南京市四校第一学期联考试题

南京市四校第一学期联考试题一、填空题（共14小题；共70分）1. 设全集，若集合满足，则．2. 在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于第象限．3. 某校有甲、乙、丙个高三文科班，其中甲班有人，乙班有人，丙班有人．现分析个班的某一次数学考试成绩，计算得甲班的平均成绩是分，乙班的平均成绩是分，丙班的平均成绩是分，则该校这个高三文科班的数学平均成绩是分．4. 已知向量，，则．5. 已知等比数列的各项都是正数，且，，成等差数列，则．6. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且，若，，则的值为．7. 从，，，，这五个数字中随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是．8. 已知函数的图象的一个最高点为，其图象的相邻两个对称中心之间的距离为，则．9. 定义为不超过的最大整数，例如．执行如图所示的算法流程图，当输入的值为时，则输出的值为．10. 已知正三棱锥的体积为，底面边长为，则侧棱的长为．11. 已知周期为的函数，则方程的根的个数为．12. 在平面直角坐标系中，不等式组为常数表示的平面区域的面积为，则的最小值为．13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作圆的一条切线分别交双曲线的左、右两支于，两点，与双曲线的渐近线在第二象限内交于点，且，则双曲线的离心率为．14. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是．二、解答题（共12小题；共156分）15. 设的内角，，的对边分别是，，，且，．（1）求角的大小；（2）求的周长的取值范围．16. 如图，在四棱锥中，，平面平面，且，，，分别为，的中点．（1）求证： 平面；（2）求证：平面平面．17. 如图是一个半圆形广场的平面示意图．已知为直径，且，为圆心，为圆周上靠近的一点，为圆周上靠近的一点，且．设（为弧度单位）．（1）现在准备对半圆形广场进行绿化，在内栽花，其余部分植树，求植树面积的最小值；（2）如果从经过到建造一条观光路线，其中到是圆弧，到是线段．设观光路线总长为，求观光路线总长的最大值．18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，为椭圆上异于，的任意一点，关于的对称点为．（1）若的横坐标为，且点在椭圆的右准线上，求的值；（2）若以为直径的圆恰好经过坐标原点，求的取值范围．19. 已知函数，．（1）若函数的图象与的图象相切，求的值及切点坐标；（2）若，且，求证：．20. 已知数列，满足，其中．（1）若，，求数列的通项公式；（2）若，且，．（i）记，求证：数列为等差数列；（ii）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求应满足的条件．21. 如图，在的直径的延长线上任取一点，过点作直线与交于点，，记点关于直径的对称点为，连接，交于．若，求的值．22. 在平面直角坐标系中，直线在矩阵对应的线性变换作用下得到的直线仍为，求矩阵的逆矩阵．23. 已知两条曲线的极坐标方程分别为与，它们相交于，两点，求线段的长．24. 已知函数．若不等式（，）恒成立，求实数的取值范围．25. 某学习小组由名男生和名女生组成，现从中选取参加学校座谈会的代表，规则是每次选取人，依次选取，每人被选取的机会均等．（1）若要求只选取名代表，求选出的名代表都是男生或都是女生的概率；（2）若选取过程中只要有女生入选，选取即结束，记所选取的代表的人数为，求的分布列和数学期望．26. 已知平面内有（，）条直线，其中任意两条不平行，任意三条不共点，设这条直线将平面分成个区域，如，．（1）试猜想的表达式，并用数学归纳法加以证明；（2）请用类比的方法，写出个平面将空间最多分成多少个部分．（不要求证明）（注：）答案第一部分1.【解析】在数轴上分别作出全集与，根据补集的概念可得．2. 一【解析】因为，所以对应的点所在的象限是第一象限．3.【解析】由题意知，个高三文科班的数学平均成绩．4.【解析】解法一：因为向量，，所以，，，所以．解法二：因为向量，，所以，，，所以．5.【解析】设等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，所以，所以或（舍去），所以．6.【解析】因为，，，，所以，所以，得．7.【解析】通解：由题意知，从，，，，这五个数字中随机取出三个数字的情况有，，，，，，，，，，共种，其中剩下两个数字都是奇数的情况有，，，共种，故所求概率为．优解：由题意知，事件“从，，，，这五个数字中随机取出三个数字，剩下两个数字都是奇数”的概率与事件“从，，，，这五个数字中随机取出两个数字，这两个数字都是奇数”的概率相等，又从，，，，这五个数字中随机取出两个数字的情况有，，，，，，，，，，共种，其中抽取的两个数字都是奇数的情况有，，，共种，故所求概率为．8.【解析】因为函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为，故函数的最小正周期为，所以，因为函数的图象的最高点为，所以，，因为，所以．9.【解析】由输入的为，执行第一个条件判断框后，执行否方向，而，即不等于，因而仍执行否方向，得到，故输出的值为．10.【解析】设底面正三角形的中心为，又底面边长为，故，由，得，，所以．11.【解析】作出函数的图象及直线如图所示，则两个图象的交点个数为，即方程的根的个数为．12.【解析】由题意作出可行域如图中阴影部分所示，因为平面区域的面积为，易得，，把，，三个边界点的坐标分别代入，得在这三点处的最小值为．令，即，，当抛物线平移到与直线相切时，，得，即切点，代入，得，所以的最小值为．13.【解析】由双曲线的定义可知，，又，所以．因为点的坐标为，直线与圆相切，且圆的半径为，所以直线的方程为，又直线的方程为，联立得点的坐标为，所以，得，所以双曲线的离心率为14.【解析】或设函数，，在同一平面直角坐标系内画出它们的图象如图所示，由图象可得实数的取值范围是．第二部分15. （1）由，结合余弦定理可得，，化简得．因为在中，所以，又，所以．（2）因为，，由正弦定理可得，，所以的周长因为，所以，则，则．16. （1）解法一：连接，在中，，分别为，的中点，所以，在四边形中，，又，且，所以且，四边形为平行四边形，所以．又，，所以平面 平面，又平面，所以 平面．解法二：如图，取的中点，连接，．在中，，，所以，且．由已知，，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以 平面．（2）连接，在中，，，所以．又平面平面，平面平面，所以平面，故．在四边形中，，且，所以四边形为平行四边形．又，所以四边形为菱形，故，又，所以平面，又平面，所以平面平面．17. （1）设半圆形广场的半径为，由题意知，因为为圆周上靠近的一点，为圆周上靠近的一点，且，所以．所以植树面积半圆因为，所以当时，．（2）由题意知，，，所以，则．令，得，则，随的变化情况为递增极大值递减所以函数在处取得极大值，这个极大值就是最大值，所以观光路线总长的最大值为．18. （1）因为是的中点，，，所以．因为在椭圆的右准线上，，解得．（2）设点的坐标为，点的坐标为，因为关于的对称点为，所以，，即，．因为以为直径的圆恰好经过坐标原点，所以，所以，即，所以，即．又点在椭圆上，所以，即，所以因为，所以，所以，所以，即，所以，即．又，所以．19. （1）设函数的图象与的图象相切于，由，则，且，消去得，．设，则．设，则，所以单调递增，即单调递增，又，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的最小值为，所以仅有一解，此时，切点为．（2），即证，即证，即证．设，因为，，所以只要证为上的增函数即可．因为，又，所以，所以为上的增函数，从而得证．20. （1）当时，有又也满足上式，所以数列的通项公式为．（2）（i）因为对任意的，有，所以所以数列为等差数列．（ii）设（，为常数且），所以所以数列均是以为公差的等差数列．设当时，对任意的（，为中的一个常数），有，此时由已知条件可推得．当时，①若，则对任意的，有，所以数列为单调递减数列；②若，则对任意的，有，所以数列为单调递增数列．综上，设集合则当时，数列中必有某数重复出现无数次；当时，均为单调数列，任意一个数在每个数列中最多出现一次，所以数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．21. 连接，，易知，又点，关于直径对称，所以，得，所以，又，所以，故，，，四点共圆．故，又，所以，又，所以，，故．22. 设是直线上任意一点，其在矩阵对应的线性变换作用下得到仍在直线上，所以得，与比较得解得故．设矩阵的逆矩阵为，则，即，故，，，，即逆矩阵．23. 以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，则由得，，因为，所以，所以，由得，或，，所以．24. 由，且，得．又，则，解不等式，得，即实数的取值范围为．25. （1）记“选出的名代表都是男生或都是女生”为事件，则．（2）由题意知，．，，，．所以的分布列为．26. （1）通过画图可求出，，观察发现：，，．猜想，进而用累加法求得，所以．下面用数学归纳法证明．①当时，显然成立；②假设当（，）时成立，即，则当时，因为第条直线与前面的条直线都不平行，而且也不交于同一点（因为任意三条直线不共点），所以第条直线与其他条直线有个交点，这个交点将第条直线分成段，其中每一段都将所在区域一分为二，所以增加了个区域，所以．由归纳假设得，即当时也成立．综合①②，得对任意的（，）均成立．所以（，）．（2）设这个平面将空间最多分成个部分，当这个平面任意两个不平行，任意三个不共线（即交线不重合）时才能最多，用类比法得，从而求得。