高中数学第9讲(必修1)函数模型及其应用

①一次函数模型:f(x)= k +b(k、b为常数,k≠0);
x
② 反 比 例 函 数 模 型 ： f(x)=
k
+b(k 、 b 为 常
数,k≠0);
x
③二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c(a、b、c为常 数，a≠0)，二次函数模型是高中阶段应用最 为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为 常见的;
第9讲
函数模型及其应用
了解指数函数、对数函数、幂函 数、分段函数等函数模型的意义， 并能建立简单的数学模型，利用这 些知识解决应用问题.
1.拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费(单 位：元)由f(m)=1.06×(0.50×［m］+1)给出， 其中m>0,［m］是大于或等于m的最小整 数(如［4］=4,［2.7］=3,［3.8］=4).若从 甲地到乙地的一次通话时间为5.5分钟的电 话费为( ) C
A.由3.7题1元设知,f(5.5)=B1.30.69×7元(0.50×［5.5］+1)
=1,0C6.×4.(204.5元×6+1)=4.24D.故.4.选77C元.
2.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了 如下一组数据：
x 1.99 3
4 5.1 Байду номын сангаас.12
y
1.5 4.04 7.5 12 18.01
(2)一般的，当线绕点旋转时，常 以旋转角为变量.
(3)合理选择是画图象还是分离参 数解决不等式组成立问题.当图易于作 出时，常用图象解决；当易分离参数 且所得函数的最值易于求解时，可用 分离参数法.
题型二 已知函数模型求参数值
例2 如图,木桶1的水按一定规律流入木桶2
中，已知开始时木桶1中有a升水，木桶2是 空的，t分钟后木桶1中剩余的水符合指数衰 减曲线y1=ae-mt（其中m是常数，e是自然对 数的底数）.假设在经过5分钟时，木桶1和 木桶2的水恰 好相等,求：
（（12））经木过桶多2中少的分水钟y2，与木时桶间1t中的的函水数是关系a 升；?
8
(1)因为木桶2中的水是从木桶1中流出 的，而木桶1开始的水是a,又满足y1=ae-mt， 所以y2=a-ae-mt. (2)因为t=5时,y1=y2,所以ae-5m=a-ae-5m，
根当所解点据y以得1=题评经2e8a设过已-5m时条1知=51,件 分有函建钟数8am立木模==15方桶型ael程1求n的In522求参t.水所解数是以.t值=ya11，=5a(.关分e 键I钟n52t 是)..
A.2 B.4 C.5 D.6
当且平仅均当利x=润25xy,即=x=x52时1,等x2x号 2成5 立≤1,2故-1选0=C2.,
x
函数是描述客观世界变化规律的基本数 学模型，不同的变化规律需要用不同的函数 模型来描述.那么，面临一个实际问题，应当 如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？事实 上，要顺利地建立函数模型，首先要深刻理 解基本函数的图象和性质,熟练掌握基本函数 和常用函数的特点,并对一些重要的函数模型 必须要有清晰的认识.一般而言，有以下8种 函数模型：
现准备用下列四个函数中的一个近似地表
示这些数据的规律,其中最接近的一个是( B)
A.y=2x-2 C.y=log2x
1
B.y=2
(x2-1)
D.y=( 1 )x
2
将各组数据代入验证，选B.
3.某电信公司推出两种手机收费方式：A种 方式是月租20元，B种方式是月租0元.一 个月的本地网内打出电话时间（分钟） 与打出电话费s（元）的函数关系如图， 当打出电话150分钟时，这两种方式的电 话费相差（ A ）
1
(c-2r)r=(
c
-r)r(0<r<
c
),
22
2
2
当r=
c 4
时，
Smax=
c2 16
,
此时|α|= l = c 2r = 4r 2r=2.
r
r
r
所以当圆心角大小为2 rad时，扇形面积最
大，为 c2 .
16
(方法二)因为c=l+2r=αr+2r,所以r=
1
所以S= 2 αr2=α·( c2 = 2(a 4 2) ≤ a
A.10元 C.30元
B.20元 D. 40 元
3
两种话费相差为Δy， 根据几何关系可得Δy=Δy′, y =12,Δy′=10，
20
所以Δy=10.
4.某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车 投入客运，据市场分析，每辆客车营运的 总利润y万元与营运年数x (x∈N*)的关系 为y=-x2+12x-25，则为使其营运年平均利 润最大,每辆客车营运年数为（C）
④指数型函数模型：f(x)=kax+b(k、a、b为常 数，k≠0,a>0且a≠1);
⑤对数型函数模型：f(x)=mlogax+n(m、n、a 为常数,m≠0,a>0且a≠1);
⑥ 幂 函 数 型 模 型 ： f(x)=axn+b(a 、 b 、 n 为 常 数,a≠0,n≠0);
⑦这“勾种”函函数数模模型型应：用f(十x)分=x广+kx 泛(k,为因常其数图,象k>是0)一， 个“勾号”,故我们把它称之为“勾”函数 模型,
2.建立数学模型，确定解决方 法是解应用题的关键，因此解题时 要认真梳理题目中的数量关系，选 择适当的方法加以解决.
3.函数的应用问题通常是以下几种 类型：可行性问题、最优解问题(即最大 值或最小值问题，如费用最小，效益最 大等问题)、决策问题.解题时要灵活运用 函数的性质和数学方法.
4.应用题中的函数由于它具有实际 意义，因此函数中的变量除要求使函数 本身有意义外，还要符合其实际意义.
⑧分段函数模型：这个模型实则是以上两种 或多种模型的综合，因此应用也十分广泛.
典例精讲
题型一 函数模型的选择
例1 扇 形 的 周 长 为 c(c>0) ， 当 圆 心 角 为 多
少弧度时，扇形面积最大？
(方法一)因为c=l+2r,所以l=c-2r>0,
c
所以0<r< 2 . 面积S= 1 lr=
(1)y=g(t)·f(t)=(80-2t)·(20-1 |t-10|) 2
=(40-t)(40-|t-10|)= (30+t)(40-t)(0≤t<10)
(40-t)(50-t)(10≤t≤20). (2)当0≤t<10时,y的取值范围是[1200,1225]. 在t=5时,y取得最大值为1225； 当10≤t≤20时,y的取值范围是[600,1200], 在t=20时，y取得最小值为600. 答:第5天,日销售额y取得最大值为1225元,
课后再做好复习巩固. 谢谢！
再见！
王新敞 特级教师 源头学子小屋 http://wxc.833200.com wxckt@126.com 新疆奎屯
·2007·
新疆 王新敞
奎屯
a
c
)22=
c2a 2(a 2)2
c2
2(2 a 4 4) = a
c2 16
.
c
a 2.
当且仅当α= 4 ，即α=2时，等号成立.
所以当圆心角大小为2 rad时，扇形面积最
大，为 c2 .
16
点评 (1)虽然问“α为多少时”，但若以
α为自变量，运算较大且需用到均值不等 式等技巧，而方法一以半径为自变量， 是一个简单的二次函数模型.同样，若以 弧长l为自变量，也是一个二次函数模型. 所以在构造函数过程中，要合理选择自 变量.
第20天,y取得最小值600元.
点评 阅读题目、理解题意是解决应用
题的前提.本题的关键是对f(x)的假定的 理解.选择数学模型和方法解决实际应 用问题是核心步骤，因此解应用题时 要根据题目中的数量关系，选择适当 的数学模型和方法加以解决.
方法提炼
1.理解题意，找出数量关系是 解应用题的前提，因此解题时应认 真阅读题目，深刻理解题意.
8
题型三 给出函数模型的应用题
例3 经市场调查，某城市的一种小商品在过
去的近20天内的销售量(件)与价格（元）均为 时 间 t( 天 ) 的 函 数 , 且 销 售 量 近 似 满 足 g(t)=802t(件）,价格近似满足f(t)=20- 1 |t-10|（元）.
2
(1) 试 写 出 该 种 商 品 的 日 销 售 额 y 与 时 间 t(0≤t≤20)的函数表达式； (2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.