学生第1讲相似三角形培优讲义1

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相似三角形培优专题讲义

相似三角形培优专题讲义知识点一：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m ：n例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm ，求线段AB 与CD 的比。

2.比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dcb a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。

（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。

）例：b,a,d,c 是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d 的长度。

（2）比例性质1.基本性质:bc ad d cb a =⇔= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： cda b d c b a =⇒= (把比的前项、后项交换)3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ ．注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．例：已知的值求fd be c af d b f e d c b a ++++≠++===),0(545.合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变）．知识点二：平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。

《相似三角形》讲义

《相似三角形》讲义一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就叫做相似三角形。

相似三角形是初中数学中非常重要的一个概念，它在几何证明、计算以及实际生活中都有着广泛的应用。

二、相似三角形的判定1、两角分别相等的两个三角形相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

这是因为三角形的内角和为 180 度，当两个角相等时，第三个角也必然相等。

例如，在三角形ABC 和三角形A'B'C'中，如果∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。

2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果AB/A'B' ＝ AC/A'C'，且∠A ＝∠A'，那么三角形 ABC 相似于三角形A'B'C'。

3、三边成比例的两个三角形相似如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果 AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝AC/A'C'，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。

三、相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等这是相似三角形的基本性质之一。

因为相似三角形是通过对应角相等来定义的，所以相似三角形的对应角必然相等。

2、相似三角形的对应边成比例相似三角形的对应边的比值是相等的，这个比值称为相似比。

例如，如果三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'，相似比为 k，那么 AB/A'B' ＝BC/B'C' ＝ AC/A'C' ＝ k。

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第1讲相似三角形讲义学习目标解三角形相似的判定方法学习重点：能够运用三角形相似判定方法解决数学问题及实际问题．学习难点：运用三角形相似判定方法解决数学问题的思路学习过程一、证明三角形相似例1：已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE∽△ABC例2、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。

下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形EC(2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。

ABCDE12AABB C CDDEE12412(3)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。

观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及△EAF与△ECA二、相似三角形证明比例式和乘积式例3、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DF∙AC=BC∙FEAB CDE FAB CDEFK例4：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ，交BA 的延长线于点D 。

求证：（1）MA 2=MD ∙ME ；（2）MD MEADAE =22三、相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。

例5：已知：如图E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和AD 上的点，且31==AD AF AB EB 。

求证：∠AEF=∠FBD例6、直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，BCDE 是正方形，AE 交BC 于F ，FG ∥AC 交AB 于G ，求证：FC=FG例7、Rt △ABC 锐角C 的平分线交AB 于E ，交斜边上的高AD 于O ，过O 引BC 的平行线交AB 于F ，求证：AE=BFABCDEM12A B CD E F GA B C D F G E AB C DE F O123E 图2目标训练一、填空题1、两个相似三角形的面积比S 1:S 2与它们对应高之比h 1:h 2之间的关系为．2、如图2，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果23BE BC =，那么BF FD= ．233、如图，点1234A A A A ，，，在射线OA 上，点123B B B ，，在射线OB 上，且112233A B A B A B ∥∥，213243A B A B A B ∥∥．若212A B B △，323A B B △的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为．4. △ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，且AD ：1，则S △ADE ：S 四边形DFGE ：S 四边形FBCG =二、选择题1.已知△ABC∽△DEF，且AB ：DE=1：2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为（）(A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：12.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（）A ．只有1个B ．可以有2个C ．有2个以上但有限D ．有无数个3.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm ，下半身长x与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（） A ．4cm B ．6cm C ．8cm D ．10cm4、如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的（）Ａ．91 Ｂ．92 Ｃ．31Ｄ．94（第3题图）1 2 345、如图，直角梯形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝CD ，E 为梯形内一点，且∠BEC ＝90°，将△BEC 绕C 点旋转90°使BC 与DC 重合，得到△DCF ，连EF 交CD 于M ．已知BC ＝5，CF ＝3，则DM:MC 的值为（） A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:46、如图，在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形，则,,a b c 满足的关系式是（） A 、b a c =+ B 、b ac = C 、222b ac =+ D 、22b a c ==7、如图,Rt △ABAC 中,AB ⊥AC ,AB =3,AC =4,P 是BC 边上一点,作PE ⊥AB 于E,PD ⊥AC 于 D ,设BP =x ,则PD+PE =（） A.35x + B.45x -C.72D.21212525x x -三、解答题1、如图5，在△ABC 中，BC>AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC,∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连结EF.（1）求证：EF ∥BC.（2）若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积.2、（本小题满分10分）如图：在等腰△ABC 中，CH 是底边上的高线，点P 是线段CH 上不与端点重合的任意一点，连接AP 交BC 于点E,连接BP 交AC 于点F. (1) 证明：∠CAE=∠CBF; (2) 证明：AE=BF;(3) 以线段AE ，BF 和AB 为边构成一个新的三角形ABG （点E 与点F 重合于点G ），记△ABC 和△ABG 的面积分别ABCDE P为S △ABC 和S △ABG ,如果存在点P,能使得S △ABC =S △ABG ,求∠C 的取之范围。

相似三角形一对一辅导讲义

教学目标1、相似三角形的判定定理2、利用相似三角形的性质及判定解题重点、难点1、相似三角形的判定定理2、平行线分线段成比例定理考点及考试要求1、相似三角形的性质及判定2、利用相似三角形的性质及判定解题教学内容第一课时相似三角形知识梳理课前检测⒈若AB=1m，CD=25cm，则AB∶CD= ；若线段AB=m, CD=n，则AB∶CD= .⒉若MN∶PQ=4∶7，则PQ∶MN= ，MN= PQ ，PQ= MN 。

3. 已知4x－5y=0，则（x＋y）∶（x－y）的值为．4. 若x∶y∶z=2∶7∶5，且x－2y＋3z=6，则x= ，y= ，z= ；5. 已知点C是线段AB的黄金分割点, 且AC>BC则, AC∶AB= .知识梳理1 预备定理一平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。

（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。

这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明）二如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似。

三如果两个三角形的两组对应边成比例，并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。

四如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似五（定义）对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形六两三角形三边对应垂直，则两三角形相似。

七两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似。

八由角度比转化为线段比：h1/h2=Sabc九（易失误）比值是一个具体的数字如：AB/EF=2而比不是一个具体的数字如：AB/EF=2：12 一定相似6.两个全等的三角形全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：17.任意一个顶角或底角相等的两个等腰三角形两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。

8.两个等边三角形( 两个等边三角形，三个内角都是60 度，且边边相等，所以相似)9.直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形3 判定定理基本判定(1) 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

相似培优个性化讲义

相似培优个性化讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1个性化辅导教案提纲教师：学生：时间：年月日学段：②如果一个三角形的两条边分别与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两③如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． ①它们的对应边成比例，对应角相等；②它们的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比；ABC ⇒∆∆ABC ⇒∆E Q M AB C N P D 已知：cb b ac b b a -+==:.45,32求的值. 如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边长BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少如图5－130，在ΔABC ，中∠C=60°，AD ，BE 是ΔABC 的高，DF 为ΔABD 的中线.求证：DE=DF.(提示：证明ΔCDE ∽ΔCAB ，得到21=AB DE .)1、如图，C 为线段AB 上的一点，△ACM 、△CBN 都是等边三角形，若AC ＝3，BC ＝2，则△MCD 与△BND 的面积比为。

2、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于O 点，S △AOD :S △COB ＝1:9，则S △DOC :S △BOC ＝3、如图,已知点D 是AB 边的中点,AF ∥BC,CG ∶GA=3∶1,BC=8,则AF ＝已知：平行四边形ABCD ，E 是BA 延长线上一点，CE 与AD 、BD 交于G 、F ，求证：EF GF CF ⋅=2。

A B C D M N 第15题A B C D O 第16题 AB D F GC E 第17题，垂足分别为。

相似三角形的培优讲义

相似21、数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米，则树高为米．2、（2009年淄博市）如图，梯形ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于梯形中位线EF 上的一点P ，若EF =3，则梯形ABCD 的周长为（）A ．9B ．10.5C ．12D ．153、(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当PA +PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为（）A 、17172B 、17174 C 、 17178D 、3 4、（2009年重庆市江津区）在△ABC 中，BC =10，B 1 、C 1分别是图①中AB 、AC 的中点，在图②中，2121、C 、C 、B B 分别是AB ,AC 的三等分点，在图③中921921;C 、C C B 、、B B 分别是AB 、AC的10等分点，则992211C B C B C B +++ 的值是（）A . 30B . 45C .55D .60① ② ③5、(2009年陕西省)小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD ＝1.2m ，CE ＝0.8m ，CA ＝30m （点A 、E 、C 在同一直线上）．已知小明的身高EF 是1.7m ，请你帮小明求出楼高AB ．A BCD EF P6、如图,已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC,点E 、F 在AB 上,∠ECF=45°.（1）求证:△ACF ∽△BEC ；（2）设△ABC 的面积为S ，求证:AF ·BE=2S.7、如图,在△ABC 中,AB=AC,AD ⊥BC,DE ⊥AC,M 为DE 的中点,AM 与BE 相交于N,AD 与BE 相交于F.求证:（1）DE CE =AD CD ；（2）△BCE ∽△ADM ；（3）AM 与BE 互相垂直.45°A EFBC ADBFE N MC8、（2009年中山）正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；（2）设BM x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求x 的值．9．如图，已知矩形ABCD 的边长AB=2，BC=3，点P 是AD 边上的一动点（P 异于A 、D ），Q 是BC 边上的任意一点. 连AQ 、DQ ，过P 作PE ∥DQ 交AQ 于E ，作PF ∥AQ 交DQ 于F. （1）求证：△APE ∽△ADQ ；（2）设AP 的长为x ，试求△PEF 的面积S △PEF 关于x 的函数关系式，并求当P 在何处时，S △PEF 取得最大值？最大值为多少？（3）当Q 在何处时，△ADQ 的周长最小？（须给出确定Q 在何处的过程或方法，不必给出证明）A BCD PEFQ10、(2009年宁德市)如图（1），已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN 上，E 是BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ．（1）连接GD ，求证：△ADG ≌△ABE ；（2）连接FC ，观察并猜测∠FCN 的度数，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB =a ，BC =b （a 、b 为常数），E 是线段BC 上一动点（不含端点B 、C ），以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上．判断当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小是否总保持不变，若∠FCN 的大小不变，请用含a 、b 的代数式表示tan ∠FCN 的值；若∠FCN图（2）NM B E C DFG图（1）A巩固练习1、(2009年温州)一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22．5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( ) A．第4张 B．第5张 C.第6张 D．第7张2、（2009年孝感）如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是．3、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=40cm，BC=48cm，动点P从A开始沿AD边向D以每秒2cm的速度运动，动点Q开始沿CB边向B以每秒6cm的速度运动.P、Q分别从点A、C同时出发，设运动时间为t秒，则（1）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）t为何值时四边形PQCD为等腰梯形？4、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AD=3,BC=7,∠B=60°P为下底BC上一点（不与B,C重合），连接AP,过点P作PE交DC于E，使∠APE=∠B(1)求证：△AB P∽△PCE (2)求等腰梯形的腰AB的长（3）在底边BC上是否存在点P，使得DE：EC=5:3，如果存在，求BP的长，如果不存在，说明理由PAB CDQ证:△ABP∽△DPC；（2）如果点P在AD边上移动（P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么,当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x，CQ=y，求关于的函数解析式,并写出函数的取值范围.6、如图，在平面直角坐标系内，已知点A(0，6)、点B(8，0)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段DA上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P、Q移动的时间为t秒，(1)求直线AB的解析式；(2)当t为何值时，△APQ与△AOB相似?并求出此时点P与点Q的坐标；(3)当t为何值时，△APQ的面积为245个平方单位?B CDAPEQB CDA P。

第四章相似三角形培优生讲义 (1)

九年级上册第四章相似三角形培优生讲义一．解答题（共40小题）1．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E、F在AB边上，且E是BF 中点，连接DE，CF交AD于G，．（1）求证：△AFG∽△AED；（2）若FG=3，G为AD中点，求CG的长．2．如图，一位同学想利用树影测量树AB的高，他在某一时刻测得直立于地面上的一根长为1m的竹竿影长为0.9m，但他马上测量树AB的影长时，因树AB 靠近一幢建筑物，有一部分影子落在建筑物的墙上，他先测得落在建筑物墙上的影高CD为1.2m，又测得落在地面上的影长为2.7m，求树AB的高．3．如图，某测量人员的眼睛A与标杆顶端F、电视塔顶端E在同一条直线上，已知此人的眼睛到地面的距离AB=1.6m，标杆FC=2.2m，且BC=1m，CD=5m，标杆FC、ED垂直于地面．求电视塔的高ED．4．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，QR∥BA，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q 运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t为何值时，△APR∽△PRQ？5．如图，点D是等边△ABC中BC边上一点，过点D分别作DE∥AB，DF∥AC，交AC，AB于E，F，连接BE，CF，分别交DF，DE于点N，M，连接MN．试判断△DMN的形状，并说明理由．6．如图，已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AC交于点F（1）写出图中的相似三角形；（2）求证：AE2=AF•AC．7．对于平行线，我们有这样的结论：如图1，AB∥CD，AD，BC交于点O，则=．请利用该结论解答下面的问题：如图2，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．8．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数．9．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，求证：△ABE∽△DEF．10．如图，已知∠1=∠2，∠AED=∠C，求证：△ABC∽△ADE．11．已知：如图，△ABC中，∠ACD=∠B，求证：△ABC∽△ACD．12．如图，在△ABC和△CDE中，∠B=∠D=90°，C为线段BD上一点，且AC⊥CE，证明：△ABC∽△CDE．13．如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足E为BC中点，连接DE，F 为DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=2，求AF的长．14．如图，九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD=3m，标杆与旗杆的水平距离BD=15m，人的眼睛与地面的高度EF=1.6m，人与标杆CD的水平距离DF=2m，人的眼睛E、标杆顶点C和旗杆顶点A在同一直线，求旗杆AB的高度．15．如图，在三角形ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AD：DB=3：2，BC=25，求FC 的长．16．如图，AC∥BD，AD、BC相交于E，EF∥BD，求证：+=．17．已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F（AB＞AE）．问：△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由．18．已知，如图在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P由点A出发沿AB方向向终点点B匀速移动，速度为1cm/s，点Q由点B出发沿BC方向向终点点C匀速移动，速度为2cm/s．如果动点P，Q同时从A，B出发，当P或Q 到达终点时运动停止．几秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似？19．如图，在正方形ABCD中，E为BC上任意一点（与B、C不重合）∠AEF=90°．观察图形：（1）△ABE与△ECF是否相似？并证明你的结论．（2）若E为BC的中点，连结AF，图中有哪些相似三角形？并说明理由．20．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，求证：△ABE∽△DEF．21．已知：如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．求证：△ABD∽△CBA．22．如图，△ABC是等边三角形，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上点，且∠DAE=120°（1）求证：△ADB∽△EAC；（2）求证：BD•EC=BC2．23．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．（1）求证：△ABC∽△FCD；（2）若△FCD的面积为7.5，BC=10，求DE的长．24．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=12cm，高AD=8cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．且矩形的长与宽的比为3：2，求这个矩形零件的边长．25．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AD=4，BD=8，DE=5，求BF的长．26．如图，矩形ABCD∽矩形ECDF，且AB=BE，求BC与AB的比值．27．在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4米（如图1）．小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.3米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.5米．（1）在横线上直接填写甲树的高度为米．（2）求出乙树的高度．（3）请选择丙树的高度为A、6.5米B、5.5米C、6.3米D、4.9米．28．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯CD的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD 的长．（结果精确到0.1m）．29．如图，地面上直立着的两根高压电线杆相距50m（CD的长度），分别在高为30m的A处和20m的B处用钢索将两电线杆固定．（1）求钢索AD和钢索BC的交点E处离地面的高度．（2）若两电线杆的距离（CD的长度）发生变化，点E离地面的高度是否随之发生变化？说明理由．30．以定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上（AM＞MD），如图所示．（1）求证：M是线段AD的黄金分割点．（2）如果AB=，求AM的长．（3）作PN⊥PD交BC于N连ND．△BPN与△PDN是否相似．若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由．31．一块直角三角形木块的面积为1.5m2，直角边AB长1.5m，想要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲、乙两人的加工方法分别如图①、图②所示．你能用所学知识说明谁的加工方法更符合要求吗？32．如图，已知BD、CE都是△ABC的高，CE交BD于O，（1）请你写出图中的相似三角形；（2）从中挑选其中的一对进行证明．33．在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点：求证：（1）DE∥BC且DE=BC；（2）若△ABC面积为S，求证：S=．△DEF34．如图，已知正方形ABCD和正方形DEFG，点G在AD上．连接AE交FG于点M，连接CG并延长交AE于点N，（1）写出图中所有与△EFM相似的三角形；（2）证明：EF2=FM•CD．35．求比例式的值常用的方法有“设参消参法”“代入消元法”“特殊值法”．例：已知==，求的值．方法1：设===k，则x=2k，y=5k，z=7k，所以===．方法2：由==，得y=x，z=x，代入，得===．方法3：取x=2，y=5，z=7，则==．参考上面的资料解答下面的问题．已知a，b，c为△ABC的三条边，且（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）=﹣2：7：1，a+b+c=24．（1）求a，b，c的值；（2）判断△ABC的形状．。

九上(学生) 相似三角形讲义

第1讲相似图形与成比例线段之公保含烟创作【学习目标】1、从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,了解相似图形概念.2、了解成比例线段的概念，会确定线段的比.【学习重点】相似图形的概念与成比例线段的概念.【学习难点】成比例线段概念.【学习进程】知识点一：比例线段定义：关于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另外两条线段的比，如果a cb d，那么就说这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段.例：如四条线段的长度辨别是4cm、8cm、3cm、6cm判断这四条线段是否成比例？解：练习一：1、如图所示：（1）求线段比ABBC、CDDE、ACBE、ACCD（2）试指出图中成比例线段2、线段a、b、c、d的长度辨别是30mm、2cmcm、12mm 判断这四条线段是否成比例？3、线段a 、b 、c 、d、2、判断这四条线段是否成比例？ 4、已知A 、B 两地的实际间隔是250m 若画在图上的间隔是5cm ，则图上间隔与实际间隔的比是___________5、已知线段a=12、 b =2、c=2、若a c b x =，则x =_________若()0b y y y c =>，则y =__________6、下列四组线段中，不成比例的是（）知识点二：比例线段的性质比例性质是依据等式的性质失掉的，推理进程如下：（1）基赋性质：如果a cb d =，那么ad bc =（两边同乘bd ，0bd ≠）在0abcd ≠的情况下，还有以下几种变形b d ac =、a b cd =、c d a b =（2）合比性质：如果a c b d =，那么a b c d b d ±±= （3）等比性质：如果a c e m b d f n ====()0b d f n ++++≠，那么a c e m a b d f n b ++++=++++例2 填空：如果23a b =，则a =2a =、 a b b +=、 a b b -= 练习二：1、已知35a b =，求a b a b +-2、若234a b c ==，则23a b c a ++=_________3、已知mx ny =，则下列各式中不正确的是（） A m x n y = B m n y x = C y m x n = Dx y n m = 4、已知570x y -=，则x y=_______5、已知345x y z ==，求x y z x y z +++-=________ 第2讲平行线分线段成比例【学习目标】1.了解掌握平行线分线段成比例定理，会用符号“∽”暗示相似三角形，如△ABC ∽△C B A ''';2.知道相似多边形的主要特征3.会依据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质停止相关的计算.【学习重点】了解掌握平行线分线段成比例定理及应用．相似多边形的主要特征与识别.【学习难点】掌握平行线分线段成比例定理应用．运用相似多边形的特征停止相关的计算.【学习进程】知识点三：平行线分三角形两边成比例线段(1) 如图27.2-1),任意画两条直线l 1 , l 2,再画三条与l 1 , l 2 相交的平行线l 3 , l 4,l 5.辨别量度l 3 , l 4,l 5.在l 1 上截得的两条线段AB, BC 和在l 2 上截得的两条线段DE, EF 的长度, AB ︰BC 与DE ︰EF 相等吗?任意平移l 5 , 再量度AB, BC, DE, EF 的长度, AB︰BC 与DE ︰EF 相等吗?(2) 问题，AB ︰AC=DE ︰（），BC ︰AC=（）︰DF ．强调“对应线段的比是否相等”(3) 归结总结：平行线分线段成比例定理三条_________截两条直线，所得的_______________. 应重点关注：平行线分线段成比例定理中相比线段同线；4）例1 如图、若AB=3cm ，BC=5cm ，EK=4cm ，写出EK KF = =_____、AB AC =______. 求FK 的长? [活动2]平行线分线段成比例定理推论l 1 , l 2两条直线相交，交点A 刚落到l 3上，如图27.2-2（1），，所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？ l 1 , l 2两条直线相交，交点A 刚落到l 4上，如图27.2-2（2），AB CE K F所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？3、任意平移l 5 , 再量度AB, BC, DE, EF 的平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所截得的3、归结总结：平行线分线段成比例定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的线段.例1:如图在ABC ∆中,90C ∠=︒，,3,2,5DE BC BD cm DC cm BE cm ⊥===求EA 的长解：例2如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD=EC ，DB=1cm ，AE=4cm ，BC=5cm ，求DE 的长．剖析：由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，再由相似三角形的性质，有AC AE AB AD =，又由AD=EC 可求出AD 的长，再依据AB AD BC DE =求出DE 的长．解：[稳固练习]1.如图，在△ABC 中，DE∥BC，AC=4 ，AB=3，ECD 和BD. 2．如图，在□ABCD 中，EF ∥AB ，DE:EA=2:3，EF=4，求CD 的长．[能力提升]1．如图，△ABC ∽△AED,其中DE ∥BC ，找出对应角并写出对应边的比例式．2．如图，△ABC ∽△AED ，其中∠ADE=∠B ，找出对应角并写出对应边的比例式．[归结]判定三角形相似的（预备）定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所成的三角形与原来三角形相似.这个定理提醒了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线结构三角形与已知三角形相似．练习2：1、如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，DE ⊥AC 交AB 于D ，交AC 于E ，如果DE =5，AE =12， AC =28.求AB 的长2、在ABC ∆中，DE //BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，F 为BC 上一点，DE 交AF 于G ，已知AD=2BD ，AE =5，求（1）AG AF ；（2）AC 的长3、如图：在ABC ∆中，点D 、E 辨别在AB 、AC 上，已知AD =3，AB =5，A E=2，EC =43，由此判断DE 与BC 的关系是___________,理由是____________________________4、如图：AM ：MB=AN ：NC=1：3，则MN ：BC=__________5、如图：在ABC ∆中，90C ∠=︒，四边形EDFC 为内接正方形，AC =5，BC =3，求：AE ：DF 的比值.6、在ABC ∆中，D 、E 辨别在AB 、AC 上，且DE //BC ，如果23AD DB =，且AC ＝10，求AE 及EC 的长.7．如图，DE ∥BC ，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC 的值；（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE 和BC 的长．8、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h ．(设网球是直线运动)第3讲相似多边形【学习目标】1．知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.2．会依据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质停止相关的计算.【学习重点】相似多边形的主要特征与识别.【学习难点】运用相似多边形的特征停止相关的计算.【学习进程】[探究研讨][活动1]察看，图27.1-4(1)中的△A 1B 1C 1是由正△ABC 缩小后失掉的,察看这两个图形,它们的对应角有什么关系？对应边又有什么关系呢？知识点四：相似多边形1、相似形定义：具有的图形称为相似形2、相似多边形：对应角，的多边形叫相似多边形3、相似多边形的性质：○1相似多边形的对应角相等，对应边的比相等反过去，如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似.3．【结论】：（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角______，对应边的比_______．反之，如果两个多边形的对应角______，对应边的比_______，那么这两个多边形_______．几何语言：在⊿ABC 和⊿A 1B 1C 1中若111;;C C B B A A ∠=∠∠=∠∠=∠．则⊿ABC 和⊿A 1B 1C 1相似（2）相似比：相似多边形________的比称为相似比．问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？结论：相似比为1时，相似的两个图形______，因此________形是一种特殊的相似形．[例题解析]例1、（选择题）下列说法正确的是（）A．所有的平行四边形都相似 B．所有的矩形都相似C．所有的菱形都相似 D．所有的正方形都相似剖析：A中平行四边形各角纷歧定对应相等，因此所有的平行四边形纷歧定都相似，故A错；B中矩形虽然各角都相等，然则各对应边的比纷歧定相等，因此所有的矩形纷歧定都相似，故B错；C中菱形虽然各对应边的比相等，然则各角纷歧定对应相等，因此所有的菱形纷歧定都相似，故C也错；D中任两个正方形的各角都相等，且各边都对应成比例，因此所有的正方形都相似，故D说法正确，因此此题应选D．例2、如图：已知，四边形ABCD与四边形A B C D''''相似，求B C''，C D''长和D∠年夜小解：5稳固练习11．在比例尺为1﹕10 000 000的地图上，量得甲、乙两地的间隔是30cm，求两地的实际间隔．2．如图所示的两个直角三角形相似吗？为什么？3．如图所示的两个五边形相似，求未知边a、b、c、d 的长度．4如图，四边形ABCD 和EFGH 相似，求角βα和的年夜小和EH 的长度x ．练习2：1、下列说法正确的是（）A 任意两个菱形一定相似B 任意两个矩形一定相似C 有一个角是30︒的两个等腰三角形相似D 任意两个等腰直角三角形一定相似2、已知26AOB ∠=︒，在缩小镜里看到的AOB ∠的度数是___________3、在ABC ∆中，BC ＝15cm ，AC ＝45cm,AB ＝54ｃｍ，另一个与它相似的三角形最短边是5ｃｍ，则最长一边是4、用一个缩小镜看一个四边形ABCD ，若该四边形的边长缩小10倍后，下列说法正确的是（）A A ∠是原来的10倍B 周长是原来的10倍C 每个内角都发作了变卦D 以上说法都分歧毛病5.四边形ABCD 与四边形A B C D ''''相似图形，且A 与A '、B 与B '、C 与C '是对应点，已知AB ＝10、BC ＝8、CD ＝８、AD ＝６、30A B ''=，求四边形A B C D ''''的其余三边的边长及周长.6.正五边形ABCDE ∽正五边形A B C D E '''''，且2AB A B =''，若6C D ''=，则CD ＝＿＿＿○2相似多边形对应边，周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方例5：如图：在等腰梯形ABCD中，上底为5，下底为13，腰长为5，等腰梯形A B C D''''与它相似，相似比为32，求等腰梯形A B C D''''的周长及面积.解：练习3：1、已知多边形A与多边形B相似，且多边形A与多边形B的周长比为1：3，则:B AS S＝＿＿＿2、已知两个相似多边形的相似比为5：7，若较小的一个多边形的周长为35，则较年夜的一个多边形的周长为＿＿＿＿＿，若较年夜的一个多边形的面积是4，则较小的一个多边形的面积是＿＿＿＿＿3、两个相似多边形的最长边辨别是70和28，它们的周长和为280，则它们的周长辨别为＿4、如果把一个12ｃｍ⨯21ｃｍ的矩形按相似比为34停止变换，失掉的新矩形的周长为＿＿面积为＿＿＿＿5、两个相似多边形一组对应边的长辨别是3cm和4cm，它们的面积相差282cm，求这两个多边形的面积辨别是多少？知识点五：相似三角形1、相似三角形的定义：对应角相等，对应边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.2、相似三角形的判定办法：（1）判定办法一：定义判定（2）判定办法二：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边反向延长线）所构成的三角形与原三角形相似例题6：如图：DE //BC ，交AB 于D 、交AC 于E ，若AD ：DB ＝2：３，BC ＝１５，求DE 的长解：练习题4：1、如图：DE //BC ，则图中________∽__________,理由是__________2、如图：AB //EF //DC ，则图中相似三角形有_______对，它们辨别是________3、如图：在ABC 中，DE //BC ，AD ＝EC 、BD ＝1cm ，AE ＝4cm 、BC ＝5cm,求DE 的长4、如图：AB //CD ，OA ：OD ＝1：2，AB ＝4cm ，则CD 的长为（） A 2cm B 6cm C 8cm D 10cm5、如图：AB//CD ，则图中有_______对相似三角形第4课时相似三角形的判定：【学习目标】1．初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”第2题图第1题图“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”两角对应相等，两个三角形相似的判定办法．的判定办法，2．能够运用三角形相似的条件解决复杂的问题．【学习重点】掌握3种判定办法，会运用3种判定办法判定两个三角形相似.【学习难点】（1）三角形相似的条件归结、证明；（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．【学习进程】[知识回忆](1) 两个三角形全等有哪些判定办法？(2) 我们学习过哪些判定三角形相似的办法？(3) 相似三角形与全等三角形有怎样的关系？探究研讨1[活动1]1、如图，如果要判定△ABC与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？2、可否用相似于判定三角形全等的SSS办法，能否通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？[活动2]任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k 倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论.（1）问题：怎样证明这个命题是正确的呢？（2）探求证明办法．（已知、求证、证明）如图27.2-4，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，A C CA C B BC B A AB ''=''=''，求证△ABC∽△A ′B ′C ′证明：【归结】三角形相似的判定办法1如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．判定办法2：如果一个三角形的两条边与另外一个三角形的两条边对应成比例，而且这两条边的夹角相等，那么这两个三角形相似，复杂说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.例1 已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠ACD ，AB=6，BC=4，AC=5，CD=217，求AD 的长解：例题2：如图：BC 平分ABD ∠，AB ＝4、BD＝10、BC ＝210，求证：△ABC ∽△CBD证明：三角形相似的判定办法3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似．复杂说成：“两角对应相等，两个三角形相似”若∠=∠∠=∠A A B B ''，则∆∆ABC A B C ~'''直角三角形相似判定办法：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，这两个直角三角形相似.复杂说成：斜边与一条直角边对应成比例，则两直角三角形相似.若：AC A C AB A B ''''=则∆∆ABC A B C ~'''例3.已知：如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF 的长．[稳固练习]1 、填一填（1）如图3，点D 在AB 上，当∠＝∠时，△ACD ∽△ABC.（2）如图4，已知点E 在AC 上，若点D 在AB 上，则满足条件，就可以使△ADE 与原△ABC 相似.2..判断ABD图 3 ● A B CE图 4ABC ∆与A B C '''∆是否相似并说明理由.100A ∠=︒AB ＝5cm AC=15cm3．下列说法是否正确，并说明理由．（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形．4.在ABC DEF ∆∆和中，30A ∠=︒、AB ＝8cm 、AC=10cm 、DE=4cm 、DF=5cm 当______时△ABC ∽△DEF5如图：正方形ABCD 中，P 是BC 上一点，且BP ＝3PC 、Q 是CD 的中点，则AQ PQ =____6．如果在△ABC 中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4㎝，在△A’B’C’中，∠B’=30°A’B’=10㎝，A’C’=8㎝，这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看？7．如图，△ABC 中，点D 、E 、F 辨别是AB 、BC 、CA 的中点，求证：△ABC ∽△DEF ．8.(1)如图，△ABC 中，点D 在AB 上，如果AC 2=AD•AB，那么△ACD 与△ABC 相似吗？说说你的理由．（2）如图，△ABC 中，点D 在AB上，如果∠ACD=∠B ，那么△ACD 与△ABC相似吗？[能力提升]1．如图，AB•AC=AD•AE，且∠1=∠2，求证：△ABC ∽△AED ．2．已知：如图，P 为△ABC 中线AD 上的一点，且BD 2=PD •AD ，求证：△ADC ∽△CDP ．3、在△ABC 和△A ′B ′C ′中，如果∠A ＝80°，∠C ＝60°，∠A ′＝80°，∠B ′＝40°，那么这两个三角形是否相似？为什么？4、已知：如图，△ABC 的高AD 、BE 交于点F ．求证：FD EF BF AF =．5.已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．第5讲相似三角形的性质知识点六：相似三角形的性质：相似三角形的性质（1）相似三角形的周长比等于相似比例题1：ABC ∆与ADE ∆相似， CE ＝15、AE ＝30、D E ＝40、AD ＝20、DE //BC ，求ABC ∆的周长解：练习1：1、两个相似三角形的相似比为3：5，则周长比为__________2、两个相似三角形的相似比的平方等于2，周长之比为k ,则11k -=__________3、两个相似三角形一对对应边的长辨别为35cm 和15cm ，它们的周长差为60cm ，则这两个三角形的周长辨别是_____________4、如图：在ABC∆中，D、E、F辨别是边AB、BC、AC的中点，若ABC∆的周长为20cm,则DEF∆的周长为（）A 5cmB 10cmC 12cmD 15cm5、如图：在梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于O，若AOD∆的周长之比为1：4，且BD＝12cm，则BO的∆与COB长为__________ cm相似三角形的性质（2）：相似三角形的面积比等于相似比的平方例题2：两个相似三角形一组对应边的长辨别是3cmcm，若它们的面积和是782cm，则较年夜的三角形的面积是（）A 422cmB 522cmC 542cmD 562cm练习2：1、相似三角形的周长比等于________面积比等于___________2、已知两个相似三角形的对应边的比为1：2则它们的周长比为______面积比为________3、已知△ABC∽△A`B`C`，它们的周长辨别为56cm、72cm，则它们的面积比为_________4、在比例尺为1：1000的地图上有一块周长为6cm，面积为1.2 cm的区域，这块区域的实际周长为___________面积为__________5、如图：在ABC∆中，DE//FG//BC、且AD＝DF＝FB，则::ADE DEGF FGCB S S S 四边形四边形＝_______相似三角形的性质（3）：相似三角形对应边上的高、对应边上的中线对应边上的角平分线的比等于相似比例题3：如图：在边长为2的正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，BM ⊥CE 、MN ⊥BE ，求BM ：MN解：练习3：1、两个相似三角形的对应高的比为2：3，则对应角平分线的比为______,对应中线的比为_________,面积比为____________2、已知两个相似三角形对应角平分线的比为4：5，周长和为18cm ,那么这两个三角形的周长辨别是____________3、若△ABC ∽△A`B`C`，它们对应中线之比为m ,则对应周长比为______,对应面积比为_____4、如图：在Rt ABC ∆中，DE 垂直且平分AC 、AE //DF ,则DF ：BE ＝________5、如图：在ABC ∆中，DE //BC 、ABC ∆与ADE ∆的相似比为5：4，AM BC ⊥交DE 于M 、已知MN ＝2，求AN 的长. 第6课时相似三角形应用举例【学习目标】1．进一步稳固相似三角形的知识．2．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接丈量物体的长度和高度（如丈量金字塔高度问题、丈量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．3.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养剖析问题、解决问题的能力．【学习重点】运用三角形相似的知识计算不能直接丈量物体的长度和高度．【学习难点】灵敏运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．【学习进程】[知识回忆]1、判断两三角形相似有哪些办法?2、相似三角形有什么性质？探究研讨11、问题1：学校操场上的国旗旗杆的高度是多少？你有什么法子丈量？例3：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾应用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来丈量金字塔的高度．如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO．（思考如何测出OA的长？）剖析：依据太阳光的光线是相互平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子相互平行，从而结构相似三角形，再应用相似三角形的判定和性质，依据已知条件，求出金字塔的高度．解：[稳固练习]在某一时刻，有人测得一高为米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米，那么高楼的高度是多少米? （在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．）探究研讨2已知左、右并排的两棵年夜树的高辨别是AB=8m和CD=12m，两树根部的间隔BD=5m．一个身高的人沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当他与左边较低的树的间隔小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？解：经典例题例题1：小强用以下办法来丈量教学楼AB的高度，如图所示：在水平空中上放一面平面镜与教学楼的间隔EA=21m，当他与镜子的间隔CE=2.5m时，他刚好能从镜子中看到教学年夜楼的顶端B，已知他眼睛距空中的高度DC=1.6m，请你帮助小强计算出教学楼的高度AB为多少米？解：例题2：如图，为了预算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a 上选择适当的点T ，确定PT 与过点Q 且垂直PS 的直线b 的交点R ．如果测得QS =45m ，ST =90m ，QR =60m ，求河的宽度PQ ．解：练习：1、已知如图：AB 为树、AC 是它的影长，AD 是一段树干，AD 的影长为AE ，AC=8m 、AE=2m 、AD=1.5m,求树高AB 的长2.如图，测得BD=120 m ，DC=60 m ，EC=50 m ，求河宽AB.[能力提高]1.为了丈量一水池的宽AB,在岸边找到了一点C,使AC ⊥AB ，在AC 上找到一点D ，在BC 上找到一点E,使DE ⊥AC ，测出AD=35m ，DC=35m ，DE =30m,那么你能算出水池的宽AB 吗?E第1题图 2、如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，而且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为米．第2题图A BC D第3题图第1题图3、马戏团让狮子和公鸡饰演跷跷板节目，如图：跷跷板支柱AB的高度为1.2米，（1）若吊环高度为2米，支点A为PQ中点狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？（2）若吊环高度为3.6米，在不改动其他条件的前提下，移动支柱，当支点A移到PQ的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？4.某社区拟筹资金2000元，方案在一块上、下底辨别为10m、20m的梯形空地上种植花木，如图：他们想在AMD∆和BMC∆地带种植价钱为10元/m2的太阳花，外地AMD∆带种满花后已经花了500元，请预算一下，若持续在BMC∆地带种植同第4题图样的太阳花，资金地否够用？并说明理由.5、李乐同学要在校园里丈量一棵年夜树的高度，他发现树旁有一根高2.5m的电线杆，当他与年夜树和电线杆站在同一条直线上时，其前后间隔，恰好使他的头顶、树顶、电线杆的顶点也都在一条直线上，他又用皮尺量得他和电线杆之间的水平间隔为3m，电线杆与树间的水平间隔为10m，同时他借助他1.7m的身高，确定了树的高度，你能剖析他是如何计算出来的吗？6、小明想应用树影丈量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上丈量树影时，因树接近一幢修建物，影子不全落在空中上，有一局部影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得空中局部的影长2.7m，他求得的树高是多少？第7课时位似【学习目标】1、了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联络和区别，掌握位似图形的性质．2、掌握位似图形的画法，能够应用作位似图形的办法将一个图形缩小或缩小．【学习重点】位似图形的有关概念、性质与作图．【学习难点】应用位似将一个图形缩小或缩小．【学习进程】[探究研讨][活动1]提出问题：生活中我们常常把自己美观的照片缩小或缩小，由于没有改动图形的形状，我们失掉的照片是真实的.察看图27.3-2图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似什么共同的特征？通过察看了解到有一类相似图形，除具有相似的所有性质外，还有其特性，学生自己归结出位似图形的概念：如果两个图形不只是相似图形，而且是每组对应点连线相交于一点，对应边相互平行，那么这样的两个图形叫做位似图形.这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为相似比.（位似中心可在形上、形外、形内.)知识点八：位似1、位似的定义：两个多边形不只相似，而且对应顶点的连线交于一点，对应边相互平行的两个图形叫做位似图形.交点叫做位似中心. 每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．2、位似的性质：位似图形对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的比等于相似比3、应用位似，可以将一个图形缩小或缩小4、位似变换与坐标的关系在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或k - 例题1：已知EFH ∆和MNK ∆是位似图形，请找出位似中心A 例2：把图1中的四边形ABCD 缩小到原来的21．剖析：把原图形缩小到原来的21，也就是使新图形上各顶点到位似中心的间隔与原图形各对应顶点到位似中心的间隔之比为1∶2 ．作法一：（1）在四边形ABCD外任取一点O ；（2）过点O 辨别作射线OA ，OB ，OC ，OD ；（3）辨别在射线OA ，OB ，OC ，OD 上取点A ′、B ′、C ′、D ′，使得21OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='；（4）顺次衔接A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′，失掉所要画的四边形A ′B ′C ′D ′，如图2．问：此题目还可以如何画出图形？作法二：（1）在四边形ABCD 外任取一点O ；（2）过点O 辨别作射线OA ， OB ， OC ，OD ；（3）辨别在射线OA ， OB ， OC ， OD 的反向延长线上取点A ′、B ′、C ′、D ′，使得21OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='；（4）顺次衔接A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′，失掉所要画的四边形A ′B ′C ′D ′，如图3．作法三：（1）在四边形ABCD 内任取一点O ；（2）过点O 辨别作射线OA ，OB ，OC ，OD ；（3）辨别在射线OA ，OB ，OC ，OD 上取点A ′、B ′、C ′、D ′，使得21OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='；（4）顺次衔接A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′，失掉所要画的四边形A ′B ′C ′D ′，如图4．（当点O 在四边形ABCD 的一条边上或在四边形ABCD 的一个顶点上时，作法略——可以让学生自己完成）例题3：如图：五边形ABCDE 与五边形A B C D E '''''是位似图形，O 为位似中心、OD ＝12OD '，则A B AB ''为（）A 2:3B 3:2C1:2D 2:1例题4：ABC ∆三个顶点坐标辨别为()6,6A -、()8,2B -、()4,0C -、画出它的以原点为位似中心，相似比为12的位似图形. 解3、运用位似图形的有关概念解决详细问题例题5：印刷一张矩形的张贴广告，如图所示，它的印刷面积是32dm ，上下各空白1dm ，两边各空白0.5dm ，设印刷局部从上到下的长是x dm ，四周空白处的面积为S 2dm（1）求S 和x 的关系式;（2）当要求四周空白处的面积为182dm ,求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少？（3）在（2）的条件下，内外两个矩形的位似图形吗？说明理由.解：（3）内外两个矩形是位似图形，因为两矩形相似，且对应顶点的连线都经过矩形中心，如图所示稳固练习11．画出所给图中的位似中心．2.把右图中的五边形ABCDE 扩展到原来的2倍．[能力提升]1．已知：如图，△ABC，画△A′B′C′，使△A′B′C′∽△ABC ，且使相似比为1.5，要求（1）位似中心在△ABC 的外部；（2）位似中心在△ABC 的内部；（3）位似中心在△ABC 的一条边上；（4）以点C 为位似中心．练习2：1、如图：△ADE ∽△ABC ， ABC ∆与ADE ∆_______位似图形（填“是”或“不是”）2、应用位似图形可以将一个图形_________或___________3、下列说法正确的 ( )A 相似的两个正五边形一定是位似图形B 两个年夜小分歧的正三角形一定是位似。

相似三角形培优

相似三角形培优备课老师：梁老师学生：王子建【核心知识梳理】一、比例线段和三角形一边的平行线知识要点1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==()b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。

把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ²BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。

2. 比例性质：①基本性质：a b cd ad bc=⇔=②合比性质：±±a b c d a b b c d d =⇒=③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++⇒++++++=()03. 平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。

则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF ===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

编号3二、归纳导入(呈现知识)1、相似三角形的概念（1）对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

相似用符号“∽”表示，读作“相似于” 。

（2）相似三角形对应角相等，对应边成比例。

（3）相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)。

（4）全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例。

（5）相似三角形的等价关系①反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆。

②对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆。

初三相似三角形讲义

初二升初三数学相似三角形知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。

如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C / 。

相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。

注意：（1）相似比是有顺序的。

（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。

（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC ∽△A /B /C /，相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1k知识点2、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。

（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。

（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。

知识点3、相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应线段的比等于相似比，根据这一性质，可计算角的度数或边的长度。

平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知l1∥l2∥l3,A D l1B E l2C F l3可得EFBC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. AD EB C由DE ∥BC 可得：AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.知识点4、如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。

学生第1讲相似三角形培优讲义1

ABCDE12AABB C CDDEE12412(3)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。

求证：（1）MA 2=MD ∙ME ；（2）MD MEADAE =22三、相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。

例5：已知：如图E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和AD 上的点，且31==AD AF AB EB 。

求证：∠AEF=∠FBD例6、直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，BCDE 是正方形，AE 交BC 于F ，FG ∥AC 交AB 于G ，求证：FC=FG例7、Rt △ABC 锐角C 的平分线交AB 于E ，交斜边上的高AD 于O ，过O 引BC 的平行线交AB 于F ，求证：AE=BFABCDEM12A B CD E F GA BC DF G E AB C DEF O123E图2目标训练一、填空题1、两个相似三角形的面积比S1:S2与它们对应高之比h1:h2之间的关系为．2、如图2，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果23BEBC=，那么BFFD=．233、如图，点1234A A A A，，，在射线OA上，点123B B B，，在射线OB上，且112233A B A B A B∥∥，213243A B A B A B∥∥．若212A B B△，323A B B△的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为．4. △ABC中，DE∥FG∥BC，且AD：1，则S△ADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG=二、选择题1.已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（）(A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：12.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x 的值（）A．只有1个 B．可以有2个C．有2个以上但有限 D．有无数个3.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm4、如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的（）Ａ．91Ｂ．92Ｃ．31Ｄ．94（第3题图）1 2 3 45、如图，直角梯形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝CD ，E 为梯形内一点，且∠BEC ＝90°，将△BEC 绕C 点旋转90°使BC 与DC 重合，得到△DCF ，连EF 交CD 于M ．已知BC ＝5，CF ＝3，则DM:MC 的值为（） A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:46、如图，在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形，则,,a b c 满足的关系式是（） A 、b a c =+ B 、b ac = C 、222b ac =+ D 、22b a c ==7、如图,Rt △ABAC 中,AB ⊥AC ,AB =3,AC =4,P 是BC 边上一点,作PE ⊥AB 于E,PD ⊥AC 于 D ,设BP =x ,则PD+PE =（） A.35x + B.45x -C.72D.21212525x x -三、解答题1、如图5，在△ABC 中，BC>AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC,∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连结EF.（1）求证：EF ∥BC.（2）若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积.2、（本小题满分10分）如图：在等腰△ABC 中，CH 是底边上的高线，点P 是线段CH 上不与端点重合的任意一点，连接AP 交BC 于点E,连接BP 交AC 于点F. (1) 证明：∠CAE=∠CBF; (2) 证明：AE=BF;(3) 以线段AE ，BF 和AB 为边构成一个新的三角形ABG （点E 与点F 重合于点G ），记△ABC 和△ABG 的面积分别为S △ABC 和S △ABG ,如果存在点P,能使得S △ABC =S △ABG ,求∠C 的取之范围。

初三相似三角形讲义

相似三角形知识点总结知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。

如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C / 。

相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。

注意：（1）相似比是有顺序的。

（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。

（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。

（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。

知识点3、平行线分线段成比例定理1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。

把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。

2. 比例性质： ①基本性质：a b c d ad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c dd=⇒=③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b===+++⇒++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l1∥l2∥l3,A D l1B E l2C F l3可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等.（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. AD EB C由DE ∥BC 可得：AC AEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.知识点4：相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方知识点5：相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似ABC⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。

相似三角形辅导讲义

图形的相似辅导讲义【知识点拨及配套练习】形状相同的图形叫做相似图形。

（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；（2）全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同；（3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关。

（2011年海宁市盐官片一模）视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（）A 、平移B 、旋转C 、对称D 、相似在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。

（1）若四条线段a 、b 、c 、d 成比例，则记作a cb d=或::a b c d =。

（2）四条线段a 、b 、c 、d 的单位应一致（3）判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和第二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。

（4）拓展：比例式中，a c b d=或()a b c d =：：中，a 、d 叫外项，b 、c 叫内项，a 、c 叫前项，b 、d 叫后项，如果b c =，那么b 叫做a 、d 的比例中项。

把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。

下列各组线段中，能组成比例线段的是（）A 、3、6、7、9B 、2、5、6、8、C 、3、6、9、18D 、1、2、3、4（1）相似多边形对应角相等，对应边的比相等。

（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比。

如果一个矩形对折后和原来的矩形相似，则此矩形的长边与短边之比为（）A 、2：1B 、4：11C 、2：1D 、1.5：11、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。

三角形相似具有传递性。

2、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。

相似三角形最全讲义(教师版)

相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。

2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。

注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。

⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。

a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或n m b a =）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。

a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。

说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如dc b a =4、比例外项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。

5、比例内项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。

6、第四比例项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。

7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为a b b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。

8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质: bc ad d cb a =⇔= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质：cd a b dc b a =⇒= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)：4.合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变）．注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc d c b a b a ccd a a b d c b a ．5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ ．注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．知识点三：黄金分割1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。

初三-相似三角形培优讲义(教师版)

一对一个性化讲义学生姓名：授课教师：班主任：科目：数学上课时间： 20 年 11 月日教管主任/校长批阅意见/签字：以图形的平移、翻折、旋转、动点问题等为代表的动态几何题，是中考的热点，本文以中考题为例介绍动态几何题中的相似三角形问题．一、平移问题例1（宜宾）如图1，在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝5．BC ＝6，且△ABC ≌△DEF ．将△DEF 与△ABC 重合在一起，△ABC 不动，DEF 运动，并满足：点E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动，且DE 始终经过点A ，EF 与AC 交于M 点． (1)求证：△ABE ∽△ECM ；(2)探究：在△DEF 运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由；(3)当线段AM 最短时，求重叠部分的面积．点评此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题．注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用是解此题的关键．本小题也可以用几何法求解．二、翻折问题例2（徐州）如图2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，翻折∠C ，使点C 落在斜边AB 上某一点D 处，拆痕为EF(点E 、F 分别在边AC 、BC 上)． (1)若△CEF 与△ABC 相似，①当AC ＝BC ＝2时，AD 的长为_______； ②当AC ＝3，BC ＝4时，AD 的长为_______；(2)当点D 是AB 的中点时，△CEF 与△ABC 相似吗？请说明理由．解 (1)若△CEF 与△ABC 相似， ①当AC ＝BC ＝2时，△ABC 为等腰直角三角形，如图2所示．此时D 为AB 边中点，AD 2＝；②当AC ＝3，BC ＝4时，有两种情况： (i)若CE ：CF ＝3：4，如图4所示． ∵CE ：CF ＝AC ：BC ，∴EF ∥BC ．由折叠性质，可知CD ⊥EF ． ∴CD ⊥AB ，即此时CD 为AB 边上的高．综上所述，当AC ＝3，BC ＝4时，AD 的长为1.8或2.5．(2)当点D 是AB 的中点时，△CEF 与△ABC 相似．理由如下：如图5所示，连结CD ，与EF 交于点Q ．2点评本题是几何综合题，考查了几何图形折叠问题和相似三角形的判定与性质，第(1)②问需要分两种情况分别计算，此处容易漏解，需要引起注意．三、旋转问题例3（宜昌）如图6，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．AO⊥BC于点O，F是线段AO上的点（与A、O不重合），∠EAF＝90°，AE＝AF，连结FE，FC，BF．(1)求证：BE＝BF；(2)如图7，若将△AEF绕点A旋转，使边AF在∠BAC的内部，延长CF交AB于点G，交BE于点K．①求证：△AGC∽△KGB；②当△BEF为等腰直角三角形时，请直接写出AB：BF的值．疑难点相似三角形与函数等知识的综合6. 如图，已知抛物线经过原点O ，顶点为(1,1)A ，且与直线2y x =-交于,B C 两点.(1)求抛物线的函数表达式及点C 的坐标; (2)求证: ABC ∆是直角三角形;(3)若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作MN x ⊥轴与抛物线交于点M ，则是否存在以,,O M N 为顶点的三角形与ABC ∆相似?若存在，请求出点N 的坐标;若不存在，请说明理由. (1)∵顶点坐标为(1,1)∴设抛物线的函数表达式为2(1)1y a x =-+又∵抛物线过原点 ∴20(01)1a =-+ 解得1a =-∴抛物线的函数表达式为2(1)1y x =--+ 即22y x x =-+联立抛物线和直线的函数表达式可得222y x xy x ⎧=-+⎨=-⎩ 解得20x y =⎧⎨=⎩或13x y =-⎧⎨=-⎩∴(2,0),(1,3)B C --(2)如图，分别过,A C 两点作x 轴的垂线，交x 轴于,D E 两点则1,213,3AD OD BD BE OB OE EC ====+=+== ∴45ABO CBO ∠=∠=︒ 即90ABC ∠=︒∴ABC ∆是直角三角形.(3)假设存在满足条件的点N ，设(,0)N x ，则2(,2)M x x x -+ ∴2,2ON x MN x x ==-+在Rt ABD ∆和Rt CEB ∆中，易得AB BC ==∵MN x ⊥轴于点N∴90ABC MNO ∠=∠=︒ ∴当ABC ∆和MNO ∆相似时，有MN ON AB BC =或MN ONBC AB=①当MN ONAB BC ==即23x x x -+=∵当0x =时，,,M O N 不能构成三角形 ∴0x ≠∴123x -+=即123x -+=±解得53x =或73x =此时点N 的坐标为5(,0)3或7(,0)3②当MN ONBC AB ==即23x x x -+= ∴23x -+= 即23x -+=±解得5x =或1x =-此时点N 的坐标为(1,0)-或(5,0)综上可知，存在满足条件的点N ，其坐标为5(,0)3或7(,0)3或(1,0)-或(5,0)教案附录2.如图,抛物线y=ax 2+bx −3(a≠0)的顶点为E,该抛物线与x 轴交于A. B 两点,与y 轴交于点C,且BO=OC=3AO,直线131+-=x y 与y 轴交于点D. (1)求抛物线的解析式； (2)证明：△DBO∽△EBC；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PBC 是等腰三角形?若存在，请直接写出符合条件的P 点坐标，若不存在，请说明理由。

相似三角形详细讲义(最新整理)

用数学语言表述是：
(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．
MC
，
AC，ADE＝∠DE于点5，求：；
ADE 与△
3:2=AD 相交于点，若BD O COD ∆接矩形的一边在斜边上，且矩形的DEFG
FC
2
cm
10=DEFG S 矩形3和4，它的内接正方形有情况中正方形的大小。

AC和BC的延长线交于
的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的
7m
A．1.25m B．10m C．20m D．8m
（2008•金华）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（）A．6米B．8米C．18米D．24米
课堂练习
练习题
1、如图1,∠ADC=∠ACB=900,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.
2.如图2,AD∥EF∥BC,则图的相似三角形共有_____对.
3.如图3,正方形ABCD中,E是AD的中点,BM⊥CE,AB=6,CE=3,则BM=______.
5
4.ΔABC的三边长为,,2,ΔA'B'C'的两边为1和,若ΔABC∽ΔA'B'C',则ΔA'B'C'的笫三边长为
2105
,AB=8,AD=6,EF垂直平分DBC,BC=,S。

中考数学专题复习讲座-相似三角形(学生版)

相似三角形第一部分讲解部分 (一）课标要求1．理解相似三角形的概念，总结相似三角形的对应角相等、对应边成比例等性质,掌握它们的基本运用. 2．经历三角形相似与全等的类比过程，进一步体验类比思想、特殊与一般的辩证思想。

掌握判定两个三角形相似的基本方法；掌握两个相似三角形的周长比、面积比以及对应的角平分线比、对应的中线比、对应的高的比的性质;知道三角形的重心。

会用相似三角形的判定与性质解决简单的几何问题和实际问题。

（二）知识要点1．相似三角形的定义：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形。

对应边的比叫做相似比. 三条平行线截两条直线所得的对应线段的比相等。

2．相似三角形的判定：①平行法②三组对应边的比相等(类似于三角形全等判定“SSS")③两组对应边的比相等，且夹角相等(类似于三角形全等判定“SAS"）④两角对应相等（AA)直角三角形中斜边、直角边对应比相等（类似于直角三角形全等判定“HL ”)。

相似三角形的基本图形：判断三角形相似，若已知一角对应相等，可先考虑另一角对应相等，注意公共角或对顶角或同角（等角）的余角（或补角)相等，若找不到第二对角相等，就考虑夹这个角的两对应边的比相等；若无法得到角相等，就考虑三组对应边的比相等.3．相似三角形的性质：①对应角相等②对应边的比相等③对应的高、中线、角平分线、周长之比等于相似比④对应的面积之比等于相似比的平方.4．相似三角形的应用：求物体的长或宽或高；求有关面积等。

（三）考点精讲考点一：平行线分线段成比例例1、（2011广东肇庆）如图,已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ,AC ＝ 4，CE ＝ 6，BD ＝ 3，则BF ＝（ ) A ． 7 B ． 7.5 C ． 8 D ． 8。

5例2（2012•福州）如图，已知△ABC ，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，则AD 的长是，cosA 的值是．（结果保留根号）a b cA B C D E F m n练习： 1．（2011湖南怀化，6，3）如图所示：△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝5，BD ＝10,AE ＝3，则CE 的值为( ) A ．9 B ．6 C ．3 D ．4ECDB A2．(2011山东泰安，15 ，3分)如图，点F 是□ABCD 的边CD 上一点,直线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误．．的是（） A ．ED DF EA AB = B ． DE EF BC FB = C ．BC BF DE BE = D ． BF BCBE AE=3．（2012•孝感）如图，在△ABC 中,AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，若AC=2，则AD 的长是（） A ．512- B ．512+ C ．51- D ．51+考点二：相似三角形的判定例3、(2011湖北荆州）如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交于E,∠CPD ＝∠A ＝∠B,BC 交PD 于F ，AD 交PC 于G ，则图中相似三角形有( ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对例4、（2010江苏泰州）一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm 、30cm 、36cm ，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm 、45cm 的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（）A 。

学生第1讲相似三角形培优讲义1

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第四章相似三角形培优生讲义 (1)

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