2019届河南省名校鹤壁高中高三压轴第二次考试数学(理)试题(解析版)

【点睛】
本题考查了直线与圆锥曲线的综合知识，熟悉解题步骤是解题的关键，思维能力较强，计算较大，属于难题.
【详解】
（1）解： ， ，
椭圆的方程为 .
（2）设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 .
设 ，由方程组 ，消去 ，
整理得
解得 ，或 ，由题意得 ,从而
由（1）知， ，设 ，有 ，
由 ，所以 ,
解得 .
因此直线 的方程为 ，
设 ,由方程组 消去 ，
解得 .
在 中， ，即
化简得 ,即 ，解得 或 .
所以，直线 的斜率的取值范围为
（1）若一个月中出现故障的发电机台数为 ，求 的分布列；
（2）该发电厂至少有多少名工人，才能保证每台发电机在任何时刻同时出现故障时，能及时进行维修的概率不少于90%？
（3）已知一名工人每月只有维修1台发电机的能力，每台发电机不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生2万元的利润，否则将不产生利润，若该发电厂现有2名工人，要使求该发电厂每月获利的均值不少于6万元，则该发电厂每月需支付给每位工人的工资最多为多少万元？
,
即 的分布列为：
8
6
4
则
设每个工人一个月的工资为 万元，故由该厂获利的均值 ，得 万元.
每个工人一个月的工资最多为 万元.
【点睛】
本题主要考查了离散随机变量分布列，属于综合性较强的题目，理解好题意是解题的关键，属于较难题目.
19．已知椭圆 的右焦点为 ，右顶点为 ，离心率为 ，以椭圆 的长轴与短轴为对角线的四边形周长为 .
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题，先求出两个白色小半圆的概率，再利用概率之和为1，求得阴影部分的概率即可.
【详解】
可得概率为
故选C
【点睛】
本题主要考查了几何概型中面积型，会求得面积是解题关键，属于基础题.
3．设复数 满足 ，则 的虚部为（）
A．1B．-1C． D．
【答案】B
【解析】由题，先变形化简求得复数z，可得其虚部.
【详解】
， ，
是以 为公比的等比数列，
，
当n为偶数时， 无解，当n为奇数时， ，
，又 ， ，即 ，
即 ，又n为奇数，故n的最大值为
故选A
【点睛】
本题考查了数列的综合，熟悉通项公式的求法，数列求和的方法，分析数列是解题的关键，综合性较强，属于较难题目.
11．若存在正实数 ，使得关于 的方程 有两个不等的实根（其中 是自然对数的底数），则实数 的取值范围是（）
所以 抛物线的准线，从而 轴，所以 ，
即
故双曲线的离心率为
故选A
【点睛】
本题考查了圆锥曲线综合，分析题目，画出图像，熟悉抛物线性质以及双曲线的定义是解题的关键，属于中档题.
10．设数列 的前 项和为 ， ，且 ，若 ，则 的最大值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题，先由 求得数列 的通项公式，再利用分组求和求得 ，分n为奇数和偶数，最后求得n的取值，可得结果.
【详解】
，
故答案为
【点睛】
本题考查了向量的模长的求法，熟悉向量数量积的运算以及性质的运用是解题的关键，属于基础题.
13．已知变量 满足 ，则 的最小值为______．
【答案】
【解析】由题，作出可行域，所求 的最小值可看成点 与定点 连线的斜率，可得结果.
【详解】
作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分表示，
A．11种B．12种C．10种D．9种
【答案】A
【解析】由题，将五个孩子和爸爸逐一列举分组，共44种， 小孩一定要和 爸爸一组，即不同方法数有 种.
【详解】
把五个孩子和爸爸逐一列举分组，分组的不同方法数有 种，
若 小孩一定要和 爸爸一组，则分组的不同方法数有 种
故选A
【点睛】
本题考查了排列组合，掌握排列组合的方法是解题的关键，属于中档题.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设过点 的直线与椭圆交于点 （ 不在 轴上），点 在 轴上，且 ，过 做 于点 ，且 ，求直线 的斜率的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）由题，离心率为 和长轴与短轴为对角线的四边形周长为 求得a，b，c的值，求得椭圆方程；
（2）设直线的方程，联立方程化简，求得点B的坐标，再利用 求得点H的坐标，可得直线MH的方程，再联立方程，由题 转化为 可得结果.
， ，
， ，
，
即 的分布列为：
0
1
2
3
4
（2）设该厂有n名工人，则“每台发电机在任何时刻同时出现故障能及时进行维修”为事件“发生故障的发电机台数 ”，即 ，这 个互斥事件的和事件，则
0
1
2
3
4
至少要2名工人，才能保证每台发电机在任何时刻同时出现故障能及时进行维修的概率不少于90%.
（3）设4台发电机产生的利润 万元,则 的所有可能取值为：8,6,4
9．抛物线 的焦点 是双曲线 的右焦点，点 是曲线 的交点，点 在抛物线的准线上， 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线 的离心率为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先由题和抛物线的性质求得点P的坐标和双曲线的半焦距c的值，再利用双曲线的定义可求得a的值，即可求得离心率.
【详解】
由题意知，抛物线焦点 ，准线与x轴交点 ，双曲线半焦距 ，设点 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，即 ，结合 点在抛物线上，
【答案】B
【解析】先由二项式展开项，依据题意常数项为4，求得a的值，再代入求得 的系数即可.
【详解】
由题意得 展开式的通项为 ， ，
展开式的常数项为 ，
展开式中 项为
展开式中 的系数是
故选B
【点睛】
本题主要考查了二项式定理，熟悉公式，分析题目，属于中档题.
7． 五对爸爸和孩子分成五组参加一项游戏，其中每组爸爸和一个孩子，每个孩子都不和自己的爸爸一组，已知 小孩一定要和 爸爸一组，则他们分组的不同方法数有（）
【解析】由题，设出点的坐标，联立直线与抛物线的方程，由题意，PM的斜率和QM的斜率互为相反数建立等式，代入化简可得结果.
【详解】
设 ， ， ，由 得
， ，
, ， ， .
故答案为(0,-6)
【点睛】
本题考查了直线与抛物线的相交问题，熟悉解题的一般步骤是解题的关键和技巧，还考查了一定的运算能力，属于中档题.
由 得
又由 表示点 与定点 连线的斜率，当过点 时，此时直线斜率最小为 .
故答案为
【点睛】
本题考查了线性规划，画出可行域以及将原式转化为斜率是解题的关键，属于较为基础题.
14．在直角坐标系中，曲线 与直线 交于 两点，在 轴上存在点 ，使得当 变动时，总有 轴平分 ，则点 的坐标为_______．
【答案】
【详解】
根据题中所给的三视图，可得该几何体是底面边长为 的正方形的四棱锥，且高为 ，
从而可求得其四个侧面三角形面积分别为 ， ，通过比较可得最大的面积为
故选D
【点睛】
本题考查了几何体的侧面积，解题的关键是先得出几何体的形状，属于中档题.
6．若在 关于 的展开式中，常数项为4，则 的系数是（）
A．56B．-56C．112D．-112
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题，先对a讨论，易得 ，再用参变分离对原式进行变形，再换元转化成新的函数，利用新函数的单调性，最值求得a的范围即可.
【详解】
当 时，方程只有一个解，不合题意；
原方程等价于 有两解
令 ，则 ，令 ，则
则 ，解得 ，且 在 上递减，
当 时， ；当 时，
在 上递减，在 递增，
2019届河南省名校鹤壁高中高三压轴第二次考试数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题，分别求得集合A和集合B，可求得答案.
【详解】
由题意易得： ， ,
故选B
【点睛】
本题主要考查了集合的运算，属于基础题.
2．如图， 是线段 上一点，分别以 为直径作半圆， ， ，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是（）
【详解】
由 ，得 ，得 的虚部为
故选B
【点睛】
本题主要考查了复数的运算，化简以及性质，解题的关键是化简，属于基础题.
4．设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （）
A．3B．6C．9D．12
【答案】C
【解析】根据等差数列求和以及性质可得 和公差，再利用通项求得答案.
【详解】
数列 是等差数列，
故 解得 ，
8．已知函数 ，且函数 在 上单调递增，则正数 的最大值为（）
A． B．1C． D．
【答案】B
【解析】先由三角恒等变化，倍角公式对函数进行化简，再利用周期和单调性求得 的取值范围，可得答案.
【详解】
依题意，
，
，又函数 在 上单调递增，
，
，
，
即 ， ，得
故选B
【点睛】
本题考查了三角函数综合，熟悉恒等变化、倍角公式、 中， ， ， ，点 为 内切圆的圆心，过点 作动直线 与线段 ， 都相交，将 沿动直线 翻折，使翻折后的点 在平面 上的射影 落在直线 上，点 在直线 上的射影为 ，则 的最小值为______．
【答案】
【解析】由题，画出图像，建立坐标系，设出直线l的方程，可得AP的直线方程，求得点P的坐标，表示出PQ和AQ的长，作比值，再利用基本不等式可得结果.
（2）以点E为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求得 的法向量和平面 的法向量，再利用法向量求得二面角即可.