等腰三角形中考复习

等腰三角形
教学目标：
1．了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定．
2．了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定．
3．掌握线段垂直平分线的性质及判定．
4．掌握角平分线的性质及判定.
考情分析：
等腰三角形的概念、性质、判定是中考的重点内容，在选择题、填空题、解答题中均有出现；等边三角形、线段的垂直平分线及角的平分线在中考中也经常考查.
知识梳理
一、等腰三角形
1．等腰三角形的有关概念及分类
有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形；等腰三角形分为腰和底______的等腰三角形和______三角形．
2．等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”)；
(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”)；
(3)等腰三角形是轴对称图形．
3．等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”)．
二、等边三角形的性质与判定
1．等边三角形的性质
(1)等边三角形的内角相等，且都等于________；
(2)等边三角形的三条边都________．
2．等边三角形的判定
(1)________相等的三角形是等边三角形；
(2)________相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角为________的等腰三角形是等边三角形．
三、线段的垂直平分线
1．概念：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫________．
2．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离________．
3．判定：到一条线段的两个端点__________的点在线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合．
四、角的平分线
1．性质：角平分线上的点到角的两边的距离________．
2．判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的______上，角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合．
自主测试
1．等腰三角形的周长为14，其中一边长为4，那么，它的底边长为__________．
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AD＝5，AC＝4，则D点到AB的距离是__________．
3．等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为__________．
4．等腰三角形的底和腰是方程x2－6x＋8＝0的两根，则这个三角形的周长为( ) A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定
方法探究
考点一、等腰三角形的性质与判定
【例1】已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.
(1)如图甲，若点O在边BC上，求证：AB＝AC；
(2)如图乙，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；
解：(1)证明：过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，由题意知，OE＝OF，OB＝OC，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC，
∴∠B＝∠C，从而AB＝AC.
(2)证明：过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，由题意知，OE＝OF.
在Rt△OEB和Rt△OFC中，∵OE＝OF，OB＝OC，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC.∴∠OBE＝∠OCF.
又由OB＝OC知∠OBC＝∠OCB，
∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.
方法总结1．要证明一个三角形为等腰三角形，须证明这个三角形的两条边相等或两个角相等，两种方法往往都需要证明三角形全等．
2．若三角形中出现了高线、中线或角平分线，有时可以延长某些线段，构造出等腰三角形，然后用“三线合一”性质去处理．
触类旁通1 如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC＝BD.
求证：(1)BC＝AD；
(2)△OAB是等腰三角形．
考点二、线段的垂直平分线
【例2】如图，△ABC的周长为30 cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE＝4 cm，则△ABD的周长是( )
A．22 cm B．20 cm C．18 cm D．15 cm
解析：由题意可知DE为AC的垂直平分线，所以AD＝CD，AC＝2AE＝8 cm.因为△ABC 的周长为30 cm，所以AB＋BC＋AC＝30 cm，所以AB＋BC＝22 cm.所以△ABD的周长为AB ＋BD＋AD＝AB＋BC＝22 cm.
答案：A
方法总结1．线段垂直平分线的性质有两个：(1)线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；(2)线段垂直平分线垂直、平分这条线段．
2．线段垂直平分线的性质定理在中考中常以选择题、填空题的形式出现，且常与三角形的周长结合命题．
触类旁通2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE 垂直平分AB，求∠B的度数．
考点三、角的平分线
【例3】如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，且CD，BE相交于点O.
求证：(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；
(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.
证明：(1)∵∠1＝∠2，CD⊥AB，BE⊥AC，
∴OE＝OD.
∵∠3＝∠4，∠CEO＝∠BDO＝90°，
∴△OEC≌△ODB.
∴OB＝OC.
(2)∵∠3＝∠4，∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，
∴△OEC≌△ODB.
∴OE＝OD.
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴OA平分∠CAB.
∴∠1＝∠2.
方法总结在解决有关角平分线的问题时通常做法是过角平分线上一点作角的两边的垂线．
触类旁通3 如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是( )
A．PA＝PB B．PO平分∠APB C．OA＝OB D．AB垂直平分OP 真题回顾
1．(2012贵州铜仁)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN ∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
2．(2012江西南昌)若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是( )
A．20° B．50° C．60° D．80°
3．(2012浙江宁波)如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB＝BC，∠ACD＝110°，则∠EAB＝______度．
4．(2012广东广州)如图，在等边△ABC中，AB＝6，D是BC上一点，且BC＝3BD，△ABD 绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为________．
5．(2012湖南益阳)如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC.
求证：AB＝AC.
6．(2012湖北随州)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
求证：(1)△ABD≌△ACD；
(2)BE＝CE.
巩固练习
1．如图，坐标平面内有一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2．在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点F，过点F作DF∥BC，交AB于点D，交AC 于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为( )
A．9 B．8 C．7 D．6
3．如图，P，Q是△ABC边BC上的两点，且QC＝AP＝AQ＝BP＝PQ，则∠BAC＝( )
A．125° B．130° C．90° D．120°
4．如图，在△ABC中，BC＝8，AB的中垂线交BC于点D，AC的中垂线交BC于点E，则△ADE的周长等于__________．
6．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝__________度．
7．已知等腰△ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是__________．
8．如图所示，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：
①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD.
(1)上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情况)；
(2)选择第(1)小题中的一种情况，证明△ABC是等腰三角形．。