2019年的电大高等数学基础期末考试试题及答案

合集下载

(完整版)2019年电大高数基础形考1-4答案

2019年电大高数基础形考1-4答案《高等数学基础》作业一第1章函数第2章极限与连续（一）单项选择题⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)(C. 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称．A. 坐标原点B. x 轴C. y 轴D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（B ）．A. )1ln(2x y += B. x x y cos =C. 2xx a a y -+= D. )1ln(x y +=⒋下列函数中为基本初等函数是（C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2xy = D. ⎩⎨⎧≥<-=0,10,1x x y⒌下列极限存计算不正确的是（D ）．A. 12lim 22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01sin lim =∞→x x x⒍当0→x 时，变量（C ）是无穷小量．A. x x sinB. x 1C. xx 1sin D. 2)ln(+x⒎若函数)(x f 在点0x 满足（A ），则)(x f 在点0x 连续。

A. )()(lim 00x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义C. )()(lim 00x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→=（二）填空题⒈函数)1ln(39)(2x x x x f ++--=的定义域是 {}|3x x > ． ⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f x 2-x ．⒊=+∞→xx x)211(lim ． 1122211lim(1)lim(1)22x x x x e x x⨯→∞→∞+=+= ⒋若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=0,0,)1()(1x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ．⒌函数⎩⎨⎧≤>+=0,sin 0,1x x x x y 的间断点是 0x = ．⒍若A x f x x =→)(lim 0，则当0x x →时，A x f -)(称为 0x x →时的无穷小量．（二）计算题 ⒈设函数⎩⎨⎧≤>=0,0,e )(x x x x f x 求：)1(,)0(,)2(f f f -．解：()22f -=-，()00f =，()11f e e ==⒉求函数21lgx y x-=的定义域．解：21lg x y x -=有意义，要求21x x x -⎧>⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩解得1020x x x ⎧⎪⎪><⎨⎪≠⎪⎩或则定义域为1|02x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或⒊在半径为R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数．解：DA RO h EB C设梯形ABCD 即为题中要求的梯形，设高为h ，即OE=h ，下底CD ＝2R 直角三角形AOE 中，利用勾股定理得AE =则上底＝2AE =故((222hS R R h R =+=+ ⒋求xxx 2sin 3sin lim 0→．解：000sin3sin33sin3333lim lim lim sin 2sin 2sin 22222x x x x xxx x x x x x xx x→→→⨯==⨯⨯＝133122⨯=⒌求)1sin(1lim 21+--→x x x ．解：21111(1)(1)111limlim lim 2sin(1)sin(1)sin(1)11x x x x x x x x x x x →-→-→---+---====-++++ ⒍求x xx 3tan lim 0→．解：000tan3sin31sin311lim lim lim 3133cos33cos31x x x x x x x x x x x →→→==⨯⨯=⨯⨯=⒎求xx x sin11lim 20-+→．解：20001lim sin x x x x→→→-==()0lim0sin 1111)x xxx→===+⨯⒏求xx x x )31(lim +-∞→．解：1143331111(1)[(1)]1lim()lim()lim lim 33311(1)[(1)]3x x x x x x x x x x x e x x x e x e x x x----→∞→∞→∞→∞--+--=====++++ ⒐求4586lim 224+-+-→x x x x x ．解：()()()()2244442682422lim lim lim 54411413x x x x x x x x x x x x x →→→---+--====-+----⒑设函数⎪⎩⎪⎨⎧-<+≤≤->-=1,111,1,)2()(2x x x x x x x f讨论)(x f 的连续性，并写出其连续区间．解：分别对分段点1,1x x =-=处讨论连续性（1）()()()1111lim lim 1lim lim 1110x x x x f x x f x x →-+→-+→--→--==-=+=-+=所以()()11lim lim x x f x f x →-+→--≠，即()f x 在1x =-处不连续（2）()()()()()221111lim lim 2121lim lim 111x x x x f x x f x x f →+→+→-→-=-=-====所以()()()11lim lim 1x x f x f x f →+→-==即()f x 在1x =处连续由（1）（2）得()f x 在除点1x =-外均连续故()f x 的连续区间为()(),11,-∞--+∞《高等数学基础》作业二第3章导数与微分（一）单项选择题⒈设0)0(=f 且极限x x f x )(lim0→存在，则=→xx f x )(lim 0（C ）．A. )0(fB. )0(f 'C. )(x f 'D. 0cvx⒉设)(x f 在0x 可导，则=--→hx f h x f h 2)()2(lim000（D ）． A. )(20x f '- B. )(0x f ' C. )(20x f ' D. )(0x f '-⒊设xx f e )(=，则=∆-∆+→∆xf x f x )1()1(lim 0（A ）．A. eB. e 2C. e 21D. e 41⒋设)99()2)(1()(---=x x x x x f ，则=')0(f （D ）．A. 99B. 99-C. !99D. !99- ⒌下列结论中正确的是（ C ）．A. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 可导．B. 若)(x f 在点0x 连续，则在点0x 可导．C. 若)(x f 在点0x 可导，则在点0x 有极限．D. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 连续．（二）填空题⒈设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f ，则=')0(f 0 ． ⒉设x x x f e 5e )e (2+=，则=x x f d )(ln d xx x 5ln 2+． ⒊曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是21=k⒋曲线x x f sin )(=在)1,4π(处的切线方程是)41(2222π-==x y ⒌设x x y 2=，则='y )ln 1(22x x x+⒍设x x y ln =，则=''y x1（三）计算题⒈求下列函数的导数y '：⑴xx x y e )3(+= x x e x e x y 212323)3(++='⑵x x x y ln cot 2+= x x x x y ln 2csc 2++-='⑶x x y ln 2= x xx x y 2ln ln 2+='⑷32cos x x y x += 4)2(cos 3)2ln 2sin (xx x x y x x +-+-=' ⑸x x x y sin ln 2-= xx x x x x x y 22sin cos )(ln )21(sin ---=' ⑹x x x y ln sin 4-= x x xx x y ln cos sin 43--='⑺xx x y 3sin 2+= x x x x x x x y 2233ln 3)(sin )2(cos 3+-+=' ⑻x x y x ln tan e += xx e x e y x x1cos tan 2++='⒉求下列函数的导数y '：⑴21ex y -=2112x xey x -='-⑵3cos ln x y =32233tan 33cos sin x x x xx y -=-=' ⑶x x x y =87x y = 8187-='x y⑷3x x y +=)211()(31213221--++='x x x y⑸xy e cos 2=)2sin(x x e e y -='⑹2ecos x y =22sin 2x x exe y -='⑺nx x y ncos sin =)sin(sin cos cos sin 1nx x n nx x x n y n n -='-⑻2sin 5x y =2sin 25cos 5ln 2x x x y ='⑼xy 2sin e=xxey 2sin 2sin ='⑽22ex x x y +=222)ln 2(x x xex x x x y ++='⑾xxxy e e e+=xe x x ee e x e xe x y x x++=')ln (⒊在下列方程中，是由方程确定的函数，求：⑴yx y 2ecos =y e x y x y y '=-'22sin cosye x xy y 22cos sin -=' ⑵x y y ln cos =xy x y y y 1.cos ln .sin +'=')ln sin 1(cos x y x yy +='⑶yx y x 2sin 2=222sin 2.cos 2y y x yx y y y x '-=+' y yyxy x y x y sin 22)cos 2(222-=+'22cos 2sin 22x y xy yy xy y +-='⑷y x y ln +=1+'='y y y1-='y y y⑸2e ln y x y =+ y y y e xy '='+21)2(1ye y x y -='⑹y y xsin e 12=+x x e y y y e y y .sin .cos 2+'='ye y ye y xx cos 2sin -='⑺3e e y x y -=y y e y e x y '-='2323y ee y y x+='⑻yx y 25+=2ln 25ln 5y x y y '+='2ln 215ln 5y x y -='⒋求下列函数的微分y d ： ⑴x x y csc cot +=dx x xx dy )sin cos cos 1(22--= ⑵x x y sin ln =dx x x x x x dy 2sin cos ln sin 1-= ⑶x xy +-=11arcsindx x x x dx x x x xx dy 2222)1(11)1()1()1()11(11++-=+--+-+--=⑷311xxy +-= 两边对数得：[])1ln()1ln(31ln x x y +--=)1111(31x x y y +---=' )1111(11313xx x x y ++-+--='⑸xy e sin 2=dx e e dx e e e dy x x x x x)2sin(sin 23==⑹3e tan x y =xdx e x dx x e dy x x 2222sec 33sec 33==⒌求下列函数的二阶导数： ⑴x x y ln =x y ln 1=='xy 1=''⑵x x y sin =x x x y sin cos +=' x x x y cos 2sin +-=''⑶x y arctan =211x y +='22)1(2x xy +-='' ⑷23x y =3ln 322x x y =' 2233ln 23ln 3422x x x y ⋅+=''（四）证明题设)(x f 是可导的奇函数，试证)(x f '是偶函数．证：因为f(x)是奇函数所以)()(x f x f -=-两边导数得：)()()()1)((x f x f x f x f =-'⇒'-=--' 所以)(x f '是偶函数。

2019年电大本科《工程数学》期末考试题库及答案

2019年电大本科《工程数学》期末考试题库及答案一、单项选择题1.若10010020*******=aa ，则=a （12）．⒊乘积矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡1253014211中元素=23c （10）． ⒋设A B ,均为n 阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是()AB BA --=11）．⒌设A B ,均为n 阶方阵，k >0且k ≠1，则下列等式正确的是（D ）．D. -=-kA k A n () ⒍下列结论正确的是（A. 若A 是正交矩阵则A -1也是正交矩阵）．⒎矩阵1325⎡⎣⎢⎤⎦⎥的伴随矩阵为（ C. 5321--⎡⎣⎢⎤⎦⎥ ）． ⒏方阵A 可逆的充分必要条件是（A ≠0）⒐设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则()ACB '=-1（D ）． D. ()B C A ---'111⒑设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A ）．A. ()A B A AB B +=++2222⒈用消元法得x x x x x x 12323324102+-=+=-=⎧⎨⎪⎩⎪的解x x x 123⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥为（C. [,,]--'1122 ）．⒉线性方程组x x x x x x x 12313232326334++=-=-+=⎧⎨⎪⎩⎪（有唯一解）．⒊向量组100010001121304⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥,,,,的秩为（ 3）． ⒋设向量组为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1111,0101,1100,00114321αααα，则（ααα123,, ）是极大无关组．⒌A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则D. 秩()A =秩()A -1⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）． A. 可能无解 ⒎以下结论正确的是（D ）．D. 齐次线性方程组一定有解⒏若向量组ααα12,,, s 线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出． A. 至少有一个向量9．设A ，Ｂ为n 阶矩阵，λ既是Ａ又是Ｂ的特征值，x 既是Ａ又是Ｂ的属于λ的特征向量，则结论（ A ）成立．Ａ．λ是AB 的特征值10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为n 阶矩阵，若等式（Ｃ）成立，则称Ａ和Ｂ相似．Ｃ．B PAP =-1 ⒈A B ,为两个事件，则（ B ）成立． B.()A B B A +-⊂ ⒉如果（ C ）成立，则事件A 与B 互为对立事件．C. AB =∅且AB U =⒊10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为（ D. 307032⨯⨯..）． 4. 对于事件A B ,，命题（C ）是正确的．C. 如果A B ,对立，则A B ,对立⒌某随机试验的成功率为)10(<<p p ,则在3次重复试验中至少失败1次的概率为（D.)1()1()1(223p p p p p -+-+-6.设随机变量X B n p ~(,)，且E X D X ().,().==48096，则参数n 与p 分别是（6, 0.8）．7.设f x ()为连续型随机变量X 的密度函数，则对任意的a b a b ,()<，E X ()=（A ）． A. xf x x ()d -∞+∞⎰8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B ）．B. f x x x ()sin ,,=<<⎧⎨⎪⎩⎪020π其它9.设连续型随机变量X 的密度函数为f x ()，分布函数为F x ()，则对任意的区间(,)a b ，则=<<)(b X a PD.f x x ab()d ⎰）．10.设X 为随机变量，E X D X (),()==μσ2，当（C ）时，有E Y D Y (),()==01．C. σμ-=X Y1.A 是34⨯矩阵，B 是52⨯矩阵，当C 为（ B 24⨯）矩阵时，乘积AC B ''有意义。

电大高等数学基础考试答案完整版 (1)

核准通过，归档资料。

未经允许，请勿外传！高等数学基础归类复习一、单项选择题1-1 下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． f (x) ( x) g x x2 ( ) (x) x2g(x) x ，fA.， B.x 1 2f (x) l n x 3 g(x) 3ln x ，f (x) x 1 g(x)， C. D. x 1 f (x) (,) f (x) f (x ) 1-⒉设函数的定义域为，则函数 y 的图形关于（C ）对称． x y xA. 坐标原点B. 轴C. 轴D. f (x) (,) f (x) f (x ) ，则函数的图形关于（D ）对称．设函数的定义域为 y x x y A. B. 轴 C. 轴 D. 坐标原点e e x xy .函数的图形关于（ A ）对称．2x y y x (D)(A) 坐标原点 (B) 轴 (C) 轴1-⒊下列函数中为奇函数是（ B ）． a ax xy ln (1 x 2 ) y xcosxyy l n (1 x)D.A.B.C.2下列函数中为奇函数是（A ）． y x 3 xy e ey l n (x 1)y xs in xD.A.B.x xC.下列函数中为偶函数的是（ D）． y (1 x) s in x y x2 y xcosxy ln (1 x 2 )DABxC2-1 下列极限存计算不正确的是（ D）． x 2l im 1l im l n (1 x) 0A.B. D.x 2 2s in x xx1l im0 l im xs in 0C. xx x xx 0 2-2 当时，变量（ C）是无穷小量．s in x 1 1 xs in ln (x 2) A. B.C. D. x xx 1 s in x xx 0 x 0 e x 1当时，变量（ C ）是无穷小量．A 时，变量（D ）是无穷小量．A B B C C D x 1x x 2s in x 2x ln (x 1) .当 D xx 下列变量中，是无穷小量的为（ B）1 x 2ln x 1 x 01 exx 2 s in x 0A BC D. xxx 24 f (1 2h) f (1) f (x) lim （ D ）． 3-1 设在点 x=1 处可导，则 h h 0(1) (1) 2 (1) f 2 (1)f f f A. B. C. D.f (x 2h) f (x ) f (x) x 在 lim （ D ）． 0 0 设可导，则 0 h h 0( )f xf x2 ( )f x ( )2 ( )f xDABC0 0 0 0f (x2h) f (x ) f (x) x可导，则l i m（ D ）．0 0 设设在 2h 0h2 f (x )f (x ) 2 f (x )f (x )A.B.C. D. 0f (1 x ) f (1) 11 4f (x) e lim（ A ）e2ee e x，则 A B.C.D.x 2x 03-2. 下列等式不成立的是（ D ）．11e dx de s in xdx d(cos x) dx d x ln xdx d( ) A. x xB C. D.2 xx 1 1 dx下列等式中正确的是（ B ）．A.d( ) a rc tan xdx d( )B. 1 x x x 2 2 d(2ln 2) 2 dx D.d(tan x) co t xdx C. x x 4-1 函数 f (x) x 2 4x 1的单调增加区间是（ D ）．(, 2)(1, 1)(2,)(2, )A. B. C. y x 2 4x 5在区间(6, 6)内满足（A ）．D. 函数A. 先单调下降再单调上升B. 单调下降C. 先单调上升再单调下降D. 单调上升.函数y x 2 x 6在区间（－5，5）内满足（ A ） A 先单调下降再单调上升B 单调下降C 先单调上升再单调下降D 单调上升y x 2 2x 6在区间(2, 5)内满足（D ）．. 函数A. 先单调下降再单调上升 1B. 单调下降C. 先单调上升再单调下降1D. 单调上升1 2 5-1 若 f (x)的一个原函数是，则( ) f x（D）． A.lnB.C. D.xxx 2xx 3.若F(x) 是f (x)的一个原函数，则下列等式成立的是（ A ）。

国家开放大学高等数学基础2019年期末填空选择复习资料

国家开放⼤学⾼等数学基础2019年期末填空选择复习资料国家开放⼤学⾼等数学基础2019年期末填空选择复习资料⼀、单项选择题1.设函数)(x f 的定义域为)(∞+-∞，，则函数)(x f +)(x f - 的图形关于（C ）对称。

A .x y = B .x 轴 C .y 轴 D .坐标原点1．设函数)(x f 的定义域为)(∞+-∞，，则函数)(x f -)(x f - 的图形关于（D ）对称． A .x y = B .x 轴 C .y 轴 D .坐标原点1．函数2x x e e y -=-的图形关于（A ）对称． A . 坐标原点 B .x 轴 C .y 轴 D . x y =1．函数2xx e e y -+=的图形关于（C ）对称． A . x y = B .x 轴 C .y 轴 D . 坐标原点2.当0→x 时，变量（D ）是⽆穷⼩量。

A ．x 1 B . xx sin C . x 2 D . )1ln(+x 2．当0→x 时，下列变量中（A ）是⽆穷⼩量．A ．)1ln(2+x B ．x x sin C ．x 1sin D ．x e 13．当0→x 时，下列变量中（A ）是⽆穷⼩量． A ．)1ln(2+x B ．x x sin C ．x1sin D ．xe 2．当0→x 时，变量（C ）是⽆穷⼩量。

A ．x 1 B . x x sin C . 1-xe D . 2xx2．在下列指定的变化过程中，（C ）是⽆穷⼩量．A . )(1sin ∞→x x xB .)0(1sin →x xC .)0)(1ln(→+x xD . )(1∞→x e x2．在下列指定的变化过程中，（A ）是⽆穷⼩量．A . )0(1sin→x xx B .)(-∞→-x e x C .)0(ln +→x x D . )(sin ∞→x x 2．当0→x 时，变量（D ）是⽆穷⼩量．x sin C . )2ln(+x D . x x 1sin3．在下列指定的变化过程中，（A ）是⽆穷⼩量．A . )0(1sin →x xx B .)(-∞→-x e x C .)0(ln →x x D . )(sin ∞→x x 2．当0→x 时，下列变量中（C ）是⽆穷⼤量．A ．x x 21+ B . x C . 001.0x D . x -22．当0→x 时，变量（C ）是⽆穷⼤量．A ．xx sin B . x 1 C . 13-xD . )2ln(+x5．下列⽆穷积分收敛的是（C ）．A ．+∞11dx xB .+∞11dx xC . ?+∞1341dx xD .+∞1sin xdx7．下列⽆穷限积分收敛的是（C ）． A .+∞B .+∞11dx xC . ?+∞1341dx xD .+∞1sin xdx8．下列⽆穷限积分收敛的是（D ）． A .+∞sin xdx B .+∞11dx xC . ?+∞1dx xD .+∞16．下列⽆穷限积分收敛的是（C ）． A . +∞11dx xB .+∞11dx xC . ?+∞131dx xD .+∞131dx x5．下列⽆穷限积分收敛的是（D ）． A . +∞11dx xB .+∞11dx xC . ?+∞dx e x+∞121dx x 6．下列⽆穷限积分收敛的是（D ）． A .+∞1sin xdx B .+∞121dx x C . ?+∞2dx e xD .+∞11dx x5．下列⽆穷积分收敛的是（B ）． A ．+∞dx e x B .+∞-0dx e x C .+∞11dx xD . ?+∞8．下列⽆穷积分收敛的是（D ）． A ．+∞sin xdx B ．?+∞11dx x C ．?+∞11dx xD ．?+∞-02dx e x 5．下列⽆穷限积分收敛的是（C ）． A . ? +∞cos xdx B .+∞11dx xC . ?+∞131dx x D .+∞dx e x3．设)(x f 在0x 处可导，则=--→hx f h x f h 2)()2(lim000（C ）．A . )(0x f 'B . )(20x f 'C . )(0x f '-D . )(20x f '- 4．设)(x f 在0x 处可导，则=--→hx f h x f h )（D ）．A . )(0x f 'B . )(20x f 'C . )(0x f '-D . )(20x f '- 3．设)(x f 在0x 处可导，则=--→hx f h x f h 2)()(lim 000（C ）． A .)(210x f ' B . )(20x f ' C . )(210x f '- D . )(20x f '- 3．设)(x f 在点1=x 处可导，则=--→hf h f h )1()1(lim 0（B ）． A . )1(2f ' B . )1(f '- C . )1(f ' D . )1(2f '- 3．设)(x f 在点0=x 处可导，则=-→h f h f h )0()2(lim 0（A ）． A . )0(2f ' B . )0(21f ' C . )0(2f '- D . )0(21f '-5．下列积分计算正确的是（D ）．A .0sin 11=?-xdx x B .102=?--dx e x C .π=?-022sin xdx D .0cos 16．下列积分计算正确的是（D ）． A .0sin 11=?-xdx x B .10=?∞--dx e x C .π=?∞-02sin xdx D .0cos112=?-xdx x7．下列积分计算正确的是（B ）． A . 0)(1 1=+?--dx e e x x B .0)(11=-?--dx e e x x C .0112=?-dx x D .011=?-dx x（A ）． A ．)(2x xf B . dx x f )(21 C . )(21x f D . dx x xf )(2 6．=?dx x xf dx d )(（C ）． A ．)(21x f B . dx x f )(2 1 C . )(x xf D . dx x xf )( 5．-22sin ππdx x =（D ）． A . 0 B .π C .1 D . 2 5’．-222sin ππxdx x =（A ）． A . 0 B .π C .1 D . 2 5．-+-223)13cos (ππdx x x x =（B ）． A . 0 B . π C . 2π D . 2π5．?-+-227)22cos (ππdx x x x =（A ）． A . 2π B .π C . 2πD . 04．若)(x F 是)(x f 的⼀个原函数，则下列等式成⽴的是（A ）．A .)()()(a F x F dx x f xa-=?B .)()()(a f b f dx x F b)()()(a F b F dx x f ba-='?5．若)(x f 的⼀个原函数是x sin ，则dx x f ?')(=（A ）． A . C x +cos B . C x +-sin C . C x +sin D . C x +-cos6．若)(x f 的⼀个原函数是x 1，则)(x f '=（B ）．A ．21x - B ．32x C ．x 1 D ．x ln 7．若)(x f 的⼀个原函数是x 1，则)(x f =（A ）．A ．21x - B ．32xC ．x 1D ．x ln4．若?dx x f )(=C x F +)(，则?dx x f x)(ln 1=（B ）．A . )(ln x FB .C x F +)(ln C . C x F x +)(ln 1D . C xF +)1( 4．若dx x f )(=C x F +)(，则?dx x f x)(1=（B ）．A . )(x FB .C x F +)(2 C .C x F x+)(1 D .C x F +)(214．若函数x x f sin )(=，则='dx x f )(（A ）． A . C x +sin B .C x +cos C .C x +-sin D . C x +-cos3．设x=（B ）．A ．e 2 B . e C . e 41 D . e 211．下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．A ．2)()(x x f =，x x g =)( B ．2)(x x f =，x x g =)(C ．3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D ．2ln )(x x f =，x x g ln 2)(= 1．下列各函数中，（B ）中的两个函数相等．A . x x g x x f ln 2)(ln )(2==，B . x x g x x f ln 5)(ln )(5==，C . x x g x x f ==)()()(2， D . x x g x x f ==)()(2，5．函数622+-=x x y 在区间（2，5）内满⾜（D ）．A ．先单调下降再单调上升B ．单调下降C ．先单调上升再单调下降D ．单调上升 4．函数362--=x x y 在区间（2，4）内满⾜（A ）．A ．先单调下降再单调上升B ．单调上升C ．先单调上升再单调下降D ．单调下降 3．函数62--=x x y 在区间（-5,5）内满⾜（A ）．A ．先单调下降再单调上升B ．单调下降C ．先单调上升再单调下降D ．单调上升3．下列等式中正确的是（B ）． A ．xdx x d arctan )11(2=+ B . 2)1(xdx x d -= C . dx d xx 2)2ln 2(= D . xdx x d cot )(tan = 4．下列等式成⽴的是（A ）． A ．)()(x f dx x f dx d=?B . )()(x f dx x f ='?C . )()(x f dx x f d =?D . )()(x f x df =?3．下列等式中正确的是（C ）．A . dx x x d 1)1(2-= B . dx x xd 2)1(= C .dx d x x 2)2ln 2(= D . xdx x d cot )(tan =2．若函数=≠=02sin )(x k x x xx f ，　，，在0=x 处连续，则=k （B ）．A . 1B . 2C . 1-D .212．函数=≠=05sin )(x k x x x x f ，　，在0=x 处连续，则=k （）A .1 B .5 C .51 D .0 1．函数)1ln(1-=x y 的定义域是（D ）．A . )2()20(∞+，，B . )1()10(∞+，，C . )1(∞+，D . )2()21(∞+，，1．下列函数中为偶函数的是（D ）．A . x x y sin )1(+=B .xx y 2= C .x x y cos = D . )1ln(2x y +=1．下列函数中为奇函数的是（C ）．A . x x y sin =B .x y ln =C .x x y cos =D . 2x x y += 3．下列函数中，在（-∞，+∞）内是单调减少的函数是（A ）．A . xy )21(= B . 3x y = C . x y sin = D . 2x y =4．下列函数在区间（-∞，+∞）上单调减少的是（A ）．A . x cosB . x -3C . 2x D . x 22．下列极限中计算不正确的是（B ）．A . 1lim 0=→xx e B . 01sin lim =∞→x x x C . 11lim 22=-∞→x x x D . 0sinlim =∞→x x⼆、填空题1．函数24)(2--=x x x f 的定义域是22>-≤x x 或．1．函数)1ln(92--=x x y 的定义域是231≠≤1．函数24)1ln(x x y -+=的定义域是21<<-x ．2．函数241xy -=的定义域是22<<-x ．1．函数x x y ++-=1)3ln(1的定义域是231≠<≤-x x 且．1．函数x x x f --=5)3ln()(的定义域是53<．1．函数xx x f --=6)2ln()(的定义域是62< 2．函数1()ln(2)f x x =-342≠≤1．函数xx x f --+=21)5ln()(的定义域是25<<-x ．2．函数12++=x x y 的间断点是1-=x ． 2．函数??≤>-=0sin 01x x x x y ，，的间断点是0=x ．2．函数≥+<=0101sin 2x x x xx y ，，的间断点是0=x ． 2．函数3 322---=x x x y 的间断点是3=x2．函数?≤>-=0sin 01)(x x x x x f ，，的间断点是0=x ．2．函数xx f 211)(-=的间断点是0=x 7．函数3322---=x x x y 的间断点是3=x ．3．曲线xx f 1)(=在点（1，1）处的切线的斜率是21-=k ． 3．曲线1)(+=x x f 在点（1,2）处的切线斜率是21=k ． 4．曲线x x f =)(在点1=x 处的切线斜率是21=k ． 3．曲线2)(+=x x f 在点（2，2）处的切线斜率是41=k ． 5．曲线1)(3+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是3=k ． 3．曲线1)(+=xe xf 在)2,0(处的切线斜率是1=k ． 3．曲线x x f sin )(=在)12(，π处的切线斜率是0=k ．3．曲线x x f sin )(=在(π，0)处的切线斜率是1-=k ． 3．曲线2)(2 +=x x f 在(1，3)处的切线斜率是2=k ．4．函数)1ln(2x y +=的单调增加区间是[)∞+，0． 4．函数1)1(2++=x y 的单调增加区间是[)∞+-，16．函数x y arctan =的单调增加区间是)(∞+-∞，4．函数2x e y -=的单调减少区间是[)∞+，5．函数1)1(2++=x y 的单调减少区间是(]1-∞-，． 4．函数1)(2-=x x f 的单调减少区间是(]0，∞-． 4．函数2)2(2+-=x y 的单调减少区间是(]2，∞-． 3．函数xey -=2的单调减少区间是)(∞+-∞，．4．函数2)1(2--=x y 的单调减少区间是[)∞+，1． 9．函数1)1(2++=x y 的单调减少区间是)1(--∞，．2．函数=≠=002sin )(x k x x xx f ，　，，在0=x 处连续，则=k 2 ．2．函数=≠--=1111)(2x a x x x x f ，　，，在)0(∞+，内连续，则=a 2 ． 3．若函数≥+<+=00)1()(21x kx x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ．4. 若函数≥+<+=00)1()(31x kx x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ．7．若C sin d )(+=?x x x f ，则=')(x f x sin -．8. 若C cos d )(+=?x x x f ，则=)(x f x sin -． 9．若C sin d )(+=?x x x f ，则=)(x f x cos 5．若C x dx x f +=?2cos )(，则=)(x f x 2sin 2-．1．若22)1(2+-=-x x x f ，则)(x f =12+x ．3．已知2sin )(x x f =，则])(['πf = 0 ．5．若C x dx x f +=?tan )(，则)(x f =x2cos 1．8．已知x x f 2ln )(=，则='])2([f 0 ．6．函数72)1(2+-=-x x x f ，则=)(x f 62+x1．若函数>≤+=0201)(2x x x x f x ，　，，则=)0(f 1 ．1．若函数>≤+=002)(2x e x x x f x ，则=)0(f 21’．若函数>+≤-=0103)(2x e x x x f x ，则=)0(f -3 ．5．?-dx ed x 2=dx e x 2-． 5．=?dx x dxd2sin 2sin x ． 6．?'dx x )(sin =C x +sin ． 5．?-+1 1231dx x x = 0 ． 5．?-dx e d x2=dx ex 2-． 2．x x x)211(lim +∞→=21e ．5．若x 1是)(x f 的⼀个原函数，则=')(x f 32x ． 6．若x 1是)(x f 的⼀个原函数，则=)(x f 21x -．．10．若)(x f 的⼀个原函数为x ln ，则=)(x f x 1．2．已知xxx f sin 1)(-=，当0→x 时，)(x f 为⽆穷⼩量． 4．函数542 -+=x x y 的驻点是2-=x ． 4．函数2)1(-=x y 的驻点是1=x ． 5．⽆穷积分?+∞11dx xp ，当p >1 时是收敛的．。

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)CP

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．利用微分求下列各数的近似值：⑴⑵ln0.99；⑶arctan1.02.解：⑴113x≈+，有112(1) 2.0083380==≈⋅+⨯=.⑵利用近似公式ln(1)x x+≈，有ln0.99ln(10.01)0.0100.=-≈-⑶取()arctanf x x=，令1,0.02x x==，而21()1f xx'=+，则21arctan1.02arctan10.0211=0.7954.≈+⨯+2．将函数()arctandx tF txt=⎰展开成x的幂级数．解：由于()21arctan121nnnttn+∞==-+∑所以()()()()()200221200arctand d121d112121nx x nnn nx n nn nt tF t txt nt xtn n∞=+∞∞====-+==--++∑⎰⎰∑∑⎰（|x|≤1）3．将()2132f xx x=++展开成(x+4)的幂级数．解：21113212x x x x=-++++而()()()011113411431314413334713nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-⋅+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<∑∑又()()()0101122411421214412224622nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<-∑∑所以()()()()()2110011013244321146223n nn n n n nn n n f x x x x x x x ∞∞++==∞++==++++=-+⎛⎫=-+-<<- ⎪⎝⎭∑∑∑4．判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(1)1+； (2)()()1111ln 1n n n ∞-=-+∑；(3) 2341111111153535353⋅-⋅+⋅-⋅+；(4)()21121!n n n n ∞-=-∑；(5)()()1111n n R n αα∞-=∈-∑；(6) ()11111123nn nn ∞=⎛⎫-++++ ⎪⎝⎭∑．解：(1)()11n n U -=-，级数1nn U ∞=∑>，0n =，由莱布尼茨判别法级数收敛，又11121nn n Un∞∞===∑∑是P <1的P 级数，所以1nn U∞=∑发散，故原级数条件收敛． (2)()()111ln 1n n U n -=-+，()()1111ln 1n n n ∞---+∑为交错级数，且()()11ln ln 12n n >++，()1lim0ln 1n n →∞=+，由莱布尼茨判别法知原级数收敛，但由于()11ln 11n U n n =≥++ 所以，1nn U∞=∑发散，所以原级数条件收敛．(3)()11153n n nU -=-⋅民，显然1111115353n n n n n n U ∞∞∞=====⋅∑∑∑，而113n n ∞=∑是收敛的等比级数，故1nn U∞=∑收敛，所以原级数绝对收敛．(4)因为2112lim lim 1n n n n nU U n ++→∞→∞==+∞+．故可得1n n U U +>，得lim 0n n U →∞≠，∴lim 0n n U →∞≠，原级数发散．(5)当α>1时，由级数11n n α∞=∑收敛得原级数绝对收敛．当0<α≤1时，交错级数()1111n n n α∞-=-∑满足条件：()111n n αα>+；1lim 0n n α→∞=，由莱布尼茨判别法知级数收敛，但这时()111111n n n nn αα∞∞-===-∑∑发散，所以原级数条件收敛．当α≤0时，lim 0n n U →∞≠，所以原级数发散．(6)由于11111123n nn ⎛⎫⋅>++++ ⎪⎝⎭ 而11n n ∞=∑发散，由此较审敛法知级数()11111123nn nn ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑发散．记1111123n U nn ⎛⎫=⋅++++ ⎪⎝⎭，则()()()()()()1222111111123111111112311111111231110n n U U n n n n n n n n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫-=-++++- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭+⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭++⎛⎫⎛⎫-=++++ ⎪ ⎪⎝⎭+++⎝⎭>即1n n U U +> 又01111lim lim12311d n n n n U n n x n x→∞→∞⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭=⎰ 由0111lim d lim 01t t t t x t x →+∞→+∞==⎰ 知lim 0n n U →∞=，由莱布尼茨判别法，原级数()11111123nn nn ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑收敛，而且是条件收敛．5．用比值判别法判别下列级数的敛散性：(1) 213n n n ∞=∑；(2)1!31nn n ∞=+∑； (3)232333331222322nnn +++++⋅⋅⋅⋅；(4) 12!n nn n n ∞=⋅∑ 解：(1) 23n n n U =，()2112311lim lim 133n n n n n nU n U n ++→∞→∞+=⋅=<，由比值审敛法知，级数收敛．(2) ()()111!311lim lim 31!31lim 131n n n n n nn n n U n U n n ++→∞→∞+→∞++=⋅++=⋅++=+∞所以原级数发散．(3) ()()11132lim lim 2313lim 21312n nn n n n n nn U n U n n n +++→∞→∞→∞⋅=⋅⋅+=+=> 所以原级数发散．(4) ()()1112!1lim lim 2!1lim 21122lim 1e 11n nn n nn n nnn n n U n n U n n n n n +++→∞→∞→∞→∞⋅+=⋅⋅+⎛⎫= ⎪+⎝⎭==<⎛⎫+ ⎪⎝⎭故原级数收敛．6．已知201(2),(2)0,()d 12f f f x x '===⎰, 求120(2)d x f x x ''⎰.解：原式=11122000111d (2)2(2)d (2)222x f x xf x x x f x ''='-⎰⎰11100012001111(2)d (2)0(2)d (2)22221111(2)(2)d(2)1()d 1402444f x f x f x x xf x f f x x f t t '=-=-+=-+=-+=-+⨯=⎰⎰⎰⎰7．利用定义计算下列定积分：（1）d ();bax x a b <⎰解：将区间[a , b ]n 等分，分点为(), 1,2,,1;i i b a x a i n n-=+=- 记每个小区间1[,]i i x x -长度为,i b ax n-∆=取, 1,2,,,i i x i n ξ==则得和式211()2(1)()[()]()2nni i i i i b a b a n n f x a b a a b a n n n ξ==--+∆=+-⋅=-+∑∑ 由定积分定义得220122()(1)d lim ()lim[()]21().2nbi i an i b a n n x x f x a b a nb a λξ→→∞=-+=∆=-+=-∑⎰(2)1e d .x x ⎰解：将区间[0, 1] n 等分，分点为 (1,2,,1),i ix i n n==-记每个小区间长度1,i x n∆=取 (1,2,,),i i x i n ξ==则和式111()i nnni i i i f x enξ==∆=∑∑ 12101111111e d lim e lim (e e e )1e (1e )1e (e 1)lim lim 1e e 11e (e 1)1lim e 1.1i n n xn n nnn n i n nnnn n nn n x n n n n n n n →∞→∞=→∞→∞→∞==+++--==---==-∑⎰8．试决定曲线y =ax 3+bx 2+cx +d 中的a ，b ，c ，d ，使得x =－2处曲线有水平切线，(1，－10)为拐点，且点(－2，44)在曲线上. 解：令f (x )= ax 3+bx 2+cx +d联立f (－2)=44，f ′(－2)=0，f (1)=－10，f ″(1)=0 可解得a =1，b =－3，c =－24，d =16.9．问a ，b 为何值时，点(1，3)为曲线y =ax 3+bx 2的拐点？解：y′=3ax 2+2bx , y″=6ax +2b 依题意有3620a b a b +=⎧⎨+=⎩ 解得 39,22a b =-=.10．求数列的最大的项.解：令y =y '===令0y '=得x =1000.因为在(0，1000)上0y '>，在(1000,)+∞上0y '<, 所以x =1000为函数y的极大值点，也是最大值点，max (1000)y y ==.故数列的最大项为1000a =.11．函数()(2)(1)(1)(2)f x x x x x x =--++的导函数有几个零点？各位于哪个区间内？解：因为(2)(1)(0)(1)(2)0f f f f f ===-=-=，则分别在[－2，－1]，[－1，0]，[0，1]，[1，2]上应用罗尔定理，有1234(2,1),(1,0),(0,1),(1,2),ξξξξ∈--∈-∈∈使得1234()()()()0f f f f ξξξξ''''====.因此，()f x '至少有4个零点，且分别位于(2,1),(1,0),(0,1),(1,2)---内.12．下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件？有没有满足定理结论中的ξ？⑴ 2, 01,() [0,1] 0, 1, x x f x x ⎧≤<=⎨=⎩； ⑵ ()1, [0,2] f x x =-； ⑶ sin , 0π,() [0,π] . 1, 0,x x f x x <≤⎧=⎨=⎩解：⑴ ()f x 在[0,1]上不连续，不满足罗尔定理的条件.而()2(01)f x x x '=<<，即在（0，1）内不存在ξ，使()0f ξ'=.罗尔定理的结论不成立. ⑵ 1, 12,()1, 0 1.x x f x x x -≤<⎧=⎨-<<⎩(1)f '不存在，即()f x 在区间(0,2) 内不可导，不满足罗尔定理的条件.而1, 12,()1, 0 1.x f x x <<⎧'=⎨-<<⎩即在（0，2）内不存在ξ，使()0f ξ'=.罗尔定理的结论不成立.⑶ 因(0)1(π)=0f f =≠,且()f x 在区间[0,π] 上不连续，不满足罗尔定理的条件. 而()cos (0π)f x x x '=<<,取π2ξ=，使()0f ξ'=.有满足罗尔定理结论的π2ξ=. 故罗尔定理的三个条件是使结论成立的充分而非必要条件.13．计算正弦曲线y =sin x 上点π,12⎛⎫⎪⎝⎭处的曲率. 解：cos ,sin y x y x '''==- . 当π2x =时，0,1y y '''==- ，故 23/21.(1)y k y ''=='+14．将下列函数f (x )展开为傅里叶级数： (1)()()πππ42x f x x =--<<(2)()()sin 02πf x x x =≤≤解：(1) ()ππ0-ππ11ππcos d d ππ422x a f x nx x x -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰ []()ππππ-π-πππ1π11cos d cos d x cos d π4242π1sin 001,2,4n x a nx x nx x nx x nx n n--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-==⎰⎰⎰()ππππ-π-π1π11sin d sin d xsin d π4242π11n n x b nx x nx x nx xn-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-⋅⎰⎰⎰故()()1πsin 14n n nxf x n∞==+-∑ (-π<x <π)(2)所给函数拓广为周期函数时处处连续，因此其傅里叶级数在[0,2π]上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0,()ππ0πππ011cos0d sin d ππ24sin d ππa f x x x x x x x --====⎰⎰⎰()()()()()()ππ0ππ02222cos d sin cos d ππ1sin 1sin 1d π211π10,1,3,5,4,2,4,6,π1n na f x nx x x nx x n x n x x n n n n -===+--⎡⎤⎣⎦-⎡⎤=+-⎣⎦-=⎧⎪-=⎨=⎪-⎩⎰⎰⎰所以()()2124cos2ππ41n nx f x n ∞=-=+-∑ (0≤x ≤2π)15．球的半径以速率v 改变，球的体积与表面积以怎样的速率改变？解： 324d π,π,.3d rV r A r v t=== 2d d d 4πd d d d d d 8πd d d V V rr v t r tA A r r v t r t =⋅=⋅=⋅=⋅16．求下列函数的定义域211(1)arctan ;(2);lg(1)(3); (4)arccos(2sin ).1y y x x xy y x x ==-==-解: (1)要使函数有意义,必须400x x -≥⎧⎨≠⎩ 即 40x x ≤⎧⎨≠⎩所以函数的定义域是(,0)(0,4]-∞.(2)要使函数有意义,必须30lg(1)010x x x +≥⎧⎪-≠⎨⎪->⎩ 即 301x x x ≥-⎧⎪≠⎨⎪<⎩所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1). (3)要使函数有意义,必须210x -≠ 即 1x ≠±所以函数的定义域是(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞.(4)要使函数有意义,必须12sin 1x -≤≤ 即 11sin 22x -≤≤即ππ2π2π66k x k -+≤≤+或5π7π2π2π66k x k +≤≤+,(k 为整数).也即ππππ66k x k -+≤≤+ (k 为整数).所以函数的定义域是ππ[π,π]66k k -++, k 为整数.17．已知()f x ''存在，求22d d yx：⑴ 2()y f x =； ⑵ ln ()y f x =. 解：⑴ 22()y xf x ''=222222()22() 2()4()y f x x xf x f x x f x '''''=+⋅'''=+⑵ ()()f x y f x ''=22()()[()]()f x f x f x y f x '''-''=18．用对数求导法求下列函数的导数： ⑴y =解：1(ln )[ln(2)4ln(3)5ln(1)]2y y y y x x x '''=⋅=⋅++--+45(3)145[](1)2(2)31x x x x x -=--++-+⑵ cos (sin );xy x =解：2cos (ln )(cos ln sin )1[(sin )ln sin cos cos ]sin cos (sin )(sin ln sin )sin xy y y y x x y x x x x xx x x x x'''==⋅=-+⋅⋅=- ⑶2x y =解：211(ln )[2ln(3)ln(5)ln(4)]22111 ].32(5)2(4)x y y y y x x x x x x x '''==++-+--=+--++-19．求下列隐函数的导数：⑴ 3330x y axy +-=； ⑵ ln()x y xy =；⑶ e e 10y xx y -=； ⑷ 22ln()2arctan y x y x+=； ⑸ ex yxy +=解：⑴ 两边求导，得：2233330x y y ay axy ''+⋅--=解得 22ay x y y ax-'=-.⑵ 两边求导，得：11ln()()y xy y y xy xy''=+⋅+ 解得 (ln ln 1)x yy x x y -'=++.⑶ 两边求导，得：e e e e 0y y x x x y y y ''+⋅++=解得 e e =e ey xy xy y x +'-+. ⑷ 两边求导，得：222211(22)21()y x yx yy y x y x x'-'⋅+=⋅⋅++ 解得 =x yy x y+'-.⑸ 两边求导，得：e (1)x y y xy y +''+=+解得 e =e x y x yyy x ++-'-.20．若π1()1,(arccos )3f y f x '==，求2d d x y x=.解：22d 11(arccos )(()d d π11(d 344x y f x x x y f x ='=⋅-'===21．已知2()max{,3}f x x =，求()f x '.解：23, (), x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩当x <时，()0f x '=,当x >时，()2f x x '=,2(((0,x x x f x f -+'===-'==故(f '不存在.又20,(x x x f f x -+'=='==+=故f '不存在. 综上所述知0, ()2, x f x x x ⎧<⎪'=⎨>⎪⎩22．已知sin ,0,(),0,x x f x x x <⎧=⎨≥⎩求()f x '.解：当0x <时，()cos ,f x x '= 当0x >时，()1,f x '= 当0x =时，0sin 0(0)lim 1,0x x f x --→-'==- 00(0)lim 1,0x x f x ++→-'==- 故(0) 1.f '=综上所述知cos ,0,()1,0.x x f x x <⎧'=⎨≥⎩23．求下列函数在0x 处的左、右导数，从而证明函数在0x 处不可导.(1) 03sin ,0,0;,0,x x y x x x ≥⎧==⎨<⎩证明：00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f xf x x+++→→-'===- 300()(0)(0)lim lim 0,0x x f x f x f x x ---→→-'===-因(0)(0)f f +-''≠，故函数在00x =处不可导.(2) 10,0,0;1e 0,0,xx x y x x ⎧≠⎪==+⎨⎪=⎩证明：100()(0)1(0)lim lim 0,01e x x x f x f f x +++→→-'===-+ 100()(0)1(0)lim lim 1,01e x x x f x f f x ---→→-'===-+ 因(0)(0)f f +-''≠，故函数在00x =处不可导.(3) 021,1.,1,x y x x x ≥==<⎪⎩证明：11()(1)1(1)lim lim ,12x x f x f f x +++→→-'===- 211()(1)1(1)lim lim 2,11x x f x f x f x x ---→→--'===--因(1)(1)f f +-''≠，故函数在01x =处不可导.24．(1) 设1()f x x=，求00()(0);f x x '≠解：00021()().x x f x f x x =''==-(2) 设()(1)(2)(),f x x x x x n =--⋅⋅-求(0).f '解：00()(0)(0)limlim(1)(2)()0(1)!x x n f x f f x x x n x n →→-'==--⋅⋅--=-25．当x =0时，下列函数无定义，试定义(0)f 的值，使其在x =0处连续:1tan 2(1)()(2)();1(3)()sin sin ;(4)()(1).x xf x f x x f x x f x x x ====+解：0003(1)lim ()2x x x f x →→→=== ∴补充定义3(0),2f =可使函数在x =0处连续.000tan 22(2)lim ()limlim 2.x x x x xf x xx →→→===∴补充定义(0)2,f =可使函数在x =0处连续. 01(3)limsin sin0x x x→=∴补充定义(0)0,f =可使函数在x =0处连续. 10(4)lim ()lim(1)e xx x f x x →→=+=∴补充定义(0)e,f =可使函数在x =0处连续.26．利用重要极限10lim(1)e uu u →+=，求下列极限：2221232cot 00113(1)lim ;(2)lim ;12(3)lim(13tan );(4)lim(cos 2);1(5)lim [ln(2)ln ];(6)lim.ln xx x x xx x x x x x x x x x xx x x x+→∞→∞→→→∞→+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+-+-解：1112222111(1)lim lim e 1lim 11x xxx x x x x x →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫====+++ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦1022121553555(2)lim lim lim 1112222x x x x x x x x x x x -++→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥-⎝⎭⎣⎦102551051055lim e 1e .1lim 122x x x x x -→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=+⎢⎥ ⎪+⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦⎢⎥-⎝⎭⎣⎦ 22233112cot 323tan 23tan 000(3)lim(13tan )lim e .lim(13tan )(13tan )xx x x x x x x x →→→⎡⎤⎡⎤+===+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎣⎦[][][]cos 211cos 212221cos 2121cos 2120220333ln ln cos21(cos21)03(cos21)ln 1(cos21)0cos213limlim ln 1(cos21)2sin 3limln lim (4)lim(cos 2)lim elim elim ee e x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x ----→→→→⎧⎫⎪⎪⎨⎬+-⎪⎪⎩⎭→→→-+-→-⋅+--⋅=====[]1cos 212201(cos21)sin 6ln e lim 6116ee e .x x x x x -→⎧⎫⎪⎪⎨⎬+-⎪⎪⎩⎭⎛⎫-⋅⋅ ⎪-⨯⨯-⎝⎭===22222(5)lim [ln(2)ln ]lim 2ln lim 2ln 12222lim ln 2ln 1lim 12ln e 2.x x x x xxx x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞+⎛⎫+-=⋅⋅=+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅+ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭== (6)令1x t =+，则当1x →时，0t →.1110001111limlim 1.ln ln(1)ln eln lim ln(1)lim(1)x t tt t t x tx t t t →→→→-=-=-=-=-=-+⎡⎤++⎢⎥⎣⎦27．通过恒等变形求下列极限：2222214123(1)11(1)lim; (2)lim;1222168(3)lim; (4)lim ;154n n nx x n n xx x x x x x →∞→∞→→++++-⎛⎫+++⎪⎝⎭-+-+--+32233π5422(5)lim ; 1cot lim ;2cot cot (9)lim(1)(1)(1)(1);(10)nx x x x x xxx x x x x x →+∞→→→→∞---+++< 12231100)(1)113(11)lim ; (12)lim ;(1)11log (1)1(13)lim ; (14)lim n x x x x a x x x x x x x x x a x x→→→→→--+⎛⎫- ⎪---⎝⎭+-3sin 00;sin (15)lim(12); (16)lim ln .xx x x x x→→+解：22123(1)(1)111(1)lim lim lim .1222n n n n n n n n n →∞→∞→∞++++--⎛⎫===- ⎪⎝⎭ 1221112244411112(2)lim lim 2.11221221(1)(3)lim lim lim(1)0.1168(2)(4)22(4)lim lim lim .54(1)(4)13n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +→∞→∞→→→→→→⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==+++ ⎪⎝⎭--+-==-=---+---===-+---322000(5)lim lim lim 2.lim(1 2.x x xx x xx→+∞→→→=====-=-5555x xxx→→→→=====3333ππ4422π422π41cot1cot(8)lim lim2cot cot(1cot)(1cot)(1cot)(1cot cot)lim(1cot)(11cot cot)1cot cot3lim.2cot cot4x xxxx xx x x xx x xx x xx xx x→→→→--=---+--++=-+++++==++122222(9)lim(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)lim111lim.11nnnxxxx x x xx x x xxxx x+→∞→∞→∞+++<-+++=--==--1121 121 1)(1))(1))(1)11.234!nxnn n n x nn n n x nxx x xx x xn n→--→-→-=++++=++++==⨯⨯⨯⨯22223111221113213(11)lim lim lim(1)(1)(1)(1)11(1)(2)(2)lim lim 1.(1)(1)1x x xx xx x x xx x x x x xx xx x xx x x x x→→→→→++-+-⎛⎫==-⎪-++-++--⎝⎭-+-+===--++++2212211221lim(1)(1)(12)lim01lim(1)1lim.(1)x x x x x x x x x x x x x →→→→--==-+-+-+∴=∞-1log (1)(13)log (1)a x a x x x+=+ 而10lim(1).xx x e →+= 而1limlog log ln a a u eu e a→==0log (1)1lim.ln a x x x a→+∴=(14)令1,xu a =-则log (1),a x u =+当0x →时，0u →.所以00011limlim ln log (1)log (1)limx x u a a u a u a u x u u→→→-===++(利用(13)题的结果). 1122000336ln(12)ln(12)sin sin 2sin 0lim 6ln(12)6limlimln(12)sin sin 61ln e 6(15)lim(12)lim elim ee ee e .x xx x x xx x xxx xx x x xxx x xx x →→→++→→→⋅⋅+⋅⋅+⨯⨯+======(16)令sin x u x =，则00sin lim lim 1x x xu x→→==而1limln 0u u →= 所以0sin limln0.x xx→=28．下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的?5122412(1)(1);(2)sin (12);1(3)(110);(4).1arcsin 2xy x y x y y x-=+=+=+=+解: (1)124(1)y x =+是由124,1y u u x ==+复合而成.(2)2sin (12)y x =+是由2,sin ,12y u u v v x ===+复合而成. (3)512(110)x y -=+是由152,1,10,w y u u v v w x ==+==-复合而成.(4)11arcsin 2y x=+是由1,1,arcsin ,2y u u v v w w x -==+==复合而成.29．设()f x 定义在(-∞,+∞)上,证明:(1) ()()f x f x +-为偶函数; (2)()()f x f x --为奇函数.证: (1)设()()()F x f x f x =+-,则(,)x ∀∈-∞+∞, 有()()()()F x f x f x F x -=-+= 故()()f x f x +-为偶函数.(2)设()()(),G x f x f x =--则(,)x ∀∈-∞+∞,有()()()[()()]()G x f x f x f x f x G x -=---=---=- 故()()f x f x --为奇函数.30．一点沿对数螺线e a r ϕ=运动，它的极径以角速度ω旋转，试求极径变化率. 解：d d de e .d d d a a r r a a t tϕϕϕωωϕ=⋅=⋅⋅=【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题 1．无 2．无 3．无 4．无 5．无 6．无 7．无 8．无 9．无 10．无 11．无 12．无13．无14．无15．无16．无17．无18．无19．无20．无21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无。

2019年电大本科《工程数学》期末试题资料三套附答案【电大备考篇】

2019年电大本科《工程数学》期末试题资料三套附答案一、1．设A 是n m ⨯矩阵，B 是t s ⨯矩阵，且B C A '有意义，则C 是( B )矩阵． A ．s n ⨯ B ．n s ⨯ C ．t m ⨯ D ．m t ⨯2．若X 1、X 2是线性方程组AX =B 的解，而21ηη、是方程组AX = O 的解，则（ A ）是AX =B 的解． A ．213231X X + B ．213231ηη+C ．21X X -D ．21X X + 3．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211102113A ，则A 的对应于特征值2=λ的一个特征向量α=( C ) ． A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101 B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101 C ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011 D ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1004. 下列事件运算关系正确的是（ A ）．A ．A B BA B += B ．A B BA B +=C ．A B BA B +=D ．B B -=1 5．若随机变量)1,0(~N X ，则随机变量~23-=X Y （ D ）． A ．)3,2(-N B ．)3,4(-N C ．)3,4(2-N D ．)3,2(2-N6．设321,,x x x 是来自正态总体),(2σμN 的样本，则（ C ）是μ的无偏估计． A ．321525252x x x ++ B ．321x x x ++ C ．321535151x x x ++ D ．321515151x x x ++ 7．对给定的正态总体),(2σμN 的一个样本),,,(21n x x x ，2σ未知，求μ的置信区间，选用的样本函数服从（ B ）．A ．χ2分布B ．t 分布C ．指数分布D ．正态分布二、填空题（每小题3分，共15分） 1．设三阶矩阵A 的行列式21=A ，则1-A ．2．若向量组：⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡-=2121α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1302α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2003k α，能构成R 3一个基，则数k 3．设A B ,互不相容，且A )>0，则P B A ()=4．若随机变量X ~ ]2,0[U ，则=)(X D5．设θˆ是未知参数θ的一个估计，且满足θθ=)ˆ(E ，则θˆ称为θ三、（每小题10分，共60分）1．已知矩阵方程B AX X +=，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=301111010A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=350211B ，求X ．解：因为B X A I =-)(，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-101210011110001011100201010101001011)(I A I⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→110100121010120001110100011110010101即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=--110121120)(1A I 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-=-334231350211110121120)(1B A I X ． 2．设向量组)1,421(1'--=，，α，)4,1684(2'--=，，α，)2,513(3'--=，，α，)1,132(4'-=，，α，求这个向量组的秩以及它的一个极大线性无关组．解：因为（1α 2α 3α 4α）=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------12411516431822341⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→1100770075002341⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→0000200011002341所以，r (4321,,,αααα) = 3．它的一个极大线性无关组是431,,ααα（或432,,ααα）．3．用配方法将二次型32312123222132122435),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=化为标准型，并求出所作的满秩变换．解：32312123222132122435),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=322322232122)2(x x x x x x x -++++=232322321)()2(x x x x x x +-+++=令333223211,,2x y x x y x x x y =-=++=即得 232221321),,(y y y x x x f ++=由（*）式解出321,,x x x ，即得⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=33322321132y x y y x y y y x 或写成⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321*********y y y x x x4．罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子．若从中任取3颗，求：（1）取到3颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（2）取P （X < a ）=0.9成立的常数a ． (8413.0)0.1(=Φ，9.0)28.1(=Φ，9973.0)0.2(=Φ)．均值得x = 21，求μ的置信度为95%的置信区间．(已知96.1975.0=u )设A 是n 阶矩阵，若3A = 0，则21)(A A I A I++=--．证明：因为 ))((2A A I A I ++-=322A A A A A I ---++ =3A I -= I所以 21)(A A I A I ++=--一、 1．设B A ,都是n 阶矩阵)1(>n ，则下列命题正确的是（D ）． A . 若AC AB =，且0≠A ，则C B = B .2222)(B AB A B A ++=+C . A B B A '-'='-)(D . 0=AB ，且0≠A ，则0=B2．在下列所指明的各向量组中，（B ）中的向量组是线性无关的．A . 向量组中含有零向量B . 任何一个向量都不能被其余的向量线性表出C . 存在一个向量可以被其余的向量线性表出D . 向量组的向量个数大于向量的维数3．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211102113A ，则A 的对应于特征值2=λ的一个特征向量α=( C ) ．A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101C ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011D ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100 4. 甲、乙二人射击，分别表示甲、乙射中目标，则AB 表示（ A ）的事件． A . 至少有一人没射中 B . 二人都没射中C . 至少有一人射中D . 两人都射中 5．设)1,0(~N X，)(x Φ是X的分布函数，则下列式子不成立的是（ C ）．A .5.0)0(=ΦB . 1)()(=Φ+-Φx xC . )()(a a Φ=-ΦD .1)(2)(-Φ=<a a x P6．设321,,x x x 是来自正态总体的样本，则（D ）是μ无偏估计．A . 321x x x ++ B .321525252x x x ++ C . 321515151x x x ++ D . 321535151x x x ++7．对正态总体),(2σμN 的假设检验问题中，U 检验解决的问题是（A ）．A . 已知方差，检验均值B . 未知方差，检验均值C . 已知均值，检验方差D . 未知均值，检验方差二、填空题（每小题3分，共15分） 1．设A 是2阶矩阵，且9=A ，'-)(31A2为53⨯矩阵，且该方程组有非零解，则)(A r3．2.)(=A P ，则=+)(B A P4．若连续型随机变量X数的是⎩⎨⎧≤≤=其它,010,2)(x x x f ，则)(X E 5．若参数θ的两个无偏估计量1ˆθ和2θ满足)ˆ()(21θθD D >，则称2ˆθ比1ˆθ三、计算题（每小题10分，共60分）1．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=500050002,322121011B A ，问：A1-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-520125151051585000500021461351341B A2．线性方程组的增广矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----112313211151132212322213214242),,(x x x x x x x x x x f ++++=化为标准(C)⎩⎨⎧≤≤=其它,0π0,sin )(x x x f (D)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它,0π2π,cos )(x x x f 7．设总体满足，又，其中是来自总体的个样品，则等式（B ）成立． (A)nX E μ=)( (B)μ=)(X E (C)22)(n X D σ=(D)2)(σ=X D1．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-*02132．若λ是A 根．3．已知5.0)(,9.0)(==AB P A P ，则=-)(B A P4.0．4．设连续型随机变量X的密度函数是)(x f ，则<<)(b X a P5三、计算题（每小题10分，共60分）1．设矩阵⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡--=101111001A ，求1)(-'A A即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡='-211110102)(1A A2．在线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-=++153233232121321x x x x x x x x λλ中λ取何值时，此方程组有解．有解的情况下写出方程组的一般解．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--λλλλ21110333032115323011321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→λλλλ2200011102101220001110321由此可知当1≠λ时方程组无解，当1=λ时方程组有解．此时方程组的一般解为⎩⎨⎧+-=--=113231x x x x 3．用配方法将二次型23322231212132162242),,(x x x x x x x x x x x x f +++-+=化为标准型，并求出所作的满秩变换．解：23322231212132162242),,(x x x x x x x x x x x x f +++-+=232332223231212322217)96()4424(x x x x x x x x x x x x x x -+++--+++=2323223217)3()2(x x x x x x -++-+=令333223211,3,2x y x x y x x x y =+=-+=即得2322213217),,(y y y x x x f -+=由式解出321,,x x x ，即得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=33322321135yx y y x y y y x或写成。

2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)ABC

2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题1．将函数(,)x f x y y =在(1,1)点展到泰勒公式的二次项.解：(1,1)1,f =(1,1)(1,1)1(1,1)(1,1)ln 0,1,x x x y f y y f xy-====2(1,1)(1,1)1(1,1)(1,1)2(1,1)(1,1)2(ln )0,1ln 1,(1)0,(,)1(1)(1)(1)0().xxx x x xy x yyx f y y xy y y f y f xy x f x y y y x y ρ--==⎛⎫+⋅== ⎪⎝⎭=-===+-+--+2．求下列欧拉方程的通解：2(1)0x y xy y '''+-=解：作变换e t x =，即t =ln x ,原方程变为 (1)0D D y Dy y -+-=即 22d 0d yy t-=特征方程为 210r -=121,1r r =-=故 12121e e t ty c c c c x x-=+=+. 23(2)4x y xy y x '''+-=.解：设e tx =，则原方程化为3(1)4e t D D y Dy y -+-=232d 4e d ty y t-= ① 特征方程为 240r -=122,2r r =-=故①所对应齐次方程的通解为2212e e t t y c c -=+又设*3e t y A =为①的特解，代入①化简得941A A -= 15A =, *31e 5t y = 故 223223121211ee e .55tt t y c c c x c x x --=++=++3．求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解：πd 11(1)sin ,1d x y y x y x x x=+== ; 解： 11d d 11sin e sin d [cos ]e d x x x x x y x x c c x x c x x x -⎡⎤⎰⎰⎡⎤==+=-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 以π,1x y ==代入上式得π1c =-，故所求特解为 1(π1cos )y x x=--. 2311(2)(23)1,0x y x y y x='+-== . 解：22323d 3ln x x x x c x--=--+⎰ 22223323d 23+3ln d 3ln ee e d e d x xx x x x x xxxy x c x c -------⎰⎡⎤⎰⎡⎤∴==++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 2223311e .e e 22x x x x x c c ----⎛⎫⎛⎫=⋅=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以x =1,y =0代入上式，得12ec =-. 故所求特解为 2311e 22e x y x -⎛⎫=-⎪⎝⎭.4．计算下列对坐标的曲面积分：(1)22d d x y z x y ∑⎰⎰，其中Σ是球面x 2+y 2+z 2=R 2的下半部分的下侧；(2)d d d d d d z x y x y z y z x ∑++⎰⎰，其中Σ是柱面x 2+y 2=1被平面z =0及z =3所截得的在第Ⅰ封限内的部分的前侧；(3)()()()d d 2d d d d ,,,,,,f x y z f y z x f z x y x y z x y z x y z ∑+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰，其中f (x , y , z )为连续函数，Σ是平面x -y +z =1在第Ⅳ封限部分的上侧； (4)d d d d d d xz x y xy y z yz z x ∑++⎰⎰，其中Σ是平面x =0, y =0, z =0, x +y +z =1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧；(5)()()()d d d d d d y z z x x y y z x y z x ∑++---⎰⎰，其中Σ为曲面z =z = h (h >0)所围成的立体的整个边界曲面，取外侧为正向；(6)()()22d d d d d d +++-⎰⎰y y z x z x x y y xz x z ∑，其中Σ为x =y =z =0，x =y =z =a 所围成的正方体表面，取外侧为正向；解：(1)Σ：z =Σ在xOy 面上的投影区域D xy 为：x 2+y 2≤R 2．((()()()()()()22222π422002π2222222002π2200354*******d d d d d cos sin d 1sin 2d 81d d 1cos421612422π1635xyD RR R xy z x y x y x yr r rR R r r R R R R r R R R r R r ∑θθθθθθθ=-=-=-⎡⎤+--⎣⎦⎡=---⎣=-⋅-+--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()72220772π105RR r R ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=(2)Σ如图11-8所示，Σ在xOy 面的投影为一段弧，图11-8故d d 0z x y ∑=⎰⎰，Σ在yOz 面上的投影D yz ={(y ,z )|0≤y ≤1，0≤z ≤3}，此时Σ可表示为：x =(y ,z )∈D yz，故30d d d d 3yzD x y z y z z y y∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Σ在xOz 面上的投影为D xz ={(x ,z )|0≤x ≤1，0≤z ≤3}，此时Σ可表示为： y =(x ,z )∈D xz，故3d d d d 3xzD y z x z x z x x∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰因此：d d d d d d 236π643π2z x y x y z y z x x x∑++⎡⎤=⎢⎥⎣⎦==⋅=⎰⎰⎰⎰(3)Σ如图11-9所示，平面x -y +z =1上侧的法向量为 n ={1,-1,1}，n 的方向余弦为cos α=，cos β=cos γ=图11-9由两类曲面积分之间的联系可得：()()()()()()()()()d d 2d d d d ,,,,,,cos d (2)cos d ()d d cos cos d d (2)d d ()d d cos cos (2)()d d d d 1d d xyD f x y z f y z x f z x y x y z x y z x y z s f y s f z x yf x x y f y x y f z x y f x f y f z x y f x x yx y z x yx y x y ∑∑∑∑∑αβαβγγ+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+++++=+++++=-+++⎡⎤+⎣⎦=-+=+-⎡⎤--⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d 111212xyD x y==⨯⨯=⎰⎰⎰⎰(4)如图11-10所示：图11-10Σ=Σ1+Σ2+Σ3+Σ4．其方程分别为Σ1：z =0，Σ2：x =0，Σ3：y =0，Σ4：x +y +z =1，故()()12344110d d 000d d d d 11d d 124xyD xxz x yxz x yx x yx y x x y x y ∑∑∑∑∑∑-=+++=+++=--==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由积分变元的轮换对称性可知．1d d dzd 24xy y z yz x ∑∑==⎰⎰⎰⎰ 因此．d d dyd d d 113248xz x y xy z yz z x ∑++=⨯=⎰⎰(5)记Σ所围成的立体为Ω，由高斯公式有：()()()()()()d d d d d d d d d 0d d d 0y z z x x yy z x y z x y z x y z x x y z x y z x y z ∑ΩΩ++---∂∂⎛⎫--∂-=++ ⎪∂∂∂⎝⎭==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(6)记Σ所围的立方体为Ω， P =y (x -z )，Q =x 2，R =y 2+xz ．由高斯公式有()()()()()220200204d d d d d d d d d d d d d d d d d d 2d 2a aaaaaaay y z x z x x yy xz x z P Q R x y z x y z x y zx y x y z x y x a yx y y a x xy a a x ax a ∑ΩΩ+++-∂∂∂⎛⎫++= ⎪∂∂∂⎝⎭=+=+=+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5．求下列齐次方程的通解：(1)0xy y'-=;解：d d y y x x =令 d d d d y y u u u x x x x=⇒=+ 原方程变为d xx=两端积分得ln(ln ln u x c =+u cxy cx x +==即通解为：2y cx =d (2)ln d y yxy x x =; 解：d ln d y y y x x x= 令y u x =，则d d d d y uu x x x=+原方程变为d d (ln 1)u xu u x=-积分得 ln(ln 1)ln ln u x c -=+ln 1ln 1u cxycx x-=-= 即方程通解为 1ecx y x +=22(3)()d d 0x y x xy x +-=解：2221d d y y x y x y x xyx⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==令y u x =，则d d d d y uu x x x=+原方程变为 2d 1d u u u x x u++= 即 d 1d ,d d u x xu u x u x == 积分得211ln ln 2u x c =+ 2122ln 2ln y x c x=+故方程通解为 22221ln()()y x cx c c ==332(4)()d 3d 0x y x xy y +-=; 解： 333221d d 33y y x y x x xy y x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭令y u x =, 则d d d d y uu x x x=+原方程变为 32d 1d 3u u u x x u ++= 即 233d d 12u x u u x=- 积分得 311ln(21)ln ln 2u x c --=+ 以yx代替u ，并整理得方程通解为 332y x cx -=. d (5)d y x y x x y+=-; 解：1d d 1yy x yx x +=- 令y u x =，则d d d d y uu x x x=+原方程变为 d 1d 1u uu x x u++=- 分离变量,得211d d 1u u x u x-=+ 积分得 211arctan ln(1)ln ln 2u u x c -+=+ 以y x 代替u ，并整理得方程通解为到 2arctan 22211e .()yxx y c c c +==(6)y '=解：d d y yx=即d d x x y y =令x v y =，则d d ,d d x v x yv v y y y ==+, 原方程可变为d d vv yv y+=+即d d vyy=分离变量，得d y y= 积分得ln(ln ln v y c +=-.即y v c+=2222121y v v c y yv c c⎛⎫=+- ⎪⎝⎭-= 以yv x =代入上式，得 222c y c x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即方程通解为 222y cx c =+.6．从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线：220(1),5;x x y C y =-==解：当0x =时，y =5.故C =-25 故所求曲线为：2225y x -=21200(2)()e ,0, 1.x x x y C C x y y =='=+==解： 2212(22)e x y C C C x '=++ 当x =0时，y =0故有10C =. 又当x =0时，1y '=.故有21C =. 故所求曲线为：2e xy x =.7．利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分： (1)d d d y x z y x z Γ++⎰，其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2= a 2，x +y +z = 0，若从x 轴的正向看去，这圆周是取逆时针的方向；(2)()()()222222d d d x y z y z x y z x Γ++---⎰，其中Γ是用平面32x y z ++=截立方体：0≤x ≤1，0≤y ≤1，0≤z ≤1的表面所得的截痕，若从Ox 轴的正向看去，取逆时针方向； (3)23d d d y x xz y yz z Γ++⎰，其中Γ是圆周x 2+y 2 = 2z ，z =2，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向； (4)22d 3d d +-⎰y x x y z z Γ，其中Γ是圆周x 2+y 2+z 2 = 9，z =0，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向．解：(1)取Σ为平面x +y +z =0被Γ所围成部分的上侧，Σ的面积为πa 2（大圆面积），Σ的单位法向量为{}cos ,cos ,cos n αβγ==．由斯托克斯公式22d d d cos cos cos d d πy x z y x zR Q Q P P R s y z x y z x ss a a Γ∑∑∑αβγ++⎡∂∂∂∂⎤⎛⎫⎛⎫∂∂⎛⎫--=++- ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (2)记为Σ为平面32x y z ++=被Γ所围成部分的上侧，可求得Σ（是一个边长为2的正六边形）； Σ的单位法向量为{}cos ,cos ,cos αβγ==n ．由斯托克斯公式()()()(((()222222d d d2222d22d3d232492x y zy z x yz xy z x y sz xsx y zsΓ∑∑∑++---⎡++----=--⎢⎣=++==⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰(3)取Σ：z=2，D xy：x2+y2≤4的上侧，由斯托克斯公式得：()()()2223d d dd d0d d d d3d d35d d5π220π-+=++--+=-+=-=-⨯⨯=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyDy x xz y yz zy z z x x yzz xx yzx yΓ∑∑(4)圆周x2+y2+z2=9，z=0实际就是xOy面上的圆x2+y2=9，z=0，取Σ：z=0，D xy：x2+y2≤9由斯托克斯公式得：()()()222d3d dd d d d d d000032d dd dπ39π+-=++---===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyDy x x y z zy z z x x yx yx yΓ∑∑8．设均匀薄片（面密度为常数1）所占闭区域D如下，求指定的转动惯量：(1)D:22221x ya b+≤，求I y;(2)D由抛物线292y x=与直线x=2所围成，求I x和I y；(3)D为矩形闭区域：0≤x≤a, 0≤y≤b,求I x和I y.解：（1）令x=arcosθ ,y=br sinθ,则在此变换下D ：22221x y a b+≤变化为D '：r ≤1,即 0≤r ≤1, 0≤θ≤2π, 且(,)(,)x y abr r θ∂=∂, 所以2π12222323032π30d d cos d d cos d d 1(1cos 2)d π.84y DD I x x y a r abr r a b r ra b a b θθθθθθ'====+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 闭区域D 如图10-35所示图10-353222220005222220272d d 2d d d ;3596d d 2d d .7x Dy DI y x y x y y x x I x x y x x y x x ========⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)32220d d d d d ,3a bbx Dab I y x y x y y a y y ====⎰⎰⎰⎰⎰322200d d d d d .3abay Da bI x x y x x y bx x ====⎰⎰⎰⎰⎰9．求锥面z被柱面z 2 = 2x 所割下部分的曲面面积。

电大高等数学基础考试答案完整版

电大高等数学基础考试答案完整版高等数学基础复一、单项选择题1.下列各函数中，（C）中的两个函数相等。

A。

f(x) = x^2.g(x) = xB。

f(x) = x^2.g(x) = x^2C。

f(x) = ln(x^3)。

g(x) = 3ln(x)D。

f(x) = x+1.g(x) = (x-1)/(x-1)2.设函数f(x)的定义域为(-∞,+∞)，则函数f(x)+f(-x)的图形关于（C）对称。

A。

坐标原点B。

x轴C。

y轴D。

y=x3.下列函数中为奇函数是（B）。

A。

y=ln(1+x^2)B。

y=xcosxC。

y=ax+a^-xD。

y=ln(1+x)4.下列函数中为偶函数的是（D）。

A。

y=(1+x)sinxB。

y=x^2C。

y=xcosxD。

y=ln(1+x^2)^(2-1)5.下列极限计算不正确的是（D）。

A。

lim(x^2/(x^2+2))=1B。

lim(ln(1+x))=xC。

lim(sin(x)/x)=1D。

lim(xsin(x))=1 (应为无穷大)6.当x→0时，变量（C）是无穷小量。

A。

sinx/xB。

1/xC。

xsin(1/x)D。

ln(x+2)7.下列变量中，是无穷小量的为（B）。

A。

sin(1/x) (x→0)B。

ln(x+1) (x→0)C。

e^x (x→∞)D。

(x-2)/(x^2-4) (x→2)二、XXX答题1.求函数f(x)=x^3-3x的单调区间和极值。

答：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，得x=±1，f''(x)=6x，f''(1)>0，故x=1是极小值点，f(1)=-2；f''(-1)0，故f(x)在(-1,1)单调递增；当x>1时，f'(x)>0，故f(x)在(1,+∞)单调递增。

2.求函数f(x)=x^3-3x的图像的拐点和凹凸性。

答：f''(x)=6x，令f''(x)=0，得x=0，f'''(x)=6，故x=0是拐点；当x0时，f''(x)>0，故f(x)在(0,+∞)上是上凸的。

电大高等数学基础期末考试复习试题及答案完整版

电大高等数学基础期末考试复习试题及答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】高等数学（1）学习辅导(一)第一章函数⒈理解函数的概念；掌握函数)(x f y =中符号f ( )的含义；了解函数的两要素；会求函数的定义域及函数值；会判断两个函数是否相等。

两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同。

⒉了解函数的主要性质，即单调性、奇偶性、有界性和周期性。

若对任意x ，有)()(x f x f =-，则)(x f 称为偶函数，偶函数的图形关于y 轴对称。

若对任意x ，有)()(x f x f -=-，则)(x f 称为奇函数，奇函数的图形关于原点对称。

掌握奇偶函数的判别方法。

掌握单调函数、有界函数及周期函数的图形特点。

⒊熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。

基本初等函数是指以下几种类型： ① 常数函数：c y = ② 幂函数：)(为实数ααx y = ③ 指数函数：)1,0(≠>=a a a y x ④ 对数函数：)1,0(log ≠>=a a x y a ⑤ 三角函数：x x x x cot ,tan ,cos ,sin ⑥ 反三角函数：x x x arctan ,arccos ,arcsin⒋了解复合函数、初等函数的概念，会把一个复合函数分解成较简单的函数。

如函数可以分解u y e =，2v u =，w v arctan =，x w +=1。

分解后的函数前三个都是基本初等函数，而第四个函数是常数函数和幂函数的和。

⒌会列简单的应用问题的函数关系式。

例题选解一、填空题⒈设)0(1)1(2>++=x x x x f ，则f x ()= 。

解：设x t 1=，则t x 1=，得故xx x f 211)(++=。

⒉函数x x x f -+-=5)2ln(1)(的定义域是。

解：对函数的第一项，要求02>-x 且0)2ln(≠-x ，即2>x 且3≠x ；对函数的第二项，要求05≥-x ，即5≤x 。

2019年电大工程数学(本科)期末考试试题及答案

电大工程数学(本科)期末考试试题及答案一、单项选择题1．设B A ,都是n 阶方阵，则下列命题正确的是(AB A B= )． 2．设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是( ()BAAB 11=- )． 3. 设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（B A B A '+'='+)( ）．4．设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（ BAAB = ）．5．设A ，B 是两事件，则下列等式中（ )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 互不相容）是不正确的． 6．设A 是n m ⨯矩阵，B 是t s ⨯矩阵，且B C A '有意义，则C 是( n s ⨯ )矩阵． 7．设是矩阵，B 是矩阵，则下列运算中有意义的是（）8．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111A 的特征值为0，2，则3A 的特征值为 ( 0，6 ) ． 9. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211102113A ，则A 的对应于特征值2=λ的一个特征向量α=( ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011 ) ． 10．设是来自正态总体的样本，则（321535151x x x ++ ）是μ无偏估计．11．设n x x x ,,,21 是来自正态总体)1,5(N 的样本，则检验假设5:0=μH 采用统计量U =（nx /15-）．12．设2321321321=c c c b b b a a a ，则=---321332211321333c c c b a b a b a a a a （2-）． 13．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡2.04.03.01.03210~X ，则=<)2(X P （0.4 ）． 14．设n x x x ,,,21 是来自正态总体22,)(,(σμσμN 均未知）的样本，则（ 1x ）是统计量． 15．若是对称矩阵，则等式（A A ='）成立． 16．若（）成立，则元线性方程组AX O =有唯一解．17. 若条件（ ∅=AB 且A B U += ）成立，则随机事件，互为对立事件． 18．若随机变量X 与Y 相互独立，则方差)32(Y X D -=（ )(9)(4Y D X D + ）．19若X 1、X 2是线性方程组AX =B 的解而21ηη、是方程组AX = O 的解则（213231X X +）是AX =B 的解．20．若随机变量)1,0(~N X ，则随机变量~23-=X Y （ )3,2(2-N ）． 21．若事件与互斥，则下列等式中正确的是（）．22. 若0351021011=---x ，则=x （3 ）．30. 若)4,2(~N X ，（22-X ），则． 23. 若满足（)()()(B P A P AB P = ），则与是相互独立．24. 若随机变量X 的期望和方差分别为)(X E 和)(X D 则等式（22)]([)()(X E X E X D -= ）成立．25. 若线性方程组只有零解，则线性方程组（可能无解）．26. 若元线性方程组有非零解，则（）成立．27. 若随机事件,满足，则结论（与互不相容）成立．28. 若⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4321432143214321A ，则秩=)(A （1 ）．29. 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5321A ，则=*A （ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1325 ）．30．向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡732,320,011,001的秩是（ 3 ）．31．向量组的秩是（4）．32. 向量组]532[,]211[,]422[,]321[4321'='='='=αααα的一个极大无关组可取为（21,αα）．33. 向量组[][][]1,2,1,5,3,2,2,0,1321==-=ααα，则=-+32132ααα（[]2,3,1--）．34．对给定的正态总体),(2σμN 的一个样本),,,(21n x x x ，2σ未知，求μ的置信区间，选用的样本函数服从（t 分布）． 35．对来自正态总体（未知）的一个样本，记∑==3131i i X X ，则下列各式中（∑=-312)(31i i X μ ）不是统计量．)3,2,1(=i ．36. 对于随机事件，下列运算公式（)()()()(AB P B P A P B A P -+=+）成立．37. 下列事件运算关系正确的是（ A B BA B += ）．38．下列命题中不正确的是（ A 的特征向量的线性组合仍为A 的特征向量）．39. 下列数组中，（1631614121）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布．40. 已知2维向量组4321,,,αααα，则),,,(4321ααααr 至多是（ 2）．41. 已知⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21101210,20101B a A ，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1311AB ，则=a （ 1- ）． 42. 已知)2,2(~2N X ，若)1,0(~N b aX +，那么（1,21-==b a ）．43. 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-331232121a x xa x x a x x 相容的充分必要条件是( 0321=-+a a a )，其中0≠i a ，44. 线性方程组⎩⎨⎧=+=+013221x x x x 解的情况是（有无穷多解）．45. n 元线性方程组有解的充分必要条件是（)()(b A r A r = ）46．袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（259） 47. 随机变量)21,3(~B X ，则=≤)2(X P （87）．48．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-15473（ 7543-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦）二、填空题1．设B A ,均为3阶方阵，6,3A B =-=，则13()A B -'-= 8．2．设B A ,均为3阶方阵，2,3A B ==，则13A B -'-= -18 ． 3. 设B A ,均为3阶矩阵，且3==B A ，则=--12AB —8 ． 4. 设B A ,是3阶矩阵，其中2,3==B A ，则='-12B A 12 ． 5．设互不相容，且，则0 ．6. 设B A ,均为n 阶可逆矩阵，逆矩阵分别为11,--B A ，则='--11)(A B B A )(1'-．7. 设A ，B 为两个事件，若)()()(B P A P AB P =，则称A 与B 相互独立．8．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量X ，使得AX X λ=，则称λ为A 的特征值． 9．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量X ，使得AX X λ=，则称X 为A 相应于特征值λ的特征向量． 10. 设是三个事件，那么A 发生，但C B ,至少有一个不发生的事件表示为)(C B A +. 11. 设A 为43⨯矩阵，B 为25⨯矩阵，当C 为（42⨯ ）矩阵时，乘积B C A ''有意义．12. 设D C B A ,,,均为n 阶矩阵，其中C B ,可逆，则矩阵方程D BXC A =+的解=X 11)(---C A D B ．13．设随机变量012~0.20.5X a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a14．设随机变量X ~ B （n ，p ），则E （X 15. 设随机变量)15.0,100(~B X ，则=)(X E 15 ．16．设随机变量的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+=其它,010,1)(2x x kx f ，则常数k = π4 ．17. 设随机变量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-25.03.0101~a X ，则45.0 ． 18. 设随机变量⎥⎦⎤⎢⎣⎡5.02.03.0210~X ，则=≠)1(X P 8.0． 19. 设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤≤=其它0103)(2x x x f ，则=<)21(X P 81．20. 设随机变量的期望存在，则0． 21. 设随机变量，若5)(,2)(2==X E X D ，则=)(X E 3．22．设为随机变量，已知3)(=X D ，此时27 ．23．设θˆ是未知参数θ的一个估计，且满足θθ=)ˆ(E ，则θˆ称为θ的无偏估计． 24．设θˆ是未知参数θ的一个无偏估计量，则有ˆ()E θθ=． 25．设三阶矩阵A 的行列式21=A ，则1-A = 2 ． 26．设向量β可由向量组n ααα,,,21 线性表示，则表示方法唯一的充分必要条件是n ααα,,,21线性无关． 27．设4元线性方程组AX =B 有解且r （A ）=1，那么AX =B 的相应齐次方程组的基础解系含有 3 个解向量．28. 设1021,,,x x x 是来自正态总体)4,(μN 的一个样本，则~101101∑=i i x )104,(μN ．29. 设n x x x ,,,21 是来自正态总体的一个样本，∑==ni i x n x 11，则=)(x D n2σ30．设412211211)(22+-=x x x f ，则0)(=x f 的根是 2,2,1,1-- ． 31．设22112112214A x x =-+，则0A =的根是 1，-1，2，-2 ． 32.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=070040111A ，则_________________)(=A r ．2 33．若5.0)(,8.0)(==B A P A P ，则=)(AB P 0.3 ．34．若样本n x x x ,,,21 来自总体)1,0(~N X ，且∑==ni i x n x 11，则~x )1,0(nN35．若向量组：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2121α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1302α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2003k α，能构成R 3一个基，则数k 2≠ ． 36．若随机变量X ~ ]2,0[U ，则=)(X D 31．37. 若线性方程组的增广矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=41221λA ，则当λ＝（ 21）时线性方程组有无穷多解． 38. 若元线性方程组0=AX 满足，则该线性方程组有非零解． 39. 若5.0)(,1.0)(,9.0)(===+B A P B A P B A P ，则=)(AB P 0.3 ．40. 若参数θ的两个无偏估计量1ˆθ和2ˆθ满足)ˆ()ˆ(21θθD D >，则称2ˆθ比1ˆθ更有效． 41．若事件A ，B 满足B A ⊃，则 P （A - B ）= )()(B P A P - ． 42. 若方阵满足A A '=，则是对称矩阵．43．如果随机变量的期望2)(=X E ，9)(2=X E ，那么=)2(X D 20 ． 44．如果随机变量的期望2)(=X E ，9)(2=X E ，那么=)2(X D 20 ． 45. 向量组),0,1(),1,1,0(),0,1,1(321k ===ααα线性相关，则k=1- 46. 向量组的极大线性无关组是（）．47．不含未知参数的样本函数称为统计量． 48．含有零向量的向量组一定是线性相关的．49. 已知2.0)(,8.0)(==AB P A P ，则=-)(B A P 0.6 ．50. 已知随机变量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5.01.01.03.05201~X ，那么=)(X E 2.4 ． 51. 已知随机变量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5.05.05.05.05201~X ，那么=)(X E 3． 52．行列式701215683的元素21a 的代数余子式21A 的值为= -56 ．53. 掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为4”的概率是（ 121）. 54. 在对单正态总体的假设检验问题中，T 检验法解决的问题是（未知方差，检验均值）．55. 1111111---x x 是关于x 的一个多项式，该式中一次项x 系数是 2 ．56. =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12514⎥⎦⎤⎢⎣⎡--451231． 57. 线性方程组b AX =中的一般解的自由元的个数是2，其中A 是54⨯矩阵，则方程组增广矩阵)(b A r = 3 ．58. 齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵经初等行变换化为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→→000020103211 A59. 当λ= 1 时，方程组⎩⎨⎧-=--=+112121x x x x λ有无穷多解．1．设矩阵，且有，求X ．解：利用初等行变换得即由矩阵乘法和转置运算得2．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=500050002,322121011B A ，求B A 1-．解：利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--102340011110001011100322010121001011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→14610013501000111146100011110001011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→146100135010134001 即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-1461351341A 由矩阵乘法得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-520125151051585000500021461351341B A 3．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=210211321,100110132B A ，求：（1）AB ；（2）1-A ．解：（1）因为2100110132-=--=A 12111210211110210211321-=-===B 所以 2==B A AB ．（2）因为 []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100100010110001132I A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→10010011001012/32/1001100100110010101032 所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-10011012/32/11A ． 4．设矩阵100111101A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求1()AA -'．解：由矩阵乘法和转置运算得100111111111010132101011122AA --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 利用初等行变换得100201001112011101⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦100201011101001112⎡⎤⎢⎥→---⎢⎥⎢⎥⎣⎦即 1201()011112AA -⎡⎤⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥⎣⎦5．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=423532211A ，求（1）A ，（2）1-A ．解：（1）1100110211210110211423532211=---=---=---=A（2）利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---103210012110001211100423010532001211即6．已知矩阵方程B AX X +=，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=301111010A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=350211B ，求X ．解：因为B X A I =-)(，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-101210011110001011100201010101001011)(I A I ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→11010012101012000111010011110010101即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=--110121120)(1A I 所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-=-334231350211110121120)(1B A I X ．7．已知B AX =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=108532,1085753321B A ，求X ．解：利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1055200132100013211001085010753001321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→12110025*********1121100013210001321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→121100255010146001 即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-1212551461A 由矩阵乘法运算得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----==-12823151381085321212551461B A X8．求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++--=+-+-=-+-2284212342272134321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------0462003210010101113122842123412127211131⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→0000002200010101113106600022000101011131 方程组的一般解为：（其中为自由未知量）令=0，得到方程的一个特解)0001(0'=X .方程组相应的齐方程的一般解为： ⎪⎩⎪⎨⎧-===4342415xx x x x x （其中为自由未知量）令=1，得到方程的一个基础解系)1115(1'-=X .于是，方程组的全部解为：10kX X X +=（其中k 为任意常数）9．求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++--=++++=++++0233035962023353215432154321x x x x x x x x x x x x x x 的通解．解： A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--326001130012331203313596212331 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→100001130012331⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→100000130001031 一般解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=0313543421x x x x x x ，其中x 2，x 4 是自由元令x 2 = 1，x 4 = 0，得X 1 =)0,0,0,1,3('-； x 2 = 0，x 4 = 3，得X 2 =)0,3,1,0,3('--所以原方程组的一个基础解系为 { X 1，X 2 }．原方程组的通解为： 2211X k X k +，其中k 1，k 2 是任意常数．10．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-0830352023321321321x x x x x x x x x λ，λ为何值时方程组有非零解？在有非零解时，求出通解．解：因为A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---λ83352231⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→610110231λ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→500110101λ 505==-λλ即当时，3)(<A r ，所以方程组有非零解．方程组的一般解为： ⎩⎨⎧==3231x x x x ，其中3x 为自由元．令3x =1得X 1=)1,1,1('，则方程组的基础解系为{X 1}．通解为k 1X 1，其中k 1为任意常数．27．罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子．若从中任取3颗，求：（1）取到3颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（2）取到3颗棋子颜色相同的概率．解：设1A =“取到3颗棋子中至少有一颗黑子”，2A =“取到的都是白子”，3A =“取到的都是黑子”，B =“取到3颗棋子颜色相同”，则（1）)(1)(1)(211A P A P A P -=-=745.0255.01131238=-=-=C C ．（2）)()()()(3232A P A P A A P B P +=+==273.0018.0255.0255.031234=+=+C C ．11．求下列线性方程组的通解．123412341234245353652548151115x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩ 解利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，即245353652548151115-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭→245351201000555-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭→120100055500555--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭→120100011100000--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭方程组的一般解为：1243421x x x x x =+⎧⎨=-+⎩，其中2x ，4x 是自由未知量．令042==x x ，得方程组的一个特解0(0010)X '=，，，．方程组的导出组的一般解为：124342x x x x x =+⎧⎨=-⎩，其中2x ，4x 是自由未知量．令12=x ，04=x ，得导出组的解向量1(2100)X '=，，，；令02=x ，14=x ，得导出组的解向量2(1011)X '=-，，，．所以方程组的通解为：22110X k X k X X ++=12(0010)(2100)(1011)k k '''=++-，，，，，，，，，，其中1k ，2k 是任意实数．12. 当取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=++-=++-=+-2532342243214321421λx x x x x x x x x x x 有解，在有解的情况下求方程组的全部解．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形由此可知当时，方程组无解。

2019年电大经济数学基础12期末考试题库及答案

2019年电大经济数学基础12期末考试题库及答案一、单项选择题1．下列函数中为偶函数的是（）．(A) sin y x x = (B) 2y x x =+(C) 22x x y -=- (D) cos y x x =正确答案：A2．下列函数中为奇函数的是（）．(A) sin y x x = (B) 1ln 1x y x -=+ (C) e e x x y -=+ (D) 2y x x =-正确答案：B3．下列各函数对中，（）中的两个函数相等．A.2(),()f x g x x ==B. 21(),()11x f x g x x x -==+- C. 2()ln ,()2ln f x x g x x ==D. 22()sin cos ,()1f x x x g x =+= 正确答案：D4．下列结论中正确的是（）．(A) 周期函数都是有界函数(B) 基本初等函数都是单调函数(C) 奇函数的图形关于坐标原点对称(D) 偶函数的图形关于坐标原点对称正确答案：C5．下列极限存在的是（）．A ．22lim 1x x x →∞- B ．01lim 21x x →- C ．lim sin x x →∞ D ．10lim e x x → 正确答案：A6．已知()1sin x f x x=-，当（）时，)(x f 为无穷小量． A. 0x → B. 1x → C. x →-∞ D. x →+∞ 正确答案：A7．当x →+∞时，下列变量为无穷小量的是（）A ．ln(1)x +B ．21x x +C ．1e x - D ．x x sin 正确答案： D8．函数0(),0x f x k x ≠=⎪=⎩ 在x = 0处连续，则k = ( )．A ．-2B ．-1C ．1D ．2正确答案：B9.曲线sin y x =在点)0,π(处的切线斜率是（）．(A) 1 (B) 2 (C) 21(D) 1-正确答案：D10．曲线y =0, 1）处的切线斜率为（）。

电大2332《高等数学基础》开放大学期末考试试题2019年7月(含答案)

hm
11.
解：
sm6x lim .
=lim
x
6 6x
6 工-o 6x
6
=lim -•
=—.
. =—
工 -o sm5x
工 -o sin5x X
工 -o 5
sin5x
5x
5 r咒~s5mx5x
5
12. 解：由微分运算法则和微分基本公式得
dy =d(e'in.r +x3) =d(esin.r) +d(x3)
（供参考）
一、单项选择题（每小题 4 分，共 20 分）
2019 年 7 月
1. D
2. B
3. B
4. A
5. A
二、填空题（每小题 4 分，本题共 20 分）
6. —3
7.e
1_2
8.
9. (0, 十=)
10. sinx + c
三、计算题（每小题 11 分，共 44 分）
sin6x
sin6x
sin6x
= - f sin~d~= cos~+ c
... ···11 分
14. 解：由分部积分法得
『 lnxdx =xlnx• -『 xdClnx)
I
I
I
e
=e-f dx=l
I
四、应用题 (16 分）
..... ·11 分
15. 解：设底边的边长为 x, 高为 h' 用材料为 y, 由已知 .r2h=62.5,h= 62. 5
I ~了 dx = arcsinx + c
f 1) x 2 dx = arctanx + c
690
提醒：电大资源网已将该科目2010年到2020年1月的期末试题

2019年的电大高等数学基础期末真题考试试题及答案

2019年电大高等数学基础期末考试试题及答案一、单项选择题1-1下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)(C.3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g1-⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称．A. 坐标原点B. x 轴C. y 轴D. x y =设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f --的图形关于（D ）对称．A. x y =B. x 轴C. y 轴D. 坐标原点.函数2e e xx y -=-的图形关于（ A ）对称．(A) 坐标原点 (B) x 轴 (C) y 轴 (D) x y =1-⒊下列函数中为奇函数是（ B ）．A. )1ln(2x y += B. x x y cos = C. 2xx a a y -+= D. )1ln(x y +=下列函数中为奇函数是（A ）．A. x x y -=3B. x x e e y -+=C. )1ln(+=x yD. x x y sin = 下列函数中为偶函数的是（ D ）．A x x y sin )1(+=B x x y 2=C x x y cos =D )1ln(2x y +=2-1 下列极限存计算不正确的是（ D ）．A. 12lim22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim=∞→x x x D. 01sin lim =∞→xx x 2-2当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．A. x x sinB. x1C. x x 1sinD. 2)ln(+x当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．A x 1 B x xsin C 1e -x D 2xx.当0→x 时，变量（D ）是无穷小量．A x 1B xx sin C x 2 D )1ln(+x下列变量中，是无穷小量的为（ B ）A ()1sin 0x x →B ()()ln 10x x +→C ()1x e x →∞ D.()2224x x x -→-3-1设)(x f 在点x=1处可导，则=--→hf h f h )1()21(lim（ D ）．A. )1(f 'B. )1(f '-)1(' D. )1(2f '-设)(x f 在0x 可导，则=--→hx f h x f h )()2(lim000（ D ）． A )(0x f ' B )(20x f ' C )(0x f '- D )(20x f '-设)(x f 在0x 可导，则=--→hx f h x f h 2)()2(lim000（ D ）．A. )(20x f '-B. )(0x f 'C. )(20x f 'D. )(0x f '-设x x f e )(=，则=∆-∆+→∆x f x f x )1()1(lim 0（ A ） A e B. e 2 C. e 21 D. e 413-2. 下列等式不成立的是（D ）．A.x x de dx e = B )(cos sin x d xdx =- C.x d dx x=21D.)1(ln x d xdx =下列等式中正确的是（B ）．A.xdx x d arctan )11(2=+ B. 2)1(xdxx d -= C.dx d x x 2)2ln 2(= D.xdx x d cot )(tan =4-1函数14)(2-+=x x x f 的单调增加区间是（ D ）．A. )2,(-∞B. )1,1(-C. ),2(∞+D. ),2(∞+- 函数542-+=x x y 在区间)6,6(-内满足（A ）．A. 先单调下降再单调上升B. 单调下降C. 先单调上升再单调下降D. 单调上升.函数62--=x x y 在区间（－5，5）内满足（ A ）A 先单调下降再单调上升B 单调下降C 先单调上升再单调下降D 单调上升. 函数622+-=x x y 在区间)5,2(内满足（D ）．A. 先单调下降再单调上升B. 单调下降C. 先单调上升再单调下降D. 单调上升5-1若)(x f 的一个原函数是x 1，则=')(x f （D ）． A. x ln B. 21x - C. x 1 D. 32x.若)(x F 是 )(x f 的一个原函数，则下列等式成立的是（ A ）。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2019年电大高等数学基础期末考试试题及答案一、单项选择题1-1下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)(C.3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g1-⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称．A. 坐标原点B. x 轴C. y 轴D. x y =设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f --的图形关于（D ）对称．A. x y =B. x 轴C. y 轴D. 坐标原点.函数2e e xx y -=-的图形关于（ A ）对称．(A) 坐标原点 (B) x 轴 (C) y 轴 (D) x y =1-⒊下列函数中为奇函数是（ B ）．A. )1ln(2x y += B. x x y cos = C. 2xx a a y -+= D. )1ln(x y +=下列函数中为奇函数是（A ）．A. x x y -=3B. x x e e y -+=C. )1ln(+=x yD. x x y sin = 下列函数中为偶函数的是（ D ）．A x x y sin )1(+=B x x y 2=C x x y cos =D )1ln(2x y +=2-1 下列极限存计算不正确的是（ D ）．A. 12lim22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01sin lim =∞→x x x 2-2当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．A. xxsin B. x 1 C. x x 1sin D. 2)ln(+x当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．A x 1 B x xsin C 1e -x D 2xx.当0→x 时，变量（D ）是无穷小量．A x 1B xx sin C x 2 D )1ln(+x下列变量中，是无穷小量的为（ B ）A ()1sin 0x x →B ()()ln 10x x +→C ()1x e x →∞ D.()2224x x x -→-3-1设)(x f 在点x=1处可导，则=--→hf h f h )1()21(lim（ D ）．A. )1(f 'B. )1(f '-C. )1(2f 'D. )1(2f '-设)(x f 在0x 可导，则=--→hx f h x f h )()2(lim000（ D ）．A )(0x f 'B )(20x f 'C )(0x f '-D )(20x f '-设)(x f 在0x 可导，则=--→hx f h x f h 2)()2(lim000（ D ）．A. )(20x f '-B. )(0x f 'C. )(20x f 'D. )(0x f '-设x x f e )(=，则=∆-∆+→∆x f x f x )1()1(lim 0（ A ） A e B. e 2 C. e 21 D. e 413-2. 下列等式不成立的是（D ）．A.x x de dx e = B )(cos sin x d xdx =- C.x d dx x=21D.)1(ln x d xdx =下列等式中正确的是（B ）．A.xdx x d arctan )11(2=+ B. 2)1(xdxx d -= C.dx d x x 2)2ln 2(= D.xdx x d cot )(tan =4-1函数14)(2-+=x x x f 的单调增加区间是（ D ）．A. )2,(-∞B. )1,1(-C. ),2(∞+D. ),2(∞+- 函数542-+=x x y 在区间)6,6(-内满足（A ）．A. 先单调下降再单调上升B. 单调下降C. 先单调上升再单调下降D. 单调上升.函数62--=x x y 在区间（－5，5）内满足（ A ）A 先单调下降再单调上升B 单调下降C 先单调上升再单调下降D 单调上升. 函数622+-=x x y 在区间)5,2(内满足（D ）．A. 先单调下降再单调上升B. 单调下降C. 先单调上升再单调下降D. 单调上升5-1若)(x f 的一个原函数是x 1，则=')(x f （D ）． A. x ln B. 21x - C. x 1 D. 32x.若)(x F 是 )(x f 的一个原函数，则下列等式成立的是（ A ）。

A )()()(a F x F dx x f xa-=⎰ B)()()(a f b f dx x F ba-=⎰C )()(x F x f ='D )()()(a F b F dx x f ba-='⎰5-2若x x f cos )(=，则='⎰x x f d )(（ B ）．A. c x +sinB. c x +cosC. c x +-sinD. c x +-cos下列等式成立的是（D ）．A. )(d )(x f x x f ='⎰B. )()(d x f x f =⎰C. )(d )(d x f x x f =⎰D.)(d )(d dx f x x f x =⎰=⎰x x f x x d )(d d 32（ B ）． A. )(3x f B. )(32x f x C. )(31x f D. )(313x f =⎰x x xf x d )(d d 2（ D ） A )(2x xf B x x f d )(21 C )(21x f D x x xf d )(2 ⒌-3若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=x x f xd )(1（ B ）． A. c x F +)( B. c x F +)(2 C. c x F +)2( D. c x F x+)(1补充： ⎰=--x e f e x x d )( c e F x +--)(, 无穷积分收敛的是 dx x⎰+∞121函数x x x f -+=1010)(的图形关于 y 轴对称。

二、填空题 ⒈函数)1ln(39)(2x x x x f ++--=的定义域是（3，+∞）．函数x x xy -+-=4)2ln(的定义域是（2，3） ∪ （3，4 ]函数xx x f --+=21)5ln()(的定义域是（－5，2）若函数⎩⎨⎧>≤+=0,20,1)(2x x x x f x ，则=)0(f 1 ．2若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=0,0,)1()(1x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ． .函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=002sin )(x kx xxx f 在0=x 处连续，则=k 2 函数⎩⎨⎧≤>+=0,sin 0,1x x x x y 的间断点是 x=0 ．函数3322---=x x x y 的间断点是 x=3 。

函数xe y -=11的间断点是 x=03-⒈曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是 1/2 ．曲线2)(+=x x f 在)2,2(处的切线斜率是 1/4 ．曲线1)(+=x e x f 在（0，2）处的切线斜率是 1 ． .曲线1)(3+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是 3 ．3-2 曲线x x f sin )(=在)1,2π(处的切线方程是 y = 1 ．切线斜率是 0 曲线y = sinx 在点 (0,0)处的切线方程为 y = x 切线斜率是 1 4.函数)1ln(2x y +=的单调减少区间是（－∞，0 ）．函数2e )(x xf =的单调增加区间是（0，+∞）． .函数1)1(2++=x y 的单调减少区间是（－∞，－1 ）．.函数1)(2+=x x f 的单调增加区间是（0，+∞）．函数2x e y -=的单调减少区间是（0，+∞）．5-1=⎰-x x d e d 2 dx e x 2- ． .=⎰x x dxdd sin 2 2sin x ． ='⎰x x d )(tan tan x +C ．若⎰+=c x x x f 3sin d )(，则=')(x f －9 sin 3x．5-2 ⎰-=+335d )21(sin x x 3 ． =+⎰-11231dx x x 0 ． =+⎰edx x dx d 1)1ln( 0 下列积分计算正确的是（ B ）． A 0d )(11=+⎰--x e e x x B 0d )(11=-⎰--x e e x x C 0d 112=⎰-x x D 0d ||11=⎰-x x 三、计算题（一）、计算极限（1小题，11分）（1）利用极限的四则运算法则，主要是因式分解，消去零因子。

（2）利用连续函数性质：)(0x f 有定义，则极限)()(lim 0x f x f x x =→类型1：利用重要极限计算 1-1求x x x 5sin 6sin lim 0→．解： 565sin lim 5sin 6sin lim 00=⋅=→→xx x x x x x 1-2 求 0tan lim3x x x → 解： =→x x x 3tan lim 031131tan lim 310=⨯=→x x x 1-3 求x x x 3tan lim 0→ 解：x x 3tan lim 0→=3313.3tan lim 0=⨯=→xx 类型2：因式分解并利用重要极限化简计算。

2-1求)1sin(1lim 21+--→x x x ．解： )1sin(1lim 1+--→x x x =2)11(1)1.()1sin()1(lim 1-=--⨯=-++-→x x x x 2-2()21sin 1lim 1x x x →-- 解： 211111)1(1.)1()1sin(lim 1)1sin(lim 121=+⨯=+--=--→→x x x x x x x 2-3)3sin(34lim 23-+-→x x x x 解： 2)1(lim )3sin()1)(3(lim )3sin(34lim3323=-=---=-+-→→→x x x x x x x x x x 类型3：因式分解并消去零因子，再计算极限3-1 4586lim 224+-+-→x x x x x 解： 4586lim 224+-+-→x x x x x ==----→)1)(4()2)(4(lim 4x x x x x 3212lim 4=--→x x x 3-2 2236lim 12x x x x x →-+--- ()()()()2233332625lim lim lim 123447x x x x x x x x x x x x x →-→-→-+-+--===--+-- 3-3 423lim 222-+-→x x x x 解 4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x 其他： 0sin 21lim sin 11lim 2020==-+→→x xx x x x ， 221sin lim 11sin lim00==-+→→xx x x x =--++∞→5456lim 22x x x x x 1lim 22=∞→x x x ， =--+∞→54362lim 22x x x x x 3232lim 22=∞→x x x （0807考题）计算x x x 4sin 8tan lim 0→．解： x xx 4sin 8tan lim0→=248.4sin 8tan lim 0==→xx x xx （0801考题. ）计算x x x 2sin lim→．解 =→x x x 2sin lim 021sin lim 210=→x x x （0707考题.）)1sin(32lim 21+---→x x x x =4)31(1)1sin()3).(1(lim 1-=--⨯=+-+-→x x x x （二）求函数的导数和微分（1小题，11分）（1）利用导数的四则运算法则 v u v u '±'='±)( v u v u uv '+'=')( （2）利用导数基本公式和复合函数求导公式x x 1)(ln =' 1)(-='a a ax x x xe e =')( u e e u u '='.)(xx x x x x 22sec )(tan sin )(cos cos )(sin '='-='='类型1 1-1 y 解：y '＝()332233x x x e x e '⎛⎫⎛⎫'+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1322332x x x e x e ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1322332x x x e ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1-2 x x x y ln cot 2+=解：x x x x x x x x x x x x y ++-='+'+-='+'='ln 2csc )(ln ln )(csc )ln ()(cot 22222 1-3 设x x e y x ln tan -=，求y '．解： x ex e x e x e x x e y x x x x x 1sec tan 1)(tan tan )()(ln )tan (2-+=-'+'='-'=' 类型22-1 x x y ln sin 2+=，求y ' 解：xx x x x y cos 2)(ln )(sin 22+='+'=' 2-2 2sin e cos x y x -=，求'y解：2222cos 2e sin e ).(cos ).(sin )(sin )(cos x x x x e e x e y x x x x x --='-'-='-'=' 2-3 x e x y 55ln -+=，求'y ，解：x x x e x y 5455e 5ln 5).()(ln ---='+'=' 类型3：x e y x cos 2=，求y ' 。