复变函数论文
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复、实变函数的比较与应用作者：阮玲花学号：专业：数学与应用数学复、实变函数的比较与应用姓名：阮玲花班级：数学 132数域从实数域扩大到复数域后，便产生了复变函数论，并且深入到了微分方程、拓扑学等数学分支。
复变函数论着重讨论解析函数，而解析函数的实部与虚部是相互联系的 , 这与实函数有根本的区别。
有关实函数的一些概念，很多都是可以推广到复变函数上。
例如：函数的连续性、函数的导数、有（无）界函数、中值定理、泰勒展式、基本初等函数等等。
在中学我们主要了解学习了实变函数，与大学期间我们又更加深入的学习研究了实变函数，与此同时，也开始复变函数的学习。
由此我们看到了：“数的扩展：正数→负数→实数→” , 在实数范围内：当方程判别式小于 0 时，没有实根。
→扩大数域，引进复数，这样容易给人一种由浅入深、由简入繁、由特殊到一般的感觉，它们有很深的联系，然而事实上，他们有很大的不同，有很大的区别。
下面我们从几个方面来说明实变函数与复变函数的联系与区别。
（一）实变函数实变函数论即讨论以实数为变量的函数 , 然而实变与常微分方程等不同 , 简单地说就是恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。
由于诸如狄利克雷这样的简单函数都不可积，所以原有的积分范围太窄了，进而便产生了Lebesgue 创立新积分的原始思路。
Lebesgue 积分：（二）复变函数复变函数是数学分析的继续，复变函数的定义：若在复数平面上存在一个点集 E ，对于 E 的每一点 z，按照一定规律，有一个或多个复数值 W 与之相对应，则称 W 为 z 的函数，记作 W f ( z) ，z∈E 邻域：以复数 z0为圆心，以任意小正实数为半径做一个圆，则圆内所有点的集合称为 z0 的邻域。
把复变函数的 f ( z) 的实部和虚部分别记作u(x,y)和v(x,y) ，f ( z) =u(x,y)+iv(x,y) ，所以，复变函数可以归结为一对二元实变函数。
（三）实变函数及与复变函数比较1．自变量的不同以实数作为自变量的函数就做实变函数；即实数→实变量→实变函数。
复变函数论论文
论文目录1．摘要 (1)2．关键词 (1)3．引言 (1)4．理论 (1)5．参考文献 (6)8．英文摘要 (6)全文共15 页2,148 字复变函数论- - 2 -复变函数论（学号：20101101926 刘艳玲）（物理与电子信息学院 物理学专业2010级，内蒙古 呼和浩特 010022）指导老师： 孙永平摘要：了解利用柯西定理来对复变函数的定分积和不定积分的分类。
运用留数定理来求解实变函数的积分。
利用达朗贝尔，泰勒，解析延拓和洛朗法对级数进行展开，在运用傅里叶变换来对特殊级数进行计算。
关键字：复数；复变函数；积分；级数；留数；傅里叶变换；1引言了解利用柯西定理来对复变函数的定分积和不定积分的分类。
运用留数定理来求解实变函数的积分。
利用达朗贝尔，泰勒，解析延拓和洛朗法对级数进行展开，在运用傅里叶变换来对特殊级数进行计算。
2复变函数2.1.1复数与复数运算 2.1.1.1复数的基本概念Z=x+iy (1.1.1)这叫作复数的代数式，x 和y 则分别叫作该复数的实部和虚部，并分别记作Res 和Imz 。
复数z 可表示为三角式和指数式，即 ()ϕϕρsin cos i z +=ϕρi e z =叫作该复数的模,叫作该复数的幅角。
2.1.2 复数的运算 复数222111,iy x z iy x z +=+=由此明显可见加法的结合律和交换律成立。
商的定义物理与电子信息学院期中论文- 3 -.e )]sin(i )[cos()i(212121212121ϕϕρρϕϕϕϕρρ-=-+-=z z n 次幂应用.e )sin i (cos i ϕρϕϕρn n n n n n z =+=n 次根号的应用.e )sin i (cos /i n n nnnn z ϕρϕϕρ=+=2.1.2复变函数2.1.2.1复变函数定义一般地，当z=x+iy 在复平面上变化时，如果对于z 的每一个值，都有一个或几个复数值ω相对应，则称ω为z 的复变函数。
复变函数小论文
复变函数小论文本学期我学习了复变函数，丰富了数学的见识。
从实数到复数的延伸，形成一个全面的知识体系。
复变函数是以复数为中心进行一系列讨论和分析，而复数的独特之处在于它的虚部，也就是虚数部分；之前对虚数域的认识，完全在于一个虚字。
复数的出现，使得基本运算中的开方运算不再存在无解情况，n此多项式也不再存在增根，这为在某些运算提供了帮助。
复数可以解决一些物理数学上的问题，解题到最后经过转化所得到的实数解，才有物理上的意义。
虚数是有很大的的现实意义的，通过引入虚数，那些没有意义根式也变得有理可寻。
复数的集合复平面是一个二维平面，实数有自己的直角坐标系，而类似的复数也有坐标。
复数有实轴和虚轴，用（x,y）表示。
复变函数的极限与连续和实函数一样提到邻域的含义。
复函数是一元实变函数概念的推广，二者表述有所不同：1.实变函数是单值函数，而复变中有了多值函数。
2.复变函数实现了不同复平面的转化，运用了曲线或图形的映射。
复变函数的导数和微分定义与实变函数一致，但是前者多了一个要求，即对极限式要求是与路径和方式无关。
复变函数的积分许多与高等数学中曲线积分相似的性质，积分可化为第二类曲线积分，也可化为参数方程直接关于t的积分。
复数列极限在定义与性质上与实数列极限相似，可以将复数列极限的计算问题转化到实数列上，这其中的级数的敛散性与和的定义形式都与实数项级数相同。
通过课程的学习，我们可以了解到，复数可以应用的现实中的数学建模，其在很多运算中都有着不可思议的性质和规律。
复数的引入为人们解决实数域和物理科学提供了许多新的途径，打开了很多原本无法畅通的道路，无论是留数，还是保角映射，都为人类在解决非复领域上的问题提供了全新的思路与方便。
王琪材料31 2130201019。
复变函数论文
复变函数论文复变函数理论推动了许多学科的发展，在解决某些实际问题中也是强有力的工具，复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学，弹性理论中的平面问题的有力工具。
而自然科学和生产技术的发展有极大的推动了复变函数的发展，丰富了它的内容。
复变函数的主要内容已成为理工科很多专业的必修课程。
复变函数在很多领域都有重要的应用，其涵盖面极广，甚至可以用来解决一些复杂的计算问题。
复变函数可以应用在地理信息系统中，因为GIS对复杂函数的计算要求以及空间函数的分析，复变函数的应用也渗透到了这个领域，它对复杂函数的计算能力使得在GIS上的应用也不可或缺。
GIS的操作对象是空间数据和属性数据，即点线，面，体这类有三维要素的地理实体。
空间数据的最根本特点是每一个数据都按统一的地理坐标进行编码，实现对其定位，定性和定量的描述，这是其技术难点之所在。
而复变函数中的黎曼曲面理论就是用来解决这种问题的。
复变函数研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。
由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面，利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。
对于某一个多值函数，如果能做出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。
复变函数作为最丰饶的数学学科的分支，复变函数在数学领域的应用尤为可见。
特别是在解析函数的微分理论，积分理论等方面的应用，而在这些方面，它与一个实际的电路是一一对应的关系，是为我们求解响应与激励的关系服务的，这也就是它的基础应用。
针对连续系统和离散系统的时域分析，相对应的有三个变换域或傅立叶变换，拉普拉斯变换和Z变换。
变换域是信号与系统的核心内容，也是比较难的一部分，原因是变换域的分析方法涉及到工程数学的知识很多，如果没有扎实的基础，学起来就有一定的难度。
复变函数中还有很多知识点都可以对应到电路中，这可以使我们在求解电路问题时，使问题变得简单化。
复变函数论文(DOC)
复变函数论文《复变函数与积分变换》与《信号系统》的相互联系和运用系别：专业名称：学号：姓名：指导老师：年月日《复变函数与积分变换》与《信号系统》的相互联系和运用摘录：随着现代科学技术理论的发展，学课间的联系越来越紧密，通过相互协助，使复杂的问题能够利用较简单的方法方便，快捷的解决。
由于复变函数与积分变换的运算是实变函数运算的一种延伸，且由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，以及Taylor级数展开，Laplace变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要，因此学习复变函数与积分变换对学习信号与系统具有很大的促进作用。
文章主要介绍了：1，Fourier变换是怎样在信号系统的频域分析中进行运用的；2，怎样利用复变函数中的“留数定理”对Laplace反变换进行计算； 3，复变函数中的Z变换是怎样解决信号系统中离散信号与系统复频域问题分析的；4，复变函数与积分变换中的各种运算是怎样通过信号系统中的MATLAB来实现的。
关键词：留数，Laplace变换，Z变换， Fourier变换，Taylor级数，MATLAB。
1，Fourier变换是怎样在信号系统的频域分析中进行运用的；当对一个信号系统进行分析和研究时，首先应该知道该信号系统的数学模型，即建立该信号系统的数学表达式，例如：根据Fourier 级数的理论，连续时间周期信号的频域分析的数学表达式即为无限项虚指数序列的线性叠加；而且信号的Fourier 变换建立了信号的时域与频域之间的一一对应的关系，并揭示了其在时域域频域之间的内在联系，因此为信号和系统的分析提供了一种新的方法和途径。
例1：已知描述某稳定的连续时间LTI 系统的微分方程为''''()3()2()2()3(),y t y t y t x t x t ++=+系统的输入激励3()()t x t e u t -=，求该系统的零状态响应()zs y t 。
《复变函数》可视化教学实践论文
关于《复变函数》可视化教学的实践摘要：探讨利用matlab 软件可视化复变函数的教学心得，旨在加深学生对知识的理解，提高教师课堂教学效果。
关键词：可视化复变函数教学实践随着科技的发展，计算机已经走入千家万户，高校教学手段也发生了相应地改变，越来越多的教师尝试将数学课程与计算机结合起来，通过可视化手段增强学生对抽象的数学问题的理解，锻炼学生的自我动手能力，这也是高校教学改革的一个重要方面。
复变函数是高等数学的一个重要分支，是很多专业的基础课程，该课程内容抽象，定理证明复杂，大部分教材侧重理论分析，复变函数可视化内容难得一见。
目前对于复变函数可视化教学实践主要包含理论分析、计算机编程、教育意义的思考等，不仅从理论上探讨了可视化的可行性与重要性，还从教学实践的层面上分析了可视化在教学中所存在的问题及相应的对策，有很多一线教师总结了复变函数可视化教学的实施经验，还开发了一系列有创意的可操作的课题学习案例，其中有来自于数学知识内部的，也有来自于实际生活中的，甚至还有和其它学科相关联的课题等等。
本文是作者根据自己教授《复变函数》的教学实践，总结的一些教学心得。
1 复变函数可视化有利于学生熟练掌握计算机编程语言复变函数的可视化需要借助计算机来实现，因此教师和学生本身必须熟悉计算机编程语言。
原则上，可以通过c，fortran等语言来实现，但是基于成本考虑，个人更倾向于matlab语言编程。
matlab 是美国mathworks 公司20 世纪80 年代中期推出的数学软件，优秀的数值计算能力和卓越的数据可视化能力使其很快在数学软件中脱颖而出。
由于matlab不区分实数、复数和整数之间的区别，所有数都采用双精度表示，再加上matlab中具有丰富的数学函数库使得计算更加简便，所以利用matlab 编写复变函数程序更加方便，实现复变函数的数据计算以及图形显示更加快捷。
在《复变函数》教学中matlab的应用非常广泛，可以用来可视化函数，计算残数，分析傅里叶级数，理解平面场问题，应用到傅里叶变换和拉普拉斯变换中等，有兴趣的读者可以参考文献[1]。
复变函数论文
复变函数论文复变函数论文复变函数的精确之美学习复变的感想对于理科类学科的学习而言，最重要的一点莫过于概念的清晰程度。
因为所有的推导、证明以及应用，归根结底都是在基本概念的基础上衍生而来的。
因此只有将相关概念真正理解同时牢记于心，才可以真正地走进一门学科，真正的领略一门学科的美妙与精华所在。
在我的理解看来，复变函数从某种意义上来说可以看成是大一所学的高等数学的一种延伸与拓展。
在高等数学，也就是我们通常所说的微积分学中，我们所研究讨论的对象都是实函数，也就是函数的定义域与值域所代表的集合都是实数集合。
这样的研究将许多生活中遇到的数学问题用实变函数的微分与积分表达出来，让我们能够很快地了解一些微积分中的基本概念、知识以及应用技巧。
但是同时，实变函数的应用范围十分狭窄。
尤其是电气工程等方面的计算和问题中，实变函数几乎可以算是毫无用武之地。
因此为了能够更好地解决工程中遇到的问题，我们便对现有的实变函数进行了拓展延伸，创建了复变函数体系，并总结发现了一系列复变函数的定义、定理、方法以及技巧。
精确是所有理科研究学科，尤其是数学学科的一个重要特点，这一点在复变函数中也体现的尤为明显。
复变函数是将复数域之间的映射的特点和关系进行全面系统的总结和归纳。
其研究对象就是复数域之间映射的函数关系。
因此在复变函数的研究中基本都是代数运算，没有带数字之后为计算方便而出现约等的情况。
当然复变函数的精确美远远不止表现与这些方面。
为了解决问题的方便，复变函数的研究中总结归纳了许多的定理和方法。
但每一种的定理与方法都有其十分明确的适用范围和使用方法。
这是为了保证它们在被使用于求解相应问题时不出现错用、误用而最终导致结果有偏差甚至完全错误。
比如在我们在计算闭路积分时常运用的留数定理就有其很明确的适用范围。
此外，复变函数在许多相似概念的区分上也做到了精确二字。
如可导、连续以及解析之间的区别，在复变函数中就体现的尤为明显。
作为一门研究数的学科，复变函数对于结果的精确程度是有着相当高的要求的。
复变函数与积分变换论文
复变函数论文复变函数在反馈系统稳定性中的应用姓名：李欢欢学号：0914101 21学院(系)：电气与电子工程系专业：电气工程及其自动化指导教师：秦志新评阅人：完成日期：2011年12月25日星期日复变函数在反馈系统稳定性中的应用一、摘要:Laplace变换在分析反馈系统稳定性有着关键作用，求解一些简单的稳定性问题也很方便。
但对于一些较为复杂的反馈系统，用Laplace变换就不方便了。
通过对“辐角定理和奎斯特判据”和Laplace变换及特征方程，根与系数关系劳斯判据，根据三种方法的对比及其不同方法的特点体现出利用辐角定理结合奎斯特判据处理反馈系统问题的优越性。
辐角定理与奈奎斯特判据解法简单易懂便于推广，同时在其他领域也有着广泛的应用。
二、关键词:反馈系统、幅角、奈奎斯特判据、极点、零点三、正文: 【提出问题】:在电气电子工程及其自动化控制过程中，如图所示负反馈放大电路是最为常见的，应用最广泛的电路之一Xi 为输入量，Xi ’为电路中信号净输入量，Xf 为反馈量，“ ”为反馈系统在实际应用中，当输入信号为零即Xi=0时。
由于某种电扰动（如合闸通电或者外来信号干扰）其中含有的信号经过电路的放大，产生输入信号，而输出信号再进过负反馈系统再次进入输入，如此循环下去，电路将产生自激振荡，反馈系统将无法正常工作，处于不稳定状态。
所以如何保持反馈系统稳定工作，不致于产生自激振荡、在实践上和理论上都是一个必须解决的问题。
【分析问题】:如图所示表示单个回路反馈系统，整个反馈系统的输出Y(s)，与输入X(s)之间的 关系为Y(s)=H1(s)[X(s)-H2(s)Y(s)]则闭环传输函数）（s H s H s H s X s Y s H 211)(1)()()()(+==而开环传输函数）（）（s H s H s H 21)(='将H （s ）进行拉氏反变换得∑∑==--=-==ni ni pit kie pi s kig s H g t h 1111][][)(）（式中Pi 为H （s ）的极点。
复变论文
复变函数与高等数学从宏观角度来看，复变函数偏向于定理的证明构建，高等数学偏向于实际的计算。
高等数学是复变函数的基础。
复变函数是高等数学在复数域的推广。
初等函数从初等函数讲起函数：高等数学中有五类基本的初等函数，幂函数，三角函数，指数函数，对数函数、反三角函数。
而复变函数归根结底只有一种函数，exp（z）和Ln（x），其余函数皆可由其表示。
且当复数域中的函数退化到实数轴上，就又回到了高等数学中五类基本初等函数。
微分复变函数可知可利用两个二元函数U=U(x,y)，V=V(x,y)，将复变函数进行分解，并建立与高等数学之间的联系，可以利用高等数学中的知识来解释复变函数。
同时因为实部和虚部永不牵连，往往可以分别进行求解最后进行加和，方便了很多的定理证明及计算。
可导的充要条件正是体现了分解的重要性，不仅仅要满足U，V在处可微，同时需要满足柯西黎曼方程：，缺一不可。
同时将可导推广到区域里，转变成函数的解析，并利用之后的柯西积分公式，可以得到解析函数无穷阶可导的优良性质。
同时解析对于之后的积分大有帮助，这是高等数学难以做到的。
同时当z看作一元变量时，的性质与实数轴的实变函数相类似。
可微的定义以及可导的定义等性质，与高等数学有相似之处。
但由于复数本身无大小，而是一种矢量。
所以在高等数学中非常重要的微分中值定理，难以推广至一元复数的函数中来进行使用。
级数这是由于定义域本身的不同导致的，在级数的研究上，有明显的区别。
由于复变函数的复平面更为广阔，可以接受更多的信息。
例如在高等数学中研究的收敛区间，在实数轴上找不到收敛半径，而是在虚轴上找到收敛半径。
并且在复数区域中可以在圆环域展开成洛朗级数，使得更好的描述函数在收敛域的表现形式，并对之后的计算留数和积分提供了简单的方法。
同时洛朗级数虽然也是展开成幂级数，但是其系数不再是求导而是由积分定义出来的，这与实变函数中的泰勒展开有所不同。
积分类似于黎曼积分中“分匀和精”思想，在复分析里面也可定义复积分，所不同的是实分析的定积分定义在区间上而复分析的积分则定义在曲线上。
复变函数论文完整版
摘要:在自动控制原理中,应用比较多的一种数学模型是频率特性,频率特性是系统频率响应与正弦输入信号之间的关系,频率特性虽然是一种稳态特性,但它不仅反映系统稳态性能,而且还可以用来研究系统稳态性和暂态性能。
在实际应用中,求解正弦信号稳态响应时,用解析方法求解往往十分复杂,对于高阶系统就更加困难,因此常常在频域分析中把输出的稳态响应和输入的正弦信号用复数表示,可化为实频和虚频特性并且利用图解分析法,从复数的角度更容易理解和计算。
关键词:复数,时域，频域，频率特性,自动控制,实频,虚频,稳态特性在自动控制中，分析系统首先要建立数学模型,然后采用各种方法对系统进行分析,由于多数控制系统是以时间作为独立变量,所以往往用时间域的分析方法,即用解析方法求解系统的稳态响应,虽然用解析的方法不难求出线性定常量一、二阶系统的稳态响应,但是如果遇到高阶系统用求解的方法就会十分复杂。
随着科学和技术的发展,复数理论已越来越显示出它的作用,它不仅对于数学本身的发展有着极其重要的意义,而且在解决系统分析中,系统常常通过从实域变换到频域中研究频率特性起到重要作用。
在复变函数中,复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数,i是虚数单位,复数有多种表示方法,诸如向量表示,三角表示,指数表示等,欧拉在1748年发现了关系式后,并且第一次用i来表示-1的平方根,首创了用符号i作为虚数的单位,虚数实际上不是想象出来的,而它是确实存在的,德国数学家在1806年公布了虚数的图象表示法,即所有实数都能用一条数轴表示,同样虚数也能用一个平面上的点来表示,这就是复数的复平面特性,在直角坐标系中,横轴上取对应实数a的点A,纵轴上取对应实数b的点B,并且这两点引平行于坐标轴的直线,它们的交点c就表示复数a+bi ,复数z=a+bi(a,b=R)与有序实数对(a,b)是一一对应的关系,这是因为对于任何一个复数z=a+bi由复数相等定义可知,可以有一个有序实数对(a,b)唯一确定,如z=3+2i可以由有序实数对(3,2)确定,又如z=-2+i可以由有序实数对(-2,1)来确定,又因为有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,由此可知,复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系,点z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi可以用点z(a,b)表示,这个建立直角坐标系来表示的平面就是复平面。
复变函数论文
复变函数的孤立奇点及其应用摘要: 本文讨论了孤立奇点的定义、的判别方法以及孤立奇点在留数计算中的应用. 关键词:孤立奇点；定义；判别方法；留数. Isolated singularities and its application Abstract ：This paper mainly discusses the definition of the singularity of isolation and identification method and isolated singularities application in residue calculation. Keywords: Isolated singularities; Definitions; Identifying method; residue. 引言: 孤立奇点的应用在复变函数的教学以及学习中有着重要的作用,而留数的计算是复变函数中经常碰到的问题. 1.孤立奇点的定义如果函数)(z f 在点a 的某一去心邻域}{a K -:R a z <-<0内解析,点a 是)(z f 的奇点,则称a 为)(z f 的一个孤立奇点. 2.孤立奇点的判别方法设函数)(z f 在区域D 内除有限个孤立奇点n z z z z ,,,,321 外处处解析，外处处解析，C C 是D内包围各奇点的一条正向简单闭曲线，那么)(Re 2)(1z f s i dz z f nk a z Ck åò===p 一般来说，求函数在其孤立奇点0z 处的留数只须求出它在以0z 为中心的圆环域内的洛朗级数中101---）（z z C 项系数1-C 就可以了就可以了..但如果能先知道奇点的类型，对求留数更为有利但如果能先知道奇点的类型，对求留数更为有利..例如，如果0z 是)(z f 的可去奇点，那么0]),([Re 0=z z f s .如果0z 是本质奇点，那就往往只能用把)(z f 在0z 展开成洛朗级数的方法来求1-C .若0z 是极点的情形，则可用较方便的求导数与求极限的方法得到留数便的求导数与求极限的方法得到留数.. 函数在极点的留数函数在极点的留数2.1 函数在极点处留数法则1：如果0z 为)(z f 的简单极点，则的简单极点，则)()(lim ]),([Re 000z f z z z z f s z z -=- 法则2：设)()()(z Q zP z f =，其中)(,)(z Q z P 在0z 处解析，如果0)(¹z P ，0z 为)(z Q 的一阶零点，则0z 为)(z f 的一阶极点，且的一阶极点，且)()(]),([Re 0z Q z P z z f s ¢=. 法则3：如果0z 为)(z f 的m 阶极点，则阶极点，则)]()[(lim !11]),([Re 01100z f z z dzd m z z f s mm m z z --=---）（.2.2 函数在无穷远点留数设¥为)(z f 的一个孤立奇点，即)(z f 在圆环域+¥<<z R 内解 析，则称析，则称dz z f i Cò)(21p （R z C >=r ：） 为)(z f 在点¥的留数，记为]),([Re ¥z f s ，这里-C 是指顺时针方向（这个方向很自然地可以看作是绕无穷远点的正向）然地可以看作是绕无穷远点的正向）. . 如果)(z f 在+¥<<z R 的洛朗展开式为å¥-¥==n nn z C z f )(，则有1],[Re --==¥C f s . 这里，我们要注意，¥=z 即使是)(z f 的可去奇点，)(z f 在¥=z 的留数也未必是0，这是同有限点的留数不一致的地方这是同有限点的留数不一致的地方. .如果)(z f 在扩充复平面上只有有限个孤立奇（点（包包括无穷远点在内），设为¥,,,21n z z z ，则)(z f 在各点的留数总和为零在各点的留数总和为零. . 关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则((z 1其中其中 ÷÷øöççèæ++-++-=+ )!12()1(!71!516)(1266n z z z nn j 在+¥<z 内解析，0560¹=！）（j .故0=z 是函数)6(sin 6633-+z z z 的15阶零点阶零点..例2 2 证明不恒为零的解析函数的零点是孤立的证明不恒为零的解析函数的零点是孤立的证明不恒为零的解析函数的零点是孤立的..即若不恒为零的函数)(z f 在R a z <-内解析，0)(=a f ，则必有a 的一个领域，使得)(z f 在其中无异于a 的零点（解析函数零点的孤立性）数零点的孤立性）. .分析分析 由于解析函数由于解析函数)(z f 不恒为零且0)(=a f ，所以利用)(z f 在点a 的泰勒展开式可知，总存在自然数1³m ，使0)()()()1(===¢=-a f a f a f m ，0)()(¹a fm（否则独所有m ，0)()(=a fm，由泰勒定理0)(!)()(0)(º-=å¥=m m m a z m a f z f 矛盾）.于是可设a 为)(z f 的m 阶零点，然后由零点的特征来讨论阶零点，然后由零点的特征来讨论. .证（不妨设）证（不妨设）a a 为)(z f 的m 阶零点)()()(z a z z f m j -=Û，其中R a z z <-在)(j 内解析，0)(¹a j .因)(z j 在a a 处解析，则有处解析，则有0)()(lim¹=®a z a z j j ，可取)(a j e =，存在着0>d ，当d <-a z 时，)()()(a a z j e j j =<-，由三角不等式，由三角不等式)()()(z a a z j j j j -³-）（ 便知当d <-a z 时)()()()(a a z z a j e j j j j =<-£-）（ 即有0>）（z j ，故在a 的d 邻域内使0)(¹z j .例3 3 确定函数确定函数[])1(/1)(33-=ze z zf 的孤立奇点的类型的孤立奇点的类型.. 解解 因为úûùêëé-+++=-1!2)(1)1(233333z z z e z z+++=1296!31!21z z z ，所以所以 0=z 是分母的六阶零点，从而是函数)(z f 的六阶极点的六阶极点. .例4 4 判别函数判别函数11sin)(-=z z f 的有限奇点的类型的有限奇点的类型. . 解 因为)(z f 在1=z 没有定义，更不解析，所以1=z 是)(z f 的奇点，在+¥<-<10z 内，展开)(z f 为洛朗级数：为洛朗级数：+-+---=-53)1(!51)1(!311111sinz z z z å¥=+-+-=012)1()!12(1)1(n n nz n ，， 有无穷多负幂项，故1=z 是)(z f 的本性奇点的本性奇点. . 例5 5 考察函数考察函数11sec)(-=z z f 在点1=z 的特性的特性. . 解 因为)(2/11,11cos111sec是整数k k z z z k p p ++=-=-是分母11cos -z 的零点，所以这些点是11sec -z 的极点的极点......从而知从而知1=z 是这些极点的极限点)(¥®n ，不是孤立奇点孤立奇点. .例6 6 求出函数求出函数)1/()(44z z z f +=的全部奇点，并确定其类型的全部奇点，并确定其类型. .解 分母41z +有四个一阶零点)3,2,1,0(4)2(=+k e k i p p ，它们不是分子的零，它们不是分子的零因此是函数)(z f 的一阶极点的一阶极点. .又11lim 44=+¥®z z z ，所以¥=z 是)(z f 的可去奇点的可去奇点..例7 7 求出函数求出函数z z z f 1cot )(-=的全部奇点，并确定其类型的全部奇点，并确定其类型. .解解 容易求得)(为整数k k z p =是z cot 的一阶极点，这是因为()0)1(c o s si n ¹-==¢=kk z kz p p.当00==z k ，时，而，而z 1z1sin 在!31,1sin ,!31,1sin =-=z z .。
复变函数论文
复变函数论文复变函数在数学和物理学中具有广泛的应用，是一门研究复数域上的函数性质的学科。
复变函数是指定义在复数域上的函数，即自变量和函数值都是复数。
复变函数研究的对象包括函数的连续性、可导性、解析性、奇点、级数展开等方面。
本文就复变函数的定义、主要性质及其在物理学中的应用进行了较为详细的讨论。
首先，复变函数的定义与实变函数类似。
设$z=x+iy$是复平面上的一个点，其中$x$和$y$是实数，$i$是虚数单位。
如果存在一个规则使得对于任意给定的$z$，有唯一确定的$w$与之对应，则称$w$是关于$z$的函数值。
这样的函数就是复变函数。
复变函数的一些重要性质包括连续性、可导性和解析性。
连续性是指函数在定义域内的收敛性，即当自变量趋向于某一点时，函数值也趋向于某个常数。
可导性是指函数在某一点处存在导数。
解析性是指函数在定义域内处处可导。
复变函数的导数和积分也有着独特的性质。
复变函数的导数可以通过极限定义来计算，与实变函数的导数在形式上类似。
但是，在复变函数的可导性上有一些额外的要求，即柯西—黎曼方程。
如果函数在某一点处可导，则其必须满足柯西—黎曼方程的实部和虚部。
复变函数在物理学中的应用十分广泛。
一些传统的物理学问题，如电场、磁场和流体力学中的速度场，都可以通过复变函数来描述。
例如，电场可以用复函数的实部，磁场可以用虚部来表示。
此外，复变函数还可以用来解决热传导、量子力学和场论的问题。
在电工学中，复变函数被广泛应用于交流电路的分析中。
通过使用复变函数，可以将交流电路中的电流和电压描述为复数，从而简化计算。
此外，复变函数还可用于计算电路的传输函数和频率响应。
在量子力学中，复变函数被用来描述波函数的演化。
波函数是用来描述粒子在量子力学中的运动状态的函数。
它的复变性质使得我们可以用复变函数来描述粒子的位置和动量，从而解决薛定谔方程。
总结起来，复变函数在数学和物理学中都有广泛而重要的应用。
它的研究涉及函数的连续性、可导性、解析性、积分等方面。
复变函数论文
复、实变函数的比较与应用作者:阮玲花学号:2专业:数学与应用数学复、实变函数的比较与应用姓名:阮玲花班级:数学132 学号:2数域从实数域扩大到复数域后,便产生了复变函数论,并且深入到了微分方程、拓扑学等数学分支。
复变函数论着重讨论解析函数,而解析函数的实部与虚部就是相互联系的,这与实函数有根本的区别。
有关实函数的一些概念,很多都就是可以推广到复变函数上。
例如:函数的连续性、函数的导数、有(无)界函数、中值定理、泰勒展式、基本初等函数等等。
在中学我们主要了解学习了实变函数,与大学期间我们又更加深入的学习研究了实变函数,与此同时,也开始复变函数的学习。
由此我们瞧到了:“数的扩展:正数→负数→实数→”,在实数范围内:当方程判别式小于0时,没有实根。
→扩大数域,引进复数,这样容易给人一种由浅入深、由简入繁、由特殊到一般的感觉,它们有很深的联系,然而事实上,她们有很大的不同,有很大的区别。
下面我们从几个方面来说明实变函数与复变函数的联系与区别。
(一)实变函数实变函数论即讨论以实数为变量的函数,然而实变与常微分方程等不同,简单地说就就是恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。
由于诸如狄利克雷这样的简单函数都不可积,所以原有的积分范围太窄了,进而便产生了Lebesgue创立新积分的原始思路。
Lebesgue积分:(二)复变函数复变函数就是数学分析的继续,复变函数的定义:若在复数平面上存在一个点集E ,对于E 的每一点z,按照一定规律,有一个或多个复数值W 与之相对应,则称W 为z 的函数,记作)(z f W =,z ∈E 邻域:以复数0z 为圆心,以任意小正实数ε为半径做一个圆,则圆内所有点的集合称为0z 的邻域。
把复变函数的)(z f 的实部与虚部分别记作u(x,y)与v(x,y),)(z f =u(x,y)+iv(x,y),所以,复变函数可以归结为一对二元实变函数。
(三) 实变函数及与复变函数比较1.自变量的不同以实数作为自变量的函数就做实变函数;即实数→实变量→实变函数。
《复变函数的复杂性》论文
《复变函数的复杂性》论文
复变函数是数学里一个很有用的概念，它以抽象的形式表达因果对应关系，并将复杂的问题转化为简单易于理解的形式，成为数学和工程应用中的重要工具。
但当介入复变函数时，很容易不经意间将其复杂性忽略。
复变函数的复杂性来源于它的定义，数学定义是指复变函数在实数域上的可微性，即它不仅依赖于单个参数，而且还受到它所有参数的影响。
每个参数都会改变函数的值，使参数变化不能简单地按照单一参数进行建模，这就是复变函数的复杂性。
此外，它的复杂性还与函数的分析有关。
复变函数的可微性意味着，如果要确定函数的局部特征，那么就必须用分析的方法去推导这些特征，这意味着，需要深入的数学知识和工具，对于普通的学生来说，要想准确知道复变函数的特定特征，则非常困难。
在复变函数的应用中，它的复杂性也体现得淋漓尽致。
如果要用复变函数来解决实际问题，就必须将多个参数及其变化范围考虑在内，而参数的变化会改变函数的值，这就要求对复变函数的计算和求解必须更加灵活，以便在给定参数变化范围内正确预测函数的变化趋势。
因此，复变函数的复杂性不可忽视，也必须正确理解它。
它可以帮助我们简化复杂的问题，但只有通过深入的数学分析，才能更好地研究它的复杂性，并有效地推导出它的局部特征。
只
有认真地学习复变函数，才能充分利用它的多变性，为现实世界的问题提供更有效的解决方案。
复变函数结课论文
复变函数结课论文——《论复变函数的历史发展及专业应用》复数的概念源于求解方程组的根。
二次、三次代数方程的求根公式中就出现了负数开方的情况。
在16世纪中期，意大利的数学家卡尔丹诺在解三次方程时，首先产生了复数开平方的思想。
在17世纪到18世纪，复数开始有了几何解释，把它与平面向量对应起来解决实际问题。
复变函数论产生于18世纪，由数学家欧拉做出。
同时，复变函数是我国数学工作者从事研究最早也是最有成效的数学分支之一。
我国老一辈的数学家在单复变函数及多复变函数方面的研究成果，也都达到了当时的国际水平。
复数的一般形式是a+bi，i是虚数单位。
一复数作为自变量的函数叫做复变函数，与之相关的呢就是欧拉所做的复变函数论了。
解析函数是复变函数中具有解析一类性质的函数，复变函数论就是研究复数域之中的解析函数。
复变函数的许多概念理论等都是实变函数在复数范围内的推广与发展。
所以他们之间有着很大的相似之处。
但复变函数和事变函数也同样有着不同之处。
函数的理论、方法和概念在数学、自然科学和工程技术中都有着广泛的应用。
能够解决例如流体力学、热学、电磁学和弹性理论值的平面理论等诸多问题，在自然科学和生产技术发展的同时极大的推动了复变函数的发展并丰富了其内容。
我们在学习之中要正确的理解和掌握复变函数的数学概念和方法，逐步培养利用这些方法概念去解决实际问题的能力。
复变函数在很多领域都有非常重要的应用，其涵盖的范围十分广泛，甚至也已用来解决一些复杂的计算问题。
作为最富饶的科学的一类分支，复变函数在数学领域的应用尤为可见。
特别是在解析函数的微分理论（cauchy-riemann方程），积分理论（cauchy积分定理与积分公式），weierstrass的级数理论（taylor级数和laurent级数）等方面的应用。
除了这些之外，在别的领域里面的应用也是非常常见的。
比如说，物理学上有很多的不稳定场，所谓的场就是每点对应的有物理量的一个区域，对他们的计算就是通过复变函数来解决的。
论复变函数在专业中的应用复变函数论文-V1
论复变函数在专业中的应用复变函数论文-V1正文：复变函数是数学中极为重要的一个分支，也是物理、工程、计算机科学等众多领域的基础前提。
因此，复变函数在专业中的应用不可小觑。
本文将以下面的结构，重新整理《论复变函数在专业中的应用复变函数论文》的内容：一、复变函数定义及性质简介复变函数是指定义在复数域上的函数，其自变量和函数值均为复数。
在数学中，复变函数具有诸多性质，比如围道积分、柯西—黎曼方程、罗朗级数表示等等。
这些性质使得复变函数在实际应用中具有广泛的应用。
二、物理学中的应用物理学中有很多理论是基于复变函数的。
比如，复数阻抗在电路中的应用、量子力学中的路径积分、电动力学中的矢量分析等等。
更重要的是，在波动理论中，复变函数是频率域和时域之间转换的媒介，进而实现了信号处理和通信技术的快速发展。
三、工程学中的应用复变函数在工程学中的应用也尤为广泛，如控制理论、通信工程、机械工程、化学工程等。
比如，控制理论中的反向模型、通信工程中的信号处理、机械工程中的振动分析及优化、化学工程中的模拟和反应分析等。
四、计算机科学中的应用计算机科学中，复变函数的应用更是多方面，如图像处理、数据挖掘、计算机图形学等等。
比如，图像处理中的空间频率、数据挖掘中的神经网络、计算机图形学中的三维建模等。
五、结语综上所述，复变函数在专业中的应用是十分广泛的。
虽然每个领域有其具体的应用形式，但都离不开复变函数的数学基础。
因此，在学习复变函数理论的同时，我们也必须注重其实际应用，才能更好地把握它在专业中的价值。
复变函数论文
复变函数泛谈首先，复变函数以复数为中心进行一系列讨论和分析，而复数的独特之处在于它的虚部，也就是虚数部分；之前对虚数域的认识，完全在于一个虚字。
而对于复变产生的意义，书中是这样给出的：由于解代数方程的需要，人们引出了复数。
复数的出现，使得基本运算中的开方运算不再存在无解情况，n此多项式也不再存在增根，这为人类在某些逻辑领域的运算提供了帮助。
复数的集合——复平面是一个二维平面，但却并非我们所在的三维世界中的任何一个二维平面。
可以说复平面在现实世界中完全找不到具体的一一对应，是一个纯粹缔造出来的二维平面。
而就在最近我弄清了两个概念：数学与科学。
结论为：数学不是科学。
数学不属于科学的范畴，是一种逻辑学，作为工具的学科；而科学则是理论的集合。
哪怕是假命题如地心说，也是科学。
而区别一个学科是否是科学的，则需要另一门学科作为其判定依据：证伪学。
最终令我信服秉洁说的一个理论是：可被证明或证伪的属于科学；而数学，是不可被证伪的。
这一定程度上说明了数学是一门形而上学的学科，甚至包括几何学在内。
而在数学当中，在我看来复数领域的形而上学兴则更加突出。
曾见过有人在论述形而上学时拿虚数和量子理论作为例证。
我也曾一度认为量子理论中无观察者的不可知的事物量子状态可以用虚数来表示。
当然现在看来，这是一种很浅薄的想法。
就好比将著名的佯谬——薛定谔的猫的生死与否映射到复数域上。
我曾看到有人对此作过一个类似性形而上学的证明，若将猫的生死，即铀的衰变与否映射到复数域上，那么为了对应铀的衰变概率分布的均匀，不妨将其对应到一队共轭复数上。
当观察者出现，猫的生死被确定，不确定性即消失，那么其映射的复数的不存在性也应该消失，即将复数反映到实数域上，相应的运算即取模，可知共轭复数的模是相等的，这与确定后猫的生死的不同是矛盾的。
当然，这种简单的推理本身便不甚科学。
但结论应为正解：不确定不等于不存在，二者不可相互映射。
为了对虚数进行深入的认知，下面介绍一下虚数的发展历史：16世纪意大利米兰学者卡当（1501—1576）在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。
复变函数积分论文
（二 〇 〇 八 年 六 月本科毕业论文 题 目：分离变量方法在微分方程求解中的应用分析学生姓名：王 小 飞学 院：理学院系 别：数学系专业：信息与计算科学班 级：信计04-2指导教师：任 文 秀 副教授摘要分离变量法是求解微分方程的最基本方法之一，对此法进行探索研究具有重要的理论和实践意义.为了让大家更透彻地理解分离变量法，本文首先在引言中详细地介绍了常微分方程分离变量法的起源及其进展情况；紧接着,在第一章综述了基于Sturm-Liouville 问题的传统分离变量法，内容涉及到分离变量法的力学背景、理论基础、基本思想、计算步骤、算例等几方面. 作为对偏微分方程求解方法的补充，我们还就非线性领域的分离变量法做了一个摘要; 最后, 在本文的主体部分—第二章中力图进一步完善辛-Fourier展开法（基于Hamilton体系的分离变量法）的应用体系, 主要工作包括以下三方面：第一，在Hamilton体系下尝试求解常微分方程并验证了该解法的正确性；第二，利用辛-Fourier展开法在Hamilton体系下求出了二阶椭圆型方程的通解,这比前人所做的工作都完善；第三，利用辛-Fourier展开方法初步探讨了抛物型方程，虽然没有得出满意的结果，但是也取得了一些收获.关键词：传统分离变量法；Sturm-Liouville问题；Hamilton系统；辛空间；辛-Fourier展开法AbstractThe method of Separation of variables is one of the most basic methods to solve differential equations. It provides importantly theoretical and practical significance to exploit and research this method.To make us understand about method of separation of variables, firstly, in the introduction, we study the origin and progress of this method for the ordinary differential equations; after that, we investigate the traditional method of separation of variables based on Sturm-Liouville problem in 1st chapter, which involves the mechanical background, the theoretical foundation, the basic idea, calculated steps, examples and other areas. As a supplementary of the method to solve partial differential equations, we also do a abstract about separation of variables on the non-linear field; finally, in the main part of this paper: 2nd chapter aimed to further improve symplectic-Fourier expansion method (namely, method of separation of variables based on Hamiltonian system) on application, we do the works as following: First, verify the correctness to solve ordinary differential equations in the Hamilton system; Second, take use of symplectic-Fourier expansion method to solve the second-order elliptic equation in Hamiltonian system, the results are more perfect than the work done by their predecessors; Third, try to discuss the parabolic equation by this new method. Although we do not obtain effective results, some techniques are showed in whole process.Key words: traditional method of separation of variables; Sturm-Liouville problem;Hamiltonian system; symplectic space; symplectic-Fourier expansionmethod目录绪论 (1)第一章偏微分方程中的传统分离变量法 (4)1.1力学背景 (4)1.2理论基础 (5)1.2.1线性叠加原理 (5)1.2.2 Sturm-Liouville理论 (6)1.3分离变量法的思想及实例 (7)1.3.1思想步骤 (7)1.3.2实例 (8)1.4非线性系统中的分离变量法简介 (9)1.4.1形式分离变量法 (10)1.4.2多线性分离变量法 (10)1.4.3泛函分离变量法 (11)1.4.4导数相关泛函分离变量法 (11)第二章 Hamilton体系下的分离变量法 (13)2.1辛空间的相关理论知识 (13)2.2 辛-Fourier展开法概述 (15)2.3 应用举例 (16)总结 (29)参考文献 (30)附录 (32)谢辞 (35)绪 论说到分离变量法,就不得不提到微分方程, 因为分离变量法不仅是在求解微分方程过程中被提出的, 而且是在这个过程中不断被完善发展的. 一般地，微分方程包括常微分方程(简称ODE ）和偏微分方程(简称PDE)，是指含未知函数及未知函数导数的方程. 它起源于17世纪物理学的探索.17世纪末，分离变量法在ODE 中首次被提出. 由于该法在求解微分方程时体现出一定的优越性，所以吸引了众多专家学者的注意，在他们不懈地努力下，分离变量法从ODE 被逐步引入到PDE, 从线性领域跨越到非线性领域，甚至求解体系从欧式空间渗透到辛空间.下面，我们先从ODE 入手来叙述这一重要方法.一、起源与基本概念1691年，Leibniz （德国数学家、物理学家和哲学家）在给Huggens 的一封信中首次提出了常微分方程的分离变量法[1]. 他将形如)()(y g x f dy ydx =的方程写成ydy y g x f dx )()(=， 然后两边进行积分，从而得到了原方程的解. 同一年，他利用变换zx y =将线性齐次方程)('xy f y = 变为可用分离变量法求解的方程xz z f dx dz -=)(. 1695年，James.Bernoulli 在某一学报中提出了Bernoulli 方程[1] n y x q y x p dxdy )()(+=. 一年后， Leibniz 利用变量替换n y z -=1把Bernoulli 方程化成线性方程（关于y 和'y 的一次方程）. 1698年，James 又在同一学报中本质上用分离变量法把Bernoulli 方程解出，进一步扩大了分离变量法的应用范围. 此外，Riccati 也为这一方法做出了贡献并且得到如下著名的定理：定理[2] 设Riccati 方程为 ,2m bx ay dxdy =+其中m b a ,,都是常数. 且设0≠a ，又设0≠x 和0≠y ， 则当124,124,2,0--+--=k k k k m ),2,1( =k 时，Riccati 方程可通过若干适当的变换化为可分离变量的方程.综上,一般我们把形如)()(y g x f y =' （1） 的方程称为可分离变量方程, 其中)(x f 和)(y g 分别是变量x 和y 的连续函数.不难看出，该方程具有特点：右端项为两个变量独立的一元函数之积. 往往可通过这一特征来判断方程是否为分离变量型，当然还可以通过Maple 程序包odeadvisor()来实现，详见文[3]中的介绍. 主要的处理代码如下> restart;> p:=eqs()> with(DEtools):> odeadvisor(p);> separablesol(p,y(x));且其求解方法可总结为:（1）如果0y 使得0)(0=y g ，则0y y =是（1）的解.（2）如果0)(≠y g ,可对方程（1）先分离变量，得dx x h dy y g )()(1=， 再两边积分，即得原方程通解. 上述解法被称为分离变量法.二、选题背景与本文的主要工作可分离变量ODE 虽然形式较为简单，但它在实际中有很多应用，比如雪球融化问题、化学反应问题、跳伞的速度问题等等，都可以用这一数学模型来解决，因此对它的求解方法—分离变量法的探讨具有实践意义.然而分离变量思想有着更为宽广的应用背景，它更为广泛地体现于PDE 问题的求解中，通常，我们把PDE 中的分离变量法称为传统分离变量法[4-7]. 利用传统分离变量法求解偏微分方程经常会导致自共轭算子的特征值问题，即Sturm-Liouville 问题(简称S-L 问题)，该问题的求解已经形成了一套系统的理论（详见第一章介绍），但S-L 问题自身有一定的局限性，这样导致相当一大部分方程用传统分离变量法难以求解，比如椭圆型方程（本文在第二章中将要用新的方法来确定）.怎样处理这类传统分离变量法解决不了的问题呢？1991年, 钟万勰院士在文[8]中利用结构力学与最优控制的模拟理论，将无穷维Hamilton 体系应用到弹性力学等相关领域，并把传统方法难以解决的一类二阶椭圆型方程和条形板弯曲问题导向Hamilton 体系. 从而，首次为用分离变量法求解PDE 指出新的导向, 拓宽了基于S-L 问题的传统分离变量法.2000年, 周建方、卓家寿等对于S-L 问题，在Hamilton 体系下实施分离变量法，结果发现所得结果与传统分离变量法一致.从而说明了Hamilton 体系下的分离变量法（称之为辛-Fourier 方法）的正确性和潜在能力[9].我们认为基于Hamilton 体系的分离变量法的研究还仅仅是开始，但已显现出一定的优越性，相信随着研究的深入，必将给我们解决目前一些难以解决的问题提供更多的机会.本文意在介绍传统分离变量法和辛-Fourier 方法（即Hamilton 体系下的分离变量法）的思想.由于传统分离变量法已经形成了一套完善的理论，所以本文第一章对传统分离变量法只是作了一个综述，以方便所需之人阅读. 而辛-Fourier 方法还没有形成一套成熟的理论，也就成为了本文第二章研究的主要对象.我们首先在Hamilton 体系下尝试了常微分方程的分离变量法，发现所得结果与ODE 分离变量法一致. 紧接着，利用辛-Fourier 方法探讨了一个二阶椭圆型方程的定解问题⎪⎩⎪⎨⎧=====-++).(),1(),(),0(0)1,()0,(02y g y u y f y u x u x u eu cu bu au yy xy xx 相比文献[12]，我们的结果更具有一般性,而且积分常数是在辛正交的前提下直接确定的. 最后, 又利用辛-Fourier 方法探讨了抛物型方程 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤=>=+∂∂=><<∂∂=∂∂l x x x u t t l hu x t l u t u t l x x u a t u 0)()0,(00),(),(,0),0(0,0222ϕ虽没有顺利得出最后的结果，但还是把详细的解题过程给出了，希望能为日后的研究工作提供一个参考.第一章 偏微分方程中的传统分离变量法分离变量法是求解偏微分方程的最基本方法之一. 通常,对偏微分方程实施分离变量之后, 将导致自伴算子的本征值问题, 对此已经有了全套的理论, 即S-L 理论.本章我们首先介绍PDE 中分离变量法的起源及最基本的S-L 理论; 其次结合算例,综述分离变量法的基本思想与步骤; 最后根据文献[10]，对分离变量法在非线性领域的发展情况做了摘要.1.1力学背景分离变量法是受驻波的启示而被提出的. 大体而言, 驻波是由两列等振幅相干波沿相反方向传播时叠加而成. 下面, 我们将利用波的叠加原理来介绍驻波的形成.设有两列振动方向相同、振幅相同、频率相同的平面余弦波：)(2cos ),.(1λγπx t A t x u -=；)(2cos ),(2λγπx t A t x u += 分别沿x 轴的相反方向传播，其中A 表示振幅，γ表示频率. 按照叠加原理，可合成驻波的波函数为 )](2cos )(2[cos A ),(),(),(21λγπλγπx t x t t x u t x u t x u ++-=+=. （1-1） 利用三角函数关系，将式（1-1）简化为 ,2cos 2cos 2),(t x A t x u πγλπ⋅= （1-2） 这里我们称(1-2)为驻波.为了更加形象地看到由余弦波),(1t x u 与),(2t x u 叠加形成驻波的过程，我们分别把2,4,8πππ=t 时的驻波图形画出来，即图1.1 不同时刻的驻波图形图中虚线表示),(1t x u ，长点划线表示),(2t x u ，实线表示合成的驻波),(t x u .我们都知道，在力学中，两端固定弦(假定长为l )的自由振动问题[5-6] ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤=∂∂=≥==><<∂∂=∂∂==== )x (0 )( )( 0)(t 0 ) 0 0 ( 00022222l x t u x u u u t l,x x u a t u t t l x x ψϕ， （1-3）能够形成驻波，而且弦线上驻波的形成是有条件的，它要求弦线长等于半波长的整数倍. 这样, 由驻波的表达式(1-2), 使我们很自然地想到，可设其特解形如 )()(),(t T x X t x u =, （1-4） 其中)(x X 和)(t T 分别是变量x 和t 的待定函数. 将式（1-4）分别代入原方程及其定解条件中，就可确定)(x X ,)(t T . 从而, PDE 中的分离变量法(俗称驻波法)就被提出来了, 并逐步趋于完善, 最终成为求解PDE 定解问题最基本的方法之一.1.2理论基础1.2.1线性叠加原理在线性领域中研究分离变量法，线性叠加原理是重要的理论基础之一，该原理多次被应用到分离变量法的过程中，比如，我们最后得到的PDE 定解问题的解就是由所有特解线性叠加而成的，还有在处理非齐次PDE 定解问题时，我们通常把方程和边界条件视为几种类型叠加的结果等等.定理2.1(线性叠加原理)[4-7] 设i u 满足线性问题i i f Lu =; i i g Bu = ),2,1( =i其中L 和B 分别是线性偏微分算子和线性定解条件算子. 若级数i i i u c ∑∞=1收敛，且可以逐项微分，同时级数i i i f c ∑∞=1和i i i g c ∑∞=1都收敛，则i i i u c ∑∞=1是定解问题i i i f c Lu ∑∞==1; i i i g c Bu ∑∞==1的解.1.2.2 Sturm-Liouville 理论Sturm-Liouville 问题（简称S-L 问题）源起于十九世纪初叶J.Fourier 对热传导问题的数学处理中，到十九世纪三十年代时，Q.Sturm 和J.Liouville 又把Fourier 的方法进行了一般性的讨论. 后来，他们所得的结果成为了解决一大类PDE 定解问题的理论基础，也就是我们所谓的S-L 理论.继线性叠加原理，S-L 理论为分离变量法奠定了又一重要理论基础，它为分离变量法的应用提供了广阔的前景.分离变量法的本质特征是把PDE 的定解问题通过变量分离转化为一个特征值问题(ODE 问题)，而对于大量的特征值问题，其特征值及特征函数是不容易求出的，甚至，只能求助于数值解法求得近似解.但是有了S-L 问题的基本定理后，即使我们并不知道具体的特征值或特征函数的形式，我们仍然可以通过基本定理得到解的表达式，由此可见S-L 理论对于分离变量法的重要性.下面我们来看一下S-L 理论中的一些基本定理[11].为了简单起见，我们着重讨论二阶ODE 的特征值问题，即S-L 问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧='+='-=-- .0)()(0)0()0( 0)(])([2121l y b l y b y a y a y x s dx dy x p dx d λ 在S-L 问题中，假定系数)(x p 和)(x s 都是实函数且满足条件：（1）],0[)(],,0[)(1l C x s l C x p ∈∈;（2）在],0[l 上0)(,0)(0≥≥≥x s p x p ,参数)2,1(0,0=≥≥i b a i i 且0,022212221≠+≠+b b a a .定理1.2 S-L 问题的所有特征值λ都是实数.定理1.3 S-L 问题的所有特征值λ都是非负的.定理1.4 S-L 问题的所有特征值λ组成一个单调非减, 并以无穷远点为凝聚点的序列，即 ≤≤≤≤n λλλ21,且+∞=∞→n n λlim .定理1.5 S-L 问题不同的特征值所对应的特征函数在区间],0[l 上带权)(x s 正交，即当特征值k j λλ≠时，相应的特征函数)(x y j 和)(x y k 有关系式.0)()()(0=⎰dx x y x y x s k lj )(k j ≠定理1.6 S-L 问题的所有特征函数{}∞=1)(n n x y 能构成空间],0[2l L *的一组完全正交基，即对任意的函数∈)(x f ],0[2l L *可以按特征函数系{}∞=1)(n n x y 展成广义Fourier 级数 )()(1x y c x f n n n ∑∞==,其中 ,)()()()()(020⎰⎰=ln l n n dx x y x s dxx y x f x s c ),2,1( =n亦即0)()(lim *21=-∑=∞→L N n n n N x y c x f . 须说明的是以上摘录的定理是S-L 理论中最基本的结论,其余结论可参阅文[11].1.3 分离变量法的思想及实例1.3.1 思想步骤分离变量法作为PDE 的最基本解法之一，它的思想相对来说较为简单，解题步骤也很清晰，将其总结如下:基本思想[12]：将PDE 定解问题的解表示成单变量函数之积，即令解形如（1-3），然后将其带入原PDE ，从而，使PDE 降阶或化为带有参数的ODE ，达到简化问题的目的.基本步骤：（1）变量分离，设解的形式为（1-3）；（2）解ODE 的特征值问题，即确定特征值 n λ和特征函数)(x X n ；（3）求其余ODE 的解（一般为)(t T n ），并与特征函数相乘得到特解),(t x u n ;（4）将特解线性叠加，即得),(),(1t x u c t x u n n n ∑∞==;（5）用Fourier 级数法来确定待定系数n c .1.3.2 实例这里我们以有界弦的自由振动问题（1-3）为例，来说明用分离变量法求解PDE 定解问题的过程.为了简单起见，不妨设弦振动问题(1-3)，两端固定，且在初始时刻0=t 时处于水平状态，位移速度为)(x l x -，即相当于考虑在0)(=x ϕ, )()(x l x x -=ψ的特殊情形下，来求位移函数),(t x u .首先设问题(1-3)的解形如变量分离式(1-4), 将(1-4)代入(1-3)中的波动方程,有)()()()(2x X x X t T a t T ''=''λ-=, （常数） 即;0)()(2=+''t T a t T λ (1-5) ,0)()(=+''x X x X λ (1-6) 这里函数)(t T 不恒等于零，故由（1-3）中的边界条件知0)()0(==l X X . (1-7) 经验证，只有当02>=βλ时，特征值问题(1-6)才有非零解，且其通解为x B x A x X ββsin cos )(+=. (1-8) 把边界条件(1-7)代入(1-8)中, 可推得特征值为 ,2⎪⎭⎫ ⎝⎛=l n n πλ（ ,2,1=n ） 从而得特征函数是x l n B x X n n πsin )(=.（ ,2,1=n ） 将n λ代入方程(1-5)解得 .sin cos )(lat n D l at n C t T n n n ππ'+'=（ ,2,1=n ） 则波动方程(1-3)的形式解为x l n l at n D l at n C t T x X t x u n n n n n πππsin sin cos )()(),(⎪⎭⎫ ⎝⎛+==,（ ,2,1=n ）其中参数n n n n nn B D D B C C '='= ,. 因为定解问题中的方程和定解条件均为齐次，由线性叠加原理1.1知, 解 ∑∑∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==11sin sin cos ),(),(n n n n n x l n l at n D l at n C t x u t x u πππ (1-9) 仍满足式(1-3)中的边界条件. 故将其代入(1-3)中的初始条件,可得∑∞====10sin 0n n t x l n C u π; ∑∞===-=∂∂10sin )(n n t x ln l a n D x l x t u ππ. 上两式表明参数n C 和la n D nπ分别为函数0与)(x l x -在区间],0[l 上的Fourier 级数展开式的系数, 利用定理1.6的Fourier 系数公式, 自然可得;0sin 020⎰=⋅=l n xdx ln l C π ⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎰为偶数为奇数n n n l xdx l n x l x a n D l n ,0,4sin )(23330πππ再将n C 和n D 代入式(1-9), 就产生了定解问题(1-3)的解： ⎪⎩⎪⎨⎧==∑∑∞=∞=为偶数为奇数n n x ln l at n n l t x u t x u n n n ,0,sin sin 4),(),(13331πππ且1=n ，3=n ，5=n 时, 某时刻解的图形如下图1.2 解在n 取不同值时的图形在所学范围内，我们认为分离变量法一般适用于齐次线性方程的齐次定解问题, 这里不再多举例.1.4 非线性系统中的分离变量法简介对于线性系统，人们已经有了比较深入的了解和应用，但是线性系统只是对于复杂事物近似的线性抽象和描述.为了更近一步探索复杂事物的本质，往往把目光放到了非线性系统，从而非线性科学得到了蓬勃的发展. 随着科学的进步, 我们一直探索的分离变量法也随之进入了非线性系统. 目前大体研究方向如下1.4.1 形式分离变量法形式分离变量法实际上就是最早由我国著名学者曹策问教授提出的非线性化方法，后来发展为李翊神教授和程艺教授的对称约束法.目前我国还有许多专家学者在致力于这方面的研究.通常这种方法只适用于Lax 可积系统. 楼森岳和陈黎丽将它推广到了不可积系统并称之为形式分离变量法，在文[7]中作者给出了求解非线性系统的形式分离变量法的一般过程，其描述如下：对于N 阶1+n 维非线性系统，0)(),,,,,,,,(121=≡⋅⋅⋅u F u u u u x x x t F N i j i i j i i x x x x x x n , (1-10)引入一组变量分离形式分离方程,i x K i =ψ ,,,,2,1,00t x n i ≡= (1-11) 其中,),,,(21T M x i ψψψψ ≡),,,,,(21n i i x x x t ψψ≡)(ψi i K K =是有M 个分量的矩阵函数. 根据相容性条件i j j i x x x x ψψ=, 要求i K 必须满足 0))()((],[0''=+-+∂∂≡-≡=εεψεψεi j i i j j i j i K K K K K K K K K K . (1-12) 假定（1-10）的解与ψ之间的关系为)(ψU u =, (1-13) 把(1-11)和(1-13)代入(1-10)后确定出函数U 和i K ，由此可得到形式分离变量解.可以看到，ψ是},,,,{21n x x x t 的函数，所以形式分离变量解中函数的变量并没有真正地实现分离，而只是1+n 个变量分别显现在1+n 个方程(1-11)中, 详见参考文献[10]的第六章. 1.4.2 多线性分离变量法上面提到的形式分离变量法本质上并没有真正的实现变量分离，因此为了实现真正意义上的变量分离，1996年搂森岳和陆继宗在关于DS 系统的论文中提出了一种分离变量法，即多线性分离变量法的雏形. 之后一直没有任何进展，直到5年后，才在已有的多线性分离变量法雏形的基础上开展了进一步的研究，建立了完善的多线性分离变量法，使得多线性分离变量法真正得到发展, 以致能够推广应用于大量的非线性模型.到目前为止，多线性分离变量法已经成功求解了一大类的2+1维非线性系统和一些1+1和3+1维的非线性系统.多线性分离变量法也已经成功的应用到了差分微分系统.我们称这些可以用多线性分离变量法求解的非线性PDE 为多线性分离变量可解方程，对应的解被称为多线性分离变量解.我们发现所有的非线性系统的多线性分离变量解都可以由一个形式上统一的式子表示.特别地，这个通式中包含了低维任意函数.此外，多线性分离变量法还可以被进一步推广为一般多线性分离变量法，从而得到一些非线性系统的一般多线性分离变量解，这个解包含了更多低维的变量分离函数.详见文[10]的第四章.1.4.3 泛函分离变量法泛函分离变量法主要是由俄罗斯的Zhdanov 和我国的屈长征教授等发展的，在文献（Qu C Z,Zhang S L,Liu R C.Physica D,2000,144:97）中作者提出了泛函分离变量法并建立了利用一般条件对称对方程进行归类和求解的步骤和实现方法.以N 阶1+1维非线性系统0)(),,,,,,,(=≡u F u u u u u t x F t t x x t x (1-14) 为例，可以对其求乘积型分离变量解 )()(t x u ψφ=(类同于传统分离变量法的形式解)或和式分离变量解)()(t x u ψφ+=.然而，绝大多数非线性系统没有此种解，因此可以进而寻求泛函分离变量解 )()()(t x u f ψφ+= (1-15) 其中)(u f 是可逆函数，泛函分离变量解(1-15)满足约束条件0)(=+≡t x t x u u u g u η,其中)()()(u f u f u g '''≡.这一问题等价于寻求方程(1-16)的一般条件对称 .])([uu u u g u u V t x t x ∂∂+≡∂∂=η 由此可以给出系统(1-14)具有泛函分离变量解(1-15)的完全归类, 并给出归类方程的泛函分离变量解, 详见文[10]的第五章.1.4.4 导数相关泛函分离变量法导数相关泛函分离变量法是泛函分离变量法的更一般的推广，它能够给出完整的分离变量解归类.对于非线性系统(1-14)，可定义下列4种形式的分离变量解：(1))()(),(t x u u f x ψφ+=;(2))()()()(),(t x t x u u f x ηξψφ++=;(3) );()())()((),,,,,,(11t x t x u u u u u u f i Ni i M i i i t t t x x x t x ηξψφ∑∑==++=(4)),(),,,,,,(ηξF u u u u u u f t t t x x x t x = ),(t x ξξ=),(t x ηη=.在利用导数相关泛函分离变量法对一些类型的非线性系统进行导数相关泛函分离变量可解的完全归类的研究中，对一些不同类型的非线性模型，先要求各种场量及其导数的某种（泛函）组合可以有加法或乘法的变量分离解；然后根据这一要求来确定相应的一般条件对称，进而利用一般条件对称、不变曲面条件和群论方法来确定所有可能的方程和可能的泛函组合，定出方程的所有可能的等价类；最后再分别求出导数相关泛函分离变量解.至今已经利用此方法对一般非线性扩展型方程、一般非线性波动方程和一般KdV 型方程做出了完整的分离变量可解归类，并且给出了这类非线性系统的严格解以及解的对称群解释.详见文[10]的第五章.从以上的摘录中,我们看到了分离变量法在非线性领域中的应用也是很广泛的,那么它的求解体系是否也能拓展呢? 我们将在下一章中讨论.第二章 Hamilton 体系下的分离变量法在第一章中通过对传统分离变量法的探讨，可以看出，能够应用传统分离变量法求解的偏微分方程总会导致自共轭算子的特征值问题，即S-L 问题. 然而，在实际应用中很多问题并不能导致自共轭算子，这就超出了传统分离变量法的应用范围. 为了克服这个困难，1991年钟万勰教授将无穷维Hamilton 系统引入到弹性力学，结合无穷维Hamilton 算子建立了弹性力学求解新体系.从而，为用分离变量法求解方程开辟出一条新道路, 拓宽了基于S-L 问题的传统分离变量法.2000年周建方等对S-L 问题，如波方程和调和方程在Hamilton 体系下实施分离变量法，结果发现所得结果与传统分离变量法一致，那么对常微分方程、传统方法所解决不了的二阶椭圆型方程、抛物型方程在Hamilton 体系下实施分离变量法结果会怎样？这就是本章所要解决的问题.2.1 辛空间的相关理论知识辛空间是研究面积的(或研究做功的), 不同于欧几里德空间, 它是指装备了一种具有特定性结构的空间, 是Hamilton 系统的数学基础. 下面以有限维(偶数维)辛空间为例来说明将要用到的相关基本知识[13].定义 2.1 设W 是实数域R 上的一个n 2维相空间,对W 中的任意两个向量α,β依一定法则对应着一个实数,这个数称为辛内积,记作],[βα, 并且辛内积],[βα运算满足下列4个条件:(1)反对称性：],[],[αββα-=；(2)齐次性：],[],[βαβαk k =，其中k 为任意实数；(3)可加性：],[],[],[βγβαβγα+=+，其中γ是W 中的任意向量；(4)非退化性：若向量α对W 中任一向量β均有0],[=βα, 则0=α，称定义有这样辛内积的相空间为辛空间(symplectic space).特别声明的是由辛内积的反对称性知,任一向量与其自身的辛内积一定是零,即对任意向量α, 有0],[=αα,这一点与欧氏空间是有本质区别的, 在欧氏空间中0],[2≥=a αα.定义 2.2 设在n 2维实向量空间n R 2中,对任意向量T n x x x x ),,(221 =,T n y y y y ),,(221 =, 定义一种辛内积为y J x y x y x y J x y x n T ni i i n i n i n 212)(),(],[=-==∑=++,其中矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=002nn n I I J , (2-1) 这里称n J 2为单位辛矩阵,简记为J . 定义2.3 若向量α,β的辛内积0],[=βα,则称α与β辛正交; 否则, 则称α与β辛共轭.定义 2.4 对于n 个自由度的保守力学系统,设广义坐标n q q ,,1 , 广义共轭动量n p p ,,1 , 若系统描述为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂=∂∂-=⋅⋅,;i i i i p H q q H p ),,1(n i = (2-2) 或改写成形式)(z H J dtdz ∇= 其中T n n p p q q z ),,,,(11 =,H ∇为能量函数H 的梯度向量,称式(2-2)为经典Hamilton 方程(有限维Hamilton 系统).定义2.5[14-15] 设X 为Hilbert 空间,X X X X H D H ⨯→⨯⊂)(:为微分算子,若H 满足JHJ H =*,则称如下发展方程(组)为无穷维Hamilton 正则系统Hu u =., (2-3)其中J 的表达式为(2-1).定义 2.6[14-15] 设X 为Hilbert 空间,X X D C B A →:,,,,若B B =*,C C =*, A D -=*,则称 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D C B A H 为无穷维Hamilton 正则算子,简称为Hamilton 算子.定理2.7 如μ是Hamilton 算子H 的本征值，重数为m ，则μ-也一定是其本征值，重数也为m ；如Hamilton 算子H 存在零本征值，则重数一定为偶数.定理2.8 有限维Hamilton 算子H 具有归一加权)(x s 辛正交特征函数系, 即算子H 的特征函数系{k U }, ,,,2,1n k ±±±=满足⎩⎨⎧≠+=+=0,00,])(,[l k l k JU x s U l k 非零常数还有很多有关辛空间的理论,详见姚伟岸、钟万勰的专著[11].2.2 辛-Fourier 展开法二十世纪九十年代初, 钟万勰院士首次根据结构力学与最优控制理论,将由原变量及其对偶变量组成的辛空间(偶数维)引入到弹性力学,从而使分离变量思想及按辛本征函数展开的直接解析法得以实现,形成了弹性力学求解新体系,被学者们称之为辛-Fourier 展开法.这个新方法不同于偏微分方程求解的传统思路,它充分利用到了Hamilton 系统的优势：(1)一切真实耗散不计的过程都可以包容在当中；（2）使得方程组从形式上看降低了阶次为一阶，对一类问题可以在Hamilton 体系下实施Fourier 展开法;(3)从结构属性上，线性Hamilton 正则系统具有分离变量形式. 随着研究的深入，它往往不仅仅局限于弹性力学，也可以应用在偏微分方程的定解问题中. 具体的方法是将研究问题引入到无穷维Hamilton 系统， 然后利用无穷维Hamilton 算子特征函数系展开给出形式解, 再讨论其收敛性. 这里我们将求解过程大致总结如下:(1)设法寻求一个满足定义2.6的Hamilton 正则算子，将要解决的方程导入形如(2-3)的Hamilton 体系;(2)对新引入的状态变量V 实施分离变量,即令)()(x X t T V n n =，从而导致Hamilton算子的特征值问题,并解得特征值n λ与特征函数;(3)类似于前一章介绍的传统分离变量法, 写出形式解;(4)验证相应Hamilton 算子的特征函数系的辛正交性(此步是该法的关键);(5)利用Fourier 展开方法确定形式解中的待定参数.此法尚在完善之中, 有很多工作有待进一步解决[16-17].由于知识所限, 我们暂不考虑该法关于收敛性方面的严格数学证明, 只在下一节中直接分析它的应用.。
复变函数与积分变换论文
学习《复变函数与积分变换》课程对我的影响摘要：《复变函数和积分变换》课程是一种将数学知识如何应用于工程的学科，是培养创新思维的非常重要的课程。
这门课程对于培养创新人才具有特殊作用，而创新能力的基础是创新思维。
复变函数和积分变换不仅要求我们掌握复变函数和积分变换课程的基础知识、基本方法，而且还注重培养我们的创新型的思维能力。
让学生强化应用、重视实践、淡化专业、消灭书呆子，重视创新能力和实践能力的培养。
正文：复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。
在很长时间里，人们对这类数不能理解。
但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。
复变函数论产生于十八世纪。
它的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。
当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。
为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。
复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。
比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。
复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。
它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。
积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。
最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。
由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。
既然复变函数与积分变换这么有用，它对我们信息专业的来学习这门课程的学生有什么帮助的地方呢？复变函数与积分变换对信息工程专业的影响首先，先了解一下信息工程这个专业的专业特点。
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复变函数论文复变函数与积分变换在自动控制原理中的应用姓名：何缘鸽学号：092410101 学院(系)：电气与电子工程系专业：自动化指导教师：秦志新评阅人：复变函数与积分变换在自动控制原理中的应用【摘要】：复变函数与积分变换的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题的有力工具。
而自然科学和生产技术的发展又极大地推动了复变函数的发展，丰富了它的内容。
我们在学习的过程中，要正确理解和掌握复变函数中的数学概念和方法，逐步培养利用这些概念和方法解决实际问题的能力。
文中简单地介绍了该门课程在自动控制理论中的应用。
【关键词】：线性系统 Z变换卷积拉普拉斯变换【正文】：提出问题：众所周知，复变函数中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们之间有许多相似之处。
但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了taylor级数展开laplace变换和fourier变换后而使其显得更加重要了。
随着教育事业的不断发展与更新，一些新的处理数据的方法越来越多的应用于我们的日常专业学习中。
当然复变函数在自动控制原理方面的应用也更大的加快了自动化的发展，自动控制与信号处理也更加离不开一套有效的处理方法。
但是常规的Fourier变换的运算的范围还是有限的，如何去解决一些不能展开成Fourier级数的信号成了我们的首要问题。
分析问题：虽然常规的Fourier 变换的运算的范围是有限的，，但Laplace 变换、Z 变换等填补了Fourier 变换的不足之处，究竟其有什么好处呢？下面就介绍一些例子，从中就能看出。
例1： 如图1所示电路，原处于稳态，开关S 于t=0时由1端转向2端，R=10Ω，L=1H,C=0.004F,求换路后电流i(t)。
解：因换路前电路已达稳态，故可知()=-0i 0, ()V u c 20=- 换路后，电路的微分方程为()()()+++-0c u dtt di Lt Ri ⎰-td i C0)(1ττ=10)(t ε对上式进行拉普拉斯变换，得()()()[]+-+-0i s sI L s RI sCs I su c )()0(+-=s10解得 ()s I =sCsL R s u Li sc 1)0()0(10++-+--代入已知数据得()s I =ss s s25010210++-=2501082++s s =2215)5(15158++⨯s用查表法可求得上式的拉普拉斯反变换为()At t et i t)(15sin 1585ε⋅=-例2： 如图2所示为常用的二阶有源系统的电路模型，设Ω=1R 、C=1F 。
试求系统函数（电压传递函数）()()()s U s U s H 12=；当K=3时，求冲激响应()t h 和阶跃响应()t s 。
解：由图2可得s 域的节点方程()()()()[]()()()()()()()s KUs U Rs U s U s sCU Rs U s U s U s U sC Rs U s U bb a b b a a a =-=-=-+-221联立上述三式求解，并代入参数，可得()()()()13212+-+==s K s Ks U s U s H当K=3时，得 ()132+=s s H所以 ()()[]()()t t s H Lt h εs i n 31==- V由于 ()()()1312+==s s s H s s S故得阶跃响应 ()()()t t t s εcos 13-= V由上面两例题可以看出，通过拉普拉斯变换可将时域中的微分方程变换为复频域中的代数方程，使求解简化。
系统的起始状态（条件）可以自动地包含到象函数中，从而可一举求得方程的完全解。
用拉普拉斯变换法分析电网络系统时，甚至不必列写出系统的微分方程，而直接利用电路的s 域模型列写电路方程，就可以获得响应的象函数，再反变换即可得原函数。
例3： 已知()()()222112+-=zz z z E ，试求Z 反变换()nT e 。
解： ()()()222112+-=z z z z E ，有两个二重极点，即iz i z-==4,32,1,。
()()()2221112+-=-zzzzz E nn()1-n z z E 在iz =点的留数()[]()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=→-22112,Re limi z z z dz d i zz E s n iz n ()[]()()()()4221121222limi z i z zzi z nzzn nn n iz ++⨯--+-+=-+→()[]()()()in nn n iz ni i z zz i z nzzn --+→=+--+-+=32111422lim()[]()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--→-22112,Re limi z z z dz d i zz E s n iz n ()[]()()()()in n nn n iz ii z zz i z nzzn ---+→-=-----+=1321111422lim()()[]∑∞=-=01Re n n zz E s nT e ()[]()()∑∑∞=∞=--+-=-+=01122111n nn n in n ni∑∞==2sin2n n n π因为在本学期，我们学习的复变函数与积分变换中，对Z 变换并未进行详细介绍，老师只是讲了个大概。
而在后期专业课中，我们还是被要求会Z 变换的，因为Z 变换方法是分析LTI 离散系统的重要工具。
因此，知识是无界的，要想学到更多，除了老师在课堂上所讲的之外，我们课后应该自己去学习。
只有有强烈的求知欲，并付诸行动，才能更好的理解并运用所学知识。
我们用Z 变换方法时，总共可以用三种方法来计算。
即级数求和法、部分分式法、留数计算法。
而对于较复杂的函数，通常采用部分分式和留数计算法。
下面，举一个例子来展示这两种方法的解题思路。
例4： 求函数()()112+-=-s se s G Ts的Z 变换。
解：方法1 部分分式法当函数中包2含有零阶保持器的传递函数时，有 ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-11121s s Z z z G 其中()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+112s s Z 用部分分式法求得。
上式可进一步写成 ()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=---T e z z z z z Tz z s ssZ zz G 111111112121()()()TTTTez e ze T z e T----++-++-+-=11112方法2 留数计算法()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-11121s s Z z z G其中()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+112s s Z 用留数计算法计算，即 ()()is s i Ts e z zs s s s s Z =→∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∙+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+212211Re 11()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∙+=====Ts s s Tss s e z zs s ez z s s s s i i 1111202Re Re ()()()()1202211111!121-==-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=s Tss Ts e z zs s s e z z s s s ds d()()()()TTe z z z e z Tz-------=1112则()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡------=---T Te z z z e z Tz z z G 111121()()()()TTTTe z z Te e z eT--------++-=`111注：在用部分分式法和留数计算法时，()Ts e --1不参与运算。
每一种计算方法都是有自己的特点与缺点的，Z 变换也不例 外，它也存在它自身的局限性。
由此可见，我们掌握的计算方法 越多越有利于解题。
目前，卷积已成为现代电路与系统分析的重要工具，是研究 系统中信号传递规律的关键所在。
例5：设信号()t f 和()t h 如图3所示，试求()()t h t f *。
解：对于图中的()t f 和()t h ，可以分别表示()()()222--=t t t f εε()()t e t h t ε-= 则响应()t y 可利用延时性质得到()()()()()[]()t e t t t h t f t y t εεε-*--=*=222()()()()t e t t e t ttεεεε--*--*=222()()()[]()212122----=---t et et tεε通过卷积的运用，我们在后期专业课中，能较好地解决信号与系统中的问题。
推广应用：Fourier 变换与Laplace 变换的计算可以使用到科学和工程计算，方便地为我们解决了频谱分析、信号处理等工作。
在本专业上的推广应用也很广泛，比如应用于电力工程、通信和自动控制领域以及信号分析、图像处理。
Fourier 变换应用于频谱分析和信号处理等。
频谱分析是对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系进行分析。
Laplace 变换应用于控制问题。
为了更形象化，在此，我通过查阅资料来举例说明。
例6： 某一反馈和给定输入前馈复合控制系统的结构图如图4所示，图中前馈环节的传递函数()()()122++=s T bs as s F r，当输入信号()22tt r =时，为使系统的稳态误差终值等于零，试确定前馈环节的参数a 和b 。
解：系统的闭环传递函数为()()()()()()112212122221++++++=s T K K s sT bsasK s T K K s R s C系统的给定误差函数的拉式变换为 ()()()()()()s R s R s C s C s R s E ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=1 ()()()()()s R s T K K s s T bs as K s T K K ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++-=1112212122221 ()()()()()s R s T K K s sT sb K s a K T T s T T 112212122221321+++-+-++=代入()31ss R =，并利用终值定理，得()()()()111322121222213210lim=∙+++-+-++==→ss T K K s sT sb K s a K T T s T T s e s ss要使上述等式成立，须满足 01,02221=-=-+b K a K T T由此可得前馈环节的参数 22211,K b K T T a=+=结论：在写论文的过程中，通过论文资料的收集，结合平时老师的讲解和自己的理解和整理，让我了解到了复变函数在各个领域中的应用和地位，尤其是在本专业中的应用及其不可或缺的地位。