2019届江苏省数学附加试题三份

1.已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x =sin α

y =cos α

(α∈R ，α为参数)．当极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，且极

轴在x 轴的正半轴上时，曲线D 的极坐标力程为ρsin(θ+π

4

)=2a ．

(I)试将曲线C 的方程化为普通方程，曲线D 的方程化为直角坐标方程； (II)试确定实数a 的取值范围，使曲线C 与曲线D 有公共点．

2．己知实数a ，b ，c 满足2a 2+3b 2+6c 2=16，求a +b +c 的最大值．

3．一个暗箱中有3只白球与2只黑球共5只球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．

甲从暗箱中有放回地取球，乙从暗箱中无放回地取球，若甲、乙各自取出2只球． (I)写出甲总得分ξ的分布列；

(II)求甲总得分大于乙总得分的概率．

4．己知数集序列{1}，{3，5}，{7，9，11}，{13，15，17，19}，…，其中第n 个集合有n 个元素，

每一个集合都由连续n 个奇数组成，并且每一个集合中的最大数与后一个集合中的最小数是连续奇数． (I)求第n 个集合中各数之和S n 的表达式；

(II)求证：设n 是不小于2的正整数，∑

==n

i i

S n f 1

6

1

)(. 求证：f (n )>n ．

1.已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x =sin α

y =cos α

(α∈R ，α为参数)．当极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，且极

轴在x 轴的正半轴上时，曲线D 的极坐标力程为ρsin(θ+π

4

)=2a ．

(I)试将曲线C 的方程化为普通方程，曲线D 的方程化为直角坐标方程； (II)试确定实数a 的取值范围，使曲线C 与曲线D 有公共点．

(I)x 2＋y 2＝1；x ＋y ＝2a ．(II)－

22≤a ≤22

．

2．己知实数a ，b ，c 满足2a 2+3b 2+6c 2=16，求a +b +c 的最大值．

16＝2a 2

＋3b 2

＋6c 2

＝[(2a)2

＋(3b)2

＋(6c)2

]⎣⎢⎡⎦

⎥⎤⎝⎛⎭⎫122+ ⎝⎛⎭⎫132+ ⎝⎛⎭⎫162≥(a ＋b ＋c)2． 等号当且仅当a ＝2，b ＝43，c ＝2

3

时成立，故a ＋b ＋c 最大值为4．

3．一个暗箱中有3只白球与2只黑球共5只球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．

甲从暗箱中有放回地取球，乙从暗箱中无放回地取球，若甲、乙各自取出2只球． (I)写出甲总得分ξ的分布列；

(II)求甲总得分大于乙总得分的概率．

(I)甲的分布列为：

(II)36125

4．己知数集序列{1}，{3，5}，{7，9，11}，{13，15，17，19}，…，其中第n 个集合有n 个元素，

每一个集合都由连续n 个奇数组成，并且每一个集合中的最大数与后一个集合中的最小数是连续奇数． (I)求第n 个集合中各数之和S n 的表达式；

(II)求证：设n 是不小于2的正整数，∑

==

n

i i

S n f 1

6

1

)(. 求证：f (n )>n ．

(I)每个序列第一个数为a n ＝1＋n(n －1)，故S n ＝n 3．

1.已知直线l 的参数方程：12x t y t

=⎧⎨

=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：)4sin(22π

θρ+=．

（Ⅰ）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 和圆C 的位置关系．

2.已知函数()12f x x x =-+-. 若不等式()a b a b a f x ≥++-(0,,)a a b R 刮恒成立，求实数x 的范

围.

3.如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4

ABC π

∠=

, OA ⊥底面ABCD ,

2OA =,M 为OA 的中点.

（Ⅰ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；

（Ⅱ）求平面OAB 与平面OCD 所成的二面角的余弦值.

4.点(,)n n n P x y 在曲线:x

C y e -=上，曲线C 在点n P 处的切线n l 与x 轴相交于点1(,0)n n Q x +,直线1n t +：

1n x x +=与曲线C 相交于点111(,)n n n P x y +++，（1

23,n =）.由曲线C 和直线n l ，1n t +围成的图形面积记

为n S ，已知11x =.

（Ⅰ）证明：11n n x x +=+； （Ⅱ）求n S 关于n 的表达式；

（Ⅲ）记数列{}n S 的前n 项之和为n T ，

求证：11n n n n

T x

T x ++<（1,2,3,

n =）.

D O

M A B

C

2019届江苏省数学附加试题二

1.已知直线l 的参数方程：12x t y t

=⎧⎨

=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：)4sin(22π

θρ+=．

（Ⅰ）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 和圆C

的位置关系． ．解：（Ⅰ）消去参数t ，得直线l 的普通方程为12+=x y …………………………………3分

)4

π

ρθ=+，即)cos (sin 2θθρ+=，两边同乘以ρ得)cos sin (22θρθρρ+=，

得⊙C 的直角坐标方程为2)1()1(2

2=-+-x x ……………………………………………6分

（Ⅱ）圆心C 到直线l 的距离255

21

2|

112|22<=

++-=

d ，所以直线l 和⊙C 相交………10分

2.已知函数()12f x x x =-+-. 若不等式()a b a b a f x ≥++-(0,,)a a b R 刮恒成立，求实数x 的范

围.

解：由()a b a b a f x ≥++-，且0a ≠，得||||

()||

a b a b f x a ++-≥ ……………………3分

又因为

||||||

2||||

a b a b a b a b a a ++-++-=≥，则有2()f x ≥……………………………………6分

解不等式122x x -+-≤，得1522x ≤≤……………………………………………………… 10分

3.如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4

ABC π

∠=

, OA ⊥底面ABCD ,

2OA =,M 为OA 的中点.

（Ⅰ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；

（Ⅱ）求平面OAB 与平面OCD 所成的二面角的余弦值.

解

: 作AP CD ⊥于点P,

如图,分别以AB,AP,AO 所在直线为,

,x y z 轴建立 坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(0,

(222

A B

P D -, (0,0,2),(0,0,1)O

M …………………2分

（Ⅰ）设AB 与MD 所成的角为θ,(1,0,0),(1)22

AB MD ==-

-∵，

1cos ,2

3AB MD

AB MD π

θθ===⋅∴∴ , ∴

AB 与MD 所成角的大小为

3

π

…5分 （Ⅱ）22(0,

,2),(,2)222

OP OD =-=--∵， ∴设平面OCD 的法向量为1(,,)n x

y z =,

则

110,0n OP

n OD ==，即 202

2022

y z

x y z -=⎪⎨

⎪-+-=⎪⎩，

取z =,解得1(0,n = .…………… 6分

D

O

M

A

B C