天津大学数字信号处理-第一章

1.2.2 离散信号的频谱
20
1.2.3 采样定理
奈奎斯特采样定理：要使实信号采样后能够不失 真还原，采样频率必须大于信号最高频率的两倍。 Fs>2fmax 实际工作中，考虑到有噪声，为避免频谱混淆， 采样频率总是选得比两倍信号最高频率 fmax更大 些， 如fs >(3~5)fmax
21
1.2.3 采样定理
x1(n) = cos(0.01πn) x 2(n) = cos(3n) x 3(n) = cos(3πn)
10
1.1.2 序列的运算
（1）序列的相加 z(n)=x(n)+y(n) （2）序列的相乘 f(n)=x(n) y(n) （3）序列的移位 y(n)=x(n-n0) （4）序列的翻褶 对于x(n)，以n=0的纵 轴为对称轴进行翻褶，得到x(-n) (5) 序列的累加 (6) 序列的差分
25
1.2.4 离散信号恢复连续时间信号
实用方法
x(n) D/A 滤波器 x(t)
x(n) D/A输出 x(t)
26
1.2 小结
信号经采样后发生的变化（如频谱的变化） 采样信号的频谱是原模拟信号频谱沿频率轴以Ωs 为周期作周期延拓 信号内容是否丢失（采样序列能否代表原始 信号、如何不失真地还原信号） 要不失真地提取原始信号，采样频率要大于信号 最高频率的两倍
X ( z ) = ∑ x ( n) z
n = n1
n2
−n
Rx − < z < ∞ Rx − < z ≤ ∞
0 < z < Rx + 0 ≤ z < Rx +
X ( z) =
n = −∞
∑ x ( n) z
−n
−n
X ( z) =
n = −∞
∑ x ( n) z
∞
−n
＝ ∑ x(n) z ＋∑ x(n) z
( )
40
1.3 小结
离散时间信号的傅里叶变换DTFT 定义 性质 z变换 定义 性质 z变换与的DTFT的关系
41
1.4 离散时间系统
离散时间系统的定义 系统的线性与时不变性 系统因果性、稳定性 离散时间系统的卷积描述 离散时间系统的差分方程描述
42
1.4 离散时间系统
离散时间系统的定义
离散时间系统在数学上定义为将输入序列x(n)映射成输出 序列y(n)的唯一性变换或运算，也就是将一个序列变换成 另一个序列的系统
jω n
∞
1 x ( n) = 2π
∫π
−
π
X (e )e
jω
dω
30
1.3.1 DTFT
DTFT的理解
X ( e jω ) =
n = −∞
x(n)e − jωn ∑
∞
1 x ( n) = 2π
∫π
−
π
X (e jω )e jωn dω
DTFT是信号在频域的表示。在时域中，x(n)中承 载着信息，而在频域中 X (e jω ) 承载着信息，其含 义是将信号表达为许多复正弦信号 e jωn 的加权平 均和，权值为 X (e jω )
1 xe ( n) = [ x( n) + x( − n)] 2 1 x o ( n) = [ x (n) − x (− n)] 2
x( n) = x (− n)偶对称序列 x( n) = －x( − n)奇对称序列
13
1.1.2 序列的运算
(9) 任意序列的单位脉冲序列表示
x ( n) =
m = −∞
34
1.3.2 z变换
z变换定义
X ( z) =
n = −∞
∑ x ( n) z
∞
−n
jIm[z] Rx0 Rx+ Re[z]
z变换存在条件:绝对可和
n = −∞
∑ x ( n) z
∞
−n
<∞
Z变换的收敛域里不能 包含极点，是一个连续的区域
Rx − < z < Rx +
可小到0 可大到∞
35
1.3.2 z变换
[
] ∑e
∞ n = −∞
jω 0 n
x ( n )e
− jω n
=
n = −∞
∑ x ( n )e
∞
− j ( ω −ω 0 ) n
=X e
[
j (ω −ω 0 )
]
33
1.3.2 z变换
z变换在离散时间系统 的作用，如同拉氏变换在 连续时间系统的作用，它 把描述离散时间系统的差 分方程转变为简单的代数 方程，使其求解大大简化。
1.1.1 几种常用的典型信号
复指数序列：
x(n) = Ae
当
当A＝1
(α + jω0 )n
= Ae (cosω0n + j sinω0n)
αn
α = 0 时x(n)的实部和虚部
α =0
x ( n ) = e jωn = cos( ω n ) + j sin( ω n )
分别是余弦和正弦序列。
说明：复指数序列是正弦序列的组合。是为了方便数学演算而 引入的一种表示方式。从物理意义上来说，复指数序列也可以 看作是正弦信号的采样序列。
c
37
1.3.4 z变换的性质
z变换的性质－时移特性
x(n) ↔ X ( z )
x ( n + n0 ) ↔ z X ( z )
n0
x ( n − 1) ↔ z X ( z )
−1
38
1.3.5 z变换与DTFT的关系
z变换与的DTFT的关系
X ( z) =
n = −∞
∑ x ( n) z
z=e
理想恢复
H(jΩ) T 0 ΩS/2 Ω xa(t) H(jΩ) y(t)=xa(t) g(t) h(t)
实用方法
x(n) D/A 滤波器 x(t)
23
1.2.4 离散信号恢复连续时间信号
理想恢复
H(jΩ) T 0 ΩS/2 Ω xa(t) H(jΩ) y(t)=xa(t) g(t) h(t)
T H ( jΩ ) = 0
序列特性对z变换收敛域的影响
X (z) =
n = n1
∞
∑
n2
x(n) z −n
n1 < 0 , n 2 ≤ 0 n1 < 0 , n 2 > 0 n ≥ 0, n > 0 2 1
n1 < 0 n1 ≥ 0 n2 > 0 n2 ≤ 0
∞ −n n =0
0 ≤ z < ∞ 0 < z < ∞ 0 < z ≤ ∞
jω
∞
−n
z平面r=1的圆，单位圆
X (e ) =
jω
n = −∞
∑ x ( n)e
∞
− jωn
X ( e ) = X ( z ) z = e jω
39
jω
单位圆上的z变换就是序列的傅里叶变换
1.3.6 Parseval定理
Parseval定理
n = −∞
∑
∞
∞
1 x(n) y * (n) = 2π j
2
1.1.1 几种常用的典型信号
单位阶跃序列：
1, u ( n) = 0,
n≥0 n<0
3
1.1.1 几种常用的典型信号
矩形序列：
1, RN ( n ) = 0,
0 ≤ n ≤ N −1 n < 0, n ≥ N
4
1.1.1 几种常用的典型信号
实指数序列： a为实数
0<a<1
x ( n) = a u ( n)
y (n) = T [ x(n)]
一些典型的数字信号处理系统
应用系统 地质勘探 生物医学 机械振动 语音 音乐 视频 上限频率 f max 500Hz 1kHz ２kHz ４kHz ２０kHz ４MHz 采样频率 f s 1-2 kHz ２-４kHz 4-10 kHz 8-16 kHz 40-96 kHz 8-10 MHz
22
1.2.4 离散信号恢复连续时间信号
n
a>1
5
1.1.1 几种常用的典型信号
正弦序列：
x(n) = sin(nω0 )
数字频ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x(n) = sin( nω0 )
xa (t ) = sin(Ωt ) x(n) = sin(nω0 )
模拟 频率
ω0 = ΩTs
Ω ω0 = fs
6
xa (t ) t = nTs = sin(ΩnTs )
Ω < Ω ≥
Ωs Ωs
2 2
x a (t ) =
n = −∞
∑
∞
x ( nT ) •
sin[
π
T
π
T
( t − nT )] ( t − nT )
24
1.2.4 离散信号恢复连续时间信号
理想恢复
x a (t ) =
n = −∞
∑
∞
x ( nT ) •
sin[
π
T
π
T
( t − nT )] ( t − nT )
第一章 离散时间信号与系统
内容提要
1. 离散时间信号 2. 采样 3. 离散时间信号的傅里叶变换（DTFT） 与z变换 4. 离散时间系统 5. 系统的频率响应与系统函数
1
1.1 离散时间信号 1.1.1 几种常用的典型信号
单位脉冲序列：
1, n = 0 δ ( n) = 0, n ≠ 0
8
几种频率的关系
− fs − fs / 2 0 − Ωs − Ωs / 2 0
− 2π
fs / 2
fs
实际频率f
Ωs / 2 Ωs
角频率 Ω = 2πf 数字角频率
−π
0 0
π
0. 5
2π
− 1 − 0.5
1
Ω ω = ΩTs = fs
归一化频率
f = f fs
'
9
序列的周期性
x(n)=x(n+kN) k, N为正整数
7
正弦序列
x(t ) = A sin(Ωt + φ )
模拟频率
x[n] = x(nTs ) = A sin(ΩnTs + φ )
数字频率
Ω = A sin(ωn + φ ) ω = ΩTs = fs x2 (t ) = A sin[(Ω + 2πkf s )t + φ ]
x[n] = A sin(ωn + φ ) = A sin[(ω + 2πk )n + φ ]
π
∫ X ( v )Y * (1 / v*) v
c
−1
dv
若X(z)和Y(z)在单位圆上收敛，可以选择
1 ∑ x ( n ) y *( n ) = 2π n = −∞
∞ 2
v=e
jω
∫π
−
X ( e jω )Y * e jω d ω
∞ *
( )
1 π x(n) = ∑x(n)x (n) = ∫ X (e jω ) X * e jω dω ∑ 2π −π n=−∞ n=−∞ 1 π = | X ( e jω ) | 2 d ω 2π ∫−π
− j 2ω
∞
32
1.3.1 DTFT
DTFT的性质－周期性
X ( e jω ) =
n = −∞
x ( n ) e − jω n = ∑
∞
n = −∞
x(n)e − j (ω + 2πk ) n = X (e j (ω + 2πk ) ) ∑
∞
DTFT 主要性质见 教材17页 表1.2 jω 0 n DTFT e x( n) = 证明性质5
∑ x(m)δ (n − m)
∞
14
1.2 采样
研究内容： 信号经采样后发生的变化（如频谱的变化） 信号内容是否丢失（采样序列能否代表原始 信号、如何不失真地还原信号） 由离散信号恢复连续信号的条件
15
数字信号的获取
有时会省去 •预处理+A/D (如：股市分析) •D/A+平滑滤波 (如：希望得到 数字输出的场 合，液晶、LED)
n = −∞
－1
Rx − < Rx + Rx − < z < Rx + Rx − > Rx + 无收敛域 36
1.3.3 逆z变换
逆z变换定义
1 x(n) = 2π j
∫
c
X ( z ) z n −1 dz
0
jIm[z] RxRx+ Re[z]
c ∈ ( R x− , R x+ )
• 长除法 • 留数法 • 部分分式法
16
1.2.1 采样过程
去A/D变换器 xa(t) p(t) 数学模型 xa(t)
A A/D
x[n]
p(t) x[n] xp(t)
17
1.2.1 采样过程
P(t)
T
18
1.2.1 采样过程
ˆ ( jΩ ) = 1 Xa T
m = −∞
∑X
∞
a
( j Ω − jm Ω s )
19
用LabVIEW演示混叠kfs+f
11
1.1.2 序列的运算
(7) 序列的能量
S=
序列的能量 平方可和序列 绝对可和序列 有界序列
n = −∞
∑ x(n)
∞
∞
2
n = −∞
∑
x (n) < ∞
2
n = −∞
∑ x ( n) < ∞
x(n) ≤ Bx < ∞
12
∞
1.1.2 序列的运算
(8) 实序列的偶部和奇部
x ( n) = x e ( n) + x o ( n)
27
28
1.3 DTFT和z变换
离散时间信号的傅里叶变换DTFT 定义 性质 z变换 定义 性质 z变换与的DTFT的关系
29
1.3.1 DTFT
DTFT的定义
X (e ) =
jω
n = −∞
∑ x ( n)e
∞
− jωn
存在DTFT的条件：序列绝对可和 IDTFT的定义
n = −∞
∑ x(n) <∞
31
例：求信号x(n)=4[u(n)-u(n-3)]的DTFT
解：当n<0和n ≥ 3 时，信号值都是0，根据 DTFT的定义 X (e jω ) = x(n)e − jωn n = −∞ 可得：
∑
∞
X ( e jω ) = = 4 + 4e
n = −∞ − jω
x(n)e − jωn = x(0) + x(1)e − jω + x(2)e − j 2ω ∑ + 4e