大学物理-电通量-高斯定理
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❖ 一、求场强的思路
高斯定理反映的是电通量与电荷的关系，而不是场强 与电荷的直接联系。要通过电通量计算场强，就需要 在高斯定理表达式中，将场强从积分号中提出来，这 就导致要求电场的分布具有某种特殊的对称性。
几类对称性：
❖ 电场分布轴对称 ❖ 电场分布球对称 ❖ 电场分布面对称
二、 高斯定理的解题步骤：
大学物理
上册
§7. 3 电通量 高斯定理
§7. 3 电通量 高斯定理
7-3-1 电场线及其性质
❖ 标量场： 在空间各点存在着一个标量，它的数值是 空间位置的函数，如温度场、气压场
❖ 矢量场：在空间各点存在着一个矢量，它的值是空 间位置的函数，如流速场、电场、磁场 ▪ 场线：就是一些有方向的曲线，其上每一点的切 线方向都和该点的场矢量方向一致，场线的疏密 反映矢量的大小。
解: 对称性分析 E具有球对称作高斯面——球面
1） rR
电通量
e E1 dS E1 dS E14r2
s1
电量 qi 0
用高斯定理求解
+
+ +
R
+
+
r
E
+ +q
+
+
+
+
+
+++ +
E14r2 0 E1 0
e E 22d ）S E r2 d RS E 2 4 r2
++
+
E
+
s2
S
E d S E 1 d S E 2 d S E n d S
S
S
S
S
0q1 0 q0 2 qn 0
q1
1
q
0
i
S
q2 qn
q
对连续带电体，高斯定理为
EdS10 dq
结论：静电场是有源场，正电荷所在处就是静电 场的源头
eSEdS0
通量不为0的矢量场称为有源场
c . q i 0 e 0
结论
❖ 距离球心r处任意点的场强，只由半径小于r处的 球壳所带电量决定
❖ 其场强相当于将这些球壳上的电量、置于球心处 所产生的场强，而与半径大于r处的球壳所带电量 无关
❖ 分析高斯面内的静电荷时，要注意有时要分区间 讨论
三、高斯定理的应用举例
1、电荷分布球对称 如：均匀带电球面或者球体 例题1 求电量为Q 、半径为R的均匀带电球面的场强分布。
ａ：对称性分析：
由于电荷分布球对称，所以电场分布
P
也球对称，
可以设想，凡是距离O点为ｒ的各点
场强的大小都相等。
OR
球对称分布：在任何与均匀带 电球壳同心的球面上各点的场 强大小都相等，方向沿着半径 方向呈辐射状。
电场中假想的曲线
a) 电场线为假想的线,电场中并不存在；
说明:
b) 电荷在电场中的轨迹不是电场线。
几种常见电场的电场线
点电荷的电力线
负电荷
正电荷
+
一对等量异号电荷的电场线
+
一对等量正点电荷的电场线
+
+
一对异号不等量点电荷的电力线
2+q
q
带电平行板电容器的电场
++ ++ + + + + +
7-3-2 电通量
电场线
1.规定： a) 切线方向表示电场方向; b) 疏密表示场强大小。
方向切 ：线；
E大小E：
N S
电力线密度
E
方向
dS
E
大小
2. 性质:
(1) 起于正电荷(或无穷远)，终止于负电荷(或无穷远)，在无 电荷处不间断也不相交，称为有源场。 (2) 电场线不闭合，称为无旋场。故静电场 是有源无旋场。
q等。
4
0r2
S
dS
0
s
2）. 点电荷q 位于任意闭
合曲面S´内
rq
eS
eS
q
0
S
3） 场源电荷为点电荷，但在闭合曲面外。
+q
因为有几条电力线进面内必然有同样数目的电力线 从面内出来。
es 0 E•dS0
s
4. 闭合曲面内包围多个点电荷
e EdS
S
(E E 1E 2 ... .E .n.)dS
+
+
qi q E24r2q0 + R O
r
q
E2 4 0r 2
相当于电荷集中在球心的点电荷
+ +
q
+ +
+++ +
E
1
q
r2
4 0 R 2
r
O
R
扩展：
两个同心带电球壳，半径为R1和R２， 电量分别为Q1和Q2, 填空：
r R1,
E
R1 r R2 , E
R2 r,
E
R1， Q1
R２， Q2
❖ 定性分析带电体系激发的电场分布情况 ❖ 选取合适的高斯面：
✓ 场点必须在高斯面上。 ✓ 高斯面上各个部份场强要么大小相等，要么与面上场强平
行或垂直。
❖ 根据对称性，选择适当的坐标系，应用高斯定理求解 ❖ 对某些对称分布带电体的简单组合，可以对各带电体
分别使用高斯定理，再用场强的叠加原理求解合场强
ndS
de E dS
e SE dS
单位：Vm
e S E d S ＝ E c o dss
其中 co： 是 s E 与面 ds法 元向之间的。 夹角
e是标量，且有， 正其 负正 之负 分决定于 曲面法线方向的选取。
4)闭合曲面的法向：规定外法线（指向曲面外部空间的法线） 为正向。
eS E co d s S S E d S
表明电场线从正电荷发出，穿出闭合曲面, 所以正电荷是静电场的源头。
qi0 e0
表明有电场线穿入闭合曲面而终止于负电荷， 所以负电荷是静电场的尾。
高斯定理为求电场强度提供了一条途径.
高斯定理比库仑定律更广泛，适用于任何电场， 是电磁场理论的基本方程之一。
对于均匀、对称 的电场，可用之求电场强度。
4. 高斯定理的应用
❖注意：
▪ 1．电通量是对面或面元而言的，对某点谈电通量无 意义。
▪ 2．电通量是代数量，可正、可负、可以为零。
▪ 3．电通量的叠加原理：多个点电荷对某一曲面的电 通量等于它们单独存在时通量的代数和。
7-3-3 静电场的高斯定理
1. 定理 真空中的静电场内，通过任意封闭曲面的电通量等 于曲面内所包围的电荷电量的代数和除以真空介电 常数。与闭合面外的电荷无关。
eE dS qi 0
S
S： 闭合曲面，称为高斯面
2. 静电场高斯定理的验证
1）. 点电荷q 位于球面S 的球心 r q
e EE• ddSs EEccoos000ddSs
S
Ss
S
S
SS
qq
44 00rr22
ddSS
q
与球面半径无关，即以点电荷q为中心的任一球 面，不论半径大小如何，通过球面的电通量都相
通过电场中某一面的电力线数称为通过该面的电通量。
用e表示。（1）均匀电场（a）S与电场强度方向垂直
S
E
（b）S 法线方向与电场强度
方向成角
S n
E
e ES
e EScos
S
nE
1、均匀电场 E n
e ES
S
n
2、均匀电场 E n =
E
e EScosES
3、非均匀电场、任意曲面
S
E
高斯定理反映的是电通量与电荷的关系，而不是场强 与电荷的直接联系。要通过电通量计算场强，就需要 在高斯定理表达式中，将场强从积分号中提出来，这 就导致要求电场的分布具有某种特殊的对称性。
几类对称性：
❖ 电场分布轴对称 ❖ 电场分布球对称 ❖ 电场分布面对称
二、 高斯定理的解题步骤：
大学物理
上册
§7. 3 电通量 高斯定理
§7. 3 电通量 高斯定理
7-3-1 电场线及其性质
❖ 标量场： 在空间各点存在着一个标量，它的数值是 空间位置的函数，如温度场、气压场
❖ 矢量场：在空间各点存在着一个矢量，它的值是空 间位置的函数，如流速场、电场、磁场 ▪ 场线：就是一些有方向的曲线，其上每一点的切 线方向都和该点的场矢量方向一致，场线的疏密 反映矢量的大小。
解: 对称性分析 E具有球对称作高斯面——球面
1） rR
电通量
e E1 dS E1 dS E14r2
s1
电量 qi 0
用高斯定理求解
+
+ +
R
+
+
r
E
+ +q
+
+
+
+
+
+++ +
E14r2 0 E1 0
e E 22d ）S E r2 d RS E 2 4 r2
++
+
E
+
s2
S
E d S E 1 d S E 2 d S E n d S
S
S
S
S
0q1 0 q0 2 qn 0
q1
1
q
0
i
S
q2 qn
q
对连续带电体，高斯定理为
EdS10 dq
结论：静电场是有源场，正电荷所在处就是静电 场的源头
eSEdS0
通量不为0的矢量场称为有源场
c . q i 0 e 0
结论
❖ 距离球心r处任意点的场强，只由半径小于r处的 球壳所带电量决定
❖ 其场强相当于将这些球壳上的电量、置于球心处 所产生的场强，而与半径大于r处的球壳所带电量 无关
❖ 分析高斯面内的静电荷时，要注意有时要分区间 讨论
三、高斯定理的应用举例
1、电荷分布球对称 如：均匀带电球面或者球体 例题1 求电量为Q 、半径为R的均匀带电球面的场强分布。
ａ：对称性分析：
由于电荷分布球对称，所以电场分布
P
也球对称，
可以设想，凡是距离O点为ｒ的各点
场强的大小都相等。
OR
球对称分布：在任何与均匀带 电球壳同心的球面上各点的场 强大小都相等，方向沿着半径 方向呈辐射状。
电场中假想的曲线
a) 电场线为假想的线,电场中并不存在；
说明:
b) 电荷在电场中的轨迹不是电场线。
几种常见电场的电场线
点电荷的电力线
负电荷
正电荷
+
一对等量异号电荷的电场线
+
一对等量正点电荷的电场线
+
+
一对异号不等量点电荷的电力线
2+q
q
带电平行板电容器的电场
++ ++ + + + + +
7-3-2 电通量
电场线
1.规定： a) 切线方向表示电场方向; b) 疏密表示场强大小。
方向切 ：线；
E大小E：
N S
电力线密度
E
方向
dS
E
大小
2. 性质:
(1) 起于正电荷(或无穷远)，终止于负电荷(或无穷远)，在无 电荷处不间断也不相交，称为有源场。 (2) 电场线不闭合，称为无旋场。故静电场 是有源无旋场。
q等。
4
0r2
S
dS
0
s
2）. 点电荷q 位于任意闭
合曲面S´内
rq
eS
eS
q
0
S
3） 场源电荷为点电荷，但在闭合曲面外。
+q
因为有几条电力线进面内必然有同样数目的电力线 从面内出来。
es 0 E•dS0
s
4. 闭合曲面内包围多个点电荷
e EdS
S
(E E 1E 2 ... .E .n.)dS
+
+
qi q E24r2q0 + R O
r
q
E2 4 0r 2
相当于电荷集中在球心的点电荷
+ +
q
+ +
+++ +
E
1
q
r2
4 0 R 2
r
O
R
扩展：
两个同心带电球壳，半径为R1和R２， 电量分别为Q1和Q2, 填空：
r R1,
E
R1 r R2 , E
R2 r,
E
R1， Q1
R２， Q2
❖ 定性分析带电体系激发的电场分布情况 ❖ 选取合适的高斯面：
✓ 场点必须在高斯面上。 ✓ 高斯面上各个部份场强要么大小相等，要么与面上场强平
行或垂直。
❖ 根据对称性，选择适当的坐标系，应用高斯定理求解 ❖ 对某些对称分布带电体的简单组合，可以对各带电体
分别使用高斯定理，再用场强的叠加原理求解合场强
ndS
de E dS
e SE dS
单位：Vm
e S E d S ＝ E c o dss
其中 co： 是 s E 与面 ds法 元向之间的。 夹角
e是标量，且有， 正其 负正 之负 分决定于 曲面法线方向的选取。
4)闭合曲面的法向：规定外法线（指向曲面外部空间的法线） 为正向。
eS E co d s S S E d S
表明电场线从正电荷发出，穿出闭合曲面, 所以正电荷是静电场的源头。
qi0 e0
表明有电场线穿入闭合曲面而终止于负电荷， 所以负电荷是静电场的尾。
高斯定理为求电场强度提供了一条途径.
高斯定理比库仑定律更广泛，适用于任何电场， 是电磁场理论的基本方程之一。
对于均匀、对称 的电场，可用之求电场强度。
4. 高斯定理的应用
❖注意：
▪ 1．电通量是对面或面元而言的，对某点谈电通量无 意义。
▪ 2．电通量是代数量，可正、可负、可以为零。
▪ 3．电通量的叠加原理：多个点电荷对某一曲面的电 通量等于它们单独存在时通量的代数和。
7-3-3 静电场的高斯定理
1. 定理 真空中的静电场内，通过任意封闭曲面的电通量等 于曲面内所包围的电荷电量的代数和除以真空介电 常数。与闭合面外的电荷无关。
eE dS qi 0
S
S： 闭合曲面，称为高斯面
2. 静电场高斯定理的验证
1）. 点电荷q 位于球面S 的球心 r q
e EE• ddSs EEccoos000ddSs
S
Ss
S
S
SS
44 00rr22
ddSS
q
与球面半径无关，即以点电荷q为中心的任一球 面，不论半径大小如何，通过球面的电通量都相
通过电场中某一面的电力线数称为通过该面的电通量。
用e表示。（1）均匀电场（a）S与电场强度方向垂直
S
E
（b）S 法线方向与电场强度
方向成角
S n
E
e ES
e EScos
S
nE
1、均匀电场 E n
e ES
S
n
2、均匀电场 E n =
E
e EScosES
3、非均匀电场、任意曲面
S
E