4.函数的拐点问题

4．函数的拐点问题

1．若关于x 的不等式(x －1)(x 2－bx －2)≥0对一切x ∈(0，＋∞)成立，则实数a 的取值集合为{－1}_______． 解法一：当x ＝1时，b ∈R ；

当x ＞1时，x 2－bx －2≥0，即b ≤x －2x

． 因为函数f (x )＝x －2x

在(0，＋∞)上是单调增函数，所以， 当x ＞1时，b ≤f (1)＝－1；

当0＜x ＜1时，x 2－bx －2≤0，即b ≥x －2x

，所以，b ≥f (1)＝－1； 综上，b ＝－1．

解法二：函数y ＝x －1与函数y ＝x 2－bx －2图象在第一象限的部分横坐标相同的点始终在x 轴的同侧， 所以函数y ＝x 2－bx －2的图象经过函数y ＝x －1图象与x 轴的交点(1，0)，

所以1－b －2＝0，解得b ＝－1．

此时，原不等式为(x －1)(x 2＋x －2)≥0，即(x －1)2(x ＋2)≥0，

满足对一切x ∈(0，＋∞)成立．

所以 b ＝－1．

解法三：当x ＝1时，b ∈R ；

当x ＞0，且x ≠1时，不等式(x －1)(x 2－bx －2)≥0，即(x －1)( x －2x

－b )≥0． 所以，函数y ＝x －1与y ＝x －2x

－b 的图象在第一象限的部分横坐标相同的点始终在x 由1－2－b ＝0，得b ＝－1．

综上，b ＝－1．

解法四：因为函数x 2－bx －2的判别式△＝b 2＋8＞0，所以存在x 1，x 2∈R (其中x 1＜x 2)，使得

x 2－bx －2＝(x －x 1)(x －x 2)．

若x 1，x 2都不为1，则(x －1)(x －x 1)(x －x 2)在x ＝1的两侧函数值异号，不满足条件，

所以x 1，x 2中有一个为1，所以b ＝－1．

此时(x －1)(x 2－bx －2)＝(x －1)2(x ＋2)≥0，满足条件．

2．如果关于x 的不等式(a |x |－1)(x 2－a |x |－2)≥0对一切的x ∈R 成立，那么实数a 的取值集合为{33

}_______． 解法一：显然a ＞0．

当|x |≥1a 时，a ≤|x |－2|x |恒成立，即a ≤1a －2a ，得0＜a ≤33

； 当|x |≤1a 时，a ≥|x |－2|x |恒成立，即a ≥1a －2a ，得a ≥33

． 综上，a ＝33

． 解法二：函数y ＝1与函数y ＝x 2－2图象在函数y ＝a |x |图象的同侧，即函数y ＝a |x |1

与y ＝x 2－2图象的交点．x 2－2＝1，得x ＝±3，所以a ＝33

． 解法三：当|x |＝0时，a ∈R ；

当|x |≠0时，(a －1|x |)(a －|x |＋2|x |

)≤0． 令t ＝|x |，即函数y ＝1t 与y ＝t －2t

的图象在第一象限的部分横坐标相同的点始终在直线y ＝a 的同侧． 由1t ＝t －2t ，得t ＝3，故a ＝33

．

3．设函数f (x )＝12

m (x －1)2－2x ＋3＋ln x ，m ＞0．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝f (x )在点P (1，1)处的切线l 与该曲线有且只有一个公共点，求m 的值．

解 由f (x )＝12m (x －1)2－2x ＋3＋ln x ，得f'(x )＝mx －m －2＋1x

，x ＞0，所以f'(1)＝－1，

所以曲线y ＝f (x )在点P (1，1)处的切线l 的方程为y ＝－x ＋2．…………………… 6分

曲线y ＝f (x )在点P (1，1)处的切线l 与该曲线有且只有一个公共点，即关于x 的方程f (x )＝－x ＋2有且

仅有唯一解，即关于x 的方程12

m (x －1)2－x ＋1＋ln x ＝0有且仅有唯一解． 令g (x )＝12

m (x －1)2－x ＋1＋ln x ，则 g'(x )＝m (x －1)－1＋1x ＝mx 2－(m ＋1)x ＋1x ＝(x －1)(mx －1)x

，x ＞0． …………… 8分 因为m ＞0，所以，当x ＝1或1m

时，g'(x )＝0． ①若0＜m ＜1，则

当0＜x ＜1或x ＞1m 时，g'(x )＞0；当1＜x ＜1m

时，g'(x )＜0， 所以函数g (x )在区间(0，1]和[1m ，＋∞)上为增函数，在区间[1，1m

]上为减函数． 因为g (1)＝0，所以g (1m

)＜0． 又当x ＞1＋2m 时，12m (x －1)2－x ＋1＝12

(x －1)[m (x －1)－2]＞0，ln x ＞0，从而g (x )＞0，所以曲线y ＝g (x )与x 轴有两个公共点，不满足题意．

②若m ＝1，则g'(x )≥0，当且仅当x ＝1时，g'(x )＝0，所以g (x )在区间(0，＋∞)上为增函数，且g (1)＝0，满足题意．

③若m ＞1，则

当0＜x ＜1m 或x ＞1时，g'(x )＞0；当1m

＜x ＜1时，g'(x )＜0， 所以函数g (x )在区间(0，1m ]和[1，＋∞)上均为增函数，在区间[1m

，1]上为减函数． 因为g (1)＝0，所以g (1m

)＞0． 又当0＜x ＜min{1m ，e －12m －1}时，12m (x －1)2－x ＋1＜12m (x －1)2＋1＜1＋12m ，且ln x ＜－12

m －1，从而g (x )＜0，所以曲线y ＝g (x )与x 轴有两个公共点，不满足题意．

综上，实数m 的值为m ＝1．

4．定义：对于定义在集合D 上的函数y ＝f (x )，设其在在平面直角坐标系xOy 中的图象在x ＝x 0处的切线

方程为l :y ＝g (x )，当x ∈D ，且x ≠x 0 时，若f (x )－g (x )x －x 0

＜0恒成立，则称x 0为函数y ＝f (x )的“拐点”． 设函数f (x )＝－14x 2＋34

x －2ln x ，试问函数y ＝f (x )是否存在“拐点”?若存在，请求出 “拐点”；若不存在，说明理由．

解 由f (x )＝－14x 2＋34x －2ln x ，得f'(x )＝－12x ＋34－2x

，x ＞0． 设函数y ＝f (x )存在“拐点”x 0，则x 0＞0．

因为f'(x 0)＝－12x 0＋34－2x 0，f (x 0)＝－14x 2

0＋34

x 0－2ln x 0，所以，函数y ＝f (x )图象在点x ＝x 0处的切线方程为

y ＝(－12x 0＋34－2x 0)(x －x 0)－14x 20＋34x 0

－2ln x 0，x 0＞0． 令g (x )＝(－12x 0＋34－2x 0)(x －x 0)－14x 02＋34

x 0－2ln x 0，x 0＞0， F (x )＝f (x )－g (x )，x ＞0，