试比较和中哪一个是高阶无穷小量
无穷小量的比较(4)全
3、若 lim f (x) 1,则称f (x)与g(x)为等价无穷小。 xx0 g(x)
记为 f (x) ~ g(x)
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1、当 x 0时, 1 cos x是sin x的_______无穷小。
x 1
x sin sin
xx
当x→0时不是有界量
故当x→0时，x sin 1/x和x2不能比较。
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4
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的开关按键来实现功 能的一种设计方式。
传统机械按键结构层图：
按键
PCBA
开关键
传统机械按键设计要点：
1.合理的选择按键的类型，尽量选择 平头类的按键，以防按键下陷。
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2.开关按键和塑胶按键设计间隙建议 留0.05~0.1mm，以防按键死键。 3.要考虑成型工艺，合理计算累积公 差，以防按键手感不良。
二、等价无穷小量在求极限问题中的作用
定理：设 (x) ~ (x), (x) ~ (x) , 且 lim '(x) 存在（或为无穷 '(x)
大）, 则lim (x) 也存在（或为无穷大），并且 (x)
lim (x) lim '(x) lim '(x) '(x) '(x) (x)
lim '(x)
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'(x)
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例1. 求 lim tan2x . x0 sin 5x
解: 由于当x0, tanx ~ x, 从而tan2x ~ 2x.
北大高数(上)第1章习题
习题1-11. 下列函数是否相等,为什么? 函数 函数的概念 函数相同的条件222(1)()();(2)sin (31),sin (31);1(3)(),() 1.1f xg x y x u t x x f x g x x x ===+=+-==+- 解: (1)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集R ;x =知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.(2)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集R ,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.(3)不相等.因为函数()f x 的定义域是{,1}x x x ∈≠R ,而函数()g x 的定义域是实数集R ,两函数的定义域不同,所以两函数不相等. 2. 求下列函数的定义域 函数 函数的概念 定义域和值域的概念211(1)arctan ;(2);lg(1)(3); (4)arccos(2sin ).1y y x x xy y x x ==-==-解: (1)要使函数有意义,必须40x x -≥⎧⎨≠⎩ 即 4x x ≤⎧⎨≠⎩ 所以函数的定义域是(,0)(0,4]-∞.(2)要使函数有意义,必须30lg(1)010x x x +≥⎧⎪-≠⎨⎪->⎩即 301x x x ≥-⎧⎪≠⎨⎪<⎩所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).(3)要使函数有意义,必须210x -≠ 即 1x ≠±所以函数的定义域是(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞.(4)要使函数有意义,必须12sin 1x -≤≤ 即 11sin 22x -≤≤ 即ππ2π2π66k x k -+≤≤+或5π7π2π2π66k x k +≤≤+,(k 为整数). 也即ππππ66k x k -+≤≤+ (k 为整数).3. 设1()1x f x x -=+,求1(0),(),().f f x f x-函数函数的概念 函数的基本运算解: 10(0)110f -==+,1()1(),1()1x x f x x x --+-==+--1111().111x x f x x x--==++ 4. 设1,10()1,02x f x x x -≤<⎧=⎨+≤≤⎩,求(1)f x -.函数函数的概念 函数的基本运算解: 1,1101,01(1).(1)1,012,13x x f x x x x x -≤-<≤<⎧⎧-==⎨⎨-+≤-≤≤≤⎩⎩5. 设()2,()ln x f x g x x x ==,求(()),(()),(())f g x g f x f f x 和(())g g x . 函数函数的概念 复合函数的概念解: ()ln (())22,g x x x f g x ==(())()ln ()2ln 2(ln 2)2,x x x g f x f x f x x ==⋅=⋅()2(())22,(())()ln ()ln ln(ln ).xf x f f xg g x g x g x x x x x ====6. 求下列函数的反函数及其定义域:函数 反函数、复合函数 反函数的定义2531(1); (2)ln(2)1;1(3)3; (4)1cos ,[0,π].x xy y x xy y x x +-==+++==+∈ 解: (1)由11x y x -=+解得11yx y-=+, 所以函数11x y x -=+的反函数为1(1)1xy x x-=≠-+. (2)由ln(2)1y x =++得1e 2y x -=-,所以,函数ln(2)1y x =++的反函数为1e 2()x y x -=-∈ R .(3)由253x y +=解得31(log 5)2x y =- 所以,函数253x y +=的反函数为31(log 5)(0)2y x x =-> .(4)由31cos y x =+得cos x =又[0,π]x ∈,故x =又由1cos 1x -≤≤得301cos 2x ≤+≤,即02y ≤≤,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数31cos ,[0,π]y x x =+∈的反函数为(02)y x =≤≤.7. 判断下列函数在定义域内的有界性及单调性:函数 函数的特性 有界性、单调性2(1); (2)ln 1xy y x x x==++ 解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞), 当0x ≤时,有201x x ≤+,当0x >时,有21122x x x x ≤=+, 故(,),x ∀∈-∞+∞有12y ≤.即函数21xy x =+有上界.又因为函数21xy x =+为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数21xy x =+有界. 又由1212121222221212()(1)11(1)(1)x x x x x x y y x x x x ---=-=++++知,当12x x >且121x x <时,12y y >,而 当12x x >且121x x >时,12y y <. 故函数21xy x=+在定义域内不单调. (2)函数的定义域为(0,+∞),10,0M x ∀>∃>且12;e 0M x M x >∃>>,使2ln x M >.取012max{,}x x x =,则有0012ln ln 2x x x x M M +>+>>, 所以函数ln y x x =+在定义域内是无界的. 又当120x x <<时,有12120,ln ln 0x x x x -<-<故1211221212(ln )(ln )()(ln ln )0y y x x x x x x x x -=+-+=-+-<. 即当120x x <<时,恒有12y y <,所以函数ln y x x =+在(0,)+∞内单调递增.8. 已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角ϕ=40°,如图所示.当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时,求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式,并指明其定义域.函数 函数的概念 定义域、值域的概念图1-1解:011()(2cot )(cot )22S h AD BC h h BC BC h BC h ϕϕ=+=++=+ 从而 0cot S BC h hϕ=-. 000()22cot sin sin 2cos 2cos 40sin sin 40L AB BC CD AB CD S h hBC h hS S h h h h ϕϕϕϕϕ=++==+=+---=+=+ 由00,cot 0S h BC h hϕ>=->得定义域为0tan 40)S .9. 下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的?函数 基本初等函数 基本初等函数5122412(1)(1);(2)sin (12);1(3)(110);(4).1arcsin 2xy x y x y y x-=+=+=+=+解: (1)124(1)y x =+是由124,1y u u x ==+复合而成.(2)2sin (12)y x =+是由2,sin ,12y u u v v x ===+复合而成. (3)512(110)x y -=+是由152,1,10,w y u u v v w x ==+==-复合而成.(4)11arcsin 2y x=+是由1,1,arcsin ,2y u u v v w w x -==+==复合而成.习题1-21. 写出下列数列的通项公式,并观察其变化趋势:极限 数列极限的概念与性质 数列极限的定义1234579(1)0,,,,,; (2)1,0,3,0,5,0,7,0,; (3)3,,,,.3456357----解: 1(1),1n n x n -=+当n →∞时,1n x →. 1(2)cos π2n n x n -=,当n 无限增大时,有三种变化趋势:趋向于+∞,趋向于0,趋向于-∞.21(3)(1)21nn n x n +=--,当n 无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1. 2. 对下列数列求lim n n a x →∞=,并对给定的ε确定正整数()N ε,使对所有()n N ε>,有n x a ε-<:极限数列极限的概念与性质 数列极限的定义1π(1)sin ,0.001; (2)0.0001.2n n n x x n εε==== 解: (1)lim 0n n a x →∞==,0ε∀>,要使11π0sin 2n n x n n ε-=<<,只须1n ε>.取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,必有0n x ε-<. 当0.001ε=时,110000.001N ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦或大于1000的整数.(2)lim 0n n a x →∞==,0ε∀>,要使0n x ε-==<=<1ε>即21n ε>即可.取21N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,有0n x ε-<. 当0.0001ε=时, 821100.0001N ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦或大于108的整数. 3. 根据数列极限的定义，证明:极限 数列极限的概念与性质 数列极限的定义21313(1)lim0;(2)lim ;212(3)1;(4)lim 0.999 1.n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞-==+== 个证: (1)0ε∀>,要使22110n n ε=<-,只要n >.取N =,则当n>N 时,恒有210nε<-.故21lim 0n n →∞=. (2) 0ε∀>,要使555313,2(21)4212n n n n n ε-=<<<-++只要5n ε>,取5N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n>N 时,恒有313212n n ε-<-+.故313lim212n n n →∞-=+. (3) 0ε∀>,要使2221a n ε=<<-,只要n >,取n =,则当n>N 时,1ε<,从而1n →∞=. (4)因为对于所有的正整数n ,有10.99991n <-个,故0ε∀>,不防设1ε<,要使1,0.999110n n ε=<-个只要ln ,ln10n ε->取ln ,ln10N ε-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则当n N >时,恒有,0.9991n ε<-个故lim 0.9991n n →∞=个.4. 若lim n n x a →∞=,证明lim n n x a →∞=,并举反例说明反之不一定成立.极限 函数极限的概念与性质 函数极限的定义证:lim 0n n x →∞=,由极限的定义知,0,0N ε∀>∃>,当n N >时,恒有n x a ε-<.而 n n x x a a ε-<-<0,0N ε∴∀>∃>,当n N >时,恒有n x a ε-<,由极限的定义知lim .n n x a →∞=但这个结论的逆不成立.如(1),lim 1,nn n n x x →∞=-=但lim n n x →∞不存在.5. 利用收敛准则证明下列数列有极限,并求其极限值:极限数列极限的概念与性质数列极限的定义1111(1)1,2,; (2)1,1,1,2,.1nn n nx x x n x x n x ++=====+=+证: (1)122x =<,不妨设2k x <,则12k x +=<=.故对所有正整数n 有2n x <,即数列{}n x 有上界.又1n n n x x x +-==0>,又由2n x <从而10n n x x +->即1n n x x +>,即数列{}n x 是单调递增的.由极限的单调有界准则知,数列{}n x 有极限. 设lim n n x a →∞=,则a =于是22a a =,2,0a a ==(不合题意,舍去),lim 2n n x →∞∴=.(2) 因为110x =>,且111nn nx x x +=++, 所以02n x <<, 即数列有界又 111111111(1)(1)n n n n n n nn n n x x x x x x x xx x --+---⎛⎫⎛⎫++-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 由110,10n n x x -+>+>知1n n x x +-与1n n x x --同号， 从而可推得1n n x x +-与21x x -同号， 而 1221131,1,022x x x x ==+=-> 故10n n x x +->, 即1n n x x +>所以数列{}n x 单调递增，由单调有界准则知，{}n x 的极限存在. 设lim n n x a →∞=, 则11a a a=++， 解得1122a a +==(不合题意，舍去). 所以1lim 2n n x →∞=习题1-31. 选择题 （1）设1,1()0,1x f x x ≠⎧=⎨=⎩，则0lim ()x f x →=（D ）A.不存在B.∞C.0D.1（2）设()f x x =，则1lim ()x f x →=（B ） A.1- B.1 C.0 D.不存在（3）0(0)f x +与0(0)f x -都存在是函数()f x 在点0x x =处有极限的一个（A ）A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关条件（4）函数()f x 在点0x x =处有定义，是当0x x →时()f x 有极限的（D ）A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件 （5）设1()1x f x x -=-，则1lim ()x f x →=（D ） A.0 B.1- C.1 D.不存在 2.证明01lim arctanx x→不存在. 0000011lim arctan ,lim arctan ,2211lim arctan lim arctan ,1limarctan x x x x x x x x xx ππ+-+-→→→→→==-∴≠∴不存在。
2.4 无穷大量与无穷小量
时的有界量， 由于 g ( x ) 是 x → X 时的有界量，
0 ≤ f ( x ) g( x ) ≤ M f ( x ) (x → X )
则存在常数 M > 0, 使得 g ( x ) ≤ M ( x → X )
从而
由于 f ( x ) = o(1) ( x → X )， 从而 lim M f ( x ) = M lim f ( x ) = 0,
记为α ~ β ( x → X )
(二) Def2.７: 二 ７
α和β为数列时同样定义. → 变化趋势下的两个无穷大量， 设 α 和 β 均是 x→ X 变化趋势下的两个无穷大量， α 且lim = A， x→X β 的低阶的无穷大量. (1)如果 = 0 则称 α 是 β 的低阶的无穷大量 A ， 的高阶的无穷大量. 或称 β 是 α 的高阶的无穷大量 记为 = o(β )(x → X) α 是同阶的无穷大量. (2)如果 ≠ 0 则称 α 与 β 是同阶的无穷大量 A ，
x →0
lim x = 0 +
lim ln x = 0
x →1
x = o ( 1 ) ( x → 0+ );
ln x = o ( 1 ) ( x → 1 );
e x = o ( 1 ) ( x → ∞ );
x → ∞
lim e x = 0
定义2.5 若 lim f ( x ) = ∞ , 则称 f ( x )是 x → X 时无穷大量 . 定义 x→ X
1 2 1 cos x ~ x , 2
x ~ ln(1 + x) ~ e 1,
x
当 x → 1 时,
ln x ~ x 1.
a x 1 ~ x ln a (a > 0, a ≠ 1) (1 + x )a 1 ~ ax (a ≠ 0 是常数 )
第六节--无穷小的比较精选全文完整版
例2 当x 0时,求 tan x sin x关于x的阶数.
解 tan x sin x tanx(1 cos x) tan x 2sin2 x .
lim
x0
tan
x x3
sin
x
tan x lim( x0 x
2 s in2 x2
x 2
)
1, 2
2
tan x sin x为x的三阶无穷小.
(1 x)a 1 ~ a x (a 0), (n 1 x 1 ~ 1 x ) n
二、等价无穷小替换
定理(等价无穷小替换定理)
设
~ ,
~
且
lim
存在
,则
lim
lim
.
证 lim lim( )
lim
lim lim
lim
.
类似地，乘法也有等价无穷小替换定理，即 若 ~ ,
(2) 若是 x 的无穷小 , 常取 1 为基本无穷小 ; x
如果 lim x0
xk
C(C
0, k
0) , 就说当 x
0时
是 x 的 k 阶无穷小.
例1 证明 :当x 0时,4x tan 3 x为x的四阶无穷小.
解
lim
x0
4x
tan3 x4
x
4 lim x0
tan x
x
3
4,
故当x 0时,4x tan 3 x为x的四阶无穷小.
解 原式 lim
1 cos x
x0 x(1 cos x )(1 cos x )
1
1 cos x
lim
2 x0 x(1 cos x )
1 lim
1 x2 2
2 x0 x 1 x
请详细说出什么是高阶无穷小
如果 lim b/a^n=常数，就说 b 是 a 的 n 阶的无穷小
当 li，记作 B=o(A); 如果 lim B/A=无穷大,就说 B 是比 A 低阶的无穷小；
如果 lim B/A=k(k 为不等于 0 和 1 的常数)，就说 B 是 A 的同阶非等价无穷小．
无穷小就是以数零为极限的 变量 。确切地说，当自变量 x 无限接近 x0(或 x 的绝对值无限增大)时，函数值 f(x)与零无限接近，即 f(x)＝0(或 f(x)＝0)，
另外 如果 a 和 b 等阶无穷小 那么有:a=b+o(b) 或者 b=a+o(a)
低阶无穷小
无穷小就是以数零为极限的变量。 确切地说， 当自变量 x 无限接近 x0(或 x 的绝对值无限增大)时，函数值 f(x)与零无限接近，即 f(x)＝0(或 f(x)＝0)， 则称 f(x)为当 x→x0(或 x→∞)时的无穷小量。例如，f(x)＝(x－1)2 是当 x→1 时的无穷小量，f(n)＝是当 n→∞时的无穷小量，f(x)＝sinx 是当 x→0 时的无 穷小量。特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。 假设 a、b 都是 lim 的无穷小
则称 f(x)为当 x→x0(或 x→∞)时的无穷小量。
例如，f(x)＝(x－1)2 是当 x→1 时的无穷小量，f(1/n)＝是当 n→∞时的无穷 小量，f(x)＝sinx 是当 x→0 时的无穷小量。特别要指出的是，切不可把很小 切不可把很小 的数与无穷小量混为一谈。 的数与无穷小量混为一谈 。 这里值得一提的是，无穷小是可以比较的： 假设 a、b 都是 lim 的无穷小 如果 lim b/a=0，就说 b 是比 a 高阶的无穷小，记作 b=o（a） 比如 b=1/x^2， a=1/x。x->无穷时，通俗的说，b 时刻都比 a 更快地趋 于 0，所以称做是 b 高阶。假如有 c=1/x^10,那么 c 比 a b 都要高阶，因为 c 更快地趋于 0 了
考研数学-专题4 无穷小量阶的比较
(k
f −
(x) 1) x k
−2
=
2
lim
x→0
(k
f ′(x) −1)(k − 2)xk
−3
= 2 f ′(0) ≠ 0 (k −1)(k − 2)
(k = 3)
故选（C）. 【解 2】排除法
【例 5】(2013 年 2,3) 当 x → 0 时,1 − cos x ⋅ cos 2x ⋅ cos3x 与 axn 为等价无穷小,求 n 与 a
（D） k = 3,c = −4.
5
【解 4】（代入法）
【例 4】(1996 年 1,2)设 f (x) 有连续导数, f (0) = 0 , f ′(0) ≠ 0 ,
∫ F(x) =
x
(
x2
−
t
2
)
f
(t)dt
,且当
x
→
0
时,
F
′(x)
与
x
k
为同阶无穷小,则
k
等于（
）
0
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
7
⎧
⎪⎪⎪⎨b1 ⎪ ⎪ ⎪⎩
+ −
a 3
a=0 a =0 2
=k
故 a = −1,b = − 1 , k = − 1 .
2
3
【解 2】
【例 7】(2020 年 3)
已知 a,b 为常数，若 (1+
1 )n n
−
e
与
b na
在 n → ∞ 时是等价无穷小，求
a, b.
(1+ 1 )n 【解 1】1 = lim n
经济数学(微积分)自测题
第一章 第一章 函数 自测题一、填空题(请将正确答案直接填在题中横线上):1．函数()(ln )f x f x =则的定义域为______________。
2．设1, 1()0, 1,(),[()] ,[()]1,1x x f x x g x e f g x g f x x ⎧<⎪=====⎨⎪->⎩则。
3．函数2, 0()2ln ln 2, 2x x f x x x x -≤⎧⎪⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎩的反函数1()f x -＝________________。
4．设函数()f x 满足212()()1xf x x f x x +=+，则()f x ＝__________。
5．设(sin )cos 1.(cos )22x xf x f =+则=____________________。
二、选择题(请在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将其号码填在括号内)：1．函数2211x y x -=+的值域是（ ）。
(A) 11y -≤≤ (B) 11y -≤< (C) 11y -<≤ (D) 01y ≤≤ 2．()sin ()xf x xex -=-∞<<+∞是（ ）。
(A) 有界函数 (B) 单调函数 (C) 周期函数 (D) 奇函数 3．设x ∈（－1，1），则1()lg1xf x x -=+（ ）。
(A) 既是奇函数，又是单调减函数 (B) 既是奇函数，又是单调增函数 (C) 既是偶函数，又是单调增函数 (D) 既是偶函数，又是单调增函数4．设22,0(), 0x x e x x f x e x x ππ⎧--<<⎪=⎨+≤<⎪⎩，在其定义域内为（ ）。
(A) 无界函数 (B) 周期函数 (C) 单调函数 (D) 偶函数 5．已知函数()f x 在(,)-∞∞上单调减，则下列函数中单调增的是（ ）。
(A) 2()f x (B) 1()f x (C) ()f x - (D) ()xf x三、充分判断题：解题说明：本题要求判断给出的条件能否充分支持题干陈述的结论。
无穷小量与无穷大量阶的比较.ppt
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
0 证 设函数 u 在 U ( x , ) 内有界， 0 1
则 M 0 , 0 , 使得当 0 x x 时 1 0 1 恒有 u M .
又设 是当 x x 时的无穷小 , 0
0 , 0 , 使得当 0 x x 时 2 0 2 恒有 . M
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
o ( ), lim 1, lim 0 , 即
o ( ) 于是有 o ( ).同理也有
一般地有
即α与β等价
~ o ( )
α与β互为主要部分
3.5 无穷小量与无穷大量
本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变 量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂 的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。 首先应用中，经常会遇到极限为0的变量。 对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有 理论价值，值得我们单独给出定义
1 1 1 lim . 当 0 x 1 时 , 就有 M . x 1 x 1 M x1
x x 0
定义 : 如果 lim f ( x ) , 则直线 x x 是函数 y f ( x ) 0 的图形的铅直渐近线 .
三、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证
取 min{ , }, 则当 0 x x 时 , 恒有 1 2 0 u u M , M
当 x x 时 , u 为无穷小 . 0
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
考研数学二(一元函数的导数与微分概念及其计算)模拟试卷5(题后
考研数学二（一元函数的导数与微分概念及其计算）模拟试卷5(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设函数y=f(x)可微，且曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线y=2-x 垂直，则=A．-1．B．0．C．1．D．不存在．正确答案：B解析：由题设可知f’(x0)=1，又△y-dy=o(△x)，dy=f’(x0)△x=△x，于是，故应选(B)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算2．设曲线y=x2+ax+b和2y=-1+xy3在点(1，-1)处相切，其中a，b是常数，则A．a=0，b=2．B．a=1，b=-3．C．a=-3，b=1．D．a=-1，b=-1．正确答案：D解析：曲线y=x2+ax+b在点(1，-1)处的斜率y’=(x2+ax+b)’｜x=1=2+a．将方程2y=-1+xy3对x求导得2y’=y3+3xy2y’．由此知，该曲线在(1，-1)处的斜率y’(1)为2y’(1)=(-1)3+3y’(1)，y’(1)=1．因这两条曲线在(1，-1)处相切，所以在该点它们的斜率相同，即2+a=1，a=-1．又曲线y=x2+ax+b过点(1，-1)，所以1+a+b=-1，b=-2-a=-1．因此选(D)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算3．设f(x0)≠0，f(x)在x=x0连续，则f(x)在x0可导是｜f(x)｜在x0可导的( )条件．A．充分非必要.B．充分必要.C．必要非充分.D．既非充分也非必要.正确答案：B解析：由f(x0)≠0f(x0)＞0或f(x0)＜0，因f(x)在点x0处连续，则f(x)在x0某邻域是保号的，即，当｜x-x0｜＜δ时，因此应选(B)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算4．设f(x)在点x=x0处可导，且f(x0)=0，则f’(x0)=0是｜f(x)｜在x0可导的( )条件．A．充分非必要.B．充分必要.C．必要非充分.D．既非充分也非必要.正确答案：B解析：按定义｜f(x)｜在x0可导存在，即均存在且相等因此应选(B)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算5．设F(x)=g(x)φ(x)，φ(x)在x=a连续但不可导，又g’(a)存在，则g(a)=0是F(x)在x=a可导的( )条件．A．充分必要.B．充分非必要.C．必要非充分.D．既非充分也非必要.正确答案：A解析：①因为φ’(a)不存在，所以不能对g(x)φ(x)用乘积的求导法则；②当g(a)≠0时，若F(x)在x=a可导，可对用商的求导法则．(Ⅰ)若g(a)=0，按定义考察即F’(a)=g’(a)φ(a)．(Ⅱ)再用反证法证明：若F’(a)存在，则必有g(a)=0．若g(a)≠0，由商的求导法则即知φ(x)在x=a可导，与假设条件φ(a)=在x=a处不可导矛盾．因此应选(A)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算6．函数f(x)=(x2-x-2)｜x2-x｜的不可导点有A．3个．B．2个．C．1个．D．0个．正确答案：B解析：函数｜x｜，｜x-1｜，｜x+1｜分别仅在x=0，x=1，x=-1不可导且它们处处连续．f(x)=(x2-x-2)｜x｜｜x-1｜｜x+1｜，只需考察x=0，1，-1是否可导．考察x=0，令g(x)=(x2-x-2)｜x2-1｜，则f(x)=g(x)｜x｜，g’(0)存在，g(0)≠0，φ(x)=｜x｜在x=0连续但不可导，故f(x)在x=0不可导．考察x=1，令g(x)=(x2-x-2)｜x2+x｜，φ(x)=｜x-1｜，则g’(1)存在，g(1)≠0，φ(x)在x=1连续但不可导，故f(x)=g(x)φ(x)在x=1不可导．考察x=-1，令g(x)=(x2-x-2)｜x2-x｜，φ(x)=｜x+1｜，则g’(-1)存在，g(-1)=0，φ(x)在x=-1连续但不可导，故f(x)=g(x)φ(x)在x=-1可导．因此选(B)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算7．设f(x+1)=a f(x)总成立，f’(0)=b，a≠1，b≠1为非零常数，则f(x)在点x=1处A．不可导．B．可导且f’(1)=a．C．可导且f’(1)=b．D．可导且f’(1)=ab．正确答案：D解析：按定义考察=af’(0)=ab，ab≠a，ab≠b．因此，应选(D)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算填空题8．请用等价、同阶、低阶、高阶回答：设f(x)在x0可微，f’(x0)≠0，则△x→0时f(x)在x=x0处的微分与△x比较是__________无穷小，△y=f(x0+△x)-f(x0)与△x比较是_______无穷小，△y-df(x)｜x=x0与△x比较是________无穷小．正确答案：同阶；同阶；高阶解析：△df(x)｜x=x0=f’(x0)△x，由=f’(x0)≠0知这时df(x)｜x=x0与△x是同阶无穷小量；按定义=f’(x0)≠0，故△y与△x也是同阶无穷小量；按微分定义可知差△y-df(x)｜x=x0=o(△x)(△x→0)是比△x高阶的无穷小．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算9．设y=f(lnx)ef(x)，其中f(x)可微，则dy=__________．正确答案：ef(x)[ f’(lnx)+f’(x)f(lnx)]dx解析：利用一阶微分形式不变性，可得dy=d[f(lnx)ef(x)]=ef(x)[df(lnx)]+f(lnx)def(x)=ef(x)[f’(lnx)dlnx]+f(lnx)ef(x)df(x)=ef( x)[ f’(lnx)+f’(x)f(lnx)]dx．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算10．设y=f(x)可导，且y’≠0．若y=f(x)二阶可导，则=________．正确答案：解析：知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算11．对数螺线r=eθ在点(r，θ)=处的切线的直角坐标方程为_______．正确答案：解析：对数螺线的参数方程为于是它在点处切线的斜率为当θ=时x=0，y=．因此该切线方程为. 知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
无穷小量的比较
则当 x 0 时, 有 u 0,
ex 1 u lim lim lim u 0 x 0 u 0 ln(1 u ) x
u 0
1 ln(1 u)
1 u
1 lim ln(1 u)
1 u
1 1. ln e
当x 0时， e x 1 ~ x.
解
令 (1 x) 1 y,于是 ln(1 x) ln(1 y),
第五节 无穷小量的比较
A.
ห้องสมุดไป่ตู้
无穷小量的阶：
高阶、低阶、同阶(等价)、k阶无穷小
B.
利用等价无穷小量计算极限
A.无穷小量的阶
引例：当 x 0时， 3 x , x 2 , sin x 都是无穷小, 但 它们趋于零的速度不同：
x 0, lim x 0 3 x
2
sin x 1 lim , x 0 3 x 3
tan 2 x . 例3 求 lim x 0 1 cos x
1 2 解 当x 0时, 1 cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 2 (2 x ) 原式 lim 8. x 0 1 x2 2
2
例4 解
e 1 求 lim . x 0 x
x
令 e x 1 u, 即 x ln(1 u),
例. 当
时, 比较无穷小
与
的阶.
ln x 解: 因 lim x 1 ( x 1) 2 ln[1 ( x 1)] lim 2 x 1 ( x 1) x 1 lim x 1 ( x 1) 2 1 lim x 1 x 1
故 是比
x 0 时, ln(1 x) ～ x ,
26无穷小阶的比较
§2.6 无穷小 因为当x 0时,
所以
x2 1 cos x ~ ,
ex 1 x
2
cos x 1
lim
x0
ex 1
x2 lim 2 x0 x
x lim( ) 0
x0 2
例6
求
lim
x0
cos
x(esin tan 2
x 1)2 x
.
解 因为，当 x 0 ，有sinx→0, 且
例1
因为lim x2 0, x0 x
lim
x0
x x2
,
lim sin x 1 x0 x
所以当 x→0时, x2 是x的高阶无穷小； x是 x2的低阶无
穷小；sin x 与 x 是等阶无穷小.
例2
因为
lim
x0
1
cos x2
x
1 2
所以, 当x→0时, 1 cos x 与 x2 是同阶无穷小.
证明 根据极限运算法则
lim lim
lim lim lim lim
注 由此定理可知,求两个无穷小量商的极限时, 如果分子 分母, 的等价无穷小量存在, 则就可用它们各自的等价无穷小量 来代换原来的分子和 分母, 使得计算简化.
一.无穷小阶的比较 二.等价无穷小替换原理
无穷小的比较公式
无穷小的比较公式在数学中，无穷小是一种特殊的数值概念，它可以用来描述接近于零的量。
无穷小的比较公式是用来比较两个无穷小的大小关系的公式。
在本文中，将详细介绍无穷小的比较公式，并给出一些具体的例子。
1.高阶无穷小比低阶无穷小大2.函数与它的微分比无穷小大3.无穷小的乘积是无穷小4.极限运算首先来看第一种形式，即高阶无穷小比低阶无穷小大。
假设有两个无穷小量a和b，如果当x趋近于其中一点时，a/x和b/x的极限都为零，且a/x的阶数高于b/x的阶数，则有a比b大。
举个例子，考虑函数f(x)=x和g(x)=x^2，当x趋近于零时，f(x)/x 的极限为1，g(x)/x的极限为0，因为x^2的阶数比x的阶数高，所以可以得出x^2是一个比x大的无穷小。
第二个形式是函数与它的微分比无穷小大。
如果函数f(x)在其中一点处可微分，且其微分f'(x)在该点处不为零，那么当x趋近于该点时，f(x)与f'(x)的比值趋近于零，即f(x)/f'(x)的极限为零。
举个例子，考虑函数f(x)=x^2，它在x=0处可微分，且其导数f'(x)=2x在该点处不为零。
当x趋近于零时，f(x)/f'(x)=x^2/(2x)=x/2的极限为零。
因此，x^2是一个比2x大的无穷小。
第三个形式是无穷小的乘积是无穷小。
如果a是一个无穷小，b是一个有界函数，那么a乘以b也是一个无穷小。
考虑两个无穷小量a和b，其中a是一个无穷小，b是一个有界函数。
当x趋近于其中一点时，a的极限为零，而b的取值在一些区间内有限。
因此，a乘以b的极限仍为零，即a乘以b也是一个无穷小。
最后一个形式是极限运算。
如果有两个无穷小量a和b，且a比b大，那么a和b之间的任何有限运算后的结果仍然是一个无穷小。
举个例子，考虑两个无穷小量a=x，b=x^2、根据前面的分析，x^2是一个比x大的无穷小。
那么，无论我们对a和b进行加法、减法、乘法或除法，结果仍然是一个无穷小。
无穷小的比较
10
无穷小的比较
等价无穷小替换定理说明, 等价无穷小替换定理说明,两个无穷小之 比的极限, 比的极限,可由它们的等价无穷小之比的极限 型未定式的极限运算带来方便. 给 0 型未定式的极限运算带来方便. 代替. 代替.
无穷小的比较
ln(1 + x ) ~ x , sin x ~ x , tan x ~ x ,
ln 1 + x + 2 sin x 1. 求 lim x →0 tan x ln 1 + x + 2 sin x 解 lim x →0 tan x ln 1 + x 2 sin x = lim + lim x →0 x → 0 tan x tan x
1 100 同阶无穷小. x → ∞时, 是 的 同阶无穷小 x x 1 − cos x 1 因为 lim = , 2 2 x→0 x 2
所以当 x → 0时, 1 − cos x是x的 二阶无穷小 时 二阶无穷小.
4
无穷小的比较
常用等价无穷小
当x →0时
tan x ~ x ,
sin x ~ x ,
x →0
x3 x
x →0
x
x
2
∴ tan x − sin x为x的三阶无穷小 .
6
无穷小的比较
二、利用等价无穷小替换求极限
定理1 定理1 β ~ α ⇔ 证 ⇒设 α ~ β, 则 β −α β β = lim − 1 = lim lim − 1 = 0, α α α 因此 β − α = o (α ), 即 β = α + o (α ).
关于无穷小量的比较和性质点滴
性质(6) α ~ α1 , β ~ 性质(7) α ~
β1 ，则 αβ ~ α1β1
β ，则 α f ( x) ~ β f ( x) ，其中 α f ( x) 为无穷小。
1 1 1
性质(8) α ~ α1 , β ~
β1 ，且 lim(1 + α1 ) 存在，则 lim(1 + α ) = lim(1 + α1 )
1
1 与x就 x
在高等数学教学中关于无穷小量的比较和性质点滴
张
谋
20120127
g ( x) 是比 f ( x) 低价的无穷小（即定义2中的(1)可以推出(2)成立） ，这是错误的。
x 2 sin
例1 因 lim
x →0
x
1 x = 0 ，故分子是分母的高阶无穷小，但 lim
x →0
x 1 x sin x
x → x0
定义2
[1]
设 x → x0 时， f ( x) 与 g ( x) 都是无穷小量，且在 x0 的某一去心邻域内
g ( x) ≠ 0 ，
(1)若 lim
x → x0
f ( x) = 0 ，则称 f ( x) 是比 g ( x) 高阶的无穷小量，记作 f ( x) = o[ g ( x)] （这 g ( x)
在高等数学教学中关于无穷小量的比较和性质点滴
张
谋
20120127
高等数学教学点滴——
关于无穷小量的比较和性质
张
一、关于无穷小比较的概念及理解 我们知道，有限个无穷小的和、差、积均为无穷小，而无穷小的商会出现不同的情 况。 例如当 x → 0 时， x, x , sin x, sin 2 x, x sin
比 x 趋向于零更快。” 上面所提到的“快慢程度”是函数 y 相对于自变量 x 的变化快慢程度，即变化率，与 函数 y = f ( x) “趋向于零的快慢程度”不是一回事。通常我们对快慢的说法有两种，一种 是：单位时间内，离出发点的远近；另一种说法是：单位时间内，离终点的近与远。因此， “趋向于零的快慢程度”应理解为离终点（零）的近与远，也就是说， lim
高阶无穷小ox运算法则
高阶无穷小ox运算法则摘要：一、引言二、高阶无穷小的概念三、高阶无穷小运算的性质四、高阶无穷小ox 运算法则五、结论正文：一、引言在数学领域，无穷小是一个重要的概念，特别是在微积分中。
无穷小通常用来表示一个非常小的数，而高阶无穷小则表示比普通无穷小更小的数。
在研究高阶无穷小时，我们需要了解高阶无穷小的运算规则，这就是高阶无穷小ox 运算法则。
二、高阶无穷小的概念无穷小量是一种难以用常规方法表示的量，它表示一个非常小的数。
在数学分析中，无穷小量经常出现在极限和微积分公式中。
高阶无穷小是无穷小的一种，它表示比普通无穷小更小的数。
例如，对于实数x，我们可以说x^2 是一个二阶无穷小，x^3 是一个三阶无穷小，依此类推。
三、高阶无穷小运算的性质当我们对高阶无穷小进行加、减、乘、除等运算时，需要遵循一定的规则。
这些规则可以概括为以下几点：1.无穷小量的加法和减法：如果两个无穷小量的极限均存在，那么它们的和与差仍是无穷小量。
2.无穷小量的乘法：有限数与无穷小量的乘积仍是无穷小量。
3.无穷小量的除法：无穷小量除以有限数仍是无穷小量；有限数除以无穷小量是无穷大；无穷小量除以无穷小量可能是有限数、无穷大或无穷小。
四、高阶无穷小ox 运算法则当涉及到高阶无穷小时，我们需要了解高阶无穷小ox 运算法则。
这里，ox 表示加、减、乘、除等运算。
1.高阶无穷小与普通无穷小的加减法：高阶无穷小与普通无穷小的和与差仍是无穷小。
2.高阶无穷小与普通无穷小的乘法：高阶无穷小与普通无穷小的乘积仍是无穷小。
3.高阶无穷小与普通无穷小的除法：高阶无穷小除以普通无穷小，结果可能是无穷小、无穷大或有限数。
五、结论总之，高阶无穷小ox 运算法则是研究高阶无穷小时需要了解的重要内容。
理解这些规则有助于我们更好地处理高阶无穷小量在极限和微积分公式中的问题。
高阶无穷小什么意思
高阶无穷小什么意思
1、高阶无穷小：设α与β都是x的函数，且limα=0，limβ=0，即α，β都是无穷小。
2、低阶无穷小：符号φ(x)=o（ψ(x))表示函数φ(x)是比函数ψ(x)较高阶的无穷小，或φ(x)是比ψ(x)较低阶的无穷大。
3、高阶无穷小而不叫叫低阶无穷小的原因：β是比α较同阶的无穷小，即β→0与α→0是同样程度；若lim(β/α)=1，就说β是比α较等阶的无穷小，记作α∽β。
性质分析
在非标准分析中，无穷小量也和实数一样被视为具体的“数”，这些数比零大，但比任何正实数都小。
前面用序列来定义无穷小量的经典方法或多或少有些难于处理，而“非标准”的无穷小量。
自变量在一定变动方式下其极限为数量0，称一个函数是无穷小量，一定要说明自变量的变化趋势。
例如在时是无穷小量，而不能笼统说是无穷小量。
也不能说无穷小是，是指负无穷大。
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习题2-3
9. 试比较)(x α和)(x β中哪一个是高阶无穷小量?
(1) x x x 10)(3+=α, 4)(x x =β, 当0→x 时;
解: 010
lim 10lim )()(lim 23
03400=+=+=→→→x x x x x x x x x x αβ，所以)(x β是)(x α的高阶无穷小量. （4）()
x α=1()1x x β=-, 当x →+∞时;
解: ()lim lim lim (1
()x x x x x αβ→+∞→+∞
===-∞，所以)(x β是)(x α的高阶无穷小量. 10．当0→x 时求下列无穷小量关于x 的阶：
（1）36x x +；
解：36333(1)x x x x x +=+ ，所以36x x +关于x 的阶为3.
（3
x = ，所以x x 的阶为1. 11. 用等价无穷小量替代法计算下列极限:
(1) x
x x x 7tan 5sin lim 2
0+→; 解: 7
575lim )775sin (lim 75sin lim 7tan 5sin lim 002020==+=+=+→→→→x x x x x x x x x x x x x x x . 习题2-4
3.指出下列函数的间断点并说明其类型.若是可去间断点, 则补充定义函数值后使它连续.
(7) 2
31)(22+--=x x x x f ; 解: 1=x 是)(x f 的可去间断点，2=x 是)(x f 的第二类间断点.
因为2)
2()1(lim )1)(2()1)(1(lim )(lim 111-=-+=---+=→→→x x x x x x x f x x x . 1=x 是)(x f 的可去间断点, 定
义函数值2)1(-=f 后则)(x f 在1=x 处连续. 因为∞=-+=→→)
2()1(lim )(lim 22x x x f x x , 所以2=x 是)(x f 的第二类间断点. (9) x
e x
f -+=11
11
)(; 解: 1=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.
因为011lim )(lim 11
11=+=-→→--x x x e x f ，111lim )(lim 11
11=+=-→→++x x x e x f .。