新人教版九年级数学下册 二次函数测试习题及答案

专项训练三 二次函数

一、选择题

1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是( )

A ．y ＝3x －1

B ．y ＝ax 2＋bx ＋c

C ．s ＝2t 2－2t ＋1

D ．y ＝x 2＋1x 2．二次函数y ＝x 2＋4x －5的图象的对称轴为( )

A ．x ＝4

B ．x ＝－4

C ．x ＝2

D ．x ＝－2

3．将抛物线y ＝－2x 2＋1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为( )

A ．y ＝－2(x ＋1)2

B ．y ＝－2(x ＋1)2＋2

C ．y ＝－2(x －1)2＋2

D ．y ＝－2(x －1)2＋1

4．某种正方形合金板材的成本y (元)与它的面积成正比，设边长为x cm.当x ＝3时，y ＝18，那么当成本为72元时，边长为( )

A ．6cm

B ．12cm

C ．24cm

D ．36cm

5．(兰州中考)点P 1(－1，y 1)，P 2(3，y 2)，P 3(5，y 3)均在二次函数y ＝－x 2＋2x ＋c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )

A ．y 3＞y 2＞y 1

B ．y 3＞y 1＝y 2

C ．y 1＞y 2＞y 3

D ．y 1＝y 2＞y 3

6．(毕节中考)一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )

7．(兰州中考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，对称轴是直线x ＝－1，有以下结论：

①abc ＞0；②4ac ＜b 2；③2a ＋b ＝0；④a －b ＋c ＞2.其中正确的结论的个数是( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 8．已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，将这条抛物线的顶点记为C ，连接AC 、

BC ，则tan ∠CAB 的值为( )

A.12

B.55

C.255

D ．2

二、填空题

9．(河南中考)已知A (0，3)，B (2，3)是抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 上两点，该抛物线的顶点坐标是________．

10．若二次函数y ＝x 2＋2x ＋m 的图象与x 轴没有公共点，则m 的取值范围是________．

11．(大连中考)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴相交于点A 、B (m ＋2，0)，与y 轴相交于点C ，点D 在该抛物线上，坐标为(m ，c )，则点A 的坐标是________．

第11题图 第14条图

12．(台州中考)竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向

上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t 秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t ＝________．

13．(厦门中考)已知点P (m ，n )在抛物线y ＝ax 2－x －a 上，当m ≥－1时，总有n ≤1成立，则a 的取值范围是____________．

14．★(梅州中考)如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ，点D (0，1)，点P 是抛物线

上的动点．若△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，则点P 的坐标为____________．

三、解答题

15．已知二次函数y ＝x 2－4x ＋3.

(1)用配方法求其图象的顶点C 的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；

(2)求函数图象与x 轴的交点A ，B 的坐标，及△ABC 的面积．

16．(成都中考)某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x 棵橙子树．

(1)直接写出平均每棵树结的橙子个数y (个)与x 之间的关系；

(2)果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？

17．(大连中考)如图，抛物线y ＝x 2－3x ＋54

与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点D 是直线BC 下方抛物线上一点，过点D 作y 轴的平行线，与直线BC 相交于点E .

(1)求直线BC 的解析式；

(2)当线段DE 的长度最大时，求点D 的坐标．

18．★★(枣庄中考)如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝

－1，且抛物线经过A (1，0)，C (0，3)两点，与x 轴交于点B .

(1)若直线y ＝mx ＋n 经过B ，C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；

(3)设点P 为抛物线的对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形时点P 的坐标．

参考答案与解析

1．C 2.D 3.C 4.A 5.D 6.C

7．C 解析：∵抛物线开口向下，∴a ＜0.∵抛物线的对称轴为直线x ＝－b 2a ＝－1，∴b ＝2a ＜0.∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＞0，所以①正确；∵抛物线与x 轴有2个交点，∴Δ＝b 2－4ac ＞0，所以②正确；∵b ＝2a ，∴2a －b ＝0，所以③错误；∵抛物线开口向下，x ＝－1是对称轴，所以x ＝－1对应的y 值是最大值，∴a －b ＋c ＞2，所以④正确．

8．D 解析：令y ＝0，则－x 2－2x ＋3＝0，解得x ＝－3或1.不妨设A (－3，0)，B (1，0)．∵y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，∴顶点C 的坐标为(－1，4)．作CD ⊥AB 于D .在Rt △ACD 中，tan ∠CAD ＝CD AD ＝42

＝2. 9．(1，4) 10.m ＞1

11．(－2，0) 解析：由C (0，c )，D (m ，c )，得函数图象的对称轴是x ＝m 2

.设A 点坐标为(x ，0)，由A 、B 关于对称轴x ＝m 2对称，得x ＋m ＋22＝m 2

，解得x ＝－2，即A 点坐标为(－2，0)． 12．1.6 解析：设各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度为h ，则小球的高度y ＝a (t －

1.1)2＋h ，由题意a (t －1.1)2＋h ＝a (t －1－1.1)2＋h ，解得t ＝1.6.故第一个小球抛出后1.6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同．

13．－12≤a ＜0 解析：根据已知条件，画出函数图象，如图所示．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－－12a ≤－1，解得－12

≤a ＜0. 14．(1＋2，2)或(1－2，2) 解析：∵△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，∴点P 在线段CD 的垂直平分线上．过P 作PE ⊥y 轴于点E ，则E 为线段CD 的中点．∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ，∴C 点坐标为(0，3)．又∵D 点坐标为(0，1)，∴E 点坐标为(0，2)，∴P 点纵坐标为2.在y ＝－x 2＋2x ＋3中，令y ＝2，可得－x 2＋2x ＋3＝2，解得x ＝1±2，∴P 点坐标为(1＋2，

2)或(1－2，2)．

15．解：(1)y ＝x 2－4x ＋3＝x 2－4x ＋4－4＋3＝(x －2)2－1，所以顶点C 的坐标是(2，－1)，当x ≤2时，y 随x 的增大而减小；当x ＞2时，y 随x 的增大而增大；

(2)解方程x 2－4x ＋3＝0得x 1＝3，x 2＝1，即A 点的坐标是(1，0)，B 点的坐标是(3，0)．如图，

过点C 作CD ⊥AB 于点D .∵AB ＝2，CD ＝1，∴S △ABC ＝12AB ×CD ＝12

×2×1＝1. 16．解：(1)平均每棵树结的橙子个数y (个)与x 之间的关系为y ＝600－5x (0≤x ＜120)；

(2)设果园多种x 棵橙子树时，可使橙子的总产量为w ，则w ＝(600－5x )(100＋x )＝－5x 2＋100x ＋60000＝－5(x －10)2＋60500，则果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60500个．

17．解：(1)∵抛物线y ＝x 2－3x ＋54

与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，∴令y ＝0，可得x ＝12或x ＝52，∴A 点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，B 点坐标为⎝⎛⎭⎫52，0；令x ＝0，则y ＝54

，∴C 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，54.设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，则有⎩⎨⎧52k ＋b ＝0，b ＝54，解得⎩

⎨⎧k ＝－12，b ＝54，∴直线BC 的解析式为y ＝－12x