南京市四校第一学期联考试题

南京市四校第一学期联考试题

一、填空题（共14小题；共70分）

1. 设全集，若集合满足，则．

2. 在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于第象限．

3. 某校有甲、乙、丙个高三文科班，其中甲班有人，乙班有人，丙班有人．现分析

个班的某一次数学考试成绩，计算得甲班的平均成绩是分，乙班的平均成绩是分，丙班的平均成绩是分，则该校这个高三文科班的数学平均成绩是分．

4. 已知向量，，则．

5. 已知等比数列的各项都是正数，且，，成等差数列，则．

6. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且，若，，

则的值为．

7. 从，，，，这五个数字中随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是．

8. 已知函数的图象的一个最高点为，其

图象的相邻两个对称中心之间的距离为，则．

9. 定义为不超过的最大整数，例如．执行如图所示的算法流程图，当输入的值为

时，则输出的值为．

10. 已知正三棱锥的体积为，底面边长为，则侧棱的长为．

11. 已知周期为的函数，则方程的根的个数

为．

12. 在平面直角坐标系中，不等式组为常数表示的平面区域的面积为，则

的最小值为．

13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作圆的一条切线分别

交双曲线的左、右两支于，两点，与双曲线的渐近线在第二象限内交于点，且，则双曲线的离心率为．

14. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围

是．

二、解答题（共12小题；共156分）

15. 设的内角，，的对边分别是，，，且，

．

（1）求角的大小；

（2）求的周长的取值范围．

16. 如图，在四棱锥中，，平面平面，且，

，，分别为，的中点．

（1）求证： 平面；

（2）求证：平面平面．

17. 如图是一个半圆形广场的平面示意图．已知为直径，且，为圆心，为圆周

上靠近的一点，为圆周上靠近的一点，且．设（为弧度单位）．

（1）现在准备对半圆形广场进行绿化，在内栽花，其余部分植树，求植树面积的最小值；

（2）如果从经过到建造一条观光路线，其中到是圆弧，到是线段．设观光路线总长为，求观光路线总长的最大值．

18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，为椭圆上异于，的任

意一点，关于的对称点为．

（1）若的横坐标为，且点在椭圆的右准线上，求的值；

（2）若以为直径的圆恰好经过坐标原点，求的取值范围．

19. 已知函数，．

（1）若函数的图象与的图象相切，求的值及切点坐标；

（2）若，且，求证：．

20. 已知数列，满足，其中．

（1）若，，求数列的通项公式；

（2）若，且，．

（i）记，求证：数列为等差数列；

（ii）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求应满足的条件．21. 如图，在的直径的延长线上任取一点，过点作直线与交于点，，记

点关于直径的对称点为，连接，交于．若，求的值．

22. 在平面直角坐标系中，直线在矩阵对应的线性变换作用下得到

的直线仍为，求矩阵的逆矩阵．

23. 已知两条曲线的极坐标方程分别为与，它们相交于，两点，求线段

的长．

24. 已知函数．若不等式（，）

恒成立，求实数的取值范围．

25. 某学习小组由名男生和名女生组成，现从中选取参加学校座谈会的代表，规则是每次选取

人，依次选取，每人被选取的机会均等．

（1）若要求只选取名代表，求选出的名代表都是男生或都是女生的概率；

（2）若选取过程中只要有女生入选，选取即结束，记所选取的代表的人数为，求的分布列和数学期望．

26. 已知平面内有（，）条直线，其中任意两条不平行，任意三条不共点，设这条

直线将平面分成个区域，如，．

（1）试猜想的表达式，并用数学归纳法加以证明；

（2）请用类比的方法，写出个平面将空间最多分成多少个部分．（不要求证明）（注：

）

答案

第一部分

1.

【解析】在数轴上分别作出全集与，根据补集的概念可得．

2. 一

【解析】因为，所以对应的点所在的象限是第一象限．

3.

【解析】由题意知，个高三文科班的数学平均成绩．

4.

【解析】解法一：因为向量，，所以，，，所以．

解法二：因为向量，，所以，，，所以

．

5.

【解析】设等比数列的公比为，

因为，，成等差数列，

所以，

所以，

所以或（舍去），

所以．

6.

【解析】因为，，，，

所以，

所以，得．

7.

【解析】通解：

由题意知，从，，，，这五个数字中随机取出三个数字的情况有，，，，，，，，，，共种，

其中剩下两个数字都是奇数的情况有，，，共种，故所求概率为．

优解：

由题意知，事件“从，，，，这五个数字中随机取出三个数字，剩下两个数字都是奇数”的概率与事件“从，，，，这五个数字中随机取出两个数字，这两个数字都是奇数”的概率相等，又从，，，，这五个数字中随机取出两个数字的情况有，，，，，，，，，，共种，其中抽取的两个数字都是奇数的情况有，，，共种，故所求概率为．

8.

【解析】因为函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为，

故函数的最小正周期为，

所以，

因为函数的图象的最高点为，

所以，，

因为，

所以．

9.

【解析】由输入的为，执行第一个条件判断框后，执行否方向，而，即不等于，因而仍执行否方向，得到，故输出的值为．10.

【解析】设底面正三角形的中心为，又底面边长为，

故，由，

得，，

所以．

11.

【解析】作出函数的图象及直线如图所示，

则两个图象的交点个数为，即方程的根的个数为．

12.

【解析】由题意作出可行域如图中阴影部分所示，