北师大版九年级数学上册平行线分线段成比例.
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A B C D E
上 ① 下 上 ② 全 上 = 下
∴(1).
( 2).
D B C
A E F
BC
EF
=
上 全
AB DE AC DF
F
下 ③ 全
下 = 全
BC EF (3). AC DF
3、注意该定理在三角形中的应用
上 ① 下 上 ② 全 下 ③ 全
上 = 下 上 全
∵
l1∥l 2∥l 3
1 1 (3)若D2D3= D2B，E2E3= 3 E2C，则D3E3= 3
；……
(4)若Dn-1Dn=
1 Dn-1B，En-1En= 1 E C，则D E = n n 3 3 n-1
.
作业布置
习题4.3 知识技能 第1，2题
∴AD=2.25，
∴BD=0.75.
拓展延伸 1.如图,△ABC中,DE//BC,DF//AC,AE=4,EC=2, BC=8.求BF和CF的长. 分析:运用平行线分线段成比例定理的推论分 A 别列出比例式求解.
解 ∵DE//BC
AD AE 4 2 AB AC 6 3
D
B F
E
C
∵DF//AC
上 = 全 = 下 全
（3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？
归纳
∵
l1∥l 2∥l 3
AB DE ∴(1). BC EF AB DE ( 2). AC DF (3). BC EF AC DF
上 ① 下 上 ② 全
上 = 下
=
上 全
下 ③ 全
下 = 全
平行线分线段成比例定理：
a c (1) b d a c (2) b d
a b c d
（更比定理）
(3) a c
b a c (4) b d
d
b d （反比定理） a c a b c d （合比定理） b d ab c d （分比定理） b d
即 4、当两个比例内项相等时，
a b (或 b2=ac)， = ， b c
Fl
C
5
F
BC EF (3). AC DF
图2（2）
推论
上 ① 下
=
上 下
上 ② 全
上 = 全
下 ③ 全
=
下 全
平行于三角形一边的直线与其他两边(或两 边的延长线)相交，截得的对应线段成比例. l l l l ∥l ∥l l ∵ 1 2 3 A D E BC DE ∥ l l
1
D B
E
两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
思考
A B C
图1
如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A 刚落到l3上，如图2所得的对应线段的比 会相等吗？依据是什么？
l2
l1
D E
l3 l4
（D） ∵ l ∥l ∥l A 1 2 3
B C
E
AB AE ∴(1). BC EF ( 2). AB AE AC AF
（2）将l2 向下平移到如图3-7的位置，直线m,n 与 l2 的交点分别为 A2 , B2 你在问题（1）中发现结论还成立吗？如果将 l2平移到其它位置呢？
①
A1 A2 B1 B2 , A2 A3 B2 B3
图4-6
上 ① 下
上 ② 全 下 ③ 全
=
上 下
A1 A2 B1 B2 , ② A1 A3 B1 B3 A2 A3 B2 B3 ③ A1 A3 B1 B3
贺兰县如意湖中学
一、回顾
1、线段的比：即两条线段的长度比。
a c 2、成比例线段：四条线段 a、b、c、d，如果 （或 a∶b b d
＝c∶ d） ，那么这四条线段 a、b、c、d 叫做成比例线段，简称比
例线段 3、比例的基本性质
Baidu Nhomakorabea
a c ,那么 ad=bc 如果 b d a c 如果 ad=bc（ a、b、c、 d 都不等于 0） ，那么 , b d
AD AE ∴(1). l2 DB EC
A B
AB DE ∴(1). BC EF
1
C
AD AE ( 2). AB AC
AB DE ( 2). AC DF
l2
l3
DB EC (3). AB AC
C
(l 3).
3
BC EF AC DF
例 如图，在△ABC中，E，F分别是 AB和AC上的点，且EF∥BC。 （1）如果AE=7 ，EB=5，FC=4.那么 AF的长是多少？ （2）如果AB=10 ，AE=6，AF=5.那 么FC的长是多少？
Fl
F
图2
5
BC EF (3). AC AF
思考
l1
如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点B刚 落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的 比会相等吗？依据是什么？
l2
A
B C
图1
D
E
D
A B(E)
∵
l3
l4
l1∥l 2∥l 3
AB DE AC DF
AB DE ∴(1). BC EF ( 2).
练习：如图所示，如果D，E，F分别在OA， OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC． OD OE 求证： .
OA OB
证明： ∵ DF∥AC，
OD OF . OA OC
OF OE ， OC OB OD OE . OA OB
∵ EF∥BC
课堂小结
1、平行线分线段成比例定理： (1)两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 （关键要能熟练地找出对应线段） (2)平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延 长线)相交，截得的对应线段成比例. ∵ l ∥l ∥l 1 2 3 2、要熟悉该定理的几种基本图形 AB DE
AD CF AB CB
2 CF 16 , 即CF 3 8 3
16 8 BF 8 - 3 3
拓展延伸
2. 如图，Δ ABC中，BC=a. 1 1 (1)若AD1= 3 AB，AE1= 3 AC，则D1E1= ； 1 1 (2)若D1D2= D B，E1E2= 3E1C，则D2E2= ； 3 1
那么线段 b 叫做线段 a 和 c 的比例中项.
如图4-6中，小方格边长都为1，平行线l1 ∥l2∥ l3.分别 交直线m,n于 A1，A2 , A3 , B1, B2 , B3 .
A1 A2 B1 B2 A1 A2 B1 B2 A2 A3 B2 B3 , , 的值，你有什么发现？ 与 与 与 （1）计算 A2 A3 B2 B3 A1 A3 B1 B3 A1 A3 B1 B3
=
AB DE ∴(1). BC EF AB DE ( 2). AC DF (3). BC EF AC DF
下 = 全
习题巩固
1. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4 ， AB=3，EC=1.求AD和BD.
解∵AC=4，EC=1， ∴AE=3. ∵ DE∥BC， AD AE . ∴ AB AC
上 ① 下 上 ② 全 上 = 下
∴(1).
( 2).
D B C
A E F
BC
EF
=
上 全
AB DE AC DF
F
下 ③ 全
下 = 全
BC EF (3). AC DF
3、注意该定理在三角形中的应用
上 ① 下 上 ② 全 下 ③ 全
上 = 下 上 全
∵
l1∥l 2∥l 3
1 1 (3)若D2D3= D2B，E2E3= 3 E2C，则D3E3= 3
；……
(4)若Dn-1Dn=
1 Dn-1B，En-1En= 1 E C，则D E = n n 3 3 n-1
.
作业布置
习题4.3 知识技能 第1，2题
∴AD=2.25，
∴BD=0.75.
拓展延伸 1.如图,△ABC中,DE//BC,DF//AC,AE=4,EC=2, BC=8.求BF和CF的长. 分析:运用平行线分线段成比例定理的推论分 A 别列出比例式求解.
解 ∵DE//BC
AD AE 4 2 AB AC 6 3
D
B F
E
C
∵DF//AC
上 = 全 = 下 全
（3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？
归纳
∵
l1∥l 2∥l 3
AB DE ∴(1). BC EF AB DE ( 2). AC DF (3). BC EF AC DF
上 ① 下 上 ② 全
上 = 下
=
上 全
下 ③ 全
下 = 全
平行线分线段成比例定理：
a c (1) b d a c (2) b d
a b c d
（更比定理）
(3) a c
b a c (4) b d
d
b d （反比定理） a c a b c d （合比定理） b d ab c d （分比定理） b d
即 4、当两个比例内项相等时，
a b (或 b2=ac)， = ， b c
Fl
C
5
F
BC EF (3). AC DF
图2（2）
推论
上 ① 下
=
上 下
上 ② 全
上 = 全
下 ③ 全
=
下 全
平行于三角形一边的直线与其他两边(或两 边的延长线)相交，截得的对应线段成比例. l l l l ∥l ∥l l ∵ 1 2 3 A D E BC DE ∥ l l
1
D B
E
两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
思考
A B C
图1
如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A 刚落到l3上，如图2所得的对应线段的比 会相等吗？依据是什么？
l2
l1
D E
l3 l4
（D） ∵ l ∥l ∥l A 1 2 3
B C
E
AB AE ∴(1). BC EF ( 2). AB AE AC AF
（2）将l2 向下平移到如图3-7的位置，直线m,n 与 l2 的交点分别为 A2 , B2 你在问题（1）中发现结论还成立吗？如果将 l2平移到其它位置呢？
①
A1 A2 B1 B2 , A2 A3 B2 B3
图4-6
上 ① 下
上 ② 全 下 ③ 全
=
上 下
A1 A2 B1 B2 , ② A1 A3 B1 B3 A2 A3 B2 B3 ③ A1 A3 B1 B3
贺兰县如意湖中学
一、回顾
1、线段的比：即两条线段的长度比。
a c 2、成比例线段：四条线段 a、b、c、d，如果 （或 a∶b b d
＝c∶ d） ，那么这四条线段 a、b、c、d 叫做成比例线段，简称比
例线段 3、比例的基本性质
Baidu Nhomakorabea
a c ,那么 ad=bc 如果 b d a c 如果 ad=bc（ a、b、c、 d 都不等于 0） ，那么 , b d
AD AE ∴(1). l2 DB EC
A B
AB DE ∴(1). BC EF
1
C
AD AE ( 2). AB AC
AB DE ( 2). AC DF
l2
l3
DB EC (3). AB AC
C
(l 3).
3
BC EF AC DF
例 如图，在△ABC中，E，F分别是 AB和AC上的点，且EF∥BC。 （1）如果AE=7 ，EB=5，FC=4.那么 AF的长是多少？ （2）如果AB=10 ，AE=6，AF=5.那 么FC的长是多少？
Fl
F
图2
5
BC EF (3). AC AF
思考
l1
如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点B刚 落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的 比会相等吗？依据是什么？
l2
A
B C
图1
D
E
D
A B(E)
∵
l3
l4
l1∥l 2∥l 3
AB DE AC DF
AB DE ∴(1). BC EF ( 2).
练习：如图所示，如果D，E，F分别在OA， OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC． OD OE 求证： .
OA OB
证明： ∵ DF∥AC，
OD OF . OA OC
OF OE ， OC OB OD OE . OA OB
∵ EF∥BC
课堂小结
1、平行线分线段成比例定理： (1)两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 （关键要能熟练地找出对应线段） (2)平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延 长线)相交，截得的对应线段成比例. ∵ l ∥l ∥l 1 2 3 2、要熟悉该定理的几种基本图形 AB DE
AD CF AB CB
2 CF 16 , 即CF 3 8 3
16 8 BF 8 - 3 3
拓展延伸
2. 如图，Δ ABC中，BC=a. 1 1 (1)若AD1= 3 AB，AE1= 3 AC，则D1E1= ； 1 1 (2)若D1D2= D B，E1E2= 3E1C，则D2E2= ； 3 1
那么线段 b 叫做线段 a 和 c 的比例中项.
如图4-6中，小方格边长都为1，平行线l1 ∥l2∥ l3.分别 交直线m,n于 A1，A2 , A3 , B1, B2 , B3 .
A1 A2 B1 B2 A1 A2 B1 B2 A2 A3 B2 B3 , , 的值，你有什么发现？ 与 与 与 （1）计算 A2 A3 B2 B3 A1 A3 B1 B3 A1 A3 B1 B3
=
AB DE ∴(1). BC EF AB DE ( 2). AC DF (3). BC EF AC DF
下 = 全
习题巩固
1. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4 ， AB=3，EC=1.求AD和BD.
解∵AC=4，EC=1， ∴AE=3. ∵ DE∥BC， AD AE . ∴ AB AC