等差数列的前n项求和
等差数列前n项和的公式word版本
6
2
【审题指导】根据等差数列前n项和公式解方程.
【规范解答】（1）∵a15=
5 6
+(15-1)d=
3 2
, ∴d=
1 6
.
又Sn=na1+n
n 2
1· d=-5,解得n=15,n=-4（舍）.
（2）由已知，得S8=8a12a88解42得a8a8,=39,
又∵a8=4+(8-1)d=39,∴d=5.
∴a1=-5，d=a
6
5
a=1 3.∴a8=a1+（8-1）d=16.
知识点：等差数列前n项和的性质的应用
(1)项数（下标）的“等和”性质：
Sn= n（ a1an） n（ amanm 1 ）
2
2
(2)项的个数的“奇偶”性质：
等差数列{an}中，公差为d： ①若共有2n项，则S2n=n（an+an+1）； S偶-S奇=nd；S偶∶S奇= an+1∶an；
【变式训练】在等差数列{an}中，已知a6=10，S5=5，求a8. 【解析】方法一：设公差为d,
∵a6=10，S5=5，
∴
5a1a
5d解 1得0 ，
1 10d 5
∴a ad81=a365+, 2d=16.
方法二：设公差为d,
∵S6=S5+a6=15，∴15（6=a
1
2
a
6），即3（a1+10）=15.
问题2
一个堆放铅笔的V形架 的最下面一层放一支铅 笔，往上每一层都比它 下面一层多放一支，最 上面一层放100支.这个 V形架上共放着多少支 铅笔？
问题就是 求 “1+2+3+4+…+100=？”
等差数列的前n项和 课件
典例导悟
类型一 等差数列前n项和公式的基本运算 [例1] 分别按等差数列{an}的下列要求计算： (1)已知a1 005＝411，求S2 009； (2)已知d＝2，S100＝10 000，求an.
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①a1＋a2 009＝2a1 005；②an＝a1＋(n－1)d. 解答本题要紧扣等差数列的求和公式的两种形式，利 用等差数列的性质解题．
[解] (1)∵a1＋a2 009＝2a1 005，
∴S2
009＝2
009a1＋a2 2
009＝2
009a1
005＝2
009×411＝49.
(2)由S100＝100a1＋
100×100－1 2
×2＝10
000，解得a1
＝1.
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
[点评] a1，n，d称为等差数列的三个基本量，an和Sn 都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，n，d，an，Sn中 可知三求二．即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知 三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立 得方程(组)求解，这种方法是解决数列问题的基本方法， 在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的 运用．
(2)当已知首项a1，末项an，项数n时用公式Sn＝
na1＋an 2
求和，用此公式时，有时要结合等差数列的性
质．
(3)当已知首项a1，公差d及项数n时，用公式Sn＝na1＋ nn－2 1d求和．
4．数列前n项和Sn与通项an的关系是怎样的？
提示：∵Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an， ∴Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1(n≥2)． 在n≥2的条件下，把上面两式相减可得an＝Sn－Sn－ 1(n≥2)，当n＝1时，a1＝S1，所以an与Sn有如下关系： an＝SS1n， －nS＝ n－11，，n≥2.
等差数列前n项和的性质及应用
密码学：等差数列 前n项和公式可用于 设计密码算法和加 密方案
计算机图形学：等差数 列前n项和公式可用于 生成等差数列曲线，用 于计算机图形学中的渲 染和动画制作
定义：等差数 列中，任意两 项的差为常数
公式： Sn=n/2*(a1+a
n)
推导：利用等 差数列的定义， 将前n项和展开，
得到 Sn=na1+n(n-
算法优化：通过减少重复计算和利用已知值来加速计算过程，从而提高了算法的效率。
应用场景：等差数列前n项和的优化算法在数学、物理、工程等领域有广泛的应用， 尤其在处理大规模数据时具有显著优势。
计算等差数列前n项和的最小 值
求解等差数列中项的近似值
判断等差数列是否存在特定性 质
优化等差数列前n项和的计算 过程
,a click to unlimited possibilities
汇报人：
01
02
03
04
05
06
等差数列前n项和 是数列中前n个数 的和，记作Sn。
等差数列前n项和的 公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中a1为 首项，an为第n项。
等差数列前n项和 的性质包括对称性、 奇偶性、线性关系 等。
等差数列前n项和的定义：一个数列， 从第二项起，每一项与它的前一项的 差都等于同一个常数，这个数列就叫 做等差数列。
等差数列前n项和的性质1：若 m+n=p+q，则S_m+S_n=S_p+S_q。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
等差数列前n项和的公式： S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)，其中a_1 是首项，d是公差。
等差数列前n项和知识点归纳总结
等差数列前n项和知识点归纳总结等差数列是数学中常见的数列形式，由一系列等差数构成。
其中，等差数是按照一定的公差递增或递减的数，如1、3、5、7、9就是一个公差为2的等差数列。
在求等差数列前n项和时，我们需要掌握一些重要的知识点。
本文将对等差数列前n项和的计算方法进行归纳总结。
一、等差数列的概念与通项公式：等差数列是指一个数列中相邻两项之间的差值是一个常数。
通常用字母a，d表示等差数列的首项和公差，其通项公式的一般形式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1为首项，d为公差。
二、求等差数列前n项和的方法：1. 公式法：根据等差数列通项公式，我们可以得到第n项的具体表达式，然后将每一项累加起来即可得到前n项和。
这种方法适用于数列项数较多的情况。
2. 列表法：列举等差数列的前n项，然后将各项相加求和，即可得到等差数列前n项和。
这种方法适用于数列项数较少的情况。
三、等差数列前n项和的公式推导：要推导等差数列前n项和的公式，我们可以利用等差数列的通项公式和数列项数的特点进行推导。
考虑一个等差数列的前n项和Sn，其首项为a1，末项为an，公差为d。
根据等差数列的通项公式，我们可以列出如下两个等式：a1 = a1an = a1 + (n-1)d将这两个等式相加得：a1 + an = 2a1 + (n-1)d根据等差数列的性质，可以知道数列中的任意两项和都等于首项和末项的和，且这个和一共出现n次。
因此，将上述等式乘以n/2，得到：n(a1 + an) = n(2a1 + (n-1)d)化简后：2a1n + (n-1)dn = n(a1 + an)移项得：2a1n + dn^2 - dn - an = 0根据求根公式，可以求解出an的表达式为：an = a1 + (n-1)d将其代入上述等式，可以得到等差数列前n项和公式：Sn = n(a1 + an) / 2= n(a1 + a1 + (n-1)d) / 2= n(2a1 + (n-1)d) / 2= n(a1 + a1 + (n-1)d) / 2= n(a1 + a1 + (n-1)d) / 2四、等差数列前n项和的应用：等差数列前n项和的计算公式在数学和物理等领域有广泛的应用。
求数列前n项和8种的方法(史上最全)
求数列前n 项和8种的方法一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =时，1n S na =； （2）()1111nn a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论；3.可转化为等差、等比数列的数列；4.常用公式:（1）1nk k ==∑12123(1)n n n ++++=+；（2）21nk k ==∑222216123(1)(21)n n n n ++++=++；（3）31nk k ==∑33332(1)2123[]n n n +++++=；（4）1(21)n k k =-=∑2n 1)-(2n ...531=++++.例1 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21例2 设123n s n =++++，*n N ∈,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n∴ 1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n＝n n 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f .二.倒序相加法:如果一个数列{a n }，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。
4。2.2等差数列的前n项和
4.2.2.1等差数列的前n 项和要点一 等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝11()(1)22n n a a n n na d +-=+ 【重点总结】(1)等差数列前n 项和公式的推导：设S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，倒序得S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 2＋a 1.相加得2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a n ＋a 1)．由等差数列性质，得2S n ＝n(a 1＋a n )，∴S n ＝n (a 1＋a n )2.我们不妨将上面的推导方法称为倒序相加求和法. 今后，某些数列求和常常会用到这种方法．(2)在求等差数列前n 项和时，若已知a 1和a n 及项数n ，则使用S n ＝n (a 1＋a n )2；若已知首项a 1和公差d 及项数n ，则采用公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 来求．要点二 等差数列前n 项和的主要性质 1．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等差数列．2．若S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，公差为d ，①当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝1n n aa+；②当项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝n a ，S 奇S 偶＝1n n -.S 2n －1＝（2n -1）a n . 【重点总结】关于奇数项的和与偶数项的和的问题，要根据项数来分析，当项数为奇数或偶数时，S 奇与S偶的关系是不相同的．【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)数列的前n 项和就是指从数列的第1项a 1起，一直到第n 项a n 所有项的和．( ) (2)数列{a n }为等差数列，S n 为前n 项和，则S 2，S 4，S 6成等差数列．( ) (3)在等差数列{a n }中，S n 为前n 项和，则有S 2n －1＝(2n －1)a n .( ) (4)在等差数列{a n }中，当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝a n ＋1.( ) 【答案】（1）√（2）×（3）√（4）×2．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 9＝10，则S 9等于( ) A ．45 B ．52 C ．108 D ．54 【答案】D【解析】S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×122＝54.故选D.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则S 12＝( ) A ．28 B ．32 C ．36 D ．40 【答案】C【解析】∵数列{a n }为等差数列， ∴S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，∴2(S 8－S 4)＝S 4＋S 12－S 8，解得：S 12＝36.4．已知数列{a n }是等差数列，且a 3＋a 9＝4，那么数列{a n }的前11项和等于________. 【答案】22【解析】∵数列{a n }为等差数列，∴a 3＋a 9＝a 1＋a 11＝4.∴S 11＝11(a 1＋a 11)2＝112×4＝22.题型一 等差数列前n 项和的基本运算【例1】在等差数列{a n }中，(1)已知a 1＝56，a n ＝－32，S n ＝－5，求n 和d ；(2)已知a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .(3)已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .【解析】(1)由题意得，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ⎝⎛⎭⎫56－322＝－5，解得n ＝15.又a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.∴n ＝15，d ＝－16.(2)由已知得S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(4＋a 8)2＝172，解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5. ∴a 8＝39，d ＝5.(3)∵a n ＝11，d ＝2，S n ＝35，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(n －1)×2＝11na 1＋n (n －1)2×2＝35解得n ＝5，a 1＝3或n ＝7，a 1＝－1. 【方法归纳】a 1，d ，n 称为等差数列的三个基本量，a n 和S n 都可以用这三个基本量来表示，五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 中可知三求二，一般通过通项公式和前n 项和公式联立方程组求解，在求解过程中要注意整体思想的运用．【跟踪训练】在等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S m ＝－15，求m 及a m ；(2)a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 10. (3)已知a 3＋a 15＝40，求S 17.【解析】(1)∵S m ＝m ×32＋m (m －1)2×⎝⎛⎭⎫－12＝－15，整理得m 2－7m －60＝0解得m ＝12或m ＝－5(舍去)∴a m ＝a 12＝32＋(12－1)×⎝⎛⎭⎫－12＝－4. (2)⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝5，a 6＝a 1＋5d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝3.∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×(－5)＋5×9×3＝85.(3)S 17＝17×(a 1＋a 17)2＝17×(a 3＋a 15)2＝17×402＝340.题型二 等差数列前n 项和性质的应用【例2】(1)等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为( ) A ．130 B ．170 C ．210 D ．260 【答案】C【解析】利用等差数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列． 所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即30＋(S 9－100)＝2(100－30)，解得S 9＝210.(2)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________.【答案】53【解析】由等差数列的性质，知a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53. (3)已知等差数列{a n }前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝________. 【答案】14【解析】 S n －S n －4＝a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝80， S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40.两式相加得4(a 1＋a n )＝120，∴a 1＋a n ＝30，又S n ＝n (a 1＋a n )2＝15n ＝210，∴n ＝14.【笔记小结】(1)中S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等差数列． (2)中a 5b 5＝qa 5qb 5＝S 9T 9.(3)中S n －S n －4为末4项和，S 4为前4项和，倒序相加可得 4(a 1＋a n )． 【方法归纳】等差数列前n 项和的常用性质(1)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…是等差数列．(2)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，公差为数列{a n }的公差的12.(3)涉及两个等差数列的前n 项和之比时，一般利用公式a m b n ＝2n －12m －1·S 2m －1T 2n －1进行转化，再利用其他知识解决问题．(4)用公式S n ＝n (a 1＋a n )2时常与等差数列的性质a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…相结合．【跟踪训练2】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14等于( ) A ．18 B ．17 C ．16 D ．15 【答案】A【解析】设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.故选A.(2)已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对于任意的自然数n ，都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 3＋a 152(b 3＋b 9)＋a 3b 2＋b 10＝( )A.1941B.1737C.715D.2041 【答案】A【解析】a 3＋a 152(b 3＋b 9)＋a 3b 2＋b 10＝a 9b 3＋b 9＋a 3b 2＋b 10＝a 9＋a 3b 2＋b 10＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝S 11T 11＝22－344－3＝1941.故选A.(3)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________.【解析】(3)方法一：因为S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100成等差数列，设公差为d ，前10项的和为：10×100＋10×92d ＝10，所以d ＝－22，所以前11项的和S 110＝11×100＋11×102d ＝11×100＋11×102×(－22)＝－110.方法二：设等差数列{a n }的公差为d ， 则S n n ＝d 2(n －1)＋a 1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 成等差数列． 所以S 100100－S 1010100－10＝S 110110－S 100100110－100，即10100－10010100－10＝S 110110－1010010，所以S 110＝－110.方法三：设等差数列{a n }的公差为d ，S 110＝a 1＋a 2＋…＋a 10＋a 11＋a 12＋…＋a 110＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋[(a 1＋10d )＋(a 2＋10d )＋…＋(a 100＋10d )]＝S 10＋S 100＋100×10d ，又S 100－10S 10＝100×992d －100×92d ＝10－10×100，即100d ＝－22，所以S 110＝－110. 题型三 求数列{|a n |}的前n 项和【例3】在等差数列{a n }中，a 1＝－60，a 17＝－12，求数列{|a n |}的前n 项和． 【解析】等差数列{a n }的公差 d ＝a 17－a 117－1＝－12－(－60)16＝3，∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－60＋3(n －1)＝3n －63， 令a n <0，即3n －63<0，则n <21.∴等差数列{a n }的前20项是负数，第20项以后的项是非负数，设S n 和S ′n 分别表示数列{a n }和{|a n |}的前n 项和．当n ≤20时，S ′n ＝－S n ＝－⎣⎡⎦⎤－60n ＋3n (n －1)2＝－32n 2＋1232n ；当n >20时，S ′n ＝－S 20＋(S n －S 20)＝S n －2S 20＝－60n ＋3n (n －1)2－2×⎝⎛⎭⎫－60×20＋20×192×3＝32n 2－1232n ＋1 260， ∴数列{|a n |}的前n 项和为S ′n ＝⎩⎨⎧－32n 2＋1232n ，n ≤20，32n 2－1232n ＋1 260，n >20.【方法归纳】已知{a n }为等差数列，求数列{|a n |}的前n 项和的步骤 第一步，解不等式a n ≥0(或a n ≤0)寻找{a n }的正负项分界点．第二步，求和：①若a n 各项均为正数(或均为负数)，则{|a n |}各项的和等于{a n }的各项的和(或其相反数)；②若a 1>0，d <0(或a 1<0，d >0)，这时数列{a n }只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加． 【跟踪训练3】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n .【解析】a 1＝S 1＝－32×12＋2052×1＝101.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫－32n 2＋2052n － ⎣⎡⎦⎤－32(n －1)2＋2052(n －1)＝－3n ＋104.∵n ＝1也适合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋104(n ∈N *)． 由a n ＝－3n ＋104≥0，得n ≤34.7. 即当n ≤34时，a n >0；当n ≥35时，a n <0.①当n ≤34时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－32n 2＋2052n ；②当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 35＋a 36＋…＋a n )＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2S 34－S n ＝2⎝⎛⎭⎫－32×342＋2052×34－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋2052n ＝32n 2－2052n ＋3 502. 故T n ＝⎩⎨⎧－32n 2＋2052n ，n ≤34且n ∈N *，32n 2－2052n ＋3 502，n ≥35且n ∈N *.【易错辨析】混淆等差数列的性质致误【例4】已知等差数列{a n }的前n 项之和记为S n ，S 10＝10，S 30＝70，则S 40＝________. 【答案】120【解析】由题意知⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝1030a 1＋30×292d ＝70得⎩⎨⎧a 1＝25，d ＝215.所以S 40＝40×25＋40×392×215＝120.【易错警示】 1. 出错原因将等差数列中S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列误认为S m ，S 2m ，S 3m 成等差数列. 2. 纠错心得本题可用等差数列的性质：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列求解；还可以由S 10＝10，S 30＝70联立方程组解得a 1和d ，再求S 40.一、单选题1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为18，若21S =，13n n a a -+=，则n 的值为（ ）A ．9B ．18C ．27D ．36【答案】B 【分析】由已知得()121124n n n a a a a a a -+++=+=，得12n a a +=，再由等差数列求和公式可求得答案. 【解析】解：∵等差数列{}n a 的前n 项和为18，21S =，13n n a a -+=，∵121a a +=， ∵()121124n n n a a a a a a -+++=+=，解得12n a a +=， 又()1182n n n a a S +==，∵2182n ⨯=，∵18n =.故选：B.2．已知在等比数列{}n a 中，3544a a a =，等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，且74b a =，则13S =（ ） A ．26 B ．52 C ．78 D ．104【答案】B 【分析】利用等比中项的性质可求得4a 的值，即为7b 的值，再利用等差数列的求和公式可求得13S 的值. 【解析】因为在等比数列{}n a 中，3544a a a =，可得2444a a =，40a ≠，解得44a =，又因为数列{}n b 是等差数列，744b a ==，则()13113711313134522S b b b =⨯+==⨯=.故选：B.3．已知数列{}n a 的各项均不为零，1a a =，它的前n 项和为n S ．且n a1n a +（*N n ∈）成等比数列，记1231111n nT S S S S =+++⋅⋅⋅+，则（ ） A ．当1a =时，202240442023T < B ．当1a =时，202240442023T > C ．当3a =时，202210111012T > D ．当3a =时，202210111012T <【答案】C 【分析】结合等比性质处理得22n n a a +-=，再分1a =和3a =分类讨论，1a =时较为简单，结合裂项法直接求解，当3a =时，放缩后再采用裂项即可求解.【解析】由n a1n a +成等比数列可得，12n n n S a a +=⋅①，也即1122n n n S a a +++=⋅②，②-①得()1122n n n n a a a a +++=-，因为0n a ≠，所以，22n n a a +-=，即数列的奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，当1a a =时，1122a a a =⋅，即22a =，对A 、B ，当1a =时，12341,2,3,4,n a a a a a n =====，此时数列为等差数列，前n 项和为()12n n n S +=，()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 故12311111111112121223+11n n T S S S S n n n ⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+=-+-+-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 当2022n =时，2022140442120232023T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故A 、B 错误； 对C 、D ，当3a =时，1352021202113,5,7,3+220232a a a a -====⨯=， 2420222,4,,2022a a a ===,当n 为偶数时，232n n nS +=， 当n 为奇数时，()()()2213132122n n n n n S n +++++=-+=， 所以()()12,2n n n S n N *++≤∈,()()121121212n S n n n n ⎛⎫≥=- ⎪++++⎝⎭, 此时202212320221111T S S S S =+++⋅⋅⋅+ 111111110112123342023202410121012⎛⎫>-+-++-=-= ⎪⎝⎭，故C 正确，D 错误. 故选：C4．数列{}n a 中，12a =，且112n n n n n a a a a --+=+-（2n ≥），则数列()211n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭前2021项和为（ ） A ．20211010B ．20211011C ．20191010D ．40402021【答案】B 【分析】由已知可得221(1)(1)n n a a n ----=，从而得221(1)(1)(1)2n a a n n ---=+-+⋅⋅⋅+，再由12a =得2(1)(1)2n n n a +-=，所以212112(1)(1)1n a n n n n ⎛⎫==- ⎪-++⎝⎭，然后利用裂项相消求和法可求得结果【解析】因为112n n n n na a a a --+=+-（2n ≥），所以22112()n n n n a a a a n -----=，整理得，221(1)(1)n n a a n ----=，所以221(1)(1)(1)2n a a n n ---=+-+⋅⋅⋅+，因为12a =，所以2(1)(1)2n n n a +-=， 所以212112(1)(1)1n a n n n n ⎛⎫==- ⎪-++⎝⎭，所以数列()211n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭前2021项和为2021111111202121212232021202220221011S ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：B5．有一个三人报数游戏：首先甲报数字1，然后乙报两个数字2、3，接下来丙报三个数字4、5、6，然后轮到甲报四个数字7、8、9、10，依次循环，则甲报出的第2028个数字为（ ） A ．5986 B ．5987 C ．5988 D ．以上都不对【答案】C 【分析】首先分析出甲第n 次报数的个数，得到甲第n 次报完数后总共报数的个数，计算出甲是第0n 次报数中会报到第2020个数字，再计算当甲第0n 次报数时，3人总的报数次数m ， 再推算出此时报数的最后一个数m S ，再推出甲报出的第2028个数字. 【解析】由题可得甲第n *()n N ∈次报数的个数为32n -， 则甲第n 次报完数后总共报数的个数为[1(32)](31)22n n n n n T +--==，再代入正整数n ，使2020,n T n ≥的最小值为37，得372035T =， 而甲第37次报时，3人总共报数为3631109⨯+=次， 当甲第109次报完数3人总的报数个数为109(1091)12310959952m S +=++++==， 即甲报出的第2035个数字为5995， 所以甲报出的第2028个数字为5988. 故选：C.6．已知数列{}n a 满足()112nn n a a n +=-+，*n N ∈，则10S =（ ）A ．32B ．50C ．72D ．90【答案】B 【分析】由递推关系式，求得12a a +，34a a +，56a a +，78a a +，910a a +，然后相加可得10S ． 【解析】由已知212a a =-+，122a a +=，436a a =-+，346a a +=，同理5610a a +=，7814a a +=，91018a a +=， 所以102610141850S =++++=． 故选：B ．7．庑殿是古代传统建筑中的一种屋顶形式，其可近似看作由两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形组成，如图所示.若在等腰梯形与等腰三角形侧面中需铺瓦6层，等腰梯形中下一层铺的瓦数比上一层铺的瓦数多2,等腰三角形中下一层铺的瓦数是上一层铺的瓦数的2倍.两个等腰梯形与两个等腰三角形侧面同一层全部铺上瓦，其瓦数视作同一层的总瓦数.若顶层需铺瓦82块，整个屋顶需铺瓦666块，则最底层需铺瓦块数为（ ）A ．82B ．114C ．164D ．228【答案】C 【分析】由题意得等腰梯形中铺的瓦数自上而下构成一个公差为2的等差数列{}n a ，等腰三角形中铺的瓦数自上而下构成一个公比为2的等比数列{}n b ，故得到()()11611282,1265262666,212a b b a ⎧+=⎪⎪⎡⎤-⨯⎨⎢⎥+⨯+=⎪-⎢⎥⎪⎣⎦⎩，进而可求得两个数列的通项公式，再分别求每个数列的第6项，()()56622502164a b +=+=可得到最终结果.【解析】由题意等腰梯形中铺的瓦数自上而下构成一个公差为2的等差数列{}n a ， 等腰三角形中铺的瓦数自上而下构成一个公比为2的等比数列{}n b ， 由条件可知，()()11611282,1265262666,212a b b a ⎧+=⎪⎪⎡⎤-⨯⎨⎢⎥+⨯+=⎪-⎢⎥⎪⎣⎦⎩解之得1140,1ab ==，所以()14021238,2n n n a n n b -=+-=+=，所以()()56622502164a b +=+=，故最底层需铺瓦块数为164，故选：C.8．设数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，已知数列{}n b 的等差数列，且2n n na nb a +=，33a =，4511b b +=，则n n S T +=（ ） A ．22n n - B ．22n n -C ．22n n +D ．22n n +【答案】D 【分析】设等差数列{}n b 的公差为d ，进而根据等差数列的通项公式计算得121b d =⎧⎨=⎩，故1n b n =+，n a n =，再根据等差数列前n 项和公式求解即可。
求前n项和的几种方法
求前n 项和的几种方法求数列前N 项和的方法1. 公式法（1）等差数列前n 项和：特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公（2q=11q S ≠，（31、=S n 3、=S n [例1][例2]设2. 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列.[例3]求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①[例4]求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1答案：当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n当x ≠1时，S n =11-x [4x(1-x n )1-x +1-（4n-3）x n ]3. 倒序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把[例5]求4. [例6]5. （1（3（5）)2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n (6)n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 [例9]求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.[例10]在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.[例11]求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵ n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+（裂项） ∴ 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1 -+-+-+-∴6. [[例7. [例练习：求5，55，555，…，的前n 项和。
7.等差数列的前n项和 -
1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10， 则S6等于 ( )
A．12
C．24 答案：C
B．18
D．42
2．已知一个等差数列 {an } 前10项的和是310，前20项的 和是1220.求前30项的和
a1 a2 a10 a11 a12 a20 a21 a22 a30
巩固练习：
1. 3 ．一个有 11 项的等差数列，奇数项之和为 30，则它的
中间项为( D ) A．8 B ．7 C．6 D．5
2．一个等差数列共有2n＋1项，其奇数项的 和为512，偶数项的和为480，则中间项为( c ) A．30 B．31 C．32 D．33
3．等差数列{an}的公差d＝1/2 且S100＝145， 则a1＋a3＋a5＋…＋a99的值为( A．52.5 B．72.5
，
10a1＋45d＝35 a1＝－10 即 ，解得 . 22a1＋231d＝473 d＝3
nn－1 nn－1 3 ∴ Sn＝ na1＋ d＝－ 10n＋ ×3 ＝ 2 2 2 23 n － n. 2
2
2． 等差数列前n项和的性质
(1)数列{an}是公差为 d
d 列，且公差为 2 .
3．等差数列前n项和Sn的最值求法 等差数列的前n项和的最值问题一般采用二次函数 配方法解决，要特别注意n为正整数，当配方后对称轴 不是正整数时，它一定在两个正整数中间，离哪个较
求数列前n项和的七种办法
求数列前N 项和的七种方法1. 公式法等差数列前n 项和：特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n 项和：q=1时，1n S na =()1111nn a q q S q -≠=-，，特别要注意对公比的讨论。
其他公式：1、)1(211+==∑=n n k S n k n2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n 3、213)]1(21[+==∑=n n k S n k n[例1]已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式） ＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 [例2]设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得)1(21+=n n S n ，)2)(1(211++=+n n S n （利用常用公式） ∴1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝n n 64341++＝50)8(12+-n n 501≤ ∴当88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f 2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列.[例3]求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=……………………….②（设制错位） ①－②得n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4]求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积 设n n n S 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………① 14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n n S ……………………………②（设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n n S （错位相减） ∴1224-+-=n n n S 练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1解：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1①①两边同乘以x ，得xS n =x+5x 2+9x 3+······+(4n-3)x n ②①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+x 2+x 3+······+n x ）-（4n-3）x n当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n当x ≠1时，S n =11-x [4x(1-x n )1-x +1-（4n-3）x n] 3. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5]求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S ………….①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …②（反序）又因为1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴S ＝44.54. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例6]求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa an ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n a a a S n n 将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(n n +（分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n a a S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例7]求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k k nk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得3211123n n nn k k k S k k k ====++∑∑∑（分组） ＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++22(1)(1)(21)(1)222n n n n n n n ++++=++（分组求和） ＝2)2()1(2++n n n 练习：求数列∙∙∙+∙∙∙),21(,,813,412,211n n 的前n 项和。
2.2.2等差数列前n项和公式
练习3 已知一个共有n项的等差数列前4项之 和为26,末四项之和为110,且所有项的和为 187，求n.
n=11
提示：a1+a2+a3+a4=26
a1+an=34
an+an-1+an-2+an-3=110
Sn
n(a1 2
an )
34n 2
187,n
11
课堂小结
1．等差数列前n项和的公式；（两个）
解:(1)由已知得 12a1+6×11d>0
13a1+13×6d<0
24 d 3 7
(2)
∵
Sn
na1
1 2
n(n
1)d
1
n(12 2d ) n(n 1)d
2
d n2 (12 5d )n
2
2 5 12
∴Sn图象的对称轴为 n
由(1)知 24 7
+ S =100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1
2S = 101 +101+101 + … + 101 + 101 + 101
100101
S=
2
=5050
实例2
如图，表示堆放的钢管共8层，自上而下各 层的钢管数组成等差数列4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11， 求钢管的总数 .
Sn
n(a1 2
an )
Sn
na1
n(n 1) 2
d
2．等差数列前n项和公式的推导方法— —倒序相加法；
求数列前n项和的七种方法
求数列前N 项和的七种方法1. 公式法等差数列前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论。
其他公式：1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n3、213)]1(21[+==∑=n n kS nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ②（设制错位）①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ……………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1解：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1 ①①两边同乘以x ，得 x S n =x+5 x 2+9x 3+······+(4n-3)x n ②①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+ x 2+x 3+······+ nx ）-（4n-3）x n当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n 当x ≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n) 1-x +1-（4n-3）x n ]3. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.54. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和） 当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+---[例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得3211123n n nn k k k S k k k ====++∑∑∑ （分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++22(1)(1)(21)(1)222n n n n n n n ++++=++ （分组求和） ＝2)2()1(2++n n n练习：求数列∙∙∙+∙∙∙),21(,,813,412,211nn 的前n 项和。
等差数列的前n项和
(3)a1 14.5, d 0.7, an 32.
n 26, S 26
n(a1 an ) Sn 2
26 (14 .5 32 ) 604 .5. 2
(1)
n(n 1) S n na1 d (2) 2
习题1.设等差数列{an}的前n项和为Sn, 若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( B ) A.63 B.45 C.36 D.27
2. 从1到200的所有整数中，既不是2的倍数， 又不是3的倍数的所有整数和是多少？ 解： 从1到200的所有整数中， 所有2的倍数 2，4，6，8，… ，200 构成的等差数列. 所有3的倍数 3，6，9，12，… ，198 构成的等差数列.
S2k 1 (2k 1)ak T2k 1 (2k 1)bk
ak S 2 k 1 bk T2 k 1
a11 S21 23 . 21 2 b11 T21 3 21 4 67
练习题:
1．(1)已知等差数列{an}的an＝24－3n，则 前多少项和最大？ (2)已知等差数列{bn}的通项bn＝2n－17, 则前多少项和最小?
n
n(n 1) sn 2 这种求和法称为倒序相加法
1.公式推导
如何求等差数列an 的前n项和Sn ? 问题2：
sn a1 a2
a3
an a1
sn an a n 1 an 2 n(a1 an ) sn 2
1.公式推导
n(a1 an ) 公式1 S n 2
例2:等差数列－10，－6， －2，2，… 前多少项和是54?
4.2.2等差数列的前n项和公式
*，且p＋q＝s＋t，
p，q，s，t∈N
通过配对凑成相同的数，变“多步求和”为“一步相乘”，
问题：为什么1＋100＝2＋99＝…＝50＋51呢？从数列角度怎么解释？
则a
p＋aq＝as＋at.
也就是将“不同数的求和”转化为“相同数的求和”.
等差数列中，下标和相等的两项和相等.
等差数列的前n项和公式
等差数列任意条件
等差数列任意2个相互独立的条件
a1，d
2个相互独立的方程
等差数列任意问题
基
本
量
法
课堂小结
抽
象 等差数列
高斯求和
的前n项和
Sn，n，a1，
d 和 an
知三求二
（方程思想）
倒
序
求 等差数列
连续正整 和
的前n项
数的求和
应用
和公式
公式
(1 + )
=
基
2
an＝a1＋(n－1)d
因为1 + = 2 + −1 = ⋯ = + 1 ,
所以2 = (1 + ) + (1 + ) + ⋯ + (1 + )
= (1 + ).
(1 + )
=
.
2
等差数列的前n项和公式
等差数列{an}的前n项和Sn公式：
(1 + )
4.2.2等差数列的前n项和公式
复习回顾
等差数列的概念： 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前
一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做
等差数列
an－an－1＝d(n≥2)
等差数列n项和公式
等差数列n项和公式
等差数列是数学中常用的一种概念，使用非常广泛。
它是在具有一定规律的数列中，从开始到最后，各项数形成一个等差序列。
等差数列n项和指数列中前n项的和，记为Sn，当n趋于无穷大时，Sn即为等差数列的极限总和。
等差数列通常有一种规律，即它的各项数之差都为恒定的数值，这个恒定的数值被称为公差d。
如果知道数列的第一项a1和公差d，则这个数列的第n项可以表示出来，即an=a + (n-1)d。
等差数列n项和公式是Sn=n (a1 + an) /2。
另外，如果某一等差数列的第一项和最后一项已知，则可以用等差数列求和公式求得它的n项和，公式为S n = n (a1 + an) / 2。
这种公式有诸多应用，例如在物
理中，为求解结果，经常需要累加的数量变化，则等差数列的求和就是最节省时间，最有效率的方法。
总之，等差数列是数学学术和思维的基础，也是理解和处理实际问题的有效工具。
等差数列n项和公式可以用来求解等差数列前n项和，该公式对许多日常应用非常重要。
等差数列的前n项和
探究 2
通过探究 1，你能推导出等差数列{an}的求和公式吗？
Sn＝a1＋a2＋„＋an， ①
【提示】
把数列{anቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ各项顺序倒过来相加得 Sn＝an＋an－1＋„＋a2＋a1， ②
①＋②得 2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋„＋(an＋a1)＝n(a1＋an)， a1＋ann 则 Sn＝ . 2
na1＋an 求和公式 2 Sn＝
Sn＝
nn－1 na1＋ 2 d
1．设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，已知 a2＝3，a6＝11，则 S7 等于( A．13
【解析】
)
B．35
C．49
D．63
a2＋a6＝a1＋a7＝14，
7a1＋a7 ∴S7＝ ＝49. 2
【答案】 C
2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则 Sn＝
a1＝1， n＋1 解得 1 所以{an}的通项公式为 an＝ 2 . d＝ ， 2
2 2 2 (2)因为 bn＝ ＝ － ， nn＋1 n n＋1 所以
2 2 2 2 2 2 2n Sn＝ 1－2 ＋ 2－3 ＋„＋n－n＋1＝ . n ＋ 1
又由 an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解之得 d＝－171. (2)法一 设等差数列的首项为 a1，公差为 d，则 55－1 S5＝5a1＋ 2 d＝24，即得 5a1＋10d＝24， 24 ∴a1＋2d＝ 5 . 24 48 a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2(a1＋2d)＝2× 5 ＝ 5 .
【答案】 C
2.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 a1＋a3＋a5＝3，则 S5＝( A．5 B．7 C．9 D．11
等差数列的前n项和性质+练习
1、等差数列{a n }前n 项和公式： n S = n a n 2a 1+=d n n n a 2)1(1-+=d n n na n 2)1(--。
等差数列的前n 项之和公式可变形为，若令A ＝，B ＝a 1－，则＝An 2+Bn.在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，，n 中任意三个，可求其余两个。
2、等差数列{a n }前n 项和的性质性质1:S n ,S 2n －S n ,S 3n －S 2n , …也在等差数列,公差为n 2d性质2:(1)若项数为偶数2n,则 S 2n =n(a 1+a 2n )=n(a n +a n+1) (a n ,a n+1为中间两项),此时有:S 偶－S 奇= nd , 性质3:(2)若项数为奇数2n －1,则 S 2n-1=(2n － 1)a n (a n 为中间项), 此时有:S 奇－S 偶= a n ,1-n n s =偶奇s 性质4:数列{nn s }为等差数列 性质5:若数列{a n }与{b n }都是等差数列,且前n 项的和分别为S n 和T n ,则2121n n n n a S b T --= 典型例题：热点考向1：等差数列的基本量（a 1，a n ，d ，，n 中任意三个，可求其余两个）例1、在等差数列{n a }中，已知81248,168S S ==，求1,a 和d 已知6510,5a S ==，求8a 和8S训练： 1、在等差数列{}n a 中，已知102030,50a a ==.（1）求通项公式{}n a ；（2）若242n S =，求n .2.在等差数列{}n a 中,n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知7157,75S S ==，n T 为数列{n S n }的前n 项和，求n T 3、已知等差数列的前n 项之和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于 。
4. 已知是等差数列，且满足，则等于________。
等差数列前N项和的公式
Sn
d d 则 S =An2+Bn n 令 A , B a1 2 2
n (a1 )n 2 2
2
当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数
㈡【说明】
①推导等差数列的前n项和公式的 方法叫 倒序相加法 ；
②等差数列的前n项和公式类同 于 梯形的面积公式 ； 2+bn S = an ③{an}为等差数列 n ，这 是一个关于 n 的没有 常数项 的 “ 二次函数 ” （ 注意 a 还可以是 0）
3.等差数列{an}前n项和的性质的应用 例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若 S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( B)
A.63
B.45
C.36
D.27
例2：已知等差数列{an }中，共有10项,S偶 =15,S奇 =12.5, 求a1与d。
解: 该等差数列的项数为10项, 1 S偶 S奇 =n d即15-12.5=5 d,解得d 2 又 S偶 S奇 1 10 9 2 S10即15 12.5 10a1 2
例 题 讲 解 1 2 例3.已知数列{an}的前n项和为Sn n n, 求这个数列 2 的通项公式，这个数列是等差数列吗?如果是，它的 首项与公差分别是什么？
解：Sn a1 a2 an1 an
2
1 1 1 2 a n s n s n1 n n [( n 1) (n 1)] 2n 当n >1时： 2 2 2 1 3 ① 2 当n=1时：a1 s1 1 1 也满足①式. 2 2 1 数列{an }的通项公式为an 2n . 3 2 由此可知：数列{an}是以 为首项，公差为2的等差数列. 2
等差数列的前n项和-概念解析
数学教育
等差数列的前n项和公式是数学 教育中的重要内容，是中学数学
课程中的必修知识点。
在物理领域的应用
物理学中的周期性现象
等差数列的前n项和公式可以用于描述物理学中的周期性现象，例如声音的振 动、波动等。
物理学中的序列问题
等差数列的前n项和公式可以用于解决物理学中的序列问题，例如在研究粒子运 动、流体动力学等领域中，可以通过等差数列的前n项和公式来描述一系列物理 量的变化规律。
解答
由于该等差数列是偶数项，所以它的前10项和等于中间两 项之和（第5项和第6项）乘以10除以2，即$(3 - 3) times 10 / 2 = 0$。
习题三：等差数列前n项和的实际应用问题
01 总结词
02 详细描述
03 应用1
04 应用2
05 应用3
掌握等差数列前n项和在实 际问题中的应用
等差数列前n项和在实际问 题中有着广泛的应用，如 计算存款、贷款、工资等 问题。
总结词
详细描述
公式
示例
解答
理解等差数列前n项和的 概念
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和，可以通过公式 或递推关系式来求解。
$S_n = frac{n}{2} times (2a_1 + (n-1)d)$，其中 $a_1$是首项，$d$是公 差，$n$是项数。
求等差数列$1, 3, 5, 7, ldots$的前5项和。
等差数列前n项和的公式推导
等差数列前n项和的公式可以通过数学归 纳法进行推导。
化简得：$S_{k+1} = frac{(k+1)}{2}(2a_1 + kd)$，所以当n=k+1时，公式也成立。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
等差数列的前n 项和
一：教学目标：
探索并掌握等差数列的前n 项和的公式，学会用公式解决一些实际问题，体会等差数列前n 项和与二次函数之间的联系。
二：重点难点：
重点：(1)等差数列前n 项和及推导方法：分组求和、倒序相加。
（2）与等差数列前n 项和有关的等差数列的性质。
难点：运用等差数列的前n 项和及其性质解决一些简单的问题。
三：知识链接：
1、等差数列{}n a 的前n 项和是n S = 或 ；当d 0≠时，前n 项和为n 的二次式，且常数项为 ，即=n S ，二次项系数为
2、在等差数列中，依次取相同的项数求和也成等差数列，即 成等差数列。
3、项数为偶数2n 的等差数列{}n a ，有()()()1122212+-+==+=+=n n n n n a a n a a n a a n S Λ（
n a 与1+n a 为中间的两项）;=-偶奇S S d;
1n n a a
S S +=偶奇.项数为奇数2n-1的等差数列{}n a ，有()n n a =S (n a 为中间项)；n a =-偶奇S S ，
=偶
奇S S 。
偶奇、S S 分别为数列中所有奇数项
的和与所有偶数项的和。
4、若0,01πφd a ，则n S 有最 值（填“大”或“小”）,这时可有不等式组 来确定n ；若n S d a ,0,01φπ有最 值，可由不等式组 来确定n
5、等差数列{}{}=n
n
n
n b a 1n ,），则有以下结论：（和项和分别为的前T S b a n n
()=n
m
b a 2
四、知识探究 探究1、等差数列前n 项和的求法 例：已知等差数列{}n a . （1）.d n ,5,2
3
,651和求-=-==
n n S a a （2）d a 172S 4a 881和，求，==.
变式：（1）已知等差{}n a 的前5项和为25，第8项等于15，求第21项. （2）等差数列-16，-12，-8，…，前几项的和为72？
探究2：
求等差数列{}n a 的前n 项和{}n n 2n a ,2
205
23T n n S n 项和的前求数列+-= 变
式：
{}{}n n n 157n n n n n ,75,7n a a T S T S S S 项和，求的前为数列项和，已知的前为数列为等差数列，⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧==
五、基础达标
1、已知数列{}n a 通项公式为n a n 32-=，则数列的前n 项和n S 等于（ ）
Ａ、2232n n +-
Ｂ、2232n n -- Ｃ、2232n n + Ｄ、2
232n n -
２、在等差数列{}
的值是，那么中，101n a a 120+=S a n （ ） Ａ、１２ Ｂ、２４ Ｃ、３６ Ｄ、４８
３、等差数列{}和项和则使前公差中，n 93n ,0,a S d a a n π=取得最大值的自然数是（ ）
Ａ、４或５ Ｂ、５或６ Ｃ、６或７ Ｄ、不存在
４、一个只有有限项的等差数列，它的前５项和为３４，最后５项的和为１４６，所有项的和为２３４，则它的第七项等于（ ）
Ａ、２２ Ｂ、２１ Ｃ、１９ Ｄ、１８
５、等差数列{}
等于那么中，已知815a ,90=S a n （ ） Ａ、３ Ｂ、４ Ｃ、６ Ｄ、１２
６、等差数列{}n a 的前ｍ项和为３０，前２ｍ项和为１００.则它的前３ｍ项的和为（ ） A 、130 B 、170 C 、210 D 、260
7、在等差数列{}
99531100,1452
1
d a a a a S a n ++++==Λ则，中，公差的值为（ ） A 、57 B 、58 C 、59 D 、60
8、已知等差数列{}n a 的前n 项和为38,0m 1m ,122
11==-+∈-+-m m m m n S a a a N S ，且，若φ，则m 等于
9、在等差数列{}
的最大值求中n n S S S a a ,,25,9171==.
六、本节小结：
七、作业课本P45练习题 P46习题A 组。