第二讲 初等数列

暑期课堂讲义
第2讲初等数列
2.1引入
小朋友你们可知道数学天才高斯小时候的故事吗？
高斯念小学的时候，有一次老师在教完加法后，因为老师想要休息，所以便出了一道题目要同学们算算看，题目是：
1+2+3+···+98+99+100=?
老师心里正想，这下子小朋友一定要算到下课了吧！正要找借口出去时，却被高斯叫住了！原来呀，高斯已经算出来了。

小朋友你可知道他是如何算出来的吗？
高斯告诉大家他是如何算出的：把1加至100与100加至1排成两排相加，也就是说：
1+2+3+···+98+99+100
100+99+98+···+3+2+1
=101+101+101+···+101+101+101
共100项
,结果就是5050。

共有一百个101相加，但算式重复了两次，所以等式就等于10100
2
在数学中，大部分的数列都毫无规律可言，更别谈求出它们的和了。

今天我们要介绍的数列都是数学中最基础的数列。

2.2数列找规律
1.顺（逆）等差数列：后一个数减去前一个数的差相等（或前一个数减去后一个数的差相等）
1,3,5,...,2n−1,2n+1, (1)
10,8,6,...,12−2n,10−2n, (2)
2.跳跃数列：即单数序号的数与双数序号的数分别形成规律。

8,15,10,13,12,11,14,9, (3)
这里8,10,12,14成规律，15,13,11,9成规律。

想一想,能不能让更多不同序号的数分别形成规律？比如说3个，4个，或更多？
3.质数数列，即将所有的质数放在一起形成一个数列。

什么是质数？是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。

2,3,5,7,11,13,17,19, (4)
4.平方数列或立方数列：由有序的数的平方或者立方构成的数，如
1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,...,即12,22,32,42,52,62,72,82,92,102, (5)
1,8,27,64,125,...,即13,23,33,43,53, (6)
5.斐波那契数列：即任意连续两个数字之和等于第三个数字
1,1,2,3,5,8,13,21,34, (7)
拓展知识：斐波那契数列又因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。

一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。

如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下。

两个月后，生下一对小兔对数共有两对三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对……
依此类推我们可以得到下表：
经过月数01234567891011···
幼仔对数1011235813213455···
经过月数01123581321345589···
经过月数1123581321345589144···
6.等比数列：前项与后项之间构成比例关系。

2,4,8,16,32,64, (8)
3,9,27,81,243,729, (9)
式（8）中从第二项开始每一项都是前一项的2倍，式（9）中则是3倍。

2.3等差数列
等差数列是常见数列的一种。

定理1如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

等差数列相关公式：‘
定义数列a n,首项为a1，第n项为a n,项数为d,则
公式1通项公式：第几项=首项+（项数-1）×公差，即
a n=a1+(n−1)×d(1)公式2项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1，即
n=(a n−a1)÷d+1(2)公式3求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2，即
a1+a2+a3+···+a n=(a1+a n)×n÷2(3)
2.4例题
例1在数列1×2,2×3,3×4,···,99×100中，第6个数是.
例2找规律填数：100,81,64,49,,,,9.
例3198,297,396,,.
例45243,2435,4352,.
例52,4,6,10,16,,,.
例6求193+187+181+···+103的值.
例739个连续奇数的和是1989，其中最大的一个奇数是多少？
例8在1-200这200个数中能被9整除的数的和是多少？
例9南昌市举行数学竞赛.比赛前规定，前15名可以获奖，比赛结果第一名1人；第二名并列2人；第三名并列3人；……；第十五名并列15人，用最简便方法计算出获得奇数名次奖项一共有多少人？
例10江西艺术剧院有25排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个座位？
2.5练习
1.根据规律填数
(a)3,20,5,40,7,80,,.
(b)1,3,6,10,,,.
(c)2,3,5,8,,21,,.
(d)2,3,5,7,,13,,19.
(e)2,5,11,23,,95.
(f)987,877,767,,.
2.计算：2+4+6+···+98+100=.
3.在1-100这100个自然数中所有不能被9整除的奇数的和是多少？
4.若干个小朋友围成8圈，一圈套一圈，从外向内各圈人数依次减少4人.如果最内圈有32人，那么一共
有多少个小朋友？
5.九个连续偶数的和比其中最小的数多232，这九个数中最大的数是多少？
6.在等差数列1949,1950,1951,···,2019中，所有的奇数之和比偶数之和多多少？。