计算流体力学 ppt课件

q j q1j 1 q 2j 2 q 3j 3
（2）数值化
边界积分方程（e）的离散形式
ciui
n u w ds j1 j n
n
qwds
j1 j
j 单元弧长
n 单元总数
若采用常数单元：
u const
q const
ciui
n
uj
j1 j
wds n
n
qj wds
j1 j
将（a）式对该控制体积分
e
Kd T Kd TSd 0 xb
dxe dxw w
在节点间T值的插值变化规律为：
（1）阶梯形剖面
节点上的T值为该点周围控制体内的数值。
但dT/dx在w,e上无定义。
（2）分段线性剖面
KeTExeTPKwT xP wTwSx0c
SS对于控制体的平均值
令
aE
Ke
xE
u const q const
b.线性单元（2节点） 取单元两端点为节点,则
j
1
j
1 2
1
j
2
j
1 2
1
u j u 1j 1 u 2j 2
q j q1j 1 q 2j 2
c.二次单元（3节点）
取中点及两端点为节点,则
j
1
j
1 2
1
j
2
j
1
j
3
j
1 2
1
u j u 1j 1 u 2j 2 u 3j 3
1.边界积分方程的建立
例：Laplace方程
2u
2u x 2
2u y 2
0
uu
u q n
其伽辽金方程为
（在Ω内） （在Γ1上） （在Γ2上）
Lu
pud
2u x2
2u y2
ud
0
u u
1
u q
n 2
当近似解不要求满足边界条件时，由格林公式可得:
x 2 u 2 y 2 u 2 u d 2 u n q u d 1s u u n ud
n1
n
bij
H ij u j
Gij q j
j 1
j n1 1
U ij
Gij H ij
解方程组后，则全部边界上u,q为已知， 再求出区域内任意点u值为
n
n
ui ujHij qjGij
j1
j1
二、有限体积法（Finite Volume Method或FVM）
1.基本思想： 将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，
引入记号
H ij
w
j
n
w
j
n
ds ds
ci
G ij wds j
j i j i
则
n
n
Hijuj Gijqj
j1
j1
或写成矩阵形式
H uG q
将已知值 u , q 等代入，整理成代数方程组形式
n
U ij x j bi
j 1
式中
x j q1, q2 ,...qn , un1 1, un1 2 ,...un T
4r
w 1 ln 1 三维
2 r
r---区域内任意点i到边界积分点的距离。
将i点移到边界上，则
ciui
uwd s n
uwds n
qwdsqwds
2
1
2
1
d
（d）式称为边界积分方程。
ui 点i处未知函数值。
ci 依赖于点i处边界几何形状的函，数 若i在区域内，c则i 1
若i在光滑边界上，ci则
于是 aPaEaWSPx bScx
标准形式不变。
3.非恒定问题的处理
cp
T t
K x
T x
cp 定压比热
cpw e ttt T tdtd t xttw exK T xdxdt
设T为阶梯形剖面,则
cp xT P T P 0 t t t K eT E x eT P K w T P x w T W dt
若选权函数w满足 2w0
而不要求满足边界条件时，则
q w d u s w du s w d su w d s b
n
n n
2
1
2
1
选择另一权函数w，使其对区域内任一点i满足
2w i 0 c
Diracdelta函数i
1 0
（在i点） （不在i点处）
则
u2wi d u2w dui
,aW
Kw
xw
aP aE aW,b Sx
则 a P T P a E T E a W T W b d
或 a P T P a n T b b d
足标nb表示相邻节点.
d或d标准形式
源项的处理：
设 S Sc SPTP Sc 常数部分 SP TP的常数部分
ui 未知函 u在 i点 数的值
由（c）
u 2w d u id ui
则（a）式变为
uiuwd suwd s qwd suwds
n
n
来自百度文库
n
2
1
2
1
说明:内点的函数值可用边界上的函数值及其 法向导数值沿区域的边界积分来表示。
满足(c)式的解称为基本解。对于各向同性介质
w 1 二维
引入权函数w=δu代入上式
2uw d uq w ds uu w ds
n
n
2
1
而
2 u w d u w d u s w d s 2 w u d
n
n
代入上式得
2wud
qwds uwds uwds uwds
n
n
n
2
1
2
1
--------（a）
称为边界元出发方程。
1 2
（d）式也可写为为
ciuiu w nd s
uwd se
n
3.数值离散
(1)边界上剖分和插值
将分成j 1,2,...n,个直线段称为单元。 设待求函u及 数导数 q u的逼近函数为
n
u
j
j
i
j
u
i
j
q j
u n
÷ j
j
i
j
q
i
j
xj
j
i
j
x
i
j
y
j
j
i
j
y
i
j
a.常数单元（1节点） 取单元中点为节点,则
使每个网格点周围有一个控制体积，将待解的微分 方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。
2.数值离散的一般步骤
例：一维热传导问题
dKdTS0a
dx dx
K---热传导系数 T---温度 S---单位体积内热量的产生率
P,E,W----节点 e,w---控制体交界面（一般为中点）
设y,z方向为单位厚度，则控制体体积为 x11
第五章 边界元法、有限体积法和有限分析法
一、边界元法（Boundary Element Method或BEM）
基本思想：将控制微分方程转化为边界积分方程， 再用有限元法来处理边界积分方程。
特点： 1.区域内满足微分方程，边界上近似满足边界条件。 2.维数减少一个，可以简化计算。 3.精度一般高于有限元法。 4.系数矩阵不对称并为满阵，需要解析函数的基本解， 目前主要适用于线性问题。
设
tt
TPdt fTP 1 f TP0 dt
t
f 0,1权系数
则