等腰三角形中考复习

等腰三角形

教学目标：

1．了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定．

2．了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定．

3．掌握线段垂直平分线的性质及判定．

4．掌握角平分线的性质及判定.

考情分析：

等腰三角形的概念、性质、判定是中考的重点内容，在选择题、填空题、解答题中均有出现；等边三角形、线段的垂直平分线及角的平分线在中考中也经常考查.

知识梳理

一、等腰三角形

1．等腰三角形的有关概念及分类

有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形；等腰三角形分为腰和底______的等腰三角形和______三角形．

2．等腰三角形的性质

(1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”)；

(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”)；

(3)等腰三角形是轴对称图形．

3．等腰三角形的判定

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”)．

二、等边三角形的性质与判定

1．等边三角形的性质

(1)等边三角形的内角相等，且都等于________；

(2)等边三角形的三条边都________．

2．等边三角形的判定

(1)________相等的三角形是等边三角形；

(2)________相等的三角形是等边三角形；

(3)有一个角为________的等腰三角形是等边三角形．

三、线段的垂直平分线

1．概念：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫________．

2．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离________．

3．判定：到一条线段的两个端点__________的点在线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合．

四、角的平分线

1．性质：角平分线上的点到角的两边的距离________．

2．判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的______上，角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合．

自主测试

1．等腰三角形的周长为14，其中一边长为4，那么，它的底边长为__________．

2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AD＝5，AC＝4，则D点到AB的距离是__________．

3．等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为__________．

4．等腰三角形的底和腰是方程x2－6x＋8＝0的两根，则这个三角形的周长为( ) A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定

方法探究

考点一、等腰三角形的性质与判定

【例1】已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.

(1)如图甲，若点O在边BC上，求证：AB＝AC；

(2)如图乙，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；

解：(1)证明：过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，由题意知，OE＝OF，OB＝OC，

∴Rt△OEB≌Rt△OFC，

∴∠B＝∠C，从而AB＝AC.

(2)证明：过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，由题意知，OE＝OF.

在Rt△OEB和Rt△OFC中，∵OE＝OF，OB＝OC，

∴Rt△OEB≌Rt△OFC.∴∠OBE＝∠OCF.

又由OB＝OC知∠OBC＝∠OCB，

∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.

方法总结1．要证明一个三角形为等腰三角形，须证明这个三角形的两条边相等或两个角相等，两种方法往往都需要证明三角形全等．

2．若三角形中出现了高线、中线或角平分线，有时可以延长某些线段，构造出等腰三角形，然后用“三线合一”性质去处理．

触类旁通1 如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC＝BD.

求证：(1)BC＝AD；

(2)△OAB是等腰三角形．

考点二、线段的垂直平分线

【例2】如图，△ABC的周长为30 cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE＝4 cm，则△ABD的周长是( )

A．22 cm B．20 cm C．18 cm D．15 cm

解析：由题意可知DE为AC的垂直平分线，所以AD＝CD，AC＝2AE＝8 cm.因为△ABC 的周长为30 cm，所以AB＋BC＋AC＝30 cm，所以AB＋BC＝22 cm.所以△ABD的周长为AB ＋BD＋AD＝AB＋BC＝22 cm.

答案：A

方法总结1．线段垂直平分线的性质有两个：(1)线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；(2)线段垂直平分线垂直、平分这条线段．

2．线段垂直平分线的性质定理在中考中常以选择题、填空题的形式出现，且常与三角形的周长结合命题．

触类旁通2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE 垂直平分AB，求∠B的度数．

考点三、角的平分线

【例3】如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，且CD，BE相交于点O.

求证：(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；

(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.

证明：(1)∵∠1＝∠2，CD⊥AB，BE⊥AC，

∴OE＝OD.

∵∠3＝∠4，∠CEO＝∠BDO＝90°，

∴△OEC≌△ODB.

∴OB＝OC.