高考函数压轴题练习(精华-内含答案)

合集下载

高三函数压轴大题带答案

yx a-+高考函数压轴大题宋苗珂整理1已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc 的取值范围是(A) (1,10) (B) (5,6) (C) (10,12) (D) (20,24)【答案】C2直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是【答案】(1,5)4【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想.【解析】如图，在同一直角坐标系内画出直线1y =与曲线2y x x a =-+,观图可知，a 的取值必须满足1,4114a a >⎧⎪⎨-<⎪⎩解得514a <<.3定义域和值域均为[]a a ,-（常数0>a ）的函数()x f y =和()x g y =的图像如图所示，给出下列四个命题：（1）方程()[]0=x g f 有且仅有三个解；（2）方程()[]0=x f g 有且仅有三个解；（3）方程()[]0=x f f 有且仅有九个解；（4）方程()[]0=x g g 有且仅有一个解。

那么，其中正确命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 1.已知函数555)(+=xx f ，m 为正整数ks5u ．（Ⅰ）求)0()1(f f +和)1()(x f x f -+的值；（Ⅱ）若数列}{n a 的通项公式为)(mnf a n =（m n ,,2,1 =），求数列}{n a 的前m 项和m S ；（Ⅲ）设数列}{n b 满足：211=b ，n n n b b b +=+21，设11111121++++++=n n b b b T ，若（Ⅱ）中的m S 满足对任意不小于3的正整数n ，57774+<n m T S 恒成立，试求m 的最大值. ks5u 解：（Ⅰ）515555)0()1(+++=+f f =1；)1()(x f x f -+=5555551+++-xx=xx x55555555⋅+⋅++=1；…………４分（Ⅱ）由（Ⅰ）得 )11( 1)1()(-≤≤=-+m k mkf m k f ,即由m 1m 321m a a a a a S +++++=- , ……………① 得,a a a a a S m 13m 2m 1m m +++++=--- …………② 由①＋②, 得,21)1(2m m a m S +⨯-=∴45521)1()1(21)1(-+⨯-=+⨯-=m f m S m ，…10分（Ⅲ） ∵,211=b )1b (b b b b n n n 2n 1n +=+=+,∴对任意的0 *,>∈n b N n . ∴,1b 1b 1)1b (b 1b 1n n n n 1n +-=+=+即1n n n b 1b 11b 1+-=+. ∴111132211211)11()11()11(+++-=-=-++-+-=n n n n n b b b b b b b b b T . ∵,b b ,0b b b n 1n 2n n 1n >∴>=-++ ∴数列}b {n 是单调递增数列. ∴n T 关于n 递增. 当3≥n , 且+∈N n 时, 3T T n ≥. ∵256777)11621(1621,1621)143(43 ,43)121(21,214321=+==+==+==b b b b ∴.77725621243-=-=≥b T T n ∴,577743+<T S m ∴5.650<m .而m 为正整数，∴m 的最大值为650. ………………………………………………16分 2已知函数1()log 1amxf x x -=-(0,1,1)a a m >≠≠是奇函数. （1）求实数m 的值；（2）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并给出证明；（3）当(,2)x n a ∈-时，函数()f x 的值域是(1,)+∞，求实数a 与n 的值解：（1）由已知条件得()()0f x f x -+=对定义域中的x 均成立. ∴11log log 011aa mx mxx x +-+=--- 即11111mx mxx x +-⋅=--- ∴22211m x x -=-对定义域中的x 均成立. ∴21m = 即1m =（舍去）或1m =-.（2）由（1）得1()log 1axf x x +=- 设11221111x x t x x x +-+===+---， ∴当121x x >>时，211212122()2211(1)(1)x x t t x x x x --=-=---- ∴12t t <. 当1a >时，12log log a a t t <，即12()()f x f x < ∴当1a >时，()f x 在(1,)+∞上是减函数.同理当01a <<时，()f x 在(1,)+∞上是增函数.（3）函数()f x 的定义域为(1,)(,1)+∞⋃-∞-，∴①21n a <-≤-，∴01a <<.∴()f x 在(,2)n a -为增函数，要使值域为(1,)+∞， 3已知函数2()lg,(1)0x f x f ax b ==+，当0x >时，恒有1()()lg f x f x x-= （1）求()f x 的表达式；（2）设不等式()lg f x t ≤的解集为A ，且(0,4]A ⊆，求实数t 的取值范围。

2024数学高考试卷压轴题

2024数学高考试卷压轴题一、设函数f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)，若f(x)在x=1和x=2处取得极值，且在x=3处的函数值为8，则a+b+c的值为多少？A. -1B. 0C. 1D. 2（答案）B。

解析：由题意知f'(1) = f'(2) = 0，且f(3) = 8。

根据导数的定义和极值条件，可以列出方程组求解a, b, c的值，进而求得a+b+c=0。

二、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 1，S3 = 6，则S10的值为多少？A. 25B. 50C. 55D. 110（答案）C。

解析：由等差数列的前n项和公式Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，以及给定的a1和S3，可以求出公差d，再代入S10的公式计算得到S10 = 55。

三、在三角形ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c，若a = 3，b = 4，cosC = 1/2，则c的值为多少？A. 3B. 4C. 5D. 6（答案）C。

解析：由余弦定理c2 = a2 + b2 - 2ab*cosC，代入已知的a, b, cosC的值，可以求得c = 5。

四、设随机变量X服从二项分布B(n, p)，若E(X) = 6，D(X) = 5，则p的值为多少？A. 1/6B. 1/5C. 1/4D. 1/3（答案）A。

解析：由二项分布的期望和方差公式E(X) = np，D(X) = np(1-p)，代入已知的E(X)和D(X)的值，可以解得p = 1/6。

五、已知向量a = (1, 2)，向量b = (3, 4)，则向量a与向量b的夹角的余弦值为多少？A. √2/2B. √3/2C. 2/3D. 1/2（答案）A。

解析：由向量的夹角余弦公式cosθ = (a·b) / (|a| * |b|)，代入已知的向量a和b的坐标，可以计算得到cosθ = √2/2。

高考数学真题——函数压轴题(含答案)

2018年数学全国1卷已知函数1()ln f x x a x x=-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．解:（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-.（i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，x =或x =.当2()2a a x+∈+∞时，()0f x '<；当(22a a x -+∈时，()0fx '>.所以()f x 在(0,),(,)22a a -++∞单调递减，在(22a a +单调递增.（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >.由于12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----，所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<.设函数1()2ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <.所以22212ln 0x x x -+<，即1212()()2f x f x a x x -<--. 2017年数学全国1卷已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()2(2)1(1)(21)x x x xf x ae a e ae e '=+--=-+，（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln ,)a -+∞单调递增.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(ln )1ln f a a a -=-+.①当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点；②当(1,)a ∈+∞时，由于11ln 0a a -+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点；③当(0,1)a ∈时，11ln 0a a -+<，即(ln )0f a -<.又422(2)e (2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点. 设正整数0n 满足03ln(1)n a >-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->. 由于3ln(1)ln a a ->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.综上，a 的取值范围为(0,1)2016年数学全国1卷已知函数2()(2)e (1)xf x x a x =-+-有两个零点. （I ）求a 的取值范围；（II ）设x 1，x 2是()f x 的两个零点，证明：122x x +<. 【答案】(I)(0,)+∞；（II ）见解析【解析】试题分析：(I)求导，根据导函数的符号来确定（主要要根据导函数零点来分类）；(II)借助(I)的结论来证明，由单调性可知122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<．设2()e (2)e x x g x x x -=---，则2'()(1)(e e )x xg x x -=--．则当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <．从而22()(2)0g x f x =-<，故122x x +<．试题解析：（Ⅰ）'()(1)e 2(1)(1)(e 2)xxf x x a x x a =-+-=-+．（i ）设0a =，则()(2)e xf x x =-，()f x 只有一个零点．时()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．若e 2a <-，则ln(2)1a ->，故当(1,ln(2))x a ∈-时，'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0,)+∞．（Ⅱ）不妨设12x x <，由（Ⅰ）知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞，22(,1)x -∈-∞，()f x 在(,1)-∞单调递减，所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<．由于222222(2)e (1)x f x x a x --=-+-，而22222()(2)e (1)0x f x x a x =-+-=，所以222222(2)e (2)e x x f x x x --=---．设2()e(2)e xx g x x x -=---，则2'()(1)(e e )x x g x x -=--．所以当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <．从而22()(2)0g x f x =-<，故122x x +<． 2013年数学全国1卷设函数()f x ＝2x ax b ++，()g x ＝()xe cx d +，若曲线()yf x =和曲线()yg x =都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+ （Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值；（Ⅱ）当x ≥－2时，()f x ≤()kg x ，求k 的取值范围。

高考数学真题——函数压轴题(含答案)

高考数学真题——函数压轴题(含答案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2018年数学全国1卷已知函数1()ln f x x a x x=-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．解:（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-.（i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，2a x -=或2a x +=.当2()a a x+∈+∞时，()0f x '<；当x∈时，()0fx '>.所以()f x 在)+∞单调递减，在单调递增.（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >.由于12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----，所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<.设函数1()2ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <.所以22212ln 0x x x -+<，即1212()()2f x f x a x x -<--. 2017年数学全国1卷已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()2(2)1(1)(21)x x x xf x ae a e ae e '=+--=-+，（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln ,)a -+∞单调递增.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(ln )1ln f a a a -=-+.①当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点； ②当(1,)a ∈+∞时，由于11ln 0a a -+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点；③当(0,1)a ∈时，11ln 0a a -+<，即(ln )0f a -<.又422(2)e (2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足03ln(1)n a >-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln(1)ln a a ->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.综上，a 的取值范围为(0,1)2016年数学全国1卷已知函数2()(2)e (1)xf x x a x =-+-有两个零点. （I ）求a 的取值范围；（II ）设x 1，x 2是()f x 的两个零点，证明：122x x +<. 【答案】(I)(0,)+∞；（II ）见解析【解析】试题分析：(I)求导，根据导函数的符号来确定（主要要根据导函数零点来分类）；(II)借助(I)的结论来证明，由单调性可知122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<．设2()e (2)e x x g x x x -=---，则2'()(1)(e e )x x g x x -=--．则当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <．从而22()(2)0g x f x =-<，故122x x +<．试题解析：（Ⅰ）'()(1)e 2(1)(1)(e 2)xxf x x a x x a =-+-=-+．（i ）设0a =，则()(2)e xf x x =-，()f x 只有一个零点．时()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．若e2a <-，则ln(2)1a ->，故当(1,ln(2))x a ∈-时，'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0,)+∞．（Ⅱ）不妨设12x x <，由（Ⅰ）知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞，22(,1)x -∈-∞，()f x 在(,1)-∞单调递减，所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<．由于222222(2)e (1)x f x x a x --=-+-，而22222()(2)e (1)0x f x x a x =-+-=，所以222222(2)e (2)e x x f x x x --=---．设2()e(2)e xx g x x x -=---，则2'()(1)(e e )x x g x x -=--．所以当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <．从而22()(2)0g x f x =-<，故122x x +<．2013年数学全国1卷设函数()f x ＝2x ax b ++，()g x ＝()x e cx d +，若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+ （Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值；（Ⅱ）当x ≥－2时，()f x ≤()kg x ，求k 的取值范围。

高考数学压轴题系列训(共六套)(含答案及解析详解)

高考数学压轴题系列训练一（含答案及解析详解）1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.（Ⅰ）求这三条曲线的方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………（1分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分）对于椭圆，1222a MF MF =++(222222211321a ab ac ∴=∴=+=+∴=-=+∴= 椭圆方程为：………………………………（4分）对于双曲线，1222a MF MF '=-=2222221321a abc a '∴=-'∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为：………………………………（6分）（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ C ………………………………………………（7分）()1112312322DC AP x CH a x a ∴==+=-=-+()()()2222221112121132344-23246222DH DC CH x y x a a x a aa DH DE DH l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=-+--+⎣⎦⎣⎦=-+==-+=∴=='= 当时,为定值; 此时的方程为： …………（12分）2．（14分）已知正项数列{}n a 中，16a =，点(n n A a 在抛物线21y x =+上；数列{}n b 中，点(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上.（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（Ⅱ）若()()()n n a f n b ⎧⎪=⎨⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数，问是否存在k N ∈，使()()274f k f k +=成立，若存在，求出k 值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）对任意正整数n ，不等式1120111111n n n ab b b +≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立，求正数a 的取值范围.解：（Ⅰ）将点(n n A a 代入21y x =+中得()11111115:21,21n n n n n n a a a a d a a n n l y x b n ++=+∴-==∴=+-⋅=+=+∴=+ 直线 …………………………………………（4分）（Ⅱ）()()()521n f n n ⎧+⎪=⎨+⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数………………………………（5分）()()()()()()27274275421,42735227145,24k k f k f k k k k k k k k k k ++=∴++=+∴=+∴++=+∴==当为偶数时，为奇数，当为奇数时，为偶数，舍去综上，存在唯一的符合条件。

压轴题01 函数性质的综合运用(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练(江苏专用)

压轴题01函数性质的综合运用函数是高中数学的主干，也是高考考查的重点，而函数的性质是函数的灵魂，它对函数概念的理解以及利用函数性质来解决相关函数问题起到十分重要的作用．此外在高考试题的考查中函数的性质也是常见题型．考向一：利用奇偶性、单调性解函数不等式考向二：奇函数+M 模型与奇函数+函数模型考向三：周期运用的综合运用1.单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤①取值：设1x ，2x 是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x ；②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；③定号：判断差的正负或商与1的大小关系；④得出结论．（2）函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（3）记住几条常用的结论：①若()f x是增函数，则()f x-为减函数；若()f x是减函数，则()f x-为增函数；②若()f x和()g x均为增(或减)函数，则在()f x和()g x的公共定义域上()()f xg x+为增(或减)函数；③若()0f x>且()f x为增函数，1()f x为减函数；④若()0f x>且()f x为减函数，1()f x为增函数．2.奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数()f x是偶函数⇔函数()f x的图象关于y轴对称；函数()f x是奇函数⇔函数()f x的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数()y f x=在0x=处有意义，则有(0)0f=；偶函数()y f x=必满足()(||)f x f x=.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数()f x的定义域关于原点对称，则函数()f x能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记1()[()()]2g x f x f x=+-，1()()()]2h x f x f x=--，则()()()f xg xh x=+.(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()f xg x f x g x f x g x f x g x+-⨯÷.对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇()⨯÷奇=偶；奇()⨯÷偶=奇；偶()⨯÷偶=偶.(7)复合函数[()]y f g x=的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.(8)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数1()()01x x a f x m x a +=≠-()或函数1()()1x x a f x m a -=+．②函数()()x x f x a a -=±-．③函数2()log log (1)aa x m m f x x m x m +==+--或函数2()log log (1)a a x m m f x x m x m-==-++④函数()log )a f x x =或函数()log )a f x x =．注意：关于①式，可以写成函数2()(0)1xm f x m x a =+≠-或函数2()()1x mf x m m R a =-∈+．偶函数：①函数()()x x f x a a -=±+．②函数()log (1)2mx a mxf x a =+-．③函数(||)f x 类型的一切函数．④常数函数3.周期性技巧()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x af x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数4.函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-；（2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.5.对称性技巧（1）若函数()y f x =关于直线x a =对称，则()()f a x f a x +=-．（2）若函数()y f x =关于点()a b ，对称，则()()2f a x f a x b ++-=．（3）函数()y f a x =+与()y f a x =-关于y 轴对称，函数()y f a x =+与()y f a x =--关于原点对称．1．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考一模）已知函数()222e e 287x x f x x x --=++-+则不等式()()232f x f x +>+的解集为（）A．1(1)3--，B．1(,1)(,)3-∞--+∞ C．1(1)3-，D．1(,(1,)3-∞-⋃+∞【答案】B【解析】由函数()222222e e 287e e 2(2)1x x x xf x x x x ----=++-+=++--，所以()22e e 21x x f x x -+=++-，令()()22e e 21x x g x f x x -=+=++-，可得()e e 4x xg x x-=-+'令()()e e 4x xh x g x x -'==-+且()00h =，可得()e e 40x xh x -'=++>在()0+∞，上恒成立，所以()()()00,0h x h x >=>，所以()g x 在()0+∞，上单调递增，又由()()22e e 2()1e e 21x x x x g x x x g x ---=++--=++-=，所以函数()g x 为偶函数，则在()0-∞，上单调递减，又由()()232f x f x +>+，即()()21g x g x +>，即21x x +>，整理得23410x x ++>，解得13x >-或1x <-，即不等式()()232f x f x +>+的解集为1(,1)(,)3-∞--+∞ .故选：B.2．（2023·安徽宣城·统考二模）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=．若()3f x +为奇函数，322g x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，且()03g =-，()12g =，则()20231i g i ==∑（）A．670B．672C．674D．676【答案】D【解析】∵(3)f x +为奇函数，∴(3)(3)f x f x -+=-+，∴(3)(3)f x f x ''--+=-+，即：(3)(3)f x f x ''-+=+，又∵()()g x f x '=，∴(3)(3)g x g x -+=+，①又∵3(2)2g x +为偶函数，∴33(2)(2)22g x g x -=+，②∴将②中2x 换成x 得：33()()22g x g x -=+，③∴将③中x 换成32x -得：()(3)g x g x =-，④由①④得：()(3)g x g x =+，∴()g x 的一个周期为3，∴(3)(0)3g g ==-，将12x =代入③得：(1)(2)2g g ==，∴(1)(2)(3)2231g g g ++=+-=又∵202336741=⨯+，∴()202316741(1)6742676i g i g ==⨯+=+=∑.故选：D.3．（2023·甘肃定西·统考一模）定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，则不等式()()22530f x f x x -+-<的解集为（）A．5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B．51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C．()5,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D．5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，可得()()()020,00f f f ==；由于函数()f x 的定义域为R ，令y x =-，可得()()()00f x f x f +-==，所以()()f x f x -=-，则函数()f x 为奇函数，任取12,R x x ∈，且12x x <，则()21210,0x x f x x ->-<，所以()()()()()2121210f x f x f x f x f x x -=+-=-<，所以()()12f x f x >，则函数()f x 在R 上为减函数，由()()22530f x f x x -+-<可得()()22530f x x x f -+-<，则22530x x x -+->，整理得22350x x --<，解得512x -<<.故选:B.4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）已知函数()()lg 122x xf x x -=-++，则不等式()()12f x f x +<的解集为（）A．()(),11,-∞-⋃+∞B．()2,1--C．()(),21,-∞-+∞ D．()()1,1,3-∞-⋃+∞【答案】C【解析】对于函数()()lg 122x xf x x -=-++，令10x ->，解得1x >或1x <-，所以函数的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，又()()()()lg 122lg 122x x x xf x x x f x ---=--++=-++=，所以()f x 为偶函数，当1x >时()()lg 122x xf x x -=-++，则()lg 1y x =-在()1,+∞上单调递增，令()22x x g x -=+，()1,x ∈+∞，所以()()2ln 22ln 222ln 20x x x xg x --'=-=->，所以()22x xg x -=+在()1,+∞上单调递增，则()f x 在()1,+∞上单调递增，从而得到()f x 在(),1-∞-上单调递减，则不等式()()12f x f x +<等价于211121x x x x ⎧>+⎪+>⎨⎪>⎩，解得1x >或<2x -，所以不等式的解集为()(),21,-∞-+∞ .故选：C5．（2023·内蒙古·模拟预测）已知()f x 是定义在[]4,4-上的增函数，且()f x 的图象关于点()0,1对称，则关于x 的不等式()()23350f x f x x +-+->的解集为（）A．(),1-∞B．()1,+∞C．(]1,7D．(]1,2【答案】D【解析】由()()23350f x f x x +-+->得：()()221340f x x f x x +-+-+->，令()()1g x f x x =+-，则()()230g x g x +->；()f x 关于()0,1对称，()()2f x f x ∴+-=，()()()()110g x g x f x x f x x ∴+-=+-+---=，()g x ∴为定义在[]4,4-上的奇函数；又()f x 为[]4,4-上的增函数，1y x =-为增函数，()g x ∴在[]4,4-上单调递增，则由()()230g x g x +->得：()()()233g x g x g x >--=-，42443423x x x x -≤≤⎧⎪∴-≤-≤⎨⎪>-⎩，解得：12x <≤，即()()23350f x f x x +-+->的解集为(]1,2.故选：D.6．（2023·广西梧州·统考一模）已知定义在R 上的函数()f x 在(,1]-∞上单调递增，若函数(1)f x +为偶函数，且(3)0f =，则不等式()0xf x >的解集为（）A．(1,3)-B．(,1)(3,)-∞-⋃+∞C．(,1)(0,3)-∞-⋃D．(1,0)(3,)-+∞ 【答案】C【解析】由函数(1)f x +为偶函数，知函数()f x 关于1x =对称，又函数()f x 在(,1]-∞上单调递增，知函数()f x 在()1,+∞上单调递减，由(3)0f =，知(1)0f -=，作出函数的图象，如下：由图可知，当1x <-时，()0f x <，则()0xf x >；当10x -<<时，()0f x >，则()0xf x <；当03x <<时，()0f x >，则()0xf x >；当3x >时，()0f x <，则()0xf x <；所以不等式()0xf x >的解集为：1x <-或03x <<，故选：C7．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2ln 1f x x x =++，则不等式()211ln2f x +>+的解集为（）A．{1}∣<x x B．{0}x x <∣C．{1}x x >∣D．{0}xx >∣【答案】D【解析】由题意，可知()()f x f x -=-且()00f =，当0x <时，0x ->，则()()2ln 1f x x x -=+-，即()()2ln 1f x x x -=+-，可得()()()22ln 1000ln 10x x x f x x x x x ⎧++>⎪⎪==⎨⎪-++<⎪⎩，当0x >时，()()2ln 1f x x x =++，则()()222121011x x f x x x+'=+=>++，即()f x 单调递增，由()ln 1000++=，则()f x 在R 上单调递增，易知()1ln 21f =+，则不等式等价于()()211f x f +>，可得211x +>，解得0x >.故选：D.8．（2023·福建泉州·校考模拟预测）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0,)+∞上是减函数，如果()31f =-，则不等式()110f x -+≥的解集为（）A．](2-∞，B．[)2，+∞C．[]24-，D．[]14，【答案】C【解析】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0，)∞+上是减函数，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数，由f （3）1=-，则不等式(1)10(1)1(1)f x f x f x f -+⇒--⇒- （3）(|1|)f x f ⇒- （3）|1|3x ⇒- ，解之可得24x - ，故不等式的解集为[2-，4]．故选：C ．9．（2023·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知函数()(32e log e 1xx f x x =++在[],(0)k k k ->上的最大值与最小值分别为M 和m ，则M m +=（）A．2-B．0C．2D．4【答案】C【解析】已知()(32e log e 1xx f x x =++，()(32e log e 1xxf x x ---=-++，则()() 2f x f x +-=，函数()f x 在定义域内为非奇非偶函数，令()()1g x f x =-，则()()()() 110g x g x f x f x +-=-+--=则()g x 在定义域内为奇函数，设()g x 的最大值为t ，则最小值为t -，则()f x 的最大值为1M t =+，最小值为1m t =-+所以2M m +=，故选：C.10．（2023·江西南昌·统考一模）已知函数()()35112=-+f x x ，若对于任意的[]2,3x ∈，不等式()()21+-≤f x f a x 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．(),2-∞B．(],2-∞C．(),4-∞D．(],4∞-【答案】D【解析】易知35y x =是奇函数且单调递增，故原不等式等价于()()11222f x f a x -≤--即()()()33355512121x a x x a -≤---=-+所以121x x a -≤-+，所以2x a +≥在任意的[]2,3x ∈上恒成立，故4a ≤.故选：D11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()e e 2x xf x x x -=-++在区间[]22-,上的最大值与最小值分别为,M N ，则M N +的值为（）A．2-B．0C．2D．4【答案】D【解析】设()()2e e x xg x f x x x -=-=-+，()()e e x x g x x x g x --=--=- ，()g x ∴为奇函数，∴当[]2,2x ∈-时，()()()()max min max min 2240g x g x f x f x M N +=-+-=+-=，4M N ∴+=.故选：D.12．（2023·全国·高三专题练习）若对x ∀，R y ∈．有()()()4f x y f x f y +=+-，则函数22()()1xg x f x x =++在[2018-，2018]上的最大值和最小值的和为（）A．4B．8C．6D．12【答案】B【解析】x ∀，y ∈R ．有()()()4f x y f x f y +=+-，取==0x y ，则(0)(0)(0)4f f f =+-，故(0)4f =，取y x =-，则(0)()()4f f x f x =+--，故()()8f x f x +-=，令()()4h x f x =-，则()()()()448440h x h x f x f x +-=-+--=--=，故()h x 为奇函数，22()()1x g x f x x =++ ，设22()1xx x ϕ=+，则()()()4g x x h x ϕ=++，22()()1xx x x ϕϕ-=-=-+ ，故()x ϕ为奇函数，故()()y x h x ϕ=+为奇函数，故函数y 在[2018,2018]-上的最大值和最小值的和是0，而()g x 是将函数y 的图像向上平移4个单位，即在[2018,2018]-上最大值和最小值均增加4，故函数()g x 在[2018,2018]-上的最大值和最小值的和是8，故选：B．13．（多选题）（2023·浙江杭州·统考二模）已知函数()f x （x ∈R ）是奇函数，()()2f x f x +=-且()12f =，()f x '是()f x 的导函数，则（）A．()20232f =B．()f x '的一个周期是4C．()f x '是偶函数D．()11f '=【答案】BC【解析】因为函数()f x 是奇函数，(2)()f x f x +=-，所以(2)()()f x f x f x +=-=-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即：(4)()f x f x +=，故()f x 的周期为4，所以(4)()f x f x ''+=，故()f x '的一个周期为4，故B 项正确；(2023)(45053)(3)(1)(1)2f f f f f =⨯+==-=-=-，故A 项错误；因为函数()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()f x f x ''--=-，即：()()f x f x ''-=，所以()f x '为偶函数，故C 项正确；因为(2)()f x f x +=-，所以(2)()f x f x ''+=--，令=1x -，可得(1)(1)f f ''=-，解得：()01f '=，故D 项错误.故选：BC.14．（多选题）（2023·安徽滁州·统考二模）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1g x +均为奇函数，则（）A．()00f =B．()00g =C．()()14f f -=D．()()14g g -=【答案】BD【解析】因为12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭定义域均为R 的奇函数，所以11()()22f x f x -=-+，即()(1)f x f x -=-+，所以[()](1)f x f x ''--=+，即()(1)f x f x ''-=+，所以()(1)g x g x -=+，又()1g x +为奇函数，所以(1)(1)g x g x +=--，当0x =时，(1)(1)(0)g g g =-=，即(1)0g =，(0)0g =，故B 正确；又()(1)g x g x -=--，所以()(1)g x g x =-+，故(2)(1)()g x g x g x +=-+=，即函数()g x 的周期为2，所以(1)(1)0g g -==，(4)(0)0g g ==，即()()14g g -=，故D 正确；由12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数可知1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()f x 的图象关于102，⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，不妨取1()cos π(1)πf x x =-，则()sin π(1)g x x =--满足周期为2，关于(1,0)中心对称条件，因为1(0)πf =-，1(1)πf -=，1(4)πf =-，可知AC 错误.故选：BD15．（多选题）（2023·吉林·统考三模）设定义在R 上的可导函数()f x 与()g x 导函数分别为()f x '和()g x '，若()()212f x g x x =-+，()1f x +与()g x 均为偶函数，则（）A．()11g '=B．()20220323g =-'C．()24f '=-D．991198100i f i =⎛⎫= ⎪⎝'⎭∑【答案】BCD【解析】∵()()212f x g x x =-+，∴()()2212f x g x ''=-+∵()1f x +与()g x 均为偶函数∴()()2f x f x =-，()()g x g x =-∴()()20f x f x ''+-=，()()0g x g x ''+-=①∴()10f '=，()00g '=∴()()12120f g ''=+=，()11g '=-即A 错误；∵()()2212f x g x ''=-+②∴()()22322f xg x ''-=-+将①带入得：()()2232f x g x ''-=--+，即()()2232f x g x ''=--③由②③得：()()23212g x g x ''---=∵()11g '=-，∴()()()202311012122023g =-+-⨯-=-'，即B 正确；∵()()()22322324f g ''=+=⨯-+=-，即C 正确；∵()()()()1221221224f x f x g x g x''''+-=-++-+=∴991199298495150100100100100100100100100i i f f f f f f f f =⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''''''=++++⋅⋅⋅+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦'∑299198=⨯=即D 正确．故选：BCD16．（多选题）（2023·海南海口·校考模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 在(],2-∞上单调递增，且()2f x +为偶函数，则（）A．()f x 的对称中心为()2,0B．()f x 的对称轴为直线2x =C．()()14f f -<D．不等式()()34f x f x +>的解集为()1,1,5⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ 【答案】BCD【解析】因为()2f x +为偶函数，所以()()22f x f x -+=+，所以()f x 图象关于直线2x =对称，故A 错误，B 正确；又()f x 在(],2-∞上单调递增，所以()f x 在[)2,+∞上单调递减，所以()()()154f f f -=<，故C 正确；由不等式()()34f x f x +>结合()f x 的对称性及单调性，得3242x x +-<-，即22(32)(42)x x +-<-，即(51)(33)0x x -->，解得15x <或1x >，所以不等式()()34f x f x +>的解集为()1,1,5⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，故D 正确，故选：BCD．17．（多选题）（2023·广东佛山·佛山一中校考一模）设函数()y f x =的定义域为R ，且满足(1)(1)f x f x +=-，(2)()0f x f x -+-=，当[]1,1x ∈-时，()1f x x =-+，则下列说法正确的是（）A．()1y f x =+是偶函数B．()3y f x =+为奇函数C．函数()lg =-y f x x 有8个不同的零点D．()202311k f k ==∑【答案】AB【解析】由()()11f x f x +=-，则函数关于直线1x =对称，且()()2f x f x -=+，由()()20f x f x -+-=，则函数关于(1,0)-对称，且()()2f x f x -=--，所以()()22f x f x +=--，故()()4f x f x +=-，则()()()84f x f x f x +=-+=，故函数的周期为8，当[]1,1x ∈-时()1f x x =-+，则()01f =，(1)(1)0f f -==，根据周期和对称性知：()f x 值域为[1,1]-，由函数()f x 关于直线1x =对称且关于(1,0)-对称，周期为8，()1y f x =+为()y f x =向左平移1个单位得到，是偶函数，故A 正确：()3y f x =+为()y f x =向左平移3个单位得到，是奇函数，故B 正确；由lg y x =在(,0)-∞上递减，且lg 101-=，lg 10-=；在(0,)+∞上递增，且lg 101=，lg 10=，结合图象：看出()y f x =和lg y x =的图象有10个交点，即()lg f x x =有10个不同的零点，故C 错误：由()10f =，()21f =，()30f =，()41f =-，()50f =，()61f =-，()70f =，()81f =，则()()()1280f f f ++⋅⋅⋅+=，所以()()()()2023125201271k f k f f f ==⨯+++⋅⋅⋅+=-⎡⎤⎣⎦∑，故D 错误，故选：AB18．（2023·江西吉安·统考一模）已知函数()f x 的定义域为R ,其导函数为()g x ,若函数(22)f x +为偶函数,函数(1)g x -为偶函数,则下列说法正确的序号有___________.①函数()f x 关于2x =轴对称;②函数()f x 关于(1,0)-中心对称;③若(2)1,(5)1f f -==-,则(26)(16)=3g f +-;④若当12x -≤≤时,1()e 1x f x +=-,则当1417x ≤≤时,17()e 1x f x -=-.【答案】①③④【解析】由于函数(22)f x +为偶函数,则②(22)(22)f x f x +=-+,则函数()f x 关于2x =轴对称,①正确;进而函数()g x 关于点(2,0)中心对称,由于函数(1)g x -为偶函数,则(1)(1)g x g x -=--,则函数()g x 关于=1x -轴对称,进而函数()f x 关于(1,(1))f --中心对称,②错误;由题可得函数()f x 的周期为()42112⎡⎤⨯--=⎣⎦，()g x 的周期为41212⨯--=，故(26)(2)0,(16)(4)(0)g g f f f ====，由中心对称性(2)(0)2(1)2(5)2f f f f -+=-==-，所以(0)2(2)213f f =---=--=-，所以(16)3f =-,故(26)(16)3g f +=-,③正确;当1417x ≤≤时,1162x -≤-≤，17()(12)[4(12)](16)e 1x f x f x f x f x -=-=--=-=-,④正确.故答案为：①③④19．（2023·陕西榆林·统考一模）已知函数()f x 是定义在()2,2-上的增函数，且()f x 的图象关于点()0,2-对称，则关于x 的不等式()()240f x f x +++>的解集为__________.【答案】(1,0)-【解析】令函数()()2g x f x =+，因为()f x 的图象关于点()0,2-对称，所以()g x 的图象关于原点对称，故()g x 是定义在()2,2-上的奇函数；因为()f x 是定义在()2,2-上的增函数，所以()g x 也是定义在(2,2)-上的增函数，由()()240f x f x +++>，得()()()2222f x f x f x ⎡⎤++>--=-+⎣⎦，则()()()2g x g x g x +>-=-，则222222x xx x +>-⎧⎪-<+<⎨⎪-<-<⎩，解得10x -<<，故不等式的解集为()1,0-.故答案为：()1,0-20．（2023·全国·校联考模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数a ，b 都有()()()1a a b b f f f +=+-，且当0x >时，()1f x >．若()23f =，则不等式()212f x x --<的解集为______．【答案】()1,2-【解析】对任意实数a ，b 都有()()()1a a b b f f f +=+-，且当0x >时，()1f x >．设12x x >，则120x x ->，()121f x x ->．所以()()()()()1212221210f x f x f x x x f x f x x ⎡⎤-=-+-=-->⎣⎦，即()()12f x f x >，所以()f x 是增函数．因为()23f =，即()()()21113f f f =+-=，所以()12f =.所以原不等式化为()212f x x --<等价为()()211f x x f --<，则211x x --<，即220x x --<，则()()210x x -+<，得12x -<<，故不等式的解集是()1,2-.故答案为：()1,2-21．（2023·江西赣州·高三统考阶段练习）已知()f x 是定义在[]4,4-上的增函数，且()f x 的图象关于点()0,1对称，则关于x 的不等式()()23350f x f x x +-+->的解集为______.【答案】(1,2]【解析】因为函数()f x 的图象关于点()0,1对称，所以函数()1f x -的图象关于原点对称，令()()1g x f x x =+-，则()g x 为奇函数.又()f x 是在[]4,4-上的增函数，所以()g x 也是在[]4,4-上的增函数.此时原不等式等价于(2)(3)0g x g x +->，因为()g x 为奇函数，所以(2)(3)g x g x >-，又因为()g x 是在[]4,4-上的增函数，所以有23424434x x x x >-⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤-≤⎩，解得12x <≤.即原不等式的解集为(1,2].故答案为：(1,2].22．（2023·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试）已知()f x 是定义在()5,5-上的增函数，且()f x 的图象关于点()0,1-对称，则关于x 的不等式()()211320f x f x x ++-++>的解集为_________．【答案】()0,2【解析】令函数()()1g x f x x =++，因为()f x 的图象关于点()0,1-对称，所以()g x 的图象关于原点对称，故()g x 是定义在()5,5-上的奇函数．因为()f x 是定义在()5,5-上的增函数，所以()g x 也是定义在()5,5-上的增函数．由()()211320f x f x x ++-++>，得()()21211[111]f x x f x x ++++>--+-+，则()()()2111g x g x g x +>--=-+，则211,5215,515,x x x x +>-+⎧⎪-<+<⎨⎪-<-+<⎩解得02x <<，故原不等式的解集为()0,2．故答案为：()0,223．（2023·江苏常州·高三校联考开学考试）已知函数()2e e e ex xx x f x x ---=++，则不等式()()21122f x f x x ++-<+的解集为__________.【答案】(),0∞-【解析】()()()22e e e e ,e e e ex x x x x x x x f x x g x f x x ------=+=-=++为奇函数，()()()()()222e e e e 0,e e x x x x x x g x g x ---+--=>+'在R 上单调递增，()()()()2211(1),11(1)f x g x x f x g x x +=+++-=-+-，()()()()2211112222f x f x g x g x x x ++-=++-++<+，()()()()()()110,11,11g x g x g x g x g x g x ∴++-<+<--+<-，11x x ∴+<-，则0x <.故答案为：(),0∞-.24．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()1f x +是奇函数，且()()12f x g x -+=，()()32f x g x +-=，则下列结论正确的是______．（只填序号）①()f x 为偶函数；②()g x 为奇函数；③()20140k f k ==∑；④()20140k g k ==∑.【答案】①④【解析】因为()()32f x g x +-=，所以()()32f x g x ++=，又因为()()12f x g x -+=，则有()()31f x f x +=-，且()1f x +是奇函数，则()()11f x f x +=--，可得()()31f x f x +=-+，即()()2f x f x +=-，则()()()()42f x f x f x f x +=-+=--=⎡⎤⎣⎦，即()()4f x f x +=，所以()f x 是周期为4的周期函数，因为()()32f x g x ++=，则()()23g x f x =-+，可得()()()()424323g x f x f x g x +=-++=-+=，故()g x 也是周期为4的周期函数．对于①：因为()()11f x f x +=--，则()()2f x f x +=--，即()()f x f x -=--，所以()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数．故①正确；对于②：∵()()()()()()2323433g x g x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-=-++--+=-++-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()41141140f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤--+--=--++=≠⎣⎦⎣⎦，∴()()g x g x ≠--，故②错误；对于③：因为()()11f x f x +=--，令0x =，即()()11f f =-，则()10f =，又因为()()2f x f x +=-，令1x =，所以()()310f f =-=，令2x =，则()()42f f =-，即()()240f f +=，即()()()()12340f f f f +++=，所以()()()()()201512340k f k f f f f ==+++=⎡⎤⎣⎦∑，所以③错误；对于④：因为()()23g x f x =-+，所以()()()()()()()()123424252627g g g g f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=-+-+-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()812348f f f f ⎡⎤=-+++=⎣⎦，所以()()()()()2015123440k g k g g g g =⎡⎤=+++=⎣⎦∑，所以④正确．故答案为：①④．25．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知函数()(32e log e 1x x f x x =++在[](),0k k k ->上的最大值与最小值分别为M 和m ，则函数()()()31g x M m x M m x -=+++-⎡⎤⎣⎦的图象的对称中心是___________.【答案】1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】已知()(32e log e 1x x f x x =++，()((332e 2log log e 11e x x x f x x x ---=-+=-+++，则()()2f x f x +-=，故函数()f x 在定义域内为非奇非偶函数，令()()1h x f x =-，则()()()()110h x h x f x f x +-=-+--=，则()h x 在定义域内为奇函数，设()h x 的最大值为t ，则最小值为t -，则()f x 的最大值为1M t =+，最小值为1m t =-+，则2M m +=，∴()()31221g x x x =+-，所以()()()()()()()()333333212111222221212121a x x g x g a x x a x a x a x x a x --+-+-=++-+=+---⎡-⋅--⎡⎤⎡⎤⎣⎣⎦⎣⎦⎦⎤()()()()(){}()()223321212121212122121a x x a x a x x x a x a x --+-------+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+-⋅--⎡⎤⎣⎦()()()()(){}()()2233212121212122121a a x a x x x a x a x -------+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+-⋅--⎡⎤⎣⎦，∴当1a =时，()()12g x g x +-=，∴()g x 关于1,12⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故答案为：1,12⎛⎫⎪⎝⎭26．（2023·全国·高三专题练习）设函数()())221ln 1x x f x x ++=+的最大值为M ，最小值为N ，则M N +的值为________．【答案】2【解析】由已知得())22ln 11x x f x x +=++，因为)()ln ln ln10x x ⎤+-==⎥⎦，所以())ln ln x x ⎤-=-+⎥⎦，易知函数)ln y x =的定义域为R ，因此函数)ln y x =是奇函数．令())22ln 1x xg x x +=+，则22)()()1x x g x g x x ---==-+,()g x 为奇函数，则()g x 的最大值1M 和最小值1N 满足110M N +=．因为11M M =+，11N N =+，所以2M N +=．故答案为：2．。

2023-2024学年高考数学专项复习——压轴题(附答案)

决胜3．已知函数，曲线在处的切线方程为.()2e xf x ax =-()y f x =()()1,1f 1y bx =+(1)求的值：,a b (2)求在上的最值；()f x []0,1(3)证明：当时，.0x >()e 1e ln 0x x x x +--≥4．已知函数，.()()ln 1f x x x a x =-++R a ∈(1)若，求函数的单调区间；1a =()f x (2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；x ()2f x a≤[)2,+∞a (3)若实数满足且，证明.b 21a b <-+1b >()212ln f x b <-5．椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点2222:1(0)x y E a b a b +=>>22()2,1M E 的动直线与椭圆相交于两点.()0,1P l ,A B (1)求椭圆的方程；E (2)求面积的最大值；AOB (3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，xOy P Q QA PAQB PB=求出点的坐标；若不存在，请说明理由.Q 6．已知函数，.()21ln 2f x a x x⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()()()2R g x f x ax a =-∈(1)当时，0a =（i ）求曲线在点处的切线方程；()y f x =()()22f ,（ii ）求的单调区间及在区间上的最值；()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)若对，恒成立，求a 的取值范围.()1,x ∀∈+∞()0g x <(1)求抛物线的表达式和的值；,t k (2)如图1，连接AC ，AP ，PC ，若△APC 是以(3)如图2，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点的最大值．12CQ PQ +(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l 的方程；22y x =(2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线上一点P 到准线l 的距离为6，求点P 的坐218y x =标；(3)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线的焦点F 的直线依次交抛物线及准()20y ax a =>线l 于点，若求a 的值；、、A B C 24BC BF AF ==，(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C 将一条线段分为两段和，使得其中较长一段是全线段与另一AB AC CB AC AB 段的比例中项，即满足：，后人把这个数称为“黄金分割”，把CB 512AC BC AB AC -==512-点C 称为线段的黄金分割点.如图4所示，抛物线的焦点，准线l 与y 轴AB 214y x=(0,1)F 交于点，E 为线段的黄金分割点，点M 为y 轴左侧的抛物线上一点.当(0,1)H -HF 时，求出的面积值.2MH MF=HME 10．已知双曲线的一条渐近线方程的倾斜角为，焦距为4．2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>60︒(1)求双曲线的标准方程；C (2)A 为双曲线的右顶点，为双曲线上异于点A 的两点，且．C ,M N C AM AN ⊥①证明：直线过定点；MN ②若在双曲线的同一支上，求的面积的最小值．,M N AMN(1)试用解析几何的方法证明：(2)如果将圆分别变为椭圆、双曲线或抛物线，你能得到类似的结论吗？13．对于数集（为给定的正整数），其中，如果{}121,,,,n X x x x =-2n ≥120n x x x <<<< 对任意，都存在，使得，则称X 具有性质P ．,a b X ∈,c d X ∈0ac bd +=(1)若，且集合具有性质P ，求x 的值；102x <<11,,,12x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭(2)若X 具有性质P ，求证：；且若成立，则；1X ∈1n x >11x =(3)若X 具有性质P ，且，求数列的通项公式．2023n x =12,,,n x x x 14．已知，是的导函数，其中．()2e xf x ax =-()f x '()f x R a ∈(1)讨论函数的单调性；()f x '(2)设，与x 轴负半轴的交点为点P ，在点P()()()2e 11x g x f x x ax =+-+-()y g x =()y g x =处的切线方程为．()y h x =①求证：对于任意的实数x ，都有；()()g x h x ≥②若关于x 的方程有两个实数根，且，证明：()()0g x t t =>12,x x 12x x <．()2112e 11e t x x --≤+-15．在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心xOy 1,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭12x =-的轨迹为曲线K ，P 是曲线K 上一点．(1)求曲线K 的方程；(2)过点A 且斜率为k 的直线l 与曲线K 交于B 、C 两点，若且直线OP 与直线交//l OP 1x =于Q 点．求的值；||||AB ACOP OQ ⋅⋅(3)若点D 、E 在y 轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值．PDE △()2211x y -+=PDE △16．已知椭圆C ：，四点中恰有三()222210x y a b a b +=>>()()1234331,1,0,1,1,,1,22P P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点，若直线与直线的斜率的和为，2P A 2P B 1-证明：l 过定点．18．给定正整数k ，m ，其中，如果有限数列同时满足下列两个条件．则称2m k ≤≤{}n a 为数列．记数列的项数的最小值为．{}n a (,)k m -(,)k m -(,)G k m 条件①：的每一项都属于集合；{}n a {}1,2,,k 条件②：从集合中任取m 个不同的数排成一列，得到的数列都是的子列．{}1,2,,k {}n a 注：从中选取第项、第项、…、第项（）形成的新数列{}n a 1i 2i 5i 125i i i <<<…称为的一个子列．325,,,i i i a a a ⋯{}n a (1)分别判断下面两个数列，是否为数列．并说明理由！(33)-，数列；1:1,2,3,1,2,3,1,2,3A 数列．2:1,2,3,2,1,3,1A (2)求的值；(),2G k (3)求证．234(,)2k k G k k +-≥答案：1．(1)极大值为，无极小值2e (2)证明见解析【分析】（1）求导，根据导函数的符号结合极值的定义即可得解；（2）构造函数，利用导数求出函数的最小值，再()21()()()2ln 12F x f x g x x x x x x =+=+->证明即可或者转换不等式为，通过构造函数可得证.()min0F x >()112ln 012x x x +->>【详解】（1）的定义域为，，()f x (0,)+∞()2(1ln )f x x '=-+当时，，当时，，10e x <<()0f x '>1e x >()0f x '<所以函数在上单调递增，在上单调递减，()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故在处取得极大值，()f x 1e x =12e e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以的极大值为，无极小值；()f x 2e （2）设，()21()()()2ln 12F x f x g x x x x x x =+=+->解法一：则，()2ln 1F x x x '=--令，，()()2ln 11h x x x x =-->22()1x h x x x -'=-=当时，，单调递减，当时，，单调递增，12x <<()0h x '<()h x 2x >()0h x '>()h x 又，，，(2)1ln 40h =-<(1)0h =(4)32ln 40h =->所以存在，使得，即．0(2,4)x ∈0()0h x =002ln 10x x --=当时，，即，单调递减，01x x <<()0h x <()0F x '<()F x 当时，，即，单调递增，0x x >()0h x >()0F x '>()F x 所以当时，在处取得极小值，即为最小值，1x >()F x 0x x =故，22000000(11()()12ln )222F x F x x x x x x ≥=+-=-+设，因为，2000122()p x x x =-+0(2,4)x ∈由二次函数的性质得函数在上单调递减，2000122()p x x x =-+(2,4)故，0()(4)0p x p >=所以当时，，即．1x >()0F x >()()0f x g x +>解法二：要证，即证，()0F x >()1()12ln 012p x x x x =+->>因为，所以当时，，单调递减，()124()122x p x x x x -'=-=>()1,4x ∈()0p x '<()p x 当时，，单调递增，()4,x ∞∈+()0p x '>()p x 所以，所以，即.()()4212ln 434ln 20p x p ≥=+-=->()0F x >()()0f x g x +>方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f xg x >()()f xg x <（或），进而构造辅助函数；()()0f xg x ->()()0f xg x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.2．(1)0(2)证明详见解析(3)2a ≤【分析】（1）利用导数求得的最小值.()g x （2）根据（1）的结论得到，利用放缩法以及裂项求和法证得不等式成立.2211ln 1n n ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭（3）由不等式分离参数，利用构造函数法，结合导数求得的取ln (2)10xx x x a x -+--≥a a 值范围.【详解】（1）依题意，，()21ln (,0)2f x x x x t t x =-+∈>R 所以，()()()()ln 1ln 10g x f x x x x x x '==-+=-->，所以在区间上单调递减；()111x g x x x -'=-=()g x ()0,1()()0,g x g x '<在区间上单调递增，()1,+∞()()0,g x g x '>所以当时取得最小值为.1x =()g x ()11ln110g =--=（2）要证明：对任意正整数，都有，(2)n n ≥222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即证明，22221111ln 1111ln e234n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 即证明，222111ln 1ln 1ln 1123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由（1）得，即()()()10f xg x g '=≥=ln 10,ln 1x x x x --≥≤-令，所以， *211,2,N x n n n =+≥∈222111ln 111n n n ⎛⎫+≤+-= ⎪⎝⎭所以222222111111ln 1ln 1ln 12323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++≤+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，()111111111122312231n n n n <+++=-+-++-⨯⨯-- 111n=-<所以对任意正整数，都有.(2)n n ≥222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （3）若不等式恒成立，此时，ln (2)10xx x x a x -+--≥0x >则恒成立，ln 21x x x x x a x -+-≤令，()ln 21xx x x x h x x -+-=令，()()()e 10,e 10x x u x x x u x '=--≥=-≥所以在区间上单调递增，()u x[)0,∞+所以，当时等号成立，()0e 010,e 10,e 1x x u x x x ≥--=--≥≥+0x =所以，()ln e ln 21ln 1ln 212x x x x x x x x x x h x x x -+-+-+-=≥=当时等号成立，所以.ln 0,1x x x ==2a ≤利用导数求函数的最值的步骤：求导：对函数进行求导，得到它的导函数.导函数()f x ()f x '表示了原函数在不同点处的斜率或变化率.找出导数为零的点：解方程，找到使得导()0f x '=数为零的点,这些点被称为临界点，可能是函数的极值点（包括最大值和最小值），检查每个临界点以及区间的端点，并确认它们是否对应于函数的最值.3．(1)，1a =e 2b =-(2)；()max e 1f x =-()min 1f x =(3)证明见解析【分析】（1）利用切点和斜率列方程组，由此求得.,a b （2）利用多次求导的方法求得在区间上的单调性，由此求得在上的最值.()f x []0,1()f x []0,1（3）先证明时，，再结合（2）转化为，从0x >()()e 21f x x ≥-+()21e ln e x x x x x+--≥+而证得不等式成立.【详解】（1），()e 2x f x ax'=-∴，解得：，；()()1e 21e 1f a b f a b ⎧=-=⎪⎨=-=+'⎪⎩1a =e 2b =-（2）由（1）得：，()2e xf x x =-，令，则，()e 2x f x x '=-()e 2x h x x=-()e 2x h x '=-是增函数，令解得.()h x ()0h x '=ln 2x =∴，也即在上单调递减，()h x ()f x '()0,ln2()()0,h x h x '<在上单调递增，()ln2,+∞()()0,h x h x '>∴，∴在递增，()()ln 2ln222ln20h f ==->'()f x []0,1∴；；()()max 1e 1f x f ==-()()min 01f x f ==（3）∵，由（2）得过，()01f =()f x ()1,e 1-且在处的切线方程是，()y f x =1x =()e 21y x =-+故可猜测且时，的图象恒在切线的上方，0x >1x ≠()f x ()e 21y x =-+下面证明时，，设，，0x >()()e 21f x x ≥-+()()()e 21g x f x x =---()0x >∴，∴令，()()e 2e 2x g x x =---'()()()e 2e 2x x x g m x '--==-，()e 2x m x '=-由（2）得：在递减，在递增，()g x '()0,ln2()ln2,+∞∵，，，∴，()03e 0g '=->()10g '=0ln21<<()ln20g '<∴存在，使得，()00,1x ∈()0g x '=∴时，，时，，()()00,1,x x ∈⋃+∞()0g x '>()0,l x x ∈()0g x '<故在递增，在递减，在递增.()g x ()00,x ()0,1x ()1,+∞又，∴当且仅当时取“”，()()010g g ==()0g x ≥1x ==()()2e e 210x g x x x =----≥故，，由（2）得：，故，()e e 21x x xx+--≥0x >e 1x x ≥+()ln 1x x ≥+∴，当且仅当时取“=”，∴，1ln x x -≥1x =()e e 21ln 1x x x x x+--≥≥+即，∴，()21ln 1e e x x x x+--≥+()21e ln e x x x x x+--≥+即成立，当且仅当时“=”成立.()1ln 10e e x x x x +---≥1x =求解切线的有关的问题，关键点就是把握住切点和斜率.利用导数研究函数的单调性，如果一次求导无法求得函数的单调性时，可以考虑利用多次求导来进行求解.利用导数证明不等式恒成立，如果无法一步到位的证明，可以先证明一个中间不等式，然后再证得原不等式成立.4．(1)单调增区间为，单调减区间为；()0,1()1,+∞(2)(],2ln 2-∞(3)证明见解析【分析】（1）求导，再根据导函数的符号即可得解；（2）分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的最小ln 1x x a x ≤-ln (),21x xg x x x =≥-()g x 值即可得解；（3）由，得，则，要证21a b <-+21a b -<-2112()(e )e e 1a a b f x f a b ---≤=+<-+，即证，即证，构造函数()212ln f x b<-222e112ln bb b --+<-22212ln 0eb b b +-<，证明即可.()()()12ln e x h x x x x =>-()1h x <-【详解】（1）当时，，1a =()ln 1,0f x x x x x =-++>，由，得，由，得，()ln f x x '=-()0f x '>01x <<()0f x '<1x >故的单调增区间为，单调减区间为；()f x ()0,1()1,+∞（2），()ln 2,1x xf x a a x ≤∴≤- 令，ln (),21x x g x x x =≥-则，21ln ()(1)x xg x x --'=-令，则，()ln 1t x x x =-+11()1xt x x x -'=-=由，得，由，得，()0t x '>01x <<()0t x '<1x >故在递增，在递减，，()t x ()0,1()1,+∞max ()(1)0t x t ==，所以，()0t x ∴≤ln 1≤-x x 在上单调递增，，()0,()g x g x '≥∴[)2,+∞()min ()2g x g ∴=，(2)2ln 2a g ∴≤=的取值范围；a ∴(],2ln 2-∞（3），221,1b a b a <-+∴-<- 又，在上递增，11()(e )e a a f x f a --≤=+1e a y a -=+ R a ∈所以，2112()(e )e e 1a a b f x f a b ---≤=+<-+下面证明：，222e 112ln b b b --+<-即证，22212ln 0ebb b +-<令，则，21x b =>12ln 0e x x x +-<即，(2ln )e 1xx x -⋅<-令，则，()()()12ln e xh x x x x =>-()22ln 1e xh x x x x '⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭令，则，()2()2ln 11x x x x x ϕ=-+->()()2221122()101x x x x x x ϕ---=--=<>∴函数在上单调递减，()x ϕ()1,+∞，()(1)0x ϕϕ∴<=在递减，()()0,h x h x '∴<(1,)+∞，()()1e 1h x h ∴<=-<-所以.()212ln f x b <-方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f xg x >()()f xg x <（或），进而构造辅助函数；()()0f xg x ->()()0f xg x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.5．(1)22142x y +=(2)2(3)存在，.()0,2Q 【分析】（1）由离心率及过点列方程组求解.()2,1M,a b （2）设直线为与椭圆方程联立，将表达为的函数，由基本不l 1y kx =+1212AOB S x x =⋅- k 等式求最大值即可.（3）先讨论直线水平与竖直情况，求出，设点关于轴的对称点，证得()0,2Q B y B '三点共线得到成立.,,Q A B 'QA PAQB PB=【详解】（1）根据题意，得，解得，椭圆C 的方程为.2222222211c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩222422a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩22142x y +=（2）依题意，设，直线的斜率显然存在，()()1122,,,A x y B x y l 故设直线为，联立，消去，得，l 1y kx =+221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()2212420k x kx ++-=因为直线恒过椭圆内定点，故恒成立，，l ()0,1P 0∆>12122242,1212k x x x x k k +=-=-++故，()2221212221224212111214414222122AOBk S x x x x x x k k k k ⋅+⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯-=⨯-⨯= ⎪ ⎪+⎝-+-⎝++⎭⎭- 令，所以，当且仅当，即时取得214,1t k t =+≥22222211AOB t S t t t=×=×£++1t =0k =等号，综上可知：面积的最大值为.AOB 2（3）当平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，l x ,C D Q 则有，即，所以点在轴上，可设的坐标为；||||1||||QC PC QD PD ==QC QD =Q y Q ()00,y 当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，l x ,M N Q 则有，即，解得或，||||||||QM PM QN PN =00221212y y --=++01y =02y =所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为；P Q Q ()0,2当不平行于轴且不垂直于轴时，设直线方程为，l x x l 1y kx =+由（2）知，12122242,1212k x x x x k k --+==++又因为点关于轴的对称点的坐标为，B y B '()22,x y -又，，11111211QA y kx k k x x x --===-22222211QB y kx k k x x x '--===-+--.方法点睛：直线与椭圆0Ax By C ++=时，取得最大值2222220a A b B C +-=MON S 6．(1)（i ）；（322ln 220x y +--=(2)11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故曲线在点处的切线方程为，()y f x =()()22f ,()()32ln 222y x --+=--即；322ln 220x y +--=（ii ），，()21ln 2f x x x =-+()0,x ∈+∞，()211x f x x x x -'=-+=令，解得，令，解得，()0f x ¢>()0,1x ∈()0f x '<()1,x ∈+∞当时，，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()max 112f x f ==-又，，221111ln 1e 2e e 2e f ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭()2211e e ln e e 122f =-+=-+其中，()222211111e 1e 1e 20e 2e 222ef f ⎛⎫⎛⎫-=----+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故，()()2min 1e e 12f x f ==-+故的单调递增区间为，单调递减区间为；()f x ()0,1()1,+∞在区间上的最大值为，最小值为；()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-21e 12-+（2），()21ln 22xg x a x x a ⎭-+⎛=⎪-⎫ ⎝对，恒成立，()1,x ∀∈+∞21ln 202a x x ax ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭变形为对恒成立，ln 122x a xa x<--⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,x ∀∈+∞令，则，()(),1,ln x h x x x ∈=+∞()21ln xh x x -'=当时，，单调递增，()1,e x ∈()0h x '>()ln xh x x =当时，，单调递减，()e,+x ∈∞()0h x '<()ln xh x x =其中，，当时，恒成立，()10h =()ln e 1e e e h ==1x >()ln 0x h x x =>故画出的图象如下：()ln x h x x =其中恒过点122y xa a ⎛⎫ ⎪⎝=⎭--(2,1A 又，故在()210111h -'==()ln x h x x =又在上，()2,1A 1y x =-()对于2111644y x x =-+-∴点，即()0,6C -6OC =∵2114,14P m m m ⎛-+- ⎝∴点，3,64N m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴，22111316624444PN m m m m m⎛⎫=-+---=-+ ⎪⎝⎭∵轴，PN x ⊥∴，//PN OC ∴，PNQ OCB ∠=∠∴，Rt Rt PQN BOC ∴，PN NQ PQ BC OC OB ==∵，8,6,10OB OC BC ===∴，34,55QN PN PQ PN==∵轴，NE y ⊥∴轴，//NE x ∴，CNE CBO ∴，5544CN EN m ==∴，2215111316922444216CQ PQ m m m m ⎛⎫+=-+=--+⎪⎝⎭当时，取得最大值.132m =12CQ PQ+16916关键点点睛：熟练的掌握三角形相似的判断及性质是解决本题的关键.8．(1)详见解析；(2)①具有性质；理由见解析；②P 1346【分析】（1）当时，先求得集合，由题中所给新定义直接判断即可；10n =A （2）当时，先求得集合， 1010n =A ①根据，任取，其中，可得，{}2021|T x x S =-∈02021t x T =-∈0x S ∈0120212020x ≤-≤利用性质的定义加以验证，即可说明集合具有性质；P T P ②设集合有个元素，由（1）可知，任给，，则与中必有个S k x S ∈12020x ≤≤x 2021x -1不超过，从而得到集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过，然后利1010S T 1010用性质的定义列不等式，由此求得的最大值．P k【详解】（1）当时，，10n ={}1,2,,19,20A = 不具有性质，{}{}|910,11,12,,19,20B x A x =∈>= P 因为对任意不大于的正整数，10m 都可以找到该集合中的两个元素与，使得成立，110b ＝210b m =+12||b b m -=集合具有性质，{}*|31,N C x A x k k =∈=-∈P 因为可取，对于该集合中任一元素，110m =<，（），都有.112231,31c k c k =-=-*12,N k k ∈121231c c k k -=-≠（2）当时，集合，1010n ={}()*1,2,3,,2019,2020,1010N A m m =≤∈ ①若集合具有性质，那么集合一定具有性质．S P {}2021|T x x S =-∈P 首先因为，任取，其中．{}2021|T x x S =-∈02021t x T =-∈0x S ∈因为，所以．S A ⊆{}01,2,3,,2020x ∈ 从而，即，所以．0120212020x ≤-≤t A ∈T A ⊆由具有性质，可知存在不大于的正整数，S P 1010m 使得对中的任意一对元素，都有．s 12,s s 12s s m -≠对于上述正整数，从集合中任取一对元素，m {}2021|T x x S =-∈112021t x -＝，其中，则有．222021t x =-12,x x S ∈1212t t s s m --≠＝所以，集合具有性质P ；{}2021|T x x S =-∈②设集合有个元素，由（1）可知，若集合具有性质，S k S P 那么集合一定具有性质．{}2021|T x x S =-∈P 任给，，则与中必有一个不超过．x S ∈12020x ≤≤x 2021x -1010所以集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过．S T 1010不妨设中有个元素不超过．S 2k t t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭12,,,t b b b 1010由集合具有性质，可知存在正整数．S P 1010m ≤使得对中任意两个元素，都有．S 12,s s 12s s m -≠所以一定有．12,,,t b m b m b m S +++∉ 又，故．100010002000i b m +≤+=121,,,b m b m b m A +++∈ 即集合中至少有个元素不在子集中，A t S 因此，所以，得．20202k k k t +≤+≤20202k k +≤1346k ≤当时，取，{}1,2,,672,673,,1347,,2019,2020S = 673m =则易知对集合中的任意两个元素，都有，即集合具有性质．S 12,y y 12673y y -≠S P 而此时集合S 中有个元素，因此，集合元素个数的最大值为．1346S 1346解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.9．(1)，10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭18y =-(2)或()42,4()42,4-(3)14a =(4)或51-35-【分析】（1）根据焦点和准线方程的定义求解即可；（2）先求出点P 的纵坐标为4，然后代入到抛物线解析式中求解即可；（3）如图所示，过点B 作轴于D ，过点A 作轴于E ，证明，推BD y ⊥AE y ⊥FDB FHC ∽出，则，点B 的纵坐标为，从而求出，证明16FD a =112OD OF DF a =-=112a 36BD a =，即可求出点A 的坐标为，再把点A 的坐标代入抛物线解析式AEF BDF ∽123,24a ⎛⎫ ⎪⎝+⎭-中求解即可；（4）如图，当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候，过点M 作于N ，则，MN l ⊥MN MF=先证明是等腰直角三角形，得到，设点M 的坐标为，则MNH △NH MN=21,4m m ⎛⎫⎪⎝⎭过点B 作轴于D ，过点BD y ⊥由题意得点F 的坐标为F ⎛ ⎝1FH =当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候，过点∵在中，Rt MNH △sin MHN ∠∴，∴是等腰直角三角形，45MHN ︒=MNH △双曲线方程联立，利用韦达定理及题目条件可得，后由题意可得AM AN ⋅= ()()222131t t m -+=-所过定点坐标；②结合①及图形可得都在左支上，则可得，后由图象可得,M N 213m <，后通过令，结合单调性229113m S m +=-223113m λλ⎛⎫+=≤< ⎪⎝⎭()423313f x x x x ⎛⎫=-≤< ⎪⎝⎭可得答案.【详解】（1）设双曲线的焦距为，C 2c 由题意有解得．2223,24,,ba c c ab ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩1,3,2a b c ===故双曲线的标准方程为；C 2213y x -=（2）①证明：设直线的方程为，点的坐标分别为，MN my x t =+,M N ()()1122,,,x y x y 由（1）可知点A 的坐标为，()1,0联立方程消去后整理为，2213y x my x t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩x ()222316330m y mty t --+-=可得，2121222633,3131mt t y y y y m m -+==--，()212122262223131m t tx x m y y t t m m +=+-=-=--，()()()()222222222121212122223363313131m t m t m t x x my t my t m y y mt y y t t m m m -+=--=-++=-+=----由，()()11111,,1,AM x y AN x y =-=-有()()()1212121212111AM AN x x y y x x x x y y ⋅=--+=-+++，()()()()22222222222222222132331313131313131t t t t t t m t t t m m m m m m -----++-=--++===------由，可得，有或，AM AN ⊥0AM AN ⋅=1t =-2t =当时，直线的方程为，过点，不合题意，舍去；1t =-MN 1my x =-()1,0当时，直线的方程为，过点，符合题意，2t =MN 2my x =+()2,0-②由①，设所过定点为121224,31x x x x m +==-若在双曲线的同一支上，可知,M N 有12240,31x x x m +=<-关键点睛：求直线所过定点常采取先猜后证或类似于本题处理方式，设出直线方程，通过题一方面：由以上分析可知，设椭圆方程为一方面：同理设双曲线方程为()22221y m x a b +-=，()2222221b x a k x m a b -+=化简并整理得()(2222222112ba k x a mk x a m ---+一方面：同理设抛物线方程为(22x p y =，()212x p k x n =+化简并整理得，由韦达定理可得12220pk x x pn --=2,2x x pk x x pn +=⋅=-（2）构造，故转化为等价于“对任()()()()()13131931x x xx f x k k g x f x +--==+++()()()123g x g x g x +>意，，恒成立”，换元后得到（），分，和1x 2x 3R x ∈()()11k g x q t t -==+3t ≥1k >1k =三种情况，求出实数k 的取值范围.1k <【详解】（1）由条件①知，当时，有，即在R 上单调递增．12x x <()()12f x f x <()f x 再结合条件②，可知存在唯一的，使得，从而有．0R x ∈()013f x =()093x x f x x --=又上式对成立，所以，R x ∀∈()00093x x f x x --=所以，即．0001393x x x --=0009313x x x ++=设，因为，所以单调递增．()93x x x xϕ=++()9ln 93ln 310x x x ϕ'=++>()x ϕ又，所以．()113ϕ=01x =所以；()931x x f x =++（2）构造函数，()()()()()13131931x x xx f x k k g x f x +--==+++由题意“对任意的，，，1x 2x 3R x ∈均存在以，，为三边长的三角形”()()()11113x f x k f x +-()()()22213x f x k f x +-()()()33313x f x k f x +-等价于“对任意，，恒成立”．()()()123g x g x g x +>1x 2x 3R x ∈又，令，()111313x x k g x -=+++1131231333x x x x t ⋅=++≥+=当且仅当时，即时取等号，91x=0x =则（），()()11k g x q t t -==+3t ≥当时，，因为且，1k >()21,3k g x +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()()122423k g x g x +<+≤()3213k g x +<≤所以，解得，223k +≤4k ≤即；14k <≤当时，，满足条件；1k =()()()1231g x g x g x ===当时，，因为且，1k <()2,13k g x +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()()122423k g x g x ++<≤()3213k g x +<≤所以，即．2413k +≤112k -≤<综上，实数k 的取值范围是．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.13．(1)14x =(2)证明过程见解析(3)，()112023k n k x --=1k n≤≤【分析】（1）由题意转化为对于，都存在，使得，其中(),m a b =(),n c d =0m n ⋅= ，选取，，通过分析求出；,,,a b c d X ∈()1,,2m a b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()(),1,n c d d ==- 14x =（2）取，，推理出中有1个为，则另一个为1，即，()()11,,m a b x x == (),n c d =,c d 1-1X ∈再假设，其中，则，推导出矛盾，得到；1k x =1k n <<101n x x <<<11x =（3）由（2）可得，设，，则有，记11x =()11,m s t =()22,n s t =1212s t t s =-，问题转化为X 具有性质P ，当且仅当集合关于原点对称，得到,,s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭B ，共个数，由对称性可知也有个数，(){}234,0,,,,n B x x x x -∞=---- ()1n -()0,B +∞ ()1n -结合三角形数阵得到，得到数列为首项为1的等比123212321n n n n n n x x x x x x x x x x -----===== 12,,,n x x x 数列，设出公比为，结合求出公比，求出通项公式.q 2023n x =【详解】（1）对任意，都存在，使得，,a b X ∈,c d X ∈0ac bd +=即对于，都存在，使得，其中，(),m a b =(),n c d =0m n ⋅= ,,,a b c d X ∈因为集合具有性质P ，11,,,12x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭选取，，()1,,2m a b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()(),1,n c d d ==-则有，12x d -+=假设，则有，解得，这与矛盾，d x =102x x -+=0x =102x <<假设，则有，解得，这与矛盾，1d =-12x --=12x =-102x <<假设，则有，解得，这与矛盾，1d =12x -+=12x =102x <<假设，则有，解得，满足，12d =14x -+=14x =102x <<故；14x =（2）取，，()()11,,m a b x x == (),n c d =则，()10c d x +=因为，所以，即异号，120n x x x <<<< 0c d +=,c d 显然中有1个为，则另一个为1，即，,c d 1-1X ∈假设，其中，则，1k x =1k n <<101n x x <<<选取，，则有，()()1,,n m a b x x ==(),n s t =10n sx tx +=则异号，从而之中恰有一个为，,s t ,s t 1-若，则，矛盾，1s =-11n x tx t x =>≥若，则，矛盾，1t =-1n n x sx s x =<≤故假设不成立，所以；11x =（3）若X 具有性质P ，且，20231n x =>由（2）可得，11x =设，，则有，()11,m s t =()22,n s t =1212s t t s =-记，则X 具有性质P ，当且仅当集合关于原点对称，,,s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭B 注意到是集合中唯一的负数，1-X 故，共个数，(){}234,0,,,,n B x x x x -∞=---- ()1n -由对称性可知也有个数，()0,B +∞ ()1n -由于，已经有个数，123421n n n n n nn n n n x x x x x x x x x x x x ----<<<<<< ()1n -对于以下三角形数阵：123421n n n n n n n n n n x x x x x xx x x x x x ----<<<<<< 1111123421n n n n n n n n x x x x xx x x x x --------<<<<< ……3321x x x x <21x x 注意到，123211111n n n x x x x x x x x x x -->>>>> 所以有，123212321n n n n n n x x x x x x x x x x -----===== 从而数列为首项为1的等比数列，设公比为，12,,,n x x x q 由于，故，解得，2023n x =112023n nx q x -==()112023n q -=故数列的通项公式为，.12,,,n x x x ()112023k n k x --=1k n ≤≤集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数或数列相结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.14．(1)答案见解析(2)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）求出的导数，结合解不等式可得答案；()e 2x f x ax'=-（2）①，利用导数的几何意义求得的表达式，由此构造函数，()y h x =()()()F x g x h x =-利用导数判断其单调性，求其最小值即可证明结论；②设的根为，求得其表达式，()h x t=1x '并利用函数单调性推出，设曲线在点处的切线方程为，设11x x '≤()y g x =()0,0()y t x =的根为，推出，从而，即可证明结论.()t x t=2x '22x x '≥2121x x x x ''-≤-【详解】（1）由题意得，令，则，()e 2x f x ax'=-()e 2x g x ax=-()e 2x g x a'=-当时，，函数在上单调递增；0a ≤()0g x '>()f x 'R 当时，，得，，得，0a >()0g x '>ln 2x a >()0g x '<ln 2x a <所以函数在上单调递减，在上单调递增．()f x '(),ln 2a -∞()ln 2,a +∞（2）①证明：由（1）可知，令，有或，()()()1e 1x g x x =+-()0g x ==1x -0x =故曲线与x 轴负半轴的唯一交点P 为．()y g x =()1,0-曲线在点处的切线方程为，()1,0P -()y h x =则，令，则，()()()11h x g x '=-+()()()F x g x h x =-()()()()11F x g x g x '=--+所以，．()()()()11e 2e x F x g x g x '''=-=+-()10F '-=当时，若，，1x <-(],2x ∈-∞-()0F x '<若，令，则，()2,1x --()1()e 2e x m x x =+-()()e 30xm x x '=+>故在时单调递增，．()F x '()2,1x ∈--()()10F x F ''<-=故，在上单调递减，()0F x '<()F x (),1-∞-当时，由知在时单调递增，1x >-()()e 30x m x x '=+>()F x '()1,x ∈-+∞，在上单调递增，()()10F x F ''>-=()F x ()1,-+∞设曲线在点处的切线方程为()y g x =()0,0令()()()()(1e x T x g x t x x =-=+当时，2x ≤-()()2e x T x x =+-'()()2e xn x x =+-设，∴()()1122,,,B x y C x y 1x 又1211,22AB x AC x =+=+依题意，即，则，0bc <02x >()()220220004482x y c x x b =+---因为，所以，2002y x =0022x b c x -=-所以，()()00000242248122424S b c x x x x x -⋅=-++≥-⋅+=-=-当且仅当，即时上式取等号，00422x x -=-04x =所以面积的最小值为8．PDE △方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．16．(1)2214x y +=(2)证明见解析(3)存在，7,,777⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+∞⎝⎭⎭ 【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到三点在椭圆C 上．把的坐标代入椭圆234,,P P P 23,P P C ，求出，即可求出椭圆C 的方程；22,a b （2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设，与椭圆方程联立，利():1l y kx t t =+≠用判别式、根与系数的关系，结合已知条件得到，能证明直线l 过定点；21t k =--()2,1-（3）利用点差法求出直线PQ 的斜率，从而可得直线PQ 的方程，与抛物线方程联14PQ k t =立，由，及点G 在椭圆内部，可求得的取值范围，设直线TD 的方程为，0∆>2t 1x my =+与抛物线方程联立，由根与系数的关系及，可求得m 的取值范围，进而可求得直线11DA TB k k =的斜率k 的取值范围．2l【详解】（1）根据椭圆的对称性，两点必在椭圆C 上，34331,,1,22P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又的横坐标为1，4P ∴椭圆必不过，()11,1P ∴三点在椭圆C 上．()234330,1,1,,1,22P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭把代入椭圆C ，()3231,20,1,P P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭得，解得，222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2241a b ⎧=⎨=⎩∴椭圆C 的方程为．2214x y +=（2）证明：①当斜率不存在时，设,，:l x m =()(),,,A A A m y B m y -∵直线与直线的斜率的和为，2P A 2P B 1-∴，221121A A P A P B y y k k m m m ----+=+==-解得m ＝2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设,，，:l y kx t =+1t ≠()()1122,,,A x y B x y 联立，消去y 整理得，22440y kx tx y =+⎧⎨+-=⎩()222148440k x ktx t +++-=则，，122814kt x x k -+=+21224414t x x k -=+则()()()()222112************111111P A P B x y x y x kx t x kx t y y k k x x x x x x -+-+-++---+=+==,()()()()()()12121222222448218114141144411142t k k kx x t tk t k t k k t t x t x x x +-+=--⋅+-⋅-++===--+-+又，∴，此时，1t ≠21t k =--()()222222644144464161664k t k t k t k ∆=-+-=-+=-故存在k ，使得成立，0∆>∴直线l 的方程为，即21y kx k =--()12y k x +=-∴l 过定点．()2,1-（3）∵点P ，Q 在椭圆上，所以，，2214P P x y +=2214Q Q x y +=两式相减可得，()()()()04PQ P Q P Q P Q y xy x x x y y +-++-=又是线段PQ 的中点，()1,G t -∴，2,2P Q P Q x x x x t+=-=∴直线PQ 的斜率，()144P Q P QP Q P QPQ x x k ty y x y y x +==-=--+∴直线PQ 的方程为，与抛物线方程联立消去x 可得，()114y x t t =++()22164410y ty t -++=由题可知，∴，()2161210t ∆=->2112t >又G 在椭圆内部，可知，∴，故，2114t +<234t <213124t <<设，，由图可知，，221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223434,,,44y y T y D y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2134,y y y y >>∴，()2121216,441y y t y y t +==+当直线TD 的斜率为0时，此时直线TD 与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，设直线TD 的方程为，与抛物线方程联立，消去x 可得，()10x my m =+≠2440y my --=∴，34344,4y y m y y +==-由，可知，即，11//ATB D 11DA TB k k =3142222234214444y y y y y y y y --=--∴，即，1342y y y y +=+1243y y y y -=-∴，()()221212343444y y y y y y y y +-=+-∵，()()()()()222212124161641161210,128y y y y t t t +-=-+=-∈∴，解得，即，()()223434416160,128y y y y m +-=+∈27m <()7,7m ∈-∴直线TD 即的斜率．2l 771,77,k m ⎛⎫⎛⎫=∈-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+∞⎝⎭⎭ 思路点睛：处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为），k （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，k (),0F x y =k ,x y （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，()00,x y k 此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，k ,x y ()00,x y ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式k ()k ⋅子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.k 17．(1)1y =-(2)2ln23-+【分析】（1）由题意，将代入函数的解析式中，对函数进行求导，得到1m =()f x ()f x 和，代入切线方程中即可求解；()1f '()1f （2）得到函数的解析式，对进行求导，利用根的判别式以及韦达定理对()g x ()g x 进行化简，利用换元法，令，，可得，12122()()y x x b x x =--+12x t x =01t <<2(1)ln 1t y t t -=-+根据，求出的范围，构造函数，对进行求导，利用导数得到322m ≥t 2(1)()ln 1t h t tt -=-+()h t 的单调性和最值，进而即可求解．()h t 【详解】（1）已知(为常数），函数定义域为，()ln f x x mx =-m (0,)+∞当时，函数，1m =()ln f x x x =-可得，此时，又，11()1x f x x x -'=-=()=01f '()11=f -所以曲线在点处的切线方程为，即.()y f x =()()1,1f (1)0(1)y x --=⨯-1y =-（2）因为，函数定义域为，22()2()2ln 2g x f x x x mx x =+=-+(0,)+∞可得，222(1)()22x mx g x m x x x -+=-+='此时的两根，即为方程的两根，()0g x '=1x 2x 210x mx -+=因为，所以，由韦达定理得，，322m ≥240m ∆=->12x x m +=121=x x 又，所以1212lnx x b x x =-121212121212ln 22()()()()xx y x x b x x x x x x x x =--=--++-，11211211222212()ln 2ln 1x x x x x x x x x x x x --=-=⨯-++令，，所以，12x t x =01t <<2(1)ln 1t y t t -=-+因为，整理得，2212()x x m +=22212122x x x x m ++=因为，则，121=x x 2221212122x x x x m x x ++=等式两边同时除以，得，12x x 212212=x x m x x ++可得，因为，212t m t ++=322m ≥所以，，152t t +≥()()2252=2210t t x x -+--≥解得或，则，12t ≤2t ≥102t <≤不妨设，函数定义域为，2(1)()ln 1t h t t t -=-+10,2⎛⎤⎥⎝⎦可得，22(1)()0(1)t h t t t -'=-<+所以函数在定义域上单调递减，()h t 此时，min 12()()ln223h t h ==-+故的最小值为．12122()()y x x b x x =--+2ln23-+利用导数求解在曲线上某点处的切线方程，关键点有两点，第一是切线的斜率，第二是切点。

2024届高考数学专项练习压轴题型03 函数与导数经典常考压轴小题(解析版)

压轴题型03 函数与导数经典常考压轴小题命题预测有关函数与导数常见经典压轴小题的高考试题，考查重点是零点、不等式、恒成立等问题，通常与函数性质、解析式、图像等均相关，需要考生具有逻辑推理、直观想象和数学运算核心素养. 同时，对于实际问题，需要考生具有数据分析、数学建模核心素养.预计预测2024年高考，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为：（1）导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小．（2）应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题．高频考法（1）函数嵌套、零点嵌套问题（2）零点问题（3）导数的同构思想（4）双重最值问题（5）构造函数解不等式01函数嵌套、零点嵌套问题解决嵌套函数零点个数的一般步骤(1)换元解套,转化为()t g x =与()y f t =的零点.(2)依次解方程,令()0f t =,求t ,代入()t g x =求出x 的值或判断图象交点个数.【典例1-1】（上海市浦东新区上海市实验学校2024届高三学期第三次月考数学试题）已知函数()f x 是2024届高考数学专项练习定义在R 的偶函数，当0x ≥时，()()3πcos 1,012211,12xx x f x x ⎧⎡⎤−≤≤⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若函数()()()()()25566g x f x a f x a a ⎡⎤=−++∈⎣⎦R 有且仅有6个不同的零点，则实数a 取值范围 .【答案】(]30,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】因为()()()()()()25566560g x f x a f x a f x f x a =−++=−⋅−=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，由()0g x =，可得()65f x =或()f x a =，由函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()3πsin ,012211,12xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，当01x ≤≤时，ππ022x ≤≤，如下图所示：因为1112x⎛⎫+> ⎪⎝⎭，由图可知，直线65y =与函数()f x 的图象有4个交点，所以，直线y a =与函数()f x 的图象有2个交点，由图可得(]30,12a ⎧⎫∈⋃⎨⎬⎩⎭.综上所述，实数a 的取值范围是(]30,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故答案为：(]30,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【典例1-2】（安徽省合肥市六校联盟2023-2024学年高三学期期中联考数学试题）已知函数()42,13,1x x f x x x ⎧−<⎪=⎨−≥⎪⎩，()22g x x ax =++，若函数()()y g f x =有6个零点，则实数a 的取值范围为 .【答案】(3,2−−【解析】画出()42,13,1x x f x x x ⎧−<⎪=⎨−≥⎪⎩的图象如下：因为()22g x x ax =++最多两个零点，即当280a ∆=−>，2a >22a <−时，()22g x x ax =++有两个不等零点12,t t ，要想()()y g f x =有六个零点，结合函数图象，要()1f x t =和()2f x t =分别有3个零点，则()12,0,2t t ∈且12t t ≠，即()22g x x ax =++的两个不等零点()12,0,2t t ∈，则要满足()()2Δ800222000a a g g ⎧=−>⎪⎪<−<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，解得322a −<<− 故实数a 的取值范围为(3,2−− 故答案为：(3,22−−【变式1-1】（海南省琼中黎族苗族自治县琼中中学2024届高三高考全真模拟卷（二）数学试题）已知函数()23,369,3x x f x x x x ⎧−≤=⎨−+−>⎩，若函数()()()22g x f x af x ⎡⎤=−+⎣⎦有6个零点，则a 的值可能为（） A ．1− B ．2−C ．3−D ．4−【答案】C【解析】由题可得，()()330f f =−=，()f x 在()(),0,3,−∞+∞上单调递减，在()0,3上单调递增，则据此可作出函数()f x 大致图象如图所示，令()f x t =，则由题意可得220t at −+=有2个不同的实数解1t ，2t ，且()12,3,0t t ∈−，则()()2121212Δ80601122203331130a t t a a t t t t a ⎧=−>⎪−<+=<⎪⇒−<<−⎨=>⎪⎪++=+>⎩3a =−满足题意. 故选：C ．【变式1-2】（河南省部分重点高中2023-2024学年高三阶段性考试（四）数学试题）已知函数()2ln ,0,43,0,x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩若函数()()()241g x f x f x m =−++⎡⎤⎣⎦恰有8个零点，则m 的最小值是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】设()f x t =，因为()g x 有8个零点，所以方程()f x t =有4个不同的实根，结合()f x 的图像可得2410t t m −++=在(]0,3内有4个不同的实根，即214m t t +=−+在(]0,3内有2个不同的实根，可知314m ≤+<，即可求得结果．画出函数()2ln ,043,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，，的图像如图所示，设()f x t =，由()()()2410g x f x f x m =−++=⎡⎤⎣⎦，得2410t t m −++=.因为()g x 有8个零点，所以方程()f x t =有4个不同的实根，结合()f x 的图像可得在(]03t ∈,内有4个不同的实根.所以方程2410t t m −++=必有两个不等的实数根，即214m t t +=−+在(]03t ∈,内有2个不同的实根，结合图像由图可知，314m ≤+<，故23m ≤<，即m 的最小值是2. 故选：B02 零点问题（1）直接法：直接根据题设条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成球函数值域的问题加以解决；（3）数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．【典例2-1】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数()()()lg ,011,022,2x x f x x x f x x ⎧−<⎪=−−≤<⎨⎪−≥⎩的图象在区间(),(0)t t t −>内恰好有5对关于y 轴对称的点，则t 的值可以是（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】令()()11,022,2x x g x g x x ⎧−−≤<⎪=⎨−≥⎪⎩，()lg m x x =，因为()lg m x x =与()lg y x =−的图象关于y 轴对称，因为函数()()()lg ,011,022,2x x f x x x f x x ⎧−<⎪=−−≤<⎨⎪−≥⎩的图象在区间(),(0)t t t −>内恰好有5对关于y 轴对称的点，所以问题转化为()lg m x x =与()()11,022,2x x g x g x x ⎧−−≤<⎪=⎨−≥⎪⎩的图象在()0,(0)t t >内有5个不同的交点，在同一平面直角坐标系中画出()lg m x x =与()()11,022,2x x g x g x x ⎧−−≤<⎪=⎨−≥⎪⎩的图象如下所示：因为()10lg101m ==，当10x >时()1m x >，()()()()()()13579111g g g g g g ======，结合图象及选项可得t 的值可以是6，其他值均不符合要求,. 故选：C【典例2-2】（2024·四川成都·三模）若函数()2e xf x kx =−大于0的零点有且只有一个，则实数k 的值为（） A ．4 B ．2e C ．e 2D ．2e 4【答案】D【解析】函数()f x 有且仅有一个正零点，即方程2ex k x=有且仅有一个正根，令()2e xg x x =，则()()3e 2x x g x x ='−，当0x <时，()0g x '>，当02x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，即函数()g x 在(),0∞−和()2,∞+上单调递增，在()0,2上单调递减，且()2e24g =，0x →时，()g x ∞→+，x →−∞时，()0g x →，x →+∞时，()g x ∞→+，可作出图象如下，方程2e x k x =有且仅有一个正根，所以2e 4k =.故选：D.【变式2-1】（2024·北京海淀·一模）已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（） A ．1,1 B ．1,2 C ．2,1 D ．2,2【答案】B【解析】令()0f x =，即0x ≤时，30x =，解得0x =， 0x >时，()lg 10x +=，无解，故1m =，设过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的切点为()00,x y ，当0x <时，()23f x x '=，则有()320003y x x x x −=−，有()3200023x x x −=−，整理可得301x =−，即01x =−，即当00x <时，有一条切线，当0x >时，()lg e1f x x '=+，则有()()000lg 1e lg 1y x x x x −=−++，有()()000l 2g elg 11x x x −+=−+，整理可得()()()000221lg 10lg e x x x ++−++=，令()()()()()2l 0g 2l 1e 1g g x x x x x =++−++>，则()()2lg 1g x x '=−+，令()0g x '=，可得99x =，故当()0,99x ∈时，()0g x '>，即()g x 在()0,99上单调递增，当()99,x ∈+∞时，()0g x '<，即()g x 在()99,∞+上单调递减，由()()992lg e 99220099lg e 0g =+⨯+−=>，()02020g =−=>，故()g x 在()0,99x ∈上没有零点，又()()9992lg e 999210003999lg e 10000g =+⨯+−⨯=−<，故()g x 在()99,999上必有唯一零点，即当00x >时，亦可有一条切线符合要求，故2n =.故选：B.【变式2-2】（2024·甘肃武威·模拟预测）已知函数()4ln 12f x ax a x ⎛⎫=−−+ ⎪⎝⎭有3个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．()2,+∞C ．(),1−∞−D ．(),2−∞−【答案】C【解析】将()y f x =的图象向左平移2个单位长度，可得函数()()22ln 2xg x f x ax x−=+=−+的图象，所以原题转化为“函数()2ln2xg x ax x−=−+有3个零点”，即研究直线y ax =与函数()2ln2xh x x−=+图象交点的个数问题．因为()h x 的定义域为()2,2−，且()()22ln ln ln1022x xh x h x x x+−−+=+==−+，所以()h x 为奇函数．因为()22222440222(2)4x x x h x x x x x x '+−+−⎛⎫=⋅=⨯=< ⎪−+−+−⎝⎭'，所以()h x 在区间()2,2−上为减函数，且曲线()y h x =在点()0,0处的切线方程为y x =−．当0x =时，2112xx x−+⨯=−+；当02x <<时，2ln2xx x−<−+；当20x −<<的，2ln2xx x−>−+，作出()h x 的图象．如图：由图知：当1a <−时，直线y ax =与函数()2ln2xh x x−=+的图象有3个交点．故实数a 的取值范围是(),1∞−−．故选：C.03 导数的同构思想同构式的应用：（1）在方程中的应用：如果方程()0f a =和()0f b =呈现同构特征，则,a b 可视为方程()0f x =的两个根（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。

压轴题03 三角函数压轴题(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)

压轴题03三角函数压轴题题型/考向一：三角函数的图像与性质题型/考向二：三角恒等变换题型/考向三：三角函数综合应用一、三角函数的图像与性质热点一三角函数图象的变换1.沿x轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移.沿y轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下减”，即k>0，上移；k<0，下移.2.沿x轴伸缩：若ω>0，A>0，由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍.沿y轴伸缩：由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍.热点二三角函数的图象与解析式已知图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A ，B ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.热点三三角函数的性质1.单调性：由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )可得单调递增区间；由π2＋2k π≤ωx＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )可得单调递减区间.2.对称性：由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )可得对称中心；由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )可得对称轴.3.奇偶性：φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数.二、三角恒等变换热点一化简与求值(角)1.同角三角函数的基本关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan ≠π2＋k π，k ∈2.诱导公式的记忆口诀：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.3.熟记三角函数公式的两类变形：(1)和差角公式的变形；(2)倍角公式的变形.热点二三角函数恒等式的证明三角恒等式常从复杂一边向简单的一边转化，或者两边同时推出一个相同式子，有时要证等式先进行等价交换，进而证明其等价命题.○热○点○题○型一三角函数的图像与性质一、单选题1．将函数()sin cos f x x x =-的图象向左平移7π12个单位长度，得到函数()y g x =的图象，关于函数()y g x =的下列说法中错误的是（）A ．周期是2πB ．非奇非偶函数C ．图象关于点5π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D ．在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增【答案】D【详解】()πsin cos 2sin 4f x x x x ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，则()7πππ2sin 2sin 1243g x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2πT =，故A 正确；因为()π2sin 3g x x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，则()()()(),g x g x g x g x -≠-≠-，故函数()g x 是非奇非偶函数，故B 正确；2．数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音.如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为（）A ．11sin sin 2sin 323=++y x x xB ．11sin 2sin 323y x x x=--C ．11sin cos 2cos323y x x x=++D ．11cos cos 2cos323y x x x=++3移()0ϕϕ>个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数()g x 的图象．若对于任意的1π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在2π,04x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =，则ϕ的值可能是（）A ．π6B ．5π24C ．π4D ．2π3A．B．C ．D ．5．已知函数()()2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则满足()()5π605π12f x f f x f ⎛⎫- ⎪⎝⎭>⎛⎫- ⎪⎝⎭的正整数x 的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题6．已知函数2π()cos (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，且曲线()y f x =关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则（）A ．()f x 以2π为周期B ．()f x 的图象关于直线2π3x =对称C ．将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后对应的函数为偶函数D ．函数9()10y f x =+在[0,π]上有两个零点故选：BD.7．已知函数()()()sin 0,0π,f x A x b A b ωϕϕ=++><<∈R 的部分图像如图，则（）A ．5πb ωϕ=B ．π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．将曲线()y f x =向右平移π9个单位长度得到曲线4cos 32y x =-+D ．点11π,218⎛⎫-⎪⎝⎭为曲线()y f x =的一个对称中心8．已知函数()f x 的定义域为()1,1-，对任意的(),1,1x y ∈-，都有()()1f x f y f xy ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭，且112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当()0,1x ∈时，()0f x >，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()00f =C ．当A ，B 是锐角ABC 的内角时，()()cos sin f B f A <D ．当0n x >，且21112n n n x x x ++=，112x =时，()12n n f x -=【答案】BCD【详解】令0x y ==，得()00f =，故B 正确；9．已知某游乐场循环观光车路线近似为一个半径为1km 的圆，观光车从起始站点P 出发，沿图中顺时针方向行驶，记观光者从某次出发开始，行驶的时间为t 小时.A ，B 是沿途两个站点，C 是终点站，D 是该游乐场的观景点之一.已知该观光车绕行一圈的时间是固定的，且π,,6BOA OA OC OA OD ∠=⊥⊥.若要求起始站点P 无论位于站台B ，C 之间的任何位置（异于B ，C ），观光车在ππ,124t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的时间内，都要至少经过两次终点站C ，则下列说法正确的是（）A ．该观光车绕行一周的时间小于π6B ．该观光车在π0,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内不一定会经过终点站C C ．该观光车的行驶速度一定大于52km /h3D ．该观光车在π0,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内一定会经过一次观景点Ds t 于平衡位置的高度()cm h 可以田ππ2sin 24h t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭确定，则下列说法正确的是（）A ．小球运动的最高点与最低点的距离为2cmB ．小球经过4s 往复运动一次C ．()3,5t ∈时小球是自下往上运动D ．当 6.5t =时，小球到达最低点【答案】BD【详解】小球运动的最高点与最低点的距离为()224cm --=，所以选项A 错误；因为2π4π2=，所以小球经过4s 往复运动一次，因此选项B 正确；当()3,5t ∈时，ππ7π11π,2444t ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以是自下往上到最高点，再往下运动，因此选项C 错误；当 6.5t =时，ππ2sin 6.5224h ⎛⎫=⨯+=- ⎪⎝⎭，所以选项D 正确，故选：BD○热○点○题○型二三角恒等变换一、单选题1．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 22sin 21αα+=，则sin α=（）A ．15B 5C ．45D 25【答案】D【详解】π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,cos 0,sin 0αα∴>>22cos 22sin 2cos sin 4sin cos 1αααααα+=-+= ①,又22sin cos 1αα+=②，由①②得25sin 5α=.故选：D.23，5，…，记BAC α∠=，DAC β∠=，则()cos αβ+=（）A 24-B 36C 36D 24+【答案】B⎝⎭A．-B．C．9D．9 94．人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点()()1122,,,A x y B x y ，O 为坐标原点，余弦相似度similarity 为向量,OA OB夹角的余弦值，记作()cos ,A B ，余弦距离为()1cos ,A B -.已知()sin ,cos P αα，()sin ,cos Q ββ，()sin ,cos R αα-，若P ，Q 的余弦距离为13，Q ，R 的余弦距离为12，则tan tan αβ⋅=（）A ．7B ．17C ．4D ．145．已知函数()()*sin cos n n n f x x x n =+∈N ，函数()4324y f x =-在3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．56．已知函数())2sin 02f x x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像如图所示，则ω的值为（）A ．13B ．43C ．16D ．76二、多选题7．已知函数2()sin cos f x x x x =-+，则下列说法正确的是（）A ．π()sin(2)3f x x =-B ．函数()f x 的最小正周期为πC ．函数()f x 的对称轴方程为()5ππZ 12x k k =+∈D ．函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到【答案】ABD中所示的建筑对应的黄金三角形，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比（黄金分割比=）.在顶角为BAC ∠的黄金ABC 中，D 为BC 边上的中点，则（）A ．cos 342AD AC︒=B ．cos 27sin 27cos 27sin 27AD CD ︒+︒=︒-︒C ．AB在ACACD ．cos BAC ∠是方程324231x x x +-=的一个实根则AB在AC 上的投影向量为设cos x θ=，则()()222212121x x x x x -=--+-，整理得324231x x x +-=，D 正确.故选：ABD9．已知()cos 4cos 3f θθθ=+，且1θ，2θ，3θ是()f θ在()0,π内的三个不同零点，则（）A ．{}123π,,7∈θθθB ．123π++=θθθC ．1231cos cos cos 8θθθ=-D ．1231cos cos cos 2θθθ++=民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD ，其中2π3COD ∠=，33OC OA ==，动点P 在 CD 上（含端点），连结OP 交扇形OAB 的弧 AB 于点Q ，且OQ xOC yOD =+，则下列说法正确的是（）A ．若y x =，则23x y +=B ．若2y x =，则0OA OP ⋅=C ．2AB PQ ⋅≥-D ．112PA PB ⋅≥则13(1,0),(3,0),(,),(22A C B D --设()2πcos ,sin ,0,3Q θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则由OQ xOC yOD =+ 可得cos θ=○热○点○题○型三三角函数综合应用1．已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =-+.(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；(2)求函数()f x 在区间5ππ[,]126-的值域；2．已知2,1,cos ,cos 2m x n x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，设函数()f x m n =⋅．(1)当π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，分别求函数()f x 取得最大值和最小值时x 的值；(2)设ABC 的内角,,A B C 的对应边分别是,,,a b c 且a =，6,12A b f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，求c 的值．3．已知函数()()21cos cos 02f x x x x ωωωω=+->.(1)若1ω=，求函数()f x 的最小正周期；(2)若()y f x =图象在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且仅有一条对称轴，求8f π⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围.4．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0ω>，2ϕ<）的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式，并求()f x 的单调递增区间；(2)若对任意π,3x t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()π116f x f x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，求实数t 的取值范围.结合图像可知：5ππ7π4666t ≤-<，解得所以实数t 的取值范围为ππ,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭.5．若实数，，且满足，则称､是“余弦相关”的.(1)若2x π=，求出所有与之“余弦相关”的实数y ；(2)若实数x ､y 是“余弦相关”的，求x 的取值范围；(3)若不相等的两个实数x ､y 是“余弦相关”的，求证：存在实数z ，使得x ､z 为“余弦相关”的，y ､z 也为“余弦相关”的.【答案】（2）由()cos cos cos x y x y +=+得cos cos sin sin cos cos x y x y x y -=+，()1sin sin cos cos cos x y x y x +-=-，()cos y x ϕ+=-，故cos x -≤，222cos cos x x ≤-，11cos x -≤≤，))121arccos ,arccos x π⎡⎤∈-⎣⎦（3）证明：先证明3x y ππ≤+≤，反证法，假设x y π+<，则由余弦函数的单调性可知()cos cos x y x +≤，()0cos cos cos y x y x ∴=+-≤，2y π∴≥，同理2x π≥，相加得x y π+≥，与假设矛盾，故x y π+≥.[]2202,,x y πππ--∈Q ，且()()()()()2222cos cos cos cos cos cos x y x y x y x y ππππ⎡⎤-+-=+=+=-+-⎣⎦故22,x y ππ--也是余弦相关的，()()22x y πππ∴-+-≥，即3x y π+≤.记()3,z x y π=-+则[]02,z π∈.()()3cos cos cos x z y y π+=-=-,()()()3cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos x z x x y x x y x x y y π+=+--=-+=-+=-()cos cos cos x z x z ∴+=+，故x ､z 为“余弦相关”的；同理y ､z 也为“余弦相关”的。

高考数学压轴专题新备战高考《函数与导数》全集汇编附答案

【高中数学】数学高考《函数与导数》试题含答案一、选择题1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛⎫=++<< ⎪+++-⎝⎭的最小值为（）ABCD【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可.【详解】22222sin 2sin cos 2cos 2sin cos 1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x +++-+++=++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x xx x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭， 32222221sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '''--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令()cos 0,1t x =∈，()3261g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以当03x π<<时，()11,02t g t <<<，从而()'0f x <；当32x ππ<<时，()10,02t g t <<>，从而()'0f x >. 故()min 33f x f π⎛⎫==⎪⎝⎭. 故选：A【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.2．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称.以下关于()f x 的结论：①()f x 是周期函数；②()f x 满足()(4)f x f x =-；③()f x 在(0,2)单调递减；④()cos 2x f x π=是满足条件的一个函数.其中正确结论的个数是( ) A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】【分析】题目中条件：(2)()f x f x +=-可得(4)()f x f x +=知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，及单调性．【详解】解：对于①：()()f x f x -=Q ，其图象关于点(1,0)对称(2)()f x f x +=-所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=， ∴函数()f x 是周期函数且其周期为4，故①正确；对于②：由①知，对于任意的x ∈R ，都有()f x 满足()(4)f x f x -=-，函数是偶函数，即()(4)f x f x =-，故②正确．对于③：反例：如图所示的函数，关于y 轴对称，图象关于点(1,0)对称，函数的周期为4，但是()f x 在(0,2)上不是单调函数，故③不正确；对于④：()cos2x f x π=是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称的一个函数，故④正确．故选：B ．【点睛】本题考查函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、对称性和周期性，属于基础题．3．设定义在(0,)+∞的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()3f x f x x'->，则关于x的不等式31(3)(3)03x f x f ⎛⎫---< ⎪⎝⎭的解集为（） A ．()3,6B ．()0,3C ．()0,6D ．()6,+∞【答案】A【解析】【分析】根据条件，构造函数3()()g x x f x =，利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在(,0)-∞上为增函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可．【详解】解：Q 3(1)(3)(3)03x f x f ---<， 3(3)(3)27x f x f ∴---（3）0<，3(3)(3)27x f x f ∴--<（3），Q 定义在(0,)+∞的函数()f x ，3x ∴<，令3()()g x x f x =， ∴不等式3(3)(3)27x f x f --<（3），即为(3)g x g -<（3），323()(())3()()g x x f x x f x x f x '='=+'， Q ()()3f x f x x'->， ()3()xf x f x ∴'>-，()3()0xf x f x ∴'+>，32()3()0x f x x f x ∴+>，()0g x ∴'>，()g x ∴单调递增，又因为由上可知(3)g x g -<（3），33x ∴-<，3x <Q ，36x ∴<<．故选：A ．【点睛】本题主要考查不等式的解法：利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系判断函数的单调性，属于中档题．4．已知函数f （x ）＝（k ＋4k ）lnx ＋24x x－，k ∈[4，＋∞），曲线y ＝f （x ）上总存在两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），使曲线y ＝f （x ）在M ，N 两点处的切线互相平行，则x 1＋x 2的取值范围为A ．（85，＋∞） B ．（165，＋∞） C ．[85，＋∞） D ．[165，＋∞）【答案】B【解析】【分析】利用过M 、N 点处的切线互相平行，建立方程，结合基本不等式，再求最值，即可求x 1+x 2 的取值范围．【详解】由题得f′（x ）=4k k x +﹣24x ﹣1=﹣2244x k x k x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=﹣()24x k x k x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，（x ＞0，k ＞0）由题意，可得f′（x 1）=f′（x 2）（x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2），即21144k k x x +-﹣1=24k k x +﹣224x ﹣1，化简得4（x 1+x 2）=（k+4k ）x 1x 2，而x 1x 2＜212()2x x +， 4（x 1+x 2）＜（k+4k ）212()2x x +，即x 1+x 2＞164k k+对k ∈[4，+∞）恒成立，令g （k ）=k+4k，则g′（k ）=1﹣24k =()()222k k k +-＞0对k ∈[4，+∞）恒成立， ∴g （k ）≥g （4）=5， ∴164k k+≤165， ∴x 1+x 2＞165，故x 1+x 2的取值范围为（165，+∞）. 故答案为B【点睛】本题运用导数可以解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题的关键，属于中档题.5．函数22cos x xy x x--=-的图像大致为（）. A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】本题采用排除法:由5522f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭排除选项D ；根据特殊值502f π⎛⎫> ⎪⎝⎭排除选项C; 由0x >,且x 无限接近于0时, ()0f x <排除选项B ；【详解】对于选项D:由题意可得, 令函数()f x = 22cos x xy x x--=-, 则5522522522f ππππ--⎛⎫-= ⎪⎝⎭,5522522522f ππππ--⎛⎫= ⎪⎝⎭; 即5522f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选项D 排除; 对于选项C ：因为55225220522f ππππ--⎛⎫=> ⎪⎝⎭,故选项C 排除;对于选项B:当0x >,且x 无限接近于0时,cos x x -接近于10-<,220x x -->，此时()0f x <.故选项B 排除;故选项:A【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.6．已知函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22a b a b+-的最小值等于（）． AB．C．2 D．【答案】D【解析】试题分析：因为函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =所以lg lg a b =- 所以1a b=，即1ab =，0a b >> 22a b a b+-22()2()22()a b ab a b a b a b a b a b -+-+===-+---≥= 当且仅当2a b a b-=-，即a b -=时等号成立所以22a b a b+-的最下值为故答案选D考点：基本不等式．7．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，且当2x >时，()()2()x f x f x f x ''⋅+>，若(1)1f =.则不等式1()2f x x <-的解集是（） A ．(2,3)B ．(,1)-∞C ．()(1,2)2,3⋃D ．()(,1)3,-∞⋃+∞ 【答案】C【解析】【分析】令()|2|()F x x f x =-，当2x >时，则()(2)()F x x f x =-，利用导数可得当2x >时，()F x 单调递增，根据题意可得()F x 的图象关于2x =对称，不等式1()|2|f x x <-等价于|2|()1(2)x f x x -<≠，从而()(1)F x F <，利用对称性可得|2||12|x -<-，解不等式即可.【详解】当2x >时，()()2()x f x f x f x ''⋅+>，∴(2)()()0x f x f x '-+>，令()|2|()F x x f x =-.当2x >时，则()(2)()F x x f x =-，()(2)()()0F x x f x f x ''=-+>，即当2x >时，()F x 单调递增.函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，所以(2)(2)F x F x +=-，即()F x 的图象关于2x =对称，不等式1()|2|f x x <-等价于|2|()1(2)x f x x -<≠， (1)|12|(1)(1)1F f f =-==，即()(1)F x F <，所以|2||12|x -<-，解得13x <<且2x ≠，解集为(1,2)(2,3)U .故选：C【点睛】本题考查了导数在解不等式中的应用、函数的对称性的应用以及绝对值不等式的解法，属于中档题.8．函数()2sin f x x x x =-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】分析函数()y f x =的奇偶性，并利用导数分析该函数在区间()0,+∞上的单调性，结合排除法可得出合适的选项.【详解】因为()()()()()22sin sin f x x x x x x x f x -=----=-=，且定义域R 关于原点对称，所以函数()y f x =为偶函数，故排除B 项； ()()2sin sin f x x x x x x x =-=-，设()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x ='-≥恒成立，所以函数()y g x =单调递增，所以当0x >时，()()00g x g >=，任取120x x >>，则()()120g x g x >>，所以，()()1122x g x x g x >，()()12f x f x ∴>，所以，函数()y f x =在()0,+∞上为增函数，故排除C 、D 选项.故选：A.【点睛】本题考查利用函数解析式选择图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、函数零点以及函数值符号，结合排除法得出合适的选项，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9．已知函数()2100ax x f x lnx x ⎧+≤=⎨⎩，，＞，，下列关于函数()()0f f x m +=的零点个数的判断，正确的是（）A ．当a ＝0，m ∈R 时，有且只有1个B ．当a ＞0，m ≤﹣1时，都有3个C ．当a ＜0，m ＜﹣1时，都有4个D ．当a ＜0，﹣1＜m ＜0时，都有4个【答案】B【解析】【分析】分别画出0a =，0a >，0a <时，()y f x =的图象，结合()t f x =，()0f t m +=的解的情况，数形结合可得所求零点个数．【详解】令()t f x =，则()0f t m +=，当0a =时，若1m =-，则0t ≤或t e =，即01x <≤或e x e =，即当0a =，m R ∈时，不是有且只有1个零点，故A 错误；当0a >时，1m ≤-时，可得0t ≤或m t e e -=≥，可得x 的个数为123+=个，即B 正确；当0a <，1m <-或10m -<<时，由0m ->，且1m -≠，可得零点的个数为1个或3个，故C ，D 错误．故选：B ．【点睛】本题考查了函数零点的相关问题，考查了数形结合思想，属于中档题.10．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-=上，其中·0m n >，则41m n +的最小值为（） A ．16B ．24C ．50D ．25【答案】D【解析】【分析】由题A （4，1），点A 在直线上得4m+n ＝1，用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值．【详解】令x ﹣3＝1，解得x ＝4，y ＝1，则函数y ＝log a （x ﹣3）+1（a ＞0且a≠1）的图象恒过定点A （4，1），∴4m+n ＝1， ∴41m n +=（41m n +）（4m+n ）＝16+14n 4m m n++=17+8＝25，当且仅当m ＝n 15=时取等号，故则41m n+的最小值为25，故选D ．【点睛】本题考查均值不等式，在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．11．若函数321()1232b f x x x bx ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在区间[3,1]-上不是单调函数，则函数()f x 在R 上的极小值为（）.A ．423b - B ．3223b - C ．0 D ．2316b b - 【答案】A【解析】【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性，求出b 的范围，从而求出函数的单调区间，得到(2)f 是函数的极小值即可．【详解】解：2()(2)2()(2)f x x b x b x b x '=-++=--，∵函数()f x 在区间[3,1]-上不是单调函数， 31b ∴-<<，由()0f x '>，解得：2x >或x b <，由()0f x '<，解得：2b x <<，()f x ∴的极小值为()84(2)424233f b b b =-++=-，故选：A. 【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题.12．已知函数()ln xf x x=，则使ln ()()()f x g x a f x =-有2个零点的a 的取值范围（） A ．(0,1) B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】令()ln xt f x x==，利用导数研究其图象和值域，再将ln ()()()f x g x a f x =-有2个零点，转化为ln ta t=在[),e +∞上只有一解求解. 【详解】令()ln x t f x x ==，当01x <<时，()0ln xt f x x==<，当1x >时，()2ln 1()ln x t f x x -''==，当1x e <<时，0t '<，当x e >时，0t '>，所以当x e =时，t 取得最小值e ，所以t e ≥，如图所示：所以ln ()()()f x g x a f x =-有2个零点，转化为ln ta t=在[),e +∞上只有一解，令ln t m t =，21ln 0t m t -'=≤，所以ln tm t=在[),e +∞上递减，所以10m e<≤，所以10a e <≤，当1a e=时，x e =，只有一个零点，不合题意，所以10a e<< 故选：B 【点睛】本题主要考查导数与函数的零点，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.13．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（） A ．a c b >> B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B 【解析】试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，故正确答案为选项B ．考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．14．已知函数()2cos f x x x =-，若15log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31log 5b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，315c f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭=⎪，则（） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】B 【解析】【分析】判断()f x 为偶函数，利用导数得出()f x 在()0,π上单调递增，由对数函数的性质，结合函数()f x 的单调性和奇偶性，即可得出答案. 【详解】()()()()22cos cos f x x x x x f x -=---=-=，故()f x 为偶函数故只需考虑()0,x ∈+∞的单调性即可.()'2sin f x x x =+，当()0,x π∈时，易得()'0f x >故()f x 在()0,π上单调递增，()155log 3log 3a f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()331log log 55b f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，由函数单调性可知()()3531log 3log 55f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即c a b << 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性以及单调性比较大小，属于中档题.15．已知函数()f x 为偶函数，当x ＜0时，2()ln()f x x x =--，则曲线()y f x =在x ＝1处的切线方程为（） A ．x -y ＝0 B ．x -y -2＝0 C ．x +y -2＝0 D ．3x -y -2＝0【答案】A 【解析】【分析】先求出当0x >时，()f x 的解析式，再利用导数的几何意义计算即可得到答案. 【详解】当0x >时，0x -<，2()ln f x x x -=-，又函数()f x 为偶函数，所以2()ln f x x x =-，(1)1f =，所以'1()2f x x x=-，'(1)1f =，故切线方程为11y x -=-，即y x =.故选：A ．【点睛】本题考查导数的几何意义，涉及到函数的奇偶性求对称区间的解析式，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.16．二次函数，二次方程，一元二次不等式三个二次的相互转换是解决一元二次不等式问题的常用方法，数形结合是解决函数问题的基本思想．17．已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（）A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数【答案】D 【解析】【分析】由二次函数在区间上有最小值得知其对称轴，再由基本初等函数的单调性或单调性的性质可得出函数在区间上的单调性.【详解】由于二次函数在区间上有最小值，可知其对称轴，.当时，由于函数和函数在上都为增函数，此时，函数在上为增函数；当时，在上为增函数；当时，由双勾函数的单调性知，函数在上单调递增，，所以，函数在上为增函数.综上所述：函数在区间上为增函数，故选D.【点睛】本题考查二次函数的最值，同时也考查了型函数单调性的分析，解题时要注意对的符号进行分类讨论，考查分类讨论数学思想，属于中等题.18．如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为（）时，其容积最大．A ．34B ．23C ．13D ．12【答案】B 【解析】【分析】设正六棱柱容器的底面边长为x ,则正六棱柱容器的高为)312x -,则可得正六棱柱容器的容积为()())()32921224V x x x x x x x =+⋅⋅-=-+,再利用导函数求得最值,即可求解. 【详解】设正六棱柱容器的底面边长为x ,则正六棱柱容器的高为)12x -, 所以正六棱柱容器的容积为()())()329214V x x x x x x x =+-=-+, 所以()227942V x x x '=-+,则在20,3⎛⎫⎪⎝⎭上,()0V x '>；在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上,()0V x '<, 所以()V x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在2,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减, 所以当23x =时,()V x 取得最大值, 故选:B 【点睛】本题考查利用导函数求最值,考查棱柱的体积,考查运算能力.19．40cos2d cos sin xx x xπ=+⎰（）A．1) B1C1D．2【答案】C 【解析】【分析】利用三角恒等变换中的倍角公式，对被积函数进行化简，再求积分. 【详解】因为22cos2cos sin cos sin cos sin cos sin x x xx x x x x x-==-++，∴4400cos 2d (cos sin )d (sin cos )14cos sin 0xx x x x x x x x πππ=-=+=+⎰⎰，故选C ．【点睛】本题考查三角恒等变换知与微积分基本定理的交汇.20．设123log 2,ln 2,5a b c -===则 A ．a b c << B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】C【解析】【分析】由ln 2ln 2ln 3a b =<=及311log ,22a c >==<=可比较大小. 【详解】∵2031a ln ln =＞，＞，∴ln 2ln 2ln 3a b =<=，即a b <．又3311log 2log ,22a c =>==<=．∴a c >．综上可知：c ab << 故选C. 【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质及对数函数的单调性比较大小，属于中档题.。

压轴题08 函数的图像与性质(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)

压轴题08函数的图像与性质题型/考向一：函数的概念及表示题型/考向二：函数的性质题型/考向三：函数的图像○热○点○题○型一函数的概念与表示1.复合函数的定义域(1)若f (x )的定义域为[m ，n ]，则在f (g (x ))中，由m ≤g (x )≤n 解得x 的范围即为f (g (x ))的定义域.(2)若f (g (x ))的定义域为[m ，n ]，则由m ≤x ≤n 得到g (x )的范围，即为f (x )的定义域.2.分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集.一、单选题1．已知集合A x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩，(){}2log 1B x y x ==-，则A B ⋃=（）A ．()0,∞+B ．()(),02,-∞+∞C ．()(),01,-∞⋃+∞D ．R2．若函数221,0()=log (3),0x x f x x x ⎧+≤⎨+>⎩，则((f f -=（）A ．1B ．2C ．3D ．4．已知函数的定义域是，则函数21y f x =-的定义域是（）A ．[]5,5-B ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]2,3-D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．已知()3,0f x a x x <=⎨+≥⎩，若()()()11f f f =-，则实数a 的值为（）A ．178-B ．4-或178-C ．4-D ．不存在5．设c ∈R ，函数()22,0.xf x c x ⎧=⎨-<⎩若()f x 恰有一个零点，则c 的取值范围是（）A ．(0,1)B ．{0}[1,)+∞UC ．1(0,)2D ．1{0}[,)2+∞U 函数,0,()22,0.x x c x f x c x -≥⎧=⎨-<⎩可由易知当0c =时，函数()f x 当0c <时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；当0c >时，图象往下平移，当6．十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”()R 0,Q,D x x ⎧=⎨∈⎩ð它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数()()2f x x D x =-，则下列实数不属于函数()f x 值域的是（）A ．3B ．2C ．1D ．07．已知函数()()31f x a x x =-++的图象过点()0,1与93,4⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()f x 在区间[]1,4上的最大值为（）A ．32B ．73C ．54D ．858．已知R λ∈，函数21()()412lg ,0,f xg x x x x x λ⎧+<==-++⎨>⎩，若关于x 的方程(())f g x λ=有6个解，则λ的取值范围为（）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭故选:B.二、填空题9．y x =__________10．已知函数()11ln 1f x x x =+-，则11e e f f ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭____________．11．已知()1f x xx=+，则()()()()1111232022232022f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L _________12．定义函数()(){}()()()min ,,f x g x g x f x g x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，设(){}2min 11,38=--+--h x x x ax a ，若()0h x =含有3个不同的实数拫，则实数a 的取值范围是______．当4a =-时，()2044=+-=g x x x 数拫，不满足题意；当4a >-时，如下图，()2=--g a ()0380=-->g a ，解得4a -<<-综上，843a -<<-或8a =-.故答案为：843a -<<-或8a =-.○热○点○题○型二函数的性质1.函数的奇偶性(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有：f (x )是偶函数⇔f (－x )＝f (x )＝f (|x |)；f (x )是奇函数⇔f (－x )＝－f (x ).(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数).2.函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法.3.函数图象的对称中心或对称轴(1)若函数f (x )满足关系式f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称.(2)若函数f (x )满足关系式f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ，则函数y ＝f (x )的图象关于(a ，b )对称.一、单选题1．下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（）A ．()tan =f x xB ．()1f x x=-C ．()cos f x x x =-D ．()e ex xf x -=-．已知是定义域为R 的奇函数，当0x >时，2A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】B【详解】因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()24(4)log 42f f -=-=-=-，故选:B.3．下列函数中，是偶函数且在(0,)+∞上单调递减的是（）A ．2()||f x x x =-B ．21()f x x =C ．||()e x f x =D ．()|ln |f x x =【答案】B4．设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-．若33f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．53-B ．13-C ．13D ．535．设函数()1e 1x f x -=-，则（）A ．()f x 关于()0,1-对称B ．()f x 关于()0,0对称C ．()f x 关于1x =对称D ．()f x 关于()1,1-对称滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质．假设每一层PP 棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为25mg/L ，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2.5mg/L ，则PP 棉滤芯层数最少为（）（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）A ．5B ．6C ．7D ．87．若实数，b ，0,1c ∈，且满足e e a a = 1.2e 1.2e b b =l.6e 1.6e c c =，b ，的大小关系是（）A ．c b a >>B ．b a c>>C ．a b c>>D ．b c a>>即()()()f a f b f c >>，又a ，b ，[0,1]c ∈，所以a b c >>.故选：C.8．已知函数()()31bx f x a x x =-++的图象过点()0,1与93,4⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()f x 在区间[]1,4上的最大值为（）A ．32B ．73C ．54D ．85二、多选题9．已知函数()321132f x x x x λ=+-（R λ∈且2λ≤-），且0.31.7a =，0.3log 1.8b =，0.10.9c =，则下列结论正确的是（）A ．()f x 为R 上的增函数B ．()f x 无极值C ．()()()f b f c f a <<D ．()()()f a f b f c <<[]1,1x ∈-时，()1f x x =-+，则下列说法正确的是（）A ．()1y f x =+是偶函数B ．()3y f x =+为奇函数C ．函数()lg =-y f x x 有8个不同的零点D ．()202311k f k ==∑()1y f x =+为()y f x =向左平移1个单位得到，是偶函数，故()3y f x =+为()y f x =向左平移3个单位得到，是奇函数，故由lg y x =在(,0)-∞上递减，且lg 101-=，lg 10-=；在(0,结合图象：看出()y f x =和lg y x =的图象有10个交点，即由()10f =，()21f =，()30f =，()41f =-，()50f =，()61f =-，()70f =，()81f =，则()()()1280f f f ++⋅⋅⋅+=，所以()()()()2023125201271k f k f f f ==⨯+++⋅⋅⋅+=-⎡⎤⎣⎦∑，故D 错误，故选：AB11．已知函数()21()ln e e 2x x f x a x -=--，其中e 是自然对数的底数，则下列选项正确的是（）A ．若1a =，则()f x 为奇函数B ．若1a =-，则()f x 为偶函数C ．若()f x 具备奇偶性，则1a =-或0a =D ．若()f x 在(0,)+∞上单调递增，则a 的取值范围为[1,)-+∞12．已知定义在[]0,1上的函数()0,010,1,1,,,,f x p px p q q q q ⎧==⎪=⎛⎫⎨= ⎪⎪⎝⎭⎩或或为内的无理数为正整数为既约真分数该函数称为黎曼函数．若数列{}n a 满足1n n a f n ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．0n a >B ．1n na a +>C ．11nn i a =<∑D ．1112nn n i a a +=<∑【答案】AD○热○点○题○型三函数的图像1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换.2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，解不等式、求解函数的零点等问题.一、单选题1．函数()333x x x f x -=+的图象大致是（）A ．B ．C．D．A．B．C．D．3．函数()1e πcos 1e 2x x f x x ⎛⎫-⎛⎫=- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭的部分图象大致形状是（）A．B．C．D．4．函数()22xxf x -+=+的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．5．函数()cos e 1x x f x -=⋅+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．6．函数的部分图像大致为（）A ．B ．C ．D ．7．函数()113x x f x x--=的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．8．函数()3f x x x=-在[]π,π-上的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B二、多选题9．已知Z k ∈，则函数()()22k x xf x x -=⋅+的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．故选：ABC.10．函数f (x )＝b （x -a ）2（x -b ）的图象可以是（）A ．B ．C ．D ．【答案】BC【详解】由函数解析式可知，a 是不变号零点，b 是变号零点，A.由图可知，变号零点是0，则0b =，则()0f x =，不成立，故A 错误；B.由图可知，变号零点小于0，不变号零点为0，则0,0b a <=，此时()()2f x b x b x =-，当x b <，()0f x >，当0b x <<，()0f x <，当0x >时，()0f x <，满足图象，故B 正确；C.由图可知，0b a >>，()()()2f x b x b x a =--，当x a <时，()0f x <，当a x b <<时，()0f x <，当x b >时，()0f x >，满足图象，故C 正确；D.由图可知，0a b <<，()()()2f x b x b x a =--，当x a <时，()0f x >，与图象不符，所以D 错误.故选：BC11．已知0a >，函数()()0a xf x x a x =->的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】ABC【详解】当01a <<时，函数a y x =在(0,)+∞上单调递增，函数x y a =在(0,)+∞上单调递减，因此函数()a x f x x a =-在(0,)+∞上单调递增，而()()01,0f f a =-=，函数图象为曲线，A 可能；当1a =时，函数()1f x x =-在(0,)+∞上的图象是不含端点(0,1)-的射线，B 可能；当1a >时，取2a =，有(2)(4)0f f ==，即函数2()2,0x f x x x =->图象与x 轴有两个公共点，又,()0x ∈+∞，随着x 的无限增大，函数x y a =呈爆炸式增长，其增长速度比a y x =的大，因此存在正数0x ，当0x x >时，020x x a <恒成立，即()0f x <，C 可能，D 不可能.故选：ABC12．函数(0)||x xa y a x =>的图象的大致形状是（）A ．B ．C ．D ．。

高考数学压轴题100题汇总(含答案)

高考数学压轴题100题汇总(含答案)1. 设函数f(x) = x^3 3x + 1，求f(x)的极值点和极值。

答案：f(x)的极值点为x = 1和x = 1，极值分别为f(1) = 1和f(1) = 3。

2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn = n^2 + n，求该数列的通项公式。

答案：an = 2n + 1。

3. 已知三角形ABC中，AB = AC = 5，BC = 8，求三角形ABC的面积。

答案：三角形ABC的面积为12。

4. 设直线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = 1相切，求k和b的值。

答案：k = ±√3/3，b = ±√6/3。

5. 已知函数f(x) = log2(x^2 + 1)，求f(x)的导数。

答案：f'(x) = 2x/(x^2 + 1)ln2。

6. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (1, 4)，求向量a和向量b的夹角。

答案：向量a和向量b的夹角为arccos(1/√5)。

7. 已知矩阵A = [1 2; 3 4]，求矩阵A的逆矩阵。

答案：矩阵A的逆矩阵为[4 2; 3 1]。

8. 已知函数f(x) = x^3 6x^2 + 9x + 1，求f(x)的零点。

答案：f(x)的零点为x = 1和x = 3。

9. 已知函数f(x) = sin(x) cos(x)，求f(x)在区间[0, π/2]上的最大值。

答案：f(x)在区间[0, π/2]上的最大值为√2。

10. 已知函数f(x) = x^2 + 4x + 4，求f(x)的顶点坐标。

答案：f(x)的顶点坐标为(2, 0)。

高考数学压轴题100题汇总(含答案)11. 已知函数f(x) = e^x 2x，求f(x)的导数。

答案：f'(x) = e^x 2。

12. 已知函数f(x) = x^2 4x + 4，求f(x)的极值点和极值。

答案：f(x)的极值点为x = 2，极值为f(2) = 0。

压轴题09 基本初等函数、函数与方程(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)

压轴题09基本初等函数、函数与方程题型/考向一：基本初等函数的图像与性质题型/考向二：函数的零点题型/考向三：函数模型及其应用○热○点○题○型一基本初等函数的图像与性质1.指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，它们的图象和性质分0＜a ＜1，a ＞1两种情况，着重关注两个函数图象的异同.2.幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1，2，3，12，－1五种情况.一、单选题1．若125()3a -=，121log 5b =，3log 7c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b c a>>C ．c a b>>D ．c b a>>2．已知函数()2121x f x =-+，则（）A ．()f x 是偶函数且是增函数B ．()f x 是偶函数且是减函数C ．()f x 是奇函数且是增函数D ．()f x 是奇函数且是减函数【答案】CA．y =B ．21y x =C ．lg y x =D ．332x xy --=4．已知函数()1,0,2x f x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪⎪⎝⎭⎩若()()6f a f a <-，则实数a 的取值范围是（）A ．()3,-+∞B ．(),3-∞-C ．()3,+∞D ．(),3-∞【答案】D【详解】由解析式易知：()f x 在R 上递增，又()()6f a f a <-，所以6a a <-，则3a <.故选：D5．函数()2eln 2x f x x=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．A ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭7．已知实数1a ≠，函数()2,0,a x f x x -≥=⎨<⎩若(1)(1)f a f a -=-，则a 的值为（）A ．12B ．12-C ．14D ．14-8．函数⎣⎦的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【详解】对于函数()()()ln 1ln 1f x x x x =+--⎡⎤⎣⎦，有1010x x +>⎧⎨->⎩，可得11x -<<，所以，函数()f x 的定义域为()1,1-，()1,1x ∀∈-，()()()()()()ln 1ln 1ln 1ln 1f x x x x x x x f x -=---+=+--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以，函数()f x 为偶函数，排除AB 选项；当01x <<时，110x x +>->，则()()ln 1ln 1x x +>-，此时()()()ln 1ln 10f x x x x =+-->⎡⎤⎣⎦，排除D 选项.故选：C.二、填空题9．已知函数()2()e e x x f x x -=-⋅，若实数m 满足))2(1)f f m f -≤，则实数m的取值范围是____________．【答案】ln3-##1ln311．已知,,1x y a ∈>R ，若2x y a a a +=，且x y +的最大值为3，则函数()()212log 2f x x ax a =-++的最小值为______故当4x =时，()2432x --+取得最大值32，则()f x 的取到最小值为5-．故答案为：5-.12．幂函数y=xa ，当a 取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=xa ，y=xb 的图象三等分，即有BM =MN =NA ，那么ab =______.○热○点○题○型二函数的零点判断函数零点个数的方法：(1)利用零点存在定理判断.(2)代数法：求方程f (x )＝0的实数根.(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性.一、单选题1．函数()243xf x x =+-的零点所在的区间是（）A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【详解】函数()243x f x x =+-的图象是连续不间断的，根据增函数加增函数为增函数的结论知()f x 在定义域R 上为增函数,412204f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，12102f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故函数()243x f x x =+-的零点所在区间是11,42⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.()a 的值是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【详解】依题意，因为函数()2cos 1f x a x x =--有且只有1个零点，所以()2cos 10f x a x x =--=有且仅有一个解，即2cos 1a x x =+有且仅有一个解，转化为cos y a x =与21y x =+有且仅有一个交点，当0a =时，cos 0y a x ==与21y x =+没有交点，所以0a ≠；当a<0时，因为[]cos 1,1x ∈-，所以[]cos ,y a x a a =∈-，当0x =时，21y x =+有最小值1，cos y a x =有最小值a<0，此时cos 0y a x ==与21y x =+没有交点，由于cos 0y a x ==与21y x =+都是偶函数，若在除去0x =之外有交点，则交点必为偶数个，不符合题意，所以a<0不符合题意；当0a >时，因为[]cos 1,1x ∈-，所以[]cos ,y a x a a =∈-，又因为211y x =+≥，所以当且仅当1a =时，此时0x =有唯一的交点.故选：B.3．已知()0,2πθ∈，若函数()()2sin cos sin 2f x x x x θ=-+在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，则θ的值可能为（）A ．π6B ．π4C ．11π12D ．6π54．若函数2()1,0f x x x -⎧≤=⎨+>⎩，则函数()()2g x f x =-的零点的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【详解】由题意函数22,0()1,0x x f x x x -⎧≤=⎨+>⎩，则函数()()2g x f x =-的零点个数即()2f x =的解的个数，当0x >时,令212+=x ，即1x =，符合题意；当0x ≤时，令22x -=，得=1x -，符合题意，故()()2g x f x =-的零点有2个，故选：B.5．已知函数()2ln 1212x x x f x mx mx x +>⎧⎪=⎨-+≤⎪⎩，，，若()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是（）A ．71,4⎛⎤⎥⎝⎦B ．(]1,2C ．41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．[]1,36．是定义在R 上的奇函数，当1,1x ∈-时，f x x =，11f x f x +=-，令()()lg g x f x x =-，则函数()g x 的零点个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【详解】由()()11f x f x +=-可得，()f x 的图象关于1x =对称，又由()()11f x f x +=-可得()()2()f x f x f x +=-=-，所以()4(2)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 以4为周期，所以作出()f x 的图象如下，()()lg g x f x x =-的零点个数即为方程()lg f x x =也即()f x 的图象与lg y x =图象的交点个数，因为lg 91,lg101<=，所以数形结合可得()f x 的图象与lg y x =图象的交点个数为故选:B.7．已知函数41,0141,02x x x x ⎧+-≤⎪=⎨⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎩，关于的方程有6个不等实数根，则实数t 的取值范围是（）A ．7,5⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．7,5⎡⎫⎛⎫-∞--+∞⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎣⎭ C ．7,52⎛-- ⎝⎦D ．7,522⎛⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【详解】作出函数()f x 的图象如图所示，∴函数()f x 的图象与函数()y c c =∈R 的图象最多三个交点，且()f x c =有3个实数根时，13c -<<，()()()22110f x t f x t ∴+-+-=有6个不等实数根等价于一元二次方程()22110x t x t +-+-=在()1,3-上有两个不同的实数根，是（）A ．6B ．5C ．4D ．3二、多选题9．已知偶函数()f x 满足()()()126f x f x f -+=，()11e f -=+，且当[)0,6x ∈时，()e 1x f x a -=+，则下列说法正确的有（）A ．2e a =B ．()f x 在[]18,24上为增函数C ．()320231ef -=-D ．()f x 在[]2023,0-上共有169个零点【答案】ABD【详解】因为函数()f x 为偶函数，所以()()111e f f -==+，又当[)0,6x ∈时，()e 1x f x a -=+，故()11e 11e f a -=+=+，解得2e a =，故A 选项正确．因为()()()126f x f x f -+=，令6x =-，得()()()666f f f --=，故()60f =．由()()120f x f x -+=得()()12f x f x +=，即函数()f x 具有周期性且周期为12．当[)0,6x ∈时，()2e 1xf x -=+单调递减，故当(]6,0x ∈-时，函数()f x 单调递增，所以当(]18,24x ∈时，函数()f x 单调递增．又()()1860f f ==，且当(]18,24x ∈时，函数()0f x >恒成立，所以()f x 在[]18,24上为增函数，故B 选项正确．()()()()()32023121687755e 1f f f f f -=⨯+==-==+，故C 选项错误．因为当[)0,6x ∈时，()2e 1xf x -=+单调递减，所以当06x ≤<时，()420<e 1e 1f x -+<≤+，又()f x 为偶函数，所以60x -<≤时，()0f x >，又()60f -=，所以函数()f x 在[)6,6-上有且仅有一个零点，因为()f x 的周期为12，2023121687=⨯+，所以(]2016,0-上有168个零点，再考虑[]2023,2016--等价于[]7,0-这个区间，有1个零点，故最终有169个零点，故D 选项正确．故选：ABD ．10．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()22f x f x -=+，且当[]0,2x ∈时，()2e 1,01,44,1 2.x x f x x x x ⎧-≤≤=⎨-+<≤⎩若关于x 的不等式()m x f x ≤的整数解有且仅有9个，则实数m的取值可以是（）A ．e 16-B ．e 17-C ．e 18-D ．e 19-三、填空题11．已知函数()131,0ln ,0x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若函数()()()2221g x f x af x a =-+-⎡⎤⎣⎦恰有4个不同的零点，则a 的取值范围是__________．【答案】()[)1,01,2- 【详解】令()()()22210g x f x af x a =-+-=⎡⎤⎣⎦，得()1f x a =-或()1f x a =+，画出()f x 的大致图象．设()f x t =，由图可知，当0t <或2t >时，()t f x =有且仅有1个实根；当0=t 或12t ≤≤时，()t f x =有2个实根；当01t <<时，()t f x =有3个实根．则()g x 恰有4个不同的零点等价于10,011a a -<⎧⎨<+<⎩或10,112a a -=⎧⎨≤+≤⎩或011,12a a <-<⎧⎨+>⎩或112,112,a a ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩解得10a -<<或12a ≤<．故答案为：()[)1,01,2-12．已知函数11,02()2(2),28x x f x f x x ⎧--≤≤=⎨-<≤⎩，若方程()f x kx =恰好有四个实根，则实数k 的取值范围是___．设()g x kx =，若方程()f x kx =恰好有四个实根，则函数()f x 与()g x 的图象有且只有四个公共点，由图得，(1,1),(3,2),(5,4),(A D B C 则2481,,,357OA OB OC OD k k k k ====，则<<<OB OC OA OD k k k k ，○热○点○题○型三函数模型及其应用应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键：(1)一般程序：――→读题文字语言⇒――→建模数学语言⇒――→求解数学应用⇒――→反馈检验作答(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地写出相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.一、单选题1．垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而变成公共资源的一系列活动的总称．已知某种垃圾的分解率ν与时间t （月）满足函数关系式t v a b =⋅（其中a ，b 为非零常数）．若经过6个月，这种垃圾的分解率为5%，经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，那么这种垃圾完全分解（分解率为100%）至少需要经过（）（参考数据lg 20.3≈）A ．20个月B ．40个月C ．28个月D ．32个月m /s ）可以表示为31log 2100Qv =，其中Q 表示鲑鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼以3ln2m /s ln3的速度游动时，其耗氧量是静止时耗氧量的倍数为（）A ．83B ．8C ．32D ．643．0C 表示生物体内碳14的初始质量，经过t 年后碳14剩余质量01()2hC t C ⎛⎫= ⎪⎝⎭（0t >，h为碳14半衰期）．现测得一古墓内某生物体内碳14含量为00.4C ，据此推算该生物是距今约多少年前的生物（参考数据lg 20.301≈）．正确选项是（）A ．1.36hB ．1.34hC ．1.32hD ．1.30h“ChatGTP ”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为00G GL L D =，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（）（参考数据：1g20.3010≈）A ．72B ．74C ．76D ．78血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：0()e KtS t S =描述血氧饱和度()S t 随给氧时间t （单位：时）的变化规律，其中0S 为初始血氧饱和度，K 为参数.已知060%S =，给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（）（精确到0.1，参考数据：ln 2069ln 3110≈≈．，．）A ．0.3B ．0.5C ．0.7D ．0.9故选：B6．某企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M （单位:mg /L ）与时间t （单位:h ）之间的关系为0e ktM M -=（其中0,M k 是正常数）．已知在处理过程中，该设备每小时可以清理池中残留污染物10%，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（）（参考数据：lg20.30≈，lg30.48≈）A ．6小时B ．8小时C ．10小时D ．12小时媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律．统计学家发现网络热搜度也遵循这样的规律，即随着时间的推移，热搜度会逐渐降低．假设事件的初始热搜度为()000N N >，经过t （天）时间之后的热搜度变为()0etN t N α-=，其中α为冷却系数．若设某事件的冷却系数0.3α=，则该事件的热搜度降到初始的50%以下需要的天数t 至少为（）．（ln 20.693≈，t 取整数）A ．7B ．6C ．4D ．3族整体利益和两岸同胞切身利益，解放军组织多种战机巡航台湾.已知海面上的大气压强是760mmHg ，大气压强P （单位：mmHg ）和高度h （单位：m ）之间的关系为760e hk P -=（e为自然对数的底数，k 是常数），根据实验知500m 高空处的大气压强是700mmHg ，则当歼20战机巡航高度为1000m ，歼16D 战机的巡航高度为1500m 时，歼20战机所受的大气压强是歼16D 战机所受的大气压强的（）倍.A ．0.67B ．0.92C ．1.09D ．1.5【答案】C二、多选题9．如图，某池塘里浮萍的面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系为t y a =，关于下列说法正确的是（）A ．浮萍每月的增长率为3B ．浮萍每月增加的面积都相等C ．第4个月时，浮萍面积超过280m D ．若浮萍蔓延到2224m 2m 8m 、、所经过的时间分别是123t t t 、、，则2132t t t =+【答案】CD【详解】由图可知，函数过点()1,3，将其代入解析式，=3a ，故3t y =，A 选项，取前3个月的浮萍面积，分别为32m ，92m ，272m ，故增长率逐月增大，A 错误；从前3个月浮萍面积可看出，每月增加的面积不相等，B 错误；第4个月的浮萍面积为812m ，超过了802m ，C 正确；令132t =，234t =，338t =，解得：132333log 2,log 4,log 8t t t ===，1333332log 2log 8log 162log 42t t t +=+===，D 正确.故选：CD10．泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数．如某一服务设施在一定时间内到达的人数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等．其概率函数为()e !kP X k k λλλ-==，参数λ是单位时间（或单位面积）内随机事件的平均发生次数．现采用某种紫外线照射大肠杆菌，大肠杆菌的基因组平均产生3个嘧啶二体．设大肠杆菌的基因组产生的嘧啶二体个数为Y ，()P Y k =表示经该种紫外线照射后产生k 个嘧啶二体的概率．已知Y 服从泊松分布，记为()Y Pois λ~，当产生的嘧啶二体个数不小于1时，大肠杆菌就会死亡，下列说法正确的有（）（参考数据：3e 0.049-=⋅⋅⋅，恒等式0e !inxi x i ==∑）A ．大肠杆菌a 经该种紫外线照射后，存活的概率约为5%B ．设()()f k P Y k λ==，则,(1)()0,()f k f k k λ∀∈+->∈N NC ．如果()X pois λ~，那么(!)X E X λ=，X 的标准差σλ=D ．大肠杆菌a 经该种紫外线照射后，其基因组产生的嘧啶二体个数的数学期望为3公园的距离都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y (km)与时间x (min)的关系，下列结论正确的是（）A ．甲同学从家出发到乙同学家走了60minB ．甲从家到公园的时间是30minC ．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快D ．当0≤x ≤30时，y 与x 的关系式为y ＝115x 【答案】BD【详解】在A 中，甲在公园休息的时间是10min ，所以只走了50min ，A 错误；由题中图象知，B 正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C 错误；当0≤x ≤30时，设y ＝kx (k ≠0)，则2＝30k ，解得115k =，D 正确.故选：BD地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg E =4.8+1.5M ，则下列说法正确的是（）A ．地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级B ．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C ．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D ．记地震里氏震级为n （n =1，2，···，9，10），地震释放的能量为an ，则数列{an }是等比数列【答案】ACD【详解】对于A ：当15.310E =时，由题意得15.3lg10 4.8 1.5M =+，解得7M =，即地震里氏震级约为七级，故A 正确；对于B ：八级地震即8M =时，1lg 4.8 1.5816.8E =+⨯=，解得16.8110E =，所以16.81.5115.3101010 6.310E E ==>≠，所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的 1.510倍，故B 错误；对于C ：六级地震即6M =时，2lg 4.8 1.5613.8E =+⨯=，解得13.8210E =，。

数学高考压轴题含答案

数学高考压轴题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、解答题1．已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值．(1)求a ；(2)证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．2．已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0．(1)求l 的斜率；(2)若tan PAQ ∠=PAQ △的面积．3．已知函数()e e ax x f x x =-．(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；(3)设n *∈Nln(1)n ++>+ ．4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P 且斜率为Q M .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.5．已知函数()e ln(1)x f x x =+．(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性；(3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．6．如图，已知椭圆22112x y +=．设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点0,21Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭在线段AB 上，直线,PA PB 分别交直线132y x =-+于C ，D两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；(2)求||CD 的最小值．7．设函数e()ln (0)2f x x x x=+>．(1)求()f x 的单调区间；(2)已知,a b ∈R ，曲线()y f x =上不同的三点()()()()()()112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭；（ⅱ）若1230e,a x x x <<<<，则22132e 112e e 6e 6ea ax x a --+<+<-．（注：e 2.71828= 是自然对数的底数）参考答案：1．(1)1a =(2)见解析【解析】【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.（2）根据（1）可得当1b >时，e x x b -=的解的个数、ln x x b -=的解的个数均为2，构建新函数()e ln 2x h x x x =+-，利用导数可得该函数只有一个零点且可得()(),f x g x 的大小关系，根据存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点可得b 的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.(1)()e x f x ax =-的定义域为R ，而()e '=-x f x a ，若0a ≤，则()0f x '>，此时()f x 无最小值，故0a >.()ln g x ax x =-的定义域为()0,∞+，而11()ax g x a x x'-=-=.当ln x a <时，()0f x '<，故()f x 在(),ln a -∞上为减函数，当ln x a >时，()0f x '>，故()f x 在()ln ,a +∞上为增函数，故()min ()ln ln f x f a a a a ==-.当10x a <<时，()0g x '<，故()g x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，当1x a >时，()0g x '>，故()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，故min 11()1ln g x g a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.因为()e x f x ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值，故11lnln a a a a-=-，整理得到1ln 1a a a -=+，其中0a >，设()1ln ,01a g a a a a -=->+，则()()()222211011a g a a a a a --'=-=≤++，故()g a 为()0,∞+上的减函数，而()10g =，故()0g a =的唯一解为1a =，故1ln 1aa a-=+的解为1a =.综上，1a =.(2)由（1）可得e ()x x f x =-和()ln g x x x =-的最小值为11ln11ln 11-=-=.当1b >时，考虑e x x b -=的解的个数、ln x x b -=的解的个数.设()e xS x x b =--，()e 1x S x '=-，当0x <时，()0S x '<，当0x >时，()0S x '>，故()S x 在(),0∞-上为减函数，在()0,∞+上为增函数，所以()()min 010S x S b ==-<，而()e0bS b --=>，()e 2b S b b =-，设()e 2b u b b =-，其中1b >，则()e 20bu b '=->，故()u b 在()1,+∞上为增函数，故()()1e 20u b u >=->，故()0S b >，故()e xS x x b =--有两个不同的零点，即e x x b -=的解的个数为2.设()ln T x x x b =--，()1x T x x-'=，当01x <<时，()0T x '<，当1x >时，()0T x '>，故()T x 在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数，所以()()min 110T x T b ==-<，而()ee0bbT --=>，()e e 20b b T b =->，()ln T x x x b =--有两个不同的零点即ln x x b -=的解的个数为2.当1b =，由（1）讨论可得ln x x b -=、e x x b -=仅有一个零点，当1b <时，由（1）讨论可得ln x x b -=、e x x b -=均无零点，故若存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点，则1b >.设()e ln 2x h x x x =+-，其中0x >，故1()e 2xh x x'=+-，设()e 1x s x x =--，0x >，则()e 10xs x '=->，故()s x 在()0,∞+上为增函数，故()()00s x s >=即e 1x x >+，所以1()1210h x x x'>+-≥->，所以()h x 在()0,∞+上为增函数，而(1)e 20h =->，31e 333122(e 3e 30e e eh =--<--<，故()h x 在()0,∞+上有且只有一个零点0x ，0311ex <<且：当00x x <<时，()0h x <即e ln x x x x -<-即()()f x g x <，当0x x >时，()0h x >即e ln x x x x ->-即()()f x g x >，因此若存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点，故()()001b f x g x ==>，此时e x x b -=有两个不同的零点1010,(0)x x x x <<，此时ln x x b -=有两个不同的零点0404,(01)x x x x <<<，故11e xx b -=，00e x x b -=，44ln 0x x b --=，00ln 0x x b --=所以44ln x b x -=即44ex bx -=即()44e0x bx b b ----=，故4x b -为方程e x x b -=的解，同理0x b -也为方程e x x b -=的解又11e x x b -=可化为11e xx b =+即()11ln 0x x b -+=即()()11ln 0x b x b b +-+-=，故1x b +为方程ln x x b -=的解，同理0x b +也为方程ln x x b -=的解，所以{}{}1004,,x x x b x b =--，而1b >，故0410x x b x x b =-⎧⎨=-⎩即1402x x x +=.【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.2．(1)1-；(2)9．【解析】【分析】（1）由点(2,1)A 在双曲线上可求出a ，易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ，再根据0AP BP k k +=，即可解出l 的斜率；（2）根据直线,AP AQ 的斜率之和为0可知直线,AP AQ的倾斜角互补，再根据tan PAQ ∠=,AP AQ 的斜率，再分别联立直线,AP AQ 与双曲线方程求出点,P Q 的坐标，即可得到直线PQ 的方程以及PQ 的长，由点到直线的距离公式求出点A 到直线PQ 的距离，即可得出PAQ △的面积．(1)因为点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a -=>-上，所以224111a a -=-，解得22a =，即双曲线22:12x C y -=易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ，联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩可得，()222124220k x mkx m ----=，所以，2121222422,2121mk m x x x x k k ++=-=--，()()22222216422210120m k m k m k ∆=++->⇒-+>．所以由0AP BP k k +=可得，212111022y y x x --+=--，即()()()()122121210x kx m x kx m -+-+-+-=，即()()()1212212410kx x m k x x m +--+--=，所以()()2222242124102121m mk k m k m k k +⎛⎫⨯+-----= ⎪--⎝⎭，化简得，()2844410k k m k +-++=，即()()1210k k m +-+=，所以1k =-或12m k =-，当12m k =-时，直线():21l y kx m k x =+=-+过点()2,1A ，与题意不符，舍去，故1k =-．(2)不妨设直线,PA PB 的倾斜角为(),αβαβ<，因为0AP BP k k +=，所以παβ+=，因为tan PAQ ∠=，所以()tan βα-=，即tan 2α=-，2tan 0αα-=，解得tan α，于是，直线):21PA y x =-+，直线):21PB y x =-+，联立)222112y x x y ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩可得，(23211002x x +-+-=，因为方程有一个根为2，所以103P x -=，P y=53，同理可得，103Q x +=，Q y=53-．所以5:03PQ x y +-=，163PQ =，点A 到直线PQ的距离3d =，故PAQ △的面积为11623⨯=3．(1)()f x 的减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞.(2)12a ≤(3)见解析【解析】【分析】（1）求出()f x ¢，讨论其符号后可得()f x 的单调性.（2）设()e e 1ax xh x x =-+，求出()h x ''，先讨论12a >时题设中的不等式不成立，再就102a <≤结合放缩法讨论()h x '符号，最后就0a ≤结合放缩法讨论()h x 的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得12ln t t t<-对任意的1t >恒成立，从而可得()ln 1ln n n +-的*n N ∈恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.(1)当1a =时，()()1e x f x x =-，则()e xf x x '=，当0x <时，()0f x ¢<，当0x >时，()0f x ¢>，故()f x 的减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞.(2)设()e e 1ax xh x x =-+，则()00h =，又()()1e e ax x h x ax '=+-，设()()1e e ax xg x ax =+-，则()()22e e ax xg x a a x '=+-，若12a >，则()0210g a '=->，因为()g x '为连续不间断函数，故存在()00,x ∈+∞，使得()00,x x ∀∈，总有()0g x ¢>，故()g x 在()00,x 为增函数，故()()00g x g >=，故()h x 在()00,x 为增函数，故()()01h x h >=-，与题设矛盾.若102a <≤，则()()()ln 11e e ee ax ax ax xx h x ax ++'=+-=-，下证：对任意0x >，总有()ln 1x x +<成立，证明：设()()ln 1S x x x =+-，故()11011x S x x x-'=-=<++，故()S x 在()0,+∞上为减函数，故()()00S x S <=即()ln 1x x +<成立.由上述不等式有()ln 12e e e e e e 0ax ax x ax ax x ax x +++-<-=-≤，故()0h x '≤总成立，即()h x 在()0,+∞上为减函数，所以()()01h x h <=-.当0a ≤时，有()e e e 1100ax x axh x ax '=-+<-+=，所以()h x 在()0,+∞上为减函数，所以()()01h x h <=-.综上，12a ≤.(3)取12a =，则0x ∀>，总有12e e 10x x x -+<成立，令12e x t =，则21,e ,2ln x t t x t >==，故22ln 1t t t <-即12ln t t t<-对任意的1t >恒成立.所以对任意的*n N ∈，有<整理得到：()ln 1ln n n +-()ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln n n +-+-+++- ()ln 1n =+，故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.4．(1)2213y x -=(2)见解析【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得c 的值，利用渐近线方程求得,a b 的关系，进而利用,,a b c 的平方关系求得,a b 的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB 的斜率为k ,M (x 0,y 0),由③|AM |=|BM |等价分析得到200283k x ky k +=-；由直线PM 和QM 的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ 的斜率03x m y =，由②//PQ AB 等价转化为003ky x =，由①M在直线AB 上等价于()2002ky k x =-，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.(1)右焦点为(2,0)F ，∴2c =,∵渐近线方程为y =，∴ba=b ，∴222244c a b a =+==，∴1a =，∴b =∴C 的方程为：2213y x -=；(2)由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而12x x =，已知不符；总之，直线AB 的斜率存在且不为零.设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为()2y k x =-,则条件①M 在AB 上，等价于()()2000022y k x ky k x =-⇔=-；两渐近线的方程合并为2230x y -=,联立消去y 并化简整理得：()22223440k x k x k --+=设()()3334,,,A x y B x y ,线段中点为(),N N N x y ,则()2342226,2233N N N x x k kx y k x k k +===-=--,设()00,M x y ,则条件③AM BM =等价于()()()()222203030404x x y y x x y y -+-=-+-,移项并利用平方差公式整理得：()()()()3403434034220x x x x x y y y y y ⎡⎤⎡⎤--++--+=⎣⎦⎣⎦，()()3403403434220y y x x x y y y x x -⎡⎤⎡⎤-++-+=⎣⎦⎣⎦-,即()000N N x x k y y -+-=,即200283k x ky k +=-；由题意知直线PM 的斜率为直线QM ,∴由))10102020,y y x x y y x x -=--=-,∴)121202y y x x x -=+-,所以直线PQ的斜率)1201212122x x x y y m x x x x +--==--,直线)00:PM y x x y =-+,即00y y =,代入双曲线的方程22330x y --=,即)3yy +-=中，得：()()00003y y ⎡⎤-=⎣⎦,解得P的横坐标：100x y ⎛⎫=+⎪⎪⎭,同理：200x y ⎛⎫=⎪⎪⎭，∴0012012002222000033,2,33y x x x y x x x x y x y x ⎛⎫-=++-=--⎪--⎭∴03x m y =,∴条件②//PQ AB 等价于003m k ky x =⇔=，综上所述：条件①M 在AB 上，等价于()2002ky k x =-；条件②//PQ AB 等价于003ky x =；条件③AM BM =等价于200283kx ky k +=-；选①②推③:由①②解得：2200002228,433k k x x ky x k k =∴+==--,∴③成立；选①③推②：由①③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴003ky x =，∴②成立；选②③推①：由②③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴02623x k -=-，∴()2002ky k x =-，∴①成立.5．(1)y x=(2)()g x 在[0,)+∞上单调递增.(3)证明见解析【解析】【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；（3）令()()()m x f x t f x =+-，(,0)x t >，即证()(0)m x m >，由第二问结论可知()m x 在[0,+∞）上单调递增，即得证.(1)解：因为()e ln(1)x f x x =+，所以()00f =，即切点坐标为()0,0，又1()e (ln(1))1xf x x x=+++'，∴切线斜率(0)1k f '==∴切线方程为：y x =(2)解：因为1()()e (ln(1))1xg x f x x x=++'=+，所以221()e (ln(1))1(1)xg x x x x =++++'，令221()ln(1)1(1)h x x x x =++-++，则22331221()01(1)(1)(1)x h x x x x x +=-+=>++++'，∴()h x 在[0,)+∞上单调递增，∴()(0)10h x h ≥=>∴()0g x '>在[0,)+∞上恒成立，∴()g x 在[0,)+∞上单调递增.(3)解：原不等式等价于()()()(0)f s t f s f t f +->-，令()()()m x f x t f x =+-，(,0)x t >，即证()(0)m x m >，∵()()()e ln(1)e ln(1)x t x m x f x t f x x t x +=+-=++-+，e e ()e ln(1)e ln(1)()()11x t x x tx m x x t x g x t g x x t x++=++++-=+-++'+，由（2）知1()()e (ln(1))1xg x f x x x=++'=+在[)0,∞+上单调递增，∴()()g x t g x +>，∴()0m x '>∴()m x 在()0,∞+上单调递增，又因为,0x t >，∴()(0)m x m >，所以命题得证.6．(1)11；(2)5．【解析】【分析】（1）设,sin )Q θθ是椭圆上任意一点,再根据两点间的距离公式求出2||PQ ，再根据二次函数的性质即可求出；（2）设直线1:2AB y kx =+与椭圆方程联立可得1212,x x x x +，再将直线132y x =-+方程与PA PB 、的方程分别联立，可解得点,C D 的坐标，再根据两点间的距离公式求出CD ，最后代入化简可得231CD k =⋅+，由柯西不等式即可求出最小值．(1)设,sin )Q θθ是椭圆上任意一点,(0,1)P ,则222221144144||12cos (1sin )1311sin 2sin 11sin 111111PQ θθθθθ⎛⎫=+-=--=-+≤⎭+⎪⎝，当且仅当1sin 11θ=-时取等号，故||PQ (2)设直线1:2AB y kx =+,直线AB 方程与椭圆22112x y +=联立,可得22130124k x kx ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭,设()()1122,,,A x y B x y ，所以12212211231412k x x k x x k ⎧+=-⎪+⎪⎪⎨⎪=-⎛⎫⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎩，因为直线111:1y PA y x x -=+与直线132y x =-+交于C ,则111114422(21)1C x x x x y k x ==+-+-,同理可得,222224422(21)1D x x x x y k x ==+-+-.则224||(21)1C D x CD x k x =-=+-2=35161656565231555k =⋅=≥=+，当且仅当316k =时取等号，故CD 的最小值为5.【点睛】本题主要考查最值的计算，第一问利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合能力要求较高，属于较难题．7．(1)()f x 的减区间为e 02⎛⎫⎪⎝⎭,，增区间为e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）（ⅰ）由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，（ⅱ）31x k x =，1e a m =<，则题设不等式可转化为()()()2131313122236m m m t t m m t t --++--<+，结合零点满足的方程进一步转化为()()()()211312ln 0721m m m m m m ---++<+，利用导数可证该不等式成立.(1)()22e 12e 22xf x x x x -'=-+=，当e02x <<，()0f x ¢<；当e 2x >，()0f x ¢>，故()f x 的减区间为e 02⎛⎫⎪⎝⎭,，()f x 的增区间为e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)（ⅰ）因为过(),a b 有三条不同的切线，设切点为()(),,1,2,3i i x f x i =，故()()()i i i f x b f x x a '-=-，故方程()()()f x b f x x a '-=-有3个不同的根，该方程可整理为()21e e ln 022x a x b x x x ⎛⎫----+= ⎪⎝⎭，设()()21e e ln 22g x x a x b x x x ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭，则()()22321e 1e 1e22g x x a x x x x x x⎛⎫'=-+-+--+ ⎪⎝⎭()()31e x x a x =---，当0e x <<或x a >时，()0g x ¢<；当e x a <<时，()0g x ¢>，故()g x 在()()0,e ,,a +∞上为减函数，在()e,a 上为增函数，因为()g x 有3个不同的零点，故()e 0g <且()0>g a ，故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭且()21e e ln 022a a a b a a a ⎛⎫---+> ⎪⎝⎭，整理得到：12e a b <+且()e ln 2b a f a a >+=，此时()1e 13e11ln ln 2e 2e 22e 222a a a b f a a a a a ⎛⎫⎛⎫---<-+-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()3e ln 22u a a a =--，则()2e-202au a a '=<，故()u a 为()e,+∞上的减函数，故()3eln e 022eu a <--=，故()1012e a b f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭.（ⅱ）当0e a <<时，同（ⅰ）中讨论可得：故()g x 在()()0,,e,a +∞上为减函数，在(),e a 上为增函数，不妨设123x x x <<，则1230e x a x x <<<<<，因为()g x 有3个不同的零点，故()0g a <且()e 0g >，故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭且()21e e ln 022a a a b a a a ⎛⎫---+< ⎪⎝⎭，整理得到：1ln 2e 2ea ab a +<<+，因为123x x x <<，故1230e x a x x <<<<<，又()2e e 1ln 2a ag x x b x x+=-+-+，设e t x =，()0,1e a m =∈，则方程2e e 1ln 02a ax b x x+-+-+=即为：2e ln 0e 2ea at t t b +-+++=即为()21ln 02m m t t t b -++++=，记123123e e e ,,,t t t x x x ===则113,,t t t 为()21ln 02m m t t t b -++++=有三个不同的根，设3131e 1x t k t x a ==>>，1eam =<，要证：22122e 112e e 6e 6e a a x x a --+<+<-，即证13e 2e e 26e 6ea at t a --+<+<-，即证：13132166m mt t m --<+<-，即证：131********m m t t t t m --⎛⎫⎛⎫+-+-+< ⎪⎝⎭⎝⎭，即证：()()()2131313122236m m m t t m m t t --++--<+，而()21111ln 02m m t t t b -++++=且()23331ln 02mm t t t b -++++=，故()()()22131313ln ln 102m t t t t m t t -+--+-=，故131313ln ln 222t t t t m m t t -+--=-⨯-，故即证：()()()21313131312ln ln 236m m m t t m t t m t t --+--⨯<-+，即证：()()()1213313ln1312072t t t m m m t t t +--++>-即证：()()()213121ln 0172m m m k k k --+++>-，记()()1ln ,11k k k k k ϕ+=>-，则()()2112ln 01k k k kk ϕ⎛⎫'=--> ⎪⎝⎭-，设()12ln u k k k k =--，则()2122210u k k k k k'=+->-=即()0k ϕ'>，故()k ϕ在()1,+∞上为增函数，故()()k m ϕϕ>，所以()()()()()()22131213121ln 1ln 172172m m m m m m k k m m k m --+--++++>+--，记()()()()()211312ln ,01721m m m m m m m m ω---+=+<<+，则()()()()()()()2232322132049721330721721m mm m m mm m m m m ω---+-+'=>>++，所以()m ω在()0,1为增函数，故()()10m ωω<=，故()()()()211312ln 0721m m m m m m ---++<+即()()()213121ln 0172m m m m m m --+++>-，故原不等式得证：【点睛】思路点睛：导数背景下的切线条数问题，一般转化为关于切点方程的解的个数问题，而复杂方程的零点性质的讨论，应该根据零点的性质合理转化需求证的不等式，常用的方法有比值代换等.。

2025届高考数学复习：压轴好题专项(构造函数证明不等式)练习(附答案)

2025届高考数学复习：压轴好题专项(构造函数证明不等式)练习1. （2024届云南省昆明市第一中学高三上学期第一次月考）已知函数()()2ln f x x a x =-，R a ∈． (1)若()10f '=，求a ；(2)若()1,e a ∈，()f x 的极大值大于b2e <．2．（2024届全国名校大联考高三上学期第一联考）已知函数()2ln f x x ax =+（a ∈R ）． (1)若()0f x ≤在()0,∞+上恒成立，求a 的取值范围：(2)设()()3g x x f x =-，1x ，2x 为函数()g x 的两个零点，证明：121x x <．3．（2024届山东省青岛市高三上学期期初调研检测）已知1ea ≥，函数()e ln ln xf x a x a =-+.(1)若1a =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)求证：()44f x x ≥-+；(3)若β为()f x 的极值点，点()(),f ββ在圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上.求a .4．（2024届湖南省株洲市第二中学教育集团2高三上学期开学联考）已知函数()21e 12xf x x x =---， (1)证明：当0x >时，()0f x >恒成立； (2)若关于x 的方程()sin 2f x xa x x +=在()0,π内有解，求实数a 的取值范围. 5．（2024届辽宁省十校联合体高三上学期八月调研考试）设方程()22e x x a -=有三个实数根123123,,()x x x x x x <<.(1)求a 的取值范围；(2)请在以下两个问题中任选一个进行作答，注意选的序号不同，该题得分不同.若选①则该小问满分4分，若选②则该小问满分9分.①证明：12(2)(2)4x x --<；②证明：1231231113e 2x x x x x x +++++<. 6．（2024届安徽省江淮十校高三第一次联考）已知函数()2k f x x x=+，0k ≠.(1)讨论()f x 的单调性；(2)设函数()3ln g x x x =-n m ≤<，当13k =-时，证明：()()()()332g m g n f m f n m n -+<-. 7．（2024届内蒙古包头市高三上学期调研考试）设函数()()ln 1f x a x =+-，已知2x =是函数()()2y x f x =-的极值点.(1)求a ； (2)设函数()()()()22x f x g x x f x -=-+，证明：()1g x >.8．（2024届北京市景山学校高三上学期开学考试）已知函数())(0)f x x b a =+≠，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是1y x =-.(1)求a 、b 的值； (2)求证：()f x x <；(3)若函数()2()()g x f x t x x =+-在区间(1,)+∞上无零点，求t 的取值范围.9．（2024届山西省大同市高三上学期质量检测）已知函数2()ln (R)af x ax x a x=--∈． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 的两个极值点分别为1x ，2x ，证明：12|()()|2f x f x a-<．10．（2024届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期开学测试）已知函数()()111ln f x ax a x x=+--+.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)求证：n *∀∈N ，)21+⋅⋅⋅++>.参考答案1. （2024届云南省昆明市第一中学高三上学期第一次月考）已知函数()()2ln f x x a x =-，R a ∈． (1)若()10f '=，求a ；(2)若()1,e a ∈，()f x 的极大值大于b 2e <．【过程详解】（1）()212()ln ()f x x a x x a x'=-+-⋅，由()10f '=，即202(1)ln1(1)a a --=+，解得1a =．（2）()()(2ln 1)af x x a x x'=--+，令()2ln 1ag x x x=-+， ()1,e a ∈ ，111(,1e ),a a a∴∈∴<，()21()2ln 11)2ln (10g a a a a a a=--+=-++-<， ()2ln 112ln 0g a a a =-+=>， 22()0ag x x x+'=>在(0,)+∞恒成立，故()g x 在(0,)+∞递增，而1lg()0,()0g a a <>，01(,)x a a∴∃∈，使得g 0()0,x =令()0f x '=，有1201,,x a x x x =<=故0(0,)x x ∈时()0f x ¢>，0(,)x x a ∈时()0f x '<，(,)x a ∈+∞时()0f x ¢>，故()f x 在0(0,)x 上递增，在0(,)x a 上递减，在(,)a +∞上递增，∴()f x 极大值2000()()ln ,f x x a x b =->由000()2ln 10,ag x x x =-+=得0002ln ,a x x x =+ 故23004(ln ),b x x <则230028(ln ),ab ax x <01,e 1e x a a<<<< 0e,e a x ∴<<，23233008(ln )8e e 18e ax x ∴<⋅⋅⋅=，328e ,ab ∴<2e <．2．（2024届全国名校大联考高三上学期第一联考）已知函数()2ln f x x ax =+（a ∈R ）． (1)若()0f x ≤在()0,∞+上恒成立，求a 的取值范围：(2)设()()3g x x f x =-，1x ，2x 为函数()g x 的两个零点，证明：121x x <．【过程详解】（1）若()0f x ≤在()0,∞+上恒成立，即2ln xa x≤-，令()2ln x u x x =-，所以()()222ln 122ln x x u x x x --'=-=，所以当0e x <<时，()0u x '<，当e x >时，()0u x '>，所以()u x 在()0,e 上单调递减，在()e,+∞上单调递增，所以()()min 2e eu x u ==-，所以2a e ≤-，即a 的取值范围是2,e ⎛⎤-∞- ⎝⎦．（2）令()0g x =，即22ln 0xx a x--=，令()22ln x h x x a x =--，则()()()3222ln 121ln 2x x x h x x x x +--'=-=，令()3ln 1r x x x =+-，所以()2130r x x x'=+>，所以()r x 在()0,∞+上单调递增，又()10r =，所以当01x <<时，()0r x <，所以()0h x '<，当1x >时，()0r x >，所以()0h x '>，所以()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增．不妨设12x x <，则1201x x <<<，2101x <<，因为()()120h x h x ==，所以()()22212222222212ln 2ln 1111x x h x h h x h x a a x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-=-=----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭22222112ln x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设函数()12ln x x x x ϕ=--（1x >），则()()22211210x x x x xϕ-'=+-=>在()1,+∞上恒成立，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增，所以()()222212ln 10x x x x ϕϕ=-->=，所以()1210h x h x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即()121h x h x ⎛⎫> ⎪⎝⎭．又函数()22ln xh x x a x=--在()0,1上单调递减，所以12101x x <<<，所以121x x <． 3．（2024届山东省青岛市高三上学期期初调研检测）已知1ea ≥，函数()e ln ln xf x a x a =-+.(1)若1a =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)求证：()44f x x ≥-+；(3)若β为()f x 的极值点，点()(),f ββ在圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上.求a .【过程详解】（1）1a =，()e ln xf x x =-，0x >由()11e ln1e f =-=，得切点为()1,e由()1e xf x x'=-，有()1e 1f '=-，即()f x 在点()1,e 处的切线斜率为e 1-，所以()f x 在点()1,e 处的切线方程为：()e 11y x =-+. （2）证明：因为()1e xf x a x '=-(1ea ≥，0x >)，设函数()()g x f x '=，则()21e 0xg x a x '=+>(1e a ≥，0x >)，所以()f x '在()0,∞+上单调递增又因为()212e 02f a '=->，112e2e 1e 2e e 2e 02e a a f a a a a ⎛⎫⎛⎫'=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以存在1,22e a β⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()0f β'=，即1e a ββ=，1e a ββ=，所以，当()0,x ∈β时，()0f x '<，()f x 在()0,β上单调递减；当(),x β∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 在(),β+∞上单调递增；所以()()1e ln ln 2lnf x f a a ββββββ≥=-+=--令()12ln =--h x x x x ，()()()()14432ln 40x h x x x x x xϕ=--+=+-->，则()()()2131x x x x ϕ-+'=，()0x ϕ'<解得01x <<，()0x ϕ'>解得1x >，所以，()x ϕ在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；所以，()()10x ϕϕ≥=，所以，()h x 的图像在44y x =-+的上方，且()h x 与44y x =-+唯一交点为()1,0，所以，()44f x x ≥-+.（3）圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭的圆心坐标为10,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径r =圆心到直线44y x =-+的距离174d ===，所以直线44y x =-+为圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭的切线，由2211741644x y y x ⎧⎛⎫++=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=-+⎩解得切点坐标为()1,0，显然，圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭在直线44y x =-+的下方又因为()44f x x ≥-+，且点()(),f ββ在圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上，则点()(),f ββ即为切点为()1,0，所以1β=，1ea =.4．（2024届湖南省株洲市第二中学教育集团2高三上学期开学联考）已知函数()21e 12xf x x x =---， (1)证明：当0x >时，()0f x >恒成立；(2)若关于x 的方程()sin 2f x xa x x +=在()0,π内有解，求实数a 的取值范围. 【过程详解】（1）函数21()e 12xf x x x =---，0x >，求导得()e 1x f x x '=--，令e 1x y x =--，0x >，求导得e 10x y '=->，则函数()f x '在(0,)+∞上单调递增，()(0)0f x f ''>=，因此函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0f x f >=，所以当0x >时，()0f x >恒成立.（2）设sin y x x =-，()0,πx ∈，则1cos 0y x '=->，则sin y x x =-在()0,π上递增，0y >，即sin 0x x >>，方程()sin 2f x xa x x +=等价于e sin 10x ax x x ---=，()0,πx ∈，令()e sin 1xg x ax x x =---，原问题等价于()g x 在()0,π内有零点，由()0,πx ∈，得2sin x x x <，由（1）知，当12a ≤时，()21e sin 1e 102x xg x ax x x x x =--->--->，当()0,πx ∈时，函数()y g x =没有零点，不合题意；当12a >时，由()e sin 1x g x ax x x =---，求导得()()e cos sin 1xg x a x x x '=-+-，令()()()e cos sin 1x t x g x a x x x '==-+-，则()()e sin 2cos xt x a x x x '=+-，当π[,π)2x ∈时，()0t x '>恒成立，当π(0,)2x ∈时，令()()()e sin 2cos x s x t x a x x x '==+-，则()()e 3sin cos xs x a x x x '=++，因为e 0x >，()3sin cos 0a x x x +>，则()0s x '>，即()t x '在π(0,2上单调递增，又()0120t a '=-<，π2ππ(e 022t a '=+>，因此()t x '在π(0,)2上存在唯一的零点0x ，当()00,x x ∈时，()0t x '<，函数()g x '单调递减，当()0,πx x ∈时，()0t x '>，函数()g x '单调递增，显然()()000g x g ''<=，()ππe π10g a '=+->，因此()g x '在()0,π上存在唯一的零点1x ，且()10,πx x ∈，当()10,x x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当()1,πx x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，又()00g =，()()100g x g <=，由（1）知，21e 112x x x x >++>+，则()ππe π10g =-->，所以()g x 在()10,x 上没有零点，在()1,πx 上存在唯一零点，因此()g x 在()0,π上有唯一零点，所以a 的取值范围是1(,)2+∞.5．（2024届辽宁省十校联合体高三上学期八月调研考试）设方程()22e x x a -=有三个实数根123123,,()x x x x x x <<.(1)求a 的取值范围；(2)请在以下两个问题中任选一个进行作答，注意选的序号不同，该题得分不同.若选①则该小问满分4分，若选②则该小问满分9分.①证明：12(2)(2)4x x --<；②证明：1231231113e2x x x x x x +++++<. 【过程详解】（1）由题意设()()22e x f x x =-（x ∈R ），则()f x '=()2e xx x -，x ∈R ，令()0f x '=，得0x =或2x =，当0x <或2x >时，()0f x ¢>，所以()f x 在(),0∞-，()2,+∞上单调递增；当02x <<时，()0f x '<，所以()f x 在()0,2上单调递减；又()20f =，()04f =，()33e 4f =>，且()()22e 0x f x x =-≥，当x 趋向于+∞时，()f x 也趋向于+∞，又方程()22e x x a -=有三个实数根123123,,()x x x x x x <<，等价于直线y a =与()y f x =的函数图像有三个交点，即04a <<，所以a 的取值范围为()0,4.（2）选①，证明如下：由（1）得：1202x x <<<，则122220x x -<-<-<，设112t x =-，222t x =-，则1220t t <-<<，不妨设121t k t =>，则12t kt =（1k >），又()()1222122e 2e x x x x a -=-=，即12222212e e t t t t a ++==，故22222222e e 0e kt ta k t t ==>，即222e e kt t k =，所以22ln 1k t k=-，212ln 1k k t kt k ==-，1k >，则()()()2222121222ln 2ln 22111k x x t t k k ⎛⎫⎫ ⎪⎛⎫⎪--==⋅==⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎪⎪-⎪⎝⎭⎭，设()l 1n 2x g x x x=-+，1x >，则()()222121=10x g x x x x -'--=-≤，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，即()()10g x g <=，1>，则0<，即，0>2<，故()()212122241x x t t ⎛⎫ ⎪--==<⎪ ⎪⎪⎝⎭. 选②，证明如下：由（1）得：1202x x <<<，则122220x x -<-<-<，设112t x =-，222t x =-，则1220t t <-<<，不妨设121t k t =>，则12t kt =（1k >），又()()1222122e 2e x x x x a -=-=，即12222212e e t t t t a ++==，故22222222e e 0e kt ta k t t ==>，即222e e kt t k =，所以22ln 1k t k=-，212ln 1k k t kt k ==-（1k >），则()()()2222121222ln 2ln 22111k x x t t k k ⎛⎫⎫ ⎪⎛⎫⎪--==⋅==⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎪⎪-⎪⎝⎭⎭1>），设()l 1n 2x g x x x=-+，1x >，则()()222121=10x g x x x x -'--=-≤，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，即()()10g x g <=，1>，则0<，即，0>2<，故()()212122241x x t t ⎛⎫ ⎪--==<⎪ ⎪⎪⎝⎭. 所以()()()12121222244x x x x x x --=-++<，则()12122x x x x <+，又因为1202x x <<<，所以120x x <，从而()12121221121x x x x x x +⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，故121112x x +<①，下证120x x +<，有12122ln 2ln 44011k k kx x t t k k+=++=++<--（1k >），即证1k >时，()()1ln 21k k k +>-，即()214ln 211k k k k ->=-++，即证4ln 21k k +>+（1k >），设()4ln 1h x x x =++（1x >），则()()()()22211411x h x x x x x -'=-=++，当1x >时，()0h x '>，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，则()()12h x h >=，所以120x x +<②，又()()33e 0f f =>，所以得323x <<，设()1x x xϕ=+，（23x <<），则()211x x ϕ'=-，当23x <<时，()0x ϕ'>，所以()x ϕ在()2,3上单调递增，则331103x x +<③，联立①②③得：123123*********e 042362x x x x x x +++++<++=<<，故1231231113e2x x x x x x +++++<. 6．（2024届安徽省江淮十校高三第一次联考）已知函数()2k f x x x=+，0k ≠.(1)讨论()f x 的单调性；(2)设函数()3ln g x x x =-n m ≤<，当13k =-时，证明：()()()()332g m g n f m f n m n -+<-. 【过程详解】（1）解：函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠，()32222k x kf x x x x -='-=，令()0f x '=，则x =①当0k<时，当x <()0f x '<，()f x0x <<时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当0x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；②当0k>时，当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x <<()0f x '<，()f x 单调递减；当x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增.综上：当0k <时，单调增区间为⎫⎪⎪⎭，()0,∞+，单调递减区间为⎛-∞ ⎝；当0k >时，单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为(),0∞-，⎛ ⎝. （2）对任意的m，n ⎫∈+∞⎪⎭，且m n >，令mt n =（1t >），因为()()()()()()()32m n f m f n g m g n -+--()22333311ln 2222m m n m n m n m n n ⎛⎫⎛⎫=-+----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33221133ln 222222n m m m n mn m n m n n=-+-+-+ 323111332ln 22m m m m n m n n n n n mn ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()332331*********ln (1)2ln 2222n t t t t t n t t t t t ⎛⎫⎛⎫=-+----=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()33211111(1)2ln 33132ln 626t t t t t t t t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫≥----=-+---- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 321336ln 16t t t t ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭，记()32336ln 1h t t t t t =-++-，则()22226311113636320h t t t t t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=---'=-+-> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()h t 在()1,+∞单调递增，所以()()10h t h >=，故32336ln 10t t t t-++->，所以()()()()()()()302m n f m f n g m g n -+-->，故()()()()332g m g n f m f n m n-+<-.7．（2024届内蒙古包头市高三上学期调研考试）设函数()()ln 1f x a x =+-，已知2x =是函数()()2y x f x =-的极值点.(1)求a ； (2)设函数()()()()22x f x g x x f x -=-+，证明：()1g x >.【过程详解】（1）由题意可知，()()()()22ln 1y x f x x a x =-=-+-，则()2ln 11xy a x a x-'=+-++-，因为2x =是函数()()2ln 1y x a x =-+-的极值点，所以()ln 120a +-=，解得2a =，经检验满足题意，故2a =；（2）由（1）得()()ln 3f x x =-，(),3x ∞∈-，设()()()22ln 3h x x f x x x =-+=-+-，则()12133x h x x x -'=-=--，当2x <时，203x x ->-，即()0h x '>，所以()h x 在区间(),2-∞单调递增；当23x <<时，203x x -<-，即()0h x '<，所以()h x 在区间()2,3单调递减，因此当(),3x ∞∈-时，()()20h x h ≤=，因为()g x 的定义域要求()f x 有意义，即(),3x ∞∈-，同时还要求()2ln 30x x -+-≠，即要求2x ≠，所以()g x的定义域为{|3x x < 且}2x ≠，要证()()()()212x f x g x x f x -=>-+，因为()20x f x -+<，所以需证()()()22x f x x f x -<-+，即需证()()23ln 30x x x -+-->，令3x t -=，则0t >且1t ≠，则只需证1ln 0t t t -+>，令()1ln m t t t t =-+，则()ln m t t '=，令()ln 0m t t '==，可得1t =，所以()0,1t ∈，()0m t '<；()1,t ∈+∞，()0m t '>；所以()m t 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增，所以()()10m t m >=，即()1g x >成立.8．（2024届北京市景山学校高三上学期开学考试）已知函数())(0)f x x b a =+≠，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是1y x =-.(1)求a 、b 的值； (2)求证：()f x x <；(3)若函数()2()()g x f x t x x =+-在区间(1,)+∞上无零点，求t 的取值范围.【过程详解】（1）()()f x x b '=+由切线方程知()()1110f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即()()1110b b +=+=，注意到0a ≠，解得1a =,0b =.（2）由（1）可知()f x x，若要()f x x x =<且注意到0x >，所以只需ln x < 构造函数()ln h x x =()122h x x x '==，令()0h x '=得4x =，所以()h x 、()h x '随x 的变化情况如下表：()0,4 ()4,+∞()h x '+-()h x所以()h x 有极大值()244ln 42ln 0eh =-=<，综上()0h x <，结合分析可知命题得证. （3）由题意分以下三种情形讨论：情形一：注意到当0t ≥且1x >0x >，()10txx -≥，此时有()0g x >，即()g x 在区间(1,)+∞上无零点，符合题意.情形二：对()2()g x x t x x =+-求导得()()21g xt x x '=+-，所以有()11g t '=+；进一步对()()21g x t x x '=++- 求导得()32ln 24x g x t x-''=+，注意到当1t ≤-且1x >时，有20t <，32ln 04x x-< ，进而有()0g x ''<，所以()g x '单调递减，所以()()110g x g t ''<=+≤，因此()g x 单调递减，故()()10g x g <=，即()g x 在区间(1,)+∞上无零点，符合题意.情形三：由（2）可知1x >lnx <，且注意到当10t -<<时有()()()1()21211212g x t x t x t x '=-<+-<++-成立，所以11(02a g a a -'<-<，此时()110g t '=+>，所以存在011,a x a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00g x '=，且注意到此时有()32ln 204x g x t x -''=+<成立，所以()g x 、()g x '随x 的变化情况如下表：()01,x ()0,x +∞()g x ' +-()g x故一方面当0x x =时，()g x 取极大值（或最大值）()0g x ，显然有()()010g x g >=；ln x <可得()()()22()1g x x t x x x t x x x tx t +-<+-=+-，所以有10a g a -⎛⎫< ⎪⎝⎭，由零点存在定理并结合这两方面可知函数()g x 在区间(1,)+∞上存在零点.综上所述，符合题意的t 的取值范围为(][),10,-∞-⋃+∞.9．（2024届山西省大同市高三上学期质量检测）已知函数2()ln (R)af x ax x a x=--∈． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 的两个极值点分别为1x ，2x，证明：12|()()|f x f x -<．【过程详解】（1）依题意，222122()(0)a ax x af x a x x x x -+'=-+=>，当0a ≤时，()0f x '<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a <<()0f x '>，解得102x a <<或12x a>，令()0f x '<，解得112x a <<，所以()f x在1(0,2a 上单调递增，在11(22a a上单调递减，在)+∞上单调递增；当a ≥时，()0f x '≥，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增．（2）不妨设120x x <<，由（1）知，当04a <<时，()f x 在1(0,)x 上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增，所以1x 是()f x 的极大值点，2x 是()fx的极小值点，所以12()()f x f x >，所以1212|()()|()()f x f x f xf x -=-．由（1）知，122x x =，121x x a+=，则21x xa-==．要证12|()()|f x f x -<1221()())2f x f x x x -<-．因为22121122121112()()()()()ln 222x x xx x f x f x x x a x x a x x x ---+=-+--+⋅2212212111212()2()()ln ln 2x x x x a x x x x x x x x -=-+--=+ 2122112(1)ln 1x x xx x x -=+，设211x t x =>，2(1)()ln 1t g t t t -=++．所以222414()0(1)(1)g t t t t '==>++，所以()g t 在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0g t g >=．所以2112)()()02x x f x f x --+>，即得1221()()()2f x f x x x -<-成立．所以原不等式成立．10．（2024届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期开学测试）已知函数()()111ln f x ax a x x=+--+.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)求证：n *∀∈N ，)21+⋅⋅⋅++>.【过程详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()()()221111ax x a f x a x x x --+'=+-=，当0a ≤时，10ax -<，令()0f x ¢>，解得01x <<，令()0f x '<，解得1x >，所以()f x 在()0,1上单调递增，()1,+∞上单调递减；当01a <<时，令()0f x ¢>，解得01x <<或1x a >，令()0f x '<，解得11x a <<，所以()f x 在()0,1，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；当1a >时，令()0f x ¢>，解得10x a <<或1x >，令()0f x '<，解得11x a <<，所以()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增，1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,1上单调递增，()1,+∞上单调递减；当01a <<时，()f x 在()0,1，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当1a >时，()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增，1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）当0a =时，由（1）可得()()11ln 10f x x f x=--<=，()1x >，因为N n *∈1>，则10<，即11>>所以n ++>-+L L2n =-L2n =-)21=-，即)2ln 1+>L .。

高考函数压轴精典题型以及答案

函数专题训练复习目标：通过对函数综合题的分类，使学生在解函数题中牢固掌握：反函数的求法及其与原函数的关系的应用、函数的单调性、函数的奇偶性、求函数的定义域与值域常用方法、函数的解析式求法、二次函数的根的分布情况的充要条件运用、函数中的新题型的新解法、函数与方程的思想方法等。

重点与难点：反函数、值域、单调性、奇偶性、求解析式、分段函数、根的分布、函数与方程思想方法、函数图象等过程：一、反函数 ●有奖征解① 若函数f(x)的图像过点（0，1），则函数f(x+2)的反函数过定点（1，-2）② 若函数f(x)的图像过（0，1），则)4(1x f --过点（-1，0）； ③若函数f(x)的图像过点（0，1），则f(4-x)的反函数过点（1，4），y=f(4-x)的反函数为)(41x fy --=。

●例子分析例1①已知函数()x x x f +-=121,函数y=g(x)的图像与)1(1--x f 的图像关于直线y=x 对称，则g(x)的解析式为12+-=x xy 。

②给定实数a,a ≠0，且a ≠1，设函数⎪⎭⎫⎝⎛≠∈--=a x R x ax x y 1,11,证明这个函数图关于y=x对称。

① 已知函数()ax x x f ++=12存在反函数，求α的取值。

（α≠1/2）说明：④小题可以据③小题去求，但也可以据通常方法去求。

二、周期性、循环 ● 有奖征解设x 为整数，给出一个流程图如右图：按此流程图计算，刚好处理3次，则输入的x 值是例1（2004年福建省高考）定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x ∈[3，5]时，f(x)=2-|x-4|，则（D ）（A ）f(sin6π)<f(cos 6π) （B ）f(sin1)>f(cos1) 输入x 与y 值用2与x+3的几何平均值代替y开始用x+1代x 表示出x 终了不是是 y 是否大于是x（C ）f(cos32π)<f(sin 32π) （D ）f(cos2)>f(sin2)例2 f(x)定义域为（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k ∈Z,用I k 表示区间(]12,12+-k k ，已知当x ∈I 0时，f(x)=x 2, ① 求f(x)在I k 上的解析式；② 对自然数k ，求集合M k ={a|使方程f(x)=ax 在I k 上有两个不同的实根}。

高考数学专题《函数的奇偶性与单调性》填选压轴题及答案

因为
故函数的图象关于直线对称，则函数在上为减函数，
所以，，
，则，即，
，则，则，即，
因此， .
故选：B.
【巩固训练】
1．若函数为偶函数，则实数 =
2.设函数，则使得成立的的取值范围是（）．
A． B．
C． D．
3.已知函数，则满足的实数x的取值范围是．
4.已知函数，若，则实数的取值范围__________.
【解析】设，则奇函数，且单增，而，由得即，故，解之得 .
5.【答案】
【解析】在上单调递增，在上单调递增，且，在R上单调递增，
因此由得，故答案为：
6.【答案】A
【解析】，该函数的定义域为，
，所以，函数为偶函数，
当时，，
任取，，则，，
所以，，
，，即，
【分析】构造函数，判断函数的奇偶性与单调性，将所求不等式转化为，即，再利用函数单调性解不等式即可.
【解析】，
令，则，可得是奇函数，
又，
又利用基本不等式知当且仅当，即时等号成立；
当且仅当，即时等号成立；
故，可得是单调增函数，
由得，
即，即对恒成立.
当时显然成立；当时，需，得，
【解析】因为，
所以是上的奇函数，
，
，
所以是上的增函数，
等价于，
所以，所以，
令，则，
因为且定义域为，
所以是上的偶函数，
所以只需求在上的最大值即可.
当时，，，
则当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，

2025届高考数学复习：压轴好题专项(三次函数)练习(附答案)

2025届高考数学复习：压轴好题专项(三次函数)练习1.（2024届江苏省镇江市丹阳市高三上学期期初检测）已知函数()()3222f x x mx m x m =-+∈R 在6x =处有极小值. (1)求m 的值；(2)求函数()y f x =在[]0,t 上的最大值.2.（2023河南省新未来3月联考）已知函数()()3211132f x x a x ax =+--． (1)若2a =，求函数()f x 的极值；(2)当1a >时，若对0x ∀≥，()e 0xf x x b ++≥恒成立，求4b a -的最小值．3．（2023届安徽省卓越县中联盟高三上学期第一次联考）已知函数()3223=+f x x ax ，a ∈R ．(1)若()f x 在[]1,3-上的值域为[]8,0-，求()f x 在R 上的单调区间；(2)若函数()()()6cos 6sin g x f x x a x x =++-，则当0a ≥时，求()g x 的零点个数．4．（2023届湖南省湘潭市部分学校高三上学期期末联考）已知函数()313f x mx kx =-，其中,m k ∈R ．(1)当1k =时，求函数()f x 的单调区间；(2)已知函数()2ln g x x x =-(e 是自然对数的底数)，若0k ∀>，曲线()y f x '=与曲线()y g x =都有唯一的公共点，求实数m 的取值范围．5．（2023届北京市第五中学高三下学期3月检测）设函数()()23f x x x x a =-+，R a ∈(1)当9a =-时，求函数()f x 的单调增区间；(2)若函数()f x 在区间()1,2上为减函数，求a 的取值范围；(3)若函数在区间()0,2内存在两个极值点1x ，2x ，且()()()()2121f x f x f x f x ->+，求a 的取值范围. 6．已知函数32()1f x x ax bx =+++（0,a b R >∈）有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．(1)求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； (2)求证：23b a >；(3)若(),()f x f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．7．已知()3222,f x x ax a x a =+-+∈R .(1)当a<0时，求函数()y f x =的单调减区间；(2)当0a =时，曲线()y f x =在相异的两点,A B 点处的切线分别为1l 和21,l l 和2l 的交点位于直线2x =上，证明：,A B 两点的横坐标之和小于4.8．（2024届江西省稳派上进教育高三上学期摸底考试）已知函数()321132f x x x ax =++，()1e ln x g x x x x -=+，()f x '，()g x '分别为()f x ，()g x 的导函数，且对任意的(]10,1x ∈，存在(]20,1x ∈，使()()122f x g x ''≤-．(1)求实数a 的取值范围；(2)证明：0x ∀>，有()()'≥g x f x ．9.已知函数()331f x x ax =++,[]1,1x ∈-,a R ∈,（1）若函数()f x 在区间[]1,1-上不单调,求a 的取值范围；（2）求()f x 的最大值；（3）若()1f x b +≤对任意[]1,1x ∈-恒成立,求a b +的取值范围．10.已知函数32()3f x x x ax b =-++在1x =-处的切线与x 轴平行．（1）求a 的值和函数()f x 的单调区间；（2）若函数()y f x =的图象与抛物线231532y x x =-+恰有三个不同交点,求b 的取值范围． 11.已知函数.0)0,(,2)(,)()(22<-∞∈=-=a x x a x g a x x x f 且（1）（i ）求函数)()(x g y x f y ==与的图象的交点A 的坐标；（ii ）设函数)(),(x g y x f y ==的图象在交点A 处的切线分别为,,21l l 是否存在这样的实数a, 使得21l l ⊥？若存在,请求出a 的值和相应的点A 坐标；若不存在,请说明理由. （2）记[)0,1)(-=在x f y 上最小值为F （a ）,求aa F )(的最小值. 12.已知函数32()1f x x ax bx =-+++在1x =时有极小值. (1)当4a =时,求()f x 在0x =处的切线方程；(2)求()f x 在33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.13.已知函数()3222312f x x ax a x =+-,其中a ∈R ．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)设函数()f x 在区间2,2a a ⎡⎤⎣⎦上的最大值为()g a ,证明：()32g a <．14.已知函数()3221f x x ax a x =---,其中0a <.（1）求曲线()y f x =在点()(),a f a 处的切线方程；（2）若存在实数t ,使得不等式()0f x <的解集为(),t -∞,求a 的取值范围.15.已知函数()()33R f x x ax a a =-+∈．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 在区间[]0,3上的最大值与最小值之差为()g a ,求()g a 的最小值． 16.已知函数3211()()32f x x ax a =-∈R 在[]0,1上的最小值为16-．（1）求a 的值；（2）讨论函数()()2()g x f x x b b =-+∈R 的零点个数．参考答案1.（2024届江苏省镇江市丹阳市高三上学期期初检测）已知函数()()3222f x x mx m x m =-+∈R 在6x =处有极小值. (1)求m 的值；(2)求函数()y f x =在[]0,t 上的最大值.【过程详解】（1）因为()3222f x x mx m x =-+，则()()()22343x mx m f x x m x m =-+'=--，又因为()f x 在6x =处有极小值，则()()()61860f m m '=--=，解得6m =或18m =，（i ）当6m =时，则()()()326f x x x -'=-，当(),2x ∈-∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当()2,6x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()6,x ∞∈+时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以当6x =时，()f x 取得极小值，符合题意；（ii ）当18m =时，()()()3618f x x x '=--，当(),6x ∈-∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当()6,18x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()18,x ∞∈+时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以当6x =时，()f x 取得极大值，不符合题意，舍去综上所述：6m =.（2）由（1）可知：()321236f x x x x =-+，且()f x 在[)()0,2,6,+∞上单调递增，在()2,6上单调递减，()()8232f f ==，如图所示：又因为[]0,x t ∈，则有：（i ）当02t <≤时，则()f x 在[]0,t 上单调递增，所以函数()y f x =在[]0,t 上的最大值为()()32max 1236f x f t t t t ==-+⎡⎤⎣⎦；（ii ）当28t <≤时，结合图象可知：函数()y f x =在[]0,t 上的最大值为()()max 232f x f ==⎡⎤⎣⎦；（iii ）当8t >时，则()f x 在[)(]0,2,6,t 上单调递增，在()2,6上单调递减，且()()8f t f >，所以函数()y f x =在[]0,t 上的最大值为()()32max 1236f x f t t t t ==-+⎡⎤⎣⎦；综上所述：()(]()(]32max1236,0,28,32,2,8t t t t f x t ∞⎧-+∈⋃+⎪⎡⎤=⎨⎣⎦∈⎪⎩. 2.（2023河南省新未来3月联考）已知函数()()3211132f x x a x ax =+--． (1)若2a =，求函数()f x 的极值；(2)当1a >时，若对0x ∀≥，()e 0xf x x b ++≥恒成立，求4b a -的最小值．【过程详解】（1）若2a =，可得()3211232f x x x x =--，有()()()2212f x x x x x =--=+-'，令()0f x '<，可得12x -<<，令()0f x ¢>，则1x <-或2x >，故函数()f x 的增区间为(),1-∞-，()2,+∞，减区间为()1,2-，函数()f x 的极小值为()1023f =-，极大值为()716f -=；（2）令()()()e 0xg x x x x f b =++≥，有()()()()()()()()211e 11e 1e x x xg x a x a x x x a x x x a x '=+--++=+-++=++-，由函数()e x h x x a =+-单调递增及()010h a =-<，()e 0ah a =>，可知存在()0,m a ∈，使得()0h m =，即e m a m =+，当x >m 时，()0g x '>，当0x m <<时，()0g x '<，所以函数()g x 的减区间为[)0,m ，增区间为(),m +∞，可得()()()32min 111e 32mg m m a m am m b g x ==+--++()()32322111111e e e e 32622m m m m m m m m m m b m m m b =+---+++=---+，由0x ∀≥，()e 0xf x x b ++≥恒成立，有()0g m ≥，可得322111e 622mb m m m ≥++，有()3221114e 4e 622mm b a m m m m -≥++-+，可得3221114e 44e 622mm b a m m m m -≥++--，令()()322111e 44e 0622xx x x x x x x ϕ=++-->，有()()()2221112e 44e 4e 1222x x x x x x x x x x ϕ⎛⎫'=+++--=+-+ ⎪⎝⎭()()()124e 12x x x =-++，令()0x ϕ'>，则2x >，令()0x ϕ'<，则02x <<，所以函数()x ϕ的减区间为()0,2，增区间为()2,+∞，所以()()222414222e 84e 2e 33x ϕϕ≥=++--=--，故4b a -的最小值为2142e 3--． 3．（2023届安徽省卓越县中联盟高三上学期第一次联考）已知函数()3223=+f x x ax ，a ∈R ．(1)若()f x 在[]1,3-上的值域为[]8,0-，求()f x 在R 上的单调区间；(2)若函数()()()6cos 6sin g x f x x a x x =++-，则当0a ≥时，求()g x 的零点个数．【过程详解】（1）因为()3223=+f x x ax ，所以2()666()f x x ax x x a '=+=+，令()0f x '=，解得0x =或x a =-，当0a ->，即a<0时，令()0f x '<，得0x a <<-；令()0f x '>，得0x <或x a >-；所以()f x 在(),0∞-，(),a -+∞上单调递增，在()0,a -上单调递减，此时0x =是()f x 的极大值点；当0a -<，即0a >时，令()0f x '<，得0a x -<<；令()0f x '>，得x a <-或0x >；所以()f x 在(),0a -上单调递减，在(),a -∞-，()0,∞+上单调递增，此时0x =是()f x 的极小值点；当0a =时，()0f x '≥恒成立，则()f x 在[]1,3-上单调递增，此时()32f x x =，易得()12f -=-，()354f =，不满足题意；又(0)0f =，()f x 在[]1,3-上的值域为[8,0]-，所以()f x 在[]1,3-上的最值为(0)0f =，故0x =是()f x 的极大值点，所以a<0，此时，有()8f a -=-或(1)8f -=-两种情况，都有2a =-，故2a =-满足题意，所以由上述分析可知，()f x 的单调递增区间为(),0∞-和()2,+∞，单调递减区间为()0,2．（2）令()sin t x x x =-，则()1cos 0t x x =-≥'，所以()t x 在R 上单调递增，又()00t =，所以当0x >时，()0t x >，即sin x x >，当0x <时，()0t x <，即sin x x <；因为()()()()326cos 6sin 236cos 6sin g x f x x a x x x ax x a x x =++-=+++-，令()0g x =，则()3211cos sin 032x ax x a x x +++-=，令()()3211cos sin 32h x x ax x a x x =+++-，则()()()sin h x x x x a ='-+，令()0h x '=，解得0x =或x a =-．①若0a =，则()()sin 0h x x x x =-≥'，此时()hx 在R 上单调递增．又()00h =，所以()h x 有且仅有1个零点，即()g x 有且仅有1个零点．②若0a >，0a -<，则当(),x a ∈-∞-时，()0h x '>，当(),0x a ∈-时，()0h x '<，当()0,x ∈+∞时，()0h x '>，故()h x 在(),a -∞-上单调递增，在(),0a -上单调递减，在()0,∞+上单调递增，则()(0)0h a h a ->=>，故()h x 在(),a -+∞上没有零点，下证3302h a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭．当x a <-时，0x a +<．因为cos 1x ≥-，所以()()cos x a x x a +≤-+．因为sin x x >，所以sin x x -<-，所以()()32323211111122323232h x x ax x a x x ax x a x ax x <+-+-=+--<+-213632x x ax ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以3913310222h a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--<-++< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．从而()h x 在33,2a a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭上有唯一零点，所以()h x 在(),a -∞-上有唯一零点，在(),a -+∞上没有零点，综上所述，当0a ≥时，()h x 有且仅有1个零点，故()g x 有且仅有1个零点．4．（2023届湖南省湘潭市部分学校高三上学期期末联考）已知函数()313f x mx kx =-，其中,m k ∈R ．(1)当1k =时，求函数()f x 的单调区间；(2)已知函数()2ln g x x x =-(e 是自然对数的底数)，若0k ∀>，曲线()y f x '=与曲线()y g x =都有唯一的公共点，求实数m 的取值范围．【过程详解】（1）因为1k =，所以()331133f x mx kx mx x =-=-，所以()2f x m x '=-，当0m ≤时，()20f x m x '=-≤，所以()f x 在R 上单调递减；当0m >时，令()0f x '<，得x <或x >；令()0f x ¢>，得x <<所以()f x 在(,-∞和)+∞上单调递减，在(上单调递增；综上：当0m ≤时，()f x 的单调递减区间为R ；当0m >时，()f x 的单调递减区间为(,-∞和)+∞，单调递增区间为(.（2）因为()313f x mx kx =-，所以()2f x m kx '=-，因为0k ∀>，曲线()y f x '=与曲线()y g x =都有唯一的公共点，所以0k ∀>，方程22ln m kx x x -=-有唯一解，即方程22ln kx x x m +-=有唯一解，令()()22ln 0x kx x x x ϕ=+->，则()222221kx x x kx x xϕ-+'=+-=，对于222y kx x =-+，当1160k ∆=-≤，即116k ≥时，()0x ϕ'≥，故函数()x ϕ在R 上单调递增，易知，当x 趋向于0时，ln y x =趋向于无穷小，2y kx x =-趋向于0，故()22ln x kx x x ϕ=+-趋向于无穷小；当x 趋向于无穷大时，ln y x =趋向于无穷大，2y kx x =-趋向于无穷大，故()22ln x kx x x ϕ=+-趋向于无穷大；所以()x ϕ的值域为R ，所以R m ∀∈，()x ϕ与y m =有且只有一个交点，满足题意；当1160k ∆=->，即1016k <<时，2220kx x -+=有两个实根12,x x ，且12182x x k +=>，12116x x k =>，若124x x <<，则当10x x <<或2x x >时，()0x ϕ'>，当12x x x <<时，()0x ϕ'<，所以()x ϕ先增后减再增，存在一个极大值和一个极小值，要使22ln kx x x m +-=有唯一实数根，则m 大于()x ϕ的极大值或小于()x ϕ的极小值，记3x 为极大值点，则304x <<，()233332ln x kx x x m ϕ=+-<恒成立，又233220kx x -+=，即23322kx x =-，则()x ϕ的极大值为()()2333333333112ln 22ln 2ln 122x kx x x x x x x x ϕ=+-=--+=--，令()()12ln 1042m x x x x =--<<，则()2102m x x '=->，故()m x 在()0,4上单调递增，故()()44ln 23m x m <=-，则()34ln 23x ϕ<-，故4ln 23m ≥-，记4x 为极小值点，则44x >，()244442ln x kx x x m ϕ=+->恒成立，又244220kx x -+=，即24422kx x =-，则()x ϕ的极小值为()44412ln 12x x x ϕ=--，令()()12ln 142n x x x x =-->，则()2102n x x '=-<，故()n x 在()4,+∞上单调递减，因为()4M ∀-<-，即4M >，取e 4M x =>，则()11e2ln ee 12e 122MMM M n M =--=--，所以()1e 3e 12M M n M M +=--，令()()13e 142x h x x x =-->，则()13e 02xh x '=-<，所以()h x 在()4,+∞上单调递减，故()()41412e 102h x h <=-⨯-<，所以()e0Mn M +<，即()e Mn M <-，所以()n x 趋向于无穷小，则()4x ϕ趋向于无穷小，所以不存在R m ∈，使得24442ln kx x x m +->恒成立；若124<<x x ，记5x 为极大值点，则54x >，同理可得()255552ln x kx x x m ϕ=+-<恒成立，因为()n x 在()4,+∞上单调递减，所以()()44ln 23n x n <=-，则()54ln 23x ϕ<-，故4ln 23m ≥-，记6x 为极小值点，则64x >，同理可得不存在R m ∈，使得26662ln kx x x m +->恒成立；综上：要使0k ∀>，曲线()y f x '=与曲线()y g x =都有唯一的公共点，4ln 23m ≥-，即m 的取值范围为[)4ln 23,-+∞.5．（2023届北京市第五中学高三下学期3月检测）设函数()()23f x x x x a =-+，R a ∈(1)当9a =-时，求函数()f x 的单调增区间；(2)若函数()f x 在区间()1,2上为减函数，求a 的取值范围；(3)若函数在区间()0,2内存在两个极值点1x ，2x ，且()()()()2121f x f x f x f x ->+，求a 的取值范围. 【过程详解】（1）当9a =-时，239()()f x x x x =--，则2()3693(1)(3)f x x x x x ==+'---，由()0f x '>解得：1x <-或3x >，所以函数()f x 的单调增区间是(,1)-∞-，(3,)+∞.（2）函数2())3(f x x a x x =-+，则2()36f x x x a '=-+，因函数()f x 在区间()1,2上为减函数，则(1,2)x ∀∈，()0f x '≤成立，即(1,2)x ∀∈，2236036x x a a x x -+≤⇔≤-+，显然236x x -+在()1,2上单调递减，即(1,2)x ∀∈，2360x x -+>，则0a ≤，所以a 的取值范围是0a ≤.（3）由(2)知，2()36f x x x a '=-+，因函数()f x 在区间()0,2内存在两个极值点1x ，2x ，则()0f x '=在区间()0,2内有两个不等根1x ，2x ，即有(0)(2)0(1)30f f a f a '''==>⎧⎨=-+<⎩，解得0<<3a ，且有12122,3a x x x x +==，不妨令1202x x <<<，则123()())(f x x x x x '=--，当10x x <<或22x x <<时，()0f x '>，当12x x x <<时，()0f x '<，则()f x 在1x 处取得极大值1()f x ，在2x 取得极小值2()f x ，显然，12()()f x f x >，由1212()()()()f x f x f x f x ->+两边平方得12()()0f x f x ⋅<，而2211112222()()()03)3(x x x a x x x f f x a x -+-+⋅=⋅<，即221122()()330x x a x x a +-+<-，整理得：22212121212121212()3()[()2]93()0x x x x x x a x x x x x x a x x a -+++-+-++<，把12122,3a x x x x +==代入上述不等式并整理得：2409a a -<，解得904a <<，综上得904a <<，所以实数a 的取值范围是904a <<. 6．已知函数32()1f x x ax bx =+++（0,a b R >∈）有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点． (1)求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； (2)求证：23b a >；(3)若(),()f x f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．【过程详解】（1）因为32()1f x x ax bx =+++所以2()32f x x ax b '=++，令()()g x f x '=，所以()62g x x a =+' 令()0g x '=，解得3ax =- 由于当3a x >-时，()0g x '>，所以()()g x f x '=在3ax >-时为单调递增；当3a x <-时，()0g x '<，所以()()g x f x '=在3ax <-时为单调递减；所以()f x '的极小值点为3ax =-；由于导函数()f x '的极值点是原函数()f x 的零点，所以(03a f -=，即33102793a a ab-+-+=，所以2239a b a=+；因为()f x 有极值，所以2()32f x x ax b '=++有两个不等的实根，所以24120a b >﹣，即21093a a>-，解得3a >，所以223(3).9a b a a=+>（2）证明：由（13).a =+>设函数23()9t h t t =+，则22227()9t h t t -'=；当t ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0h t '>，所以()h t 在t ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增；又因为3a >，所以2>>，故(h h >=>因此23b a >.（3）设()f x 的极值点是12,x x ，由（1）知，12122,33a b x x x x +=-=，所以22212469a b x x -+=所以323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++即2222121212121212()()()()()()2f x f x x x x x x x a x x b x x +=++-+++++整理得31242()()20273a abf x f x +=-+=所以函数()f x 的两个极值之和为0，()f x '的极值为2213339a a f b a a ⎛⎫-=-=-'+ ⎪⎝⎭，设(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和为()a ϕ，所以213(),(3)9a a a a ϕ=-+>，而223()09a a a ϕ'=--<；即()a ϕ在()3,+∞上单调递减，而7(6)2ϕ=-，所以由())a ϕϕ≥(6，即得6a ≤；因此a 的取值范围为(]3,6.7．已知()3222,f x x ax a x a =+-+∈R .(1)当a<0时，求函数()y f x =的单调减区间；(2)当0a =时，曲线()y f x =在相异的两点,A B 点处的切线分别为1l 和21,l l 和2l 的交点位于直线2x =上，证明：,A B 两点的横坐标之和小于4. 【过程详解】（1）()f x 的定义域为R ，()()()22323f x x ax a x a x a '=+-=-+，0a < ，()0f x '∴<的解集为,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故函数()y f x =的单调减区间为,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）证明：当0a =时，()32f x x =+，()23f x x '=，设()()331122,2,,2A x x B x x ++，12x x ≠，点A 处切线方程为()()3211123y x x x x -+=-，点B 处切线方程为()()3222223y x x x x -+=-，故()()()()23231112223232xx x xx x x x -++=-++，解得()()2212121223x x x x x x x ++=+，故两切线交点的横坐标为()()2212121223x x x x x x +++，由题意()()22121212223xx x x x x ++=+()221212123x x x x x x ∴++=+，结合12x x ≠，()()221212121232x x x x x x x x +⎛⎫∴+-+=< ⎪⎝⎭，解得1204x x <+<.故A ，B 两点的横坐标之和小于4.8．（2024届江西省稳派上进教育高三上学期摸底考试）已知函数()321132f x x x ax =++，()1e ln x g x x x x -=+，()f x '，()g x '分别为()f x ，()g x 的导函数，且对任意的(]10,1x ∈，存在(]20,1x ∈，使()()122f x g x ''≤-．(1)求实数a 的取值范围；(2)证明：0x ∀>，有()()'≥g x f x ．【过程详解】（1）因为()321132f x x x ax =++，所以()221124f x x x a x a ⎛⎫'=++=++- ⎪⎝⎭，所以()f x '在区间(]0,1上单调递增，故()()max 12f x f a ''==+．因为()1e ln x g x x x x -=+，所以()()111ee ln 11e ln 1x x x g x x x x x ---'=+++=+++．令()()11e ln 1x h x x x -=+++，则()()112e x h x x x-'=++，又(]0,1x ∈，所以()0h x '>，故()g x '在区间(]0,1上单调递增，所以()()max 13g x g ''==．又对任意的(]10,1x ∈，存在(]20,1x ∈，使()()122f x g x ''≤-，所以()()max max 2f x g x ''≤-，即232a +≤-，解得1a ≤-，故实数a 的取值范围为(],1-∞-．（2）令()1e-=-x s x x ，0x >，则()1e 1-'=-x s x ．令()0s x '=，解得1x =，则当()0,1x ∈时，()0s x '<，()s x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0s x '>，()s x 单调递增，所以()()10s x s ≥=，即1e x x -≥（当且仅当1x =时，等号成立）．令()1ln 1F x x x =+-，则()22111x F x x x x-'=-=．令()0F x '=，解得1x =，则当()0,1x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增，所以()()10F x F ≥=，即1ln 1x x≥-+（当且仅当1x =时，等号成立），故11eln 1x x x x-+≥-+（当且仅当1x =时，等号成立）．又0x >，所以12e ln 1x x x x x x -+≥+-．因为1a ≤-，所以221x x x x a +-≥++，故12e ln x x x x x x a -+≥++，即()()'≥g x f x ．9.已知函数()331f x x ax =++,[]1,1x ∈-,a R ∈,（1）若函数()f x 在区间[]1,1-上不单调,求a 的取值范围；（2）求()f x 的最大值；（3）若()1f x b +≤对任意[]1,1x ∈-恒成立,求a b +的取值范围．【过程详解】（1）由题意可知,函数()f x 在()1,1-上有极值点, ()331f x x ax =++ ,则()233f x x a '=+,所以,函数()f x '在()1,0-上递减,在()0,1上递增, 所以,()()1330030f a f a ⎧=+>⎪⎨=<''⎪⎩,可得10a -<<；（2）若1a ≤-时,对任意的[]1,1x ∈-,()0f x '≤,()f x 在[]1,1-上递减,()130f a -=->,()123f a =+,()()()2222112391240f f a a a --=+-=+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦, 所以,()()11f f <-,则()()max 13f x f a =-=-；若0a ≥,对任意的[]1,1x ∈-,()0f x '≥,()f x 在[]1,1-上递增,()13f a -=-,()1230f a =+>,()()()2222112391240f f a a a --=+-=+>⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,所以,()()11f f >-,则()()max 123f x f a ==+；若10a -<<,由()0f x '>,可得1x -<<1x <；由()0f x '<,可得<<x则()f x 在(1,-上递增,在(上递减,在)上递增；()130f a -=->,(21f =-,21f=,()123f a =+．因为()()3331312f x f x x ax x ax +-=++--+=,所以,函数()f x 关于()0,1对称,())212121f f=-=+≥=,则(){}max a 21,2x 3m a f x -=+,若213a -<≤-,230a +≤,()()()()212321232330a a a --+=-+++=-+>,则(){}max 1m 3ax 22,21f x a -+=-+=；若2134a -<≤-,230a +>,()()()22123101a --+=≥,则2123a -≥+,则()max 21x f -=；若104a -<<,230a +>,()()()22123101a --+=<+,则2123a -<+,则()max 23f x a =+.综上()max3,1121,14123,4a a f x a a a ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<≤-⎨⎪⎪+>-⎪⎩；（3）先考虑必要性,若()1f x b +≤对任意[]1,1x ∈-恒成立, 首先必须满足()()max min 2-≤f x f x .①若1a ≤-,()()()max min 332622f x f x a a a -=--+=--≤,可得23a ≥-,不合乎题意； ②若0a ≥,()()()max min 323622f x f x a a a -=++=+≤,解得0a ≤,此时0a =；③若10a -<<时,(()()4211622f f f f a ⎧-=-≤⎪⎨--=+≤⎪⎩,解得0a ≤,此时0a ≤<.综上0a ≤,此时函数()f x在1,⎡-⎣上单调递增,在(上单调递减,在⎤⎦上单调递增. 若104a -≤≤,由（2）可知,()max 23f x a =+,则()()min 13f x f a =-=-,由()()maxmin11f x bf x b⎧+≤⎪⎨+≥-⎪⎩,则231141231b aa ab aa b++≤⎧⇒-+≤+≤--⎨-+≥-⎩,所以12,2a b⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦若14a-≤,则()max21f x=-,()min21f x=,由()()maxmin11f x bf x b⎧+≤⎪⎨+≥-⎪⎩,则211211bb⎧-+≤⎪⎨+≥-⎪⎩,则222a ab a--++≤≤令12t⎡⎢⎣,则3232222t t a b t t--≤+≤--,对于函数()3222g t t t=-+-,()()2622310g t t t t t'=-=->对任意的12t⎡∈⎢⎣恒成立,所以,函数()g t在12⎡⎢⎣上单调递增,所以,()min122g t g⎛⎫==-⎪⎝⎭,对于函数()232h t t t=--,()2260h t t t'=--<对任意的12t⎡∈⎢⎣恒成立,所以,函数()h t在区间12⎡⎢⎣上单调递减,则()max1122h t h⎛⎫==-⎪⎝⎭,因此,12,2a b⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦.综上：12,2a b⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦.10.已知函数32()3f x x x ax b=-++在1x=-处的切线与x轴平行．（1）求a的值和函数()f x的单调区间；（2）若函数()y f x=的图象与抛物线231532y x x=-+恰有三个不同交点,求b的取值范围．【过程详解】（1）由已知得2()36f x x x a'=-+,∵在1x=-处的切线与x轴平行∴(1)0f'-=,解得9a=-．这时2()3693(1)(3)f x x x x x==+'---由()0f x'>,解得3x>或1x<-；由()0f x'<,解13x-<<．∴()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞；单调减区间为(1,3)-．（2）令23239()()1536322g x f x x x x x x b ⎛⎫=--+=-++- ⎪⎝⎭,则原题意等价于()g x 图象与x 轴有三个交点．∵2()3963(1)(2)g x x x x x '=-+=--, ∴由()0g x '>,解得2x >或1x <；由()0g x '<,解得12x <<．∴()g x 在1x =时取得极大值1(1)2g b =-；()g x 在2x =时取得极小值(2)1g b =-．依题意得1210b b ⎧->⎪⎨⎪-<⎩,解得112b <<．故b 的取值范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．11.已知函数.0)0,(,2)(,)()(22<-∞∈=-=a x x a x g a x x x f 且（1）（i ）求函数)()(x g y x f y ==与的图象的交点A 的坐标；（ii ）设函数)(),(x g y x f y ==的图象在交点A 处的切线分别为,,21l l 是否存在这样的实数a, 使得21l l ⊥若存在,请求出a 的值和相应的点A 坐标；若不存在,请说明理由.（2）记[)0,1)(-=在x f y 上最小值为F （a ）,求aa F )(的最小值. 【过程详解】（I ）（i ）设点A 的坐标为022(,2)(),,(2222=++-=-a x a a x x a a x x y x 得由得.2,2;8,2,2,232231121a y a x a y a x a x a x ======时当时且当故函数)(x f y =与)(x g y =图象的交点A 坐标为)2,2(),8,2(33a a a a（ii ）,43)(',)('22a ax x x f ax x g +-==若存在a,使得.21l l ⊥则当点A 坐标为,12(')2(',8,2(3-=⋅af ag a a 时又8)243(2)2(')2('4222a a a a a a a f a g -=+-⨯⋅⋅=⋅,则8,0,1844-=<=a a a 故又,此时点A 坐标为)22,28(44--当点A 坐标为,1)2(')2(',)2,2(3-=⋅a f a g a a 时又422210)843()2()2(')2('a a a a a a a f a g =+-⨯⋅⋅=⋅, 则1104-=a ,无解.综上,存在)22,28(,,844214--⊥-=A l l a 此时使得（2）令,2742,3.,30)('322321a x a ax x a x a x a x x f =+-====时当得整理得 )(274,03)(34(32x f y a y a x a x ===--与即直线图象另一交点横坐标.34a x =结合图象可得：（1）若;)1()1()()(,3,132min +-=-==-<-<a f x f a F a a时即（2）若;274)3()()(,433,31343min a a f x f a F a a ===-<≤-≤-<时即（3）若.)1()1()()(,043,1342min +-=-==<≤--≥a f x f a F a a 时即综上⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫⎢⎣⎡--∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡---∞∈+-=43,3,2740,43)3,(,)1()(32a a a a a F所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫⎢⎣⎡--∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡---∞∈---=43,3,2740,43)3,(,21)(2a a a a a a a F当,1212)1()(21)(,0,43)3,(≥--+-=---=⎪⎭⎫⎢⎣⎡---∞∈a a a a a a F a 时且当43-=a 时取到“=”；当⎪⎭⎫⎢⎣⎡--∈43,3a 时,函数2274)(a a a F =单调递减,此时.121)(>a a F 综上,.121)((min =a a F 12.已知函数32()1f x x ax bx =-+++在1x =时有极小值. (1)当4a =时,求()f x 在0x =处的切线方程；(2)求()f x 在33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.【过程详解】 (1)因为函数32()1f x x ax bx =-+++在1x =时有极小值, 故2()32f x x ax b '=-++,(1)320f a b '=-++=,解得：23a b +=. 当4a =时,5b =-,故32()451f x x x x =-+-+,2()385f x x x '=-+-, 则(0)1,(0)5f f '==-,则()f x 在0x =处的切线方程为：15(0)y x -=--,整理得：510x y +-=. 故()f x 在0x =处的切线方程为510x y +-=.(2)由（1）得2()32f x x ax b '=-++,且23a b +=, 故2()3(3)(1)(332)f x x b x b x x a '=-+-+=--+-, 令()0f x '=,解得12231,3a x x -==, 因为32()1f x x ax bx =-+++,所以(1)3f a =-,(3)1519f a -=+,3317(248f a =-+.又函数()f x 在1x =时有极小值,当2313a -<时,23(,3a x -∈-∞或(1,)+∞,()0f x '<,函数()f x 单调递减, 当23(,1)3a x -∈时,()0f x '>,函数()f x 单调递增, 故函数()f x 在11x =有极大值,与题意不符,故12x x <,即2313a ->,即3a >,所以,当(,1)x ∞∈-或23(,)3a -+∞,()0f x '<,函数()f x 单调递减,当23(1,3a x -∈时,()0f x '>,函数()f x 单调递增, 故函数()f x 在2233a x -=有极大值. 当23332a -≥,即154a ≥时,函数()f x 在区间[)3,1-单调递减,在区间31,2⎛⎤⎥⎝⎦单调递增,故在区间33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上得最小值为min ()(1)3f x f a ==-, 当233132a -<<,即1534a <<时,函数()f x 在区间[)3,1-和233,32a -⎛⎤⎥⎝⎦单调递减,在区间231,3a -⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,且3317(248f a =-+,(1)3f a =-, 37(1)(284a f f -=-. 故当732a <≤时,3(1)()02f f -≥,min 3176()()28a f x f -==, 当71524a <<时,3(1)(02f f -<,min ()(1)3f x f a ==-. 综上所述：当732a <≤时,函数()f x 在33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为1768a -, 当72a <时,函数()f x 在33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为3a -. 13.已知函数()3222312f x x ax a x =+-,其中a ∈R ．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)设函数()f x 在区间2,2a a ⎡⎤⎣⎦上的最大值为()g a ,证明：()32g a <．【过程详解】 (1)因为()3222312f x x ax a x =+-,R x ∈,所以()()()22661262f x x ax a x a x a '=+-=+-．①若0a >,当2a x a -<<时,()0f x '<；当2x a <-或x a >时,()0f x '>．即()f x 在()2,a a -上单调递减,在(),2a -∞-和(),a +∞上单调递增；②若0a =,恒有()0f x '≥．即()f x 在定义域R 上单调递增；③若0a <,当2a x a <<-时,()0f x '<；当x a <或2x a >-时,()0f x '>．即()f x 在(),2a a -上单调递减,在(),a -∞和()2,a -+∞上单调递增；综上,当0a >时,函数()f x 的单调递减区间为()2,a a -,单调递增区间为(),2a -∞-,(),a +∞；当0a =时,函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞；当0a <时,函数()f x 的单调递减区间为(),2a a -,单调递增区间为(),a -∞,()2,a -+∞．(2)由题意,有22a a <,∴()0,2a ∈．由（1）知①当12a ≤<时,()f x 在2,2a a ⎡⎤⎣⎦上单调递增．∴()()32432g a f a a ==<．②当01a <<时,()f x 在)2,a a ⎡⎣上单调递减,在(],2a a 上单调递增．由()324f a a =,01a <<,∴()024f a <<；又()()26544223122312f a a a a a a a =+-=+-．∵01a <<,∴223120a a +-<．∴()20f a <． ∴()()324432g a f a a ==<<．综上,有()32g a <．14.已知函数()3221f x x ax a x =---,其中0a <.（1）求曲线()y f x =在点()(),a f a 处的切线方程；（2）若存在实数t ,使得不等式()0f x <的解集为(),t -∞,求a 的取值范围.【过程详解】由()3221f x x ax a x =---得()2232f x x ax a '=--.（1）所以()0f a ¢=.又因为()31f a a =--.故所求的切线方程为31y a =--.（2）因为()()()22323f x x ax a x a x a =--+=-'令()0f x '=,得13a x =-,2x a =, 此时()f x ',()f x 随x 的变化如下：由题意,要想存在实数t ,使得不等式()0f x <的解集为(),t -∞只需()003f a a f ⎧>⎪⎨⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎩或()003f a a f ⎧<⎪⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩ 因为3510327a f a ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭, 所以()310f a a =--<所以a 的取值范围为()1,0-.15.已知函数()()33R f x x ax a a =-+∈．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 在区间[]0,3上的最大值与最小值之差为()g a ,求()g a 的最小值．【过程详解】 (1)因为()()33f x x ax a a R =-+∈,所以()()22'333f x x a x a =-=-．①当0a ≤时,()'0f x ≥恒成立,()f x 在R 上单调递增；②当0a >时,(),x ∈-∞+∞ 时,()'0f x >；(x ∈时,()'0f x <；故()f x在(,-∞和)+∞上单调递增,在(上单调递减． (2)由（1）可知：①当0a ≤时,()f x 在[]0,3上单调递增,()()()30279g a f f a =-=-；②3≥,即9a ≥时,()f x 在[]0,3上单调递减,()()()0927g a f f a a =-=-； ③当03<<,即09a <<时,()f x在⎡⎣上单调递减,在⎤⎦上单调递增, 于是()min 2f x f a ==-+,又()0f a =,()3278f a =-．故当0<<3a 时,()2792g a a =-+39a ≤<时,()2g a =综上可得：279,027923()29927,9a a a a g a a a a -≤⎧⎪-+<<⎪=⎨≤<⎪⎪-≥⎩,当0<<3a 时,()2792g a a =-+x 则0x <<,设23()2792h x x x =-+,2()6186(3)0h x x x x x '=-=-<,所以()h x 在上递减,又x ,所以()g a 在(0,3)上递增,所以()g a 在(3),-∞上递减,在(3,)+∞上递增,所以故()g a 的最小值为()3g =16.已知函数3211()()32f x x ax a =-∈R 在[]0,1上的最小值为16-．（1）求a 的值；（2）讨论函数()()2()g x f x x b b =-+∈R 的零点个数．【过程详解】（1）由3211()32f x x ax =-,2()()f x x ax x x a =--'=, 当0a …时,()'f x 在[0,)+∞上恒大于等于0,所以()f x 在[0,1]上单调递增,min ()(0)0f x f ==,不合题意；当01a <<时,则[0,]x a ∈时,()0f x '<,()f x 单调递减；[,1]x a ∈时,()0f x '>,()f x 单调递增, 所以333min 111()()326f x f a a a a ==-=-,31166a -=-, 所以1a =,不满足01a <<；当1a =时,在[0,1]上,()0f x '…且不恒为0,所以()f x 在[0,1]上单调递减,min 111()(1)326f x f ==-=-,适合题意；当1a >时,在[0,1]上,()0f x '<,所以()f x 在[0,1]上单调递减,min 111()(1)326f x f a ==-=-,所以1a =,不满足1a >；综上,1a =．（2）由（1）3211()232g x x x x b =--+,所以3211232b x x x =-++, 令3211()232h x x x x =-++,则2()2(2)(1)h x x x x x =-++=--+', 所以(2)0,(1)0h h ''=-=,且当1x <-时,()0h x '<；当12x -<<时,()0h x '>；当2x >时,()0h x '<,所以()()11712326h x h =-=+-=-极小,()()11102844323h x h ==-⨯+⨯+=极大, 如图：当76b<-或103b>时,函数()g x有1个零点；当76b=-或103b=时,函数()g x有2个零点；当71063b-<<时,函数()g x有3个零点．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高考函数压轴题训练（含详细答案）1．近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录．为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足(其中，a为正常数)．已知生产该产品还需投入成本10+2P万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为元／件．(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．2．已知函数，.（1）若，是否存在、，使为偶函数，如果存在，请举例并证明你的结论，如果不存在，请说明理由；（2）若，，求在上的单调区间；（3）已知，对，，有成立，求的取值范围.3．已知.（Ⅰ）当时,判断的奇偶性,并说明理由；（Ⅱ）当时,若,求的值；（Ⅲ）若,且对任何不等式恒成立,求实数的取值范围.4．（本小题满分12分）某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测：服药后每毫升血液中的含药量（单位：微克）与时间（单位：小时）之间近似满足如图所示的曲线．（Ⅰ）写出第一次服药后与之间的函数关系式；（Ⅱ）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于微克时，治疗有效．问：服药多少小时开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（精确到0．1）（参考数据：）．5．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度（分贝）由公式(为非零常数)给出，其中为声音能量.（1）当声音强度满足时，求对应的声音能量满足的等量关系式；（2）当人们低声说话，声音能量为时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为时，声音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝~120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪.6．“地沟油”严重危害了人民群众的身体健康，某企业在政府部门的支持下，进行技术攻关，新上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似的表示为：且每处理一吨“食品残渣”，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将补贴.(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损；(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？7．设函数．（1）求函数在上的值域；（2）证明对于每一个，在上存在唯一的，使得；（3）求的值．8．已知在区间上是增函数.（1）求实数的值组成的集合；（2）设关于的方程的两个非零实根为、．试问：是否存在实数，使得不等式对任意及恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.9．设函数.(Ⅰ) 若函数在上为增函数, 求实数的取值范围；(Ⅱ) 求证：当且时,.10．己知函数f(x)=e x，x R.(1)若直线y=kx+1与f(x)的反函数图象相切，求实数k的值；(2)设x﹥0，讨论曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m﹥0)公共点的个数；(3)设，比较与的大小并说明理由。

11．已知函数，点、在函数的图象上，点在函数的图象上，设．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和为；（3）已知，记数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小．12．已知函数（其中是实数常数，）（1）若，函数的图像关于点（—1，3）成中心对称，求的值；（2）若函数满足条件（1），且对任意，总有，求的取值范围；（3）若b=0，函数是奇函数，，，且对任意时，不等式恒成立，求负实数的取值范围．13．已知函数⑴当时，若函数存在零点，求实数的取值范围并讨论零点个数；⑵当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.14．已知函数满足：对任意，都有成立，且时，．（1）求的值，并证明：当时，；（2）判断的单调性并加以证明；（3）若在上递减，求实数的取值范围．15．设函数 ()．（1）若为偶函数，求实数的值；（2）已知，若对任意都有恒成立，求实数的取值范围．参考答案1.解析：（1）由题意知，，将代入化简得：，（）， 6分（2），当且仅当时，上式取等号. 9分当时,促销费用投入1万元时，厂家的利润最大;当时,在上单调递增,所以在时,函数有最大值．促销费用投入万元时，厂家的利润最大 .综上述,当时,促销费用投入1万元时，厂家的利润最大;当时,促销费用投入万元时，厂家的利润最大 . 12分2.解析：（1）存在使为偶函数，证明如下：此时：，，为偶函数，（注：也可以（2），当时，，在上为增函数，当时，，令则，当时，在上为减函数，当时，在上为增函数，综上所述：的增区间为，减区间为；（3），，成立。

即：当时，为增函数或常数函数，综上所述：.3.解析：（Ⅰ）当时,既不是奇函数也不是偶函数∵,∴所以既不是奇函数,也不是偶函数 3分（Ⅱ）当时,, 由得即或解得或（舍），或.所以或 8分（Ⅲ）当时,取任意实数,不等式恒成立,故只需考虑,此时原不等式变为即故又函数在上单调递增,所以;对于函数当时,在上单调递减,,又,所以,此时的取值范围是 13分4.解析：（Ⅰ）根据图象知：当时，；当时，，由时，得所以，即因此（Ⅱ）根据题意知：当时，；当时，所以所以，因此服药小时（即分钟）开始有治疗效果，治疗效果能持续小时.5.解析：（1）2分4分6分（2）由题意得 8分10分13分答：当声音能量时，人会暂时性失聪. 14分6.解析：(1)当时，设该项目获利为，则，所以当时，.因此，该项目不会获利.当时，取得最大值，∴政府每月至少需要补贴元才能使该项目不亏损.(2)由题意可知，食品残渣的每吨平均处理成本为：①当时，，∴当时，取得最小值240；②当时，.当且仅当，即时，取得最小值200.∵200<240，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.7.解析：（1），由令，．，在上单调递增，在上的值域为． 4分（2）对于，有，，从而，,,在上单调递减,,在上单调递减．又.. 7分当时，（注用数学归纳法证明相应给分）又，即对于任意自然数有对于每一个，存在唯一的，使得 11分（3）．当时，．. 14分当且时，．18分8.解析：（1）因为在区间上是增函数，所以，在区间上恒成立，，所以，实数的值组成的集合；（2）由得，即，因为方程，即的两个非零实根为、，、是方程两个非零实根，于是，，，，，设，，则，若对任意及恒成立，则，解得或，因此，存在实数或，使得不等式对任意及恒成立.9.(Ⅰ)依题意.(Ⅱ)由(Ⅰ)知.当时. 在上为增函数.当x>1时有f(x)>f(1)=0.即.取.则，.即有.所以.10.解析：(1)f(x)的反函数.设直线y=kx+1与相切于点，则.所以 4分(2)当x>0,m>0时,曲线y=f(x)与曲线的公共点个数即方程根的个数. 5分由，令，则在上单调递减，这时；在上单调递增，这时；所以是的最小值. 6分所以对曲线y=f(x)与曲线公共点的个数,讨论如下:当m时,有0个公共点;当m=,有1个公共点;当m有2个公共点; 8分(3)设9分令，则，的导函数，所以在上单调递增，且，因此，在上单调递增，而，所以在上. 12分当时，且即，所以当时， 14分11.解析：（1）由题有：3分（2），8分（3），，由知，而，所以可得．于是．当时；当时，当时，下面证明：当时，证法一：（利用组合恒等式放缩）当时，∴当时， 13分证法二：（数学归纳法）证明略证法三：（函数法）∵时，构造函数，∴当时，∴在区间是减函数，∴当时，∴在区间是减函数，∴当时，从而时，，即∴当时，12.解析：(1)，．类比函数的图像，可知函数的图像的对称中心是．又函数的图像的对称中心是，(2)由(1)知，．依据题意，对任意，恒有．若，则，符合题意．若，当时，对任意，恒有，不符合题意．所以，函数在上是单调递减函数，且满足．因此，当且仅当，即时符合题意．综上，所求实数的范围是．(3)依据题设，有解得于是，．由，解得．因此，．考察函数，可知该函数在是增函数，故．13.解析：⑴令，函数图象的对称轴为直线，要使在上有零点，则即所以所求实数a的取值范围是. 3分当时，2个零点；当或，1个零点 7分⑵当时，所以当时，，记.由题意，知，当时，在上是增函数，，记.由题意，知解得 9分当时，在上是减函数，，记.由题意，知解得 11分综上所述，实数m的取值范围是 ..12分14.解析：（1）令,则, 即,解得或若，令,则, 与已知条件矛盾.所以设，则，那么.又，从而．（２）函数在上是增函数．设，由（１）可知对任意且故，即函数在上是增函数。

（３）由（２）知函数在上是增函数．函数在上也是增函数，若函数在上递减，则时，，即时，．时，，15.解析：（1）若的为偶函数，则,，故，两边平方得，展开时，为偶函数。

（2）设，①求,即的最小值：若，；若，②求,即的最小值,比较与,的大小：，故“对恒成立”即为“（）”令，解得。