基本初等函数求导公式精选
基本初等函数的导数公式 课件
解
y′＝ lim Δx→0
x＋Δx2＋ax＋Δx＋b－x2＋ax＋b Δx
＝ lim Δx→0
x2＋2x·Δx＋Δx2＋ax＋a·Δx＋b－x2－ax－b Δx
＝ lim Δx→0
2x·Δx＋a·Δx＋Δx2 Δx
＝lim (2x＋a＋Δx)＝2x＋a. Δx→0
题型二 利用导数公式求函数的导数
名师点睛 1．几种常用函数的导数
(1)根据导数定义求导数是最基本的方法．其大致步骤为：首先 计算ΔΔyx，并化简；然后观察当 Δx 趋近于 0 时，ΔΔyx趋近于哪个 定值；最后，ΔΔyx趋近于的定值就是函数 y＝f(x)的导数． (2)对基本初等函数的导数公式的特别说明 不要求根据导数定义推导这八个基本初等函数的导数公式，只 要求能够利用它们求简单函数的导数即可．在学习中，适量的 练习对于熟悉公式的应用是必要的，但应避免过量的形式化的 运算练习．
【例 2】 求下列函数的导数．
(1)y＝5x；
(2)y＝x13；
(3)y＝4 x3；
(4)y＝log3x；
(5)y＝(1－ x)(1＋ 1x)＋ x；
[思路探索] 解答本题可先将解析式调整为基本初等函数的 形式，再利用公式求导．
解 (1)y′＝(5x)′＝5xln 5；
(2)y′＝x13′＝(x－3)′＝－3x－4；
基本初等函数的导数公式
1．几个常用函数的导数
自学导引
原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝1x f′(x)＝－x12 f(x)＝ x f′(x)＝21 x
想一想：下面的计算过程正确吗？
sinπ4′＝cos4π＝
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）基本初等函数的导数公式表x y x y xy x y y x y cos )6(log )5(ln )4(1)3(5)2()1(125======、求下列函数的导数例 例处的切线方程。
在、求函数2cos 2π==x x y（二）导数的四则运算法则：（2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）例3、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）323y x x =-+（2）y = （3）sin ln y x x x =⋅⋅；（4）4x x y =； （5）1ln 1ln x y x -=+． （6）2(251)x y x x e =-+⋅；三．课堂练习1、求下列函数的导数：)1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y xx x y ω 2、已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2＋4，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；3、处的导数。
在求3332=++=x x x y 4、处的切线方程。
，在点求曲线)20(1P e y x += ______________________1216______________)42()04(4522处的切线方程为垂直，则过点的切线与直线上的点，若过点是曲线、的坐标为，则于处的切线恰好平行，若曲线上一点，、，上两点、曲线P x y P x y P P AB P B A x x y +-==-= 7、曲线3()2f x x x =+-在0P 点处的切线平行于直线41y x =-，则0P 点的坐标为 ．8、已知抛物线2y x bx c =++上的点（1，2）处的切线与直线2y x =-平行，求b ，c 的值。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
上导乘下,下导乘上,差比下方
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
如果上式中f(x)=c,则公式变为：
[cg ( x)] cg ( x)
例2 根据基本初等函数的导数公式和导数
运算法则，求函数y=x3-2x+3的导数。
y (x 解：因为2x 3)
p(t ) p0 (1 5%)
t
解:根据基本初等函数导数公式表,有
(t ) 1.05t ln1.05 p
所以 p(10) 1.05 ln1.05 0.08(元 / 年)
10
因此,在第10个年头,这种商品的价格 约以0.08元/年的速度上涨.
导数的运算法则:(和差积商的导数)
导数的运算法则:(和差积商的导数)
[ f ( x) g ( x)]' f '( x) g '( x)
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
轮流求导之和
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
是否有切线，如果有， 求出切线的方程.
试自己动手解答.
1 有,切y x 2
线的 方程 为
基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
常用求导积分公式及不定积分基本方法
常用求导积分公式及不定积分基本方法常用求导公式：1.一元函数求导公式：- 反函数求导法则：若y=f(u)，则u=f^(-1)(y)，则有(dy)/(dx) =1/(du/dy)- 常数乘法法则：若y=kf(x)，则(dy)/(dx) = kf'(x)-基本初等函数求导法则：- 常数函数求导法则：若y=c，则(dy)/(dx) = 0- 幂函数求导法则：若y=x^n，则(dy)/(dx) = nx^(n-1)- 指数函数求导法则：若y=a^x，则(dy)/(dx) = (lna) * a^x- 对数函数求导法则：若y=loga(x)，则(dy)/(dx) = 1 / (xlna)- 三角函数求导法则：若y=sin(x)、cos(x)、tan(x)、cot(x)、sec(x)、csc(x)，则(dy)/(dx) = cos(x)、-sin(x)、sec^2(x)、-csc^2(x)、sec(x)tan(x)、-csc(x)cot(x)，对应地还有反三角函数的求导公式- 反函数求导法则：若y=f^(-1)(x)，则(dy)/(dx) = 1 / (dx/dy)-两个函数的和、差、积、商求导法则：- 和、差法则：若y=u+v，则(dy)/(dx) = (du)/(dx) + (dv)/(dx)，若y=u-v，则(dy)/(dx) = (du)/(dx) - (dv)/(dx)- 积法则：若y=uv，则(dy)/(dx) = u(dv)/(dx) + v(du)/(dx)- 商法则：若y=u/v，则(dy)/(dx) = (v(du)/(dx) - u(dv)/(dx))/ v^22.多元函数求导公式：-偏导数：对多元函数，其对其中其中一个自变量求导，其它自变量当作常数，即得到偏导数-偏导函数的求导法则：对偏导函数重复使用一元函数求导公式常用不定积分基本方法：1.基本初等函数的不定积分法则：- 幂函数积分法则：∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C，其中n≠-1- 指数函数与对数函数积分法则：∫a^x dx = (1/lna) * a^x + C，∫(1/x) dx = ln，x， + C-三角函数与反三角函数积分法则：- ∫sin(x) dx = -cos(x) + C，∫cos(x) dx = sin(x) + C- ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C，∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C- ∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C，∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C- ∫(1/√(1-x^2)) dx = arcsin(x) + C，∫(1/√(1+x^2)) dx = arctan(x) + C- 反函数的不定积分法则：若F'(x) = f(x)，则∫f^(-1)(x) dx =x * f^(-1)(x) - F(f^(-1)(x)) + C-特殊函数的不定积分法则：包括指数函数幂倍积分法则、二次函数积分法则等2.基本不定积分运算：- 基本线性运算：若∫f(x) dx = F(x) + C₁，∫g(x) dx = G(x) +C₂，则∫(af(x) + bg(x)) dx = aF(x) + bG(x) + C₃，其中a、b为实数- 递推公式：若∫f(x) dx = F(x) + C，则∫f(x)Ⓓ(x) dx = FⒹ(x) - ∫FⒹ(x) fⒹd(x) dx + C3. 分部积分法：设u(x)和v(x)具有连续一阶导数，根据分部积分公式，有∫u(x)v(x) dx = u(x)v(x) - ∫v(x)uⒹ(x) dx4.换元积分法（含有待定变量）：设y=f(u)，u=g(x)，当g(x)可导、f(u)的原函数可积时5.改线积分法：将不定积分中的自变量换成关于自变量的函数。
16基本初等函数的导数公式
16个基本初等函数的求导公式（y：原函数；y'：导函数）1、y=c，y'=0(c为常数) 。
2、y=x^μ，y'=μx^(μ-1)(μ为常数且μ≠0) 。
3、y=a^x，y'=a^x lna；y=e^x，y'=e^x 。
4、y=logax，y'=1/(xlna)(a>0且a≠1)；y=lnx，y'=1/x 。
5、y=sinx，y'=cosx 。
6、y=cosx，y'=-sinx 。
7、y=tanx，y'=(secx)^2=1/(cosx)^2 。
8、y=cotx，y'=-(cscx)^2=-1/(sinx)^2 。
9、y=arcsinx，y'=1/√(1-x^2) 。
10、y=arccosx，y'=-1/√(1-x^2) 。
11、y=arctanx，y'=1/(1+x^2) 。
12、y=arccotx，y'=-1/(1+x^2) 。
13、y=shx，y'=ch x 。
14、y=chx，y'=sh x 。
15、y=thx，y'=1/(chx)^2 。
16、y=arshx，y'=1/√(1+x^2) 。
二、基本初等函数包括什么(1)常数函数y = c( c 为常数)(2)幂函数y = x^a( a 为常数)(3)指数函数y = a^x(a>0. a≠1)(4)对数函数y =log(a) x(a>0. a≠1.真数x>0)(5)三角函数以及反三角函数(如正弦函数：y =sinx反正弦函数：y =arcsin x等)基本初等函数，所谓初等函数就是由基本初等函数经过有些次的四则运算和复合而成的函数。
初等函数是由基本初等函数经过有限次的有理运算和复合而成的并且可用一个式子表示的函数。
基本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数。
不是初等函数的函数,称为非初等函数,如狄利克雷函数和黎曼函数。
12个基本初等函数的导数公式
这里将列举 12 个基本初等函数的导数以及它们的推导过程，初等函数的导数可由之计算。
函数原函数导函数
常函数
（即常
（为常数）
数）
幂函数
指数函
数
对数函
数
（且，）
正弦函
数
余弦函
数
正切函
数
余切函
数
反正弦
函数
反余弦
函数
反正切
函数
反余切
函数
口诀
为了便于记忆，有人整理出了以下口诀：
常为零，幂降次，对倒数（ e 为底时直接倒数， a 为底时乘以 1/lna ），指
不变（特其余，自然对数的指数函数圆满不变，一般的指数函数须乘以 lna ）；正变余，余变正，切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方），割乘切，反分式。
基本初等函数的公式及导数的运算法则
5.若f x a x , 则f ' x a x ln a;
6.若f x e x , 则f ' x e x ;
1 7.若f x log a x, 则f ' x ; x ln a 1 8.若f x ln x, 则f ' x ; x
u=2x+3复合函数.根据复合函数求导法则有 yx ' yu 'ux '
u '2x 3' 4u 8 x 12
2
(2)函数 y=e-0.05x+1 可以 看作函数 y=eu 和u= -0.05x+1的复合函数.根 据复合函数求导法则有
(3)函数 y=sin(x+) 可 以看作函数 y=sinu 和 u=x+的复合函数., 所以，函数y=x3-2x+3的导数是
y=3x2-2.
堂上练习 求下列函数的导数：
1y 2x4 20x2 40x 1
1 4 2 y 3 2 x 4 x 5 x x 6
2 3
3y (2x3 1)(3x2 x)
例3
日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度 的提高,所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯 净度为x%时所需费用(单位:元)为
5 284 80 x 100 c x 100 x
求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率.
(1) 90%; (2) 98%.
解： 净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.
'100 x 5284 100 x ' 5284 5284 c' x ' 2 100 x 100 x 5284 0 100 x 5284 1 100 x 2 100 x 2 1因为c' 90 5284 2 52.84, 100 90
基本初等函数求导公式
基本初等函数求导公式(1) (C )=0 (2) (x )= x -1 (3)(sin x ) = cos x (4) (cos x ) = - sin x (5)(tan x ) = sec 2 x (6) (cot x ) = - csc 2 x (7) (sec x ) = sec x tan x (8) (csc x ) = -csc x cot x(9) (a x )=a x ln a(10) (e x )=e x (log a x ) = 1(ln x ) = 1 (11) x ln a(12) x ，(arcsin x ) = 1(arccos x ) = - 1 (13) 1 - x(14) 1 - x(arctan x ) = 1 (arccot x ) = - 1(15) 1 + x(16) 1 + x 函数的和、差、积、商的求导法则设u = u (x )， v = v (x )都可导，则反函数求导法则若函数x =(y )在某区间I y 内可导、单调且(y ) 0 ，则它的反函数y = f (x )在对应 区间 I x 内也可导，且dy 11 dx = dx( y ) 或 dy复合函数求导法则1) (u v ) = u v2) (Cu ) = Cu (C 是常数) 3) (uv ) = u v + uv4)设 y = f (u )，而u =(x )且 f (u )及(x )都可导，则复合函数 y = f [(x )]的导数为２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．可以推出下表列出的公式： (sh x) = ch x (ch x ) = sh x (th x )= ch 2x(arsh x ) = 1 1 + x 2(arch x ) = 1 x 2 -1 (arth x ) = 1 1-x 2 dy dx。
高等数学常用导数公式大全
高等数学常用导数公式大全在高等数学中，导数是描述函数变化率的重要概念之一。
导数的应用十分广泛，特别是在求解极值、曲线切线以及函数图像的特征等方面具有重要作用。
本文将总结高等数学中常用的导数公式，供同学们参考使用。
常见函数的导数公式基本初等函数的导数公式1.常数函数：f(f)=f，导数为f′(f)=0。
2.幂函数：f(f)=f f，导数为f′(f)=ff f−1。
3.指数函数：f(f)=f f，导数为 $f'(x) = a^x \\ln a$。
4.对数函数：$f(x) = \\log_a x$，导数为 $f'(x) =\\frac{1}{x \\ln a}$。
5.三角函数：$f(x) = \\sin x$，导数为 $f'(x) = \\cosx$；$f(x) = \\cos x$，导数为 $f'(x) = -\\sin x$。
6.反三角函数：$f(x) = \\arcsin x$，导数为 $f'(x) =\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$；$f(x) = \\arccos x$，导数为$f'(x) = -\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$。
复合函数的导数公式1.链式法则：若f=f(f)，f=f(f)，则f=f(f(f))的导数为 $\\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dx}$。
高阶导数公式1.二阶导数：若f=f(f)的一阶导数为f′，则f″表示f′的导数，即 $y'' = \\frac{d}{dx} (f'(x))$。
隐函数求导公式1.隐函数求导：对于方程f(f,f)=0，当不能解出f对f的显式表达时，可利用隐函数求导公式，即$\\frac{dy}{dx} = - \\frac{F_x}{F_y}$。
常用函数导数总结在高等数学中，经常会遇到一些复杂函数的导数计算，下面给出一些常用函数的导数总结：1.反函数的导数计算：若f=f(f)的反函数为f=f−1(f)，则f−1(f)的导数为 $\\frac{dx}{dy} =\\frac{1}{\\frac{dy}{dx}}$。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
(x 2) (x 1) 2x 3
sin x (sin x)'cos x sin x(cos x)'
(3) y' ( )' cos x
cos2 x
cos2 x sin cos2 x
2
x
1 cos2
x
sec2
x.
例2求下列函数的导数.
(1) y 2sin x cos x 2x2 1 (2) y cos2 x sin 2 x
【教育类精品资料】
基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
一、基本初等函数的导数公式:
C'0C为常 (数 xn)'n(x)n1(nQ)
(sin x) cos x (cxo)ssixn
(ax)' ax lna,(ex)' ex
(loga
x)'
1 ,(lnx)' xlna
1 x
二、导数的运算法则:(和差积商的导数)
[f(x ) g (x ) ]' f'(x ) g '(x )
函 数 和 （ 差 ） 的 导 数 等 于 它 们 导 数 的 和 （ 差 ） .
（可以推广到求有限个函数的和（差）的导数.）
(轮流求导之和)
[f(x)g(x)]'f'(x)g(x)f(x)g(x)' [gf((xx))]' f'(x)g([xg)(x)f]2(x)g(x)'(g(x)0)
(2 )y f(1 x 2) 2 x x f(1 x 2); 21 x 2 1 x 2
(3) y[f(sin2 x)f(cos2 x)]
常用的求导和定积分公式(完美版)
.基本初等函数求导公式(1)(C) =0 (2) (x")-'八 ⑶(sin x) = cosx (4)(cosx) - -sinx (5)(tan x) = sec 2 x (6)(cot x) - - csc 2 x ⑺(secx) = secx tan x (8) (cscx) - - cscx cot x (9)(a x f-a x ln a(10)(e x V-e x函数的和、差、积、商的求导法则= u (x ),v=v (x)都可导，则(u _v) J u —V( 2) (Cu)J C u ( C 是常数)F(uv) =uv uvu 「uv — uv⑷ l v .丿 v 2反函数求导法则若函数x 二(y)在某区间I y 内可导、单调且''(y) =0，则它的反函数y 二f (x) 在对应区间Ix 内也可导，且(11)(log a x)1 xln a(12)(In x)二丄x(arcsin x)(13)(arccosx)(14)1 - x2 (arcta n x)(15)1 x(arccot x) =1(16)1 x 2设u (1)(3)复合函数求导法则设y = f （U ），而u = （X ）且f （u ）及:（x ）都可导，则复合函数 y二f［「（X ）］的导数为、基本积分表 (1) .kdx = kx ・c( k 是常数)⑵C, (u —1) 亠11(3) dx = l n | x | C ■ x dx(4)2 二 arl tan x C 、1 +x 2(6) cosxdx=sin x C(7) sin xdx - -cosx Cf （X ）二矽丄 dx 一 dxdydy dy_dudx du dx 或 y\f (u)L (x)(5)=arcs in x C厂dx = ta n x C cos xdx = - cot x C sin xsecx tan xdx 二 secx C cscxcotxdx - -cscx C e x dx = e x Cxa x dx— C , (a 0,且 a =1) In ashxdx 二 chx C chxdx 二 shx C1. 1 x x _ —^dx arc ta n Ca x a a亠 dx 二丄 ln|4| C x 2 -a 2 2a x aJ/ 二2dxnn(x7a2+x 2)+C a x--^=ln |x /-『丨 C ■- x -atan xdx 二- In | cosx| Ccotxdx = In | sinx| C secxdx 二In |secx tanx| C(8) (9)(10) (11)(⑵(13) (14) (15) (16) (17) (18)(19)(20)(21) (22) (23)(24) cscxdx= In | cscx-cotx| C注：1从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证2、以上公式把x换成u仍成立，u是以x为自变量的函数。
几个常用函数导数基本初等函数导数公式及导
几个常用函数导数基本初等函数导数公式及导函数的导数是微分学中的一个重要概念，描述了函数在每一点上的变化率。
掌握基本初等函数的导数公式及导数求解方法，对于理解数学和物理等学科中的问题解决具有重要意义。
下面我将详细介绍几个常用函数的导数公式及导数求解方法。
1.常数函数：常数函数的导数恒为零，即对于常数C，其导数为0：f(x)=C，f'(x)=0。
2.幂函数：幂函数指的是形如f(x)=x^n的函数，其中n是实数。
幂函数的导数公式为：f'(x) = nx^(n-1)。
例如，对于函数f(x)=x^3，它的导数为f'(x)=3x^2、这个公式也被称为幂函数的指数法则。
3.指数函数：指数函数指的是形如f(x)=a^x的函数，其中a为正实数且不等于1指数函数的导数公式为：f'(x) = a^x * ln(a)。
例如，对于函数f(x) = 2^x，它的导数为f'(x) = 2^x * ln(2)。
其中ln(a) 是以e为底的对数函数。
4.对数函数：对数函数指的是形如f(x) = logₐ(x)的函数，其中a为正实数且不等于1对数函数的导数公式为：f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
例如，对于函数f(x) = log₂(x)，它的导数为f'(x) = 1 / (x *ln(2))。
5.三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
正弦函数的导数公式为：f'(x) = cos(x)。
余弦函数的导数公式为：f'(x) = -sin(x)。
正切函数的导数公式为：f'(x) = sec^2(x) = 1 / cos^2(x)。
这些公式可以通过三角函数的定义及导数的定义进行求解。
6.反三角函数：反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
反正弦函数的导数公式为：f'(x) = 1 / sqrt(1 - x^2)。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
y'x表示y对x的导数
即 y对 x的导数 y对 u 等 的于 导u数 对 x的 与导数. 的
由此,y可 ln 3 得 x2对 x的导数 yln 等 u对 u的 于
导数 u3 与 x2对 x的导数 ,即 的乘积
y'xyu ' u'xln u'3x2' 1 u33x3 2.
1321,
所以,纯净度为 98%时,费用的瞬时变化率
是1321元/吨.
函数 fx 在某点处的导数的大小表示函数
在此点附近变化的快慢 .由上述 计算可知,
c' 98 25c' 90.它表示纯净度为98%左
右时净 化费用的变化率 ,大约是纯 净 度 为
90% 左右时净化费用变化率的 25 倍 .这说
当p0 5时,pt 5 1.05t.这时,求p关于t的导 数可以看成求函数ft 5与 gt 1.05t 乘积
的导数.下面的" 导数运算法则"可以帮助我们解 决两个函数加、减、乘、除的求导问题.
导数运算法则
1 . f x g x ' f 'x g 'x ;
2 . f x g x ' f ' x g x f x g ' x ;
3 . g fx x 'f'x g x g x f2 x g 'x g x 0 .
例2 根据基本初等函数的导数公式 和导数运算法则,求函数 y x3 2x 3的导数.
1 ;
x ln a
8.
若 fx ln x,则 f ' x
基本初等函数的导数公式推算
基本初等函数的导数公式推算
基本初等函数指的是一元函数的各种基本形式，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
它们可以用来表达几乎所有的函数。
1. 常数函数的导数为0：
常数函数f(x)=c(c为常数)，因此f'(x)=0；
2. 幂函数的导数为多项式乘以指数函数：
幂函数f(x)=x^n(n为常数），因此f'(x)=nx^{n-1}；
3. 指数函数的导数为指数函数的常数倍：
指数函数f(x)=a^x（a为常数），因此
f'(x)=ln(a)a^x；
4. 对数函数的导数为常数的倒数：
对数函数f(x)=ln(x)，因此f'(x)=1/x；
5. 三角函数的导数为另一个三角函数的乘积：
正弦函数f(x)=sin x，因此f'(x)=cos x；
余弦函数f(x)=cos x，因此f'(x)=-sin x；
正切函数f(x)=tan x，因此f'(x)=sec^2 x。
导数公式大全ppt课件
(u(x)v(x)) = u(x)v(x) + u(x)v(x);
v( u(
x) x)
u( x)v( x) - u( x)v( x)
[u( x)]2
.
推论 1 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
推论 2
1 u( x)
-
u( x) u2 ( x)
(3)
y'
x ( )' 1- x2
x '(1-
x2 ) - x(1(1- x2 )2
x2 ) '
1-
x2 - x(-2x) (1- x2 )2
1 x2
(1 - x2 )2
(4) y ' (2x3) ' (3x sin x) ' (e2 ) ' 2(x3 )'-3(x sin x)'0 6x2 - 3(sin x x cos x)
故
f (x) = (3x4 - ex + 5cos x - 1)
= (3x4) -(ex ) + (5cos x) - (1) = 12x3 - ex - 5sin x .
f (0) = (12x3 - ex - 5sin x)|x=0 = - 1
例 2 设 y = xlnx ， 求 y .
d4 y dx 4
,
···，dn y
dx n
,
f (x) 称为 f (x) 的一阶导数.
而把
例3 求下列函数的二阶导数
(1) y x cos x (2) y arctan x
解：
(1) y ' cos x x(-sin x) cos x - xsin x
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
f′(x)＝ ex
f′(x)＝ (a>0且a≠1)
f′(x)＝
● 2.导数的四则运算法则 ● 设函数f(x)、g(x)是可导的，则 ● (1)(f(x)±g(x))′＝ ● (2)(f(x)·g(x))′＝
f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)
＋9x2)＝60x9－48x7＋45x7－36x5＋60x9－80x7＋27x7－36x5
＝120x9－56x7－72x5.
解法 2：∵y＝12x10－7x8－12x6
∴y′＝120x9－56x7－72x5.
(3)y′＝(33 x4＋4 x3)′＝(3x43)′＋(4x32)′
● [点评] 1.多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便． ● 2．含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求导．
数加减(的3)求y导＝法3则3进x行4求＋导4． x3.
[解析]
(1)y′＝15x5－43x3＋3x＋
2′
＝15x5′－43x3′＋(3x)′＋( 2)′＝x4－4x2＋3. (2) 解 法 1 ： y′ ＝ (3x5 － 4x3)′(4x5 ＋ 3x3) ＋ (3x5 －
4x3)(4x5＋3x3)′＝(15x4－12x2)(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(20x4
以写成
y＝x－4，y＝5
3
x3＝x5等，这样就可以直接使用幂函
数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的 运算失误．
[解析] (1)y′＝(x12)′＝12x11. (2)y′＝x14′＝(x－4)′＝－4x－5＝－x45.
(4)y′＝(2x)′＝2xln2. (5)y′＝2sin2xcos2x′＝(sinx)′＝cosx.
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基本初等函数求导公式
(1) 0)(='C (2) 1
)(-='μμμx x
(3) x x cos )(sin ='
(4) x x sin )(cos -='
(5)
x x 2
sec )(tan =' (6)
x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='
(8) x x x cot csc )(csc -='
(9)
a a a x
x ln )(=' (10) (e )e x
x '=
(11)
a x x a ln 1
)(log =
'
(12)
x x 1)(ln =
'，
(13)
211)(arcsin x x -=
' (14)
211)(arccos x x --
='
(15)
21(arctan )1x x '=
+
(16)
21(arccot )1x x '=-
+
函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则
（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）
（3） v u v u uv '+'=')(
（4） 2v v u v u v u '-'='
⎪⎭⎫ ⎝⎛
反函数求导法则
若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应
区间
x
I 内也可导，且
)(1)(y x f ϕ'=
' 或 dy dx dx dy 1=
复合函数求导法则
设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为
dy dy du
dx du dx =
或
２. 双曲函数与反双曲函数的导数.
双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．
可以推出下表列出的公式：
(sh )ch x x '=
(ch )sh x x '=
21(th )ch x x '=
21(arsh )1x x '=
+
21(arch )1x x '=
-
21(arth )1x x '=
-
倒数关系：tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cos α·secα=1 商的关系：
平方关系：
两角和公式
两角和公式
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
sin（α-β）=sinαcosβ -cosαsinβ
tan（α+β）=(tanα+tanβ）/（1-tanαtanβ）
tan（α-β）=(tanα-tanβ）/（1+tanαtanβ）
cot(A+B) = (cotAcotB-1）/(cotB+cotA)
cot(A-B) = (cotAcotB+1）/(cotB-cotA)
编辑本段三角和公式
sin（α+β+γ）=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sin γ
cos（α+β+γ）=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cos γ
编辑本段和差化积
sinθ+sinφ =2sin[（θ+φ）/2] cos[（θ-φ）/2]
和差化积公式sinθ-sinφ=2cos[（θ+φ）/2] sin[（θ-φ）/2]
cosθ+cosφ=2cos[（θ+φ）/2]cos[（θ-φ）/2]
cosθ-cosφ= -2sin[（θ+φ）/2]sin[（θ-φ）/2]
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)编辑本段积化和差
sinαsinβ=-[cos（α+β）-cos（α-β）] /2
cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2
sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2
cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2
二倍角
正弦
si n2A=2sinA·cosA
余弦
半角公式
tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）
sin^2(A/2）=[1-cos(A)]/2
cos^2(A/2）=[1+cos(A)]/2
半角公式
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