圆锥曲线_面积及其取值范围

所 以a = 2, 又b2 = a2 − c2 = 3.所 以 椭 圆 的 方 程 为： x2 + y2 = 1. 43
（2）可 知 椭 圆 右 焦 点F2(1, 0),
（i）当l与x轴 垂 直 时，此 时k不 存 在，直 线l : x = 1,直 线l1 : y = 0,
可 得：|AB| = 3, |CD| = 8,四 边 形ABCD面 积12.
1.解：（2）设 椭 圆E的 方 程 为 x2 + y2 = 1(a > b > 0),则 a√2 b2
∵椭 圆E过 点(0, 1)，离 心 率 为
2 ,
2
b
=
1 √
∴
c =
a a2 =
2 ,
2 b2 +
c2
, ∴ a2 = 2, b2 = 1, ∴椭 圆E的 方 程 为 x2 + y2 = 1; 2
（2）当l⊥x轴
时，A(−1,
√ 2
− ),
B(−1,
√ 2 ),
|AB|
=
√ 2
∴
△OAB的
面
积
为
1 2
×
2 √
2×
1
=
√2 2 ,不 满 足 题 意； 2
当l与x轴 不 垂 直 时，设 方 程 为y = k(x + 1),代 入 椭 圆 方 程，
可 得(1
+
2k2)x2
+
4k2x
+ 2k2
−
2
= 0则x1 √
圆 锥 曲 线-面 积 及 其 取 值 范 围
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√
1.已 知 中 心 在 原 点O，焦 点 在x轴 上 的 椭 圆E过 点(0, 1)，离 心 率 为
2 ,
2
（1）求 椭 圆E的 方 程；
（2）若 直 线l过 椭 圆E的 左 焦 点F ,且 与 椭 圆E交 于A, B两 点，若△OAB的 面 积 为 2 , 求 直 3
形OM P N 为 平 行 四 边 形（其 中O是 坐 标 原 点），求 平 行 四 边 形OM P N 的 面 积。
2
圆 锥 曲 线-面 积 及 其 取 值 范 围
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5.已 知 椭 圆C
:
x2 18
+
y2 9
=
1的 短 轴 端 点 为B1, B2,点M 是 椭 圆 上 的 动 点，且 不 与B1, B2重
4 ∴ |y1 − y2| = 3 ∴
4k2 (1 + 2k2)2
+
1
4k2 + 2k2
=
4 3
∴
k4
+ k2
−
2
=
0, ∴
k
=
±1
∴直 线l的 方 程 为x − y + 1 = 0或x + y + 1 = 0
2.（1）解：由 题 意 知 c
=
1 ,
则a
=
2c,
a2
圆M 的 标 准 方 程 为(x + 1)2 + y2 = 16,从 而 椭 圆 的 右 焦 点 为F1(−1, 0),即c = 1,
线l的 方 程。
2.设 椭 圆 x2 + y2 a2 b2
=
1(a
>
b
>
0)的
左
焦
点
为F1,离
心
率
为
1 2
,
F1为 圆M
:
x2 +y2 +2x−15
=
0的
圆 心。
（1）求 椭 圆 的 标 准 方 程；
（2）已 知 过 椭 圆 右 焦 点F2的 直 线l分 别 交 椭 圆 于A, B两 点，过 点F2且 与 直 线l垂 直 的 直 线l1与 圆M 交 于C, D两 点，求 四 边 形ABCD面 积 的 取 值 范 围。
合，点N 满 足N B1⊥M B1, N B2⊥M B2.
（1）求 动 点N 的 轨 迹 方 程，
（2）求 四 边 形M B2N B1面 积 的 最 大 值。
6.如 图，椭 圆C
:
x2 a2
+
y2 b2
=
1(a
>
b
>
0)的 右 顶 点 为A(2, 0),左、 右 焦 点 分 别 为F1, F2,
过
点A且 斜 率 为 1的 直 线 与y轴 交 于 点P ，与 椭 圆 交 于 另 一 点B，且 点B在x轴 上 的 射 影 恰 2
y = k(x − 1)
由
x2 y2 + =1
. 得(4k2 + 3)x2 − 8k2x + 4k2 − 12 = 0,
43
则x1
+
x2
=
3
8k2 + 4k2 , x1x2
=
4k2 − 12 ,
3 + 4k2
所 以|AB|
=
√ 1
+ k2, |x1
−
x2|
=
12(k2 + 1) 3 + 4k2
过 点F2(1, 0)且 与l垂 直 的 直 线 当l与x轴 不 垂 直 时，l1
:
y
=
1 − (x
k
−
1),则 圆 心 到l1的 距 离
+ x2
=
−4k2 1 + 2k2 , x1x2
=
2k2 − 2 ,
1 + 2k2
√ ∴ |y1 − y2| = (y1 + y2)2 − 4yБайду номын сангаасy2 =
4k2
4k2
+
,
(1 + k2)2 1 + 2k2
1
1
2
∵ S△OAB = 2 |OF √| · |y1 − y2| = 2 |y1 − y2| = 3
（2）求 以A, B, C, D为 顶 点 的 四 边 形 的 面 积 的 取 值 范 围。
4.已 知 椭 圆C
:
x2 a2
+
y2 b2
=
1(a
>
b
>
0)的 焦 距 为2√3,且 经 过 点A(√3, −1 ). 2
（1）求 椭 圆C的 标 准 方 程；
（2）斜 率 为k的 直 线l与 椭 圆C交 于 不 同 的 两 点M, N ,若 椭 圆 上 存 在 点P ,使 得 四 边
好 为 点F1.
（1）求 椭 圆C的 标 准 方 程；
（2）过 点P 的 直 线 与 椭 圆 交 于M, N 两 点（M, N 不 与A, B重 合），若S△P AM = 6S△P BN ,求 直 线M N 的 方 程。
3
圆 锥 曲 线-面 积 及 其 取 值 范 围 答 案 解 析
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1
圆 锥 曲 线-面 积 及 其 取 值 范 围
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√
3.如 图，已 知 椭 圆 x2 + y2 = 1(a > b > 0)的 右 焦 点F (1, 0),离 心 率 为
2 ,
过 点F 作 两 条 互
a2 b2
2
相 垂 直 的 弦AB, CD.
（1）求 椭 圆 的 标 准 方 程；
（ii）当l与x轴 平 行 时，此 时k = 0,直 线l : y = 0,直 线l1 : x = 1, 可 得：|AB| = 4, |CD| = 4√3,四 边 形ABCD面 积8√3.
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圆 锥 曲 线-面 积 及 其 取 值 范 围 答 案 解 析
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（iii）当l与x轴 不 垂 直 时，设l的 方 程 为y = k(x − 1)(k ̸= 0), A(x1, y1), B(x2, y2).