概率论的起源、发展及应用简述

概率论的起源、发展及应用简述
一、概率论概述
数学作为一门工具性学科在我们的日常生活以及科学研究中扮演着极其重要的角色。

概率论与数理统计作为数学的一个重要组成部分，在生活中的应用也越来越广泛。

概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。

在一定条件下，在个别试验或观察中呈现不确定性，但在大量重复试验或观察中其结果又具有一定规律性的现象，称为随机现象。

亦即事前不可预言的现象，即在相同条件下重复进行试验，每次结果未必相同，或知道事物过去的状况，但未来的发展却不能完全肯定。

如：以同样的方式抛置硬币却可能出现正面向上也可能出现反面向上；走到某十字路口时，可能正好是红灯，也可能正好是绿灯。

研究这类现象的数学工具便是概率论和数理统计。

二、概率论的起源与发展
人类认识到随机现象的存在是很早的。

从太古时代起，估计各种可能性就一直是人类的一件要事。

早在古希腊哲学家就已经注意到必然性与偶然性问题；我国春秋时期也已有可考词语（辞海）；即使提到数学家记事日程上的可考记载，也至少可推到中世纪。

有史记载15世纪上半叶，就已有数学家在考虑这类问题了。

最早对概率论来严格化进行尝试的，是俄国数学家伯恩斯坦和奥地利数学家冯·米西斯。

他们都提出了一些公理来作为概率论的前提，但他们的公理理论都是不完善的。

从二十世纪二十年代中期起，科尔莫戈罗夫开始从测度论途径探讨整个概率论理论的严格表述。

1926年，他推导了弱大数定律成立的主要条件，后又对博雷尔提出的强大数定律问题给出了一般的结果，推广了切比雪夫不等式，提出了科尔莫戈罗夫不等式，创立了可数集马尔可夫链理论，他最著名的工作是1933年以德文出版的经典性著作《概率论基础》。

科尔莫戈罗夫是莫斯科函数论学派领导人鲁金的学生，对实际函数论的运用可以说是炉火纯青。

他在这部著作中建立起集合测度与事件概率的类比、积分与数学期望的类比、函数正交性与随机变量独立性的类比等等。

这种广泛的类比终于赋予了概率论以演绎数学的特征。

科尔莫戈罗夫的公理系统逐渐获得了数学家们的普遍承认，由于公理化，概率论成为一门严格的演绎科学，取得了与其他数学分支同等的地位。

20世纪以来，由于物理学、生物学、工程技术、农业技术和军事技术发展的推动，概率论飞速发展，理论课题不断扩大与深入，应用范围大大拓宽。

在最近几十年中，概率论的方法被引入各个工程技术学科和社会学科。

目前，概率论在近代物理、自动控制、地震预报和气象预报、工厂产品质量控制、农业试验和公用事业等方面都得到了重要应用。

有越来越多的概率论方法被引入导经济、金融和管理科学，概率论成为它们的有力工具。

三、概率论的应用简介
以下为两个典型的概率论相关问题。

1.蒙提霍尔问题（亦称三门问题、玛丽莲之门）
这个问题曾在美国引起轩然大波。

参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。

当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。

主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。

问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机率？
直觉上，大多数人会认为换门与否并不影响总体得奖概率，因为汽车是等可能地放置在门后的。

然而，实际上，问题的答案是：当参赛者转向另一扇门而不是维持原先的选择时，赢得汽车的机会将会加倍。

解法一：
分析基本事件
考察换门事件：
A1=｛参赛者选山羊1，主持人选山羊2，换门｝
A2=｛参赛者选山羊2，主持人选山羊1，换门｝
B1=｛参赛者选汽车，主持人选山羊1，换门｝
B2=｛参赛者选汽车，主持人选山羊2，换门｝
易知：
P(A1)=1
3
P(A2)=1
3
P(B1)=1
3×1
2
=1
6
P(B2)=1
3×1
2
=1
6
那么，在换门得奖的概率即为P（A1）+P（A2）=2/3。

相对于不换门的1/3确实翻倍。

解法二：
同样地，只考察换门得奖的概率。

假设永远都会换门，那么得奖就等效于开始时选择到有山羊的门。

因为选择到山羊后，主持人会排除另一扇门，那么换门必将得奖。

所以得奖概率即为选中山羊的概率，即2/3。

这一问题的关键在于主持人，因为他总会挑一扇后面没有奖品（汽车）的门。

游戏秀的调查数据显示，那些改选的参赛选手赢的几率是那些没有改选的人的两倍，这证实了莎凡特在其第三篇专栏中的解释：“当你从三扇门中选了门1后，这扇门后面有奖的几率是1/3，另两扇门是2/3。

但接下来主持人给了你一个线索。

如果奖品在门2后，主持人将会打开门3；如果奖品在门3后，他会打开门2。

所以如果你改选的话，只要奖品在门2或门3后你就会赢，两种情况你都会赢！但是如果你不改选，只有当奖品在门1后你才会赢。

"
有趣的是，这个看似可以简单解决的概率问题在当年却引起了轩然大波。

对于“蒙提霍尔问题”（“Monty Hall dilemma”），玛丽莲·沃斯·莎凡特在她专栏的回答是改选会更有优势，这在美国引起了激烈的争议：人们寄来了数千封抱怨信，很多寄信人是科学老师或学者。

一位来自佛罗里达大学的读者写道：“这个国家已经有够多的数学文盲了，我们不想再有个世界上智商最高的人来充数！真让人羞愧！”
但是莎凡特并没有错。

最后她用整整4个专栏，数百个新闻故事及在小学生课堂模拟的测验来说服她的读者她是正确的。

“哦，那真是太有趣了。

实际上我十分享受这些讨厌的来信，”她说。

“这些家伙我真是爱死他们了！”
2.敏感问题调查
敏感性问题的调查是社会调查的一类，如一群人中参加赌博、吸毒的比率，学生考试作弊的比率以及人群中同性恋群体所占比率等。

对这类敏感性问题的调查，涉及个人隐私，不方便直接展开正面调查，也很难获取真实信息。

调查的关键是要使被调查者愿意作出真实回答又能为其保守秘密。

经过多年的研究和实践，一些心理学家设计了一种调查方案，在这个方案中，被调查者只需要回答两个问题中的一个问题，而且只需要回答“是”或“否”。

例：10月5日，成龙的女儿“小龙女”吴卓林宣布出柜，登上热搜榜。

同性恋问题一直作为一个敏感问题而存在，中国对待同性恋问题经历了“非罪化”、“去病化”等阶段。

在中国，同性恋者约有5000万，同性恋相关问题无形中涉及近上亿人的幸福。

随着中国的现代化和社会的快速发展，同性恋这一庞大的群体越来越为人们所关注。

请设计调查方案，调查统计某一人群中同性恋者比例。

问题Q1：你的身份证号尾数是否为奇数？
问题Q2：你是否是同性恋者？
调查中遵循以下原则：
a)被调查者在没有旁人的情况下，独自回答。

b)被调查者从箱子（箱子中只有白色球和黑色球）中随机抽出一只球，若抽出白色球，
则回答Q1，若抽出黑色球则回答Q2。

被调查者无论回答Q1还是Q2，只需在答卷上填“是”或“否”。

调查结果分析：
a)在样本数足够大的情况下，我们可以认为任一被调查者身份证号尾数为奇数的概率
为0.5。

b)箱子中黑色球占总数的比率为k。

c)调查统计得，“是”的频率为n，用频率作为概率。

则问题转化为：
已知回答“是”的概率为n，抽到黑色球的概率为k，求抽到黑色球的情况下回答“是”
的概率。

求解：
记：A=｛抽到黑色球｝，B=｛回答“是”｝
由全概率公式可得：
P(B)=P（A）P(B|A)+P（A̅）P（B|A̅）
其中：P(B|A)待求；
P（B|A̅）即为抽出白球的情况下回答“是”的概率，已知P(B|A̅)=0.5；
P（A）=k，P（A̅）=1-k；
P（B）=n。

代入原式可得：P(B|A)=n−0.5(1−k)
k
即，样本中同性恋者占比为：n−0.5(1−k)。

k
四、总结
虽然对于概率的考究自古已有，然而其公理体系只在20世纪的20至30年代才建立起来并得到迅速发展，一些概念和简单的方法，早期主要用于赌博和人口统计模型。

在过去的半个世纪里概率论在越来越多的新兴领域显示了它的应用性和实用性，例如：物理、化学、生物、医学、心理学、社会学、政治学、教育学，经济学以及几乎所有的工程学等领域。

随着人类的社会实践，人们需要了解各种不确定现象中隐含的必然规律性，并用数学方法研究各种结果出现的可能性大小，从而产生了概率论，并使之逐步发展成一门严谨的学科。

特别值得一提的是，概率论是今天数理统计的基础，其结果被用做问卷调查的分析资料或者对经济前景进行预测。

概率与统计的方法日益渗透到各个领域，并广泛应用于自然科学、经济学、医学、金融保险甚至人文科学中。

为人类世纪的生产生活带来便利。