机械臂运动学

机械臂运动学基础

1、机械臂的运动学模型

机械臂运动学研究的是机械臂运动，而不考虑产生运动的力。运动学研究机械臂的位置，速度和加速度。机械臂的运动学的研究涉及到的几何和基于时间的内容，特别是各个关节彼此之间的关系以及随时间变化规律。

典型的机械臂由一些串行连接的关节和连杆组成。每个关节具有一个自由度，平移或旋转。对于具有n个关节的机械臂，关节的编号从1到n，有n +1个连杆，编号从0到n。连杆0是机械臂的基础，一般是固定的，连杆n上带有末端执行器。关节i连接连杆i和连杆i-1。一个连杆可以被视为一个刚体，确定与它相邻的两个关节的坐标轴之间的相对位置。一个连杆可以用两个参数描述，连杆长度和连杆扭转，这两个量定义了与它相关的两个坐标轴在空间的相对位置。而第一连杆和最后一个连杆的参数没有意义，一般选择为0。一个关节用两个参数描述，一是连杆的偏移，是指从一个连杆到下一个连杆沿的关节轴线的距离。二是关节角度，指一个关节相对于下一个关节轴的旋转角度。

为了便于描述的每一个关节的位置，我们在每一个关节设置一个坐标系，对于一个关节链，Denavit和Hartenberg提出了一种用矩阵表示各个关节之间关系的系统方法。对于转动关节i，规定它的转动平行于坐标轴z i-1，坐标轴x i-1对准从z i-1到z i的法线方向，如果z i-1与z i相交，则x i-1取z i−1×z i的方向。连杆，关节参数概括如下：

●连杆长度a i沿着x i轴从z i-1和z i轴之间的距离;

●连杆扭转αi从z i-1轴到zi轴相对x i-1轴夹角;

●连杆偏移d i从坐标系i-1的原点沿着z i-1轴到x i轴的距离;

●关节角度θi x i-1轴和x i轴之间关于z i-1轴的夹角。

对于一个转动关节θi 是关节变量，d i 是常数。而移动关节d i 是可变的，θi 是恒定的。为了统一，表示为

i

i i

q d θ⎧=⎨⎩转动关节

移动关节 运用Denavit-Hartenberg （DH ）方法，可以将相邻的两个坐标系之间的变换关系表示为一个4x4的齐次变换矩阵

1

cos sin cos sin sin cos sin cos cos cos sin sin 0sin cos 0

1i

i i i i i i i i i

i i

i i i i i

i

i a a A d θθαθαθθ

θαθαθαα--⎡⎤⎢⎥-⎢

⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

上式表示出了坐标系i 相对于坐标系i-1的关系。即

011i i i i T T A --=

其中0

i T 表示坐标系i 相对于世界坐标系0的位置与姿态，简称位姿。

2、正向和反向运动学

对于一个n-轴刚性连接的机械臂，正向运动学的解给出的是最后一个连杆坐标系的位置和姿态。重复利用上式,得到

011

12

()n n n T A A A K q -==

机械臂末端位姿在笛卡尔坐标系中有6个自由度，3个平移，3个旋转。所以，一般来说具有6个自由度的机械臂可以使末端实现任意的位姿。

总的机械臂变换0

n T 一般简写为T n ，对6个自由度的机械臂简写为T 6。对于任意的机械臂，

无论其它有多少个关节，具有什么结构，正向运动学解都是可以得到的。

在机械臂的路径规划中，用到的是反向运动学的解10

()n q K T -=，它给出了特定的末端位

姿对应的机械臂的关节角度。一般来说，反向运动学的解不是唯一的，对具有某种结构的机械臂，封闭解可能不存在。

对于6自由度的机器人而言，运动学逆解非常复杂，一般没有封闭解。只有在某些特殊情况下才可能得到封闭解。不过，大多数工业机器人都满足封闭解的两个充分条件之一（Pieper 准则）

（1）三个相邻关节轴交于一点

（2）三个相邻关节轴相互平行

如果机械臂多于6个关节，称关节为冗余的，这时解是欠定的。如果对于机械臂某个特别的位姿，解不存在，称这个位姿为奇异位姿。机械臂的奇异性可能是由于机械臂中某些坐标轴的重合，或位置不能达到引起的。

机械臂的奇异位姿分为两类：

(1)边界奇异位姿，当机械臂的关节全部展开或折起时，使得末端处于操作空间的边界或边界附近，雅克比矩阵奇异，机械臂的运动受到物理结构的约束，这时机械臂的奇异位姿称为边界奇异位姿。

(2)内部奇异位姿，两个或两个以上的关节轴线重合时，机械臂各个关节的运动相互抵消，不产生操作运动，这时机械臂的奇异位姿称为内部奇异位姿。

机械臂运动学逆解的方法可以分为两类：封闭解和数值解、在进行逆解时总是力求得到封闭解。因为封闭解的计算速度快，效率高，便于实时控制。而数值解法不具有这些特点。机械臂运动学的封闭逆解可通过两种途径得到：代数法和几何法。

一般而言，非零连杆参数越多，到达某一目标的方式也越多，即运动学逆解的数目也越多。在从多重解中选择解时，应根据具体情况，在避免碰撞的前提下通常按“最短行程”准则来选择。同时还应当兼顾“多移动小关节，少移动大关节”的原则。

n个自由度的机械臂的末端位姿由n个关节变量所决定，这n个关节变量统称为n维关节

矢量，记为q 。所有的关节矢量构成的空间称为关节空间。机械臂末端的位姿用6个变量描述，3个平移(x,y,z)和3个旋转(ωx , ωy , ωz )，记x=(x,y,z, ωx , ωy , ωz )，x 是机械臂末端在基坐标空间中的坐标，所有的矢量x 构成的空间称为操作空间或作业定向空间。工作空间是操作臂的末端能够到达的空间范围，即末端能够到达的目标点集合。值得指出的是，工作空间应该严格地区分为两类：

(1) 灵活（工作）空间 指机械臂末端能够以任意方位到达的目标点集合。因此，在灵活空间的每个点上，手爪的指向可任意规定。

(2) 可达（工作）空间 指机械臂末端至少在一个方位上能够到达的目标点集合。 机械臂各关节驱动器的位置组成的矢量称为驱动矢量s ，由这些矢量构成的空间称为驱动空间。

3、Jacobian 矩阵

机械臂的Jacobian 矩阵表示机械臂的操作空间与关节空间之间速度的线性映射关系，对于一个n 轴的机械臂，机械臂末端在基坐标系中的速度是x Jq =其中x 是6个元素的向量。对于6个关节机械臂Jacobian 矩阵是方阵，如果它是可逆的，则可以由机械臂的末端速度求出各个关节的速度。Jacobian 矩阵在机械臂的奇异位姿上是不可逆的。在实际应用中，当机械臂的末端位置接近奇异位置时，Jacobian 矩阵是病态的，可能导致关节速度不能正确地得到。

上式解决的是正速度问题，即已知q 和q 求末端执行器的速度x 。对于逆速度解问题，由上

正向运动学