长宁区2018学年第二学期初三教学质量检测数学试卷及详解

人数1210 5 0 15 20 25 30 35 次数32018学年第二学期初三数学教学质量检测试卷（考试时间：100分钟 满分：150分）考生注意:1.本试卷含三个大题,共25题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效.2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）【每题只有一个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】 1. 化简33m m +的结果等于（ ▲ ） A. 6m ；B. 62m ；C. 32m ；D. 9m ．2.下列二次根式中，最简二次根式的是（ ▲ ） A.x 8；B.42+y ；C.m1； D.23a ．3.某校随机抽查若干名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数， 把所得数据绘制成频数分布直方图（如图1），则仰卧起 坐次数不小于15次且小于20次的频率是（ ▲ ） A. 0.1； B. 0.2； C. 0.3； D. 0.4．4.下列方程中，有实数解的是（ ▲ ） A.0422=-+x x ； B. 0122=+-x x ； C. 042=+x ； D. x x -=-6．5．下列命题中，真命题的是（ ▲ ）A. 如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧也相等；B. 如果两个圆没有公共点，那么这两个圆外离；C. 如果一条直线上有一个点到圆心的距离等于半径，那么这条直线与圆相切；D. 如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦．6．已知四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，下列条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ▲ ）A. CD AB CBD ADB //，∠=∠；B. BCD DAB CBD ADB ∠=∠∠=∠，；C. CD AB BCD DAB =∠=∠，；D. OC OA CDB BD =∠=∠，A ．注：每组可含最小值，不含最大值 图1二、填空题（本大题共12题, 每题4分, 满分48分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7. 今年春节黄金周上海共接待游客约5090000人，5090000这个数用科学记数法表示为 ▲ ．8. 计算：4322221÷-⎪⎭⎫⎝⎛-= ▲ ．9. 如果反比例函数xky = (k 是常数，0≠k )的图像经过点)2,1(-，那么这个反比例函数的图像在 第 ▲ 象限． 10. 方程组⎩⎨⎧=-=+23xy y x 的解是 ▲ ．11. 掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为素数的概率是 ▲ ． 12. 如果二次函数22-=m mxy （m 为常数）的图像有最高点，那么m 的值为 ▲ ．13. 某商品经过两次涨价后，价格由原来的64元增至100元，如果每次商品价格的增长率相同，那么这个增长率是 ▲ ．14. 为了解某校九年级学生每天的睡眠时间，随机调查了其中20名学生，将所得数据整理并制成下表，那么这些测试数据的中位数是 ▲ 小时．睡眠时间（小时）6 7 8 9 学生人数864215. 如图2，在平行四边形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，联结AE 、BD 交于点F ， 若a BC =，b BA =，用a 、b 表示=DF ▲ ．16. 在ABC Rt ∆中，︒=∠90ABC ，6=AB ，8=BC ．分别以点C A 、为圆心画圆，如果点B 在⊙A 上，⊙C 与⊙A 相交， 且点A 在⊙C 外，那么⊙C 的半径长r 的取值范围是 ▲ ．17. 我们规定：一个多边形上任意两点间距离的最大值称为该多边形的“直径”．现有两个全等的三角形，边长分别为4、4、72．将这两个三角形相等的边重合拼成对角线互相垂直的凸四边形，那么这个凸四边形的“直径”为 ▲ ．18. 如图3，在ABC ∆中，5==AC AB ，8=BC ，将ABC ∆绕着点C 旋转， 点B A 、的对应点分别是点'A 、'B ，若点'B 恰好在线段'AA 的延长线上， 则'AA 的长等于 ▲ ．图2AB CDEF 图3ABC三、解答题（本大题共7题, 满分78分）【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】 19．（本题满分10分）先化简，再求值：)44(24222-+÷+-x x xx x ，其中3=x ．20．（本题满分10分）解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧≤--->- 1223)1(3)6(2 ．　，x x x x ，并把解集在数轴上表示出来.21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图4，在Rt ABC ∆中，︒=∠90ACB ，4=AC ，3=BC ，点D 是边AC 的中点，BD CF ⊥，垂足为点F ，延长CF 与边AB 交于点E ．求：（1）ACE ∠的正切值； （2）线段AE 的长．22.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）某文具店每天售出甲、乙两种笔，统计后发现：甲、乙两种笔同一天售出量之间满足一次函数的关系，设甲、乙两种笔同一天的售出量分别为x （支）、y （支），部分数据如下表所示（下表中每一列数据表示甲、乙两种笔同一天的售出量）．甲种笔售出x （支） … 4 6 8 … 乙种笔售出y （支）…61218…（1）求y 关于x 的函数关系式；（不需要写出函数的定义域）（2）某一天文具店售出甲、乙两种笔的营业额分别为30元和120元，如果乙种笔每支售价比甲种笔每支售价多2元，那么甲、乙两种笔这天各售出多少支？ 23.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图5，平行四边形ABCD 的对角线BD AC 、交于点O ，点E 在边CB 的延长线上，且︒=∠90EAC ，EC EB AE ⋅=2．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）延长AE DB 、交于点F ，若AC AF =，求证：BF AE =．43 2 10 -4 -3 -2 -1 图4ACBDEF 图5AB CDE FO24.（本题满分12分，每小题4分）如图6，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx x y ++=294经过原点，且与x 轴相交于点A ，点A 的横坐标为6，抛物线顶点为点B ． （1）求这条抛物线的表达式和顶点B 的坐标；（2）过点O 作AB OP //，在直线OP 上点取一点Q ，使得OBA QAB ∠=∠，求点Q 的坐标； （3）将该抛物线向左平移)0(>m m 个单位，所得新抛物线与y 轴负半轴相交于点C 且顶点仍然在第四象限，此时点A 移动到点D 的位置，4:3:=DB CB ，求m 的值．图61 y1xO25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）如图7，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，3=AC ，4=BC ，点P 在边AC 上（点P 与点A 不重合），以点P 为圆心，PA 为半径作⊙P 交边AB 于另一点D ，DP ED ⊥，交边BC 于点E ． (1) 求证：DE BE =；(2) 若x BE =，y AD =，求y 关于x 的函数关系式并写出定义域；(3) 延长ED 交CA 的延长线于点F ，联结BP ，若BDP ∆与DAF ∆相似，求线段AD 的长．图7BECADP 备用图BCA备用图BCA长宁区2018学年第二学期初三数学参考答案和评分建议2019.3一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．C ； 2．B ； 3．A ； 4．D ； 5．D ； 6．C ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分） 7．61009.5⨯； 8．213； 9．二、四； 10．⎩⎨⎧-=-=12y x 或⎩⎨⎧-=-=21y x ； 11．21； 12．2-； 13．%52；14．7；15．→→--b a 3131； 16．104<<r ； 17．736或； 18．514．三、（本大题共7题，第19、20、21、22每题10分，第23、24每题12分，第25题14分，满分78分）19. （本题满分10分）解：原式= xx x x x x x 44)2()2)(2(2+-÷+-+ (4分)=2)2(2-⋅-x xx x (2分) =21-x (2分) 当3=x 时，原式=21-x =231-=23-- (2分) 20．（本题满分10分）解：⎪⎩⎪⎨⎧≤--->-② 1223① )1(3)6(2 ．　，x x x x由①得33212->-x x ∴ 3<x （4分） 由②得6)2(32≤--x x ∴ 0≥x （4分）∴ 不等式组的解集为 30<≤x （1分） 不等式组的解集在数轴上表示正确 . （1分） 21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 解：（1）∵︒=∠90ACB ∴ ︒=∠+∠90BCE ACE又∵BD CF ⊥ ∴ ︒=∠90CFB ∴︒=∠+∠90CBD BCE ∴CBD ACE ∠=∠ （2分） ∵4AC =且D 是AC 的中点，∴2CD =又∵3BC =，在BCD Rt ∆中，︒=∠90BCD ∴2tan 3CD BCD BC ∠== （2分） ∴2tan tan 3ACE CBD ∠=∠=（1分） （2）过点E 作EH AC ⊥，垂足为点H ， 在Rt EHA ∆中，90EHA ︒∠= ∴tan EHA HA∠=∵ 3BC =，4AC = 在Rt ABC ∆中，︒=∠90ACB ，∴3tan 4BC A AC ∠== ∴34EH AH = （1分） 设3EH k =，4AH k =，∵222AH EH AE +=，∴5AE k = （1分）在Rt CEH ∆中，︒=∠90CHE ∴2tan =3EH ECA CH ∠=，∴9k C 2H = （1分） ∴17C 42A AH CH k =+== ∴ 817k =（1分） ∴4017AE = （1分） 22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 解：（1）设函数关系式为)0(≠+=k b kx y ，由图像过点（4,6）， （6,12） （1分）得：⎩⎨⎧=+=+12664b k b k （2分）解之得：⎩⎨⎧-==63b k （1分）所以y 关于x 的解析式为：63-=x y （1分） （2）设甲种笔售出x 支，则乙种笔售出)63(-x 支，由题意可得：23063120=--xx （2分） 整理得： 03072=--x x解之得：101=x ，32-=x （舍去） 246-3=x （2分） 答：甲、乙两种这天笔各售出10支、24支. （1分） 23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）证明：（1）∵EC EB AE ⋅=2 ∴AEEB EC AE =又 ∵CEA AEB ∠=∠ ∴AEB ∆∽CEA ∆ （2分） ∴EAC EBA ∠=∠∵︒=∠90EAC ∴︒=∠90EBA （1分） 又 ∵︒=∠+∠180CBA EBA ∴︒=∠90CBA （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形∴四边形ABCD 是矩形 （1分）（2）∵ AEB ∆∽CEA ∆ ∴ AC AB AE BE = 即 ACAE AB BE = ， ECA EAB ∠=∠ （2分）∵四边形ABCD 是矩形 ∴BD AC =又 ∵BD OB 21=， AC OC 21= ∴OC OB = ∴ECA OBC ∠=∠ 又 ∵OBC EBF ∠=∠ ECA EBA ∠=∠ ∴EAB EBF ∠=∠又 ∵F F ∠=∠ ∴EBF ∆∽BAF ∆ （3分）∴AB BE AF BF = ∴ACAEAF BF =（1分） ∵AC AF = ∴AE BF = （1分）24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）解：（1） 点)0,0(O 、)0,6(A 在抛物线c bx x y ++=294上 ∴⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯=0636940c b c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=038c b （ 2分）∴抛物线的解析式为x x y 38942-=，顶点B 的坐标是)4,3(- （ 2分） （2）∵)0,6(A ，)4,3(-B ∴34AB =k ，∵AB OP // ∴34OP =k ，设点)4,3(k k Q ，因为 OAB OBA ∠>∠ ，所以 0>k（ 1分）∵OP 平行于AB ， QA 不平行于 OB ∴四边形OQAP 为梯形又∵OBA QAB ∠=∠ ∴四边形OQAP 为等腰梯形 ∴OA QB = （1分）∴36)44(3322=++-k k ）（ ∴2511=k 或1-=k （舍去） （1分） ∴)2544,2533(Q （ 1分） （3）由（1）知4)3(94389422--=-=x x x y设抛物线向左平移)0(>m m 个单位后的新抛物线表达式为4)3(942-+-=m x y因为新抛物线与y 轴负半轴相交于点C 且顶点仍然在第四象限，设点C 的坐标为),0(c C所以30<<m ，04<<-c ，过点B 分别做作x 、y 轴垂线，垂足分别为点E 、F ∴43==BE BF BD BC ︒=∠=∠90BED BFC ∴BCF ∆∽BDE ∆ ∴43==BD BC DE CF ∴433=-m CF ∴)3(43m CF -=∴ )3(4344m CF OC --=-= （2分） 又∵4)3(942-+-=m x y ∴ 2)3(944m OC --= （1分）∴ 2)3(944)3(434m m --=--∴16211=m 或者 32=m （舍去） ∴ 1621=m （1分）25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分） 解：（1） ∵DP ED ⊥ ∴ ︒=∠90EDP ∴︒=∠+∠90PDA BDE又∵︒=∠90ACB ∴︒=∠+∠90PAD B （1分） ∵PA PD = ∴PAD PDA ∠=∠ （1分）∴B BDE ∠=∠ （1分） ∴DE BE = （1分） （2）∵y AD =，yAD BA BD -=-=5（1分）过点E 作 BD EH ⊥垂足为点H ，由（1）知DE BE = ， ∴2521yBD BH -==（1分） 在EHB Rt ∆中，︒=∠90EHB ∴xyBE BH B 25cos -==在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，3=AC ，4=BC ∴5=AB ∴54cos ==AB BC B ∴5425=-x y∴)82587(5825<≤-=x x y （1分+1分）（3）设a PD =，则a AD 56=，a AD BA BD 565-=-= 在等腰PDA ∆中，53cos =∠PAD ，易得257cos =∠DPA在PDF Rt ∆中，︒=∠90PDF ，257cos ==∠PF PD DPA ∴725a PF =，718a AF = （2分） 若BDP ∆∽DAF ∆又 DAF BDP ∠=∠①当ADF DBP ∠=∠时，PD AF BD AD =即aa a a71856556=-，解得3=a ，此时51856==a AD （2分） ②当F DBP ∠=∠时，BD AF PD AD =即a a a a56571856-=，解得117175=a ，此时397056==a AD （2分）综上所述，若BDP ∆∽DAF ∆, 线段AD 的长为518或3970。