结构力学(一)第三版龙驭球第5章 虚功原理及结构的位移计算

b Fx FP a
特点:
Fx a FP b 0 M B
MB
0
用几何法来解静力平衡问题。
(2)所求力与虚设位移的大小无关,故可设单位位移
X 1 x
单位位移法
(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。
例 求图示多跨梁B的支座反力、E截面的弯矩 2FP FP A E B D C a a 2a 2a 2a FP A E FBY 1/2 E B C 2FP D 力状态


一般公式的普遍性表现在：
1. 位移原因：荷载、温度改变、支座移动等； 2. 结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构；静定和超静定 结构； 3. 材料性质：线性、非线性； 4. 变形类型：弯曲变形、拉(压)变形、剪切变形； 5. 位移种类：线位移、角位移；相对线位移和相对角位移。
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
一个力系作的总虚功
W=∑P×
P---广义力; ---广义位移 例: 1)作虚功的力系为一个集中力
FP
W F P
2)作虚功的力系为一个集中力偶
M

W M
3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶
M M
W M A M B M ( A B ) M
3）变形体虚功方程的应用
虚力原理

P
(Mkd
A
B
s
FN d s FQ 0 d s )
虚位移原理
§5.3 计算结构位移的一般公式 —单位荷载法
将虚功原理用于实际协调位移和虚设平衡力状态间已介 绍过——单位荷载法。 下面从虚功方程入手，讨论杆系结构位移计算的一般公 式。杆系结构虚功方程为:
外力虚功：
建 立 虚 功 方 程
内力虚功：
微段上的内力虚功：
dwi FN du FQ dw Md FN d x FQ 0d x Mkd x
整个变形体的内力虚功为：
wi d wi FN d x FQ 0 d x Mkdx
B B A A
单根变形直杆的虚功方程：
A
B P=1
(h)
P=1
AB ?
§5.4静定结构在荷载作用下的位移计算
FN d s FQ r0 d s M kds FRi ci
仅在荷载作用时的位移计算一般公式
pu q d x FN d x FQ 0 d x Mkdx
B B A A
P ( Mkd x FN d x FQ 0 d x )
A
B
注意 ： P 为广义力：包括杆端力、杆件受的均布荷载、 集中荷载、约束反力等。 也是广义位移，包括角位移、线 位移等。
t
引起结构位移的原因： 荷载、温度改变 T、支座移动 c、制造误差 等
为什么要计算 位移?
2. 计算位移的目的
1）刚度要求。如： 在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度；高层建筑 最大位移< 1/1000 高度。最大层间位移< 1/800 层高。铁路 工程技术规范规定:桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最 大挠度 < 1/700 和1/900跨度

P
(Mkd
A
B
s
FN d s FQ 0 d s )
设待求的实际广义位移为Δ, 与Δ对应的广义力为P。 设仅在广义力P=1作用下，任意横截面上与之对应的轴 力、剪力和弯矩分别为FN 、 FQ、和M。 又设与内力FN 、 FQ 和 M 对应的微段实际变形分别 为d d 、和 d
3)刚体虚功原理的两种应用 既然虚功原理中的平衡力系与可能的位移无关，因此 不仅可以把位移看作是虚设的，而且也可以把力看作是虚 设的，根据虚设对象的不同，刚体虚功原理主要有两种应 用形式。
第一种应用：
（1）虚功原理用于实际已知的平衡 力状态与虚设的协调位移状态之 间—虚设位移状态求已知力状态的 未知力—虚位移原理
.建立力状态 ..建立虚设的位移状态 …利用虚功原理求解
力状态 位移状态
Fx x FP P 0
单位位移状态
P b Fx FP FP x a
刚体虚位移原理：
已知刚体的力状态，虚设位移状态求未知力。
几点说明： (1)把上式变形即为平衡方程式，实质上是实际受力状 态的平衡方程，即
u


实际位移状态
虚设的力状态
ds
d u d d
FN 、 FQ、M
则杆系结构虚功方程为:
FPK K FR1C1 FR 2C2 FR 3C3 FN d u F d M d


位移计算的一般公式 则杆系结构虚功方程改写为：
FN d s F 0 d s M kds F Ri ci
A P=1
A ?
P=1
B A
(a)
P=1
AB ?
(b)
1 P d
C d A
(c)
B
BC ?
1 d1 1 d1
C
1 P d
d1
(d)
B
A
d2
AB AC ?
1 d2
1 d2
P=1
A
(e)
B
AB ?
P=1
P=1
C
P=1
(f)
C
左右
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=？
P=1
A
(g)
A ?
ME 0
第二种应用： 如右图，已知支座A向上移 动一个已知位移 ,现求c点 竖向位移 .利用已知的位移状态 ..建立虚设的力状态 …建立虚功方程求解 力状态
位移状态
FP
单位力状态
(2)虚功原理用于实际的协调位移状态与虚设的平衡力状态 之间—虚设力状态求已知位移状态下的位移—虚力原理
刚体的虚力原理 已知刚体的位移状态，虚设力状态求未知位移 几点说明： (1)所建立的虚功方程,实质上是几何方程，是把几何问题转 化为平衡问题。 特点: 是用静力平衡法来解几何问题。 (2)因求出的位移与所设力的大小无关，为了计算的方便，故 可设单位广义力 P=1，称为： 单位荷载法 (3)求解时关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系。
FP /2 力状态
FP /2 位移状态
注意：两种状态 （1）属同一体系； （2）均为可能状态。即位移应满足变形协调条件（变 形与位移协调:位移连续、杆件变形后不断开、 不重叠。）；力状态应满足平衡条件。 （3）位移状态与力状态相互独立、完全无关；但相 互对应
2）刚体体系的虚功原理
x ql2/2 x ql
2）杆系结构虚功方程的建立

P
(Mkd
A
B
s
FN d s FQ 0 d s )
变形体虚功原理的注意点： .虚功方程实际上是平衡方程和协调方程的总和，反过来虚功 方程既可以用来代替平衡方程也可以用来代替几何方程。 ..以上结论与材料物理性质及具体结构无关，因此，虚功原理 虚功方程既适用于一切线性、非线性、静定、超静定结构。 … 虚功原理里存在两个状态： 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调 条件。因此原理仅是必要性命题。 ….刚体的虚功原理是变形体虚功方程的特殊形式
重点：
虚功原理及应用 图乘法及应用
难点：
虚功原理的理论解释 图乘法的图乘技巧
§5.1 结构位移计算概述
1.结构的位移
角位移

相对线位移 荷载作用下 A
C
FP
还有什么原 C y 因会使结构产 A 生位移?
C
FP
D
D
D
x
线位移



相对角位移
位移：包括线位移，角位移，相对线位移、角位移等称广义位移。
A
1 B
3/4 C
虚设的位移状态
D
1 3 FBY 1 FP 2 FP 0 2 4
FBY
FP 6 FP 2 FP 2 4
FP
A
E a E
ME B 1 B C C
2FP D
力状态
A
a/2
D 虚设位移状态
a M E 1 FP a 2 FP 0 2
第5章 虚功原理及结构的位移计算
知识点:


结构位移的概念及类型 虚功原理及应用 结构位移计算的一般公式 静定结构在荷载作用下的位移计算 图乘法 静定结构由于支座移动、温度改变引 起的位移计算 线弹性结构的互等定理
教学基本要求:
掌握刚体系虚功原理与变形体虚功原理内容及其 应用条件，掌握刚体虚功原理的应用，掌握广义位移 与广义荷载的概念。 掌握结构位移计算的一般公式，并能正确应用 于各类静定结构受荷载作用、支座位移、温度变化 等引起的位移计算。 熟练掌握图乘法的推导、应用条件、图乘技巧、 梁和刚架位移计算的图乘法。 了解曲杆和拱的位移计算。 掌握线弹性结构的互等定理
1 2l
2 l
3 2l
所得正号表明位 移方向与假设的单 位力方向一致。
求 （1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力； 解 （2）建立虚功方程 1 FRk ck 0 步 骤 （3）解方程得 FRk ck 定出方向。
2.变形体的虚功原理
根据刚体的虚功原理，按照从特殊到一般的推理原则，总 结得出变形体的虚功原理： 在具有理想约束的变形体系上，若力状态的力系满足平衡 条件（整体平衡、局部平衡），位移状态下的位移满足变形协 调条件（包括变形与应变的协调：轴向应变对应轴向线位移、 剪应变对应横向位移、弯曲应变也就是曲率对应角位移；位移 与约束的几何相容：位移连续、杆件变形后不断开、不重叠， 约束和位移是相对应的），则外力在位移上所作的虚功恒等于 各个微段的内力在相应变形上所作的内虚功。即：