内积与正交变换
向量的正交规范化
1
2 2
, ,
r 2
2
r1,r r1, r1
r 1
则 1, 2 , , r 两两正交，且与 1,2 , ,r等价.
15
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2）规范化
令
1
1
1
1,
2
1
2
2,
,
r
1
r
r ,
解 cos , 18 1
3 26 2
.
4
练习 1 1 1 1T , 1 1 1 0T , 求, .
9
三、正交向量组 1、正交
当 , 0 ，称α与β正交.
注 ① 若 0 ，则α与任何向量都正交. ② 0.
或 x1 x2 x3 0,
1 0
其基础解系为
1
0 1
,
2
11 .
19
1
1
0
令
1
11
,
2
1
0 1
,
3
2
11
.
1）正交化
1
1
令
1
四、应用举例 例1 证明：Rn 中，勾股定理 x y 2 x 2 y 2 成立
的充要条件是 x, y 正交.
解 x y 2 x y, x y x, x y, y 2 x, y x 2 y 2 2 x, y
所以 x y 2 x 2 y 2成立的充要条件是 x, y 0,
-向量的内积与施密特正交化过程
2
，
， ……
r
r
(r , 1) (1, 1)
1
(r , 2 ) (2, 2)
2
( (r
r , r1) 1, r1)
r
1
(2). 单位化（规范化）：取
1
1 1
,2
2 2
,
,r
r r
,
1,2, ,r 是正交规范向量组，且
显然 1,2, ,r 仍与 1,2 , ,r
等价。上述过程称Schmidt（施密特）正交 化过程。（方法）
对于两非零向量
,
当
2
时，称两向量正交。这里显然等价于
(, ) 0 因此可利用内积定义两向量正交。
定义3 若 (, ) 0 称 , 正交，记 , 中只要有一个为零向量，必有 ( , ) 0
又零向量与任何向量看作是正交的，且
。
因此可利用内积定义两向量正交。
定义4 设向量组 1,2 , ,r
例3令
1
2
0
1 2
0
1
A
2
0
1 2
0
0
1
0
2
1
2
0
1
0
2
1 2
验证A为正交矩阵
解：因列向量组为两两正交
的单位向量，故为正交矩阵 。
定义6 设 X ,Y Rn则称线性变换
Y AX 是正交变换。
例4 证明线性变换
x cos x sin y
y
sin
x
cos
y
是正交变换。
解：线性变换的矩阵为
的内积定义为
( , ) T T a1b1 a2b2 anbn
并称定义了内积的向量空间为欧氏空间
向量组的正交性
解 先正交化， 取
1 1 1,1,1,1
2
2
(1,2 ) (1, 1)
1
1,1,0,4 1 1 4 1,1,1,1
1111
0,2,1,3
3
3
(1,3 ) (1, 1)
1
(2 ,3 ) (2, 2)
反例：1 (1,0,1),2 (0,0,1)
四 向量空间的正交基
若1,2 , ,r是向量空间V的一个基,且1,2 ,
,r是两两正交的非零向量组,则称1,2 , ,r是
向量空间V的正交基.
例1 已知三维向量空间中两个向量
1
1 1,
1
2
n
T 2
1
2T 2
2T n
T n
T n
1
nT 2
nTn
1 0
E
0
1
0
0
0
0
(i ,i )
1, (i , j )
0
1
(i j)
b3 a3 c3 .
b1
b2
七、正交矩阵：
1.定义4： 若n阶方阵A满足AT A E(或A1 AT )，则称A为n阶正交矩阵。
2.性质：(i) 若A为n阶正交矩阵 A 1.
(ii) 若A为n阶正交矩阵 AT与A1也是正交矩阵。
(iii) 若A, B为n阶正交矩阵 AB与BA也是正交矩阵。
两个向量正交化公式
两个向量正交化公式
正交化是线性代数中一个重要的概念，指的是将两个向量调整为正交的过程。
通过正交化，我们可以得到一组相互垂直的向量，这对于很多计算问题都是非常有用的。
假设有两个向量a和b，我们需要将它们正交化。
首先，我们需要计算出这两个向量的内积。
内积可以看作是对两个向量的相似度的度量，如果两个向量正交，它们的内积为0。
通过计算内积，我们可以找到一个向量c，它与向量a正交，并且与向量b也正交。
具体的正交化过程如下：
1. 首先，计算向量a和向量b的内积。
内积的计算可以通过将两个向量对应位置上的元素相乘，然后将结果相加得到。
2. 根据内积的计算结果，我们可以得到一个系数k，使得向量 c =
a - kb。
3. 向量c就是我们需要的正交化后的向量。
它与向量a正交，并且与向量b也正交。
通过这个正交化的过程，我们可以得到一组正交的向量，这对于很多应用来说非常重要。
例如，在计算机图形学中，正交化可以用来解决投影问题，使得物体在屏幕上的显示更加清晰。
在信号处理中，正交化可以用来解决信号的分解和重构问题，提高信号的传输效率。
总的来说，正交化是线性代数中一个重要的概念，通过调整向量使其正交，我们可以得到一组相互垂直的向量。
正交化在很多领域都有着广泛的应用，它可以帮助我们解决各种计算问题，并提高计算的效率和准确性。
希望通过本文的介绍，读者能够对正交化有一个更加清晰的理解。
高等代数课件 第八章
( ,) (x1 y1)2 (xn yn )2 （6）
2．标准正交基的性质
设 {1,2} 是 V2 的一个基，但不一定是
正交基。从这个基出发，只要能得出 V2 的一个
正交基 {1, 2}, 问题就解决了,因为将 1和2
再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交
注意：（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6） 里被统一起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不 等式.
三、向量的正交
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,
如果 , 0
定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ
与1,2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1,2,,r
的任意一个线性组合也正交.
2 a1 2 a1 0,
因而 2 0,
这就得到 V2 的一个正交基 {1, 2}.
3．标准正交基的存在性
定理8.2.2（正交化方法) 设 {1,2 ,,n}
是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求
出V 的一个正交组 {1, 2,, n}, 使得 k 可以由 1,2,,k 线性表示，k = 1,2,…,m.
由于1,2,,k 线性无关，得 k 0,
又因为假定了 1, 2 ,, k1 两两正交，所以
k ,i
k ,i
k ,i i , i
i , i 0, i 1,2,, k 1
这样，1, 2,, k 也满足定理的要求。
定理8.2.3 任意n(n >0)维欧氏空间一定有正交
基，因而有标准正交基.
例4 在欧氏空间 R3中对基
4) 当 0 时, , 0 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.
第二章内积空间
定理4：设 ε1 , ε 2 ,L, ε n 与 η1 ,η 2 ,L,η n 为n维酉空间V的基，它们 定理4 维酉空间V的基， 的度量矩阵为A和B，，C是 ε1 , ε 2 ,L, ε n 到 η1 ,η 2 ,L,η n 的过渡 的度量矩阵为A ，，C
(α ,α )
.
∀α ≠ 0 ∈ V ,
称
α α
为α 的规范化单位向量
定义 α , β 的距离为 d (α , β ) = α − β 2、向量长度的性质
(1) α ≥ 0, 当且仅当 α = 0时等式成立； 时等式成立； (2) kα = k α ;
引理（Chauchy不等式） 引理（Chauchy不等式）设V是酉（欧氏）空间， ∀α , β ∈ V , 不等式 是酉（欧氏）空间， 向量的长度满足 证明: 证明:
y1 n n y2 (α , β ) = ∑∑ xi y j (α i ,α j ) = (x1 , x2 ,L, xn )A = xT Ay M i =1 j =1 y n
则
即抽象的向量的内积可通过他们在基下的坐标及度量矩阵 的双线性函数来计算。 的双线性函数来计算。 定理2：设 ε1 , ε 2 ,L, ε n 与 η1 ,η 2 ,L,η n 为n维欧氏空间V的基，它们 定理2 维欧氏空间V的基， 的度量矩阵为A ，，C 的度量矩阵为A和B，，C是 ε1 , ε 2 ,L, ε n 到 η1 ,η 2 ,L,η n 的过渡 证明详见P26-27） （证明详见 ） 矩阵，则 B = C AC 矩阵， 即同一欧氏空间不同基的度量矩阵是相合矩阵。 欧氏空间不同基的度量矩阵是相合矩阵 即同一欧氏空间不同基的度量矩阵是相合矩阵。
向量的内积长度和正交性
(1) 非负性: 当 x = 时, || x ||= 0;当 x 时, || x || 0. (2) 齐次性: || x ||= |||| x || ;
(2) [ x, y ]= [ x, y];
(3) [x+y, z ]= [ x, z]+ [ y, z];
(4) 当 x = 时, [ x, x ]= 0; 当 x 时, [ x, x ] 0.
施瓦茨(Schwarz)不等式: [ x, y ]2 [ x, x ] [ y, y].
二、向量旳长度及性质
(1) A1 AT ; (2) AAT E;
3 A的列向量是两两正交的 单位向量;
4 A的行向量是两两正交的 单位向量.
设1 , 2 ,, r是向量空间V的一个基,要求V
的一个规范正交基 ,就是要找一组两两正交 的单
位向量e1 ,e2 ,,er ,使e1 ,e2 ,,er与1 , 2 ,, r等 价,这样一个问题,称为 把1,2 ,,r 这个基规
范正交化 .
下面简介施密特正交化措施（Gram-Schmidt orthogonalization’s method ）
例如
1, 3
1 , 3
1
T
,
3
1 ,0, 2
1 2
,0
T
,
若
,
则
1
||
||
为单位向量.
若 ,
1 || ||
称为把向量 单位化.
例如 (1,2,3)T , 单位化得 : 1 (1,2,3)T .
第6讲向量的内积与正交化
可得： 定理：方阵 A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列(行)向量都 是单位向量，且两两正交。
正交矩阵有如下性质： 1) 若 A 为正交矩阵，则 |A|=1 或 |A|= -1； 2) A为正交矩阵，则 AT=A-1 也为正交矩阵； 3) 若A，B为同阶正交矩阵，则 AB 也为正交矩阵。 定义：若 P 为正交矩阵，则线性变换 y = Px 称为正交变换。 性质：正交变换保持线段长度不变。 设 y=Px 为正交变换，则有 由于任意两点的距离均不变，从而正交变换不改变图形的形状， 这是正交变换的优良特性。
(1) (x,y) = (y, x); (2) (kx, y) = k (x, y); (3) (x+y, z) = (x, z)+(y,z); (4) (x, x)≥0，当且仅当 x=0 时, (x,x)=0。 内积还满足施瓦茨(Schwarz)不等式
定义：定义向量
的长度(范数, 模)为
向量的长度具有下述性质： (1) 非负性：当 x≠0 时，|| x ||>0；当 x=0 时，||x||=0； (2) 齐次性： ||k x || = |k| ||x||； (3) 施瓦茨不等式：|(x,y)| ≤ ||x|| ||y||； (4) 三角不等式：||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||。
正交的
；
，即得 n 个两两正交的
若现已有线性无关的向量组
，也可以构
建一个与之等价的且两两正交的向量组：
以上过程称为施密特(Schimidt)正交化过程。 进一步，可将 单位化（规范化），
对施密特正交化过程，应注意向量组 等价，其中 t=1,…, r
向量的内积与正交
使β3 与β1，β2 彼此正交，满足
β3β1 β3, β2 0
即有
β3β1 α3, β1 k1 β1, β1 0
以及
β3β2 α3, β2 k2 β2, β2 0
得
k1
α3 , β1,
β1 β1
,k2
α3 , β2,
β2 β2
于是得
β3
α3
α3 , β1,
1 3
1 21
5 3
1
1 1
1
2 10
那么 β1β2, , βr与 就是与 α1,α2, ,αr 等价的单位正交向量组。
1
例3，a1 1 1
求一组非零向量 α2, α3, 使 α1, α2, α3
两两正交。
解 α2, α3 应满足方程 α1T x 0, 即
x1 x2 x3 0
线性代数
向量的内积与正交
1 向量的内积
2 线性无关向量 组的正交化方法
3 正交阵
内容
向量的内积与正交
定义1 设n 维向量
a1 b1
a2
,
b1
an
b1
令
α, β a1b1 a2b2 anbn
称为向量的内积。
向量的内积是一种运算。如果把向量看成列矩阵，那么向量的内积 可以表示成矩阵的乘积形式
定义2 设有n 维向量
a1
α
=
a1
a1
令
α α, α a12 a22 an2
α 称为n 维向量α 的长度(也称为模或范数)。 向量的长度具有下列性质: （1） α 0,且 α 0当且仅当α 0 （2） kα k α （3） α β α β
性质(1)，(2)是显然的，性质(3)称为三角不等式，这里不予证明。
内积空间与正交变换的基本概念
内积空间与正交变换的基本概念内积空间和正交变换是线性代数中重要的概念，它们在数学和物理等领域都有广泛的应用。
本文将介绍内积空间和正交变换的基本概念，以及它们在实际问题中的应用。
一、内积空间的定义和性质内积空间是指在定义了内积运算的向量空间。
内积运算是指将两个向量进行运算得到一个标量的运算，常用的内积运算有点乘和矩阵乘法等。
内积空间具有以下性质：1. 正定性：对于任意非零向量v，它的内积与自身的内积大于零，即(v, v) > 0。
当且仅当v等于零向量时，(v, v)等于零。
2. 线性性：对于任意向量u、v和w，以及任意标量a和b，有(u+v, w) = (u, w) + (v, w)和(au, v) = a(u, v)。
3. 对称性：对于任意向量u和v，有(u, v) = (v, u)。
内积空间可以是有限维的，也可以是无限维的。
常见的有限维内积空间是欧几里得空间，而无限维内积空间的例子有L2空间和Hilbert空间等。
二、正交变换的定义和性质正交变换是指保持向量间内积不变的线性变换。
设A是一个n阶实矩阵，若AA^T=I（其中I是单位矩阵），则称A是正交矩阵。
正交矩阵表示的线性变换称为正交变换。
正交变换具有以下性质：1. 保持内积：对于任意向量u和v，有(Au, Av) = (u, v)。
2. 保持长度：对于任意向量u，有||Au|| = ||u||，其中||u||表示向量u的长度。
3. 保持角度：对于任意两个非零向量u和v，它们的夹角与它们的像Au和Av的夹角相等。
正交变换常用于解决几何和物理问题，如旋转、平移和镜像等。
正交变换在图像处理和编码等领域也有广泛的应用。
三、内积空间与正交变换的关系内积空间和正交变换之间有着密切的联系。
给定一个内积空间V和一个正交变换矩阵A，可以构造一个新的内积空间W，其中向量的内积定义为(u, v) = (Au, Av)。
这个内积空间W称为V关于正交变换A的像空间。
线性代数-正交矩阵
的一个规范正交基. e1 , e2 ,, en是Rn的规范正交基
e
T i
e
j
0, 1,
i j; i j.
1 1 0 0
2
2
0
0
e1
1 2
,e2
1
2
, e3
1 2
,e4
Y Y TY X T AT AX X T X X
正交变换保持向量的长度不变.
本节小结 内积与正交变换 α,β αTβ
1. 正交向量组 [αi ,α j ] (αTi ,α j ) 0
线性无关(Th5.3)
2. 规范正交化 正交基
必可逆
3. 正交矩阵 三条性质
正交规范基 i eTi a [ei ,a] AT A E AT A1
(1,1,1)
(
1 2
, 1,
1) 2
则 β1,β2,β3为正交向量组. 然后再单位化得
e1
1
1
1 (
1 ,0, 2
1 ), e2 2
1 2
2 (
1, 3
1, 3
1
), 3
e3
1 3
3 (
1 , 6
2, 6
1 ). 6
那末，e1,e2,e3 就是所求的正交单位向量组.
附加定义设n维向量e1,e2, ,er是向量空间V(V Rn)的一个基，
内积的基本性质 [, ] a1b1 a2b2 anbn (1) [, ] [, ]
(2) [k, ] kk[a1,b1 ]k[a2,bk2] kanbn (3) [1 2, ] [1 , ] [ 2 , ]
向量的内积与向量组的正交化ppt课件
+
1
+
2
3 0.
1 0
它的基础解系为
1
0 , 1
2
1 . 1
把基础解系正交化，即合所求．亦即取 a2 1,
a3
2
[ [
1, 1,
2]
1]
1
.
其中[1, 2] 1,[1,1] 2,于是得
a2
1 0 , 1
a3
0 1 1
1 2
1 0 1
1 2
1 2 . 1
4、正交矩阵与正交变换
定义4 若n阶方阵A满足 AT A E 即A1 AT ,则称A为正交矩阵.
定理 证明
A为正交矩阵的充要条件是 A的列向量都是单位向量且两两正交．
a11
AT
A
E
a12 L
a21
a22 L
L L L
an1 a11 an2 a21 L L
a12
a22 L
L L L
201
由于
0 1 2 0, 所以 1 , 2 , 3 线性无关 .
112
即 A 有 3 个线性无关的特征向量 , 因而 A 可对角化 .
2 1 2 (2) A 5 3 3
1 0 2
2 1
2
A E 5 3 3 + 13
1
0 2
所以 A 的特征值为 1 2 3 1 . 把 1代入 A E x 0 , 解之得基础解系 (1,1,1)T ,
内积的运算性质 其中 x, y, z为n维向量,为实数 :
(1) [x, y] [y, x]; (2) [x, y] [x, y]; (3) [x + y, z] [x, z] + [y, z];
正交变换的结论
正交变换的结论
正交变换是指将一个向量或者一个坐标系通过某种方法进行变换，使得变换前后的向量或坐标系之间保持角度不变，即原来是直角的地方变换后仍然是直角。
正交变换包括旋转、镜像和旋转加镜像等多种类型。
正交变换的结论有以下几点：
1. 正交变换保持向量长度不变：对于正交变换后的向量，它们的长度与变换前的向量长度相同。
这是因为正交变换不改变向量的大小，只改变了向量的方向。
2. 正交变换保持向量之间的夹角不变：对于任意两个向量，它们的夹角在经过正交变换后仍然保持不变。
这是因为正交变换不改变向量之间的夹角，只是改变了它们的方向。
3. 正交变换保持向量的内积不变：对于两个向量，它们的内积在经过正交变换后仍然保持不变。
这是因为向量的内积可以用向量的长度和夹角表示，而正交变换不改变向量的长度和夹角，因此内积也不会改变。
4. 正交变换可以用矩阵表示：对于一个n维向量的正交变换，可以用一个n*n 的正交矩阵来表示。
这个矩阵的每一列都是一个单位向量，且这些向量之间两两正交。
5. 正交变换的逆变换也是正交变换：对于一个正交变换，它的逆变换也是正交变换。
这是因为正交变换保持向量长度、夹角和内积不变，因此它的逆变换也会保持这些性质不变。
综上所述，正交变换是一种非常重要的数学工具，它在许多领域都有广泛的应用，如图像处理、信号处理、物理学等。
了解正交变换的性质和结论对于理解这些应用非常有帮助。
线性代数5.1-4
v
v
v
1 1 1 v v v α 1 = 1 α 2 = 0 α 3 = 1 1 1 0
1 v v v r v 1 1 − 1 1 v v [α 3 , β 1 ] v [α 3 , β 2 ] β 3 =α3- − v v β 11 - v v β 2 = 1 − 2 1 − 3 ⋅ 1 − 2 = 1 0 . β3 = α 3 β 3 6 3 2 [β 2 , β 2 ] [β 1 , β 1 ] 0 1 1 − 1 9 v v v v v v β ， β ， 3 单位化， α3等价标准正交基为: 再将β11，β22，β3 单位化，便得与α11，α2， α 3 等价标准正交基为 2 v v v 1 1 1 β1 v v v 1 ε = βv2 = 1 − 2 , ε = βv3 = 1 0 . ε1 = v = 2 3 1 , β2 β3 2 β1 6 3 − 1 1 1
验证向量组 α11 = , , α
1 1 1 1 ,0 ,α 22 = − ,− , ,0 , 2 2 2 2 T T v 1 1 1 v 1 1 1 α 3 3= ,− ,0, ,0 为R4的一个基 , α 44 = − , , α α 的一个基. 2 2 2 2 2 2
是否可由它得到V的一个标准正交基呢？ 是否可由它得到 的一个标准正交基呢？ 的一个标准正交基呢 条件是
二、施密特(Schmidt)正交化方法 施密特(Schmidt)正交化方法 (Schmidt)
个与其等价的单位正交向量组。 个与其等价的单位正交向量组。 v v v α，α ，… 正交化. (1) 将线性无关的向量组α11,α22,...,αr正交化 r v v v v v v- [α 2 , β 1 ] β ， β2 = α =1 令 β1=αα 1 ， β 2 =α2 2 − v v β11 [β 1 , β 1 ] v v v r v v v v [α 3 , β 1 ] [α 3 , β 2 ] v v β 11 ββ3= α33- − v v β 2， β 2 3 =α [β 1 , β 1 ] [β 2 , β 2 ] … … … … … … … ， v v v v v v v v [α r , β 2 ] [α r , β r −1 ] v [α r , β 1 ] v v v v v v = r ββr= ααr− v v β1 - [ β , β ] β2 - …- [β , β ] ββr-1. 1 2 r −1 r [β1 , β 1 ] 2 2 r −1 r −1
5.1 向量的内积和正交矩阵(《线性代数》闫厉 著)
y1 a11 x1 a12 x2 a1 nx n , y2 a21 x1 a22 x2 a2 nx n ,
ym am1 x1 am 2 x2 amn xn .
之间的
表示一个从变量 x1 , x2 ,, xn 到变量 y1 , y2 ,, ym 线性变换， 其中aij 为常数.
b1
(b2 (b2
, ,
a3 b2
) )
b2
c32
c31 c3 c2
a1 b1
b2 a2
a2
a2－b1 b2
b1 c2
令 c2 为 a2 在 b1 上的投影，则 c2 = b1 ， 若令 b2 = a2 － c2 = a2 － b1 ，则 b1⊥b2 ． 下面确定 的值．因为
0 (b2 , b1 ) (a2 b1, b1 ) (a2 , b1 ) (b1, b1 )
biT bj
1, 0,
i j i j
(i, j 1, 2,, n)
定义5.1.5：如果 n 阶矩阵A 满足 ATA = E，即 A－1 = AT， 则称矩阵A 为正交矩阵，简称正交阵．
n 方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向 量，且两两正交．即 A 的列向量组构成Rn 的标准正交基．
n 方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的行向量都是单位向 量，且两两正交． 即 A 的行向量组构成Rn 的标准正交基.
正交矩阵具有下列性质：(定理5.1.3) ü 若 A 是正交阵，则AT （即A−1 ）也是正交阵， ü |A| = 1 或－1; ü 若 A 和B是正交阵，则 AB 也是正交阵． 定义：若 P 是正交阵，则线性变换 y = Px 称为正交变换．
AT
A
a1T
线性代数讲义 (18)
a b c d 0,
a b c d 0,
2a b c 3d 0.
解之可得: x (2 2 ,0, 1 , 3 ) 13 26 26
或
x (2 2 ,0, 1 , 3 ).
13 26 26
e2
b2 b2
1 0,2,1,3T
14
0,
2 , 14
1 , 14
3 14
T
e3
b3 b3
1 1,1,2,0T
6
1, 6
1 6
,
2 6
,0
T
解毕
例3
已知a1
1 1 1
,
求一组非零
向量a2
,
a3
,
使
a1
,
a
2
,
a 两两正交.
3 解 a2 ,a3应满足方程a1T x 0,即
x1 x2 x3 0.
说明
1 、 nn 4维向量的内积是3维向量数量积
的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．
2、内积是向量的一种运算,如果x, y都是列 向量,内积可用矩阵记号表示为 :
x, y xT y
内积的运算性质
其中 x, y, z为n维向量,为实数 :
(1) x, y y, x yT x;
它的基础解系为
1 0
1
0 , 1
2
1 . 1
把基础解系正交化，即为所求．亦即取
a ,
2
1
a3
2
1
, ,
2
1
.
11
其中 , 1, , 2,于是得
12
11
1
0 1 1
1 1
a2 0 , 1
向量的内积、正交性
2 2 2 x1 x2 x3 [ x , x ]
向量的长度 定义：令
|| x || [ x , x ]
2 2 2 x1 x2 xn
称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）． 当 || x || = 1时，称 x 为单位向量． 向量的长度具有下列性质：
[x, y]2 ≤ [x, x] [y, y]．
回顾：线段的长度
P(x1, x2)
x2
[x, x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0
若令 x = (x1, x2)T，则
| OP |
2 2 x1 x2 [ x , x ]
O
x1
P 若令 x = (x1, x2, x3)T，则 x3 x2 x1 O
|| e1 || [e1 , e1 ] 1
从而 e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个规范正交基．
1 1 4 例：设 a1 2 , a2 3 , a3 1 ，试用施密特正交化 1 1 0 过程把这组向量规范正交化．
x1 x 3 得 x2 0
1 1 从而有基础解系 0 ，令 a3 0 ． 1 1
定义： n 维向量e1, e2, …, er 是向量空间 V R n中的向量， 满足 e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）； e1, e2, …, er 两两正交； e1, e2, …, er 都是单位向量， 则称 e1, e2, …, er 是V 的一个规范正交基．
说明：
• 内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数． • 内积可用矩阵乘法表示：当x 和 y 都是列向量时， [x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y ．
第三节 向量的内积和施密特正交化
因为
两两正交，所以
, 0 i j, i, j 1, 2,..., m
i j
可得:
i i ,i 0
i 0 i ,i 0
而:
则只有
i 0 i 1,2,..., m .
,m线性无关.
故1 ,2 ,
４ 标准正交向量组
则a b a1b1 a2b2 a3b3
内积的运算性质
其中 , , 为n维向量, 为实数: (1) , , ;
(2)
, , ;
(3)
, , , ;
解
所以P是正交矩阵.
例6
已知三维
验证矩阵 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 解 P的每个列向量都是单位 向量, 且两两正交, 2 2 2 2 是正交矩阵. P 所以P是正交矩阵 . 1 1 0 0 2 2 1 1
1 例４ 已知 a 1 1 , 求一组非零向量a 2 , a 3 , 使 a 1 , a 2 , 1 a 3 两两正交. T , 应满足方程 a1 x 0,即 解 a2 a3 x1 x 2 x 3 0.
它的基础解系为 1 0 1 0 , 2 1 . 1 1
所以 e1 , e2 , e3 , e4
为标准正交向量组
5 施密特正交化 将任意给定的线性无关的非零向量组 a1 , a2 ,, am 化为正交向量组的方法——施密特正交化
二维几何空间
1 1
2 2
2 2 k1
1 1
显然
k 1
第20讲正交变换与内积
第20讲正交变换与内积1.设A是Euclid空间v的线性变换，则A是正交变换A保持内积不变A保持向量长度不变A将标准正交基变到标准正交基A在标准正交基的矩阵为正交阵。
2.正交变换A保持向量夹角不变(А,А),,А,Аarccoarcco||||АА3.设A是Euclid空间V的变换，V,A,B=,,则A是V的正交变换Proof:只须证明A是V的线性变换，V，有A-A-A,A-A-A=A,AA,AA,AA,AA,AA,AA,AA,AA,A=,,,,,,,,,0则A-A-A0R,V,有AkkA,Ak-kAAk,AkkAk,kk,Akk,AAk2kA,A,k,2k,0kk则AkkA0，则A是V的线性变换，从而A是正交变换。
注：将上述的，V,A,A,改成V，A,A,，则A不一定是正交变换.4.设A是Euclid空间v的线性变换，如果V，|A|=||，则A不是V的正交变换。
Solution：任取V，0，定义V中的变换A为：A,A,A{则A保持V中向量长度不变，但取V，,-O,，则A,而+=有A=+，而A+AA故A不是V的线性变换。
5.设A是Euclid空间v的一个满射变换，V，都有|A|=||则A是V的线性变换，从而A是正交变换。
proof:读者自证。
6.设A是n维Euclid空间Rn变换，如果A保持向量的距离不变，且将零向量变成零向量，则A是正交变换。
Proof:因A保持向量间的距离不变，且将零向量变成零向量，则对n 维Euclid空间R中任意两个向量，，|AA|=||，即AA，AAn=，，于是A，A2A，A+A，A=，2,,.即A，A=,.下证A是R的线性变换，设1，2，...,n是Rn是标准正交基，由于A不改变i=j向量内积，则Ai，Aj=i，j=｛10，，ijn于是A1，A2，...,An是Rn的标准正交基，设，，Rn，k1，k2R.则Ak+k，A=k+k，=k，+k+121212=k1A，A+k2A，A=k1A+k2A，A.取=Ak1+k2-k1A-k2A，则，A=0设=b1A1+b2A2+...+bnAn,分别取=i，i=1，2，...,n,则有，in.即=0.于是Ak1，k2，A=0.由此可得bi=01=k1A+k2A，即A是线性变换，故A是正交变换.注，条件“A将零向量变成零向量”不能取掉，否则结论不成立.7.设A是n维Euclid空间，向量1,2,1,2V满足|1|=|1|，|2|=|2|，1,2>=1,2>,则存在正交变换使得A1=1，A2=2.Proof.读者自己证明.8.设A是n维Euclid空间V的线性变换，如果A满足下列三条件中的任意两个，则它必满足第三个：（i）A是正交变换.(ii)A是对称变换.（iii）A2=是单位变换.Proof.(i),(ii)(iii).V,则A2,A2222=A，A2A,,.又A是正交变换，则A2，A2=A，A=，.又A是对称变换，则A2，=A，A=，.22222则A,A0,即A=0或A=，则A=.(ii),(iii)(i),,V,由A是对称变换，则A，=，A又A满足A2=，则A2=，从而A，A=，A2=，，故A是正交变换(i),(iii)(ii)，，V,又A是正交变换A，A=，，又A满足A2=，则A2=，从而A，=A，A2=，A，故A是对称变换.。
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,ar , b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
ar b2
] ]
b2
[br1 ,ar ] [br1 ,br1 ]
br
1
那么b1 , ,br两两正交,且b1 , ,br与a1 , ar等价.
（2）单位化，取
e1
b1 b1
,
e2
b2 b2
,
, er
br br
,
那么 e1 ,e2 , ,er为V的一个规范正交基 .
1 2
,
1 2
,
1 2
,
1 2
e2
b2 b2
1 0,2,1,3
14
0,
2 , 14
1 , 14
3 14
e3
b3 b3
1 6
1,1,2,0
1, 6
1 6
,
2 6
,0
1 1 4
例３
设
a1
2
,a2
3
,
a
3
1
,
试用施密
1 1 0
特正交化过程把这组向量规范正交化.
价,这样一个问题,称为 把1,2 , ,r 这个基规
范正交化 .
若a1 ,a2 , ,ar为向量空间V的一个基,
（1）正交化，取 b1 a1 ，
b2
a2
b1 , a2 b1 , b1
b1
,
b3
a3
[b1 ,a3 [b1 ,b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
a3 b2
] ]
b2
br
ar
[b1 [b1
非零向量,则1,2, ,r线性无关.
证明 设有 1,2 , ,r 使 11 22 r 0
以a1T 左乘上式两端,得 11T1 0 由 1 0 1T1 1 2 0, 从而有1 0 .
同理可得2 r 0. 故1,2 , ,r线性无关.
４ 向量空间的正交基
若1,2 , ,r是向量空间V的一个基,且1,2 ,
3. 三角不等式 x y x y .
单位向量及n维向量间的夹角
1 当 x 1时,称 x为单位向量 .
2当 x 0, y 0时, arccos x, y
xy 称为n维向量x与y的夹角 .
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
解
cos
18 2 3 26 2
,
是两
r
两正交
的非
零向量组,
则
称
1
,
2
,
,
是
r
向量空间V的正交基.
例1 已知三维向量空间中两个向量
1
1 1,
1
1
2 2
1
正交，试求 3 使1 ,2 ,3构成三维空间的一个正交
基.
解 设3 x1, x2 , x3 T 0,且分别与1,2正交.
则有 [1 , 3 ] [ 2 , 3 ] 0
上述由线性无关向量组a1 , ,ar构造出正交 向量组b1 , ,br的过程,称为施密特正交化过程 . 例２ 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1),a2 (1,1,0,4),a3 (3,5,1,1) 正交规范化.
解 先正交化，取
b1 a1 1,1,1,1
b2
a2
b1,a2 b1 , b1
.
4
三、正交向量组的概念及求法
１ 正交的概念 当[ x, y] 0时, 称向量x与y 正交. 由定义知,若 x 0,则 x 与任何向量都正交.
２ 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向
量组为正交向量组．
３ 正交向量组的性质
定理1
若n维向量1,
2,
,
是一组两两正交的
r
b1
1,1,0,4
1
1
4
1,1,1,1 0,2,1,3
1111
b3
a3
[b1 ,a3 [b1 ,b1
] ]
b1
[b2 [b2
,a3 , b2
] ]
b2
3,5,1,1 8 1,1,1,1 140,2,1,3 1,1,2,0
4
14
再单位化，得规范正交向量组如下
e1
b1 b1
1 2
1,1,1,1
解
取 b1 b2
a1;
a2
[a2
,
b1]
2
b1
b1
1 3 1
4
6
1 2 1
5
3
1 1 ; 1
b3
a3
[a3
,
b1]
2
b1
[a3
,
b2]
2
b2
b1
b2
பைடு நூலகம்
4 1 0
1
3
1 2 1
5
3
1 1 1
1 2 0.
1
再把它们单位化，取
即
[[21,,33
] ]
x1 x1
x2 x3 0 2x2 x3 0
解之得 x1 x3 , x2 0.
若令 x3 1,则有
x1 1
3 x2 0
x3 1
由上可知1 ,2 ,3构成三维空间的一个正交基.
５ 规范正交基
定义3 设n维向量 e1, e2 , , er是向量空间 V (V
说明
1 nn 4 维向量的内积是3维向量数量积
的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．
2 内积是向量的一种运算,如果x, y都是列 向量,内积可用矩阵记号表示为 :
x, y xT y.
内积的运算性质
其中 x, y, z为n维向量,为实数 : (1) x, y y, x; (2) x, y x, y; (3) x y, z x, z y, z;
Rn )的一个基,如果e1, e2 , , er两两正交且都是单位 向量,则称e1, e2 , , er是V的一个规范正交基. 例如
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2 ,e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2
1 2
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2
, e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2 1 2
由于
[ei ,e j ] 0, [ei ,e j ] 1,
i j且i, j 1,2,3,4. i j且i, j 1,2,3,4.
所以 e1 ,e2 ,e3 ,e4为R4的一个规范正交基.
(4)[ x, x] 0,且当x 0时有[ x, x] 0.
二、向量的长度及性质
定义2 令
x x, x x12 x22 xn2 , 称 x 为n维向量 x的长度或范数 .
向量的长度具有下述性质： 1. 非负性 当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0;
2. 齐次性 x x ;
同理可知
1 0 0 0
1
00,
2
10,
3
10,
4
0 0
.
0
0
0
1
也为R4的一个规范正交基.
６ 求规范正交基的方法
设1 , 2 , , r是向量空间V的一个基,要求V
的一个规范正交基,就是要找一组两两正交的单
位向量e1 ,e2 , ,er ,使e1 ,e2 , ,er与1 , 2 , , r等