数学基础题训练

如果有什么事值得去做，就一定要把它做好.

基础题训练4

9月28日 星期一

1．已知b a ,为实数，则“1>>b a ”是“1

111-<-b a ”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”及“充要”等）．

2．已知方程

22

141

x y m m +=--（m 是常数）表示曲线C ,给出下列命题： ①曲线C 不可能为圆； ②曲线C 不可能为抛物线；

③若曲线C 为双曲线，则1m <或4m >； ④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则512

m <<

． 其中真命题的编号为 ．

3．已知点A 是定圆M 所在平面上的一定点，点P 是圆M 上的动点，若线段PA 的垂直平分线交直线PM 于点Q ，则点Q 的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．其中正确命题的序号是_________．（填上你认为所有正确命题的序号）

4．（本小题满分13分）已知A 、B 、C 分别为ABC △的三边a 、b 、c 所对的角，

ABC ∆的面积为S ，且S CB CA 23=⋅．

（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若6=

c ，求ABC ∆周长的最大值．

9月29日 星期二

5．若关于x 的一元二次方程030112

=++-a x x 的两根均大于5，则实数a 的取值范

围是 ．

6．设f （x ）是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f （2）>1，f （2014）＝1

3

2+-a a ，则实数a 的取值范围是________．

7．直线b x y +=与曲线29y x -=恰有一个公共点，则b 的取值范围是 ．

8．ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(1,1)m =-

，

3

(cos cos ,sin sin )2

n B C B C =- ，且m n ⊥ ．

（1）求A 的大小；

（2）现在给出下列三个条件：①1a =；②2(31)0c b -+=；③45B =

，试从中再

选择两个条件以确定ABC ∆，求出所确定的ABC ∆的面积．

9月30日 星期三

9．已知22

()1x f x x

=+，111

(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++= ． 10．已知函数

)(x f 满足),()(x f x f =-当,(,0]a b ∈-∞时总有

)(0)

()(b a b

a b f a f ≠>--，若)2()1(m f m f >+，则实数m 的取值范围是

_______________．

11．如果对任意一个三角形，只要它的三边都在函数的定义域内，就有

也是某个三角形的三边长，则称为①是“和美型函数”.现有下

列函数： ①

； ②； ③()2x

x ϕ=； ④.

其中是“和美型函数”的函数序号为 . （写出所有正确的序号） 12．（13分）设函数2()ln a f x x x

=+，32()3g x x x =--．

（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；

（Ⅱ）如果对于任意的121,,23x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

，都有112()()x f x g x ⋅≥成立，试求实数a 的取

值范围．

,,a b c ()f x (),(),()f a f b f c ()f x ()f x x =()sin ,(0,)

g x x x π=∈()ln ,[2,)h x x x =∈+∞

如果有什么事值得去做，就一定要把它做好.

10月1日（国庆节） 星期四

13．已知函数()y f x =是奇函数，当(0,2)x ∈时，1

()ln ()2

f x x ax a =->，当(2,0)

x ∈-时，()f x 的最小值为1，则a 的值为 ． 14．设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正实数k ，对于任意,x D ∈都有x k D +∈，且()()f x k f x +>恒成立，则称函数()f x 为D 上的“k 型增函数”，已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()2f x x a a =--，若()f x 为R 上的“2015型增函数”，则实数a 的取值范围是______．

15．如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点

O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记AOP ∠为([0,])x x π∈，OP 所经过

的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积()S f x =，那么对于函数()f x 有以下三个结论：

①

3()32f π=； ②任意[0,]2x π∈，都有()()4

22f x f x ππ

-++=；

③任意1x ，2(,)

2x π

π∈，且12x x ≠，都有1212()()

0f x f x x x -<-

其中所有正确结论的序号是 ．

16．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ,直线

42:-=x y l ,设圆C 的半径为1，圆心在l 上．

（Ⅰ）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （Ⅱ）若圆C 上存在点M ，使||2||MO MA =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．

x

y A l

O