几何三大问题为尺规作图不能问题的证明

1.立方倍积问题

假设已知立方体的棱长为c，所求立方体的棱长为x.按给定的条件，应有

x3=2a3.

令a＝1，则上述方程取更简单的形式

x3-2=0.

根据初等代数知识，如果上述的有理系数三次方程含有有理根，不外是±1，±2.但经逐一代入试验，均不符合.可见方程x3-2=0必

不能用尺规作出，这就证明了立方倍积问题是尺规作图不能问题.

2.三等分任意角问题

对于已知的锐角∠O=θ，设OP、OS是它的三等分角线.

以O为圆心，单位长为半径画弧，交∠O的两边于点A、B，交三等分角线OS于点C.过点C作CD⊥OA，交OA于点D.这样，OS能否用尺规来作出，就等价于点C能否用尺规作出，也就是点D能否用尺规来作出.

令OD=x，则有

4x3-3x-cosθ＝0.

如果能证明上述三次方程的根一般不能仅用尺规作出，则点D不可得，于是射线OS也就不能作出.欲证明此事，可选一特例考察之.

8x3-6x-1=0.

以2x=y代入此方程，可得较简单的形式

y3-3y-1=0.

根据代数的知识，如果有理系数一元三次方程y3-3y-1=0含有有理根，不外是±1.但经逐一代入试验后，均不符合，可见此方程没有有理根.于是，根据本书第14页定理2可知，方程y3-3y-1=0的任何实根不能用尺

规作图来完成，即60°角不能用尺规三等分.三等分60°角尚且不能,这就表明了三等分任意角属于尺规作图不能问题.

当然，这个结论是对一般情形而言的，假如θ等于某些特殊值，则作图未必就不可能.例如，当θ=90°时，便有cos90°=0，此时方程

4x3-3x-cosθ=0就变为

4x3-3x=0.

解之，得

(见图6).

注意，当cosθ取值为无理数时，如θ=30°、45°等，则我们所用的定理2就不再适用了.

3.化圆为方问题

假设已知圆的半径为r，求作的正方形的边长为x(图7).按条件，应有

x2=πr2.

令r=1，即得

不可作.但π是超越数，自然不是有理系数的代数方程的根，更不是从1出发通过有限次加、减、乘、除及正实数开平方所能表示，即π不能仅用尺规作图来完成，所以化圆为方问题属尺规作图不能问题.

4.正七边形和正九边形的作图问题

正多边形的作图，亦即等分圆周问题，自古以来就一直吸引着人们.古希腊时期，人们已会运用尺规作出3，4，5，6.10，15边数的正多边形，但是企图作正七边形或正九边形却终归失败.现在来证明正七边形和正九边形都属尺规作图不能问题.

(图8).

∵7θ=2π，

∴3θ=2π-4θ，

∴ cos3θ=cos(2π－4θ)＝cos4θ.

根据三角恒等式，有cos3θ=4cos3θ-3cosθ，cos4θ=8cos4θ-8cos2θ＋1，所以4cos3θ-3cosθ=8cos4θ-8cos2θ＋1.即

8cos4θ-4cos3θ-8cos2θ＋3cosθ＋1=

x4-x3-4x2+3x＋2=0.

分解因式，得

(x-2)(x3+x2-2x-1)=0.

x3+x2-2x-1=0.

由试验，知±1均不能满足这方程，可见上述三次方程无有理根.于是，运用本书第14页的定理2，可知上述三次方程的任何实根均不能用尺规作图来完成，因而正七边形属于尺规作图不能问题.

的

作图，而θ=40°角属于尺规作图不能问题(否则，利用作角平分线的办法，可作出20°角，将导致三等分60°角成为可能).所以正九边形也属尺规作图不能问题.

由正七边形和正九边形是尺规作图不能问题，可直接推得边数为2n

×7和2n×9(n为正整数)的正多边形也是尺规作图不能问题.

对于尺规作图不能问题，除了直接应用本书第14页的定理来判断外，通常还有两种间接判断方法：

1°有的作图问题，经过分析后发现可以归结为已知的作图不能问题，则可断定该问题也属尺规作图不能问题.例如正九边形属尺规作图不能问题的上述证明所采用的方法就是.

2°有时，对问题的一般情形进行讨论既繁且难，而取其特例考察，则简易得多.因此欲决定某题属作图不能问题时，不妨相机证明它的特例不能作图，特例既经证实，一般情形的不能作图便不言而喻了(但特例可行则不等于这问题可作).例如解决三等分角问题时所采用的方法即是.