多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式
§8.4 多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式
M
26
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定理2 若函数 F (x, y, z) 满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F (x0 , y0, z0) 0 ③ Fz (x0 , y0, z0) 0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
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导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y ex xy 1 0, y y(x) 两边对 x 求导
两边再对 x 求导
y x0
ex y cos y x (0,0)
sin y ( y)2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
8
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例3 设 z uv sin t , u et , v cos t , 求全导数 dz .
dt
解 dz z du
z
dt u dt
t
z
vet
cos t
e t (cost sin t) cos t
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
x y
解 z
z v
x
v x
eu sin v eu cos v 1
z
z
z v
y
v y
eu sin v eu cos v 1
uv x yx y
7
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例2 u f (x, y, z) ex2 y2 z2 , z x2sin y, 求 u , u x y
讲义-9.3-多元复合函数与隐函数求导
9.3 .
多元复合函数与隐函数的偏导数 1. 一个方程所确定的隐函数可能是
13
F (x, y, z ) = 0 2. 方程组所确定的隐函数可能是
F (x, y, z ) = 0
G(x, y, z ) = 0
以下分别针对不同的隐函数方程形式讨论其中的求导问题： 隐函数存在定理 I：若函数 F (x, y ) 满足： (1) F (x0 , y0 ) = 0
′ 2. 设 f (x, y ) 一阶偏导连续，f (1, 1) = 1, f ′ x (1, 1) = 2，f y (1, 1) = 3，又 ϕ(x) = 3 dϕ (x) f (x, f (x, x))，求 。 dx x=1
NUDT-2017-S3
F (x, y, z ) = 0 G(x, y, z ) = 0 , ,
′ 例：设由 ln(xz ) + arctan(yz ) = 0 可确定隐函数 z = z (x, y )，求 zx 。
f (x, f (x, f (x, x)))，求 ϕ(1) 与 ϕ′ (1)。 例：设 u = u(x) 由 u = f (x, y ), g (x, y, z ) = 0, h(x, z ) = 0
.
注：以上的求法法则可以形象地解释为： “嵌套”→ 乘积， “并列”→ 相加 ∂z ∂z 例：对下列函数分别求 和 ∂x ∂y (1) z = eu cos v, u = 2x − y, v = xy (2) z = f (3x + 2y, x2 + y 2 )
∂z ∂z 和 ∂x ∂y ∂z ∂z 例：设 z = f (x/y )，其中 f 可微，证明：x +y =0 ∂x ∂y 例：设 z = xy + xf (x/y )，其中 f 可微，证明： 例：设 z = f (x, x + y, x/y )，其中 f 可微，求 x ∂z ∂z +y = xy + z ∂x ∂y dz dt
多元复合函数的求导法则
多元复合函数的求导法则为了简化讲解，假设我们有一个复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个一元函数，f(y)是一个多元函数。
我们希望计算该函数的导数。
下面是多元复合函数求导的三种基本法则。
法则一：链式法则链式法则是求导复合函数最常用的法则。
它可以帮助我们计算f(g(x))的导数。
根据链式法则，导数可以通过链式相乘的方式进行计算。
链式法则的公式为：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)其中f'(y)是f(y)对变量y的导数，g'(x)是g(x)对变量x的导数。
通过链式法则，我们可以将f(g(x))的导数转化为f'(g(x))和g'(x)的乘积。
法则二：导数反函数法则导数反函数法则是求导复合函数的另一种常用法则。
它适用于求导符合函数的反函数的导数。
设y=g(x)是一个可逆函数，且g'(x)≠0，则它的反函数x=g⁻¹(y)的导数可以通过导数的反函数进行计算。
导数反函数法则的公式为：(g⁻¹(y))'=1/(g'(x))其中g'(x)是g(x)对变量x的导数。
通过导数反函数法则，我们可以计算得到反函数的导数。
法则三：隐函数法则隐函数法则适用于求导复合函数中的隐式函数。
隐式函数是一种表示函数关系的方程，它的导数可以通过隐函数法则进行计算。
假设我们有一个隐函数F(x,y)=0，其中y=g(x)是一个表示x与y的关系的函数。
我们可以使用隐函数法则计算y的导数。
隐函数法则的公式为：(dy/dx) = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)其中(∂F/∂x)和(∂F/∂y)分别表示F(x,y)对变量x和y的偏导数。
通过隐函数法则，我们可以计算得到复合函数的导数。
综上所述，链式法则、导数反函数法则和隐函数法则是求导复合函数的三种基本法则。
这些法则能够帮助我们解决复杂的多元函数求导问题，提高计算效率。
多元复合函数求导和隐函数求导
多元复合函数求导和隐函数求导这节内容比较难，听课要认真。
要搞清我们学什么，要弄清复合函数、隐函数、显函数等基本概念。
一.显函数及复合函数1.显函数：)(x f y =（显现出来y ） ),(y x f z =（显现出z ）2，二元显函数求偏导：将一个固定，对另一变量求导。
3，复合函数：（复合函数是显函数） 一元：))(()()(x f y x u u f y ϕϕ=→== 作图：x u y -- ))(),(()()(),(x x f y x v x u v u f y φϕφϕ=→=== 作图： 二元： )],(),,([y x v y x u f z = （如),(),(y x v y x u z =） 作图：三元：如),,()(z y x u u f w ϕ== 作图：4，链式：x u y 环环 → 一条链两条链二、复合函数的求导： 链式法则： 一元：))(()()(x f y x u u f y ϕϕ=→==dxdudu dy dx dy =))(),(()()(),(x x f y x v x u v u f y φϕφϕ=→===“一条链”＋“另一条链”dx dv dv dy dx du du dy dx dy ＋=同理写出下列链式公式：x v v z x u u z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂＋yv v z y u u z y z ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂＋ u —— xyv —— xu —— x zv —— yx w ——u —— y zu —— x yv —— x u —— x yv —— xu —— x zv —— yxuu w x w ∂∂∂∂=∂∂ yuu w yw ∂∂∂∂=∂∂zuu w z w ∂∂∂∂=∂∂ 例1 yz x z y x v y x u v u z ∂∂∂∂-===,,23,.ln 2求 解：方法一： 把v u ,代入直接求； 方法二：用链式法则31ln 22⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂vu y v u x v v z x u u z x z ＝＋)2()(ln 222-⋅+-⋅=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂v u yx v u y v v z y u u z y z ＋ 例2 对抽象函数),,(xyz xy x f u =，求zuy u x u ∂∂∂∂∂∂,, 解：令xyz xy x ===3,2,1')('')(''321x x xyz f xy f f xu⋅+⋅+∂∂＝ ')('')('32y y xyz f xy f yu⋅+⋅∂∂＝ ')('3z xyz f zu⋅∂∂＝ x w ——u —— y zu —— xzv —— y1——xu —— 2——y3——z隐函数的求导上节我们学了复合函数的求导法则：链式法则。
多元复合函数与隐函数的求导
2ulnv
x y2
u2 v
2
2x2 y3
ln 3x
2y
y2
2x2
3x
2y
当然，例1.1也可以用直接求导法，但是用链式法则求 导具有思路清晰、计算简便、不易出错等优点。但是对于下 例，就只能用链式法则来求导了。
例1.2 设 z f x 2y ，ysinx， f 具有一阶连续的偏导数，求
图8-5
注意
在复合函数求导的过程中，如果其中出现某一个中间变量 是一元函数，则涉及它的偏导数记号应改为一元函数的导数记 号。
例1.3 设 z 2yຫໍສະໝຸດ x yx，y 求 。zy
解
设 u x y ，v x y，则 z 2yuv ，其函数结构图为
所以 z z dy z u z v 。 y y dy u y v y
例如 z eu sinv ，而 u 2xy，v x2 y ，如何求 z ? x
1.1 复合函数的求导法则
1. 二元复合函数求导法则
分析
方法一（直接求导法）
z e2xy sin x2 y ，利用求导的乘法公式可得： z 2 ye2xysin x2 y 2xe2xycos x2 y
高等数学
多元复合函数与隐函数的求导
【本节导引】
在一元 函 数 微 分 学 中，我 们 学 习 过 一 元 复 合 函 数
的 求 导 法 则，对 一 元 复 合 函 数 y f g x，如果函数 y f u 对u可导、u g x对x可导，则 dy dy du f ' u g' x
dx du dx ，即函数 y 对自变量 x 的导数等于函数y 对中间变量 u 的导数与中 间变量 u 对自变量 x 的导数的乘积。此一元复合函数的求导思想 能不能应用到多元复合函数的求导上? 若能，如何推广?
多元复合函数与隐函数求导
一、多元复合函数的求导法则
二、隐函数的微分法
一、多元复合函数的求导法则
以二元函数为例，讨论复合函数的求导方法。
设函数 z = f (u,v )，而u，v又都是x，y的函数
u = ( x, y ),v = ( x, y ), 于是
z = f [( x, y ), ( x, y )]
两边对x求导得
∂F ∂x
+
∂F ∂y
dy dx
= 0,即Fx′+ Fy′ddyx
=0
再由已知条件有
dy dx
=
-
Fx′ Fy′
例9 求由方程 e y - xy = 0所确定的隐函数y=f(x)
的导数。
解： 设 F( x, y ) = ey - xy, 则 Fx′= - y, Fy′= ey - x,
= 2 xfu′+ ye xy fv′+ f w′cos( x + y )
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w ∂y = ∂u ∂y + ∂v ∂y + ∂w ∂y
= fu′• ( - 2 y ) + fv′• x • exy + fw′• cos( x + y )
= - 2 yfu′+ xe xy fv′+ f w′cos( x + y )
（2）z = f ( u,v ),其中u = ( x ),v = ( x, y ),则
∂z ∂z du ∂z ∂v ∂x = ∂u • dx + ∂v • ∂x ∂z ∂z ∂v ∂y = ∂v • ∂y
例4
设函数
z
=
ln(tan
多元复合函数求导法则和隐函数求导公式
z
= e [ y ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
xy
u x yx
v y
∂ z ∂ z ∂u ∂ z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂ y ∂u ∂ y ∂v ∂ y = e u sin v ⋅ x + e u cos v ⋅1 = e [ x ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
4
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
dz . 例3. 设 z = u v + sin t , u = e , v = cos t , 求全导数 dt d z ∂ z du ∂ z dv ∂ z + = ⋅ + ⋅ 解: z d t ∂u d t ∂v dt ∂t
t
= v e t− u sin t + cos t = e t (cos t − sin t ) + cos t
u
x y z
= 2 x (1 + 2 x sin y ) e
2
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
∂u ∂ f ∂ f ∂ z + ⋅ = ∂ y ∂ y ∂z ∂ y
x
cos y
y
= 2 ye
x2 + y2 + z 2
+2 z e
x2 + y2 + z 2⋅ x 2
= 2 ( y + x sin y cos y ) e
多元复合函数的求导法则
一元复合函数
y = f (u ), u = ϕ ( x)
dy dy d u 求导法则 = ⋅ dx du dx 微分法则 d y = f ′(u ) d u= f ′(u ) ϕ ′ ( x) d x
3多元复合函数与隐函数的求导法则
求 m , m , m
x y z
z z u z v x u x v x
解
m x
m u m v m v u x v x v x
f1 1
f2
y
f3
yz
m m u m v m v
f1 2x
f2 ye xy
z y
f1 2 y
f2 xe xy
例7
设w
f(
x,y yz
)，而 u
x ,v y
y z
，求
w x
, w y
, w z
.
z z u z v x u x v x
解
w w u w v x u x v x
于是
2w xz
f11
xyf12
yf2
yz(
f21
xyf22 )
f11 y( x z) f12 xy2zf22 yf2.
例11 设z y F ( x2 y2 ), 验证 y z x z x.
x y
证
z 0 F ( x2 y2 ) ,
由链式法则,
z z u z v , x u x v x
z z u z v , y u y v y
代入,
dz
z x
dx
z y
dy中, 得
dz
z u
u x
z v
v x
dx
z y
z u
多元复合函数求导法和隐函数求导公式
通过练习和案例分析，提 高解决多元复合函数和隐 函数求导问题的能力。
THANKS
感谢观看
通过对方程两边求导，得到隐函数的导数表 达式。
高阶偏导数的计算方法
利用低阶偏导数的计算结果，逐步推导高阶 偏导数的表达式。
学习建议
熟练掌握多元复合函数的 求导法则，能够灵活运用 链式法则、乘积法则等解 决实际问题。
理解偏导数的概念及其性 质，能够正确计算偏导数 并解释其物理意义。
ABCDBiblioteka 学会利用隐函数求导公式， 解决涉及方程组的导数问 题。
04
多元复合函数和隐函数的实际应用
几何应用
曲线和曲面求导
通过多元复合函数求导法，可以求出曲 线和曲面的导数，进而研究它们的几何 性质，如曲线的斜率、曲面的法线等。
VS
参数方程的应用
在几何中，参数方程常常用来描述曲线和 曲面，通过隐函数求导公式，可以方便地 求出参数方程的导数，进而研究曲线的切 线和曲面的法线。
导数
表示函数在某一点附近的变化率，是函数的局部性质。对于隐函数，其导数表示其在某点处的切线斜率。
一阶隐函数求导公式
求导法则
利用链式法则对隐函数进行求导，即对$y$的求导数等于$frac{partial F}{partial x} cdot frac{dx}{dy}$。
举例
若$F(x, y) = 0$，则$frac{dy}{dx} = -frac{frac{partial F}{partial x}}{frac{partial F}{partial y}}$。
全导数的应用
全导数在研究多元函数的性质、优化问题以及偏微分方程等 领域中都有广泛的应用。通过全导数，我们可以更全面地了 解多元复合函数在不同自变量变化情况下的整体行为。
8.5_复合函数与隐函数的求导法则
19
复合函数与隐函数的微分法
dy . 例7 设 sin y e xy , 求 dx
x 2
x 2 设 , F ( x , y ) sin y e xy 解法1
e x y 2 , Fy cos y 2 xy , Fx
Fx dy y2 ex . 所以 dx Fy cos y 2 xy
多元复合函数求导法从一定意义上说, 可以认 为是一元复合函数求导法的推广.
由y f ( u), u ( x ) 构成的一元复合
函数 y f [ ( x )], 其导数公式是 dy d y du . dx du dx 对多元复合函数, 因变量对每一个自变量求导数也 如此, 不过, 因变量要通过各个中间变量达到自变量.
e xy[ y sin( x y ) cos( x y )],
z z u z v y u y v y
eu sin v x eu cos v 1
e xy[ x sin( x y ) cos( x y )].
z f u f v y u y v y
y
5
复合函数与隐函数的微分法
z z 例1 设z e sinv , u xy, v x y, 求 和 . x y z z u z u u e sinv y e cos v 1
2) 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内 F 具有连续偏导数
u
y
z f u f y u y y eu sin( x y ) x eu cos( x y ).
11
复合函数与隐函数的微分法
(完整版)3多元复合函数与隐函数的求导法则
z f [φ(t),ψ(t)]
z f (u,v)
u φ(t)
v ψ(t)
dz z du z dv dt u dt v dt
全导数
例 1 设 z eu sin v ，而u xy，v x y 求 z 和z . x y
解 z z u z v eu sin v y eu cos v 1
x y
证
z 0 F ( x2 y2 ) ,
z
1
F ( x2
y2) ,
x
x
y
y
下求 F ( x2 y2 )对x, y的偏导.记u x2 y2,
x u x v x eu ( y sin v cos v)
z y
z u
u y
z v
v y
eu sin v x eu cos v 1
eu( x sin v cos v)
例 2 设 z u2 v2 ，而u x y，v x y ，
求 z 和z . x y
解 z z u z v 2u 1 2v 1 4x x u x v x
§3复合函数与隐函数的偏导数
一、多元复合函数的导数(链式法则)
定理：z f [( x, y),( x, y)]
z f (u,v) u ( x, y)
v (x, y)
z z u z v z z u z v x u x v x y u y v y
链式法则如图示 z f [( x, y),( x, y)]
解 dz z du z dv z dt u dt v dt t
v et u sin t cost
et cos t et sin t cos t
et (cos t sin t ) cos t
例5
6.5 多元复合函数求导法则和隐函数求导公式
2 4 t
(2uv 3v 4 ) e t ( u2 12uv 3 )cos t
(2e t sin t 3sin4 t )e t (e 2t 12e t sin3 t )cos t .
链导法则
特例1 若 z = f (u , v)，而 u ( x ), v ( x ) 都在点 x 处可导, 函数 z = f (u , v)在相应点(u , v)处可微， 则复合函数 z f [ ( x ), ( x )] 在点 x 处可导， u 且 z x dz z du z dv 全导数 v
注意
情形(1) z f ( u, v , w ), u ( x , y ), v ( x , y ), w ( x , y ), 则 z u z v z w z x u
z
w
u
v
y
x y
z
z 是在 z f [ ( x , y ), x , y ] 中视 y 为常量，对 x 求偏导. x f 是在 z = f (u , x , y)中 视 u , y 为常量，对 x 求偏导. x
类似一元函数具有微分形式不变性，二元函数具有全微分 形式不变性. 设函数 z f ( u, v ), u ( x , y ), v ( x , y ) 均具有连续偏导数, 则复合函数 z f [ ( x , y ), ( x , y )] 的全微分为
z z dz dx dy x y z u z v z u z v dx dy u x v x u y v y z u u z v v dx dy dx dy u x y v x y
多元复合函数和隐函数的求导法则
6.3 多元复合函数和隐函数求导法则6．3．1 复合函数的求导法则 思考：设 z f (u, v) ， 而 u (t) ， v (t) ，如何求 dz ？dt 设 z f (u, v) ，而 u (x, y) ， v (x, y) ，如何求 z 和 z ？x y1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理 1 如果函数 u (t) 及 v (t) 都在点 t 可导 函数 z f (u, v) 在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数 z f [(t), (t)]在点 t 可导 且有 dz z du z dv dt u dt v dt简证 1：因为 z f (u, v) 具有连续的偏导数 则它是可微的 即有 dz z du z dv u v又因为 u (t) ， v (t) 都可导 因而可微 即有 du du dt dv dv dt dtdt代入上式得： dz z du dt z dv dt (z du z dv)dt u dt v dt u dt v dt从而 dz z du z dv dt u dt v dt简证 2：当 t 取得增量t 时 u、v 及 z 相应地也取得增量u、v 及z ，由 z f (u, v) 、u (t) 及 v (t) 的可微性 有z z u z vo() z [du t o(t)] z [dv t o(t)]o()u vu dtv dt(z du z dv)t (z z)o(t)o() u dt v dt u vz z du z dv ( z z ) o(t) o() t u dt v dt u v t t令t0 上式两边取极限 即得dz z du z dv dt u dt v dt注： lim o() lim o() (u)2 (v)2 0( du )2 ( dv)2 0 t0 t t 0tdt dt1/9推广：设 z f (u, v, w)， u (t) ， v (t) ， w w(t) ，则 z f [(t), (t),w(t)]对 t2/9的导数为： dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt上述 dz 称为全导数 dt2 复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理 2：如果函数 u (x, y) ，v (x, y) 都在点(xy)具有对 x 及 y 的偏导数 函数 zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数 z f [(x, y), (x, y)] 在点(x y)的两个偏导数存在 且有z z u z v ， z z u z v 。
多元函数求导法则公式
多元函数求导法则公式多元函数的求导法则公式有很多，下面我将逐个介绍并给出推导过程。
1.复合函数的求导法则：设函数z=f(u,v)是由u=g(x,y)和v=h(x,y)给定的复合函数。
求导法则公式为：∂z/∂x=(∂z/∂u)(∂u/∂x)+(∂z/∂v)(∂v/∂x)和∂z/∂y=(∂z/∂u)(∂u/∂y)+(∂z/∂v)(∂v/∂y)推导过程：设z=f(u,v)，u=g(x,y)，v=h(x,y)。
根据链式法则公式，dz/dx = ∂z/∂u * du/dx + ∂z/∂v * dv/dx即∂z/∂x=(∂z/∂u)(∂u/∂x)+(∂z/∂v)(∂v/∂x)同理，可以得到∂z/∂y的表达式。
2.隐函数的求导法则：设G(x,y,z)=0是一个由两个变量x和y决定的函数z的隐函数关系式。
求导法则公式为：dz/dx = - (∂G/∂x)/(∂G/∂z) 和 dz/dy = -(∂G/∂y)/(∂G/∂z)推导过程：根据隐函数求导公式，有 dx/dy = - (∂G/∂y)/(∂G/∂x)。
同时，我们可以得到 dz/dx = (dz/dx)/(dx/dy) = -(∂G/∂x)/(∂G/∂y)。
根据分子分母同乘以∂z/∂x，即 dz/dx = - (∂G/∂x)/(∂G/∂z)。
同理，可以得到 dz/dy 的表达式。
3.参数方程的求导法则：设x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)是由参数t给定的函数。
求导法则公式为：dz/dt = (∂z/∂x)(dx/dt) + (∂z/∂y)(dy/dt)推导过程：根据链式法则公式，dz/dt = (∂z/∂x)(dx/dt) + (∂z/∂y)(dy/dt)4.偏导数的求导法则：设函数z=f(x,y)是关于x和y的函数。
求导法则公式为：∂²z/∂x²=∂/∂x(∂z/∂x)和∂²z/∂y²=∂/∂y(∂z/∂y)以及∂²z/∂x∂y=∂/∂x(∂z/∂y)和∂²z/∂y∂x=∂/∂y(∂z/∂x)推导过程：根据二阶导数的定义，∂²z/∂x²=∂/∂x(∂z/∂x)和∂²z/∂y²=∂/∂y(∂z/∂y)。
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8.3 多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式一．多元复合函数的求导法则类似于一元复合函数的定义,我们现在给出二元复合函数的定义。
定义 设函数),(v u f z =，而u 、v 均为x 、y 的函数，即),(y x u u =，),(y x v v =，则函数)],(),,([y x v y x u f z =叫做x 、y 的复合函数。
其中u 、v 叫做中间变量，x 、y 叫做自变量。
现在再将一元函数微分学中的复合函数的求导法则，推广到多元复合函数。
多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中也起着重要作用。
定理 如果函数),(y x u u =，),(y x v v =在点（x,y ）处都具有对x 及对y 的偏导数，函数),(v u f z =在对应点（u,v ）处具有连续偏导数，则复合函数)],(),,([y x v y x u f z =在点（x,y ）处存在两个偏导数，且具有下列公式xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 定理中的公式叫做复合函数的偏导数的锁链法则，它可以推广到各种复合关系的复合函数中去。
作为初学者，我们常用图示法表示各变量之间的关系（如图所示）。
u xzv y图中的每一条线表示一个偏导数，如“z —u ”表示u z ∂∂。
现在我们利用图来求xz ∂∂，首先看z 通过中间变量到达x 有两条路径：x u z →→和x v z →→，那么结果就一定是两项之和，又在第一项中有u z →和x u →两个环节，那么这一项一定是两式相乘，即xu u z ∂∂∂∂。
同理第二项为xv v z ∂∂∂∂。
于是 xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 一般地，无论复合函数的复合关系如何，因变量到达自变量有几条路径，就有几项相加，而一条路径中有几个环节，这项就有几个偏导数相乘。
例1 设v u z ln 2=，而x y u =，y x v 32+=，求 x z ∂∂，yz ∂∂。
解 函数各变量之间的关系如上图所示，由锁链法则 2)(ln 222⋅+-⋅=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂v u xy v u x v v z x u u z x z )32(2)32ln(22232y x x y y x x y +++-= 31ln 22⋅+⋅=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂vu x v u y v v z y u u z y z )32(3)32ln(2222y x x y y x x y +++= 例2 求 )sin(222y x e z xy +=的一阶偏导数。
解 可以引入中间变量，按复合函数的求导法则计算。
设 xy u 2=，22y x v +=，则 v e z usin =。
函数各变量之间的关系如上图所示，由锁链法则x v e y v e xv v z x u u z x z u u 2cos 2sin ⋅+⋅=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ )]cos()sin([222222y x x y x y e xy +++=yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂y v e x v e u u 2cos 2sin ⋅+⋅= )]cos()sin([222222y x y y x x e xy +++=例3 设),(u x f z =的偏导数连续，且423y x u +=，求x z ∂∂，yz ∂∂。
解 函数各变量之间的关系如图所示，由锁链法则 x zu y x u x f u x f xu u f x f x z u x 6),(),(⋅'+'=∂∂∂∂+∂∂=∂∂),(6),(u x f x u x f u x '+'= ),(43u x f y yu u f y z u '=∂∂∂∂=∂∂ 练习 P 32 1（1）例4 设函数),(xy y x f z +=可导，求 x z ∂∂，yz ∂∂。
解 可以引入中间变量，按复合函数的求导法则计算。
设 y x u +=，xy v =，则 ),(v u f z =。
函数各变量之间的关系如例1图所示，由锁链法则x v v f x u u f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂==⋅∂∂+⋅∂∂y v f u f 1vf y u f ∂∂+∂∂ y z ∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=y v v f y u u f =⋅∂∂+⋅∂∂x v f uf 1v f x u f ∂∂+∂∂ 例5 设 y x z =，而t x sin =，t y cos =，求 dtdz 。
解 函数各变量之间的关系如下图所示，由锁链法则xz ty)sin (ln cos 1t x x t yx dtdy y z dt dx x z dt dz y y -+=∂∂+∂∂=-t x x t yx y y sin ln cos 1-=- x t t t t t ln )(sin cos )(sin 1cos 21cos +--⋅=例6 设),,(z y x f u =，),(y x z φ=，求x u ∂∂，y u ∂∂。
解 在这个函数中，x ，y 既是中间变量又是自变量，各变量之间的关系下如图所示，由锁链法则x z z f x f x u ∂∂∂∂+∂∂=∂∂， yz z f y f y u ∂∂∂∂+∂∂=∂∂ xu zy通过上面的例题我们可以看到，在利用复合函数的求导法则对复合函数求导数时，搞清楚函数各变量之间的关系是关键。
只有搞清楚了函数各变量之间的关系，才能够正确应用复合函数的求导法则求复合函数的导数。
练习 P 32 1（6）二． 隐函数求导公式与一元函数的隐函数类似，多元函数的隐函数也是由方程式来确定的一个函数。
比如，由三元方程0),,(=z y x F 所确定的函数),(y x f z =叫做二元隐函数。
但不是所有的方程式都能确定一个函数，也不能保证这个函数是连续的和可以求导的。
例如 01222=+++z y x ，由于x ，y ，z 无论取什么实数都不满足这个方程，从而这个方程不能确定任何实函数),(y x f z =。
原来我们讲一元函数的隐函数求导，是在方程能确定一个一元函数)(x f y =，且这个函数可导的前提下进行的。
因此，现在我们需要解决在什么条件下，可以由一个三元方程式确定一个二元函数，且这个函数是连续的、可导的，以及具体的求导方法。
定理 设函数),,(z y x F 在点),,(000z y x P 的某一邻域内有连续的偏导数，且0),,(000=z y x F ，0),,(000≠'z y x F z则方程0),,(=z y x F 在),(00y x 的某邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(y x f z =，它满足方程0),,(=z y x F 及条件),(000y x f z =，其偏导数可由0=∂∂∂∂+∂∂x z z F x F 和 0=∂∂∂∂+∂∂yz z F y F 即zF x Fxz ∂∂∂∂-=∂∂ 和 z F y F y z ∂∂∂∂-=∂∂ 来确定。
这个公式可以推广到一元隐函数和三元隐函数的求导中去。
由0),(=y x F 所确定的一元隐函数)(x f y =的导数是y x F F dx dy ''-= )0(≠'y F 由0),,,(=u z y x F 所确定的三元隐函数),,(z y x f u =的偏导数是u x F F x u ''-=∂∂ u y F F y u ''-=∂∂ u z F F z u ''-=∂∂ )0(≠'u F 例7 求由方程 2222a z y x =++所确定的隐函数(,)z f x y =的偏导数x z ∂∂和yz ∂∂。
解 设=),,(z y x F 2222a z y x -++，则有 x F x 2='，y F y 2='，z F z 2='所以当0≠'z F 时，由定理得z x z x F F x z z x -=-=''-=∂∂22，zy z y F F y z z y -=-=''-=∂∂22 例8 求由方程0sin 2=-+xy e y x 所确定的隐函数的导数dxdy 。
解法1 设2sin ),(xy e y y x F x -+=，则有 2y e F x x -='，xy y F y 2cos -='y x F F dx dy ''-=xy y y e x 2cos 2---=xyy e y x2cos 2--= 解法2 用原来求一元隐函数的导数的方法求因为 ()2cos 20x y y e y xy y ''⋅+-+⋅= 所以 2cos 2xy e y y xy-'=- 很明显，用第一种解法比第二种解法要简单，它不用考虑x 、y 是自变量还是因变量。
例9 求由方程 543215432x y z u +++=所确定的隐函数(),,u f x y z =的导数x u ∂∂，y u ∂∂和zu ∂∂。
解 设=),,,(u z y x F 123452345-+++u z y x ，则有 4x F x ='，3y F y ='，2z F z ='，u F u ='u x F F x u u x 4-=''-=∂∂，u y F F y u u y 3-=''-=∂∂，uz F F z u u z 2-=''-=∂∂ 练习 P 32 3（1）例10 求由方程 0322=-++x xz e e y x z 所确定的隐函数),(y x f z =在点（0，1）处的偏导数（0z >）。
解 设=),,(z y x F x xz e e y x z 322-++，则有xy F x 2='x xz e ze 3-+，2x F y ='，xz z xe z F +='2xz x xz z x xe z e ze xy F F x z +-+-=''-=∂∂232， xz z y xez x F F y z +-=''-=∂∂22又当x=0、y=1时，z =01x y z x ==∂=∂， 010=∂∂==y x y z练习 P 32 3（3）小结 1 多元复合函数的求导法则——锁链法则：xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 2 隐函数求导公式：zF x Fxz ∂∂∂∂-=∂∂ 和 z F y F y z ∂∂∂∂-=∂∂。