有限元法的理论和要点
有限元方法的基本原理
有限元方法的基本原理
有限元方法是一种数值分析方法，用于求解复杂结构的力学问题。
其基本原理如下：
1. 将结构离散化：首先将结构分割成许多小的单元（有限元），每个单元可视作一个简单的结构部件。
这样可以将原始连续结构的复杂问题简化为每个小单元的简单问题。
2. 定义弯曲关系：对每个单元建立力学模型，包括定义材料的弹性模量、泊松比、截面积等力学性质参数。
3. 建立单元的位移方程：利用有限元方法，采用适当的形函数，建立每个单元的位移方程，一般为不定位移分析。
4. 组装全局方程：将所有单元的位移方程组装成整个结构的全局方程。
5. 求解方程组：通过数值方法（如高斯消元法、迭代法等），求解结构的位移和应力等力学量。
6. 分析结果：根据结构的位移和应力等力学量，可对结构的强度、刚度、振动等进行分析和评价。
有限元方法的基本原理是将复杂结构的力学问题通过离散化处理，化为易于计算的小单元问题，再通过数值方法求解整个结构的力学行为。
计算电磁学中的有限元方法
计算电磁学中的有限元方法随着计算机技术的不断发展和应用，计算电磁学研究的范围和深度不断提高，其应用领域也越来越广泛。
有限元方法是计算电磁学研究中重要的数值分析方法之一，其可模拟复杂电磁场问题，有着广泛的应用。
本文将简要介绍计算电磁学中的有限元方法的一些基本原理和应用。
一、有限元法基本理论有限元方法是数值分析中一种重要的数学工具，其基本思想是将整个计算区域分割成若干个简单的单元，然后在每个单元内选取一个适当的基函数，通过求解基函数系数来表示数值解。
这种思想很容易扩展到计算电磁场问题上，因为电磁场分布可以被视为由一些小电磁场单元组成。
有限元方法的基本过程包括建立有限元模型、离散化、求解以及后处理。
其中建模是有限元方法中最重要的一个环节。
在建模过程中，首先需要选取合适的计算区域，并将其离散化为若干个小单元（如三角形、四边形等）。
然后，我们需要选取适当的基函数，并确定它们所对应的系数的初始值。
一旦有限元模型被建立，我们就可以进行求解了。
具体来说，有限元法的求解过程需要求解一个大规模的稀疏矩阵方程，其中系数矩阵和右侧向量都与电磁场有关。
这个过程需要借助计算机的优势，通过矩阵解法算法完成求解。
最后，我们通过后处理来获得我们需要的电磁场信息或工程参数，例如电势、磁场强度、感应电动势等。
二、有限元法应用领域有限元法在计算电磁学中广泛应用。
其应用范围涉及电机、变压器、电力电子、雷达、电磁兼容等多个领域。
有限元法可用于仿真复杂的电磁场分布问题，例如在电机设计中，有限元法可用于电机磁场分析、电机振动分析以及谐波分析等。
在电力电子领域中，有限元法可用于设计电感元件和变压器等。
另外，有限元法在雷达技术中也有着广泛的应用，可用于雷达天线设计和仿真。
三、有限元法的优缺点有限元法作为一种数值分析方法，具有一定优缺点。
有限元法的主要优点在于它具有很强的适应性和通用性，可用于模拟各种复杂的材料和几何形状。
此外，有限元法允许我们针对不同的模型选择不同的元素类型和元素尺寸，因此可以根据实际需求自由选择不同的模型。
有限元法基础重点归纳(精)
=E 1−μ
2∗
1−μ2
γxy
42、制造位移函数:{u (x,y =α1+α2x +α3y
v (x,y =α4+α5x +α6y
43、等参单元精度比四边形单元高,四边形精度比三角形精度高。
44、轴对称问题:很多工程物件,它们的几何形状承受的载荷以及约束条件都对称于其一固定轴,这即为对称轴,此时载荷作用下的位移、应变和应力也对称于该对称轴的问题。45、等参数单元:优点:①形状方位任意,适应性好,精度高,容易构造高阶单元②具有统一形式,规律性强,采用数值积分算,程序处理方便③高阶等参单元精度高,描述复杂边界,形状能力强,所需单元少。缺点:①单元各方向尺寸要尽量接近②单元边界不能过于曲折,不能有拐点折点,尽量接近直线或抛物线③边之间夹角要尽量接近直角④单元形状不能过度畸变,边中节点不能过于偏离中间。46、有限元法基础理论:弹性力学,材料力学
11、弹性力学假设所研究的物体是连续的、完全弹性的、均匀的、各向同性的、微小变形的和无初应力的
12、外力:体力(分布在物体体积内的力---重力、惯性力、电磁力面力(分布在物体表面上的力---流体压力、接触力、风力
13、应力:物体受外力作用,或由于温度有所改变,其内部发生的内力。σ={ σx σy σz τx τy τz }
m
联立求解α1=1
2A |u i
x i y i u j
x j y j u m
x m
y m |α2=1
2A
|1u i
y i 1u j
y j 1u m y m |α3=1
2A
|1x i
u i
1x j
u j 1x m u m
|→A =1
有限元基本知识归纳
有限元知识点归纳1.、有限元解的特点、原因？答：有限元解一般偏小，即位移解下限性原因：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。
在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此，连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度较实际的刚度K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。
2、形函数收敛准则（写出某种单元的形函数，并讨论收敛性）P49(1)在节点i处N i=1,其它节点N i=0;(2)在单元之间，必须使由其定义的未知量连续；(3)应包含完全一次多项式；(4)应满足∑Ni=1以上条件是使单元满足收敛条件所必须得。
可以推证，由满足以上条件的形函数所建单元是完备协调的单元，所以一定是收敛的。
4、等参元的概念、特点、用时注意什么？（王勖成P131）答：等参元—为了将局部坐标中几何形状规则的单元转换成总体（笛卡尔）坐标中的几何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要，必须建立一个坐标变换。
即：为建立上述的变换，最方便的方法是将上式表示成插值函数的形式，即：其中m是用以进行坐标变换的单元节点数，xi,yi,zi是这些结点在总体（笛卡尔）坐标内的坐标值，Ni’称为形状函数，实际上它也是局部坐标表示的插值函数。
称前者为母单元，后者为子单元。
还可以看到坐标变换关系式和函数插值表示式：在形式上是相同的。
如果坐标变换和函数插值采用相同的结点，并且采用相同的插值函数，即m=n，Ni’=Ni,则称这种变换为等参变换。
5、单元离散？P42答：离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。
每个部分称为一个单元，连接点称为结点。
对于平面问题，最简单、最常用的离散方式是将其分解成有限个三角形单元，单元之间在三角形顶点上相连。
这种单元称为常应变三角形单元。
常用的单元离散有三节点三角形单元、六节点三角形单元、四节点四边形单元、八节点四边形单元以及等参元。
有限元法的理论和要点
(3)要点： 有限元分析法对于结构分析是非常有效的手段。但是，想改变认识，由 有限单元分析得到的结果，可以说要超过你所制成的输入数据以上的东西是 没有的。 即使使用多么好的程序，输入的数据精度差的话，结果也差的。
元计算科技发展有限公司是一家既年青又悠久的科技型企业。年青是因为她正处在战略重组 后的初创期，悠久是因为她秉承了中国科学院数学研究所在有限元和数值计算方面所开创的光荣 传统。元计算的目标是做强中国人自己的计算技术，做出中国人自己的CAE软件。
有限元法的理论和要点
(1)有限元法的理论 正规想学有限元的理论的人请选专门的参考书学习。 这里粗略说明一下有限元 法的理论概要。说明是简短的，而使用的是专门术语。现在有不理解的地方，以后 再学。每积累一点经验，都会加深一点理解的。 有限元法有位移法、应力法、混合法。
以下举最普通的位移法说明一下。
(2)看不见的有限元的内容 ●有限元法一个黑箱分析系统
元计算秉承中国科学院数学与系统科学研究院有限元自动生成核心技术（曾获中科院科技进 步二等奖、国家科技进步二等奖），通过自身不懈的努力与完善，形成一系列具有高度前瞻性和 创造性的产品。
元计算产品适用范围广泛，目前有国内外专业客户300余家，涉及美、加、日、韩、澳、德、 新等国，遍布石油化工、土木建筑、电磁电子、国防军工、装备制造、航空航天……等多个领域。
有限元语言及编译器（Finite Element Language And it’s Compiler，以下简称FELAC） 是中国科学院数学与系统科学研究院梁国平研究院于1983年开始研发的通用有限元软件平 台，是具有国际独创性的有限元计算软件，是PFEPG系列软件三十年成果（1983年—2013 年）练，更加灵活，功能更加强大。目前 已发展到2.0版本。其核心采用元件化思想来实现有限元计算的基本工序，采用有限元语 言来书写程序的代码，为各领域，各类型的有限元问题求解提供了一个极其有力的工具。 FELAC可以在数天甚至数小时内完成通常需要一个月甚至数月才能完成的编程劳动。
第二章有限元分析基本理论
第二章有限元分析基本理论有限元分析是一种数值计算方法，广泛应用于结构分析、流体力学、热传导等工程领域。
它通过将连续的物理问题离散化为有限个简单的子问题，再通过数值方法求解这些子问题，最终得到原始问题的近似解。
有限元分析的基本理论包括三个方面：离散化、加权残差和求解方法。
首先是离散化。
离散化是指将原始的连续问题转化为离散的子问题。
有限元分析中常用的离散化方法是将求解区域分割成有限的子域，称为单元。
每个单元内部的场量（如位移、温度等）可以用其中一种函数近似表示。
离散化的关键是选择适当的单元形状和适量的节点，使得子问题的离散解能够较好地近似原问题的解。
接下来是加权残差方法。
加权残差方法是有限元分析的核心思想，用于构造子问题的弱型方程。
弱型方程是原始问题的一种积分形式，由应力平衡和边界条件推导而来。
在加权残差方法中，我们引入加权函数，将弱型方程乘以权函数，再对整个求解区域进行积分，从而将连续问题转化为离散问题。
通过选择合适的权函数，可以使得该离散问题具有良好的数学特性，比如对称、正定等。
最后是求解方法。
有限元分析的求解方法主要包括直接法和迭代法。
直接法适用于小型问题，通过对离散问题的系数矩阵进行直接求解，得到场量的离散解。
而迭代法适用于大型问题，通过迭代求解线性代数方程组，得到场量的近似解。
迭代法的常用算法有雅可比法、高斯-赛德尔法、共轭梯度法等。
在求解中还需要注意计算误差的控制和收敛性的判定。
除了这三个基本理论，有限元分析还有一些相关的概念和技术。
例如，网格生成用于生成离散化的单元网格；后处理用于对离散解进行可视化和数据分析；材料模型用于描述材料的本构关系。
这些概念和技术在具体的有限元分析应用中，有着重要的作用。
综上所述，有限元分析的基本理论包括离散化、加权残差和求解方法。
离散化将连续问题转化为离散子问题，加权残差方法用于构造子问题的弱型方程，求解方法用于求解离散问题。
掌握这些基本理论，对于理解和应用有限元分析方法具有重要意义。
有限元法的理论基础
有限元法的理论基础有限元法是一种离散化的数值计算方法，对于结构分析而言，它的理论基础是能量原理。
能量原理表明，在外力作用下，弹性体的变形、应力和外力之间的关系受能量原理的支配，能量原理与微分方程和定解条件是等价的。
下面介绍有限元法中经常使用的虚位移原理和最小势能原理。
1.虚位移原理虚位移原理又称虚功原理，可以叙述如下：如果物体在发生虚位移之前所受的力系是平衡的(物体内部满足平衡微分方程，物体边界上满足力学边界条件），那么在发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于虚应变能（物体内部应力在虚应变上所做的虚功）。
反之，如果物体所受的力系在虚位移（及虚应变）上所做的虚功相等，则它们一定是平衡的。
可以看出，虚位移原理等价于平衡微分方程与力学边界条件。
所以虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分的条件。
虚位移原理不仅可以应用于弹性性力学问题，还可以应用于非线性弹性以及弹塑性等非线性问题。
2.最小势能原理最小势能原理可以叙述为：弹性体受到外力作用时，在所有满足位移边界条件和变形协调条件的可以位移中，真实位移使系统的总势能取驻值，且为最小值。
根据最小势能原理，要求弹性体在外力作用下的位移，可以满足几何方程和位移边界条件且使物体总势能取最小值的条件去寻求答案。
最小势能原理仅适用于弹性力学问题。
2.2有限元法求解问题的基本步骤弹性力学中的有限元法是一种数值计算方法，对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元法的基本步骤是相同的，只是具体方式推导和运算求解不同，有限元求解问题的基本步骤如下。
2.2.1问题的分类求解问题的第一步就是对它进行识别分析，它包含的更深层次的物理问题是什么？比如是静力学还是动力学，是否包含非线性，是否需要迭代求解，要从分析中得等到什么结果等。
对这些问题的回答会加深对问题的认识与理解，直接影响到以后的建模与求解方法的选取等。
2.2.2建模在进行有限元离散化和数值求解之值，我们为分析问题设计计算模型，这一步包括决定哪种特征是所要讨论的重点问题，以便忽略不必要的细节，并决定采用哪种理论或数学公式描述结果的行为。
第五章偏微分方程的有限元法
有限元空间与基函数
针对椭圆型方程的特点，构造适当的有限元空间及 基函数，使得近似解能够较好地逼近真实解。
刚度矩阵与载荷向量
利用有限元基函数对椭圆型方程进行离散化 ，得到以刚度矩阵和载荷向量为未知量的线 性方程组。
抛物型偏微分方程的有限元法
时间离散与空间离散
抛物型偏微分方程涉及时间变量，需要采用合适的时间离散方案， 并结合空间有限元离散进行求解。
刚度矩阵反映了单元内部节点间的相 互作用力，需要根据形函数和单元刚 度矩阵进行组装得到整体刚度矩阵。
载荷向量组装
载荷向量反映了作用在节点上的外力 ，需要根据形函数和节点载荷进行组 装得到整体载荷向量。
边界条件处理与方程求解
边界条件处理
对于给定的边界条件，需要在整体刚度矩阵 和载荷向量中进行相应的处理，以保证求解 的正确性。常见的边界条件有Dirichlet边界 条件和Neumann边界条件。
分片插值
在每个单元内，选择基函数，用 单元基函数的线形组合来逼近单 元中的真解。
求解线性方程组
将问题的控制方程转化为等效的 线性方程组进行求解，得到每个 节点的待求量。
有限元法的发展历程
起源
有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其 方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。
素。
有限元法的实现过
04
程
网格划分与单元构造
网格划分
将求解区域划分为有限个互不重叠的子 区域，即单元。常见的网格划分方法有 结构化网格和非结构化网格。
VS
单元构造
对于每个单元，需要确定其形状、大小、 节点数及节点坐标等信息。常见的单元类 型有三角形、四边形、四面体等。
有限元法_精品文档
12
一、有限元法的基本概念
1.什么是有限元法
我们实际要处理的对象都是连续体，在传统设 计思维和方法中，是通过一些理想化的假定后，建 立一组偏微分方程及其相应的边界条件，从而求出 在连续体上任一点上未知量的值。
25
4）具有灵活性和适用性，适应性强（它可以把形状 不同、性质不同的单元组集起来求解，故特别适 用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为 广泛。它不仅能成功地处理如应力分析中的非均 匀材料、各向异性材料、非线性应力应变以及复 杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法 的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流 体力学及电磁场领域的许多问题）
21
对于一个具体的工程结构，单元的划分越小， 求解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越 大。
梯子的有限元模型不到100个方程； 在ANSYS分析中，一个小的有限元模型可能有几 千个未知量，涉及到的单元刚度系数几百万个。 单元划分的精细程度，取决于工程实际对计算 结果精确性的要求。
22
4）有限元分析 有限元分析就是利用数学近似的方法对真实
5）在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。
26
2.有限元法的作用 1）减少模型试验的数量（计算机模拟允许对大量
的假设情况进行快速而有效的试验）； 2）模拟不适合在原型上试验的设计（例如：器官
移植、人造膝盖）； 3）节省费用，降低设计与制造、开发的成本； 4）节省时间，缩短产品开发时间和周期； 5）创造出高可靠性、高品质的产品。
因为点是无限多的，存在无限自由度的问题， 很难直接求解这种偏微分方程用来解决实际工程问 题，因此需要采用近似方法来处理。
第一章 有限元法的理论基础
法得到了广泛的应用。本课程主要介绍位移法。
9/23/2014 北京航空航天大学 17
第1章 有限元法的理论基础__简例
♦梯形悬臂梁的有限元分析：
(1)结构离散化
假定：梁的长度比宽度大得多，为简单均匀的梁单元。
9/23/2014
北京航空航天大学
18
第1章 有限元法的理论基础__简例
♦梯形悬臂梁的有限元分析：
9/23/2014 北京航空航天大学 2
第1章 有限元法的理论基础__概述 ¾刚度矩阵： 对n个点，可写出n个表示式
写成矩阵形式为
⎡ F1 ⎤ ⎡ k11 ⎢ F ⎥ ⎢k ⎢ 2 ⎥ ⎢ 21 ⎢" ⎥ ⎢ # ⎢ ⎥= ⎢ ⎢ Fi ⎥ ⎢ ki1 ⎢" ⎥ ⎢ # ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎣ Fn ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ kn1
[ p]
式中
9/23/2014
= [ k ] [δ ]
e
e
⎡ k1 e k = [ ] ⎢ ⎣ − k1
− k1 ⎤ ⎡ k11 =⎢ ⎥ k1 ⎦ ⎣ k21
k12 ⎤ k22 ⎥ ⎦
为单元刚度矩阵
8
北京航空航天大学
第1章 有限元法的理论基础__简例
(计算物理学)第10章有限元方法
使用数值方法求解线性方程组，得到每个节点的物 理量值。
03
求解线性方程组是有限元方法的核心步骤，其结果 的精度和稳定性对整个计算过程至关重要。
04
有限元方法的实现与应用
有限元分析软件介绍
COMSOL Multiphysics
COMSOL是一款强大的有限元分析软件， 支持多物理场模拟，包括电磁场、流体动力 学、化学反应等。
求解方程
通过有限元方法求解微分方程， 得到每个有限元的位移、应力 等结果。
建立模型
根据实际问题建立数学模型， 包括几何形状、材料属性、边 界条件等。
施加载荷和约束
根据实际情况，对有限元施加 适当的载荷和约束条件。
结果后处理
对求解结果进行后处理，包括 绘制云图、生成动画等。
有限元方法的应用领域
01
02
案例二：机械零件的应力分析
总结词
机械零件的应力分布和最大承受载荷是设计 时必须考虑的重要因素，有限元方法能够精 确模拟零件在不同工况下的应力状态。
详细描述
利用有限元方法，可以建立机械零件的模型 并模拟其在工作过程中所承受的应力分布。 这种方法能够预测零件在不同工况下的最大 承受载荷，为设计优化提供依据，提高零件
03
结构分析
用于分析结构的应力、应 变、位移等，广泛应用于 航空航天、汽车、土木工 程等领域。
流体动力学
用于分析流体动力学问题， 如流体流动、传热等，广 泛应用于能源、环境等领 域。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
电磁场分析
用于分析电磁场问题，如 电磁波传播、电磁感应等， 广泛应用于通信、雷达、 电子设备等领域。
05
有限元方法的优缺点与改进 方向
03
有限元法基础理论
为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个角码，例如，正应力σ x 是作用在垂直于 x
轴的面上同时也沿着 X 轴方向作用的。 （2）剪应力τ 加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪
一个坐标轴。例如，剪应力τ xy 是作用在垂直于 X 轴的面上而沿着 y 轴方向作用的。
如图 2 所示，将直杆划分成 n 个有限段，有限段之间通过一个铰接点连接。称两段之间的连接
1
点为结点，称每个有限段为单元。 第i个单元的长度为Li，包含第i，i+1 个结点。
2）用单元节点位移表示单元内部位移。我们假设单元内部位移为线性函数。
u(x)
=
ui
+
ui+1 − ui Li
(x
−
xi )
其中 ui 为第 i 结点的位移， xi 为第 i 结点的坐标。第 i 个单元的应变为 ε i ，应力为σ i ，内力为 Ni ：
5
或乘积项都可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程。 三、基本变量
1.应力的概念 1）外力：面力和体力 作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种： 表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面
积上的表面力通常分解为平行于坐标轴的三个成分，用记号 Χ、Υ、Ζ
结点 位移
(1)
内部各 点位移
(2)
(3)
(4)
应变
应力
结点力
单元分析
以平面问题的三角形 3 结点单元为例。如图 1-15 所示，单元有三个结点 I、J、M，每个结点有 两个位移 u、v 和两个结点力 U、V。
3
有限元分析理论基础-大全-超详细
应力的单元平均或节点平均处理方法
最简单的处理应力结果的方法是取相邻单元或围绕节点各单元应力的平均值。
• 1.取相邻单元应力的平均值 这种方法最常用于 3 节点三角形单元中。这种最简单而又相当实用的单元得
到的应力解在单元内是常数。可以将其看作是单元内应力的平均值，或是单元 形心处的应力。由于应力近似解总是在精确解上下振荡，可以取相邻单元应力
们的平均值作为该节点的最后应力值 ，即 i
i
1
m
m
e i
e 1
其中，1~m 是围绕在 i 节点周围的全部单元。取平均值时也可进行面积加权。
有限元法求解问题的基本步骤
1.结构离散化
对整个结构进行离散化，将其分割成若干个单元，单元间彼此通过节点相连；
2.求出各单元的刚度矩阵[K](e)
虚应力原理的力学意义：如果位移是协调的，则虚应力和虚边界约束反力在他们 上面所作的功的总和为零。反之，如果上述虚力系在他们上面所作的功的和为零，则 它们一定是满足协调的。所以，虚应力原理表述了位移协调的必要而充分条件。
虚应力原理可以应用于线弹性以及非线性弹性等不同的力学问题。但是必须指 出，无论是虚位移原理还是虚应力原理，他们所依赖的几何方程和平衡方程都是基于 小变形理论的，他们不能直接应用于基于大变形理论的力学问题。
虚位移原理是平衡方程和力的边界条件的等效积分的“弱”形式； 虚应力原理是几何方程和位移边界条件的等效积分“弱”形式。 虚位移原理的力学意义：如果力系是平衡的，则它们在虚位移和虚应变上所作的 功的总和为零。反之，如果力系在虚位移（及虚应变）上所作的功的和等于零，则它 们一定满足平衡方程。所以，虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分条件。一般而 言，虚位移原理不仅可以适用于线弹性问题，而且可以用于非线性弹性及弹塑性等非 线性问题。
有限元基本理论
一、有限单元法的基本思想（1）将一个连续域化为有限个单元并通过有限个结点相连接的等效集合体。
由于单元能按照不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。
（2）有限元法利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场数。
单元内的近似函数由未知场函数在单元的各个结点的数值和其插值函数来表达。
（3）一个问题的有限元分析中，未知场函数在各个结点上的数值就成为新的未知量，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
（4）一经求解出这些未知量，就可以通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。
显然，随着单元数目的增加，也即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加以及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断改进，如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛于精确解。
图1 有限元分析流程图二、有限元分析过程概述1 结构的离散化结构的离散化是有限单元法分析的第一步，它是有限单元法的基本概念。
所谓离散化简单地说，就是将要分析的结构物分割成有限个单元体，并在单元体的指定点设置结点，使相邻单元的有关参数具有一定的连续性，并构成一个单元的集合体，以它代替原来的结构。
如果分析的对象是桁架，那么这种划分十分明显，可以取每根杆件作为一个单元，因为桁架本来是由杆件组成的。
但是如果分析的对象是连续体，那么为了有效地逼近实际的连续体，就需要考虑选择单元的形状和分割方案以及确定单元和结点的数目等问题。
2 选择位移模式在完成结构的离散之后，就可以对典型单元进行特性分析。
此时，为了能用结点位移表示单元体的位移、应变和应力，在分析连续体问题时，必须对单元中位移的分布作出一定的假设，也就是假定位移是坐标的某种简单的函数，这种函数称为位移模式或插值函数。
选择适当的位移函数是有限单元法分析中的关键。
通常选择多项式作为位移模式。
其原因是因为多项式的数学运算（微分和积分）比较方便，并且由于所有光滑函数的局部，都可以用多项式逼近。
有限元理论与方法
有限元理论与方法有限元法是一种数值计算方法，用于求解复杂物理问题的近似解。
它将连续问题离散化为离散问题，并通过求解离散问题来近似求解原问题。
有限元法广泛应用于结构力学、流体力学、电磁场等领域。
有限元法的理论基础是分片连续函数空间的降维表示。
它将求解区域分割成许多简单的有限元单元，例如三角形、四边形或立方体等。
每个单元内的解通过一组形函数进行近似表示，形函数通常是局部性质的，即只在该单元内非零。
通过建立形函数与解之间的关系，可以将原问题转化为求解离散问题。
在解离散问题时，有限元法通过构建代数方程组以及边界条件来获得解。
代数方程组通常通过对能量变分或Galerkin方法进行离散化得到。
通过求解代数方程组，可以获得有限元法的近似解。
有限元法具有许多优点。
首先，它适用于各种不规则的几何形状。
通过将问题的几何形状分割为简单的单元，可以处理复杂的几何形状。
其次，有限元法具有高自由度的适应性。
通过增加或减少单元的数量，可以调整有限元方法的精度。
此外，它还可以处理不同类型的物理现象。
通过选择适当的形函数，可以将有限元法应用于结构、流体、热力学等各种领域。
然而，有限元法也存在一些局限性。
首先，它是一种近似方法，因此在求解过程中可能引入误差。
在实际应用中，需要评估误差，并确保误差的控制在允许范围内。
其次，有限元法在处理大规模问题时可能需要大量的计算资源。
解决大规模问题可能需要并行计算或者使用高性能计算机。
此外，有限元法对网格质量和网格依赖性较为敏感，因此需要谨慎选择网格划分方法。
总的来说，有限元理论和方法是一种重要的数值计算方法，广泛应用于科学和工程领域。
它的理论基础是分片连续函数空间的降维表示，以及代数方程组的离散化求解。
有限元法具有适应各种几何形状、高自由度的特点，并可应用于各种物理现象。
然而，它也存在误差引入、计算资源需求大等局限性。
为了获得精确的解，需要在实际应用中合理选择方法和调整参数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
把作为对象的物体分割成小部分(称这部分为单元)再输入边界条件(约束、载荷)。 把 各个小部分的结构特性用公式近似。 把这些小的部分组合起来就可得到全部力的平衡方 程式。 使用给出的边界条件解出平衡方程式。 从结果求得单元内部的应力、应变、位移等。 有限元法的困难的理论和公式作为黑箱。 用户可以把 CAE 系统作为黑箱子来使用。 最重要的是准备适当的输入数据。 输入数据决定结果。 即输入数据的制作方法左右着结果。
元计算秉承中国科学院数学与系统科学研究院有限元自动生成核心技术（曾获中科院科技进 步二等奖、国家科技进步二等奖），通过自身不懈的努力与完善，形成一系列具有高度前瞻性和 创造性的产品。
元计算产品适用范围广泛，目前有国内外专业客户300余家，涉及美、加、日、韩、澳、德、 新等国，遍布石油化工、土木建筑、电磁电子、国防军工、装备制造、航空航天……等多个领域。
有限元法的理论和要点
(1)有限元法的理论 正规想学有限元的理论的人请选专门的参考书学习。 这里粗略说明一下有限元 法的理论概要。说明是简短的，而使用的是专门术语。现在有不理解的地方，以后 再学。每积累一点经验，都会加深一点理解的。 有限元法有位移法、应力法、混合法。
以下举最普通的位移法说明一下。
(2)看不见的有限元的内容 ●有限元法一个黑箱分析系统
●黑箱的内容是什么? 有限单元法的理论是一种 Rayleigh-Ritz 法和 Galerkin 法。 以结构分析的情况为例，是一种用能量原理把未知数的位移，以近似解求出的数值分 析法。 ●有限单元法的结果正确吗? 用数学公式表示单元内部的位移场(称这为位移函数)。 单元的位移函数满足完全性和合适性条件，有限单元法的近似解是收敛于严密解的， 这可以用数学来证明。 所谓完全性就是位移函数可以表示刚体位移和常应变状态。 合适条件是在单元内部及 单元的边界它的位移是连续的。
有限元语言及编译器（Finite Element Language And it’s Compiler，以下简称FELAC） 是中国科学院数学与系统科学研究院梁国平研究院于1983年开始研发的通用有限元软件平 台，是具有国际独创性的有限元计算软件，是PFEPG系列软件三十年成果（1983年—2013 年）的总结与提升，有限元语言语法比PFEPG更加简练，更加灵活，功能更加强大。目前 已发展到2.0版本。其核心采用元件化思想来实现有限元计算的基本工序，采用有限元语 言来书写程序的代码，为各领域，各类型的有限元问题求解提供了一个极其有力的工具。 FELAC可以在数天甚至数小时内完成通常需要一个月甚至数月才能完成的编程劳动。
(3)要点： 有限元分析法对于结构分析是非常有效的手段。但是，想改变认识，由 有限单元分析得到的结果，可以说要超过你所制成的输入数据以上的东西是 没有的。 即使使用多么好的程序，输入的数据精度差的话，结果也差的。
元计算科技发展有限公司是一家既年青又悠久的科技型企业。年青是因为她正处在战略重组 后的初创期，悠久是因为她秉承了中国科学院数学研究所在有限元和数值计算方面所开创的光荣 传统。元计算的目标是做强中国人自己的计算技术，做出中国人自己的CAE软件。
Thank you