2019届江苏省数学附加试题三份

1.已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x =sin αy =cos α(α∈R ，α为参数)．当极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，且极轴在x 轴的正半轴上时，曲线D 的极坐标力程为ρsin(θ+π4)=2a ．(I)试将曲线C 的方程化为普通方程，曲线D 的方程化为直角坐标方程； (II)试确定实数a 的取值范围，使曲线C 与曲线D 有公共点．2．己知实数a ，b ，c 满足2a 2+3b 2+6c 2=16，求a +b +c 的最大值．3．一个暗箱中有3只白球与2只黑球共5只球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地取球，乙从暗箱中无放回地取球，若甲、乙各自取出2只球． (I)写出甲总得分ξ的分布列；(II)求甲总得分大于乙总得分的概率．4．己知数集序列{1}，{3，5}，{7，9，11}，{13，15，17，19}，…，其中第n 个集合有n 个元素，每一个集合都由连续n 个奇数组成，并且每一个集合中的最大数与后一个集合中的最小数是连续奇数． (I)求第n 个集合中各数之和S n 的表达式；(II)求证：设n 是不小于2的正整数，∑==ni iS n f 161)(. 求证：f (n )>n ．1.已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x =sin αy =cos α(α∈R ，α为参数)．当极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，且极轴在x 轴的正半轴上时，曲线D 的极坐标力程为ρsin(θ+π4)=2a ．(I)试将曲线C 的方程化为普通方程，曲线D 的方程化为直角坐标方程； (II)试确定实数a 的取值范围，使曲线C 与曲线D 有公共点．(I)x 2＋y 2＝1；x ＋y ＝2a ．(II)－22≤a ≤22．2．己知实数a ，b ，c 满足2a 2+3b 2+6c 2=16，求a +b +c 的最大值．16＝2a 2＋3b 2＋6c 2＝[(2a)2＋(3b)2＋(6c)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫122+ ⎝⎛⎭⎫132+ ⎝⎛⎭⎫162≥(a ＋b ＋c)2． 等号当且仅当a ＝2，b ＝43，c ＝23时成立，故a ＋b ＋c 最大值为4．3．一个暗箱中有3只白球与2只黑球共5只球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地取球，乙从暗箱中无放回地取球，若甲、乙各自取出2只球． (I)写出甲总得分ξ的分布列；(II)求甲总得分大于乙总得分的概率．(I)甲的分布列为：(II)361254．己知数集序列{1}，{3，5}，{7，9，11}，{13，15，17，19}，…，其中第n 个集合有n 个元素，每一个集合都由连续n 个奇数组成，并且每一个集合中的最大数与后一个集合中的最小数是连续奇数． (I)求第n 个集合中各数之和S n 的表达式；(II)求证：设n 是不小于2的正整数，∑==ni iS n f 161)(. 求证：f (n )>n ．(I)每个序列第一个数为a n ＝1＋n(n －1)，故S n ＝n 3．1.已知直线l 的参数方程：12x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：)4sin(22πθρ+=．（Ⅰ）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 和圆C 的位置关系．2.已知函数()12f x x x =-+-. 若不等式()a b a b a f x ≥++-(0,,)a a b R 刮恒成立，求实数x 的范围.3.如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4ABC π∠=, OA ⊥底面ABCD ,2OA =,M 为OA 的中点.（Ⅰ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；（Ⅱ）求平面OAB 与平面OCD 所成的二面角的余弦值.4.点(,)n n n P x y 在曲线:xC y e -=上，曲线C 在点n P 处的切线n l 与x 轴相交于点1(,0)n n Q x +,直线1n t +：1n x x +=与曲线C 相交于点111(,)n n n P x y +++，（123,n =）.由曲线C 和直线n l ，1n t +围成的图形面积记为n S ，已知11x =.（Ⅰ）证明：11n n x x +=+； （Ⅱ）求n S 关于n 的表达式；（Ⅲ）记数列{}n S 的前n 项之和为n T ，求证：11n n n nT xT x ++<（1,2,3,n =）.D OM A BC2019届江苏省数学附加试题二1.已知直线l 的参数方程：12x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：)4sin(22πθρ+=．（Ⅰ）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 和圆C的位置关系． ．解：（Ⅰ）消去参数t ，得直线l 的普通方程为12+=x y …………………………………3分)4πρθ=+，即)cos (sin 2θθρ+=，两边同乘以ρ得)cos sin (22θρθρρ+=，得⊙C 的直角坐标方程为2)1()1(22=-+-x x ……………………………………………6分（Ⅱ）圆心C 到直线l 的距离255212|112|22<=++-=d ，所以直线l 和⊙C 相交………10分2.已知函数()12f x x x =-+-. 若不等式()a b a b a f x ≥++-(0,,)a a b R 刮恒成立，求实数x 的范围.解：由()a b a b a f x ≥++-，且0a ≠，得||||()||a b a b f x a ++-≥ ……………………3分又因为||||||2||||a b a b a b a b a a ++-++-=≥，则有2()f x ≥……………………………………6分解不等式122x x -+-≤，得1522x ≤≤……………………………………………………… 10分3.如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4ABC π∠=, OA ⊥底面ABCD ,2OA =,M 为OA 的中点.（Ⅰ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；（Ⅱ）求平面OAB 与平面OCD 所成的二面角的余弦值.解: 作AP CD ⊥于点P,如图,分别以AB,AP,AO 所在直线为,,x y z 轴建立 坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(0,(222A BP D -, (0,0,2),(0,0,1)OM …………………2分（Ⅰ）设AB 与MD 所成的角为θ,(1,0,0),(1)22AB MD ==--∵，1cos ,23AB MDAB MD πθθ===⋅∴∴ , ∴AB 与MD 所成角的大小为3π…5分 （Ⅱ）22(0,,2),(,2)222OP OD =-=--∵， ∴设平面OCD 的法向量为1(,,)n xy z =,则110,0n OPn OD ==，即 2022022y zx y z -=⎪⎨⎪-+-=⎪⎩，取z =,解得1(0,n = .…………… 6分DOMAB C121212.22cos ,3n n n nn n <>==……………………………………………………9分 由图形知，平面OAB 与平面OCD 所成的二面角的余弦值为3…………………10分 4.点(,)n n n P x y 在曲线:xC y e -=上，曲线C 在点n P 处的切线n l 与x 轴相交于点1(,0)n n Q x +,直线1n t +：1n x x +=与曲线C 相交于点111(,)n n n P x y +++，（123,n =）.由曲线C 和直线n l ，1n t +围成的图形面积记为n S ，已知11x =.（Ⅰ）证明：11n n x x +=+； （Ⅱ）求n S 关于n 的表达式；（Ⅲ）记数列{}n S 的前n 项之和为n T ，求证：11n n n nT xT x ++<（1,2,3,n =）.（Ⅰ）证明：因为x y e -=，所以xy e -'=-，则切线n l 的斜率n x n k e -=-，所以切线n l 的方程为()nx n n y y ex x --=--，令0y =，得1n Q n x x =+，即11n n x x +=+……………………2分（Ⅱ）解：因为11x =，所以n x n =，所以11111(2)()()|222n nn x xx n n n n n n n x e e S e dx x x y e e e +---+-+-=--⋅=--⨯=⎰ ………………5分（Ⅲ）证明：因为12(2)2()(1)22(1)n n n e e T e e e e e e e ------=++⋅⋅⋅+=--， 所以1111111111n n n n n n n T e e e T e e e e e--++-++---===+---，又1111n n x n x n n ++==+， 故要证11n n n n T x T x ++<，只要证111n e e e n+-<-，即要证1(1)n e e n e +>-+………………………7分下用数学归纳法（或用二项式定理，或利用函数的单调性）等方法来 证明1(1)n e e n e +>-+（略）…………………………………………………………………10分1.在极坐标系中，圆C的极坐标方程为π)4ρθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为41,531,5x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（t 为参数），求直线l 被圆C 所截得的弦长．2.若正数a ，b ，c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值．3.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB =，1AF =．(1) 求直线DF 与平面ACEF 所成角的正弦值；(2) 在线段AC 上找一点P ，使PF 与DA 所成的角为60，试确定点P 的位置．4.已知33331111()1234f n n =++++，231()22g n n=-，*n ∈N ． （1）当1,2,3n =时，试比较()f n 与()g n 的大小关系； （2）猜想()f n 与()g n 的大小关系，并给出证明．BEAFDC第22题图1.在极坐标系中，圆C的极坐标方程为π)4ρθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为41,531,5x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（t 为参数），求直线l 被圆C 所截得的弦长．曲线C的极坐标方程),cos sin 4πρθρθθ=+=-可化为， 化为直角坐标方程为220,x y x y +-+=即22111()()222x y -++= ．……………3分直线:l 41,531,5x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（为参数）可化为3410x y ++=，……………………………6分 圆心到直线的距离11341122510d ⨯-⨯+==，………………………………………8分弦长75L ==．……………………………………………………………10分 2.若正数a ，b ，c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值．因为1a b c ++=，a ，b ，c 为正数,由柯西不等式，所以2111()[(32)(32)(32)](111)323232a b c a b c +++++++≥+++++………6分 所以1111323232a b c ++≥+++，……………………………………………………8分 当且仅当323232a b c +=+=+，即a b c ==时“=”成立， 所以当31===c b a 时，原式取最小值1.………………………………………………10分 3.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF(1) 求直线DF 与平面ACEF 所成角的正弦值；(2) 在线段AC 上找一点P ，使PF 与DA (1) 以,,CD CB CE 则()(0,0,1),,E D B ，),AF ，因为,AC BD AF BD ⊥⊥，B所以BD 是平面ACEF 法向量，………2分又因为(2,2,0),(0,2,1)DB DF =-=，所以3cos ,DF DB =，故直线DF 与平面ACEF ．…………………5分 （2）设((,,0)0(2,2,1),(0,2,0)P a a a PF a a DA =--=≤,则．因为,60PF DA <>=，所以12a==cos60． 解得2a =，故存在满足条件的点P 为AC 的中点．……………10分 4.已知33331111()1234f n n =++++，231()22g n n=-，*n ∈N ． （1）当1,2,3n =时，试比较()f n 与()g n 的大小关系； （2）猜想()f n 与()g n 的大小关系，并给出证明． （1） 当1n =时，(1)1f =，(1)1g =，所以(1)(1)f g =；当2n =时，9(2)8f =，11(2)8g =，所以(2)(2)f g <； 当3n =时，251(3)216f =，312(3)216g =，所以(3)(3)f g <．………3分（2） 由（１），猜想()()f n g n ≤，下面用数学归纳法给出证明： ①当1,2,3n =时，不等式显然成立．②假设当(3)n k k =≥时不等式成立，即33332111131123422k k ++++<-， 那么，当1n k =+时， 3231311(1)()(1)22(1)f k f k k k k +=+<-+++， 因为22332321113131()02(1)2(1)2(1)22(1)k k k k k k k k k +----=-=<++++，所以231(1)(1)22(1)f kg k k +<-=++． 由①、②可知，对一切*n ∈N ，都有()()f n g n ≤成立．………………10分。