高三数学奇偶性1
高三奇偶性数学知识点归纳
高三奇偶性数学知识点归纳在高三阶段，数学是学生们备考的重点科目之一。
其中，许多学生可能会对奇偶性数学知识点感到困惑，因为它们涉及到数学中的一种特殊性质。
在本文中，我们将归纳和总结高三奇偶性数学知识点，以帮助学生们更好地理解和掌握这一概念。
一. 奇偶数的概念在进一步讨论奇偶性数学知识点之前，我们需要先明确什么是奇数和偶数。
奇数是指不能被2整除的整数，如1、3、5等；而偶数是指能够被2整除的整数，如2、4、6等。
值得注意的是，0是唯一一个既不是奇数也不是偶数的整数。
二. 奇数与奇数、偶数与偶数的运算当两个奇数相加或相乘时，结果仍然是一个奇数。
例如，3 + 5 = 8，8是一个奇数。
同样地，3 × 5 = 15，15也是一个奇数。
这是由于奇数加上奇数或奇数乘以奇数的结果仍然无法被2整除。
另一方面，当两个偶数相加或相乘时，结果仍然是一个偶数。
例如，2 + 4 = 6，6是一个偶数。
同样地，2 × 4 = 8，8也是一个偶数。
这是因为偶数加上偶数或偶数乘以偶数的结果都可以被2整除。
然而，如果一个奇数与一个偶数相加或相乘，结果将是一个偶数。
例如，3 + 4 = 7，7是一个奇数。
同样地，3 × 4 = 12，12也是一个偶数。
这是由于奇数加上偶数或奇数乘以偶数的结果可以被2整除。
三. 奇偶性在代数运算中的应用除了加法和乘法，奇偶性还可以应用在其他代数运算中。
1. 指数运算：奇数的任意次幂仍然是奇数，偶数的任意次幂仍然是偶数。
例如，2的任意正整数次幂都是偶数，而3的任意正整数次幂都是奇数。
2. 组合数学：在组合数学中，我们需要计算一些组合的数量。
当组合中的元素个数是偶数时，结果也是偶数；当组合中的元素个数是奇数时，结果是奇数。
这是由于组合计数可以归结为奇数和偶数的加法组合。
四. 奇偶性在数列中的应用奇偶性在数列中也有一定的应用。
1. 斐波那契数列：斐波那契数列是一个非常有趣和重要的数列。
高三数学函数的奇偶性
[两函数的定义域D1 ，D2，D1∩D2要关于原点对称]
⑦对于F(x)=f[g(x)]: 若g(x)是偶函数，则F(x)是偶函数 若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数，则F(x)是奇函数 若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数，则F(x)是偶函数
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⑤奇函数 f (x)在 x 0有意义，则 f (0) 0
⑤若函数f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为 一个奇函数与一个偶函数之和
f (x) 1 f (x) f (x)] 1 [ f (x) f (x)]
2
2
⑥奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇
2.性质： ①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称
②y=f(x)是偶函数 y=f(x)的图象关于y轴对称, y=f(x)是奇函数 y=f(x)的图象关于原点对称,
③偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性 相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单 调性相同， ④偶函数无反函数，奇函数的反函数还是奇函数，
x)(x x)(x
0) 0)
④ f (x) 1 x2
x2 2
例2．定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)且f(0)≠0
3．奇偶性的判断 一.定义法：①看定义域是否关于原点对称
②看f(x)与f(-x)的关系 二.图象法：作出图象，看是否关于原点对称
二．应用举例 （书）例1．判断下列函数的奇偶性
① f (x) x 1 x 1
②f (x) (x 1). 1 x
1 x
③
f
(x)
高三数学函数奇偶性的判定方法
函数奇偶性的判定方法函数奇偶性的判定方法较多，下面把常见的判定方法分类加以研究分析．1．定义域判定法例1 判定()(1)f x x =-解：要使函数有意义，须20x -≥，解得2x ≥，定义域不关于原点对称，∴原函数是非奇非偶函数．评注：用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称，来否定一个函数的奇偶性．2．定义判定法例2 判断()f x x a x a =++-和奇偶性．解： 函数()f x x a x a =++-的定义域为R ，且()()()()f a x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=， ∴函数()f x 是偶函数．评注：在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数的奇偶性．3．等价形式判定法例3 判定()f x =的奇偶性．解：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，当0x =时，()0f x =，∴图象过原点．又0x ≠ 时，2222()(1)(1)1()(1)(1)f x x x f x x x -+-+==-+--， (1)()f f x ∴-=-．又(0)0f =，∴()f x 为奇函数．评注：常用等价变形形式有：若()()0f x f x +-=或()1()f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()0f x f x --=或()1()f x f x -=，则()f x 为偶函数（其中()0f x ≠）． 4．性质判定法 例 4 若0a >，()([])f x x a a ∈-，是奇函数，()()g x x ∈R 是偶函数，试判定()()()x f x g x ϕ= 的奇偶性．解：在()()f x g x ，的公共定义域[]a a -，内，任取一个x ，则()()()x f x g x ϕ-=- ， ()()f x g x ，分别是奇函数和偶函数，()()()()()()f x f x g x f x g x x ϕ∴-=-=-=- ．()x ϕ∴在[]a a -，上为奇函数．评注：在两个函数（常函数除外）的公共定义域关于原点对称的前提下：①两个偶函数的和、差、积都是偶函数；②两个奇函数的和、差是奇函数、积是偶函数；③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．。
高三数学复习课件【函数的奇偶性及周期性】
f(x)＝－ x，4x02≤＋x2<，1，－1≤x<0， 则 f 32＝________. 解析：∵f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，
且 f(x)＝－x，4x02≤＋x2<，1，－1≤x<0， ∴f 32＝f －12＝－4×－122＋2＝1. 答案：1
返回 2．已知定义在 R 上的函数满足 f(x＋2)＝－f1x，x∈(0,2]时，f(x)
关 于 _原__点_ 对称
f(x)就叫做奇函数
返回 2.函数的周期性 (1)周期函数
对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定 义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数 ， 那么这个 最小正数 就叫做 f(x)的最小正周期．
关于原点对称，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项
定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数也
不是偶函数． 答案：B
返回
3．已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么 a＋b
的值是
()
A．－13
B.13
C.12
D．－12
解ห้องสมุดไป่ตู้：∵f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－
奇函数，所以 f 121＝f －12＝－f 12＝123＝18. 答案：B
返回
5．函数 f(x)在 R 上为奇函数，且 x>0 时，f(x)＝x＋1，则当 x<0 时，f(x)＝________. 解析：∵f(x)为奇函数，x>0 时，f(x)＝x＋1， ∴当 x<0 时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)， 即 x<0 时，f(x)＝－(－x＋1)＝x－1. 答案：x－1
高三数学奇数偶数知识点
高三数学奇数偶数知识点在高三数学中，奇数和偶数是常见的数学概念。
了解奇数和偶数的性质以及它们在数学中的应用，有助于我们更好地理解和运用数学知识。
本文将介绍高三数学中与奇数偶数相关的知识点，包括定义、性质和题目的解答技巧。
一、奇数和偶数的定义在正整数中，一个数可以被2整除的数被称为偶数，例如2、4、6等；不能被2整除的数被称为奇数，例如1、3、5等。
换句话说，一个整数如果能被2整除，那么它就是偶数；否则，它就是奇数。
二、奇数和偶数的性质1. 奇数加偶数等于奇数，例如：奇数1 + 偶数2 = 奇数3；奇数3 + 偶数4 = 奇数7。
2. 偶数加偶数等于偶数，例如：偶数2 + 偶数4 = 偶数6；偶数6 + 偶数8 = 偶数14。
3. 奇数加奇数等于偶数，例如：奇数3 + 奇数5 = 偶数8；奇数7 + 奇数9 = 偶数16。
4. 奇数乘以任意整数仍为奇数，偶数乘以任意整数仍为偶数，例如：奇数3 × 2 = 奇数6；偶数4 × 5 = 偶数20。
5. 任意整数的平方都是非负数，即平方数不可能是奇数。
三、奇数偶数的应用奇数偶数是数学中常见的概念，在解题时经常会涉及到它们。
以下是几个典型的应用情景：1. 判断奇数偶数：当给出一个整数时，通过判断是否能被2整除，可以快速判断该数是奇数还是偶数。
这一技巧在解答选择题或快速计算中非常实用。
2. 排列组合问题：在一些排列组合的问题中，奇数偶数的性质常常会被利用。
例如，在一排座位上安排男女学生坐在一起，如果男女学生的数量都是奇数，那么整个排列方式的总数也将是奇数。
3. 奇偶性证明：在数学证明中，奇偶性常常被用来证明或推导结论。
例如，可以通过证明一个数的平方是偶数，进而得出该数本身是偶数的结论。
四、奇数偶数题目示例为了更好地理解和运用奇数偶数的知识，以下是一些奇数偶数题目的解答示例：例题1：一个整数的各位数字之和是17，且它是偶数，这个数是多少？解析：设这个整数为x，则有x=a+b+c+...+z，其中a、b、c、...、z分别表示各位数字。
2020年高三总复习数学人教旧版-必修1[第5讲 函数的奇偶性]讲义(教师版)
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第3页
∴y＝xf（x）是偶函数． 对于 C，g（﹣x）＝（﹣x）2＋f（﹣x）＝x2﹣f（x）， ∴y＝x2＋f（x）为非奇非偶函数， 对于 D，g（﹣x）＝（﹣x）2f（﹣x）＝﹣x2f（x）＝﹣g（x）， ∴y＝x2f（x）是奇函数． 故选 B．
函数奇偶性用定义判断，看 f（﹣x）和 f（x）的关系，注意奇偶函数的定义域的对称性，若 定义域不关于原点对称，一定是非奇非偶函数．
练习 1. 已知函数 f（x）＝ax3＋bx＋1，若 f（a）＝8，则 f（﹣a）＝
【答案】﹣6 【解析】∵函数 f（x）＝ax3＋bx＋1， ∴f（﹣x）＝a（﹣x）3＋b（﹣x）＋1＝﹣ax3﹣bx＋1， ∴f（﹣x）＋f（x）＝2，
．
第4页
∴f（﹣a）＋f（a）＝2． ∵f（a）＝8， ∴f（a）＝﹣6． 故答案为﹣6．
练习 2. 定义在（﹣1，1）上的奇函数 f（x）＝
，则常数 m＝ ，n＝ ．
【答案】m＝0，n＝0． 【解析】因为函数 f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，所以必定有 f（0）＝ 0，
⇒m＝
此时 f（x）＝
，
高三数学 第一轮复习 11：函数的奇偶性
高三数学第一轮复习11函数的奇偶性·知识梳理·模块01：函数的奇偶性1、函数奇偶性的定义：偶函数：如果对于函数()y f x =定义域D 内的任意实数x ，都有,D x ∈-并且)()(x f x f =-，那么就把函数()y f x =叫做偶函数。
奇函数：如果对于函数()y f x =定义域D 内的任意实数x ，都有都有,D x ∈-并且)()(x f x f -=-，那么就把函数()y f x =叫做奇函数。
2、判断函数奇偶性的方法：步骤：第1步：看定义域是否是对称区间（是的话就继续，不是就是非奇非偶函数）；第2步：找)(x f 与)(x f -之间的关系，若)()(x f x f -=,那么)(x f 就叫做偶函数；)()(x f x f --=,那么)(x f 就叫做奇函数。
[注意]定义本身蕴涵着：①函数的定义域必须是关于原点的对称区间，这是奇（偶）函数的必要条件——前提；②“定义域内任意”：意味着不存在＂某个区间（段）上的＂的奇（偶）函数——不研究；③判断函数奇偶性最基本的方法：先看定义域，再用定义——)()(x f x f -±=。
模块02：函数的奇偶性的应用关于函数奇偶性的几个重要结论：（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（函数具有奇偶性的必要不充分条件）。
（2）若奇函数()y f x =在0x =处有定义，则(0)0f =。
（3）函数()f x 是奇函数⇔曲线()y f x =关于原点对称；函数()f x 是偶函数⇔曲线()y f x =关于y 轴对称。
（4）()f x 既是奇函数又是偶函数()0f x ⇔=（定义域关于原点对称）．（5）若()f x 的定义域关于原点对称，则()()()F x f x f x =+-是偶函数，()()()G x f x f x =--是奇函数。
（6）若函数()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和。
函数的奇偶性(1)
例2.分析函数 y lg( 2 1) 的图像的对称性 1 x
练:设奇函数f(x)定义域为[-5,5], 若当x [0,5]时,f(x)
的图像如图所示,求不等式f(x)<0的解集
y
-5
-2 0 2
5x
(-2,0) (2,5)
例3.设函数f(x)为R上的偶函数,并且在( ,0] 上单调
图像法
3. 奇(偶)函数的性质: 1).两个奇函数之积为 偶 函数. 两个偶函数之积为 偶 函数. 一奇和一偶函数之积为 奇 函数
2).奇函数在其定义域上关于原点对称的两个区间上 的单调性 相同 . 偶函数在其定义域上关于原点对称的两个区间上 的单调性 相反 .
例1 判断下例函数的奇偶性
(1)
f
递增, 问a为何值时,f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1)
例4. 已知图(1)中图像对应的函数为y=f(x), 求图(2)中图像对应的函数解析式.
y
y
-3
0
x
(1)
-3
0 3x
(2)
小结:
1.奇(偶)函数的定义及其图像的性质特征 2.会判断一个函数的奇偶性 3.奇(偶)函数的性质 4.函数奇偶性的应用
作业: <数学之友> P7
y
0
x
f(x)=x3
y
0
x
f(x)=x2
高三数学第一轮复习:
7.
知识回顾:
1. 奇函数 偶函数的定义 奇(偶)函数的定义域一定关于原点对称.
问:函数定义域关于原点对称是函数为奇(偶)函数的 必要不充分 条件.
2. 奇函数的图像关于原点对称, 偶函数的图像关于y轴对称. 判断函数奇偶性的方法:
高三奇偶性数学知识点
高三奇偶性数学知识点在数学中，奇偶性是一个重要的概念，尤其在高三学习阶段，我们经常会遇到与奇偶性相关的题目。
理解奇偶性的性质和运用奇偶性的方法对于解题非常有帮助。
本文将介绍一些高三奇偶性的数学知识点。
一、整数的奇偶性质在数学中，我们将自然数分为奇数和偶数两类。
1. 奇数：奇数是不能被2整除的正整数。
奇数的特点是末尾数字是1、3、5、7或9，可以表示为2n + 1的形式，其中n是整数。
2. 偶数：偶数是可以被2整除的正整数。
偶数的特点是末尾数字是0、2、4、6或8，可以表示为2n的形式，其中n是整数。
二、奇偶数的运算性质奇偶性在数学运算中具有以下一些性质：1. 两个奇数相加或相乘的结果是偶数。
2. 两个偶数相加的结果是偶数；两个偶数相乘的结果是偶数。
3. 奇数与偶数相加的结果是奇数；奇数与偶数相乘的结果是偶数。
4. 任何整数与偶数相乘的结果都是偶数。
三、奇偶性在方程与函数中的运用奇偶性在解方程和分析函数性质时非常有用。
1. 解方程：有些方程的解与奇偶性有关。
例如，当我们解x² = a时，可以通过奇偶性判断出解的情况。
如果a是奇数，那么方程没有实数解；如果a是偶数，那么方程的解是±√a。
2. 函数的奇偶性：奇偶性对于分析函数的性质也非常重要。
如果函数f(x)满足f(-x) = f(x)，那么它是偶函数；如果函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，那么它是奇函数。
四、奇偶性与图形的对称性奇偶性也与图形的对称性有关。
奇函数对应的图形关于坐标原点对称，是关于原点对称的；偶函数对应的图形关于y轴对称，是关于y轴对称的。
例如，y = x³是奇函数，它的图形关于原点对称；y = x²是偶函数，它的图形关于y轴对称。
五、奇偶性在排列组合中的应用奇偶性在排列组合中也有一些特殊应用。
1. 二进制码：我们知道，二进制的末位可以判断一个数的奇偶性。
如果二进制数的末位是0，那么这个数是偶数；如果二进制数的末位是1，那么这个数是奇数。
高中数学奇偶性教案
高中数学奇偶性教案
主题：奇偶性
教学目标：
1. 了解奇数和偶数的定义；
2. 掌握奇数加奇数、偶数加偶数、奇数加偶数的性质；
3. 能够应用奇偶性解决实际问题。
教学内容：
1. 奇数和偶数的定义；
2. 奇数加奇数、偶数加偶数、奇数加偶数的性质；
3. 奇偶性在数学计算中的应用。
教学步骤：
1. 引入：通过举例介绍奇数和偶数的定义，让学生理解奇偶性的概念；
2. 探究：让学生在小组内讨论奇数加奇数、偶数加偶数、奇数加偶数的性质，并总结规律；
3. 实践：设计一些奇偶性的练习题，让学生熟练运用奇偶性解决问题；
4. 应用：让学生通过实际问题应用奇偶性解决实际问题，加强对奇偶性的理解和应用能力；
5. 总结：对本节课学习的内容进行总结，强调奇偶性在数学计算中的重要性。
评价方式：
1. 学生在探究环节的讨论表现；
2. 学生在实践环节的练习成绩；
3. 学生在应用环节的解决问题能力；
4. 学生对奇偶性的理解和应用能力。
拓展活动：
1. 设计更复杂的奇偶性问题，让学生提升解决问题的能力；
2. 扩展奇偶性在其他数学知识领域的应用，如代数、几何等。
教学反思：
1. 教学内容是否能够引起学生的兴趣？
2. 学生对奇偶性的理解是否透彻？
3. 学生能否灵活运用奇偶性解决应用问题？
以上是一份高中数学奇偶性教案范本，希望对您有帮助。
高三数学奇偶性知识点归纳
高三数学奇偶性知识点归纳在高中数学学科中，奇偶性是一个重要的概念。
奇偶性指的是一个数的特性，能够帮助我们判断运算的结果和数的性质。
在高三数学中，奇偶性知识点涉及到数的性质、函数的性质以及方程式的求解等方面。
本文将对高三数学奇偶性知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。
一、奇偶性的基本定义在数论中，我们将整数分为两类：奇数和偶数。
奇数是无法被2整除的整数，而偶数则可以被2整除。
这是奇数和偶数最基本的定义。
例如，1、3、5、7是奇数，而2、4、6、8是偶数。
二、奇偶性与四则运算在四则运算中，奇偶性有着重要的应用。
无论是加法、减法、乘法还是除法，我们都可以利用奇偶性来判断运算结果的奇偶性。
1. 加法和减法奇数加奇数得到的结果是偶数，奇数加偶数得到的结果是奇数，而偶数加偶数得到的结果仍然是偶数。
这是因为奇数加奇数的结果无法被2整除，所以是偶数；奇数加偶数的结果可以被2整除，所以是奇数；而偶数加偶数的结果必然能被2整除，所以是偶数。
减法运算同理。
2. 乘法奇数乘以奇数得到的结果是奇数，奇数乘以偶数得到的结果是偶数，而偶数乘以偶数得到的结果仍然是偶数。
这是因为奇数乘以奇数的结果无法被2整除；奇数乘以偶数的结果可以被2整除；而偶数乘以偶数的结果必然能被2整除。
3. 除法奇数除以奇数得到的结果是奇数，奇数除以偶数得到的结果是奇数，而偶数除以偶数得到的结果是偶数。
这是因为奇数除以奇数的结果无法被2整除；奇数除以偶数的结果可以被2整除；而偶数除以偶数的结果必然能被2整除。
三、奇偶性与函数的性质在函数的性质中，也存在着奇偶性的规律。
1. 奇函数和偶函数函数f(x)被称为奇函数，当且仅当满足f(-x) = -f(x)，即关于原点对称。
例如，f(x) = x^3就是一个奇函数。
在奇函数中，如果给定一个数x，那么-f(x)也是该函数的一个解。
如果一个函数既不是奇函数也不是偶函数，则称其为非奇非偶函数。
函数g(x)被称为偶函数，当且仅当满足g(-x) = g(x)，即关于y 轴对称。
高三数学函数的奇偶性试题答案及解析
高三数学函数的奇偶性试题答案及解析1.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，2)时，(x＋1)，则f(－2012)＋f(2013)＝________________．f(x)＝log2【答案】1【解析】试题分析:∵函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，又∵对于x≥0都有f(x＋2)＝f(x)，∴T＝2∴f(－2012)＋f(2013)＝f(2012)＋f(2013)＝f(1006×2)＋f(1006×2＋1)＝f(0)＋f(1)＝log21＋log22＝1．故答案为：1．【考点】函数的周期性2.已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则．【答案】．【解析】∵，∴，又∵，分别是定义在上的偶函数和奇函数，∴，，∴，∴．【考点】函数的奇偶性．3.已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，（其中为的前项和），则( )．A．B．C．D．【答案】C【解析】由定义在上的函数是奇函数且满足知，= = =，所以= = = =，所以的周期为3，由得，，当n≥2时，=，所以=，所以=-3，=-7，=-15，=-31，=-63，所以 ====3，故选C.【考点】函数的奇偶性、周期性，数列的递推公式，转化与化归思想4.设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．是偶函数B．是奇函数C．是奇函数D．是奇函数【答案】C【解析】设，则，因为是奇函数，是偶函数，故，即是奇函数，选C．【考点】函数的奇偶性．5.已知为偶函数，当时，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】Ａ【解析】先画出当时，函数的图象，又为偶函数，故将轴右侧的函数图象关于轴对称，得轴左侧的图象，如下图所示，直线与函数的四个交点横坐标从左到右依次为，由图象可知，或，解得，选A．【考点】１、分段函数；2、函数的图象和性质；3、不等式的解集．6.若是偶函数，则____________.【答案】【解析】因为函数为偶函数,所以,故填.【考点】奇偶性对数运算7. [2013·重庆高考]已知函数f(x)＝ax3＋bsinx＋4(a，b∈R)，f(lg(log10))＝5，则f(lg(lg2))＝2()A．－5B．－1C．3D．4【答案】C【解析】∵f(x)＝ax3＋bsinx＋4，①∴f(－x)＝a(－x)3＋bsin(－x)＋4，即f(－x)＝－ax3－bsinx＋4，②①＋②得f(x)＋f(－x)＝8，③又∵lg(log10)＝lg()＝lg(lg2)－1＝－lg(lg2)，2∴f(lg(log10))＝f(－lg(lg2))＝5，2又由③式知f(－lg(lg2))＋f(lg(lg2))＝8，∴5＋f(lg(lg2))＝8，∴f(lg(lg2))＝3.故选C.8.已知函数y＝f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数，当x∈时，f(x)＝ln(x2－x＋1)，则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数为()A．3B．5C．7D．9【答案】C【解析】当x∈时，－x∈，f(x)＝－f(－x)＝－ln(x2＋x＋1)；则f(x)在区间上有3个零点(在区间上有2个零点)．根据函数周期性，可得f(x)在上也有3个零点，在上有2个零点．故函数f(x)在区间[0,6]上一共有7个零点．9.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数【答案】A【解析】由题意知f(x)与|g(x)|均为偶函数．A项，偶＋偶＝偶；B项，偶－偶＝偶，错；C项与D项分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇，均不恒成立．10.设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【答案】A【解析】因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）=20+2×0+b=0，解得b=﹣1，所以当x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1，又因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（21+2×1﹣1）=﹣3，故选A．11.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足 (，且)，若，则（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】由条件，，即，由此解得，，所以选B．12.已知是奇函数，且，若，则= ．【答案】【解析】因为为奇函数，所以．∵，∴，∴．13.设是上的奇函数，且，下面关于的判定：其中正确命题的序号为_______．①;②是以4为周期的函数；③的图象关于对称；④的图象关于对称．【答案】①②③【解析】∵，∴，即的周期为4，②正确．∴(∵为奇函数)，即①正确．又∵，∴的图象关于对称，∴③正确，又∵，当时，显然的图象不关于对称，∴④错误．14.已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，都有,当时，，设函数在区间上的反函数为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，所以函数周期为，所以时，，所以＝，又函数为偶函数，所以时，则＝．令＝＝19，解得＝，从而＝，故选D．【考点】1、反函数；2、函数奇偶性的性质；3、函数的周期性．15.设偶函数满足，则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】的解集为,因为是偶函数，关于轴对称，所以的解集为或,那么的解集为或,故解集为或,故选B.【考点】1.函数的奇偶性；2.解不等式.16.已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．【答案】(－5，0)∪(5，＋∞)【解析】作出f(x)＝x2－4x(x>0)的图象，如图所示．由于f(x)是定义在R上的奇函数，利用奇函数图象关于原点对称，作出x<0的图象．不等式f(x)>x表示函数y＝f(x)的图象在y＝x的上方，观察图象易得，原不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)17.若函数f(x)=(a+)cosx是奇函数,则常数a的值等于()A．-1B．1C．-D．【答案】D【解析】设g(x)=a+,t(x)=cosx,∵t(x)=cosx为偶函数,而f(x)=(a+)cosx为奇函数,∴g(x)=a+为奇函数,又∵g(-x)=a+=a+,∴a+=-(a+)对定义域内的一切实数都成立,解得:a=.18.设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x的导数是f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为()A．y＝－2x B．y＝3xC．y＝－3x D．y＝4x【答案】A【解析】由已知得f′(x)＝3x2＋2ax＋a－2为偶函数，∴a＝0，∴f(x)＝x3－2x，f′(x)＝3x2－2.又f′(0)＝－2，f(0)＝0，∴y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝－2x.19.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．【答案】{x|－7<x<3}【解析】当x≥0时，f(x)＝x2－4x<5的解集为[0,5)，又f(x)为偶函数，所以f(x)<5的解集为(－5,5)．由于f(x)向左平移两个单位即得f(x＋2)，故f(x＋2)<5的解集为{x|－7<x<3}．20.已知是定义域为R的奇函数，当x≤0时，，则不等式的解集是（）A．(5，5)B．(1，1)C．(5，+)D．(l，+)【答案】C【解析】因为是定义在R上的奇函数，所以对于任意实数x，都有且.又当时，则当时，，有，所以：，则，解不等式，即或或得，选C.【考点】函数的奇偶性，分段函数，一元二次不等式的解法.21.设函数（）（Ⅰ）若函数是定义在R上的偶函数，求a的值；（Ⅱ）若不等式对任意，恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）函数是定义在R上的偶函数，则恒成立，代入解析式得：，.即对任意都成立，由此得，．（Ⅱ）不等式对任意，恒成立，则小于等于的最大值，而．所以对任意恒成立，令，这是关于的一次函数，故只需取两个端点的值时不等式成立即可，即，解之即可得实数m的取值范围.试题解析：（Ⅰ）由函数是定义在R上的偶函数，则恒成立，即，所以，所以恒成立，则，故． 4分（Ⅱ）．所以对任意恒成立，令，由解得，故实数m的取值范围是． 12分【考点】1、函数的奇偶性；2、不等式恒成立问题.22.函数f(x)是偶函数，则下列各点中必在y=f(x)图象上的是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由于函数上必过点.又因为函数是偶函数所以函数经过点 .又因为.所以函数一定经过和.故选A.本小题关键是考查函数的的奇偶性问题.【考点】1.函数的奇偶性.2.函数的对称性问题.23.已知函数是上的奇函数,且的图象关于直线对称,当时,，则 .【答案】-1【解析】∵的图象关于直线对称,∴，又是上的奇函数，∴，∴，即4为的周期，∴.由时，，得，由，得，∴，故答案为．【考点】函数的奇偶性、周期性24.已知函数.（1）当时，判断的奇偶性，并说明理由；（2）当时，若，求的值；（3）若，且对任何不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）既不是奇函数，也不是偶函数；（2）所以或；（3）当时，的取值范围是，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是．【解析】（1）时，为确定的函数，要证明它具有奇偶性，必须按照定义证明，若要说明它没有奇偶性，可举一特例，说明某一对值与不相等（不是偶函数）也不相反（不是奇函数）．（2）当时，为，这是含有绝对值符号的方程，要解这个方程一般是分类讨论绝对值符号里的式子的正负，以根据绝对值定义去掉绝对值符号，变成通常的方程来解．（3）不等式恒成立时要求参数的取值范围，一般要把问题进行转化，例如分离参数法，或者转化为函数的最值问题．即为，可以先把绝对值式子解出来，这时注意首先把分出来，然后讨论时，不等式化为，于是有，即，这个不等式恒成立，说明，这时我们的问题就转化为求函数的最大值，求函数的最小值．试题解析：（1）当时，既不是奇函数也不是偶函数（2分）所以既不是奇函数，也不是偶函数（4分）（2）当时，，由得（1分）即（3分）解得（5分）所以或（6分）（3）当时，取任意实数，不等式恒成立，故只需考虑，此时原不等式变为（1分）即故又函数在上单调递增，所以；（2分）对于函数①当时，在上单调递减，，又，所以，此时的取值范围是（3分）②当，在上，，当时，，此时要使存在，必须有，此时的取值范围是（4分）综上，当时，的取值范围是当时，的取值范围是；当时，的取值范围是（6分）【考点】（1）函数的奇偶性；（2）含绝对值的方程；（2）含参数的不等式恒成立问题．25.如图,直角坐标平面内的正六边形ABCDEF，中心在原点，边长为a，AB平行于x轴，直线（k为常数）与正六边形交于M、N两点，记的面积为S，则关于函数的奇偶性的判断正确的是（）A．一定是奇函数B．—定是偶函数C．既不是奇函数，也不是偶函数D．奇偶性与k有关【答案】B【解析】：∵当直线与边重合时，，当直线与重合时，，∴，∵正六边形即是中心对称图形又是轴对称图形，∴函数为偶函数.【考点】1.函数的奇偶性；2.数形结合思想.26.设函数是偶函数，则实数的值为___________.【答案】-1.【解析】因是偶函数，则，所以.【考点】函数的奇偶性.27.设是周期为2的奇函数，当时，=，则=．【答案】【解析】由是周期为2的奇函数可知，.【考点】函数的周期性与奇偶性.28.已定义在上的偶函数满足时，成立，若，，，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】Ｃ【解析】构造函数，由函数是R上的偶函数，函数是R上的奇函数可得是R上的奇函数，又当时，所以函数在时的单调性为单调递减函数；所以在时的单调性为单调递减函数，因为，，，故，即：，故选Ｃ．【考点】函数奇偶性的性质，简单复合函数的导数，函数的单调性与导数的关系．29.已知m为常数，函数为奇函数.（1）求m的值；（2）若，试判断的单调性（不需证明）；（3）若，存在，使，求实数k的最大值．【答案】（1）；（2）在R上单调递增；（3）.【解析】（1）由奇函数的定义得：，将解析式代入化简便可得m的值；（2），结合指数函数与反比例函数的单调性，便可判定的单调性；（3）对不等式：，不宜代入解析式来化简，而应将进行如下变形：，然后利用单调性去掉，从而转化为：.进而变为：.由题设知：.这样只需求出的最大值即可.将配方得：.所以在时,取得最大值，最大值为10.∴，从而.试题解析：（1）由，得,∴，即,∴. 4分（2），在R上单调递增. 7分(3)由，得， 9分即.而在时,最大值为10.∴，从而 12分【考点】1、函数的奇偶性和单调性；2、二次函数的最值；3、不等关系.30.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则=____________.【答案】1【解析】由题意可知函数的周期，于是，又函数是上的偶函数，所以，则.【考点】周期函数、奇偶性.31.若函数满足，且时，，则函数的图象与函数的图象的交点的个数为（）A．3B．4C．6D．8【答案】C【解析】由题意知，函数是个周期为2的周期函数，且是个偶函数，在一个周期上，图象是两条斜率分别为1和－1的线段，且，同理可得到在其他周期上的图象．函数也是个偶函数，先看在[0，+∞）上的交点个数，则它们总的交点个数是在[0，+∞）上的交点个数的2倍，在（0，+∞）上，，图象过（1，0），和（4，1），是单调增函数，与交与3个不同点，∴函数的图象与函数的图象的交点的个数为6个，故选.【考点】函数的奇偶性、周期性，对数函数的图象和性质.32.若函数f(x) (x∈R)是奇函数，函数g(x) (x∈R)是偶函数，则 ( )A．函数f(x)g(x)是偶函数B．函数f(x)g(x)是奇函数C．函数f(x)＋g(x)是偶函数D．函数f(x)＋g(x)是奇函数【答案】B【解析】令，由于函数为奇函数，，由于函数为偶函数，则，，故函数为奇函数，故选；对于函数，取，，则，此时函数为非奇非偶函数，故、选项均错误.【考点】函数的奇偶性33.已知是定义域为实数集的偶函数，，，若，则．如果，，那么的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，，，则,∴定义在实数集上的偶函数在上是减函数.∵, ∴, 即.∴或解得或.∴.故选B．【考点】函数的奇偶性、单调性.34.函数（）【答案】A【解析】由于函数为偶函数又过（0，0）所以直接选A.【考点】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题.35.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为A．B．C．1D．2【答案】C【解析】根据题意，由于函数是上的偶函数，若对于，都有，可知函数的周期为2，且当时，，那么则有，故可知答案为C。
高三数学奇偶性知识点汇总
高三数学奇偶性知识点汇总数学作为一门科学，不仅仅是一门知识，更是一种思维方式和解决问题的工具。
在高三数学学习中，掌握奇偶性知识点是十分重要的。
奇偶性是数学中一个独特而又有趣的概念，它在各个数学领域都有广泛应用。
下面我将对高三数学中的奇偶性知识点进行汇总：一、奇偶性的定义在数学中，奇数是指不能被2整除的整数，例如1、3、5等；偶数是指能被2整除的整数，例如2、4、6等。
可以看出，奇偶性是用来描述整数的一种属性。
而对于任意整数a，有以下定理：1. 如果a是奇数，则2a-1也是奇数；2. 如果a是奇数，则2a也是偶数；3. 如果a是偶数，则2a也是偶数。
二、奇偶性与四则运算奇偶性在四则运算中起着重要作用。
我们来探讨一下几个常见运算的奇偶性规律：1. 加法：奇数加奇数等于偶数，偶数加偶数等于偶数，奇数加偶数等于奇数；2. 减法：奇数减奇数等于偶数，偶数减偶数等于偶数，奇数减偶数等于奇数；3. 乘法：奇数乘奇数等于奇数，偶数乘偶数等于偶数，奇数乘偶数等于偶数；4. 除法：任何数除以2的余数为0的是偶数，余数为1的是奇数。
三、奇偶性与整数分解整数分解是数学中常见的一种思维方式，它能够帮助我们更好地理解问题并解决问题。
奇偶性与整数分解有着密切的关系，我们来看几个例子：1. 一个整数末尾是0、2、4、6、8中的任意一个，那么它一定是偶数；2. 一个整数末尾是1、3、5、7、9中的任意一个，那么它一定是奇数；3. 一个整数能够被10整除，那么它一定是偶数。
四、奇偶性与方程求解在高三数学中，求解方程是常见的题型之一。
奇偶性在方程求解中的应用也很广泛：1. 如果一个方程的左右两端都是奇数，那么这个方程没有整数解；2. 如果一个方程的左右两端都是偶数，那么这个方程可能有整数解。
五、奇偶性与函数图像函数图像也是高三数学中的重要内容。
奇偶性在函数图像中有着一定的特殊性：1. 如果一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称；2. 如果一个函数是偶函数，则它的图像关于y轴对称。
高三奇偶性数学知识点总结
高三奇偶性数学知识点总结在高中数学学习过程中，奇偶性是一个重要的数学概念。
不仅仅在数学课堂上有它的应用，它也在解题中发挥了关键的作用。
本文将总结高三奇偶性数学知识点，并探讨它们在实际问题中的应用。
1. 奇数和偶数的定义首先，我们需要明确奇数和偶数的定义。
奇数是指不能被2整除的整数，例如：1、3、5等；而偶数是指能被2整除的整数，例如：2、4、6等。
一个整数是奇数还是偶数可以通过它是否能够被2整除来判断。
2. 整数运算的奇偶性质在整数运算中，奇数和奇数的和、差以及积都是偶数。
例如，1+3=4，3-1=2，1×3=3。
而奇数和偶数的和、差以及积都是奇数。
例如，1+2=3，3-2=1，1×2=2。
同时，偶数和偶数的和、差以及积都是偶数。
例如，2+4=6，4-2=2，2×4=8。
3. 平方数的奇偶性质平方数是指一个数的平方，即一个数与自身相乘得到的数。
在平方数中，奇数的平方仍然是奇数，偶数的平方仍然是偶数。
例如，3的平方是9（奇数），4的平方是16（偶数）。
4. 阶乘的奇偶性质在阶乘中，奇数的阶乘仍然是奇数，偶数的阶乘仍然是偶数。
阶乘是指一个数与小于它的所有正整数的乘积。
例如，3的阶乘是3×2×1=6（偶数），4的阶乘是4×3×2×1=24（偶数）。
5. 四则运算的奇偶性质在四则运算中，加法和乘法都具有保持奇偶性的性质，即奇数加或乘奇数仍为奇数，偶数加或乘偶数仍为偶数。
例如，奇数加或乘奇数，如3+5=8，3×5=15（奇数）；偶数加或乘偶数，如4+6=10，4×6=24（偶数）。
而减法和除法的奇偶性质则与具体的数值相关。
减法中，一个奇数减去一个奇数，或一个偶数减去一个偶数，结果的奇偶性质与二者之差的奇偶性质相同。
例如，5-3=2（偶数），8-6=2（偶数）。
除法中，一个奇数除以一个奇数，或一个偶数除以一个偶数，结果的奇偶性质与二者之商的奇偶性质相同。
函数的奇偶性(1)
-5
-2
0
2
5 x
(-2,0) (2,5)
例3.设函数f(x)为R上的偶函数,并且在( ,0] 上单调
递增, 问a为何值时,f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1)
例4.
已知图(1)中图像对应的函数为y=f(x), 求图(2)中图像对应的函数解析式.
y y
-3
0
x
-3
0
3
x
(1)
x 2
偶函数 奇函数
1 x (3) f ( x) (1 x) 1 x
非奇非偶函数
2 x (4) f (
2 1) 的图像的对称性 例2.分析函数 y lg( 1 x
练:设奇函数f(x)定义域为[-5,5], 若当x [0,5]时,f(x) 的图像如图所示,求不等式f(x)<0的解集
图像法
3. 奇(偶)函数的性质: 1).两个奇函数之积为 偶 函数. 两个偶函数之积为 偶 函数.
一奇和一偶函数之积为 奇 函数
2).奇函数在其定义域上关于原点对称的两个区间上 的单调性 相同 .
偶函数在其定义域上关于原点对称的两个区间上
的单调性 相反 .
例1 判断下例函数的奇偶性
(2 1) (1) f ( x) x 2 2 (2) f ( x) lg( x x 1)
高三数学第一轮复习:
7.
知识回顾:
1. 奇函数 偶函数的定义 奇(偶)函数的定义域一定关于原点对称. 问:函数定义域关于原点对称是函数为奇(偶)函数的 必要不充分 条件. 2. 奇函数的图像关于原点对称, 偶函数的图像关于y轴对称. 判断函数奇偶性的方法:
定义法(首先判断函数的定义域是否关于原点对称)
高三数学奇偶性及周期性知识点整理
高三数学奇偶性及周期性知识点整理高三数学函数的奇偶性、周期性知识点一函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：偶函数：一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有f-x=fx，则称函数fx为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有f-x=-fx，那么函数fx是奇函数。
函数的周期性：1定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使fx+T=fx恒成立，则fx叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
2若T是周期，则k·Tk≠0，k∈Z也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。
一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数fx=C。
奇函数与偶函数性质：1奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
3在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数; ②两个偶函数的和、积是偶函数; ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数fx为奇函数或偶函数的必要但不充分条件.1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称;定义域在数轴上关于原点对称是函数fx为奇函数或偶函数的必要但不充分条件.2、函数的周期性令a,b均不为零，若：1函数y=fx存在fx=fx+a==>函数最小正周期T=|a|2函数y=fx存在fa+x=fb+x==>函数最小正周期T=|b-a|3函数y=fx存在fx=-fx+a==>函数最小正周期T=|2a|4函数y=fx存在fx+a===>函数最小正周期T=|2a|5函数y=fx存在fx+a===>函数最小正周期T=|4a|高三数学函数的奇偶性、周期性知识点二一、函数的奇偶性二、周期性1、周期函数对于函数y=fx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有fx+T=fx，那么就称函数y=fx为周期函数，称T为这个函数的周期.2、最小正周期如果在周期函数fx的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做fx 的最小正周期.三、奇、偶函数的有关性质：1定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件;2奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反之亦然;3若奇函数fx在x=0处有定义，则f0=0;4利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同;利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反.5若函数满足fx+T=fx，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期;应注意nTn∈Z 且n≠0也是函数的周期.四、利用定义判断函数奇偶性的方法1首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件;2如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f-x=-fx或f-x=fx是否对定义域内的每一个x恒成立恒成立要给予证明，否则要举出反例.判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f-x与fx的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性.【特别提醒】函数奇偶性的应用1已知函数的奇偶性求函数的解析式.利用奇偶性构造关于fx的方程，从而可得fx的解析式.2已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数.常常采用待定系数法：利用fx±f-x=0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值.3奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高三数学函数的奇偶性
例2．定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)且f(0)≠0
①求证：f(0)=1 ②求证：y=f(x)是偶函数
练：定义在R上的函数y=f(x)，对任意x1，x2都有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，判断函数y=f(x)的奇偶性并证明。
①判断f(x)在(,10]上的单调性，并用定义证明，
②若a>0且a≠1， 有 f [(a x 1)2 a x ] f (a 2x 6a x 10) 0 求x的取值范围。
三．小结
１．定义域关于原点对称是函数是奇（偶）函数
的必要不充分条件；
２．y=f(x)是奇（偶）函数 y=f(x)的图象关于原
从性质和图形出 发解题
(书）例4．函数f(x)是定义在D x x 0上的函数，且
f(x)满足对任意 x1, x2 D,有, f (x1.x2 ) f (x1) f (x2 )
①求f(1)的值 ②判断f(x)的奇偶性并证明，
③若 f (4) 1, f (3x 1) f (2x 6) 3且f(x)在 (0,)
从定义出发解题
例3．已知函数f(x)，当x<0时，f(x)=x2+2x-1 ①若f(x)为R上的奇函数，能否确定其解析式？请说明 理由。 ②若f(x)为R上的偶函数，能否确定其解析式？请说明 理由。
(书例1)变式一：已知函数 y f (x)是偶函数，y f (x 2)
在 0,2是单调减函数,则
点（y轴）对称
３．F(x)=f[g(x)]的奇偶性
４．若函数f(x)的定义域关于原点对称，则
f (x) 1 [ f (x) f (x)] 1 [ f (x) f (x)]
高三奇偶函数知识点
高三奇偶函数知识点奇偶函数是数学中的一种特殊类型的函数，它们具有一些独特的性质和规律。
在高三数学学习中，奇偶函数是一个重要的知识点。
本文将从定义、性质和例题三个方面介绍高三奇偶函数的相关知识。
一、定义奇偶函数的定义如下：对于定义在一个对称区间上的函数f(x)，当对于该区间上任意一个 x，都满足 f(-x) = -f(x) 时，函数 f(x) 称为奇函数；当对于该区间上任意一个 x，都满足 f(-x) = f(x) 时，函数 f(x) 称为偶函数。
二、性质1. 对于奇函数来说，如果函数图像关于原点对称，那么它的自变量和因变量之间具有一种特殊的关系：当 x 属于定义区间时，f(x) = -f(-x)。
2. 对于偶函数来说，如果函数图像关于 y 轴对称，那么它的自变量和因变量之间具有一种特殊的关系：当 x 属于定义区间时，f(x) = f(-x)。
3. 奇函数与偶函数的性质可以通过函数图像的对称性来判断。
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 y 轴对称。
4. 如果一个函数既是奇函数又是偶函数，那么它必须是常值函数，即对于某一个实数 k，f(x) = k，对于定义区间上任意一个 x都成立。
5. 奇函数和偶函数的性质在函数的运算中也能体现出来。
奇函数和奇函数、偶函数和偶函数的和、积、商都是奇函数；奇函数和偶函数的和、差、乘积、商都是奇函数；偶函数和偶函数的和、差、乘积、商都是偶函数。
三、例题下面通过几道例题来加深对奇偶函数知识点的理解。
例题1：已知函数 f(x) = x^3 - x，判断其是否为奇函数或者偶函数。
解析：将函数f(x) 分别代入奇函数和偶函数的定义中进行判断。
奇函数定义：f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x偶函数定义：f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x由计算可知，f(-x) = -f(x)，f(-x) = f(x)。
因此，函数 f(x) 同时是奇函数和偶函数。
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