据x+y与x﹣y都是偶数，它们的积至少含有4这个偶数，所以2016÷4=504，然后确定504的约数是24个，即12对即可．12．60的不同约数（1除外）的个数是11．【分析】先将60分解质因数，60=2×2×3×5，再写成标准式是22×3×5，再利用约数个数公式，约数个数=不同质因数指数加1然后再相乘，最后减去1，即得答案．【解答】60分解质因数60=2×2×3×5，再下称标准式是22×3×5，再利用约数个数公式，约数个数=不同质因数指数加1然后再相乘．60的不同约数（1除外）的个数是（2+1）×（1+1）×（1+1）﹣1=11个．答：答案是11个．【点评】约数个数公式的推导要用乘法原理，当然此题也可以用列举法求解．13．如果一个自然数N（N＞1）满足：N的因数个数就是其个位数字，那么这样的N就称为“中环数”（比如34=2×17，所以它有4个因数，正好就是34的个位数字，所以34就是一个”中环数”）．在2～84中，一共有6个“中环数”．【分析】由题意，对N的因数个数分类讨论，由此即可得出结论．【解答】解：由题意，N的因数个数是2，N就是2；N的因数个数是3，则N是完全平方数，由于末尾是3，不存在N满足题意；N的因数个数是4，由于末尾是4，则满足条件的数为14，34，74；N的因数个数是5，则N是完全平方数，由于末尾是5，不存在N满足题意；N的因数个数是6，则N是76满足题意；同理78满足题意，所以在2～84中，”中环数”是2，14，34，74，76，78，故答案为6．【点评】本题考查因数与倍数，考查新定义，解题的关键是对N的因数个数分类讨论．14．在所有正整数中，因数的和不超过30的共有19个．【分析】由于一个数的因数包括本身，则这个数一定不超过30，则依此可以一一检验得到符合题意的正整数的个数．【解答】解：根据分析，此正整数不超过30，故所有不超过30的质数均符合条件，有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共10个；其它非质数有：1、4、6、8、9、10、12、14、15共9个满足条件，故满足因数的和不超过30的正整数一共有：10+9=19个．故答案为：19．【点评】本题考查了约数的个数知识，突破点是：从质数开始排查，再检验其它非质数．15．一个五位数是2014 的倍数，并且恰好有16个因数，则的最小值是24168．【分析】2014的倍数是五位数的数最小从10070开始，再根据的约数个数，来确定这个五位数的最小值．【解答】解：根据分析，2014的倍数是五位数的数：①最小是10070=5×2014，末尾三位是：70=2×5×7，约数个数为：（1+1）（1+1）（1+1）=8个；②12084=6×2014，末三位是：84=22×3×7，约数个数为：（2+1）（1+1）（1+1）=12个；③14098=7×2014，末三位是：98=2×72，约数个数为：（1+1）（2+1）=6个；④16112=8×2014，末三位是：112=24×7，约数个数为：（4+1）（1+1）=10个；⑤18126=9×2014，末三位是：126=2×32×7，约数个数为：（1+1）（2+1）（1+1）=12个；⑥20140=10×2014，末三位是：140=22×5×7，约数个数为：（2+1）（1+1）（1+1）=12个；⑦22154=11×2014，末三位是：154=2×7×11，约数个数为：（1+1）（1+1）（1+1）=8个；⑧24168=12×2014，末三位是：168=23×3×7，约数个数为：（3+1）（1+1）（1+1）=16个；显然符合题意的只有：24168．故答案是：24168．【点评】本题考查了约数个数与约数和定理，突破点是：根据约数和定理一一检验，得到符合题意的数．16．整数n一共有10个因数，这些因数从小到大排列，第8个是．那么整数n的最大值是162．【分析】由于整数的因数都是成对出现，则这10个约数必然是1、、3、、、、、、、n，立即可以填出1、2、3、、、、、、、n，也就是说n必然含有质因数2和3，然后结合因数个数定理可求解．【解答】解：根据分析可知10个因数分别为1、2、3、、、、、、、n，根据因数个数定理10=1×（9+1）=（1+1）×（4+1），由于含质因数2和3，则n应为21×34或24×31，其中21×34=162更大．故答案为：162．【点评】解答本题关键是：能根据因数成对出现的特点结合因数个数和定理．17．一个数恰好有8个因数，已知35和77是其中两个，则这个数是385．【分析】先把35和77分解质因数，即35=5×7，77=7×11，则这个数至少数是：5×7×11，然后根据求一个数约数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数，即（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个，正好符合要求，然后解答可得出答案．【解答】解：35=5×7，77=7×11，则这个数至少数是：5×7×11=385，共有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8（个）因数，正好符合要求．答：这个数是385．故答案为：385．【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a=pα×qβ×rγ（其中a 为合数，p、q、r是质数），则a的约数共有（α+1）（β+1）（γ+1）个约数．18．在1～600中，恰好有3个约数的数有9个．【分析】如果一个数恰好有3个约数，则这个数分解质因数的形式为P2（P为质数），然后确定在1～600中，完全平方数的个数即可．【解答】解：如果一个数恰好有3个约数，则这个数分解质因数的形式为P2（P 为质数），因为，242=576，252=625，所以，P是不大于24的质数，即2、3、5、7、11、13、17、19、23，共有9个；答：在1～600中，恰好有3个约数的数有9个．故答案为：9．【点评】本题考查了约数个数与约数和定理的灵活逆用；关键是明确：当一个数的因数的个数是奇数个数时，这个数是完全平方数．19．已知a、b是两个不同的正整数，并且a、b的约数个数与2013的约数个数相同，则两数之差（大减小）的最小值为1．【分析】显然先分解质因数2013，可以求得其约数的个数为（1+1）×（1+1）×（1+1）=8，而8=2×2×2=2×4，故而可以确定a和b的分解质因数的形式，再一一检验找出差值最小的数．【解答】解：根据分析，分解质因数2013=3×11×61，有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个约数，而一个数有8个余数，那么这个数分解质因数一定可以写成m3×n或m×n×w （m、n、w为互不相同的质数），故约数个数为8的数有多个，现举例说明两数之差最小的几组：①104=23×13与105=3×5×7均有8个约数（这是最小的满足差是1的一组）；②189=33×7与190=2×5×19均有8个约数；③23×37=296与297=33×11均有8个约数；④2013=3×11×61，2014=2×19×53均有8个约数．综上，a、b 两数之差（大减小）的最小值为1．故答案是：1．【点评】本题考查了约数个数与约数和定理，本题突破点是：先分解质因数，求出约数的个数，再算出a，b最小的差．20．用表示a的不同约数的个数．如4的不同约数有1，2，4共3个，所以=3，那么（﹣）÷=1．【分析】由题意，12的约数个数是6个，6的约数个数是4个，5的约数个数是2个，即可得出结论．【解答】解：由题意，12的约数个数是6个，6的约数个数是4个，5的约数个数是2个，所以（﹣）÷=（6﹣4）÷2=1，故答案为1．【点评】本题考查因数与倍数，考查学生的计算能力，正确理解题意是关键．21．一个自然数恰有9个互不相同的约数，其中3个约数A，B，C满足：①A+B+C=79②A×A=B×C那么，这个自然数是441．【分析】一个自然数N恰有9个互不相同的约数，则可得N=x2y2，或者N=x8，利用其中3个约数A，B，C满足：①A+B+C=79；②A×A=B×C，进行验证即可得出结论．【解答】解：一个自然数N恰有9个互不相同的约数，则可得N=x2y2，或者N=x8，（1）当N=x8，则九个约数分别是：1，x，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，其中有3个约数A、B、C且满足A×A=B×C，不可能．（2）当N=x2y2，则九个约数分别是：1，x，y，x2，xy，y2，x2y，xy2，x2y2，其中有3个约数A、B、C且满足A×A=B×C，①A=x，B=1，C=x2，则x+1+x2=79，无解．②A=xy，B=1，C=x2y2，则xy+1+x2y2=79，无解．③A=xy，B=x，C=xy2，则xy+x+xy2=79，无解．④A=xy，B=x2，C=y2，则xy+x2+y2=79，解得：，则N=32×72=441．⑤A=x2y，B=x2y2，C=x2，则x2y+x2y2+x2=79，无解．故答案为441．【点评】本题考查约数个数和约数和定理，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是一个自然数N恰有9个互不相同的约数，则可得N=x2y2，或者N=x8．22．有一个自然数A，它的平方有9个约数，老师9个约数写在9张卡片上，发给学学三张、思思三张．学学说：“我手中的三个数乘积是A3．”思思说：“我手中的三个数乘积就是A2，而且我知道你手中的三个数和是625．”那么，思思手中的三个数和是55．【分析】A2有9个约数，故由约数个数定理可逆推出：A的质因数分解形式为p4或pq（p、q为不相同的质数），分类讨论，即可得出结论．【解答】解：A2有9个约数，故由约数个数定理可逆推出：A的质因数分解形式为p4或pq（p、q为不相同的质数）；若A=p4，那么可把A2的9 个约数写成如下的表格形式（幻方）：学学手中必拿到了一行或一列或一条对角线；思思手中拿到的可能是（1、p、p7）（1、p2、p6）（1、p3、p5）（p、p2、p5）（p、p3、p4）；只有后两组才能确定学学手中的牌，但后两组所确定的数需要1+p4+p8=625或1+p5+p7=625，可是这两种情况p均无解；故知A的质因数分解形式不能为p4，只能为pq；若A=pq，那么可把A2的9 个约数写成如下的表格形式思思手中拿到的可能是（1、p、pq2）（1、q、p2q）（1、p2、q2）（p、q、pq）；经分析可知，只有当思思拿到（p、q、pq）时，才一定能确定学学手中的牌，此时学学手中的牌为（1、p2q、pq2），故1+p2q+pq2=625，解得A的两个质因数p、q为3和13，故思思手中的牌为（3、13、39），所求答案为3+13+39=55．故答案为55．【点评】本题考查约数和定理，考查幻方的运用，考查分类讨论的数学思想，正确运用约数个数定理是关键．23．一个四位数，他最小的8个约数的和是43，那么这个四位回文数是2772．（回文数例如：1111、4334、3210123）【分析】最小的八个约数的和为43，约数首先为自然数，首先该有1和2（如果没2的话，就不会有偶约数，最小的8个奇数的和大于43），不该有5（有5的话首末位都为0）和10，而1+2+3+4+6+7+8+9=40不够43，而回文数必然是11的倍数，所以11也是这8个约数之一，把11考虑进去，就只有下面一种情形了：1+2+3+4+6+7+9+11=43，然后求出这8个数的最小公倍数即可；由此解答．【解答】解：由分析可知：约数首先为自然数，首先该有1和2，不该有5和10，而1+2+3+4+6+7+8+9=40不够43，而回文数必然是11的倍数，所以11也是这8个约数之一，把11考虑进去，则有：1+2+3+4+6+7+9+11=43，以上数的最小公倍数为：4×7×9×11=2772，正好满足要求；答：这个四位回文数是2772；故答案为：2772．【点评】明确回文数的含义：从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”；然后根据题意，进行推导，求出这8个约数，是解答此题的关键．24．一个正整数恰有8个约数，它的最小的3个约数的和为15，且这个四位数的一个质因数减去另一个质因数的5倍等于第三个质因数的2倍，这个数是1221或2013．【分析】它的最小的3个约数的和为15，1肯定是其中一个约数，另两个最小的约数之和是14，然后通过列举，推出它的最小的3个约数只能是：1，3，11；它是4位数，所以，3和它本身肯定也是它的约数，所以已经有5个约数了，其中有两个质因数3，11，另外它至少有3个质因数，设第3个质因数为x．那么它的约数有：1，3，11，33，x，3×x，11×x，这个数本身，刚好8个，所以有x﹣5×3=2×11或者x﹣5×11=2×3，由此可以得出x=37或61；由此即可得出结论．【解答】解：它的最小的3个约数的和为15，1肯定是其中一个约数，另两个最小的约数之和是14，可能是：7、7（不符），6、8（如果是这两个，那2也是，不符），5、9（如果是这两个，那3也是，不符），4、10（如果是这两个，那2也是，不符），3、11（符合），所以可以推出它的最小的3个约数只能是：1，3，11；它是4位数，所以，33和它本身肯定也是它的约数，所以已经有5个约数了，其中有两个质因数3，11，另外它至少有3个质因数，设第3个质因数为x．那么它的约数有：1，3，11，33，x，3×x，11×x，这个数本身，刚好8个，所以有x﹣5×3=2×11或者x﹣5×11=2×3，由此可以得出x=37或61；所以它的约数有：1，3，11，33（3×11），37，111（3×37），407（11×37），1221（3×11×37）或1，3，11，33（3×11），61，183（3×61），671（11×61），2013（3×11×61）所以答案应该是1221或2013；故答案为：1221或2013．【点评】此题考查了约数个数和约数和定理，根据题意，进行推导，得出它的最小的3个约数是：1，3，11，是解答此题的关键．25．定义：A□B为A和B乘积的约数个数，那么，1□8+2□7+3□6+4□5=20．【分析】依次算出各部分约数的个数，然后相加即可．【解答】解：1×8的因数有4个2×7的因数有4个3×6的因数有6个4×5的因数有6个所以1□8+2□7+3□6+4□5=4+4+6+6=20故填20【点评】此题的关键是看懂A□B的意思，然后确定运算顺序．26．已知自然数N的个位数字是0，且有8个约数，则N最小是30．【分析】根据能被2、5整除的数的特征；自然数N的个位数字是0，它一定有质因数5和2，要使N最小，5的个数应最少，而其它质因数最好都是2和3，并且2的个数不能超过2个；据此解答．【解答】解：自然数N的个位数字是0，它一定有质因数5和2，要使N最小，5的个数应最少为1个，而求其它因数最好都是2和3，并且2的个数不能超过2个，其它最好都是3；设这个自然数N=21×51×3a，根据约数和定理，可得：（a+1）×（1+1）×（1+1）=8，（a+1）×2×2=8，a=1；所以，N最小是：2×3×5=30；答：N最小是30．故答案为：30．【点评】本题关键是根据能被2、5整除的数的特征确定自然数N的质因数；难点是根据约数和定理得出质因数5、3和2的个数．27．一个合数至少有3个约数．√．（判断对错）【分析】根据合数的意义，一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数．由此解答．【解答】解：根据合数的意义，一个合数至少有3个约数；所以这种说法是对的．。

奥林匹克训练题库·约数与最大公约数

约数与最大公约数13712345678987654321的除本身之外的最大约数是多少？138将一个两位数的十位数字减去或加上它的个位数字，所得到的两个数都是78的大于1的约数。

求这个两位数。

139有一个自然数，它的最小的两个约数之和是4，最大的两个约数之和是100，求这个自然数。

140有一个自然数，它的最大的两个约数之和是123，求这个自然数。

141求只有 8个约数但不大于30的所有自然数。

142给出一个自然数n，n的所有约数的个数用T(n)表示。

(1)求T(42)；(2)求满足 T(n)=8的最小自然数n；(3)如果T(n)=2，那么n是怎样的数？143在1～100中，所有的只有3个约数的自然数的和是多少？144如果自然数a和b各自恰好都有5个不同的约数，那么a×b能否恰好有10个不同的约数？145☆少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。

这200个灯泡按1～200编号，它们的亮暗规则是：第一秒，全部灯泡变亮；第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮；一般地，第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。

这样继续下去，每4分钟一个周期。

问：第200秒时，明亮的灯泡有多少个？146100以内约数个数最多的自然数有五个，它们分别是几？147一个学生做两个两位数乘法时，把其中的一个乘数的个位数字9误看成7，得出的乘积是756。

问：正确的乘积是多少？148给出一个自然数n，n的所有约数的和用S(n)表示，求S(24)和S(36)。

149☆对于任意的大于2的自然数n，所有小于n且与n互质的自然数的个数是奇数还是偶数，还是不能肯定？150一个数如果等于除它本身以外的所有约数之和，则称此数为完全数。

已知30以内有两个完全数，请将它们找出来。

151某商店把几十个单价原为 0.2元的转笔刀降价后全部售出，共卖得2.53元。

五年级上册奥数最大公约数和最小公倍数 (例题含答案)

五年级上册奥数最大公约数和最小公倍数(例题含答案)第三讲：最大公约数和最小公倍数一、基本概念和知识1.公约数和最大公约数几个数公有的约数，称为这几个数的公约数；其中最大的一个，称为这几个数的最大公约数。

例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18.12和18的公约数有1、2、3、6，其中6是12和18的最大公约数，记作（12，18）=6.2.公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，称为这几个数的公倍数；其中最小的一个，称为这几个数的最小公倍数。

例如：12的倍数有12、24、36、48、60、72、84……；18的倍数有18、36、54、72、90……。

12和18的公倍数有36、72……，其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36.3.互质数如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数称为互质数。

二、例题例1：用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？分析：要求的数去除30、60、75都能整除，因此要求的数是30、60、75的公约数。

又因为要求符合条件的最大的数，因此就是求30、60、75的最大公约数。

解：（30，60，75）=5×3=15，这个数最大是15.例2：一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？分析：由题意可知，要求的数是3、4、5的公倍数，且是最小的公倍数。

解：［3，4，5］=3×4×5=60，用3、4、5除都能整除的最小的数是60.例3：有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米。

现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？分析：要截成相等的小段，且无剩余，因此每段长度必是120、180和300的公约数。

又因为每段要尽可能长，因此要求的每段长度就是120、180和300的最大公约数。

解：（120，180，300）=30×2=60，每小段最长60厘米。

奥数最大公约数与最小公倍数例题、练习及答案

最大公约数与最小公倍数（一）教授教养目的：1．经由过程学生对运用题的前提与问题的周全剖析,造就学生发明问题息争决问题的意识.2．经由过程比较与辨析,使学生进一步懂得和控制“最大公约数和最小公倍数”运用题的解题纪律.3．造就学生的合作交换意识和创新意识,成长学生的空间不雅念与想像力.教授教养进程：一.根本概念常识①假如一个天然数a 能被天然数b 整除,那么称a 为b 的倍数,b 为a 的约数.②假如一个天然数同时是若干个天然数的约数,那么称这个天然数是这若干个天然数的公约数.在所有公约数中最大的一个公约数,称为这若干个天然数的最大公约数.例如：12的约数有：1,2,3,4,6,12;18的约数有：1,2,3,6,9,18.天然数n a a a ,,,21 的最大公约数通经常运用符号（n a a a ,,,21 ）暗示,例如,12和18的公约数有：1,2,3,6.个中6是12和18的最大公约数,记作(12,18)=6.（8,12）=4,（6,9,15）=3.③假如一个天然数同时是若干个天然数的倍数,那么称这个天然数是这若干个天然数的公倍数.在所有公倍数中最小的一个公倍数,称为这若干个天然数的最小公倍数.例如：12的倍数有：12,24,36,48,60,72,84,…18的倍数有：18,36,54,72,90,…天然数n a a a ,,,21 的最小公倍数通经常运用符号[n a a a ,,,21 ]暗示,例如12和18的公倍数有：36,72,….个中36是12和18的最小公倍数,记作[12,18]=36.[8,12]=24,[6,9,15]=90.假如两个数的最大公约数是1,那么这两个数叫做互质数.经常运用的求最大公约数和最小公倍数的办法是分化质因数法和短除法.用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的差别：求n 个数的最大公约数：（1）必须每次都用n 个数的公约数去除;（2）一向除到n 个数的商互质（但不必定两两互质）;（3） n 个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积.求n 个数的最小公倍数：（1）必须先用（假如有）n 个数的公约数去除,除到n 个数没有除去1以外的公约数后,在用1n -个数的公约数去除,除到1n -个数没有除1以外的公约数后,再用2n -个数的公约数去除,如斯持续下去,为包管这一条,每次所用的除数均可选质数;（2）只要有两个数（被除数）能被统一数整除,就要持续除,必定要除到n 个数的商两两互质为止;（3） n 个数的最小公倍数即为短除式中,所有除数和最后两两互质的商的乘积.例1 用60元钱可以买一级茶叶144克,或买二级茶叶180克,或买三级茶叶240克.现将这三种茶叶分离按整克数装袋,请求每袋的价钱都相等,那么每袋的价钱最低是若干元钱？剖析与解：因为144克一级茶叶.180克二级茶叶.240克三级茶叶都是60元,分装后每袋的价钱相等,所以144克一级茶叶.180克二级茶叶.240克三级茶叶,分装的袋数应雷同,即分装的袋数应是144,180,240的公约数.标题请求每袋的价钱尽量低,所以分装的袋数应尽量多,应是 144,180,240的最大公约数.是144,180,240的最大公约数.所以（144,180,240）=2×2×3=12,即每60元的茶叶分装成12袋,每袋的价钱最低是60÷12=5（元）.例2 用天然数a 去除498,450,414,得到雷同的余数,a 最大是若干？剖析与解：因为498,450,414除以a 所得的余数雷同,所以它们两两之差的公约数应能被a 整除.498-450=48,450-414=36,498-414=84.所求数是（48,36,84）=12.例3 现有三个天然数,它们的和是1111,如许的三个天然数的公约数中,最大的可所以若干？剖析与解：只知道三个天然数的和,不知道三个天然数具体是几,似乎无法求最大公约数.只能从独一的前提“它们的和是1111”入手剖析.三个数的和是1111,它们的公约数必定是1111的约数.因为1111=101×11,它的约数只能是1,11,101和1111,因为三个天然数的和是1111,所以三个天然数都小于1111,1111不成能是三个天然数的公约数,而101是可能的,比方取三个数为101,101和909.所以所求数是101.例4 在一个30×24的方格纸上画一条对角线（见下页上图）,这条对角线除两个端点外,共经由若干个格点（横线与竖线的交叉点）？剖析与解：（30,24）=6,解释假如将方格纸横.竖都分成6份,即分成6×6个雷同的矩形,那么每个矩形是由（30÷6）×（24÷6）=5×4（个）小方格构成.在6×6的简化图中,对角线也是它所经由的每一个矩形的对角线,所以经由5个格点（见左下图）.在对角线所经由的每一个矩形的5×4个小方格中,对角线不经由任何格点（见右下图）.所以,对角线共经由格点（30,24）-1=5（个）.例5 甲.乙.丙三人绕操场赛跑,他们走一圈分离须要1分.1分15秒和1分30秒.三人同时从起点动身,起码需多长时光才干再次在起点相会？剖析与解：甲.乙.丙走一圈分离需60秒.75秒和90秒,因为要在起点相会,即三人都要走整圈数,所以须要的时光应是60,75,90的公倍数.所求时光为[60,75,90]=900（秒）=15（分）.例6 爷爷对小明说：“我如今的年纪是你的7倍,过几年是你的6倍,再过若干年就分离是你的5倍.4倍.3倍.2倍.”你知道爷爷和小明如今的年纪吗？剖析与解：爷爷和小明的年纪跟着时光的推移都在变更,但他们的年纪差是保持不变的.爷爷的年纪如今是小明的7倍,解释他们的年纪差是6的倍数;同理,他们的年纪差也是5,4,3,2,1的倍数.由此推知,他们的年纪差是6,5,4,3,2的公倍数.[6,5,4,3,2]=60,爷爷和小明的年纪差是60的整数倍.斟酌到年纪的现实情形,爷爷与小明的年纪差应是60岁.所以如今小明的年纪=60÷（7-1）=10（岁）,爷爷的年纪=10×7=70（岁）.二.随堂演习最大公约数与最小公倍数（二）摘要：这一讲重要讲最大公约数与最小公倍数的关系,并对最大公约数与最小公倍数的概念加以推广.在求18与12的最大公约数与最小公倍数时,由短除法可知,（18,12）=2×3=6,[18,12]=2×3×3×2=36.假如把18与12的最大公约数与最小公倍数相乘,那么（18,12）×[18,12]=（2×3）×（2×3×3×2）=（2×3×3）×（2×3×2）=18×12.也就是说,18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积,等于18与12的乘积.当把18,12换成其它天然数时,依旧有相似的结论.从而得出一个重要结论：两个天然数的最大公约数与最小公倍数的乘积,等于这两个天然数的乘积.即,（a,b）×[a,b]=a×b.例1两个天然数的最大公约数是6,最小公倍数是72.已知个中一个天然数是18,求另一个天然数.解：由上面的结论,另一个天然数是（6×72）÷18=24.例2 两个天然数的最大公约数是7,最小公倍数是210.这两个天然数的和是77,求这两个天然数.剖析与解：假如将两个天然数都除以7,则原题变成：“两个天然数的最大公约数是1,最小公倍数是30.这两个天然数的和是11,求这两个天然数.”转变今后的两个数的乘积是1×30=30,和是11.30=1×30=2×15=3×10=5×6,由上式知,两个因数的和是11的只有5×6,且5与6互质.是以转变后的两个数是5和6,故本来的两个天然数是7×5=35和7×6=42.例3 已知a与b,a与c的最大公约数分离是12和15,a,b,c的最小公倍数是120,求a,b,c.剖析与解：因为12,15都是a的约数,所以a应该是12与15的公倍数,等于[12,15]=60的倍数.再由[a,b,c]=120知, a只能是60或120.[a,c]=15,解释c没有质因数2,又因为[a,b,c]=120=23×3×5,所以c=15.因为a是c的倍数,所以求a,b的问题可以简化为：“a是60或120,（a,b）=12,[a,b]=120,求a,b.”当a=60时, b=（a,b）×[a,b]÷a=12×120÷60=24;当a=120时,b=（a,b）×[a,b]÷a=12×120÷120=12.所以a,b,c 为60,24,15或120,12,15.要将它们全体分离装入小瓶中,每个小瓶装入液体的重量雷同.问：每瓶最多装若干千克？剖析与解：假如三种溶液的重量都是整数,那么每瓶装的重量就是三种溶液重量的最大公约数.如今的问题是三种溶液的重量不是整数.要解决这个问题,可以将重量分离乘以某个数,将分数化为整数,求出数值后,再除以这个数. 为此,先求几个分母的最小公倍数,[6,4,9]=36,三种溶液的重量都乘以36后,变成150,135和80,（150,135,80）=5. 上式解释,若三种溶液分离重150,135,80千克,则每瓶最多装5千克.可现实重量是150,135,80的1/36,所以每瓶最多装在例4中,消失了与整数的最大公约数相似的分数问题.为此,我们将最大公约数的概念推广到分数中.假如若干个分数（含整数）都是某个分数的整数倍,那么称这个分数是这若干个分数的公约数.在所有公约数中最大的一个公约数,称为这若干个分数的最大公约数. 由例4的解答,得到求一组分数的最大公约数的办法：（1）先将各个分数化为假分数;（2）求出各个分数的分母的最小公倍数a;（3）求出各个分数的分子的最大公约数b;（4）a b 即为所求.例5 求655,852,926的最大公约数.相似地,我们也可以将最小公倍数的概念推广到分数中.假如某个分数（或整数）同时是若干个分数（含整数）的整数倍,那么称这个分数是这若干个分数的公倍数.在所有公倍数中最小的一个公倍数,称为这若干个分数的最小公倍数.求一组分数的最小公倍数的办法：（1）先将各个分数化为假分数;（2）求出各个分数的分子的最小公倍数a;（3）求出各个分数的分母的最大公约数b;一个陷井.它们之中谁先失落进陷井？它失落进陷井时另一个跳了多远？同理,黄鼠狼失落进陷井时与起点的距离为所以黄鼠狼失落进陷井时跳了31 1/2÷6 3/10=5（次）.黄鼠狼先失落进陷井,它失落进陷井时,狐狸跳了专题演习1.将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的情势.2.两个天然数的最大公约数是12,最小公倍数是72.知足前提的天然数有哪几组？3.求下列各组分数的最大公约数：4.求下列各组分数的最小公倍数：部分离装入小瓶中,每个小瓶装入液体的重量雷同.问：起码要装若干瓶？于统一处只有一次,求圆形绿地的周长.随堂演习解答专题演习解答1.72×120=（7,120）×［72,120］=24×360.2.12,72与24,36两组.提醒：72÷12=6=1×6=2×3,所以有两组：①12×1=12,12×6=72; ②12×2=24,12×3=36.5.等于.6.151瓶.7.120米.。

奥数最大公约数与最小公倍数例题、练习及答案

最大公约数与最小公倍数（一）教学目标：1．通过学生对应用题的条件与问题的全面分析，培养学生发现问题和解决问题的意识。

2．通过比较与辨析，使学生进一步理解和掌握“最大公约数和最小公倍数”应用题的解题规律。

3．培养学生的合作交流意识和创新意识，发展学生的空间观念与想像力。

教学过程：一、基本概念知识1.公约数和最大公约数①如果一个自然数a 能被自然数b 整除，那么称a 为b 的倍数，b 为a 的约数。

②如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。

在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。

例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12; 18的约数有：1，2，3，6，9，18。

自然数n a a a ,,,21 的最大公约数通常用符号（n a a a ,,,21 ）表示，例如，12和18的公约数有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，记作(12，18)=6。

（8，12）=4，（6，9，15）=3。

2.公倍数和最小公倍数③如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。

在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。

例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，… 18的倍数有：18，36，54，72，90，… 自然数na a a ,,,21 的最小公倍数通常用符号[na a a ,,,21 ]表示，例如12和18的公倍数有：36，72，….其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。

[8，12]=24，[6，9，15]=90。

3.互质数如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。

常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。

用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的区别：求n 个数的最大公约数：（1）必须每次都用n 个数的公约数去除；（2）一直除到n 个数的商互质（但不一定两两互质）；（3） n 个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。

五年级奥数第25周最大公约数

五年级奥数第２５周最大公约数专题简析：几个数公有的约数叫做这几个数的公约数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。

我们可以把自然数a、b的最公约数记作（a、b）,如果（a、b）=1,则a和b互质。

求几个数的最大公约数可以用分解质因数和短除法等方法。

例题1 一张长方形的纸,长7分米5厘米,宽6分米。

现在要把它裁成一块块正方形,而且正方形边长为整厘米数,有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大,可以裁多少块？分析7分米5厘米=75厘米,6分米=60厘米。

因为裁成的正方形的边长必须能同时整除75和60,所以边长是75和60的公约数。

75和60的公约数有1、3、5、15,所以有4种裁法。

如果要使正方形面积最大,那么边长也应该最大,应该取75和60的最大公约数15作为正方形的边长,所以可以裁（75÷15）×（60÷15）=20块。

练习一1,把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸,裁成同样大小的正方形,至少能裁多少块？2,一块长45厘米、宽30厘米的长方形木板,把它锯成若干块正方形而无剩余,所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？3,将一块长80米、宽60米的长方形土地划分成面积相等的小正方形,小正方形的面积最大是多少？例题2 一个长方体木块,长2.7米,宽1.8分米,高1.5分米。

要把它切成大小相等的正方体木块,不许有剩余,正方体的棱长最大是多少分米？分析 2.7米=270厘米,1.8分米=18厘米,1.5分米=15厘米。

要把长方体切成大小相等的正方体,不许有剩余,正方体的棱长应该是长、宽、高的公约数。

现要求正方体的棱长最大,所以棱长就是长、宽、高的最大公约数。

（270,18,15）=3,3厘米=0.3分米练习二1,一个长方体木块的长是4分米5厘米、宽3分米6厘米、高2分米4厘米。

要把它切成大小相等的正方体木块,不许有剩余,求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米？2,有50个梨,75个橘子和100个苹果,要把这些水果平均分给几个小组,并且每个小组分得的三种水果的个数也相同,最多可以分给几个小组？3,五年级三个班分别有24人、36人、42人参加体育活动,要把他们分成人数相等的小组,但各班同学不能打乱,最多每组多少人？每班各可以分几组？例题3 有三根钢管,它们的长度分别是240厘米、200厘米和480厘米,如果把它们截成同样长的小段,每小段最长可以是多少厘米？分析要把三根钢管截成同样长的小段,每小段的长度数应该是240、200和480的公约数,而每小段要取最长,也就是求240、200和480的最大公约数。

五年级下册数学专项训练奥数第四讲最大公约数和最小公倍数全国版含答案

第四讲最大条约数和最小公倍数本讲要点解决与最大条约数和最小公倍数相关的另一类问题——相关两个自然数.它们的最大条约数、最小公倍数之间的互相关系的问题。

定理1两个自然数分别除以它们的最大条约数，所得的商互质.即假如（a，b）=d，那么（a÷d，b÷d）＝1。

证明：设a÷d=a1，b÷d=b1，那么a＝a1d，b=b1d。

假定（a1，b1）≠1，可设（a1，b1）＝m（m＞1），于是有a1=a2m，b1＝b2m.（a2，b2是整数）所以a=a1d＝a2md，b＝b1d＝b2md。

那么md是a、b的条约数。

又∵m＞1，∵md＞d。

这就与d是a、b的最大条约数相矛盾.所以，（a1，b1）≠1的假定是不正确的.所以只好是（a1，b1）=1，也就是（a÷d，b÷d）＝1。

定理2两个数的最小公倍数与最大条约数的乘积等于这两个数的乘积.（证明略）定理3两个数的条约数必定是这两个数的最大条约数的约数.（证明略）下边我们就应用这些知识来解决一些详细的问题。

例1甲数是36，甲、乙两数的最大条约数是4，最小公倍数是288，求乙数.解法1：由甲数×乙数=甲、乙两数的最大条约数×两数的最小公倍数，可得36×乙数=4×288，乙数=4×288÷36，解出乙数=32。

答：乙数是32。

解法2：因为甲、乙两数的最大条约数为4，则甲数=4×9，设乙数=4×b1，且（b1，9）=1。

第1 页因为甲、乙两数的最小公倍数是288，则288＝4×9×b1，b1＝288÷36，解出b1＝8。

所以，乙数=4×8=32。

答：乙数是32。

例2已知两数的最大条约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？解：要求这两个数的和，我们可先求出这两个数各是多少.设这两个数为a、b，a＜b。